（计算数学专业论文）两类带有非线性边界条件的抛物方程的差分方法模拟.pdf

摘要 本文考虑7 两类带有非线性边界条件的抛物方程的数值求解问题 第一部分考虑了如下带有非线性边界条件的抛物方程问题： 窑= 象圳刈) ，0 删，s l “( z ，0 ) = ( z ) ，0 o s l ， u ( o ，t ) = g ( o ，0 t s z 褰( 1 ，t ) = 一g ( ( 1 ，t ) ) ，o t l 其中( z ) ，g ( t ) 和c ( t ，u ) 为连续函数，且妒( o ) = 9 ( o ) ，妒，( 1 ) = 一c ( o ，咖( 1 ) ) ，曼i 2 0 利用降阶法对该问题建立了一个具有二阶精度的差分格式用能量分析法证 明了该差分格式的收敛性，用不动点定理证明了该差分格式的唯一可解性给 出了数值例子，数值结果和理论分析结果是吻合的 第二部分研究了如下带有可动边界条件的抛物方程问题( s t e & n 问题) ： 塞= 象圳确。 $ 吣) ，。 t s 正 v ( o ，t ) = 0 ， ( s ( t ) ，t ) = 0 ，0 t s l 0 ，0 ) = 9 ( ) ，0 s z s1 ， 型：一掣，0t瓦dt缸 一一一 8 ( 0 ) = 1 ， 其中，( z ，t ) 和9 ( x ) 是非负且充分光滑的已知函数，v ( x ，) 和s ( t ) 是未知函数 借助空间坐标变换和函数变换，把带有可动边界的s t e f a n 问题转换成固定区 域上的问题对转换后的问题建立了一类三层线性化c r a n k - n i c o l s o n 型有限差 分格式，并用能量分析法证明了该格式的唯一可解性，最后的数值例子验证了 此格式的无条件稳定性和二阶收敛性 关键词：非线性边界条件差分格式收敛性不动点定理s t e f a n 问题可动边 界 a b s t r a c t t h i sa r t i c l ei sc o n c e r n e dw i t ht h en u m e r i c a ls o l u t i o nt ot h e p a r a b o l i ce q u a t i o n sw i t h t w ok i n d so fn o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n s i nt h ef i r s tp a r t ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gp a r a b o l i cp r o b l e m sw i t hn o n l i n e a rb o u n d - a r yc o l l 击t i o n s ： 象= 象+ ，( 确o z - ，。 t t u ( x ，0 ) = 妒( z ) ，0 z s l ， u ( 0 ，t ) = a ( o ，0 t o u ( 1 ，t ) = 一a ( t ，( 1 ，t ) ) o s t e w h e r e 妒( z ) ，9 ( ) ，c ( t ，u ) a r ec o n t i n u o u s f u n c t i o n s s a t i s f y i n g g ( 0 ) = 西( o ) ，妒( 1 ) = - g ( 0 ，砂( 1 ) ) a n d 生0 ad i f f e r e n c es c h e m ei sd e r i v e db yt h em e t h o do fr e d u c t i o no fo r d e r t h eu n c o n d i t i o n a lc o n v e r g e n c ei ss h o w n b yt h ee n e r g ym e t h o d t h ec o n v e r g e n c eo r d e r i st w oi nb o t hs p a c ea n dt i m e t h eu n i q u ee x i s t e n o eo fn u m e r i c a ls o l u t i o ni sp r o v e d b yt h ef i x e dp o m tt h e o n n am u n e r i c a le x a m p l ei s 百v e nt od e m o n s t r a t et h ea c c u r a c y a n de f f i c i e n c yo ft h ep r o p o s e dm e t h o d ， i nt h es e c o n dp a r t ，t h ea t t e n t i o ni sp a i dt ot h ef o l l o w i n gp a r a b o l i ce q u a t i o n sw i t h m o v i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n s ： 宝= 象+ ，( 碱。 z 印) ，o t 正 v ( o ，t ) = 0 ，口( s ( t ) ，t ) = 0 ，0 t s l 口( z ，0 ) = g ( z ) ，0 1 ， 百d s ( t ) ：一掣，o t e 出如 。一 8 ( 0 1 = 1 ， w h e r e ，( z ，t ) a n d9 ( z ) a r ek n o w nf u n c t i o n sw h i c ha r en o n n e g a t i v ea n ds u f f i c i e n t l y s m o o t h ，w h i l e 口( 以t ) a n d8 ( t ) a r ef u n c t i o n st ob ed e t e r m i n e d t h eu n k n o w nf u n c t i o n 8 ( t ) i sn a m e dm o v i n gb o u n d a r y b o u n d a r yi m m o b i l i z a t i o nm e t h o dp r o p o s e db yl a n d a u i su s e dt om a k et h em o v i n gb o u n d a r yi n t oaf i x e db o u n d a r y t h e nan e wf u n c t i o ni s i n t r o d u c e dt om a k et h eb o u n d a r yl i n e a r al i n e n r i z e dt h r e e - l e v e lc r a n k - n i c o l s o nt y p e d i f f e r e n c es c h e m ei sc o n s t r u c t e dt od e t e r m i n et h et e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o na n dt h e p o s i t i o no ft h em o v i n gb o u n d a r y t h eu n i q u es o l v a b i l i t yi sp r o v e db ye n e r g ym e t h o d f i n a l l y , an u m e r i c a le x a m p l ei sp r e s e n t e dt od e m o n s t r a t et h eu n c o n d i t i o n a ls t a b i l i t y a n ds e c o n d - o r d e rc o n v e r g e n c eo ft h ef i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e k e y w o r d s ：n o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n ，d i 矗e r e n c es c h e m e ，c o n v e r g e n c e ，f i x e dp o i n t t h e o r m ，s t e f a np r o b l e m ，m o v i n gb o u n d a r y 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一，学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果尽我所知除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 签名：盘越日期；翌跫曼b 东南大学，中国科学技术信息研究所国家图书馆有权保留本人所送交学位论文 的复印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档 的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借 阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大 学研究生院办理 第一章一类带有非线性边界条件的抛物方程的数值模拟 1 1 引言 近年来，在流体力学和工程中出现的许多热传导问题，可用带有非线性边界条件 的抛物方程来模拟关于此类问题的研究，在理论方面已有了一些工作，文【1 ，2 ，3 】 研究了此类同题在小区域内渐近解的存在性及其渐近行为文 4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 】研究了 此类问题的爆破解及其存在条件文【1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 】研究了此类问 题解析解的存在性和唯一性数值解方面，文【1 9 】基于文【1 1 】给出的解析解形式，利 用沃尔泰拉积分法，建立了一个有限差分格式，但未见到相应的理论分析文【2 0 】对 边界上带有积分项的非线性问题给出了一种有限差分格式，但未做理论分析文【2 1 】 研究了半无界区域上的带有非线性边界条件的热传导问题的数值求解方法，先通过构 造人工边界条件，变无界区域上的问题为有界区域上的问题，利用有限元方法，对空 间方向进行离散，利用向前差商或向后差商对时间方向进行全离散 本章主要考虑如下带有非线性边界条件的热方程问题： 丝0 t ；象+ ，( 碱。 z 1 1 0 t l u ( x ，0 ) = ( 功，0 。1 ， “( o ，t ) = g ( t ) ，0 t 置 塞( 1 归一g ( t , u ( 1 啪，o s t z ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 其中( z ) ，9 ( f ) ，g ( t ，) 均为连续函数，满足9 ( o ) = ( o ) ，( 1 ) = 一a ( o ，妒( 1 ) ) 且笔0 为简单起见，始终假定问题( 1 1 ) ( 1 4 ) 存在光滑解 将求解区域q = ( z ，t ) t o zs1 ，0 t t 作网格剖分选取正整数m 和 将区间f o ，1 】作m 等分，区间【0 ，司作n 等分，记h = 击，r = 斋记= i h ，霉 一；= j ( 矗+ z 一1 ) ，t k = r ，气一女= ( “+ “一1 ) 记q = z d osi 彳) ，n r = t k i o 七 明，q 打= f l h 哦设 = 砖i o i s m ，0 s i v 为q 衍上的离散函数，引进如下记 号： “i = j 1 ( “ + 啦。) ， k 一4 = ；( 谚+ 姻 磋u = 三h ( 如略一瓦u 墨) 以u 生 = ；( u ；一“0 。) ， 6 饿k 一 = ；( 碡一心k z ) ， m 胪1 1 2 = h e ( “量；) 2 i = 1 本章对问题( 1 1 ) 一( 1 4 ) 建立如下差分格式 互1 ( 叫k + - i ! 怖譬) = 磋u 一；( 崔+ 搿) ，娜m - l , l k g ( 1 5 ) 壅堕查堂堡圭兰堡丝圣 叁三量三耋童至童丝堡望墨墨丝墅塑竺奎矍墼鍪堡堡垫 2 砧= g ( t k ) ，0 sk ( 1 6 ) 如t 2 + ；( & 锭；一稿) _ 一a ( t q ，右5 s ， ( 1 7 ) 钾= 庐( ) ，0 i s m( 1 8 ) 其中搿= ，( z f 一 ，t k 一 ) ， 本章安排如下；第2 节，利用降阶法1 2 3 ，列对问题( 1 1 ) ( 1 4 ) 建立差分格式( 1 5 ) ( 1 8 ) 第3 节，用能量分析法证明差分格式( 1 5 ) ( 1 8 ) 在l 2 范数下关于时间步长和空间 步长的二阶收敛性第4 节，用不动点定理证明差分格式( 1 5 ) ( 1 8 ) 的唯一可解性第 5 节，给出差分格式( 1 5 ) 一( 1 8 ) 的迭代算法和一个数值倒子数值结果和理论分析结果 是吻合的 令 则( 1 1 ) - ( 1 4 ) 等价于 1 2 差分格式的建立 a “ ”2 瓦 t ( 善，0 ) = ) ，0 z s l ， u ( 0 ，t ) = g ( t ) ，0 t s e v ( t ，t ) = - g ( t ，“( 1 ，t ) ) ，0 t r 定义网格函数 吩= u ( z ，t k ) ，时= ( 反，“) ，0 i s m ，0 k s n 利用t a y l o r 展式有 以四= 以蟛+ 督饥k - 5 ，1 螂m l k n 蟛= 如蟛+ _ k - 1 1 s m1 s s 田= 妒( z i ) ，1 s t s 瞄 嘴= g ( t k ) ，0 k s n ， k 争 ：一g ( t k 一；，u 岔5 ) + r 譬 ， 1 ， 其中e i = ，( 。t 一 ，t 一 ) 由光滑解的存在性知，存在正常数c 使得 i k 一- ；! i sc ( r 2 + 妒) ，i 霉1 i c ( r 2 + h 2 ) ，i 孑o i s ”。 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) r 一 l l 一 0 o ， ” z p ，j o + 毫嘉 塑疣一 奎室奎堂堑圭堂堡篁塞量三茎三耋童至童丝堡望墨叁丝塑垫丝壅堡墼墼堡堡堡 3 对( 2 1 ) 一( 2 5 ) 建立如下差分格式 巩= 如塌+ k - l - 5 1s i m ，1 k s ， = “4 哼- 3 1 s 尬1 ， 缸? = 咖( 毛) ， 1 s i m ， 砧= g ( t k ) ，0 墨n ， 右j = 一g ( t t 一，n 肘k - i - ) ， 1 女， ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 其中芒= f ( z i - ，t 一) 在第时间层上将( 2 1 2 ) - ( 2 1 6 ) 看成是关于变量 砖，# 一5 os i s m ) 的非线性方程组 定理1 差分格式( 2 1 2 ) 一( 2 1 6 ) 等价于( 1 5 ) 一( 1 8 ) 和 一3 = 如毒一；( & 、k 一- ；t 一4 一- 3 ) ，。s i m 一1 ，1 s 女 右。= 如u m 4 - 一3 + i h ( 瓦u m k - 二! 一爿曷) ，1 证明由( 2 1 2 ) 有 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 如t 鸳= 魂譬一* f k - 5 ，l i m l s 七s ( 2 1 9 ) 用 乘以( 2 1 9 ) ，并将结果与( 2 1 3 ) 相加可得到 谚t = 如u 譬+ ；( 魂u 1 4 一- 5 ，f 扛i k - 1 2 ，、，1 墨t m ，1 女 ( 2 2 0 ) 用 h 乘以( 2 1 9 ) ，并将结果与( 2 1 3 ) 相减可得到 并：瓦2 一：( 盈一学) ，1 s t 尬1 2二。22 即 4 - 3 = 如毒一；( 民心4 + - 3 一，f 件i k - 5 ，、，o s i s m l ，1s 七s ( 2 2 1 ) 于是由( 2 2 0 ) 和( 2 2 1 ) 中1 t s m 一1 的方程，可得到 即 & “譬一；( 盈u 譬一詹) = 矗赶十；( 民一舒) ，s t m - 1 ，k 茎 扣鬻+ 魂) = 磋“，+ ；( + 舒) 1 t s m - 1 ，l 一 k 一 0 ，则有 f ( 奄) ( 1 + c l 丁) f 一1 ) + 0 2 7 ，1 凳n f ( k ) e e a 打( f ( 0 ) + 詈) ，1 o l ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 定理2 当r 适当小时，差分格式( 1 5 ) 一( 1 8 ) 的解 “) 在l 2 范数。f 收敛到h 遐 ( 1 1 ) 一( 1 4 ) 的解缸，t ) ，收敛阶为o ( r 2 + h 2 ) 证明将( 3 1 ) 和( 3 - 2 ) 两边分别乘以( e - ) 旨和( e 2 ) 簧，并将所得结果相加，得到 ( 酥，：= ) c 刚譬+ ( c 嘲譬) 2 ；五1 ( e 1 ) ( e 2 ) 一( e - ) 终( e 2 ) 等 + 蕾( e ，) 旨+ r 鸳( e 。) 鸳， 奎童查兰至圭堂堡垒塞 篓三塞三茎童童童些堡望墨垄堡丝垫丝壅星竺墼堡堡墼：；：；： 上式两边同乘以h ，并对i 从1 到m 求和，整理得到 j 1 ，【h 静蚶一h 静) “i - ；) 2 + n 弘，：= ；) 2 ：( e 1 ) 譬。) 譬。( e 。) 弛e 2 ) + m 嚼1 ( e l k k - + h 耋智( e 2 ) 譬， 因而 由( 3 4 ) 有 ( e 1 ) ：一 ：0 ，1s n ( 3 7 ) ( 3 8 ) n 萎搿蚴乳：，簧) 2 栅缸r k - 扩5 ：2 瞄一琊+ 2 m ( ，譬) 。， 1 ( 3 9 ) 由( 3 5 ) ，! 驴0 和c a u c h y 不等式，有 譬3 ( e 2 ) 譬5 - ( e 。) 譬5 一( g 季唁) 刈缸，右3 ) ) + r 纠 - ( e 。) 譬5 ) 譬5 上1 瓯，a 靠5 ”叫“m k - 5d a + k - 5 ：一( ( e 1 ) 蚵j ( 1 瓯 靠5 ”叫u k - 5 ) 料( e 1 ) 譬5 r 5 s ( e 。) 富r 等o 托1 ) 譬5 1 2 + ( r m k - ：) 2 ，1 s ( 3 1 0 ) 把( 3 7 ) ，( 3 8 ) 和( 3 9 ) 代入( 3 ，1 0 ) 得到 ( 。) 譬5 ( 。) 譬i 知。：一3 1 1 。+ ； m ( r 譬) 。+ ( r 暑5 ) 2 ，1s ( 3 1 1 ) 由c a u c h y 不等式有 ( ( e 1 ) k ；一- i ! ( ( e 2 ) 譬 2 ，1 s ，( 3 1 2 ) 2 ，1 ( 3 ，1 3 ) 一 一 扣卜 托 m 斟 h m 。 一 门引叫 七 枉扣 一 o 1 托 如 乩蓬汹 i 一2 rl 扣o = 力2 忙叫 。 卜吖 d q r = 一 盯汹m汹 k 矿k 矿 + + 2 2 卜 产p 吖僦m甜 h o h o 一 一 上：12 王22 烂乞 h 忆 瞄吗q 呜 p r m君斟 危 危 奎童奎耋堡圭兰堡篁塞 量三茎= 耋重童! ! 丝堡望墨叁丝墼丝丝童塞墼墼堡堡墼 6 把( 3 1 1 ) 一( 3 1 3 ) 代入( 3 6 ) ，并利用不等式l i e 。一 1 1 2s ( 眇1 1 2 + i l e k - 1u 2 ) ，整理可得 ( ，劫e 钏2 卸勘中2 砌p 1 ) 2 + n 吾m ( 茸) 2 + 互1 h 薹m 眩p k - ；) 2 5 、 由( 2 1 1 ) 有 ( 1 一；) o e i j 2s ( 1 + ；) i l e 一1 1 1 2 + 5 c 2 r ( r 2 + 2 ) 2 ， 当rs 时， 肛 萨 ( 1 + 耖i i e i i + 萼玉( r 2 + 萨) 2 由引理1 可得 l l e l l i e 了3 t c ( 7 2 + h 2 ) ， 1s s m 定理得证 1 4差分格式的唯一可解性 为分析差分格式的可解性，需要如下不动点定理； 设r m 为m 维的欧几里得空间定义映射乃：r m 一兄m ，即 a ( 。) = u 冗m ，名r m 其中a 【o ，1 】 引理2 2 4 1 如果定义在r 村上的非线性方程组 满足如下条件t ( 1 ) 对任意的让r m 及0 a 1 ，函数死( “) 是连续的 ( 2 ) 对任意的r m ，存在唯一的u o r m ，使得 蜀( u ) = u o ( 4 1 ) ( 3 ) ( 4 1 ) 的所有可能解关于a 一致有界，其中a 0 ，1 】 则非线性方程组( 4 1 ) 对任意的a n 1 】至少存在一解因此当a = 1 时，方程组 “= 乃( t ) 至少有一个解胄村 下面利用引理2 证明差分格式( 1 5 ) 一( 1 8 ) 至少存在一个解 东南大学硕士学位论文第一章一类带有非线性边再条件的抛物方程的数值模拟7 由( 1 8 ) 知 田l o i5m 唯一确定假设 “：- 1 i o ism ) 被唯一确定，现证明 方程组 ；( 最+ 民u 譬) = 磋罅以+ 弘c k 一- 3 f i k - 5 、，1 s i s m - l 砧= 9 ( “) ， 以稿+ ；( 文稿一稿) = - g ( 气- l ，熟k - - 至少有一个解 u ：i o s i m ) 令 啦= 譬一， ：= u ”os i 尬g k - = 互1 ) + 9 ( t ) 】 则( 4 2 ) 一( 4 4 ) 等价于 心+ + 一一弼毪= + 哦一 + ；( 搿+ o k - 转5 l i s m 1 t t o = 矿一， 一i + 元t 以t 一 + 元t g ( t k _ ，缸m ) = 加m 一 + ；式盎 ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) 因此，我们只需证明差分格式( 4 ，5 ) 一( 4 7 ) 至少存在一解 u ) i m = 0 即可如果 嘶) 整。 存在，则有 世= 2 啦一w i ，0 i m 定理3 对任意给定的m 和 差分格式( 4 5 ) 一( 4 7 ) 至少存在一解 证明记r m = 俐z = ，：l ，”，锄) ，7 0 = 9 一i ) 设z r m ，定义t = 乃( 。) 如下 心+ + 啄专一r 如= 嘶- - w i _ ；+ i rl ，i k 一- + 丢k - 主 ) ，1s t s m 一1 ， ( 4 8 ) 如= g k - ， ( 4 9 ) u m 一 + ；如u 一+ a 元t g ( 一，= m ) = ”m i 十互t 爿茳之， ( 4 1 0 ) 其中参数a 1 0 ，1 1 下面将分3 步分别验证映射a 满足引理2 的3 个条件，从而证明差分格式( 4 5 ) ( 4 7 ) 至少存在一解 第1 步：设t ( 1 ) = a ( z ( 1 ) ) ，u ( 2 ) = 孔( z ( 2 ) ) ，则有 u 5 巍+ u ：之一r 磋u ：”= 毗+ i + ”t 一 + ；( 芷孑+ e 窖) ，l s m 一1 ， ( 4 1 1 ) 罐) = g 。一j ，( 4 1 2 ) 。m 1 - j 7 - ! h ，z u 盟 + a ；g ( t 一 ，捌) = ”m 一 + 互t k k - 之, ， ( 4 1 3 ) 奎童奎兰堑圭堂垒篁奎篁三塞三耋童童童丝堡望墨叁堡墼丝丝童塞竺墼堡堡篓 8 和 ”+ u 为一r 群) - 毗+ a t w i _ + ；( 督+ 舒) 1 1 s t m _ l ( 4 “) 格) = g k - j ， ( 4 1 5 ) 盟 + i 如u 盟+ a h g ( t k - 妒锣) = ”州+ ；稿 ( 4 1 6 ) 记 = 蛳i 地= ”一l ，0 s i m ) ， 名= i = 一叠，0 5 i m ， 将( 4 1 1 ) 一( 4 1 3 ) 依次和( 4 1 4 ) 一( 4 1 6 ) 相减，得到 i + 一三一r 6 ：钍i = 0 ，1 i s 一1m ， 件 + 嘶一；一r 6 ；钍i = ， ss一， u 0 2 0 咻+ 元t 如u m - + ； g ( t e 一 ，础) 一g ( 。呻搿) 】：o 令 仉= 5 z u i + 一；u + ，0 s i m 一1 ， v m = 6 。“m 一+ ；h ”m 一 ( 4 1 7 1 可写成 如让 + 一；+ = 如一j + 彳h 一， 1 s i m 一1 d z 让 + 一i + = 一j + 彳一， 1 3 。s l 由上式和( 4 2 0 ) ，可得到 陇= 6 。一 + 孑h 乱。一 ，1 s m 一1 由( 4 2 1 ) 和( 4 2 2 ) 有 饥= 瓦扣+ ；“i 一，1 i 肛 又( 4 2 0 ) 可写为 将( 4 2 3 ) 和( 4 2 4 ) 相加， 将( 4 2 3 ) 和( 4 2 4 ) 相减 耽一1 = 如u i _ - - i h 一，l s m 并将所得结果两边同除以2 ，得到 一 = 如心一 ，1 i m 并将所得结果两边同除以h ，得到 1 m ， 一 2 ；一， s 。s， ( 4 1 7 ) ( 4 1 8 ) ( 4 1 9 ) ( 4 2 0 ) ( 4 2 1 ) 奎童奎堂塑圭堂堡垒塞 量三塞三耋童童童塑堡望墨叁丝墼塑垫童矍墼墼堡堡垫 9 或 兰u 一2 ：以吨一1 ，1 s i s m (426)m ；缸 一三= k 吨一量， ss1 4 。 此外，由( 4 1 9 ) 和( 4 2 1 ) 有 。m = 一a g ( 气一 ，搿) 一g ( t * 一 ，船) ( 4 _ 2 7 ) ( 4 2 5 ) 和( 4 2 6 ) 两边分别乘以v i _ 和一 ，并将结果相加，整理得 ；( 一) 2 + ( q 一) 2 = ；( 啦q 一宅h l q 一1 ) 上式两边葡乘以h ，并对i 从1 刭m 求和，整理得 ；1 1 2 + i j 2 = i t m 蛳一如如 ( 4 2 8 ) 由( 4 1 8 ) 和( 4 2 5 ) ，有 u o v o = 0 ， ( 4 2 9 ) c u m ，2 = ( h 蚤m 瓦u ；一；) 2 = ( 萎吨一；) 。“”1 1 2 c a 。， 训2 。( h 蚤跏码) 2 ( 蚤衫引卜| | 2 ( 4 3 再由( 4 2 7 ) 和c a u 出y 不等式，有 j “吖l = a 卜m c ( t 。一 ，捌) 一g ( t t 一，搿) | ( 缸m ) 2 + ； g ( t 。一，础) 一g ( t 。一，帮) 】2 i l v l l 2 + ： g 季拙) 一g ( 气- l ，z 别2 ( 4 3 1 ) 把( 4 2 9 ) 和( 4 3 1 ) 代入( 4 2 8 ) ，整理得 知1 2 ；陬专拶) 一g 心- l 搿) 】2 ( 4 3 2 ) 由g ( t ，u ) 的连续性知当。一。时，u 一0 因此t = 死( 。) 是连续映射 第2 步当a = 0 时，对于任意的：r m ，映射“= 乃( ：) 变为 + 他一一r 如= 咄+ + 啄+ ；( 舒+ 舒) j l 墨m 1 ( 4 - 3 3 ) 伽= g k 一 ， ( 4 3 4 ) u 一 + 三如一l = 删j l f 一；+ ；，：三(435)m “一 + 元如一2 删j l f 一+ 互之 t 毛 显然( 4 ，3 3 ) 一( 4 3 5 ) 关于未知量u r m 是线性的因此为证( 4 3 3 ) 一( 4 3 5 ) 有唯一解， 廷需证其相应的齐次方程组 心+ j + 一一r 砖蛳= o ，1 s i m 一1 ， t 02 0 ， u m 。 + ；如u m = o ， ( 4 3 6 ) ( 4 3 7 ) ( 4 3 8 ) 咄= 如u 件 一；心+ ，s m 0 im 一1 咄2 如“件 一；心+ ， s 一 ”m = 如“m 一 + 孑h “肘一；， 则有 x = 瓴，l i m ”一 26 z u i 一 ，1s i s m ， v m = 0 荚似于第1 步的证明过程司得 。 知u i l 2 + l l 以u l l 2 = 0 注意到( 4 3 7 ) 知嘶= 0 ，0 f m 因此差分格式( 4 3 3 ) ( 4 3 5 ) 的解存在且唯一 第3 步假定u 是n ( u ) = u 的一个可能解，则有 u 鹕坞一 一r 鹾u 严 + + ；( 舒f i k 圳- 5 、，1 l s m u o = g k - “m i + i 如u 1 l f 一+ a i g ( t k _ ，“m ) = ”肘一+ 2 r ，c m k - 一5 令 地= 魄+ ；一矩( 吣一) 一搿 。s t m “ 嘶= 妒拍”嘞_ 一稿j ， 则有 o1 ；( 毪一 一“k 一 ) = 露毽一+ z ，l t m 地一 2 如毗一， 1 s i 尬 ? y m = 一* g ( t k 一；，u m ) ( 4 3 9 ) ( 4 4 0 ) ( 4 ，4 1 ) ( 4 4 2 ) ( 4 ，4 3 ) ( 4 4 4 ) ( 4 4 5 ) ( 4 4 6 ) ( 4 4 7 ) ( 4 4 8 ) ( 4 4 9 ) ( 4 5 0 ) ( 4 5 1 ) 将( 4 4 9 ) 和( 4 5 0 ) 分别乘以咄一；和q 一；，并将所得结果相加，整理得 ( q ) 2 + 兰t m 一( 牝一毗一) = ；( 啦忱一) + 舒 将上式两边同乘以h ，并对i 从1 到m 求和。利用( 4 5 0 ) 整理得 m 9o m m ， i = 1 魄一 肘舢f 2 = u m v m - - l t o 如j r ；t 酗掣q + 争一= 2 督 = o 2 一。 一i 奎童查兰堑圭兰堡垒塞 量三兰三茎至查斐鳖堡望墨墨堡墼垫望室璧墼堑堡垦型 儿 由c a u c h y 不等式，易得 h 一烨一扣n 扣忆 ( 4 5 3 ) n 磐 督珈酽增1 薹= ( 觯- - ) 2 ( 4 s t ) 由( 4 5 1 ) ，笔学20 和c a u c h y 不等式，并注意到u m = t 0 + 丝l5 x u i 一，有 u m ? ) m = 一a u m g ( t k 一，u 竹) = 一a 缸m g ( t k _ ，。) + u m 0 1 g 。( t t 一，s u m ) d s 一a u m g ( t k 一，0 ) s 五1 ( “硝) 2 + ( g ( 。一一) 2 互1 2 增1 萎( 以q ) 2 + ( g ；，。) ) 2 ( 4 5 5 ) 由( 4 4 7 ) 中i = 0 的方程和c a u c h y 不等式，有 i u o v 0 i = 卜h 一孙1 ，+ 狞5 】f = j 如露“；一；如u ；+ ；u 0 ”；+ ；咖l 菪+ ； “j ) 2 + ；( 咖) 。+ 去 ) 2 + 砉( ” ) 2 + i h 2 + i hl ， k 一5 ) 2 s ( 去+ 孑h + ；) ( 钍0 ) 2 + 去2 + ；萎幌珏i 一) 2 + 去忪酽+ i h m 管札k - i ) 2 - ( t 5 6 ) 把( 4 5 3 ) 一( 4 5 6 ) 代入( 4 5 2 ) ，整理得 ( 1 - r 川u 旷 ( 1 刊z 砌( g - o ) ) 2 + ( r + ；栅+ 萼) ( 9 卜) 2 + 知卜 旷 当rs 时，由上式可得 删2 _ 一掣 到意注 壅童奎堂堡圭堂堡垒奎 堡三塞= 耋童童! l 堡垒望墨丝堡竺墼丝童堡墼墼堡堡壑 1 3 1 5 差分格式的求解和数值例子 在第2 节中对问题( 1 1 ) 一( 1 4 ) 建立了差分格式( 1 5 ) 一( 1 8 ) 由( 1 8 ) 知 谚1 0s sm ) 已知，若 “。k 一1 i os m ) 已求出，差分格式( 1 5 ) - ( 1 8 ) 在第k 时间层上是关于未知 量 t 一5 1 0 茎 sm ) 的非线性方程组如果求出了 u ? 一5 1 0si m 一1 ) ，则缸 = 2 一一q k 一1 ，o i s m ， 令 u i = 地k 一 ，t ，i = k 一1 ，1s i m ；g k - = i 1b ( 巩) + 9 0 k 一1 ) 】， 则差分格式( 1 5 ) ( 1 8 ) 等价于 啄+ 地一 一r 甄= + 咄一 + ；( 六s - 5 5 + 舒) ，1 i m _ 1 ， t 1 0 5g k 一， 吣+ ；瓦”州= 矿；稿一；g m ) 令u = ( u l ，“m ) 7 ，r = 舌，则方程组( 5 1 ) 一( 5 3 ) 可写为如下矩阵形式 a u = d 其中 a = 0 1c 1 。 如n 2 c 2 b m 一1a m 一1c 砒一1 b ma m d = d l 如 j d m ( 5 1 ) ( 5 2 ) ( 5 3 ) 啦。1 + 2 r ，1s zs m 一1 ；a m = l + r ， = ；一r ，2 s 必， 岛= j 1 一r 1 s m 一1 ， d 1 = ( 1 + 2 r ) 9 一1 ) + ( 2 - 4 r ) 计一1 + ( 1 + 2 r ) “l 一1 + 2 r ( ，：一 + 霆一吾) ， 凼= ( 1 + 2 r ) u 料+ ( 2 4 r ) “；一l + ( 1 十2 r ) “绪+ 2 r ( 2 + 爿鬻) ，2 一 i 一 m - 1 ， ( 5 4 ) 奎重奎兰堑圭兰堡篁塞篁三塞三壅童童童丝垒望墨墨堡墼丝丝童堡塑墼堡堡丝 1 4 d 村= ( 1 + 2 r ) “钍l + ( 1 2 r ) “譬14 h g ( t k j 蛳k - 5 ) + 2 r 馅 ( 5 4 ) 的系数矩阵是三对角的，利用追赶法中追的过程，消去矩阵a 对角线以下的元 素，则得到同解方程组 五。= z ( 5 5 ) 其中 a = a l c 1 j 2 2q d = d m 1c m 一1 a m 也 d 2 d m 一1 d m 而= 0 1 ，d l = d l ， 面= 啦一：! l 乌一l ，磊= 应一：生磊一l ，2 m 一1 ， a m = 。吖一芒嘶“如= 一；g ( 札 ，u m ) + 互1 ”m + j l w m 一- 一差如斗 显然，( 5 5 ) 中第m 个方程a m 札m = i m ( u m ) 关于“盯是非线性的取前一层的值 w m 作为迭代初值”罂，利用牛顿迭代法求出u m 然后，把蛐反代回方程组( 5 5 ) ，利用 追赶法中赶的过程求出 毗1 1 s i s m 一1 ) ：啦= 生= ：警虹，i = m 一1 ，m 一2 ，i 算例应用差分格式( 1 5 ) 一( 1 8 ) 计算定解问题 害= 象+ ( 7 r 2 - 1 ) e s i n ( ”x ) ，o z 1 ，o t s r ( 霉，0 ) = s i n ( 7 r x ) ，0 z s l ， u ( o ，t ) = 0 ，0 t s 置 掣= 一u s ( 1 ，t ) 一，o t s z 该问题的精确解是k t ) = e s i n ( z x ) 。 定义 l i e n ( t , h ) i 。2h 蚤( 曜一 ) 2 - ( 5 6 ) ( 5 7 ) ( 5 8 ) ( 5 9 ) 奎童奎兰堡主堂堡垒塞董三塞三耋童童塑丝堡望墨叁堡墅垄丝童堡墼墼堡堡丝 1 5 依次取正整数m = 2 0 ，4 0 ，8 0 ，1 6 0 ，3 2 0 ，并令= m 表1 给出了在t = 1 时u ( z ，t ) 在 部分结点上的数值解和精确解表2 给出了在t = 1 时钍( 为t ) 在部分结点上的数值解 的绝对误差表3 给出了在t = 1 时”( z ，t ) 的数值解的工2 误差及步长减半时前后两次 误差之比图1 给出了在t = 1 时( 毛t ) 的数值解在不同步长下的误差曲线 衰l ：t ；1 时( z ，t ) 在部分结点上的数值解和精确解 表2t = 1 时“( z ，亡) 在部分结点上的数值解的绝对误差 表3 ：t = 1 时u ( z ，t ) 数值解的l 2 误差 m | | e ( r ，h ) l l ：普鼍 虢 2 0 4 5 9 6 5 e - 3 4 01 1 5 0 0 e - 33 9 9 7 0 8 02 8 7 5 6 e - 4 3 9 9 9 2 1 6 07 1 8 9 4 e - 53 9 9 9 8 3 2 0 1 | 7 9 7 4 e - 53 9 9 9 9 6 4 04 4 9 3 4 e - 6 4 0 0 0 1 显然，由表1 一表3 和图1 可以看出，数值解精确地逼近了解析解由表3 ，当空 间步长和时间步长均缩小为原来的 时，u ( z ，t ) 数值解的l 2 误差约变为原来的 ，因 此，u ( x ，t ) 的数值解是二阶收敛的 霉 z 至 图1t = 1 时取不同步长所得t 的数值解的误差曲线 结语本文应用降阶法对一类带有非线性边界条件的抛物方程问题给出了一个二 阶的差分格式，并分别借助能量分析法和不动点定理证明了该差分格式的无条件收敛 性和唯一可解性，其收敛阶为d ( r 2 + h 2 ) ，最后给出了算例，数值结果和理论分析结果 是完全吻合的 第二章s t e f a n 问题的一类两阶差分格式 2 1 引言 近年来，自然科学和工程领域中出现的许多问题可以用带有可动边界条件的偏 微分方程来模拟此类问题中最简单的例子就是s t e f a n 研究的冰的融化问题【2 6 】，此 类问题也常常被称为s t e f a n 问题由于边界作为时间的函数的不确定性，此类问题的 解析解通常难以获得因此，利用数值计算方法来计算此类问题更为实用常用的数 值计算方法包括焓方法，固定边界法，结点积分法 2 7 ，2 8 ，2 9 】等等f u r m a n d 3 0 和 c a l d w e u 3 1 1 对此类问题的计算方法做了总结和比较而在众多的数值方法中，使用率 最高的当属固定边界法基于空间坐标变换l a n d a u 2 5 ，s m f a n 问题转化到固定区域上 的等价形式利用有限元方法处理此类问题的等价形式已有一些工作【3 2 ，3 3 ，3 4 ，3 5 ，3 6 】 有限差分法方面也有少量的工作文1 3 7 】，作者对一类拟线性的s t e f a n 问题的等价形 式通过引入一个新变量的方法，建立了b o x