（计算数学专业论文）光滑曲面上曲线的生成及其性质研究.pdf

南京航空航天大学硕士学位论文 摘要 本文研究出盥曲厘= e 曲线的计算机表示、插值与逼近等。具体讨论圆柱螺旋线 的三角有理b 6 z i e r 表示和球面n u r b s 曲线的生成。 首先，归纳总结极坐标有理b f z i e r 方法和b 样条方法以及它们的性质。还给出 b 样条曲线的d eb o o r 算法和节点插入算法。 其次，给出圆锥曲线弧及其补弧的三角有理b 6 z i e r 表示：以及任意角度二次曲 线弧的极坐标b 样条表示。 再次，建立柱坐标系，给出圆柱螺线的三角有理b z i e r 表示。( 知于其控制顶点 的确定给出了两种方法。方法一，使逼近螺线在连接点处g c 2 连续，得到的逼近螺 线与理论螺线在两端点及中心理误差为零。方法二，增加重合点，使理论螺线和逼 近螺线在五点处重台，从而反求出控制顶点，使误差带更窄。两种方法均给出误差 估计，使逼近螺线可达到任何预先给定的精确阶) ，- ? 之厂一 最后，给出球面n u r b s 曲线生成算法：用球面上测地线劣大圆弧代替直 线段，将欧氏空间时中的d eb o o r 递推算法推广到球面上构造曲线。| 并且讨论了这 种曲线的若干性质，有类似于欧氏空间中的性质，还指出其不具有类似于欧氏空间 中的n u r b s 曲线的分裂性质，同时给出球面n u r b s 曲线的插入节点算法。还给 出球面上等距节点二次和三次b 样条曲线的插值方法。作为对曲线生成算法和性质 以及插值方法的应用，最后给出了一些图形实例。) 歹一 关键词：曲线荃曲面圆柱螺线球面曲线b 6 五c r 方法n d 盏s圆锥宣凌 误差分折正弦基函数测地线几何性质 光滑曲面上曲线的生成及其性质研究 a b s t r a c t t h ei n t e r p o l a t i o n ，a p p r o x i m a t i o na n do t h e rt h i n g sf o rc u r v e so i ls m o o t hs u r f a c e sw i t h c o m p u t e r a r es t u d i e d t h et r i a n g u l a rr a t i o n a lb t z i e rr e p r e s e n t a t i o no f c y l i n d r i c a lh e l i xa n d t h eg e n e r a t i o no f t h en u r b sc 1 a v e so n s p h e r ea r ed i s c u s s e di nd e t a i l f i r s t l y ，t h et h e s i sd e v o t e st oi n d u c ta n dd e v e l o pt h em e t h o d sa n dp r o p e r t i e sf o rt h e r a t i o n a l t r i a n g u l a r b t z i e ra n d b s p l i n e s i n p o l a rc o o r d i n a t e ss y s t e m t h e d eb o o r a l g o r i t h ma n d ak n o ti n s e r t i o na l g o r i t h ma r ea l s og i v e nf o rb - s p l i n ec u r v e s s e c o n d l y , t h ev a r i o u sc o n i ca r c sa n dc o n i c sa r eg e n e r a t e db yt h er a t i o n a lt r i a n g u l a r b d z i e ra n dt h e b - s p l i n em e t h o d i np o l a rc o o r d i n a t e ss y s t e m t h i r d l y , t h es p a t i a lc y l i n d r i c a lh e l i x i s a p p r o x i m a t e db yr a t i o n a lt r i a n g u l a r b e z i e r c h i v ei nc y l i n d r i c a lc o o r d i n a t es y s t e m t w om e t h o d sa r eg i v e nt og e tt h ec o n t r o lv e r t e x e s ， b ym a k i n gt h et w oa p p r o x i m a t e dh e l i xs e g m e n t sg c 2c o n t i n u o u sa tt h e i rc o n n e c t i n gp o i n t a n d l e t i n g t h et h e o r e t i c a lh e l i xa n dt h e a p p r o x i m a t e d o n ec o i n c i d e n ta tf i v e p o i n t s r e s p e c t i v e l y t h et h e o r ye r r o ro f o n ea p p r o x i m a t e dh e l i xe q u a l sz e r o a tt h et w o e n d - p o i n t s a n dt h ec e n t e ra n dt h eo t h e r se q u a l sz e r oa tf i v ep o i n t s h o wt h ep a r a m e t e r so fa b o v et w o h e l i x e sa f f e c tt h e i rs h a p e si sd i s c u s s e d f u r t h e r m o r e ，e r r o ra n a l y s i sa n dd i s t r i b u t i o na r e g i v e n a n yp r e s c r i b e dp r e c i s i o nc a nb e a r r i v e db yt h ea p p r o x i m a t e dh e l i x e s f i n a l l y , am e t h o di sp u tf o r w a r dt oc o n s t r u c tt h en u r b s c h i v e so ns p h e r e ，w h i c h e x t e n d st h ed eb o o rr e c u r s i v ea l g o r i t h mi nr 3t oo n eo nt h es p h e r eb yr e p l a c i n gt h e g e o d e s i cd i s t a n c e sf o rt h el i n e sa n ds t u d i e st h e i rm a n yg e o m e t r i cp r o p e r t i e sa n a l o g o u s t o t h o s ei ne u c l i d e a n s p a c e s ，s u c h a st h ed i f f e r e n t i a l p r o p e r t y , t h e l o c a l p r o p e r t y , t h e p a r a m e t e ri n v a r i a n c eu n d e rap r o j e c t i v et r a n s f o r m a t i o n a n ds oo n i ti sa l s op o i n t e do u t t h a tt h e s ec 1 1 r v e sa r ed e v o i do fs p l i tp r o p e r t yp o s s e s s e db yn u r b sc u r v e si ne u c l i d e a n s p a c e s a tt h es a m et i m e ，ak n o ti n s e r t i o na l g o r i t h r ni sa l s og i v e nf o rt h en u r b s c u w c so n s p h e r e ，t h e ni n t e r p o l a t i o n f o rc u r v e so ns p h e r ei s p r e s e n t e db ys p h e r i c a lq u a d r a t i ca n d c u b i cu n i f o r mb s p l i n e h o w e v e r , t h eq u a d r a t i cc a r v ei s o n l yc oc o n t i n u o u s ，w h i l et h e c u b i c si sc c o n t i n u o u s a sa l l a p p l i c a t i o no ft h ea l g o r i t h ma n dt h ep r o p e r t i e s ，s o m e e x a m p l e sa r eg i v e n k e y w o r d s ：c u r v eo n s u r f a c e c y l i n d r i c a lh e l i x c o n i c sc r r v eo n s p h e r e b d z i e rc u r v e n u r b se r r o r a n a l y s i s s i n u s o i d a lb a s i sf u n c t i o n s g e o d e s i c d i s t a n c e g e o m e t r i cp r o p e r t y 南京航空航天大学硕士学位论文 第一章绪论 计算几何或计算机辅助几何设计( c a g d ) 是伴随着电子计算机的诞生逐渐形 成发展起来的一门边缘学科【1 。1 。它主要研究在计算机图象系统的环境下对曲面信息 的表示、逼近、分析和综合，是计算数学理论联系实际最活跃的分支之一。它起源 于飞机、船舶的外形放样( l o f t i n g ) t 艺，由c o o n s 4 - ”、b & z i e r 、f e r g u s o n 6 - 7 等太师于 2 0 世纪6 0 年代奠定理论基础。典型的曲面表示，2 0 世纪6 0 年代是c o o n s 技术和b d z i c r 技术m ，2 0 世纪7 0 年代是b 样条技术 i o - 1 2 】，2 0 世纪8 0 年代是有理b 样条技术 1 3 q 5 l 。 现在，曲面表示和造型已经形成了以非均匀有理b 样条( n i 球b s ：n o n u f l i f o r m r a t i o n a l b s p l i n e ) 参数化特征设计( p a r a m e t e r i z e da n dc h a r a c t e r i s t i ed e s i g n ) 和隐 式代数曲面表示( i m p l i c i ta 1 9 e b r a i cs u r f a c er e p r e s e n t a t i o n ) 这两类方法为主体，以 插值( i n t e r p o l a t i o n ) 、拟合( f i t t i n g ) 、逼近( a p p r o x i m a t i o n ) 这三种手段为骨架的几何理 论体系。其中，m 瓜b s 方法已于1 9 9 1 年被国际标准组织( i s o ) 正式颁布为关于工 业产品几何定义的s t e p 标准，并将其作为定义工业产品形状的唯一的数学方法。 n 1 i i b s 方法将b d z i e r 、有理b d z i e r 、b 样条、有理b 样条曲线曲面统一在m b s 的表达形式中，使算法数据库统一，越来越多的c a d ，c a m 系统采用n u r b s 曲线 曲面来建立图形库。因此研究各种曲线、曲面的n u r b s 表示是很有意义的。 随着计算机图形显示对于真实性、实时性、和交互性要求的日益增强，随着几 何设计对象向着多样性、特殊性和拓扑结构复杂性靠拢这种趋势的日益明显，随着 图形工业和制造工业迈向一体化、信息化和网络化步伐的日益加快，随着激光测距 扫描等三维数据采样技术和硬件设备的日益完善，计算机辅助几何设计在近几年来 得到了长足的发展，这主要表现在研究领域的急剧扩展和表示方法的开拓创新。 从研究领域来看，计算机辅助几何设计技术己从传统的研究曲面表示、曲面求 交和曲面拼接，扩充到曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转换和曲面位差；从 表示方法来看，以网格细分( s u b d i v i s i o n ) 为特征的离散造型与传统的连续造型相 比，太有后来居上的创新之势。而且，这种曲面造型方法在生动逼真的特征动画和 雕塑曲面的设计加工中如鱼得水，得到了高度的运用。 我们知道对于封闭曲线特别是圆弧或圆，采用极坐标尤其方便。因此，近年来 又出现了极坐标系下的有理b 6 z i e r 方法和b 样条方法。1 9 9 0 年，j s 缸c h e z - r e y e s t “ 首次将b d z i e r 方法拓广到了极坐标的情形。给出了拟b e r n s t e i n 三角基函数形式的有 理b 6 z i e r 表示，1 9 9 2 年又将b 样条拓广到极坐标的情形给出了拟b e r s t e i n 三角基 函数形式有理b - 样条表示，精确描述圆锥曲线，并导出了以极角为参数的曲线递推 算法等【1 ”。1 9 9 7 年他进一步讨论了在极坐标系下高阶b e z i e r 圆的生成，给出了具体 的计算公式，具有控制顶点特别容易确定的优点，即权因子是径长的倒数l l 。1 9 9 9 年最新文献研究了圆内外旋轮线的正弦基函数有理b 6 z i e r 表示【1 9 i 。这进一步增强了 光滑曲面上曲线的生成及其性质研究 b 6 z i e r 方法和b 样条方法的功能。 圆锥曲线是一类比较常见、实用和简单的二次曲线。有关圆锥曲线的描述出现 的文献很多，尤其是对圆弧和整圆的描述( 详见文献 1 3 】、 2 0 - 2 5 】) 。p i e g i 指出在采 用多项式有理b 样条表示时，用正权因子和有限远控制顶点，不用重节点就不可能表 示整圆。然而，采用三角基函数b 样条表示时，却可以使这种不可能成为可能。文 2 6 1 给出了直角坐标系下圆锥曲线比较详尽的描述，它是通过仿射变换将圆映射为椭圆， 还利用固定切向分割，通过插入节点来给出各种二次曲线弧的n u r b s 表示，这种 方法计算比较复杂。文 2 7 3 给出了极坐标系下，通过射影变换将圆殃射为椭圆、双 曲线或抛物线。本文给出了另外的方法来生成二次曲线。 空间曲线的造型在计算机辅助设计和图形学领域有着十分重要的意义，如一般 曲面的交线，管状曲面的轴心线等都是典型的空间曲线。空间曲线一般也可用b 6 z i e r 曲线或b 样条曲线来进行造型，然而圆柱螺线却无法用其精确表示。这是因为圆柱 螺线与直线之间的交点可以无穷多，是非有理的。因此研究空间圆柱螺线的有理逼 近是很有意义的。 圆柱螺线是唯一既保持曲率常量又保持挠率常量的空间曲线，平面上只有圆和 直线具备这种特性，这种特性决定了圆柱螺线可以看作是其中任一小段弧的无限自 我复制，这就大大简化了整条曲线表示的复杂程度。因此只要构造圆柱螺线的任一 小段弧的逼近曲线即可，还可以利用其本身固有的对称性来使控制顶点的确定更加 容易。 有关圆柱螺线的逼近描述出现了一些文献，在文【2 8 】中用运动学的方法采用三 次和四次有理b 6 z i e r 曲线近似表示了圆柱螺线，但缺乏误差分析。文【2 9 】采用有理 三次b 4 z i e r 曲线，通过端点处斜率和曲率等条件来确定控制顶点，无需解方程组， 给出了圆柱螺线的有理三次b 6 z i e r 逼近。文【3 0 】将其拓广到柱坐标下有理四次b 出z i e r 表示，较文 2 8 】【2 9 】具有计算简单，控制顶点与权因子容易确定等优点。但文 3 0 】侧 重理论螺线与逼近螺线在端点相切的条件，使得任一描述段都最多只能有三点( 两 端点，中心) 处理论误差为零，误差带较宽，且两曲线段在连接点处只达( 虻1 连续。 作者给出确定控制多边形顶点的另两种方法：一种使得两曲线段在连接点处达g c 2 连续：另一种使理论螺线与逼近螺线在五点处重合，从而反求出控制顶点，试图改 善逼近螺线与理论螺线之间的逼近误差。尽管放弃了端点相切的条件，但圆柱螺线 固有的几何特性，使得组合逼近螺线仍具有斜率连续的性质。 在数控加工中，刀具路径一般是由直线和圆弧构成的；在数控绘图中，曲线大 都由直线和圆弧来插朴，所以几何设计系统常需要用圆弧样条p ”。圆弧样条是常 曲率和零挠率的最简单的几何样条，把它推广到常曲率和常挠率的几何样条便是圆 柱螺线样条。著名的a u t o k o n 造船系统嗍就采用了这些曲线模型。本文给出的逼 近螺线可用于常曲率、常挠率的几何样条构造。 近年来，在曲面造型技术中还出现了另一类实际问题。为解决动画设计中的空 2 南京航空航天大学硕士学位论文 间旋转拟合问题l ，7 】，需要研究曲面上的曲线构造。对于最常见的情形，也就是球面 上的曲线构造。k e ns h o e m a k e 在文献 3 7 1 中已将b d z i e r 曲线推广到了s 球面上。该 方法的主要思想是引进曲面上两点间的距离测地线代替直线段，将欧氏空间中 插值方法推广到s 3 球面上，从而生成曲线。为了使插值点上的劣圆弧参数分布与它 们的几何分布较为匹配文【3 8 】对k e ns h o e m a k e 提出的b d z i c r 方法作了改进，并讨 论了球面b d z i c r 的若干性质。为了进一步提高算法和软件的通用性注意到n u r b s 方法的优点，作者研究了球面上n u r b s 曲线的构造算法，并深入细致的讨论球面 n u r b s 曲线的各种性质。由于插入节点算法是b 样条方法配套技术中最重要的技 术之一，所以本文还给出了球面n u r b s 曲线的插入节点算法。 本文的主要研究圆柱螺线的逼近和球面上n u r b s 曲线的生成问题。各章内容 安排如下： 第二章，用三角基函数表示极坐标系下有理b d z i e r 曲线，主要是在递归算法中 引入角参数，使平面有理b d z i e r 曲线重新参数化为极坐标曲线“e ) 。这种方法对于 表示封闭曲线特别适用。还描述了极坐标系下的b 样条曲线及其基函数，并且给出 了拟d eb o o r 算法和节点插入算法，还给出了极坐标系下用b 样条却不用重节点生 成整圆的方法。这部分内容是对文1 6 1 8 i 作的总结，作为下两章的基础。 第三章，主要讨论极坐标系下圆锥曲线的生成。先给出各角度二次曲线弧及其 补弧的三角有理b d z i e r 表示。然而，随着角。的增大，凸包性变差。为克服这一缺陷， 给出其b 样条表示：先利用仿射变换生成，但只能生成椭圆；于是又给出利用节点 插入算法来生成任意角度二次曲线弧的方法使凸包性变好。 第四章，给出空间圆柱螺线的三角有理四次b d z i e r 表示，提出了两种方法。一 种使两逼近螺线弧段在连接点处达g c 2 连续，此方法只能使三点处理论误差为零， 并且还可以进行射影变化使其达c 2 连续；另一种，增加重合点，使理论螺线与逼近 螺线在五点处重合，从而反求出控制顶点，此方法使误差带更窄。两种方法均讨论 了影响逼近螺线精度的各种因素，从理论上进行了误差分析，使逼近螺线可达到任 意预先给定的精确阶。 第五章，给出球面n u r b s 曲线的生成算法：用球面上测地线代替直线段，将 欧氏空间r 3 中的d eb o o r 递推算法推广到球面上构造曲线。这种曲线具有类似于欧 氏空间中的若干性质，但不具有类似于欧氏空间中的n u r b s 曲线的分裂性质，同 时给出球面n u r b s 曲线的插入节点算法。最后给出球面上等距节点二次和三次b 样条曲线的插值方法。对于二次的，可使曲线在连接点处达c 。连续，对三次的可达 c 1 连续。 光滑曲面上曲线的生成及其性质研究 第二章极坐标有理b 6 z i e r 曲线和b 。样条曲线 极坐标对于表示封闭曲线特别是圆弧和整圆特别适用。尤其是在一些工程技术 应用中，如设计凸轮的轮廓时，可用r = r ( 0 ) 定义凸轮的外形，便于在凸轮旋转时， 对其状态作出机械分析。 本章主要内容为：首先描述b d z i e r 曲线的有理三角基函数表示；其次给出极坐 标系下b 样条曲线的定义、基函数及其拟d eb o o r 算法和节点插入算法；最后还给 出了在不用重节点的情况下整圆的生成。本章内容是下两章的基础。 2 1 极坐标有理b z i e r 曲线 2 1 1 极坐标b 6 z i e r 曲线定义及基函数 平面有理b d z i e r 曲线的极坐标方程形式特别适用f r ( o ) 表示的曲线的逼近。有 以下约定： ( 1 ) 控制顶点匠= ( ，目，) 规则地排列在角2 a 石的径向上， 即： 只+ i 一只= 2 a 0 s i h i( 2 1 ) 不失一般性，假设b = 0 ，使得o = 岛+ 见成立。 ( 2 ) 对应于控制顶点丘= ( ，只) 的权因子q 等于e 到原点o 的距离的倒数届： = p ，= 一1 0 i h( 2 2 ) 满足以上约定的曲线可看作是r 3 空间中带控制顶点云。的一条非有理曲线在平面z = l 上的透视投影。控制顶点6 ，有柱坐标( r ，o ，z ) ： 巨。= ( ，只，) = ( 1 ，只，p ) 用角参数t 卜a ，】替换平面有理b d z i e r 曲线中的标准单位参数“e 【o ，1 】， “= 塑学，r = 伽t - a , 】，州o 1 】 得到极坐标有理b z i c r 曲线户( ( 即p 为曲线上的点到原点距离的倒数) ： 南京航空航天大学硕士学位论文 p ( 口) = l r - i ( 口) = p ，( r ) ，0 = n t 1 - 0 其中爿? ( f ) 称为拟b e r n s t e i n 三角基函数。由下列递推公式定义 州f ) - 景s i n ( - f ) s i n i ( + f ) ，s = s i n ( 2 ) 函数( t ) 有下列性质： 性质1 对称性：a ? ( r ) = 爿l ，( 一f ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 性质2 正性：一? ( r ) o ，卜，】； 性质3b e r n s t e i n 基吖( ) ：( j 三一) n 彤p ) ，c = c o s ； 性质4 。a 7 ( t ) = 【警h 性质5 基函数一? ( f ) 张成向量空间( 月) ，k ( 赏) 是定义在实数域r 上，是一? ( f ) 带 实系数只的线性组合，如式( 2 3 ) 所示。 性质6a ? ( f ) 是线性无关的： p ( 口) = p ，钟( ，) = o p ，= o ( v f ) j = 0 2 1 2 任意偶次b 6 z i e r 圆弧 s a n c h e s - r e y e s 在文【2 7 中指出整圆的三角有理b 6 z i e r 表示只能是偶次，不能 用奇次。文【3 9 】引入复值函数表示平面参数曲线，再将其k 次幂，得圆心角为2 九的 单位圆弧，表示为偶次0 = 2 旬三角有理b 6 z i e r 曲线： 1 = 珊。? ( f ) t 卜，】 ( 2 - 5 ) j t 0、 其中系数珊，是2 k 次圆的控制顶点权函数，表达式为： 【j ，2 1 0 2 ，= = ( q ) 。q l c 二，( 2 c ) “，f s 七 ( 2 6 ) 5 光滑曲面上曲线的生成及其性质研究 其中c = c o s ( 2 ) 【考】为不超过；的最大整数。 2 2 极坐标b 一样条曲线 极坐标有理b 6 z i e r 曲线有两个本质特性限制了设计的灵活性。首先，控制顶点 数决定曲线的次数要获得一个复杂的形状就需要给出许多控制顶点，因此在计算 上就要花费很高的代价。其次，设计者不能在曲线上做一个局部变化，一个控制顶 点的移动能引起整条曲线的变化。为了弥补这些缺陷，本节给出极坐标b 样条曲线。 2 2 1 极坐标b 样条曲线的定义及基函数 绐定一非递减序列t = ，f l * 2 n - 2 ) 和控制顶点d ( f = 0 ，+ n 1 ) 就可定义一 条n 次样条曲线j ( 口) ( 口= n t ) 。附加限制条件为，。一， z 。同样设曲线定义域为 ， t n _ i ，t m 一，1 ，控制顶点d ，= ( ，0 ，) 位于g r e v i l l e 径向只上： 只= f 。+ 。+ t 。一l i = 0 ，。一，l + 九一1 ( 2 7 ) 假设节点序列t 是非周期的，即设t 0 与t l + ：。为n 重，这样曲线位于由初始径向e 。 与终止径向el + + 所张成的区域内，并且曲线在两端点处与控制多边形相切。 极坐标b 样条曲线有下面的表达式： 占( 口) = ，( 目) = 4 ，? p ) 0 = n t ( 2 - 8 ) 其中占。= ( r f ) “是原点0 到控制顶点d 距离的倒数，m 7 ( t ) 是基函数由下面的递推 公式定义： = 警“j ，? ( ，) = 五；i ：! ：等? 。( ，) + i s i i ，n “( t , 。一- t ) ) m 。 - 1 ( f ) ( 2 - 9 ) 这些分段函数是非负的，并且在k 重节点处是c “连续的。 与多项式b 一样条函数相类似，m ? ( | ) 有下列性质： ( 1 ) 局部性只有当t i t 。，l i + n 】时，m ? o ) 0 。 南京航空航天大学硕士学位论文 数。 ( 2 ) 最小支承性向量空间中具有比吖? ( f ) 更小的支承性的分段正弦函数是零函 ( 3 ) 函数m ? ( ，) 是线性独立的，并且张成向量空间的维数是l + n 维的。 2 2 2 拟d e b o o r 算法 由于第f 个n 次样条m t ( t ) 具有支承区间i t 。，f 】所以任意r f 。，f | 】，至多有 n + 1 个非零n 次样条m j ( r ) ( = f 一”，f ) ，其他n 次样条在该处均为零。所以在曲 线定义区间f + r ， 上那一段略去其中基函数取零值的那些项，则式( 2 - 8 ) 可 表示为： 占( 占) = j ，m j ( ，) 0 = n t ( 2 一l o ) j = i 一” 若给出曲线定义域内参数值f 【，。，】 【f 。，g l + n - 1 】，欲计算该b - 样条曲线上一 对应点占( 目) ，除可直接由式( 2 - 1 0 ) 给出外，还可由下面的拟d eb o o r 算法给出： 占( 曰) = g j 。m j ( ，) 一一正n ，曰= n t ”t 】r f ( 2 1 1 ) f 占，f - 0 d；21皇竺尘芷兰生二!至：i!：坚掣，：1，2，一，。；-：j一聍+，一，f is i n ( t 一，一r _ 1 ) 7 。 。 将递推公式( 2 9 ) 应用于b 样条曲线方程( 2 1 0 ) 可推导出这组递推公式。 图2 - 1 给出的图形实例就是用此递推公式生成的。图2 - 2 给出了整圆的生成，利用 封闭均匀节点序列生成的二次b 样条曲线。实际上任何的等边多边形均可生成整 圆，将t 写成因式分解的形式只要取r = 0 ，1 ( 口。一，+ e o ) t n ，n = 2 即可。可以注意 到用极坐标b 样条表示不用取重节点，然而p i e g l 和t i l l e r 指出在采用多项式有理b 一 样条表示时，用正权因子和有限远控制顶点不用重节点就不可能表示整圆( 参见文 献 2 3 ) 。 2 2 3 节点插入算法 给定一节点序列t 和控制顶点 吐 ( i ：o ，n ) ，将一给定实数旭i t + t 。插入到 节点序列t 中得新节点序列t 1 和新控制顶点引，原点。到新控制顶点引的距离为r j l 。 光滑曲面上曲线的生成及其性质研究 假设i 为使得t ，r ，。成立的最大自然数，则 当i = o ，i n + l 时，纠= 只，此时= i 当i = i + 2 ，l + n 时，彰= 只j ，此时r 。= r 当i = l n + 2 ，l + i 时，o i r = ，+ t + + f + 2 ，此时 占j ：( ir ) 一- ：鱼= l 生呈g 三二二旦：! _ ! l ! ! 堕业( f ：l - n + 2 ，+ 1 ) ( 2 - 1 2 )1“ s i n ( o ，一0 ) 将式( 2 - 7 ) 代入，上式变为 掣：亟墅k _ 堕粤虹( j _ i - n + 2 ，川) ( 2 1 3 ) s i n ( t 一i t h ) 、。 此节点插入算法是下一章的基础。 图2 - 1 ( a ) n = 2 ，t = o ，0 ，1 5 ，2 5 ，3 5 ，4 5 ，1 ，1 ) n ；( b ) n = 4 ，t = o ，0 ，0 ，0 ，1 3 ，2 3 ，1 ，1 ，1 ，1 其中+ 表节点，菱形表径向 b 图2 2 ( a ) 的控制多边形为等边三角形；( b ) 的控制多边形为正方形 渗 9 0 0 时，随着0 的增大凸包性变的越来越差。本节通过插入节点， 可以使凸包性得到解决。 1 曰【0 0 ，9 0 0 l 此时口【o o ，4 5 0 】，取节点矢量t = 【0 ，0 ，1 ，1 】a ，控制顶点为5 ，( f _ 0 , 1 ，2 ) ，此时生成的曲 线即为极坐标二次有理b 6 z i e r 曲线，并且满足上文提到的三项要求。图3 一l 、3 2 、3 - 3 已给出了图形实例。 2 口( 9 0 0 ，1 8 0 0 】 此时口( 4 5 0 ，9 0 0 】，则取节点矢量t = o ，0 ，i t 2 ，1 ，1 】d ，即在极坐标有理b 6 z i e r 曲 线的节点矢量t = 【0 ，0 ，1 ，l 】q 中增加新节点t = - d 2 ，由式( 2 1 3 ) 所生成的新控制顶点 互( f = 0 , 1 ，2 ，3 ) 到坐标原点0 的距离的倒数4 ( f = o ，l ，2 ，3 ) 为： 凸o = p o ； a口 矗一po s i n ( t 2 - t ) + p ls i n ( t - t o ) 竺竺互! ：笠：鱼塑 1 s i n ( t 2 一t o ) s i n 2 c o s 里 2 d口 占，：旦!坐!二!旦2堂生二尘一pl s i n i + p 2 s i b ：旦止鱼 2 s i n ( t 3 一 ) s i n o t 2 c o s 竺 2 正= , 0 2 这样由控制顶点z ( f = o ，l ，2 ，3 ) 生成的极坐标b - 样条曲线也满足上文提到的三项要求 图3 7 给出了图形实例。 南京航空航天大学硕士学位论文 3 0 ( 1 8 0 0 , 2 7 0 0 l 此时口e ( 9 0 0 , 1 3 5o 】，取节点矢t i - t = o ，0 ，1 3 ，2 3 ，1 ，1 1 ，即在原节点矢i t = 0 ，0 ，1 ，1 】 n 中先增加新节点t h = c i 3 得到新节点矢量t = 0 ，0 ，1 3 ，1 ，1 o 及新控制顶点 孑，1 ( 仁0 , 1 ，2 ，3 ) 到坐标原点o 的距离的倒数占( f = 0 , 1 ，2 ，3 ) 为： 8 0 = p o ； 占一旦q ! ! ! 尘2 二! ! ! 旦，! ! 璺尘! = 生! 一! ! ! ! ! - - 3 1 ：s i n - - 3 1 s i n ( t 2 一t o ) s i n 口 占! ：业啦二坐趔型= 吐竺：- - 3 ：s i n - - 毛 s i n ( t 3 一f 1 ) s i n 口 酬= p ： 然后再增加节点t k 2d 3 ，则得到新节点矢量t = 【o ，0 ，1 3 ，2 3 ，1 ，1 】d 及新控制顶点 f t , ( j = 0 , 1 ，2 ，3 ，4 ) 到坐标原点0 的距离的倒数点( f = 0 , 1 ，2 ，3 ，4 ) 为： 8 0 = 列= p o ； 4 = 6 1 ； 。一型堂!尘坐业：=扎坐!兰：竺竺兰g2 一 s i n ( t ：一r j ) 一 s i n a 占一生呈止! ：2 型! 堂：= 扎墨竺呈：竺! 兰：必 “3 。 s i n ( t ：一r ：) 一 s i n 丝一2 c o s 竺 瓯= 爿= p ： 由控制顶点五0 = 0 , 1 ，2 ，3 ，4 ) 所生成的极坐标b 样条曲线也满足上文所提到的三项要 求。图3 - 8 给出了图形实例。 4 0e ( 2 7 0 0 , 3 6 0 。】 此时口( 1 3 5 0 ，1 8 0 0 】，取节点矢量t - 【0 ，0 ，1 4 ，1 1 2 ，3 4 ，1 ，1 】o ，即在原节点矢量 光滑曲面上曲线的生成及其性质研究 t 2 【o ，0 ，1 ，1 】q 中先增加新节点t i = o 4 得到新节点矢量t 1 _ 【o ，0 ，1 4 ，1 ，1 】a 及新控制顶点 司( j = 0 , 1 ，2 ，3 ) 到坐标原点0 的距离的倒数矿( f _ 0 , 1 ，2 ，3 ) 为： 斟= 岛： 3 口a 斤一旦塑! l 二尘旦型! 二盟一! ! 竺互! 竺互 2 s i n ( t 2 一t o ) s i n c t 3 a口 占! = 旦! ! 里亟二生鱼! ! 唑! 二尘= , 0 ts i n j - + , 0 2 s i n s i n ( t 3 一 s i n 口 再增加节点f = 2 ，则得到新节点矢量t 2 = o ，0 ，i f 4 ，1 2 ，t ，1 】及新控制顶点 孑? “= 0 , 1 ，2 ，3 ，4 ) 到坐标原点0 的距离的倒数6 , 2 ( f = o ，1 ，2 ，3 ，4 ) 为： 爵= 蕊= , o o ； 8 1 2 = 占- 1 占：一业型二! ：! 型巡：二尘一! ! 互：竺：至一业i 1 口。1 口 。2 s i n ( t 一f ) 一 s i n 口 一2 c o s a 霹：地篙鸯蛐：学t - a t - a ： 爵= 酬= p ： 最后增加节点t 3 = 3a 4 ，则得到新节点矢量t = 【o ，0 ，1 4 ，i 2 ，3 1 4 ，1 ，1 】t l 及新控制顶点 互( f = 0 , 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 到坐标原点0 的距离的倒数一( f - 0 , 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 为： 民= 爵= 科= 风； 6 ；= 武 1 4 南京航空航天大学硕士学位论文 瓯= 划挚：鼍笋； ：她挚：掣：篆 占，= j ：= 耐= p ： 这样由控制顶点一( f - o ，l ，2 ，3 ，4 ，5 ) 生成的极坐标b 一样条曲线也满足上文给出的三项要 求。图3 - 9 给出了图形实例。由此，圆又可以这样生成，取t = 【o ，0 ，1 1 4 ，1 2 ，3 4 ，l ，1 】， 其控制多边形仍为正方形，如图3 一l o 所示。 以上四种情况下生成的二次曲线都是焦点在坐标原点的圆锥曲线，当形状不变因 2 子k ：鱼阜：卫 l 时为椭圆；当k ：l 时为抛物线；当k l 时为双曲线。 n r o r 2 图3 74 5 0 q 一 9 0 0 t _ o ，0 ，1 2 ，1 ，1 】c i 的二次曲线弧 图3 - 89 0 0 d 1 3 5 0 ， t = 【0 ，0 ，1 3 ，2 3 ，1 ，】。 的二次曲线弧 光滑曲面上曲线的生成及其性质研究 1 6 图3