（应用数学专业论文）一类非线性发展方程的非行波解的构造.pdf

摘要 本文根据吴文俊院士提出的教学机械化的思想，在导师张鸿庆教授“a c = b d ”理论的指导下，以 构造性的变换和符号计算为工具，研究在弹性力学、流体力学、空气动力学、等离子体物理、生物物理 和化学物理等现代科学技术中引出的非线性发展方程的若干求精确解的方法 第一章介绍了孤立于理论的历史与发展，数学机械化思想与计算机代数，以及非线性发展方程的 若干求解方法，如反散射方法，对称与微分方程约化，b a c k l u n d 变换和d a r b o u x 变换方法，h i r o t a 双线 性方法；p a i n l e v e 奇性分析法，a c = b d 框架下的精确求解等 第二章介绍了张鸿庆教授提出的“a c = b d ”理论，并在“a c = b d ”理论框架下考虑非线性发展方 程( 组) 精确解的构造给出了“a c = b d ”理论的基本思想和应用，通过具体的变换给出了构造c d 对的算法 第三章主要介绍了我们推广的两种直接求解非线性发展方程的方法e x t e n d e df 展开法和一 般的r i c c a t i 方程展开法并将它们分别应用到( 2 + i ) 维k d v 方程，( 2 4 】) 维b r e a k i n gs o l i t o n 方程 以及( 2 + 1 ) 维b r o e r k a u p 方程，获得r 这些方程许多新的精确解( 孤波解、类孤渡解、周期解，类周 期解、有理解等) 第四章我们首先介绍了p a i n l e v e 奇性分析的一般理论和截断展开方法然后运用l m 】r e n t 级数展 开法对( 2 + 1 ) - 维n i z h n i k n o v l k o v v e s e l o v 方程的解进行l a u r e n t 级数有限截断展开，从而得到了它 的b g c k l u n d 变换，利用符号计算，进一步得到了该方程彤式丰富的精确解( 包括类孤子解，有理解 等j 关键词：数学机械化；孤立子i 非线性发展方程；“a c - b d ”理论；c d 对；e o t e n 幽df 展开法；符号 计算；雅克比椭圆函数；类孤子解，精确解，非行波解；b s c k | i u n d 变换 c o n s t r u c t i n gn o n l i n e a rt r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n so fs o m e n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s a b - s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，b ya p p l y i n gt h ei d e a so ft h em a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o ni n t r o d u c e db ya c a d e m i c l a nw uw e n j u n ，u n d e rt h ei n s t r u c t i o no ft h ea c = b dt h e o r yp u tf o r w a r db yp r o f z h m gh o n g q i n g ，w i t h t h ea i do fc o n s t r u c t i v et r a n s f o r m a t i o na n ds y m b o l i cc o m p u t a t i o n ，c o n s i d e rs o m em e t h o d ss e e k i n ge x a c t s o l u t i o n sf o rt h en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ( s ) a r i s i n gf r o mt h ef i e l d so f f l u i dm e c h a n i c s a e l o d y n a m i c s ， p l a s m ap h y s i c s ，b i o p h y s i c sa n dc h e m i c a lp h y s i c s ， c h a p t e r1o ft h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v o t e d 协i n t r o d u c i n gt h eh i s t o r ya n dd e v e l o p m e n to ft h es o l i t o n t h e o r y , t h ei d e a so fm a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o na n dc o m p u t e ra l g e b r a ，a n ds o l r l em e t h o d ss e e k i n ge x a c t s o l u t i o n sf o rt h en o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n ，s u c h i n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d ，s y m m e t r yr e d u c t i o n m e t h o d b a z k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ，d a r b o u xt r a l l s f o r m a t i o u ，h i r o t ab i l i n e a rm e t h o d ，p a i n l e v ea n a l y s i s m e t h o d ，a c = b dm o d e l ，a n ds oo i l c h a p t e r2c o n c e r n st h ec o n s t r u c t i o no fe x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ( s ) u n d e rt h e u n i f o r mf r m n ew o r ko fa c = b dt h e o r y t h eb a s i ct h e o r ya n da p p l i c a t i o na b o u ta c = b dm o d e la n dt h e c o l l s t r u e t i o no ft h eo p e r a t o r so fca n dda r ei n t r o d u c e d c h a p t e r3i n t r o d u c e st h et w om e t h o d s e x t e n d e d fe x p a n s i o nm e t h o da n dg e n e r a l i z e dr i c c a t i e q u a t i o ne x p a n s i o nw h i c hw eh a v ei m p r o v e d a n dt h e na p p l yt h et w om e t h o d st ot h e ( 2 + 1 】一d i m e n s i o n a l k d ve q u a t i o n t h e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lb r e a k i n gs o l i t o ne q u a t i o na n d ( 2 + u d i m e n s i o n a lb r o e r k a u p e q u a t i o n ，1 s p e c t i v e l yf i n a l l y ，w ed e r i v em a n yh e we x a c ts o l u t i o n s ：s o l i t a r ys l u t i o n ，s o l i t a r y - l i k es o l u t i o n l p e r i o d i cs o h l t i o n ，p c r i o d l i k es o l u t i o n ，r a t i o n a ls o l u t i o n ，a n d8 0o n c h a p t e r4i sa r r a n g e d “f o l l o w s a tf i r s t w ei n t r o d u c et h et h e o r yo fp a i n l e v ep r o p e r t ya n dt r u n 。 c a t i o ne x p a n s i o nm e t h o d t h e nb ym e a n so fl a u r e n ts e r i e st r u n c a t i o ne x p a n s i o nm e t h o d ，d e r i v et h e b 6 c k l u n dt r a n s f o r m a t i o no ft h ef 2 + 1 ) - d i n m n s i o n a ln i z h n i k n o v i k o v - v e s e l o ve q u a t i o nf i n a l l y , w i t h t h eh e l po fs y m b o l i cc o m p u t a t i o n ，w eo b t a i na b u n d a n ts o l u t i o n so ft h c ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a ln i z h n i k n o v i k o v v e s e l o ve q u a t i o n ， k e y w o r d s ：m a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o n ；s o l i t o n ；n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ；a c = b dt h e o r y ： c - dp a i r ；e x t e n d e dfe x p a n s i o nm e t h o d ，s y m b o l i cc o m p u t a t i o n ；j a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o n ；s o l i t a r y l i k es o l u t i o n ；e x a c ts o l u t i o n ；n o n l i n e a rt r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n s ：b a e k l u n dt r a n s f o r m a t i o n i i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导f 进行的 研究1 = = 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也 不包含为获得大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明 确的说明并表示了谢意。 作者签名生日期：m 二乒吁 ， 第一章绪论 摘要：本章简要介绍了孤立子理论的历史与发展，数学机械化思想与计算机代数，以及非线性发 展( 演化) 方程的若干求解方法，如反散射方法，对称与微分方程约化，b a c k t u n d 变换和d a r b o u x 变换 方法，h i r o t a 双线性方法，p a l n l e v e 奇性分析法，齐次平衡法，a c = b d 框架下的精确求解等 1 1 孤立子理论的历史与发展 谈到弧子的历史，我们还得从1 9 世纪英国苏格兰一位造船工程师约翰斯科特罗索( j o h ns c o t t r u s s e l l ) 谈起1 8 3 4 年，一次偶然的机会，r u s s e l l 观察到了从爱丁堡到格拉斯哥的运啊中浅水面上形 成的保持原有形状和速度不变，圆而光滑、轮廓分明、孤立的水渡f i j 1 8 4 4 年，r u s s e l l 在第1 4 届英国 科学促进协会上的一篇题为论波动的报告中记述丁他1 8 3 4 年观察到的一种奇特的水渡现象【2 b 1w a so b s e r v i n gt h em o t i n l lo fab o a tw h i c hw e dr a p i d l yd r a w na l o n gan a r r o wc h a n n e lb yap a i ro f h o r s e s ，w h e nt h eb o a ts u d d e n l ys t o p p e d l l o ts ot h em a s so ft h ew a t e ri nt h ec h a n n e lw h i c hi th a dp u ti n m o t i o n ：i ta e e m n u l a t e dr o u n dt h ep r o wo ft h ev e s s e li nas t a t eo fv i o l e ta g i t a t i o n t h e us u d d e n l yl e a v i n g i tb e h i n dr o l l e df o r w a r dw i t hg r e a tv e l o c i t y a s s m n i n gt h ef o r mo fal a r g es o l i t a r ye l e v a t i o n ，ar o u n d e d ， s m o o t h a n d w e l l - d e n e d h e a p c f w a t e l 1 w h i c h c o n t h x l l c di t sc o u r s e a l o n g t h ec h a n n e l a p p a r e n t l y w i t h o u t c h a n g eo ff o r mo rd i m i n u t i o no fs p e e d if o l l o w e di to nh o r s e b a c k ，a n do v e r t o o ki t s t i l lr o l l i n go na ta r a t eo fs o m ee i g h to fn i n em i l e sa nh o u rp r e s e r v i n gi t so r i g i n a lf i g u r es o m et h i r t yf e e tl o n ga n daf o o tt o af o o ta n dah a l fi nh e i g h ti t sh e i g h tg r a d u a l l yd i m i n i s h e d ，a n da f t e rac h a s eo fo d eo ft w om 扯sil o s ti t i n 曲ew i n d i n g so f 幽ec h m m e i s u c h i at h em o n t ho fa u g u s t1 8 3 4 m 5m yf i r s i c h s j c ei n t e r v l e ww i t h t h a ts i n g u l a ra n db e a u t i f u lp h e n o m e n o nw h i c hih a v ec m l e dt h ew a v eo ft r a n s l a t i o n 他称这种渡为孤立波( s o l i t a r yw a v e ) 但限于当时的数学理论和科学水平，人们无法从理论上给 予这种现象一个圆满的解释，科学家们甚至怀疑孤立波现象是否真止存在 在随后的几年，a i r y 3 l 、b o u s s i n e s q l 4 5 1 和r a y l e i g h 6 1 等人相继对孤立溲进行了研究a i r y 得出结 论：r u s s e l l 所提到的孤立波根本不存在；s t o k e s 使用了正确的方程，却得到了错误的结果；b o u s s i n e s q 和r a y l e i g h 分别从数学角度证明了孤立波的存在性b o u s s i n e s q 为近似描述孤立波，提出了一个非线 性发展方程，后来被命名为b o u s s i n e s q 方程但是，b o u i n e s q 和r a y l e i g h 的工作仍然没有使那些对 孤立波感兴趣的科学家们完全信服这也促使荷兰数学家k o r t e w e g 和他的博士生d ev r i e s 对永渡现 象作进一步研究 1 8 9 5 年，k o r t e w e g 和d ev r i e s 根据流体力学研究了浅水波的运动，在长波近似和小振幅的假定 下，求得了单向运动的浅水波运动方程，即著名的k d v 方程通过一定的数学变换，k d v 方程变为 如下形式 毗+ 6 “+ = 0 ( 1 1 ) 1 一类非线性发展方程的非行波解的构造 其中“为波形函数k o r t e w e g 和d ev r i e s 从上式求出了与r u s s e l l 所发现的孤立波现象一致的结果， 即具有不变形状的脉冲状孤立波解k d v 方程的解，准确地描述了浅永波的非线性特性：行波速度依 赖于其本身的振幅，当两个这样的脉冲波滑着同一方向运动时，渡峰高的脉冲波的行进速度快，因此 会赶上前面波峰低的波而发生碰撞 然而这样的孤立波是否稳定，两个这样的孤立波碰撞后屉否形变，这一直是科学家们感兴趣而又 无法证实的问题因此在没有新的发现之前，k d v 方程以及孤立波仍长期处于被埋没之中 1 9 6 5 年美国普林斯顿( p r i n c e t o n ) 大学的两位应用数学家mdk r u s k a l 和nz a b u s k y 通过数学 模拟方法深入地研究了等离子体中孤立波碰撞的非线性相互作用过程他们意外地发现，两个孤立波 在碰撞后各自的波形与行进速度居然都能保持不变，仅仅是相位发生了改变这一性质使人们联想起 质点粒子和波粒二象性等熟悉的现象只有粒子的碰撞才会有类似的情形出现，于是将这种波定名为 孤立子( s o | i t o n ) ，以反映其粒子属性 “孤立于”没有明确的定义，但是它可用来描述一个非线性方程或非线性体系的任意解，若此解 满足：1 可表示成一个固定形式的波；2 是局部的、衰变的或在无穷大时变为常数；3 可与其他的孤 子进行强烈的相互作用在相互作用后即使叠加原理成立其形式亦不会改变 总之，k r u s k a l 和z a b u s k y 的这一研究工作为推动孤立子理论的发展，树立了一个重要的里程碑 此后，科学家们对孤立子的研究兴趣和热情便一发难收，在很多学科领域都发现了孤立子运动形态， 相应地，在数学上，发现了一大批具有孤立子解的非线性发展方程，而且已逐渐建立起较系统的研究 孤立子的数学物理方法m 孤立子现象无论对 二扑线性科学来说，还是对于整个科学体系来说，都起着非常重要的角色并具 有非常重要意义： 第一，孤立子是自然界中普遍存在的现象如木星的红斑旋涡、用隧道电子显微镜成像方法发现 的晶体中的电荷密度波、在小尺度湍流环境中长期存在的有序大尺度组织、神经元轴突上传递的冲动 电信号、大气中的台风、激光在介质中的自聚焦、晶体中的位错、超导体中的磁通量等社会经济系统 中也广泛地存在着非线性相互作用由非线性机制产生的孤立于，无论其现象还是本质，都可能启发 我们更好地理解某些社会经济现象，如社会财富、社会权利等的稳定集中，某些社会意识等的长时问 稳定传播 第二，孤立子深刻地反映了非线性系统相干结构中惊人的有序从k d v 方程的结构中找们可以 来分析其产生孤立子的机理：其中u 项是弥散项，使初始的局部脉冲扩展开来随着波的行进而改 变形状；两非线性对流项6 “，倾向于在脉冲已经很大的地方增大该脉冲并由此使扰动凸起，从而使 得频率扩展，坐标空间收缩，其效果是挤压波包这两种对抗因素的巧妙平衡为孤立子的形成提供了 条件所有拟序结构，包括孤立子拟序结构和非孤立于拟序结构，都具有非线性效应和弥散力巧妙平 衡这一共同特征，它为我们提供了一种从稳定性角度考察事物的新方法 第三，孤立于理论发展了散射反演方法由于孤立子的形状在相互作用期间经过暂时的变形之后 又严格地得到了复原这一特性的启发，g a r d n e r g r e e n e ，k r u s k a l 和m i u r a 等人发展了散射反演方法， 2 大连理工大学硕士学位论文 通过一系列线性变换运算得到了一大类具有孤立子的非线性方程的精确而系统的显式解对无限维分 析、代数几何、偏微分方程和动力系统理论产生了深远的影响散射反演方法的成功，表明了人们可 以精确而系统地解一大类非线性方程，这本身就有很大意义，而且对我们深刻理解非线性的本质问题 也极具启发性 目前，较为完整的孤立于理论体系正在遂步形成，国内外在这方面出版丁很多专著阻14 】孤立 于理论已经被应用于解决等离子体物理、凝聚态物理、生物学和非线性光学等领域中某些难以解决的 问题，以及非线性作用下的运动规律等从数学方面来看，已经发现一大类非线性发展方程具有孤波 解，求解方法也出现了许多独特的分支 1 2 数学机械化思想与计算机代数 十六、十七世纪以来，人类历史上经历了一场史无前例的技术革命，出现了各种类型的机器，取 代各种形式的体力劳动，使人类进入一个新时代几百年后的今天，电子计算机已开始有条件地代替 一部分特定的体力劳动，因而人类已面临另一场更宏伟的技术革命，处在又一个新时代的前夕数学 在这场新的技术革命中，无疑将扮演一个重要的角色与工业革命相适应出现了解析几何与微积分这 些数学上的伟大创新。在目前这一以计算机为标志的信息革命时代，数学应该有什么样的创新与之相 适应呢? 正是基下这种考虑，我国著名散学家，首届国家最高科技奖获得者之一，吴文俊院士1 5 1 倡 导数学机械化研究 所谓机械化，无非是刻板化和规格化机械化的动作，由于简单刻板，因而可以让机器来实现， 又由丁：往往需要反复干百万次，超出了人力的可能，因而又不能不让机器来实现因之，机械化为机 器化进而自动化铺平道路，是它们必不可少的前奏就这一意义来说，数学中的某些脑力劳动与体力 劳动颇有共同之处，它们也同样可以机械化 2 0 世纪7 0 年代，中国科学院院士吴文俊先生由中国的传统思想出发，从几何定理证明入手始数 学机械化研究，所建立的数学机械化方法，不仅将中国传统数学发扬光大，而且也为国际自动推理的研 究开辟了新的前景1 9 7 8 年，吴先生在中国科学上发表了题为初等几何判定问题与机械化原理 的论文f 1 6 】；1 9 8 4 年，吴先生的学术专著几何定理机器证明的基本原理由科学出版社出版，这部专 著建立了各类几何的机械化定理，阐明几何定理机械化证明的基本原理1 9 8 5 年，吴先生的论文关于 代数方程组的零点发表【17 1 ，具体讨论了多项式方程组所确定的零点集这篇重要文献，是正式建立 求解多元多项式方程组的吴文俊消元法的重要标志自此“吴方法”宣告诞生，数学机械化研究揭开新 的一页“m c c a r t h y 程序验证奖”得主j s m o o r e 认为，吴先生的工作“不仅奠定了自动推理研究的 基础，而且给出了衡量其它推理方法的明确标准”；。在吴方法建立以前，定理机器证明的研究处于一 片茫然之中，吴不仅冲破了这种沉寂的局面，而且带来了极为光明的前景” 1 9 8 9 年在r i t t 1 8 j 等人工作的基础上，吴先生将吴代数消元法的思想推广到微分情形，创立了 吴微分消无法( 19 】，提出了吴微分特征列的概念，完善和发展了特征集理论高小山研究员、张景中 3 一类非线性发展方程的非行渡解的构造 院士、周成青教授【2 0 j 【2 4 1 合作提出了基于几何不变量的“消点法”，实现了自动生成几何定理可 读证明这一目标依据这一方法编制的程序已经用于证明了数百条定理这一工作被认为是五十年 g e r l e n t n e r 的经典工作及七十年代吴方法以来这一领域又一重要进展美国数学会“自动定理证明成 就奖”及“jm a c a r t h e y 程序验证奖”得主b o y e r 称，泫工作“是自( 五十年代) s l a g l e 与m o s e s 符号 积分程序以来自动推理界最重要的件单独的事情”该工作“在使计算机象具有算术天才那样具有 几何天才这一不可避免的过程中将是一座里程碑”自动推理届权成l o v e l a n d 在a im a g a z i n e 的文章 中将这一工作列为近年来自动推理界“重要进展”的第一项，称“在几何中证明有意义的定理并给出 可读证明【g e l e n t n e r 五十年代的重要工作) ”近年来才由周咸青，高小青，张景中的几何定理证明器超 过”在几何自动推理方面，他们提出了微分几何的自动定理证明的新方法，所编程序自动证明了上百 个定理并发现了新结果 王东明研究员、高小山研究员等2 5 2 6 1 研究用吴方法证明构造型定理与轨迹求解问题；林东岱 研究员、刘卓军研究员 2 7 】将吴方法推广到有限几何；高小山研究员等人【2 8 】研究用是一r i t t 分解算 法证明定理；李洪波研究员、程民德教授【2 9 提出了基于c l i f f o r d 代数与吴方法的向量算法，这算 法不仅可以用来证明初等几何定理，还可以证明微分几何中的定理石赫研究员f 3 0 】利用吴代数方法， 研究了著名的y a n g - b a x t e r 方程的解的问题王世坤研究员、吴可研究员【3 1 】将吴方法应用于研究 y a n g - b m x t e r 型的解的结构问题 此外，吴方法还有许多重要的应用李志斌教授和他的学生基于t m l h 函数方法和椭圆函数展开 法在m a p l e6 平台上编制了计算孤子方程精确解( 孤波解、双周期解) 的软件包r a t h 【3 2 】近年来，范 恩贵3 3 1 教授在这方面也做了大量的工作，受到国内外同行的广泛关注他推广了t a n h 的方法，椭圆 函数展j f 法和一个广义的代数方法，借助于计算机并利用吴方法得到丁很多方程的精确孤渡锵闰振 亚博士f 34 1 基于两种r i c c a t i 方程，提出了求解非线性发展方程的更为有效的算法，以此为基础并应用 吴代数消元法，郑学东硕士【35 】编制了m a p l e 软件包朝鲁教授将吴微分特征列法( 是微分消元法) 应 用于微分方程对称计算，取得了很好的结果 近年来，张鸿庆教授及其课题组成员在微分代数方程的代数化和机械化方面做了大量的工作 3 6 】【4 2 张鸿庆教授早在1 9 7 8 年，将代数化的思想引人了微分方程中，给出了具体的代数化算法，解决了大量 力学中方程组的解的恰当性问题随后，证明了非齐次线性算子方程组a u = ，的一般解为”= c 十e ， 其中”满足方程组d = g ，d 是对角矩阵，用代数方法给出了c ，d ，e 的具体构造方法用此方法可 “给出各种弹性力学位移函数和应力函数的机械化算法，构造数学物理中一系列方程的一般解谢福 鼎博士f 4 3 1 利用吴微分特征列理论研究丁”c d ”对框架下，线性偏微分方程组的完备性 计算机代数( c o m p u t e ra l g e b r a 或s y m b o l i ca n da l g e b r ac o m p u t a t i o n ) 兴起于上世纪6 0 年代初， 是介于计算机，数学与人工智能之间的- - f l 边缘学科计算机代数的主要研究内容是计算机上数学公 式演绎的算法和系统应用其发展，大致可分为以下几个阶段f 44 ： 1 2 0 世纪6 0 年代：发展初期，着重于多项式算术，积分方法； 2 2 0 世纪7 0 年代；诞生了m a c s y m a ，r e d u c c ，以及用于抽象域的s c r a t c h p a d i h 4 大连理工大学硕士学他论丈 3 2 0 世纪8 0 年代：多项式时间方法，因式分解等的研究，m a p l e 与m a t h e m a t i c a 相续发布 42 0 世纪9 0 年代：微积分，数学的w e b 发布，黑箱符号对象； 5 本世纪初：符号计算，数值计算几何，组合与逻辑范例的融合 计算机代数的主要功能在于：在计算机上以符号形式进行运算，实现公式的机器推演如果和初 等数学相比，寻常的数值计算可比拟为数值计算，而符号计算可比拟为代数运算( 故有计算机代数之 说) 前者只适合于个例分析，后者的结果则具有普遍性由于计算机代替丁人上的推导，演算速度成 千万倍地增加，使得原来令人望而生畏的复杂计算变得简易快洁在最初的十几年间，计算机代数也 被叫做：符号与代数计算、公式处理、机器代数等于是在1 9 7 9 年，美国加州理工学院的e e g 教授 统一了计算机代数的名称和定义：“计算机代数是- - i 3 利用数学、计算机进行代数和解析处理或操作 的学科”1 9 8 2 年，德国卡尔斯鲁厄大学的r l o o s e 教授又进行了进一步的拓广和补充：叶竹 机代 数是殴计、分析、改造和应用代数算法的计算机科学分支”计算机代数的最早出现公认以1 9 6 0 年美 国麻省理工学院的m c c a r t h y 推出的l i s p 语言为标志在随后的十几年问，计算机代数的发展引起了 国际计算机科学界的重视美国的计算机协会组织了符号与代数处理专业组( s p e c i a li n t e r e s tg r o u p o i ls y m b o l i ca n da l g e b r a i cm a n i p u l a t i o n ，简称s i g s a m ) ，其成员遍布世界3 0 多个国家这个国际组 织每两年召开一次国际会议( 简称i s s a c ) ，专门交流计算机代数方面的研究成果西欧各国计算机 工作者组织了欧洲符譬和代数处理专业委虽会( s y m b o l i ca n da l g e b r a i cm a n i p u l a t i o no f e u r o p e a n ，简 称s a m e ) ，定期召开简称a a e c c 的国际会议这两大组织还分别创办了计算机代数刊物s i g a m b u l i c t i n 和j o u r n a lo fs y m b o l i cc o m p u t a t i o n 这些学术活动大大地推动了计算机代数的发展 在过去的三十几年问，计算机代数取得了诸多的成就1 4 5 r i s c h 【4 6 】证明了：数学函数在闭形式下 的积分问题是可判定的b e r l e k a m p 【47 】给出了有效分解多项式( 模一个大素数) 的随机化算法因为 多项式的系数域的不同，这时需要给出一个更一般的算法在上个世纪的七十年代的早期，b e r l e k a m p 给出了这个代数算法在抽象代数域上的更一般的程序b r o w n 4 8 1 给出了新的有效的多元多项式最大 公因子的符号计算方法o o s p e r 4 9 l 对于无限超几何给出了个精巧的算法稀疏多元多项式的差补 算法 4 4 】( 其中一部分是基于修正误差码的) 已经变成了在计算黑匣子多项式中的基本工具，1 9 9 5 年， s h o u p 5 0 】在修改了由k a l t o f e n s h o u p 给出的关于一元多项式( 系效在有限域上) 的分解算法后，使 这个算法更加实用化特别是在上个世纪的9 0 年代，借助于一些符号计算软件工具，计算机代数的发 展更加迅猛，而且不断地应用到其他领域，如高能物理、天体力学、广义相对论、电子光学、分子物理、 自动化、航空学、生物学和化学等等 1 3求解非线性演化方程的若干方法 与线性系统不一样，对于非线性系统没有统一的求解方法，常常是对于不同的具体问题采用不同 的研究手段多年以来，寻找非线性演化方程的解是一个非常古老而且很重要的课题有时为很准确 地研究物体变化的性质，我们需要寻求其对应方程的精确解自从k o r t c w e g 和他的博士生d ev r i e s 5 类非线性发展方程的非行波解的构造 提出k d v 方程并获得其精确解以来，一大批非线性方程解的构造引起了人们的极大兴趣但由于非 线性偏微分方程自身的复杂性，用现有的方法无法求出其非平凡解，即使获得了方程的精确解，也只 是少数的一些解，无法求出其全部解，并且对不同类型的方程，用的方法可能也不一样，至今还没有 任何一种方法可以囊括四海，包罗万象正如k l e i n 所说：微分方程求解只是技巧的汇编值得庆幸 的是，经过数学家和物理学家们的不断努力，发现了孤立子理论中蕴藏着一系列构造精确解的有效方 法，如反散射方法、b a e k l u n d 变换法、d a r b o u x 变换法、齐次平衡法、p a i n l e v e 奇性分析法等等随着 各种求解方法的出现，不但过去难于求解的方程得到解决，而且新的、具有重要物理意义的解不断被 发现和应用，出现了一个屡出不穷的势头限1 二篇幅问题，下面仅对几个常见的方法作简单介绍，而 对其它方法不作任何解释，有兴趣的读者可查阅文献了解具体的内容 1 反散射方法 反散射方法【5 1 】，由于求解过程中用到f o u r i e r 变换及逆变换，叉称为非线性f o u r i e r 变换法反散 射方法是当前求解可积非线性系统的重要方法，它的基本思想是将这类非线性间题通过常微分算子与 本征值转化为线性问题来求解。1 9 6 7 年，姗德纳( csg a r d n e r ) 等人( 简称g g k m ) 【5 2 在研究k d v 方程时，利用量子力学中s c h r o d i n g e r 方程的反散射论证( 正散射问题和反散射问题) 将k d v 方程的 初值问题转化为三个求解线性方程的问题，得到了孤子解，这种处理问题的方法称为反散射法由 于求解过程用到f o u r i e r 变换及逆变换，有时浚方法也被称为f o u r i e r 变换法1 9 6 8 年pdr “【5 3 】分 析rg g k m 用于求解k d v 方程初值问题的上述思想，整理提出了用反散射方法求解其它偏微分方 程( p d e ) 的更一般的框架，同时指出，用反散射方法求解p d e 的前提是找到该方程的l a x 表示( l a x 对) 1 9 7 2 年，z a k h a r o v 和s h a b a t 利用l a x 的思想，用反散射方法求解非线性s e h r o d i n g e r 方程， 第一次用实例证明了反散射方法的更一般性。1 9 7 2 年，w a d a t i 5 4 】用类似方法求解了m k d v 方程 1 9 7 3 年，a b l c m , i t z ，k a u p ，n e w e l l 和s e g u r 5 5 1 编制了用反散射方法求解大批偏微分方程的软件包 1 9 7 5 年，w a h l p u i s t 和e s t a b r o o k 5 6 提出了含有两个非线性p d e 的延拓结构法该方法的一个重要 应用是：借助l i e 代数，可以得到方程的l a x 表示，这为用反散射方法求解方程提供了必要条件但 是，用w - e 方法求解太复杂利用陆启铿教授建立的非线性联络理论，郭汉英教授等人简化了w - e 方法，完整地建立了非线性方程主延拓结构的理论和方法李翊神教授、屠规彰教授【5 7 】为发展这一 方法做了很好的工作反散射方法的出现不但对应用技术提供了崭新的方法和概念，而且对数学自身 的发展有着深远的影响 2 对称与微分方程约化 1 9 世纪后期，挪威数学家s o p h u sl i e 【5 8 】受a b e l 和g a l o i s 处理代数方程组的启发，为了统一 和拓展常微分方程的各种不同的方法，引进了连续群的概念这种连续群后来被称为l i e 群，也称不 变群和对称群l i e 证明了：一个常微分方程如果在点变换的单参数李群的作用下保持不变，则其阶 数可以降一阶 1 9 0 5 年，著名的法国数学家p o i n c a r c 首次证明了l o r e n t z 变换构成m a x w e l l 方程的对称群，并且 由这个变换，m a x w e l l 方程在该变换下保持不变1 9 5 8 年，l i e 群的研究进入了新的发展时期，主要由 6 大连理工大学硕士学位论文 于前苏联数学家o v s i n n i o v v e n i k o v 等【5 9 6 0 】为代表的出色工作1 9 6 9 年，b l u m a n 和c o l e 【6 1 j 推广 丁l i e 群方法，提出了非经典的l i e 群方法( 即条件对称，或第一型的对称) 1 9 7 7 年，o l v e r 【6 2 证明 了如何递推算子来获得偏微分方程的无穷多个对称1 9 8 0 年，o l v c r 6 3 】又发现k d v 方程存在以方 程的解u 及自变量( e ) 组合成的两个对称1 9 8 1 年，1 9 8 2 年，f a k e s ，i m c h s s e i n e r 和c h e n 等人 6 4 】 分别利用不动点方程得到了k d v 方程更多解对称及新的对称和l i e 代数结构李翊神教授，田畴教授 等人【6 5 系统地研究了很多发展方程的对称强对称，遗传对称及其l i e 代数结构，获得了一系列重要 研究成果 1 9 8 9 年，c l a r k s o n 和k r u s k a l 【66 提出了约化微分方程的直接法，浚方法没有用到群论思想，且简 单，将此方法直接应用于b o u s s i n e s q 方程时，发现了新的对称约化，而l i e 群方法的结果只是直接法 的特殊情形1 9 9 0 年，楼森岳教授【6 了】完善了这种方方法，并且推广到( 2 + 1 ) 维k p 方程中，获得了 各种新的相似解1 9 9 2 年，n u c c i 和c l a r k s o n 【6 8 j 给出一个反例，用以说明直接法并非一般的方法对 f i z h n g h 。n a g n m o 方程，用非经典l i c 群法获得的相似解、而用直接法不能获得 虽然l i e 对称理论的应用十分广泛，但其计算繁琐复杂，仅凭纸笔，即使计算一个简单的偏微分方 程的对称，也需要耗费大量时间，而且容易出错因此，寻求计算对称的可行高效的机械化算法显得尤 为重要朝鲁教授1 69 】首次将吴微分特征列法应用于对称计算，从理论上克服了传统l i e 算法的缺陷 避免了对称确定方程组计算中可能出现的无穷循环，同时有效解决了确定方程组的求解问题到目前 为止，国外已经发展了不少计算古典对称的软件包7 0 1 ，国内朝鲁教授编制了计算古典对称的m a t h e - m a t i c a 软件包7 1 1 但对于非古典对称，有关的软件包还较少，且不够完善主要原因是非古典对称算 法本身不够完善最近，吕卓生博士【7 2 】在考虑微分方程的对称时，提出了一个按序信息反馈算法，有 效克服r 古典、非古典对称确定方程组汁算过程中出现的中间表达式彩胀的问题，提高了对称计算的 效率，根据该算法并结合文献69 1 关十非古典对称的算法，编制了软件包l 1 e s y m l i e s y m 具有适用 范围广、效率高、输人数据简单的特点，同时克服了非古典对称计算中容易出现的无穷循环问题 1 8 8 5 年，瑞典几何学家b a e k l u n d 在研究负曲率曲面时，发现s h i n - g o r d o n 方程 e = 筹。 s 。， 其中n 是参数这就是著名的b a c k l u n d 变换其特点是：已知s i n e - g o r d o n 方程的一个解解上述 蝴= 4a m a n ( 詈等t ”坐 丝) + 蛳( 13 3 ) 一类非线性发展方程的非行波解的构造 这样，如果已知方程( 131 ) 的三个解u o ，u 和1 c 2 ，就可以通过叠加公式求得新解“3 ，而不必再求解 方程组( 132 ) 阻l o 】b a c k l u n d 变换当时并没有引起人们的足够重视在被冷落了近自- 年以后，到了2 0 1 址纪6 0 年代，由r 非线性光学和出体位错等许多领域的研究都和s i n e - g o r d o n 方程有关，这个变换才 重新受到重视1 9 7 3 年，w a h l q u i s t 和e s t a b l o o k 发现k d v 方程也具有类似的b a c k l u n d 变换1 9 7 6 他 们提出了求解非线性方程的b a c k