（计算数学专业论文）hbézier曲线的理论及应用研究.pdf

论文题目：h b 6 z i e r 曲线的理论及应用研究 专业：计算数学 硕士生：王媛( 签名) 指导教师：康宝生( 签名) 摘要 b 6 z i e r 曲线曲面、b 样条曲线曲面以及n u l s 曲线蛙面在计算机辅助几何 设计和计算机图形学中有着非常重要的地位，但其明显不足是不能精确表示诸如 悬链线悬链面、螺线螺面等工程中常见的超越曲线曲面。鉴于此，本文就代数 双曲混合空间l = 掣，f 2 ，”2 ，s i n h ，h ，) 中的类超越曲线进行了研究，其 主要工作如下； 1 采用递归积分方法构造了代数双曲混合函数空间l = 印w ”，f 2 ，f ， s i r i l l ，c o s h n 中的一组基函数慨。( f ) 岛，r e 【o ，a 1 ，称之为h - b 6 z i e r 基。h - b 6 z i e r 基函数具有类似于b e m s t e 访基函数的性质，如端点性质、正性、对称性等，并 且当日_ o 时，基函数收敛于b e m s t e i n 基函数。 2 基丁所构造的h b i e r 基函数定义了h b z i e r 曲线，讨论了h b 6 2 i e r 曲线的几何性质，如端点插值性、几何不变性、凸包性、变差缩减性等几何性质。 h - b 6 z i e r 曲线，既保留了b 6 z i e r 曲线和b 样条曲线的几何特征，又弥补了它们 的一些缺陷。作为h b 6 z i e r 曲线的应用，给出了悬链线的精确h l b i e r 表示。 3 给出了i 次和四次h b z j e r 曲线的离散算法，证明离散算法的收敛性。 在此基础上，证明了三次和四次h b 6 z i e r 曲线的凸包性和变羞缩减性。 4 鉴于用单一的段h b 6 z i e r 曲线难以满足表示和设计复杂自由曲线的需 求，讨论了三次m b 6 z j e r 断线g 1 、6 2 连续拼接条件，所给的连续拼接简单、直 观日几何意义明确。 5 研究了h b e z i e r 曲线的形状修改问题，给出h b z i e r 曲线修形的两种方 法：修改控制参数口和修改控制顶点。基于h b z i e r 速端曲线特性的分析，讨 论了控制参数对曲线形状的影响。 6 分析了三次h b 6 z i e r 曲线的奇拐点分布，并以这些点为特征对此线作了 形状分类。这些结果可用于检测奇拐点，也可用在曲线的光顺插值中避免或排除 多余奇拐点。 关键词th - b 6 z i e r 曲线，离散，拼接，形状修改 i i m a s t e rd e g r e ed i s s e r t a t i o n o nt h et h e o r ya n d a p p h c a t i o no fh b 正z i e rc u r v e s w a n g y h a n ( d 印a n m e n t o f m 啦e l t 城五c s ，n o m 州e 叶u n j v 郴咄) 【i 阻7 1 0 0 6 9 ) s u p e n r i s o r ：p r o f 量乙气n gb a o s h e n g a b s t r a c t b 6 z i e b s p l i n e 明dm e i rr a t i o n a lm o d e l sp l a y 蛐i m p o n a n tr o l e si no 山c a m i u tn l e s em o d e l ss h a wo b v i o u ss h o n c o n l i n g s ，s u c ha sn o 部啪唧粘s i n gt 船n s c e n d e n t c u 冉e s ，e 。g t h ec a t e n a t h eh y p e f b o l a ，也eh ) r p e r b o l i cs p 诚l ，e t c s o 廿1 i s 恤s i s i n v e s t i g a t eah n do f 仃a 血s c e n d 印t r v e si nt l l es p 卵eo f 也ec o m p o s 沁o f a l g e b 豫柚d h y p e f b o i a l = 印册 1 ，f ，一，r 柚，g i n h ，c o s l lr ) ，t h em a j o rw o r k sa r e 黯f b l l o w s ： f j r s t i y an e wb 雒i s “( f ) 岛o f 廿l es p a c e l = 驴删 l ，f ，f 2 ，- ，f ，s i n h ，c o b h ， i s c o n s t m c t e d t h i sn e wb 勰i sp r 0 v i d e sp 州i e sa n a l o g o u st ob e m s t e i n b 髂i s ， i n c l u d i n ge n d p o i mp r o p e r c y ，p o s i t i v j t y s ”m n e t 哆，n o n l l a l i z 砒i o n ，毗。 s e c o n d l y ，b a s e do nm eb a s i s ，an e w 轴n do fc u r v e sc a l l e dh b 6 z i 盯c u r v ei s d e f i n e d a c c o r d i n gt op m p e r t i e so ft h eb a s i s ，h b 6 z i e rc u r v e sa r ee n d o w e dw i t h g e o m c t r i cp r 印e t t i e si n c l u d i n gj n t e r l ) o l a t 岫ga te n d p o i n t s ，g e 啪e m ci n v 嘶a b m 吼 c o n v e xh u l l ，e t c h _ b 亡z i e r b 器i s 锄dh - b 6 z i e rc u n r e sn o to n l yi l l 量l e m9 0 0 d g e o m e t “c p r o p e n i e so fb 6 z i e ra n db - s p l i n em o d e l s ，b u ta l s oc o n q u e rs o m ed r 沌a c k so ft 重l 鼯e m o d e l s t h i r d l y ，t w os u b d i v i s i o na l g o r i t h m sf o rh b 6 z i e rc u r v e so f d e g r e et l r e ea 1 1 df b l l r a r ep r e s e n t e d f u r n l e 瑚o r e ，i ti sp m v 酣t h a tt h ec o n h dp o l y g o n sg e n e r a t e db yt h e s u b d i v i s i o nc o n v e r g et ot h e 洲百n a lh - b 6 z i e rc u n ，e s s o m ei m p o n a m p r o p e 而e sa r e p m v e df o rh b z i e rc u r v e s ，s u c h勰 c o n v e x i 可p r e s e r v i n ga n d t h ev a r i a t i o n d i m i n i s h i n gp r o p e r t i e s f o u 吡l y ，g 1 柚dg 2c o n t i n u o 啪c o n d i t i o n so fh b 6 z i e rc u r v e sa r ep r e s e m e d 1 1 1 e g i v e nc o n 血u o l l sc o n d i t i o n sa r es i m p k ，v i s u a l 锄dh a v eo b v i o u sg e o m e 仃i cs s e f i r l l l y t v 旧m e t h o d so fc h 蛐萄n g 也ec o n t r o lp 盯锄e t 盯口柚dc h 锄西n gc o n 舡d l l p o i n t sa r ep r e s 皿t e df o rt h es h a p em o d i f i c a t i o no fh b 6 z i e r 叫、，e s t h er e l a t i o n b e t w nh b 6 z i e rc u r v e s 粕d 也ec o n t r o lp a m m e t e r 口i so b 诅i n e db 嬲e do nt h e 锄a l y s i so f t l l ed e r i v 砒i v ch - b 包i e rb a s i s a l s o ，t l l ew a yo f m o d i f y i n gt h es h 印eb yt h e a d j u s 协l e mo f 口 i s i n 仃) d u c e d f u r t h c n n o r c ，t h ea l g o “t h mo fs h 8 p ec o n 朝r o lb y m o d i f n gc o 咖lp o i n t si sg i v e nr e p l y m go n l em o d e lb e t w e e nt l l es h 印eo fm e c u r v e 醐dc o n 圩o lp o i n t s l a s t i y ，1 1 1 ec o n d “i o n sl e a d i n gt 0p o i n t so fi n f l e x i o na i l ds i n g t l l a r i t yf o rn l e s e c u r v e sa r ed i s c i l s s e d a c c o r d i n gt ot l l ei n f l 畦o np o i n t s 锄ds i l l g u l a r i t i e s ，t l l es h a p e c l a s s i 行c a t i o no f 也e s ec u r v e si sg i v e n t h er e 锄n sc 粕b eu s e dt oi d e n 虹母i n n e c t i o n p o i n t s 龇ds i i l g u l 撕t i e s 锄dt oa v o i do rr e m o v ei n f l e c t i o np o i i l 扭粕ds i n g i l l a d 6 e si n 惋i r i n gc u e s k e y w o r d s ：h b 6 z i s u b d i v i s i o n ，c o n t i n u 吼s h a p em o d i 6 c a t i o n v 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期 间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并向国家有关部门或机 构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。学校可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等 复制手段保存和汇编本学位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课 题再撰写的文章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：曼萄己 指导教师签名力辱。沈 ，衫年f 月 口日喇年彳月多日 西北大学学位论文独创性声明 本入声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 主凌 翮年石窍，o 鼠 第一章绪论 1 1 研究背景 c a d c a m 系统中最基本的问题是曲线曲面的设计和表示。b 6 z i e r 模型是最 基本的造型工具，设计者可以通过调整控制多边形来调整曲线形状，非常直观和 方便，而且d ec a s t e l j a u 算法对控制多边形递归割角几何意义明确，算法快速， 再加上其良好的凸包性和保形性使得它在曲线曲面造型设计和表示中得到广泛 的应用。不过随着控制多边形顶点增加，相应的基函数_ b e m s t a i n 基函数 次数增加，而且b 6 z i e r 曲线上任一点都与控制多边形的所有顶点相关，因此对控 制多边形的任何修改都会影响到曲线的整体情况，没有局部可调性。b 样条模型 可以弥补这一缺点，而且保留了b 6 z i e r 模型的几何性质，在形状设计上更加方便。 但是，b 包i e r 曲线和b 样条曲线都是多项式形式的曲线。不能精确表示初等二次 曲线。为此，v e r 州l l e 于1 9 7 5 年提出了有理b 样条方法。在lp i e g l 和w 丁i l h 2 】等人的努力下，于八十年代后期发展成为广为使用的非均匀有理b 样条 ( n u i m s ) 技术。 现在，n u i m s 模型已经是c a d c a m 系统中曲线曲面表示的基础。早在1 9 9 1 年，国际标准化组织就将其作为工业产品数据交换的s t e p 标准中定义自由曲线 曲面的惟一数学方法f 3 】。n 1 r b s 方法将有理和非有理b 杨e r 曲线曲面、b 样条 曲线曲面及圆锥曲线和初等二次曲面统一在一种表示之中，基本满足当前工业设 计的需求。但是，n u r b s 模型在形状设计和分析中依然存在局限性，例如： ( 1 ) n u r b s 曲线蓝面求导非常麻烦，次数太高。对 阶n u r b s 曲线求导， 其导矢曲线的次数几乎增加一倍，如果反复求导则其高阶导矢曲线的次数快速上 升。次数越高，越容易导致数值计算的不稳定。此外，有理曲线曲面界的估计比 较困难； ( 2 ) n u r b s 曲线曲面表示形状时除了控制顶点外，还需要额外的参数，即 每一个控制顶点处的权因二r ，而人们对于权因子的选取以及它们对形状的影响还 不是非常清楚。 ( 3 ) n u r b s 模型中的基函数是分段有理多项式形式，尽管其进行参数化后 可以精确表示圆锥曲线，但是不能精确表示如悬链线、指数曲线等超越曲线，只 能逼近。而超越曲线在工业设计等领域中应用十分广泛。 有关n u r b s 技术的其他局限性，f 积n 【4 】，p i e 垂 5 1 和em a i n 0 6 1 给出了较为 详尽的讨论。 为了保持m m b s 技术的优点，克服其缺点，许多学者提出了曲线、曲面造 型的新方法。a r d e s h i rg o s h 协s b y i 司提出了有理g a u s s i 赫曲线、曲面；g 亡f a i d i i l e m o 南f 孵提出了p o i s s o n 曲线、曲面；吕勇刚、汪国昭【1 ”1 ”提出了均匀三角多项式 b 样条曲线和均匀h y p e r b o l i c 多项式b 样条曲线：韩旭里【1 2 1 提出二次三角多项 式i i 线；陈秦玉提出了b 6 z i e r - l i k e 曲线。另外，还有一些学者将b 样条曲线 的某些多项式项用非多项式项来代替而得到，如p o t 曲a n n 【1 哪给出的张量形式的 指数样条和张纪文【1 州6 】给出的c b 样条等。 然而，上述额的曲线、曲面方法都只是或多或少地继承了传统曲线、曲面方 法的部分优点，且构造模型的方法没有理论支持可循，更多的是个人的天才与智 慧。为了真正继承传统曲线、曲面模型的优点，克服其缺点，扩大基函数的表示 范围，em a i n a r 和jmc a m i c e r 【6 t 卜嘲等人引入了规范b 基，建立了规范b 基理 论。规范b 基即最优规范的全正基，因其具有凸包性、仿射不变性、最优保形 性、端点插值性及b 算法等重要性质，在c a g d 中具有重要的作用。c a g d 中 广泛使用的表示曲线的基函数，如b e m s t e i n 基、b 样条基、n u r b s 基等均为规 范b 基。e m a i n a r 和j m c a m i c e r 将传统的曲线、曲面模型统一一在规范b 基理论 框架之内，这对新的曲线、曲面模型的建立，提供了重要的理论支持1 1 2 研究现状 规范b 基的研究及应用始于jmc 珊i c e r 、jmp e 矗a 、js 缸c h e z - r e y c s 和e m a i n a r 的开创性工作。j m c a m i c e f 和j m p e 蹦。7 1 提出了b 摹的概念：e m a n a r 和jmp e a 旧给出了b 算法和b 基的构造方法，并对b 基的应用进行了探索；e m a i n a r 、jmp e 矗a 和js 矗1 1 c h e z r e y e s 给出了寻找b 基的实用方法，推动了b 基的广泛应用。 如果将c a g d 中曲线曲面模型的发展统一在规范b 基理论下，图1 1 便可 说明这一情况。 代 数 多 项 式 空 间 规范b 基 多项式函数空间 非 代 数 多 项 式 空 间 前 两 者 混 口 空 间 代 数 多 项 式 样 条 空 间 样条函数空问 非 代 数 多 项 式 样 条 空 间 前 两 者 混 台 空 间 有理函数空间 代 数 多 项 式 有 理 空 间 前 两 者 混 合 空 间 图1 1 规范b 基的研究现状 由图1 1 可知，代数多项式函数空间的规范b 基就是b 啪s t e i l l 基；样条函 数空间的规范b 基就是b 样条基；有理样条函数空间的规范b 基就是n u r b s 基。js 抽c h e 弘r e y e s 给出了三角多项式空间中的规范b 基【1 9 j ，但这些基不能用 以构造自由的多项式曲线；em a i n “1 8 1 和张纪文给出了四维代数和三角混合多 项式空间p j = 妒册 l ，r ，c o s s i n f j 中的规范b 基( 即c - b 6 z i e r 基) ：em a i n 缸和 j m p e a f 2 钟给出了代数和三角混合样条空间j y = 印口 l ，f ，c o s s i n 咛的规范b 基。 在空间 l r ，r 2 ，“，s i nr ，c f ) 中，陈秦玉等人深入研究并提出了此空间中的规 范b 基，吕勇刚等人则提出了此空间中的均匀高阶三角多项式b 样条，汪国 昭等人又构造出了此空问中的非均匀代数i 角b 样条；在空间 ，r ：，一，s i n h f ，c o s h ， 中，吕勇刚等人构造了高阶均匀双曲多项式b 样条， 并利用4 阶均匀双曲多项式b 样条曲线精确表示了一支双曲线与悬链线。 凶此，进步的工作将是继续完成混合多项式空间中规范b 基的建立，以 及有理函数空间中规范b 基的构造，包扦有理j 角多项式样条空间和有理代数 非代数多项式有理空问 多项式样条与有理j 角样条多项式混合空间中规范b 基的建立等a 1 3 本文研究内容与安排 众所周知，悬链线等是工程应用中比较常见的超越曲线。对其表示和性质的 研究前人已经开展了不少。但以前人们对其只能进行参数表示，这种表示缺乏精 确性，不便于实际应用。由于规范b 基不仅继承了传统曲线、曲面模型的优点， 而且可以在更大范围内表示曲线、曲面，包括悬链线和指数曲线这类超越型曲线。 因此，研究代数双曲混合的空间l = 印m ”，f2 ，f ”2 ，s i n hr ，c o s h ， 中规范b 基 ( ”。( f ) 的构造，以及分析该组基及所生成曲线的性质具有十分重要的理论意义 和应用价值。 本文在分析、研究相关文献资料的基础 ：，主要针对代数双曲混合多项式空 间作了以下几方面的工作： 1 构造了代数双曲混合的空间l = 5 即 ”，2 ，f ”2 ，s i n hr ，c o s h f 中的一组基 函数慨。( f ) 岛，并通过这组基定义h b 6 z i e f 曲线，分析该组基及所生成曲线的性 质，给出在此空间中悬链线的精确表示。 2 给出了平面h b 6 z i c r 曲线的中点离散算法以及达到一阶几何连续拼接的 条件。 3 。针对h b z i 盯曲线的形状控制进行研究和分析，提出通过修改控制参数 和控制顶点来改变h b 6 z i e r 曲线形状的两种有效方法。并分析了h _ b 缸i e r 曲线 的奇拐点分布情况。 全文共分六章。第一章是本文的绪论，简要介绍了研究背景、研究状况及本 文的研究内容与安排。第二章综述了基本理论。第三章构造了h b 6 z i e r 基函数， 并给出其性质该组基及所生成曲线的性质，最后给出在此空间中悬链线的精确表 示。第四章给出了平面h b 6 z i e r 曲线的中点离散算法以及拼接。第五章讨论了 h b 6 z i e r 曲线的形状修改及其奇拐点分析。第六章对本文工作的技术等作出总 结，同时提出了进，+ 步的研究工作设想。 4 第二章规范b 基本理论 2 1 形状保形表示与规范b 基 在c a g d 中通过控制多边形定义曲线的方法一直是。一条主线。下面沿着这 一主线回顾如何找出具有最优保形表示的规范b 基。 控制多边形：如果给定空间孵中一点列磊，只，那么就定义一条曲线 p ( f ) = ( f ) ，f e ， 只，f - o ，n ，称为控制顶点，顺次连接形成的多边形叫做曲线，( ，) 的控制多边形。 对于基函数砷( f ) ，f = o ，”，通常要求它们非负且满足条件q ( r ) ；l ，即函数系 u = ( ，) 是规范的。一个规范的非负函数系通常称为调配函数系。 凸包性对于曲线设计来说f 分重要。对任何控制多边形，曲线总位于控制多 边形的凸包内。凸包性成立的充要条件是u 为一调配函数系。此外，对于调配函 数系，仿射不变性同样成立：计算皓线上的一个点然后再对这个点作仿射变换与 先对控制多边形作仿射变换然后再计算变换后撞线上的点的结果是一样的。 调配函数系具有凸包性和仿射不变性。那么如何判断一个函数系是调配函数 系呢? 除了用定义以外，下面再给出。个判断条件，这就要引入函数系的配置矩 阵的概念。 配置矩阵：给定一个定义在区间j e 虢上的函数系u = ( ，h ) ，u 在j 中关 于，o o 或d ；：l 对所有的f - o ， 成立。 命题2 2 5 如果是连续函数空间，令( 6 0 ，“) 是e c ( ，) 上的规范全正 基，则( ，屯) 是规范b 基的充要条件是 ，岛7 屯( ) 。o ，d ，骧岛o ) 7 q ( f ) ；o ，f o ，( 6 ) = o ，j = o ，一，一一1 一f 7 j o ，”( 2 t 2 - 3 ) 科卜+ ( 6 ) o 则，) 是研a ，棚中的b 基。 命题2 2 7 若( ，) 是仰+ i ) 维空间缈c c 一【五，习中的b 基，则 ”f ：! ：= ：，? = ：，一一i ，；= o ，。2 2 4 ， 【飞6 ) = o ，= o ，”一1 一f ”“ “。1 若要求是规范b 基，还应满足条件 窆“j ( “) ：0 窆雌，( 6 ) ：。，i l ，。 ( 2 2 5 ) f 哪 ? = o 规范b 基具有以下重要性质 ( 1 ) 凸包性； ( 2 ) 仿射不变性； ( 3 ) 最优保形性； ( 4 ) 端点插值性； ( 5 ) 边界切性； ( 6 ) b 算法。 性质( 1 ) 和( 2 ) 由调配函数的性质保证，性质( 3 ) 则由命题2 2 2 保证。 2 3 规范b 基的b 算法 规范b 基都有b 算法，它是一种类似于d ec 豁t e u a u 算法的割角算法，具有 分割和求值的性质。 已经知道，全正矩阵的乘积还是全正矩阵。全正矩阵可以分解为若干个两对 角非负矩阵的乘积。一个非奇异的s t o c h a s t i c 全正矩阵可以分解为l u ，l ( u ) 是 非奇异的s t o c h a s t i c 下( 上) 三角全正矩阵。另外，浙+ 1 ) 咖+ j ) 非奇异的下( 上) 三角s t o c h a s t i c 矩阵l ( u ) 可以惟一地分解为两对角s t o c h a s l i c 矩阵的乘积。 定理2 3 1 【2 2 1 设l ( u ) 是非奇异s t o c h a 嘶c 下( 上) 三角全正矩阵，则 + 1 ) ( m + 1 ) 的非奇异下三角s t o c h 鹪t i c 矩阵l 可以惟一的分解为两对角 s t o c h 嬲t i c 矩阵的乘积l = l 。l ，l 。，其中 l ，= l o1 0i 妒1 一妒 璎。j 一戢。 类似地，一个非奇异上三角s t o c h a s t i c 矩阵u 亦可惟一的分解为两对角 s t o c h a s t i c 矩阵的乘积u = u u ，u o ，其中 u ，= “怂l 一“2 o1o 10 l ，= 0 ，1 ，晰一l ( 2 3 2 ) 定义2 3 1 一个基本割角是一个变换，它将任一多边形晶只变换成另一个 多边形岛巩。变换定义如下 乃= t ，f ，嚣= ( 1 一五) 只+ 五只+ l ，f e o ，”一1 ) ，o a o 珥n ( 6 ) = o ，= o ， ”：舯( 6 ) o 则( ，) ，就是矿( ，) 中的一组b 基。 ，f = o ，” 方法4 避免了全正基的假设，b 基可以由计算得到。 2 5 本章小结 引入规范b 基的日的就是希望能在其它函数空间中找到一组规范b 基，使 其尽可能表示包括多项式曲线、有理曲线和超越曲线等在内的各类曲线，弥补 n u r 8 s 方法不能表示超越曲线的缺点。 本章系统介绍后面章节中所要涉及基础知识。2 1 节介绍了规范b 基与形状 保形表示之间的关系。2 2 节介绍了规范b 基的性质。2 3 节介绍了规范b 基的b 算法。2 4 节同顾了规范b 基的几种构造方法。 第三章h - b 6 z i e r 基函数及其性质 3 1 空间r 中h b 6 z i e r 基的构造 首先在空间r = 印 s i l l l l f ，c o s h f 中初始化一组基 “o l ( r ) = s i n h 似一，) s i n h 口，”i l ( ，) = s i r i l l f s i l l h 啊f ( 0 ，卅 ( 3 1 1 ) 图3 1 表示口= 2 z 时所求得的初始基函数。 定义 令 图3 1d = 2 石所求得的初始基 = ( 胁t 瑚) = ( n 脚 “。2 ( f ) = 1 一f 磊1 “o l o ) 凼= ( c 。s h 懈一f ) 一1 ) ( c 。s h 盯一1 ) h ：( f ) = f 磊一。，o ) 凼一f 磊一( s ) 出= ( 1 一c o s h f + c 。s h 口一c o s h 船一，) ) ( c 。s h 口一1 ) 吒：( ，) = f 4 。( 5 ) 出= ( c 。s h h ) ( c 。s h 口一1 ) 则口= z 时所求得的基函数如图3 2 所示。 定义3 1 1 “( f ) ，2 ( f ) ，”2 2 【f ) 称为空间r 2 = 妒m l ，s i n hr ，c o s h ， 的h b z i e r 基函数。 4 叫，o， 、，j， 一 | | ，皋 | 菇厂卜泞lr峙i”小叫0；嘶0；嘎叫扣 ： ，t 。 ； 、 每一s ? j ； 。一；t l 、r “ 图3 2 口= 巩 = 2 时的h _ b i e r 基 用同样的方法，我们递归的定义函数空间 r 。= 妒口” 1 ，f ，2 ，f h ，s i l l l l f ，c o s h f ) ，”2 中的h b i e r 基函数 ”。( f ) ，“( r ) ，”。( r ) ： ( f ) = l f “帆。o 冲 h 。( f ) = f “。札，。胁一f 4 ，一。( s ) 田，f = l ，2 ， 扣) = f 乳。h ( s ) 出 其中铲( ( f ) 出) h b 包i e r 基函数具有和b e m s t e i n 基函数类似的许多性质。口= 以 ：3 时，由 递推公式( 3 1 2 ) 得到的基函数如图3 3 所示。 j 一i ” ”“ 5 ； 棼t ，、 ” ” ” 、 ，、 ，1 ，； 。 i t 。卜茹 ： ，# 矗宁 矧3 3 口= 万，”= 3 时的h b 晚i e r 基 3 2 空间l 中h b 6 z i e r 基的性质 性质3 2 1 端点性质。当”2 时，h b 6 z i e r 基函数满足下述端点条件： ( 1 ) “。( 0 ) = ”。陋) = 1 ( 2 ) “凹( o ) = ”芝( = o ，= o ，1 ，f 一1 ， = o ，l ，一， 一f 一1 ( 3 ) 螂( o ) = 4 4 磊，f = 1 ，2 ，h ( 3 _ 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 根据定义3 1 1 和式( 3 1 2 ) ，很容易证明式( 3 2 1 ) 、( 3 2 2 ) 和( 3 2 3 ) 。 性质3 2 2 线性无关性。函数组饥。( f ) 岛线性无关。 证明假设存在常数珥e9 l ，f = o ，l ，”，使得 巾) 竺窆呲脚：o 由帆。( ，) ) 的端点性质，求，( f ) 在卢。和忙口处的各阶导数，并令其为o ，得 ，( 0 ) = ，k ) = o 口0 = = o ，( 0 ) = 厂b ) = o 。q = 一。= o 依此类推，可得a ，= o ，f _ o ，l ，h ，因此伽，( f ) ) 笛线性无关。 为了判断。( f ) ) 函的正性，首先证明下面的引理。 n 一2 引理3 1 设，= 口s i n h ，+ 6 c o s h f + ，h 2 ，f 【d ，用，则当芦一口o 时，在 【口，闭上至多有一个零点。 证明假设，在【口，用上有”+ 1 个零点，根据r o l l e 定理，可知，”在( d ，卢) 上 有两个零点。 一2 因为，= a s i n h ，+ 6 c 。s h ，+ ，所以存在矿，使得 h ( f ) = 一s i n h ，+ 曰c o s hr = c s i n h ( ，+ 纠妒 而s i n h o + 妒) 在区间( d ，卢) 上至多有一个零点，这与假设矛盾。故当卢一口o 时， 在 d ，冈上至多有”个零点。 性质3 2 3 非负性。当口o 时 虬。( ，) 0 ，f 0 ，口】，f - 0 ，l ，n 证明对于任一h b 6 z i e r 基函数蜥。( f ) ，h 2 ，o s f s ”，由基函数的递推公式 ( 3 1 2 ) 可知，“。( ，) 在【o ，口】上有 个零点( 包括在左端点o 处的f 阶零点和右 端点口处”一f 阶零点) 。又由引理3 1 可推得机。( o 在( o ，口) 上没有零点。即就是 说，“。( r ) 在此区间上不变号。由式( 3 2 3 ) 知，”。( f ) 在区间( o ，口) 上是正的。 故，“。( o 在【o a 】上是非负的。 性质3 2 4 归一性。当r o ，d 】时 “。( ，) = 1 根据h b i e r 基函数的性质3 2 3 和性质3 2 4 可知，h b 6 z i e r 基是一个调配 函数系。 性质3 2 5 对称性。 “。( f ) = “。_ 。位一r ) ， o ，卅，f = o ，1 ， ( 3 2 4 ) 证明当”= 1 时，由h b 6 z i e r 基函数的定义，上式显然成立。 假设当一= t 上式成立，即“( ，) = 。似一f ) ，从而有 r 。“，t ( s ) 出= 一“一一s ) 出= r “，( s ) 凼= 硝一f “，p ) 出 令f = o ，可得喀“t = 4 p 因此，当”= 女+ 1 ，1 o 对式( 4 1 5 ) 两边同时求导，得 其中 s i n h 日一口 2 瓦忑万荪 口m ( f ， 略= 。t ， 印毋1 口冬f 蔓甜( 4 1 5 ) 馥回， 占g f 瑾( 4 1 6 ) 再对式( 4 1 6 ) 左边进行三次h b e z i e r 曲线的中点离散，可得 研 疗一 ( 4 s 。：l | i 田(4 ” 只 。 p 岱 西 ， 所以 即 所以 供= 5 如怂 ，岱i = s i n s i 硝= 蜴= 焉j 马= 西3 a 贾3 一f 盯 q ；= q 3 + ( 1 一 ) q 2 = 焉，a 己+ ( 1 一 ) 岛，3 p 2 = 呓3 a s 2 研= 也岛+ ( 旦手一 毛 q 2 + 生争口l = 缓拙+ f 半 也b 哦+ 半乱凹 = 配s 蟛= 竽绋+ 半g + 半鼢竽色 = 竽峨+ 土半乱凹+ ! 芋屯竭+ 警鸲 = 丛o ：1 一粤 d j3 吐4 = 勺4 一 l 一= 只 邑= 啊只+ b 3 b j 2 = 吃4 只+ 吒3 马+ 吒2 罡 j l = 4 只+ 吒3 b + 2 己+ 】鼻 s o = r | 以3 匠3 ” 等- ( 1 _ ) 筹 口一 ( “蚯 既 ， f l 毋 p 一 3 ” 饼 ， 屯酉 = b r 2 2 ：( 1 - ) 孚，1 4 = r 2 4 d i3鹕筹 铲”讹等一降舶 筹 旷”( 半m 等一半等 l 一如画。3 2 既 综上所述我们就得到了四次h b 6 z i e r 曲线p ( r ) = 印“( f ，口) ( 0 ，s 口) 经一 ，= 0 次中点细分后的新的控制多边形凰焉置：马 ( 品) 置s ：s ，墨，记为球置1 叫吲。新的 控制顶点如下 巧= 焉= 焉 牡即”等- p o ) 叫巩- 胃i + 去h - ( p l b ) + o a 。h ，( 马一只 舛碣碣+ 去h 碱旭圳+ ( 竿一 如) 扎( b 圳 + 竽鹕一b ) 叫矾喝咄+ 击 警枷- p 0 ) + 半圳 + 半( b 圳+ 竽如( p 4 一马) 砖呐铺+ 筹圳 州= s ：= j ，+ 击k - 岛，( b p 4 ) + o 一 慨，( 马一p 3 3 0 叫迅啦+ 毒阶z ( p 3 _ p 4 ) + ( 毕一 如 圳 + 半钆( ，i 一马) 爿= 只= 只 4 1 3 中点离散的收敛性 4 四次h b 6 z i e r 曲线p ( f ) = 只”。( r ，( o f 口) 经次中点细分后得到的新的 j o 控制多边形焉马鹄焉置( 晶) j ，5 ：最j ，记为 = 蜡丑1 砭爿。以r ) 经过中点细分后 的两段曲线可分别再进行中点细分，记这样得到的控制多边形为 彳：= 巧丑2 西只2 。依此类推，t 次中点细分后形成的多边形记为 4 = 焉群呓唠这样一。一：爿。形成了一个多边形序列。 定理4 2 四次h - b 6 z i e r 曲线的控制多边形割角序列 4 4 收敛于四次 h b 包i e r 曲线，即 鳃42 p ( ，) 。 证明控制多边形r 毋罡只只经过一次中点离散后产生两个新的多边形，经过 二次甲点呙散后产生凹个耕的多边彤。依此芡摊，经过女次中点离散后严生2 个 多边形，其中每个多边形都控制了一段曲线，即曲线也分成2 段。记p ( f ) 的第，段 曲线为鼻( 叶( ( ，一1 ) 等量t ，等 a 显然它是四次h - b 包