（计算数学专业论文）bessel变换数值积分研究.pdf

摘要 高振荡函数的数值方法是科学计算领域中一个非常重要的研究 课题，其中含有b e s s e l 函数的积分是物理、化学和工程学等诸多应 用领域中的一个难点。本文旨在通过对近年来快速发展起来的高振荡 函数的积分方法进行研究，给出解决这类积分问题的高效的数值计算 方法。 第一章，综述高振荡函数数值积分的发展和经典方法。 第二章，对形如p ( 功厶( 嘲威数值积分问题进行了讨论，重点介 绍l e v i n 配置方法。 第三章，对形如陟( x ) 厶( w ( x ) ) 出的函数积分问题进行研究，用 l e v i n 方法解决此类问题，给出了误差估计和算例分析，并和e v a n s 提出的广义积分法则进行了比较。 第四章，解决形如f f ( x ) c o s ( 啪厶( 脚凼的函数积分问题，并给出 了其误差估计和算例分析，证明f i l o n 型方法是解决此类函数积分的 一种新的高效方法。 关键词b e s s e l 变换，l e v i n 配置方法，广义积分法则，f i l o n 方法 a b s t r a c t h i 曲l yo s c i l l a t o r yi n t e g r a l sn u m e r i c a lm e t h o di sav e r yi m p o r t a n t i s s u ei ns c i e n c e c o m p u t i n g i n t e g r a l si n v o l v i n gb e s s e l t r i g o n o m e t r i c t r a n s f o r m a t i o na r ed i f f i c u l tt oc a l c u l a t eb yt h es t a n d a r dc l a s s i ci n t e g r a t i o n f o r m u l a si np h y s i c s ，c h e m i s t r y , a n d e n g i n e e r i n gs c i e n c e t h i sp a p e r s t u d i e dt h en u m e r i c a lm e t h o d si nr e c e n ty e a r sa n dp r e s e n t e ds o m en e w e f f i c i e n tm e t h o d st oe v a l u a t et h e q u a d r a t r u e c h a p t e r o n eb o t ht h e b a c k g r o u n da n dd e v e l o p m e n t s o nt h e q u a d r a t u r eo f h i g h l yo s c i l l a t o r yf u n c t i o nh a v e b e e np r e s e n t e d c h a p t e rt w ol e v i nm e t h o df o r f f ( x ) j = ( r x ) d x h a sb e e nd i s c u s s e d a n dt h ee r r o ra n a l y z ea n ds o m en u m e r i c a l e x a m p l e sh a v eb e e ns h o w e d ， c h a p t e rt h r e et w ok i n d so fm e t h o d st os o l v ep r o b l e ml i k e f 缸) 厶( 唧d ) ) 凼h a sb e e nd i s c u s s e d o n ei sl e v i nm e t h o d ，t h eo t h e ri s g e n e r a l i z e dq u a d r a t u r er u l e sp r e s e n t e db ye v a n se t c t h i sc h a p t e rs h o w s t h ed i f f e r e n tf r o mt h et w om e t h o d sa n da n a l y z e dw h i c ho n ei sb e t t e r c h a p t e rf o u rt h ep r o b l e ml i k e l o ) c 口s ( r x ) j ( r x ) a k h a s b e e ns o l v e d ， t h ee r r o re s t i m a t i o n sa n ds o r t i en u m e r i c a le x a m p l e sh a v eb e e n p r e s e n t e d t h en e wm e t h o dh a sb e e np r o v e dt h ee f f i c i e n c y k e yw o r d sb e s s e lt r a n s f o m l ，l e v i nm e t h o d ，g e n e r a l i z e d q u a d r a t u r e r u l e s , f i l o nm e t h o d 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：啦日期：2 竺l l 月日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：裂江导师签名丝日期：4 l 月一日 中南大学硕士学位论文第一章文献综述 第一章文献综述 1 1 引言 在科学计算和工程应用中，如电磁学、光学、流体动力学、天体动力学、 薛定谔光谱的计算、地球物理勘探等，都会遇到高振荡函数数值积分的计算。这 里所谈到的高振荡被积函数 1 是指在积分区域上有许多个( 1 0 个以上) 局部极 大值与极小值点的函数。 例1 i 1 高振荡函数y = c o s l o o x 的图形。 j l - 1 i 1 i 。口；5 可羔 si ： x 1 il1l11 o 图1 - 1y = c 灯s l o o x 在各种变换中，我们可以经常遇到含有高振荡被积函数的积分，如形如 f f ( x ) c o s ( w x ) d x 。f 八力s 试w 力办， 或复数形式 f 厂( 力斑。 又如f o u r i c r - b c s s e l 变换 lf ( x ) x j ( ，x ) d r 其中0 兄 是b c s s e ! 函数的根a 在实际中通常需要考虑整个积分族，而非单个积分的值，于是可取一般形 式为： 聊= r ，( 磅联t 叻蠡，咱s 口 参量佃， 1 o o o 1 中南大学硕十学位论文 第一章文献综述 其中k ( x ，们是【口，明上的振荡函数，而，( x ) 是【口，胡上的非振荡光滑函数。 如果我们对振荡函数积分的被积函数f ( x ) k ( x ，w ) 建立一般代数插值函数 c a x ) ，那么为了保证精度，插值多项式的次数| 必须很大。因为，为了使纯( 工) 能模拟函数f ( x ) k ( x ，w ) ，就必须使纯( x ) 与z 轴的交点也要足够的多，由于败( 功 的根至多只有k 个，因此要使仇( x ) 能很好的逼近f ( x ) k ( x ，w ) ，就必须使插值多 项式充分高。但是高次插值多项式有严重的缺点，一般很少采用。我们采用其他 方法计算高振荡函数数值积分。 本文将主要讨论( x ) 厶( 肛) 凼，( 工) 厶( w ( x ) ) 出，j 厂( x ) c o s ( r x ) j ( r x ) a 三种形式的函数积分，这类积分在物理、地质勘探中有着广泛的应用 2 7 。 下面给出函数，( 功= j , o o o x ) ，( x ) = d , o o o o x ) ，f ( x ) = c o s ( 1 0 0 x ) d , ( 1 0 0 x ) ， ，( = c o s ( 1 0 0 0 力正( 1 0 0 0 x ) 图形，从图形中可以看出r 越大振荡越剧烈。 4 0 i n n n 1 7 1 删v v 州删w 4 图l 一2 j 1 ( 1 0 0 x ) t i l i d 麓7 j _ 0 只! ， l w w w w w 图1 4 c o s o o o x ) d l ( 1 0 0 x ) 图1 5 c o s ( 1 0 0 0 x ) d l ( 1 0 0 0 x ) 2 一 力 “ 一 点一 lp卧卜k 一卜 中南大学硕士学位论文 第一章文献综述 1 2 传统的高振荡函数积分方法 本节将回顾一般形式高振荡函数积分的积分方法。 我们记振荡增强的整个函数积分族为： ，( 叻= f 八x ) k ( z ，诎，一m s 口 b _ o o ， ( 卜1 ) 式中k ( x ，叻为振荡核而八砷为“非振荡”部分。 1 。2 。1 两根之间作积分 在此方法中，被积函数振荡部分的报位于：d s x 2 工。6 ，且每 个积分r 用一种积分法则计算，这时采用含有积分区间端点的那种积分法则 较有利。因为在端点处被积函数值为零，故不必增加计算量就可以得到较高的精 度 2 8 ，因此对上式的积分变为： “叻= 篓e “f ( x ) k ( 五w ) a x = 口，= 6 ( 1 2 ) 这里= 口，x p = 6 ，作为积分区间端点，可以为置们的根，也可以不是。p r i c e 方法【2 就是其中的一种用于有限f o u r i e r 交换的一种方法， 特别的，对于第一类v 一阶b e s s e l 函数的积分形式： j ( ，) = f f ( x ) j ，( r x ) d x ，( 1 - 3 ) 由 以( ，矽的第胛个根记为，我们在两根之间作积分 岛= f ，( 批( 哟出。 ( 1 4 ) 对式( 1 - 4 ) ，可以采用高斯求积公式计算： 以* q ，( q ) ( 一) ( 1 5 ) 其中吩为求积节点，吩为求积系数，m 为求积节点个数，一般采用m = 7 点求 积公式就可以达到计算精度，当然我们也可以在两根子区间作两点求积公式的复 合以提高计算精度。这样，整个积分值表示为： ，( ，) * 乃， ( 1 6 ) 3 中南大学硕十学位论文第一章文献综述 r 的值为区间 4 ，6 】上被积函数根的个数加上两个端点的个数。 1 2 2 有限f o u r i e r 积分的f i i o n 方法 对于式( 卜1 ) ，假设设，( 工) 可写成 j r ( 工) = q 磊( 算) + 啦唬( x ) + + 丸( x ) + 占( x ) a x 量6 ( 卜7 ) 其中s ( x ) 是a x 0(1-11) 在区间【u i ) n ，- ，】上分别取节点q = ( y - 1 ) n ，c 2 = ( 2 j - 1 ) 2 n ， c 3 = j l n 作八力抛物线插值多项式p ( 功，取节点q = u - i ) n ，乞= j n 作 ，( x ) 的埃尔米特插值多项式s ( d 。记_ i i = i i n ，这里为正整数，= l ，2 ，。 这样， 中南大学硕十学位论文 第一章文献综述 l ( ，介* 。( 厂，) = f 尸( 曲厶( 搿) 出，( 1 - 1 2 ) ( ，力* ：( 厂，p ) = f s ( x ) 皿( 1 - 1 3 ) 为了计算式( 1 - 9 ) 和式( 卜1 0 ) ，需求出 l ( ，a ，6 ) = f ，- ，( 搿) 出，k = o , l ，2 ，3 ，这里口，b 是具有( ，一1 ) n ，j n ， ，= 1 , 2 ，n 格式的插值节点文 4 给出了，。( r ，1 ，a ，l ( ，x , a ，6 ) ， l ( ，x 2 , a ，6 ) ，。( ，x 3 , a ，6 ) 的具体形式如下： 厶( r , l , a , b ) = r 以似肛挣”等茹 ( 1 _ 1 4 ) 讹枷) _ 似似舻型篡一 p 糖们一p 妇姻彤一( 6 一口) 驴s i n ( 们 厶( r , x 2 , o , 缈= ex 2 厶玉= 妻p 鲨竺篡产 一呈丝竺竺= ! 二! 丝竺竺! = ! 二兰! 芝二芝生墅( 鱼= ! 鱼二尘 + 鲨竺! 苎竺型鱼缝粤堕旦螳垡型型业) 枷 、 ( 卜1 6 ) 讹“炉f ，厶出= 妻r ， 鲨等篡塑 3 b 2 e 。毋一3 a 2 e “州一3 ( b 2 一a 2 ) 一3 ( b 3 2 ) i r s i n ( o ) ( i r s i n ( o ) 2 一 一。 6 醣“蝴一6 口蚋一6 ( b 一旬一6 ( b 2 一a 2 ) i r s i n ( o ) 一3 ( 矿一? x i r s i n ( o ) 2 (irsin(o)2 一一 6 口“删一6 p “删一2 ( 6 一a ) i r s i n ( o ) 一3 ( b 2 一a 2 x f r s i n ( o ) ) 2 一( 6 3 2 x i r s i n ( o ) ： q r s i n ( o ) 3 。 。 ( 1 - 1 7 ) 对于以上给出的矩，可以通过复合两点高斯公式计算。最后把计算出来的 各个矩相加即得到最终的近似的积分结果。这就是b e s s e l 变换的f i i o n 型方法。 ， 中南大学硕七学位论文第一章文献综述 1 2 4 有限f o u r i e r 积分的l e v i n 方法 对于如f 形式的有限f o u r i e r 积分，兵中f ，g 郡是光滑函数o i ( d = f s ( x k i w g ( “d x 。 ( 1 1 8 ) l e v i n 方法 5 的思想在于可以将f ( x ) 转换为如下形式： 八功= ( x ) + i w g ( x ) ( x ) 暑0 1 ( x ) ，a x 6 。 ( 1 1 9 ) 那么积分( 卜1 8 ) 就可以表示成 z o o = f ( ( 力+ i w g ( 工) ( x ”p ”。出= 矿( 6 弦垤价一( 口弦”“。( 1 - 2 0 ) 故只需选取一系列线性无关的基函数以( x ) 乙，令( x ) = ：。a , u k ( x ) ， 在节点上都满足( q ) + 缈g q ) 妒( c ，) = ，n ) ，j = l ，2 ，v ( 卜2 1 ) 计算积分 、 q a f ) = 知( 功+ w g ( 工弦( x ) ) 口孵j 出= ( 6 弦”一矿( 口弦呻m 。 ( 卜2 2 ) 便得到了式( 卜1 8 ) 的近似值。 1 2 5 有限f o u r i o r 积分的l e v i n - t y p e 方法 在l e v i n 方法的基础上，0 1 v e t 3 3 提出了一种将f i l o n 方法与l e v i n 方法 相结合的方法。令s 为正整数， 忱并为多维向量，在节点口= c l c v = 6 都 满足啊，m ，j ，选取一系列线性无关的基函数饥( x ) ，令p ( 善) = 乙a r t l l 。( x ) ， 其中胛= ：。m 。一l 满足 p ( c j ) + i w g q 功鸱) = f ( c ) ， ( 卜2 3 ) ( p ( x ) + w g ( x ) p ( x ) ) 忙) | 一= ，心) ( 卜2 4 ) 其中k - 1 ，2 ，m k 一1 , j = l ，2 ，v ，积分近似值为 皱工= r o ( x ) + i w g ( p ( 功- r i v e ( x ) 出= 甲( 6 弦呻 - p ( a ) e 帆。 ( 卜2 5 ) 向淑晃教授 6 在此基础上提出了更为高效和精度更高的l e v i n - t y p e 方法。 令多项式船) = 二k y 。，其中节点数撑= ：。m k - l ， 对于k = l ，2 ，m k 一1 , j = 1 ，2 ，满足 6 中南大学硕士学位论文第一章文献综述 粥) = 嚣卜咐) 以护( 怒- 端tj ( k ) 1 哪刈c 讪 其, 9 d s = g 也) ，定义 ( 力= 勋呻a y ， 则有q g ，( 力= 皱工( 力，该l e v i n t y p e 方法的误差为 ec力：le,，c力一，t，)|!二三二三3；：兰：；：i掣 ( 1 - 2 9 ) 其啊力= 勰= 嚣 1 2 6 有限f o u r i o r 积分的p r i c e 方法 ( 1 - 2 6 ) ( 1 2 7 ) ( 1 - 2 8 ) p r i c e 万i 去是有效求解i 葡振汤函数数值积分的比较早期的一种方怯 2 1 ，它司 以用于有限f o u r i e r 积分。 考虑以下积分问题 m ) = r g ( t ) s i n k t d t = 妻f g 胁i l l 砌 ( 1 珈) 如果k 为整数，则有 m ，= 妻害e ( 量) s 缸砌 m s - ， 于是就把问题归结于求解形如rf ( y ) s i n y d y 的积分，有下列插值型公式： - - ! i , l t ( 一1 ) 。l ：= 啊m ) s i n y d y = 喝 州_ ，一1 ) 石) + 厂( 弦) 其中 + 马 ，( ( ，一；) 万 + ，( ( ，一丢) 万) + 玛厂( ( ，一三) 万) + o 1 0 0 2 f ( o ( 善) ，u 一1 ) x l ，应用调和分析和扰动理论，证明了：对于大多数g ，根据特定模型，选 择合适节点，矩表现出某种渐近性。且对于高频率w ，应用这些积分节点， f i l o n t y p e 方法具有更快的误差衰减。因此，只要采用合适的积分节点，我们 可以获得更高精度的积分格式。 在文献 7 中，i s e r l e s 在 3 0 ，3 1 基础上，作了进一步研究，并给出了 【f ( x ) e ”o 凼的误差衰减率。作者也分别给出了两种条件下g ( x ) = o ，g ( x ) 0 ， 计算f f ( x ) e 6 g t ”出的渐近方法的推导。渐近法实质上是通过利用函数值和函数 枷 导数值的线性组合来逼近积分值，其系数依赖于频率 ，。 在文献 4 中，向淑晃教授构造出了渐近法，f i l o n - t y p e 两类方法的高效 的、可靠的误差界。证明了，应用渐近法，误差可以被精确控制在某一范围内， 但是需以额外的导数计算为代价。进一步，作者利用有限差分代替导数，此时， 步长于频率成反比，从而使得误差界计算变得更加简单，更重要的是，同时也导 出了一种新的计算振荡函数积分的方法，此方法可以达到任意的渐近阶，而不需 要计算导数。 l e v i n 在文献 3 2 中给出了计算f 厂( x 弦”( 出和ff ，( x ，力p t w g ( x , y ) d x d y 的 l e v i n 方法。通过把积分问题转化为没有初值的常微分方程，最终利用配置法进 行求解。此法不需要计算矩。 在文献 3 3 中，o l v e r 在l e v i n 3 2 基础上，提出了计算高振函数积分的 l e v i n - t y p e 方法，这个方法采用了与f i l o n t y p e 方法相同的节点，并且得到了 相同的渐近阶，而不需要计算矩。 以上方法总的可以归结为f i l o n 方法和l e v i n 方法，向淑晃教授在文献 6 中给出了在某种条件下，两种方法的等效性。除了上述方法，也存在很多含有 f o u r i e r 变换的高振荡函数积分高效数值方法 2 4 ，3 4 ，3 5 ，3 6 ，3 7 。 以上，都是在一维情况下讨论高振当函数积分，如果把一维推广到高维， 那就是多维问题的高振当函数积分方法，有兴趣读者可参考 3 8 ，3 9 ，4 0 中南大学硕士学位论文 第二章解决f ，( 曲，。( 麒) 出积分问题的l e v i n 方法 第二章解决f ，( x ) 以( 脚出积分问题的l e v i n 方法 本章我们将讨论近几年来发展的含有b e s s e l 高振荡函数积分的高效方法。 l e v i n 方法的核心是把积分问题转化为某种0 d e 问题，而这个没有初值的0 d e 问题通过配置法求解。 2 1 含有b e s s e i 函数积分的l e v i n 方法 我们考虑积分，= f 八x ) s ( r x ) d x ，这里s 是一个振荡函数，为一个很大的 参数，a ，6 为有限实数。用传统的数值积分方法逼近，需要大量的计算g ，s 。 对于很大的，这样的计算往往需要花费很多时间，从而降低了算法的速度。因 此，l e v i n 通过对前人工作的拓展，提出了一种新的计算方法 5 ，1 4 。 2 1 1l e v i n 基本方法构造 首先考虑这一类高振荡函数积分。 ，( f ) = 睡f t ( x ) w k ( r ，力出zf f ( 功w ( r ，功出，( 2 - 1 ) 这里，( 功= ( 五o ) ( 硗厶( 功) 7 是所维非振荡函数， w ( r ，x ) = ( m ( r ，曲，w 2 ( r ，力，1 _ p ，勘7 是掰维线性无关高振荡函数。我们又假定 w 功= a ( r ，x ) w ( r ，力 ( 2 - 2 ) 其中a ( r ，曲是一个非振荡m x m 矩阵函数。l e v i n 方法的基础就在于如果我们可 以将f 替换成如下形式 f ( 功= q ( 力+ 彳7 ( ，功q ( 功；0 1 烈破 a l 。 对x k b 】，应用引理2 1 3 ，有 1 1 w ( , o t l f l ( 常数) 。若存在一个常数属，当l e v i n 配置法多项式插值在不 同节点处q ，乞，c ，k 6 1 都满足c ( r ) 2 磊，则有 1 7 中南大学硕十学位论文 第一二章解决f 厂( x ) 厶( 麒) 出积分问题的l e v i n 方法 e ( f ) = ) 一( ，) 怿a ( b 1 - a ) 万”l l w ( 一x ) l l 。( 2 - 1 5 ) 定理 2 1 3 1 7 如果，c k ，6 】， 口( r ，x ) = ( 茜万4 ( r ，x ) ) 。存在， v ( x ) ，口( r ，x ) ec ”k ，6 】且丑( r ，x ) 丑一7 ( r ，x ) 的2 v 阶导数在x k ，6 1 范围内一致有界， 对于c ( ，) ( 常数) 。若存在一个常数属，当l e v i n 配置法多项式插值在节点处 岛= 口，q = 6 【口，6 】时都满足c ( ，) 风，则有 e ( 乃= 一甄( f l o t ( b - 1 a ) 丽- w 一( x ) l l 。 ( 2 1 6 ) 推论2 1 1 1 7 如果f c ” 口，6 】，占( ，曲= ( 乏丽1 4 ( ，砌一存在， 形( x ) ，b ( r ，x ) e c k ，6 】且曰( ，力，b 一7 ( ，x ) 的2 v 阶导数在x b ，6 】范围内一致有界， 对于c ( ，) ( 常数) 。若存在一个常数风，当l e v i n 配置法多项式插值在节点处 c 。= 口，c ，= b e k 6 】时都满足c ( ，) 风，则有 即，= i i ( f ) - q , , z ( f 1 曲 其中云为独立于r 的常数。 至堡二尘二竖剑! a t ( b - a ) ”l l w ( x ) l c 2 ( ，) c ( r ) 详细证明见参考文献 1 7 。 推论2 1 2 对于f 厂( 功厶( 肛) 出，令o ) = ( 厶一，厶( 棚) ，f ( 功= ( o ，( 工， f m - 1 则4 ( ，功：l x i r 定义c ( ，) = r ，对于| i l 一0 ，斗，有 e = 工( 力一j l = 。等) 。 ( 2 - 1 8 ) 2 1 4 数值算例 以下是运用l e v i n 配置方法对含有第一类b e s s e l 函数的积分问题做算例实 中南大学硕士学位论文 第- 二章解决p ( z ) 以( 肛) 积分问题的l e v i n 方法 验。在图中横坐标表示振荡因子r 的取值，纵坐标表示的是绝对误差，其真实值 用m a p l e l o 计算结果代替 2 9 。从误差图中可以看出当振荡因子越大，其计算结 果误差越小，而且精度也很高。实验表明用l e v i n 方法计算速度要比m a p l e l o 本 身计算速度快很多，大量节约计算时间。 例2 1 1 计算r - 三予，l ( r x ) d x ，下图中横坐标表示振荡因子r 从2 0 0 到5 0 0 ，纵 l 十工一 坐标表示绝对误差。 图( 2 一1 ) l e v i n 方法计算r i 宰4 ( 搿) c 如，绝对误差图 例2 1 2 计算f 。正( 棚出 图( 2 2 ) l e v i n 方法计算f p 以( 搿) 出，绝对误差图 倒2 1 3 计算f s i n z c o s 地( 麒) 出 1 9 中南大学硕士学位论文 第一= 章解决f 厂o ) 厶( 省) & 积分问题的l e v i n 方法 2 5 小结 图( 2 3 ) l e v i n 方法计算f s i n x c o s x a a r x ) & ，绝对误差图 基于b e s s e l 变换的高振荡函数积分，文 4 给出了计算此类积分的f i l o n 型方法，我们在第一章文献综述中也有所涉及，这是一种高效的积分方法，且振 荡越剧烈，积分精度越高，计算量不会增大。克服了传统积分在这方面的不足。 但是，正如基于f o u r i e r 变换的f i l o n 型方法一样，它也需要计算矩。文【4 也 给出了计算矩的方法。 对于形如 f ( x ) j ( r x ) d r 的积分问题，l e v i n 提出的配置法其误差范围 + i 1 一扩【厂卜( ，。2 5 ) ，要求。叠k 6 1 ，它不需要计算矩，且积分精度也随振荡加 剧而提高，但是要求s ( r ，曲存在，且它的2 一+ l 阶导数对r 一致有界。因此，当 工= 0 时，l e v i n 方法在整个积分区间失效。 对于含有第一类b e s s e l 函数的高振荡函数积分，无论在有限区闻上积分还 是在无穷区间上积分，都存在着很多其他的方法，请参考文献 4 1 5 3 。 中南大学硕士学位论文 第三章两种计算f 厂 ) 厶( ，g ( x ) ) d k 积分问题的方法比较 第三章两种计算( 厶( ，g ( 功) 出积分问题方法的比较 本章主要研究f ，o ) 歹。( r q ( x ) ) a k 类型的数值积分方法，其中 g ( 功o ，矿( 砷o ，o 诺k ，6 】。本章将探讨两种方法，其一是由e v a n s 等人提出的 解决此种类型积分问题的广义积分法则。其二是受到l e v i n 解决形如 从鼻) 厶( 搿) 出积分问题的启发，运用配置法来解决从x ) j a r q ( 工) ) 出问题。本 章给出了两种方法的构造，误差分析和具体算例，进行了比较，并验证了新方法 的可行性。 3 1 广义积分法则 由e v a n s ，w e b s t e r ，c h u n g 2 3 ，2 4 ，2 5 等人提出的广义积分法则对于更一般 的不规则高振荡函数提出了新的解决方法，其思想基于拉格郎日恒等式 z l w - w m z = ( z ( w ( r ，功，z ( x ) ) ) ： ( 3 - 1 ) 3 1 1 广义积分法则方法构造 定义算子l ，w ( r ，膏) 为振荡核函数，使得满足下列m 阶线性常微分方程 上w = 0 ， l w f _ p 。( x ) w ”o ) + 儿- l ( x ) w ( m - i ) + + a o ) w o ) + 风似x ) = 0 ( 3 2 ) m 为l 的伴随矩阵算子，一般为如下形式 幺毫( _ 1 ) 4 ( 以z ) ”+ ( 1 ) 州( l z ) 州+ 一( a z ) + 风2 。 ( 3 3 ) 对拉格郎日恒等式两边同时积分我们得到 j ( 乃= 以力w ( 力蠡= f 咯触= 一z ( 啊 力么x ”b = 喜峨厂纯) + e k ( s 1 ，) 其中，v 为插值节点个数。 详细证明过程参看参考文献2 6 。 3 2l e v i n 配置方法 3 2 1l e v i n 配置方法构造 对于f f ( x ) j = ( r q ( x ) ) d x ，g ( 功o , q ( 工) 0 ，o 芒k ，6 】，其方法和解决 p ( 以凼类似，回顾如下方程 j ( d = f 喜五( d ( r ，矽sf 曩功，矿( ，甸矗， ( 3 1 2 ) 这里以功= “( 础五( 础厶( 功) 7 是m 维非振荡函数。 中南大学硕七学位论文 第三章两种计算f 厂( x ) 以( 叼o ) ) d k 积分问题的方法比较 r v ( r ，x ) = ( 嵋( r ，x ) ，w 2 ( r ，x ) ，( r ，x ) ) 7 是m 维线性无关高振荡函数，我们假定 形( ，x ) = a ( r ，x ) w ( r ， ( 3 - 1 3 ) 其中a ( r ，工) 是一个非振荡m x m 矩阵函数。我们可以将f 替换成如下形式： j ( f ) = 糸q 。o ) + ( ，善) q ( x ”w ( r ，x ) d x = f 【q ( 茗) 彤( r ，x 时出。( 3 1 5 ) p ( 工) = ( ：口p 纯( 功，v - i ( m 概( 动7 在每个节点q ，c 2 ，c ，都满足下列常微 q a f ) = 豇p ( x ) + 彳7 ( ，x ) 以砌w ( r ，x ) d x = p ( b ) 矽( ，6 ) 一肌) 形( ，a ) ( 3 1 7 ) 对于柏m 我们棚护( 2 器刎川功也，) ， 叭= 常罢卜朋班脚 选取一组线形无关的基函数钕( 功 三，令只( = f p a a x x ) ) 1 = 点q ，巳，c ，都满足下列常微分方程： ( 矧+ q 仍( d ( x ) 在每个节 鬈- ，g q ( x ) m 协( ，甜阻 一w ( 力 g ( 工) 办曲j i ，功j 。 “。 中南大学硕士学位论文 第二章两种计算f 厂( x ) 厶( w ( x ) ) 出积分问题的方法比较 求得p ( x ) 后带入公式得到积分近似值。 q 工( f ) = 脉p ( 工) + 爿7 ( ，x ) p ( x ) ) ( ，x ) 出；p ( 6 ) ( ，6 ) 一p ( 口) 矽( ，4 ) 。( 3 - 2 0 ) 3 2 2 积分值估计和误差分析 根据文献 1 7 ，我们将证明对于f f ( x ) j = ( r q ( 工) ) 疵，配置方法高效可行。对 于j ( f ) = f f ( 曲w ( x ) d x ，这里形( 力= ( m ( 功，w 2 ( x ) ，7 是满足 w ( x ) = 爿( ，x ) ( 神的m 维线性无关高振荡函数。 令p ( x ) = ( a o ) ，p 2 ( 工) ，p 。( 工) ) 7 = ( 二口p 矿) 二作为配置函数，其中 = ( 口 ：! ! l ，a _ 跚) 7 ，最= ( ，：( q ) ，厶瓴) ) 7 ，j = l ，2 ，m ，后= 1 , 2 ，v ，尸( x ) 满足 p - ( 勺) + 4 7 ( ，c s ) p ( c ) = f 竹) ，积分近似值为q k ( ，) = p ( 6 ) ( 6 ) 一p ( 4 ) ( 4 ) 。 解线性方程组，可以得到 a r ( r ，c 1 ) e + c l a 7 ( ，q ) a r ( ，巳) e + c 2 a 7 ( ，c 2 ) ； a 7 ( ，q ) e + c , a 7 ( ， c ，) 节2 ( ( v - d e + c 1 a ( ，q ) ) c 2 v - 2 ( ( v - 1 ) e + c 2 a 7 ( ，c o ) j c p ( ( v 一1 ) e + c ，a 7 ( ，q ) ) q ： 口“ 耳 最 ： e 这里e 是一个研所维单位矩阵。将上式定义成爿二= 7 ，其中系数矩阵a 可以改 写成如下形式 a = 47p，q一7(，乞)，p，q，e手c三2苎e；妻c7三ea e 一7 ( ，乞) l 1 7 一，l 1 c e c ，1 e 表示成彳净弛+ 4 。 + 0e p 0 e ( v 0e ( 1 ( 3 -