（应用数学专业论文）椭圆wellpoised+bailey链与超几何级数变换—反演关系在超几何级数中的应用.pdf

椭圆w e l l - p o i s e db a i l e y 链与超几何级数变换 一反演关系在超几何级数中的应用 中文摘要 本文主要研究椭圆w e l l p o i s e db a i l e y 链与超几何级数变换以及反演关系 在超几何级数变换与求和中的应用 第一章简单介绍了文中要用到的一些记号以及超几何级数和反演方法 的发展历史 第二章将w p b a i l e y 链的特征方程的概念推广到椭圆超几何级数情形， 利用反演方法给出了特征方程的解，并且证明了关于椭圆w p b a i l e y 对的几 个恒等式 第三章作为第二章的应用，利用特征方程的解得到了一条新的椭圆w p b a i l e y 链、一条w p b a i l e y 链和两条普通型w p b a i l e y 链，进而得到一个新的 椭圆超几何级数变换公式和几个基本超几何级数变换公式以及几个基本超 几何级数求和公式 第四章将初文昌和王琛颖最近给出的一对基本超几何级数反演关系推 广到椭圆超几何级数情形，利用它我们求出了一些已知椭圆超几何级数求 和公式的对偶公式，从而得到两个新的椭圆超几何级数求和公式 关键词：超几何级数；反演关系；椭圆w p - b a i l e y 链；变换公式；求和公式； 特征方程 作者：刘其群 指导老师：马欣荣( 教授) e l l i p t i cw e l l - p o i s e db a i l e yc h a i n sa n d t r a n s f o r m a t i o n so fh y p e r g e o m e t r i cs e r i e s a p p l i c a t i o n so fi n v e r s er e l a t i o n si n h y p e r g e o m e t r i cs e r i e s a b s t r a c t t h i st h e s i si sd e v o t e dt ot h ep r o b l e mo ft h ee l l i p t i cw e l l - p o i s e db a i l e yc h a i n s 鹊 w e l la si t sa p p l i c a t i o n st oe l l i p t i ch y p e r g e o m e t r i cs e r i e s ，p a r t i c u l a rb a s i c h y p e r g e o m e t r i c s e r i e s a l lt h o s ed e p e n do nt h ei n v e r s et e c h n i q u e c h a p t e ro d es e r v e sa sa ni n t r o d u c t i o nt ot h eh i s t o r yo fh y p e r g e o m e t r i cs e r i e sa n d t h ei n v e r s et e c h n i q u e s o m en o t a t i o n s ，c o n c e p t s ，a n dr e s u l t s ，a sr e q u i r e df o rf b r t h c o h 卜 i n gd i s c u s s i o n ，a r ei n t r o d u c e d c h a p t e rt w oi st h em a i np a r to ft h i sp a p e r t h e r e i n ，w ep u tf o r w a r dt h ep r o b l e m o ft h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o no fw p - b a i l e yc h a i n sa n dc o n s e q u e n t l yg i v et w ok i n d s o f s o l u t i o n sf o rt h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o nb yt h ei n v e r s et e c h n i q u e s o m en e wr e s i l i t s s u c ha sb a i l e y sl e m m af o ru s u a lw p - b a i l e yp a i r sa r ee s t a b l i s h e di nt h es e to f e u i p t i c h y p e r g e o m e t r i cs e r i e s c h a p t e rt h r e ec o n t a i n sm a n yi n t e r e s t i n gr e s u l t sa st h ea p p l i c a t i o no ft h el a s tc h a i - t e r a m o n gt h e mi san e we l l i p t i cw p - b a i l e yc h a i n ，aw p - b a i l e yc h a i n ，a n dt w oo r 薛 n a r yb a i l e yc h a i n s b ym a k i n gl l s eo ft h e s ec h a i n s ，w ee s t a b l i s hs o m et r a n s f o r m a t i o n f o r m u l a sa n ds u m m a t i o nf o r m u l a so fh y p e r g e o m e t r i cs e r i e s 。 i nt h el a s tc h a p t e r ，w ec o n s i d e ra ni n v e r s er e l a t i o no r i g i n a l l yd u et oc h ua n d w a n g f r o mt h ep o i n tv i e wo fe l l i p t i ch y p e r g e o m e t r i cs e r i e s 。i t se l l i p t i ca n a l o g u er e v e a l sa p r e v i o u s l yu n k n o w nd u a lr e l a t i o nb e t w e e ns o m ek n o w ne l l i p t i ch y p e r g e o m e t r i cs e r i e s s u m m a t i o nf o r m u l a s k e y w o r d s ：h y p e r g e o m e t r i cs e r i e s ；i n v e r s et e c h n i q u e ；e l l i p t i cw e l l - p o i s e db a i l e yc h a i n ； t r a n s f o r m a t i o nf o r m u l a ；s u m m a t i o nf o r m u l a ；c h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n i i w r i t t e nb yl i uq i q u n s u p e r v i s e db yp r o f m ax i n r o n g 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏 州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本 声明的法律责任。 研究生签名：之蜱日 期：互墨业 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论 文合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相致。除在保密期内的 保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的 全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：立：奠叠季日期：匕墨：擎z 兰 导师签名：墨丝蕴日期：缈丝，7 第一章绪论 超几何级数是特殊函数的一个重要分支，它与组合数学密切相关超几 何级数的求和公式和变换公式是特殊函数领域不可或缺的内容，因此发现 和证明求和和变换公式一直是组合学家和特殊函数学家感兴趣的问题寻 找求和公式和变换公式的方式有很多种，如：级数重排、组合反演、计算机 代数的w z 方法、微分算子法、围线积分法以及a b e l 分部求和法等等 本文的主要内容有两方面，其一是利用反演方法给出椭圆w p b a i l e y 链 特征方程的解，根据特征方程的解给出一些椭圆w p ，b a i l e y 链、w p b a i l e y 链以及普通的b a i l e y 链，并利用这些链得到一些新的超几何级数变换公式 和求和公式另一方面是证明了一对特殊的椭圆反演公式，利用这个反演 公式给出一些已知椭圆超几何级数求和公式的对偶公式，从而得到两个新 的椭圆超几何级数求和公式 1 1历史背景 我们首先来回顾一下超几何级数及其发展历史 j o h nw a l l i s 在他1 6 5 5 年的著作 中第一次使用了”超几何的”( 希腊语 。丌印) 一词来记超出几何级数 1 + z + 护+ z 3 范围的级数特别地，他研究了级数 1 + 口+ a ( a + 1 ) + a ( a + 1 ) + 2 ) + 在接下来的一个半世纪中，很多数学家研究了类似的级数超几何级数的 一个简单情形 仉c b ；习：= 薹繁严 称为g a u s s 级数，其中g ，b 称为分子参数，c 称为分母参数e u l e r ，g a u s s ，k u m m e r 等曾给出了这类级数的很多结果 后来一些数学家想到了推广g a u s s 级数，g a u s s 级数有很多种推广方 法c l a u s e n ( 1 8 2 8 ) 首先用增加参数的方法扩展g a u s s 级数概念，并研究了三 个分子参数和两个分母参数的一类级数接下来一般形式的经典超几何级 数的很多著名求和定理逐渐地由s a a l s c h u z ( 1 8 9 0 ) ，d i x o n ( 1 9 0 3 ) ，d o u g h ( 1 9 0 7 ) 等 椭圆w e l l p o i s e db a i l e y 链与超几何级数变换第一章绪论 给出推广超几何级数的另一个方法是让级数在正负两个方向上求和，这就 产生了双边超几何级数( d o u g a l ，1 9 0 7 ) 1 9 2 6 年，a p e l l 研究了含有两个变量的 二重级数，称为a p e l l 级数b a i l e y 和w h i p p l e 在二十世纪初期的一系列论文 完成了对整个超几何级数理论的彻底分析和完善，也发现了重要的b a i l e y 变 换，甚至有数学家认为b a i l e y 的最大贡献是发现了b a i l e y 变换b a i l e y 9 1 在 1 9 3 5 年出版了他的专著 ，作为对b a i l e y 著作的补充和完善，s l a t e r 3 5 】于1 9 6 6 年出版了 推广g a u s s 级数除了上面提到的几种方法外，另一种不同的观点是由 h e i n e 提出的他定义了一个基数a 。：= ( 1 一g 口) ( 1 一g ) ，这里q 和a 都是实数 或复数由洛必塔法则，当q 一1 时有_ a 利用这个概念，h e i n e 定义 g a u s s 级数的g - 模拟为 ：；刁：= 薹涨躲矿， 其中g - 升阶乘( 口；g ) o ：= 1 ，( o ；g ) 。：= ( 1 一o ) ( 1 一a q ) ( 1 一a q ”1 ) ，= 1 ，2 ，) 我们把这种类型的级数称为基本超几何级数或q - 级数一般地基本超几何 级数定义为变量z 的幂级数 m 由 a o , a h l ，, 誓扣刁：= 薹锱粉糍磐擗少 ( 1 1 1 ) 为了书写方便，有时我们也用 a o ，a l , a 2 ，1 1 9 1 6 1 ，b 2 ，0 ；g j n 这样的紧凑记号来记 ( a o ；g ) n ( 口1 ；g ) 。( 0 2 ；g ) n ( ；q ) n ( 口；g ) 。( 6 l ；g ) 。( 6 2 ；g h ( k ；g ) 仃 由( q - k ；口) m = 0 ，七n 可知，当分子参数a o , a 1 ，脚中有一个等于g 一七时 上述和式为一有限和，我们称这样的级数为终止型( t e r m i n a t i n g ) 级数当 a o q = a l b l = a 2 5 2 = = 6 r 时我们称级数( 1 1 1 ) 是w p ( w e l l - p o i s e d ) 的进一步若有 a l = q 佤，a 2 = 一q 佤， 2 椭圆w e l l p o i s e db a i l e y 链与超几何级数变换 第一章绪论 则我们称级数( 1 1 1 ) 是v w p ( v e r y - w e l l 一p o s i e d ) 的，为了表示方便我们将、，、伸 的基本超几何级数记为 m 坼c a o ；a 3 , a 4 , , o r ；q , z 卜n 壹= o 等勰畿a a 然 7 - 4 糍少 。1、117 、1 ，帅、1 ， 、1 ， 当变量三= 口时我们将上面的级数简记为r + 1 瞰( a 0 ；a 3 ，a 4 ，o r ；q ) 1 8 4 6 年，h e i n e 系统地研究了基本超几何级数2 砂1 ，接着j a c k s o n 发展了 酽微分、g 积分理论并且推导出了一些q 模拟公式后来w a t s o n 和s l a t e r 从围道积分的观点发展了基本超几何级数理论再后来a n d r e w s 的研究工 作让人们看到了基本超几何级数在分拆理论上的应用在上个世纪7 0 年代 中期，他和a s k e y 在基本超几何级数这一领域取得了丰硕的成果，也正是由 于他们的研究工作才有了今天基本超几何级数的蓬勃发展 基本超几何级数在数论、根系、结合方案、差分方程、李群和李代数、 物理学、统计学中有着广泛的应用a n d r e w s 在【4 和 5 中对基本超几何 级数的应用给出过一些综述，有兴趣的读者可进一步参阅 在基本超几何级数的研究中比较深刻的结果之一是b a i l e y 的v w p 。o 粕一 v w p 1 0 幽的变换【2 6 ，i i i 2 8 】 l o w 9 ( 口；b ，c ，d ，e ， g ，q - n ；q ) = a q , a q e f , a q e , a q f ；小胍吲a , a c a , a d a , e , f , g , q - n , q n 2 ， 其中 b c d e f g = a 3 q n + 2 入= a 2 q b c d 这一等式包括了许多著名的基本超几何级数变换和求和定理作为特殊情 形例如，令c a = 0 9 ( 当然就有舳= 口) ，再用c ，d ，e 替换e ，g 就可得到 著名的j a c k s o nv w p8 加求和公式 2 6 ，i i 2 2 s w t ( a ；b , c , d , e , q - n ；q ) _ _ 卜a g q ，, 6 a ，q 口g b ，c c , ，a n q g ，b d d ，。a g q 6 c 。d d ；g n ， c 1 1 3 ， 事实上，在从h e i n e 的时代至今的一个半多世纪时间里，很多数学家都 致力于寻找经典超几何级数中结论的g - 模拟让人们欣喜不已的是，1 9 9 7 年f r e n k e l 和t u r a e v 2 3 】在研究椭圆6 歹一符号时引入了基本超几何级数的椭圆 3 e以6 = 札 矿 铲 中其 椭圆w e l l p o i s e db a i l e y 链与超几何级数变换 第一章绪论 模拟( 精确定义见下文) ，作为y a n g - b a x t e r 方程 1 1 】的解，这些町一符号可以 表示成终止型，。南级数的椭圆模拟特别地，椭圆町符号的四面对称性 隐含了b a i l e y1 0 南变换( 1 1 2 ) 的椭圆模拟【2 3 】 1 2 k 1 ( 8 ；b ，c ，d ，e ，g ，q - n ；g ，力 = 酚端锗铷小吣w 咖川他e ，刚1 帅m 1 4 ， 其中 b c d e f g = a 3 q n + 2 入= a 2 q b c d 在( 1 1 4 ) 中令c a = a q 便可得到j a c k s o n8 求和公式( 1 1 3 ) 的椭圆模拟 - 。v 毛c 口；6 ，c ，d ，e ，g n ；g ，p ，= l a g q ，, 6 a ，q 。g b c c , ，a n q g ，b d d ，口a g q ，6 c 冽d ；g ，p 。，c 1 1 5 ， 其中 a 2 q ”+ 1 = b c d e 这是椭圆超几何级数中第一个被发现的求和公式 一般地我们将椭圆超几何级数形式地( 不考虑收敛性) 定义为【3 9 】 件耳 匈6 a ，l ，, 罢j j1 0 ；口朋名 一虽( o ；，孙一；q ，p ) n ( a t ；q p ) n ( a l p ) n ( a 2 q ，p ) 。坍 r 【o ； ，；g ，；q ，p j n 【 ，p j n 小 车刍百面两瓦磊砥i 而f 1 b r ；而f 弘差兰：( g ；g ，p ) 。( 6 l ；g ，p ) n ( 6 2 ；g ，p ) n ( g ，p ) n ( 1 1 。6 ) 其中g - 升阶乘的椭圆模拟( 口；g ，力n = 1 7 = ：o ( a q 七；p ) ，n n 修正的j a c o b i0 函数 o ( a ；p ) = ( n ；力口；p ) = l - l o ( 1 一矿) ( 1 一矿+ 1 a ) ，i p i 1 易知l h p o ( n ；q ，p ) n = ( d ；g ) n ，从而当( 1 1 ) 式可以逐项求极限时，( 1 1 1 ) 式是( 1 1 6 ) 式在p _ 0 时 的极限，因此我们称( 1 1 6 ) 式是( 1 1 1 ) 式的椭圆模拟 类似于基本超几何级数，当 a o q2a l b l = a 2 b 2 = = 6 r 时我们称级数( 1 1 6 ) 是w p 的进一步若有 口1 = 口 丽，口2 = 一口 面，a 3 = 口俪，a 4 = 一g 俪， 4 椭圆w e l l p o i s e db a i l e y 链与超几何级数变换第一章绪论 则我们称级数( 1 1 6 ) 是v w p 的，为了书写方便我们将v w p 的基本超几何 级数记为 r + 1 w ( a o ；a 5 ，0 6 ，o r ；g ，p ；z ) ：r ：! 竺垒1 2 n 型! 塑堕堕兰亟i 呈! 堕2 鱼蛩堕竺：! 生! 呈：盟堡扩 急0 ( a o ；p ) ( 口；口，p ) n ( 警；口，p ) 竹、a 邮o q ；q ，p ) n ( a 卸o q ；q , p ) n 。 ：r + l e r 磐二莴葛- 一q 厕p v 而，喜，箬岛彤 当变量z = q 时我们将上面的级数简记为r + 1 k ( a o ；a 5 ，a 6 ，诉；g p ) 在文 2 3 】发表以后，一些学者将目光投向了椭圆超几何级数，主要研究 者有s p i r i d o n o v 3 6 ，3 7 ，3 8 ，3 9 ，4 0 ，4 1 ，4 2 ，4 3 ，4 4 ，w a r n a a r 4 6 ，4 7 ，4 8 ，c h u 2 1 1 等 s p i r i d o n o v 3 8 】和w a r n a a r 4 7 将最先由a n d r e w s 5 】提出的w p b a i l e y 对的概念 推广到椭圆超几何级数的情形，得到了椭圆超几何级数方面的一些结果 最近，针对频繁出现的v w p 级数马欣荣和作者【3 1 】提出了w p b a i l e y 链特 征方程的概念，并利用反演方法求出了特征方程的解，从而得到了一些基 本超几何级数变换公式和求和公式在本文我们将w p b a i l e y 链特征方程的 概念推广到椭圆超几何级数的情形，从而发现了椭圆超几何级数方面的一 些新的结论 1 2反演关系简介 本节我们将简单介绍一下寻找和证明超几何级数求和公式和变换公式 方法之一的反演方法，这也是本文的主要研究方法 类似于有限阶矩阵逆矩阵的概念，我们也可以定义无穷阶下三角矩阵的 逆矩阵 定义1 2 1 设f = ( f ( 礼，七) ) 。，七n ，斛表示自然数集j 是无穷阶下三角矩阵，即 当n 1 0 ， 如，) 。胗。是满足特征方程偿- f 剀 的两个序列，则对任意整数n k 0 ，有 ，( c s ；玩动n + k ( c ；玩刃。一k ( t q ；g ，p ) 2 七n r - k ( c s 矿+ 七，矿一n ；玩刃t 蔫一 ( s 承玩刃n + k ( 玩玩动n k ( 6 t ；口，p ) 2 k 台( s 矿n + k + l ，矿+ 1 一n c ；玩刃l x而o(tq2k+2i；p)qb t q 2 kp ) io ( t q( 习h ( 2 2 1 ) “( ，+ 1 ；g ，2 匕p ) c ”州 p 一叫 证明：将特征方程 产墼喽掣业生- ：缝孳掣堕娑k 笔：( 口；g ，p ) t 一七( 幻；g ，p ) i + u n , i 一( 萄玩刃n 一七( s 磊玩司n + 七 七 写成矩阵关系 啪加( 黥勰) ， 1 2 t i l l iw e l l p o i s e db a i l e y 链与超几何级数变换 第二章椭圆w p - b a i l e y 链 其中m ( t ，6 ；q ，p ) 与d 的定义同( 2 1 4 ) 看m ( t ，6 口，p ) 司逆则有 。= ( 器鬻k ) k a 卯卜 因此我们只需求出m - 1 ( ，6 ；9 ，p ) 为此，考虑如下分解 m ( t ，6 ；g ，p ) = x n ( b t ，t ) y ， 其中 x = ( 黥甓咄y = ( 揣揣) 由引理2 2 1 得 m 一1 ( t ，b ；g ，p ) = y 一1 n ( t ，b t ) x 一1 一( 9 ( t q 2 ；p ) o t q 2 七；p ) ( 1 b ；q ，p ) n k ( ；g ，p ) n + k 扩七、 = = 一一n 护( ；p )口( 配；p ) ( g ；g ，p ) n 一七( b t q ；q ，p ) 。+ k ”。 将( 2 2 3 a ) 代人到( 2 2 2 ) ，并比较所得等式两端矩阵( n ，k ) 位置元素且口得 口 进一步，我们还发现k 是厶o 的线性组合 定理2 2 2 借征方程的第二类解，设【a 。) n o ， 厶，七) 。，毛洳是满足特征方程俾砂 的两个序列，b c 0 则对任意整数n 0 ，有 k = 揣帮唿p ”( z z 4 ) h 2 而丽b ，亡；g l i 云) 缈 喜嬲q 谶q 鲤a ( c s ；p - ) ( 孙。 j 兰：【口；，p ) n i 【c s g ；，p ) n + ic 1 。 证明：当七= 0 时等式( 2 2 1 ) 可以写成 瓦s 夏玩爿如 l c 8 ，c j n = 乱暑赫玩司；瞻g ，吐帮c 蜊凡， 再次利用引理2 2 1 得 瞄孙司n 帮揣赜蟊扣讹 = 乩筹幢科一o ( s ；刃l 隅c s , c 批 1 3 矽 的吣 勉 舰 孙 仁 纰 勉 椭圆w e l l - p o i s e db a i l e y 链与超几何级数变换 第二章椭圆w p b a i l e y 链 将上式化简即得( 2 2 4 ) 口 定理2 2 2 揭示了似乎被忽视的一个事实： a 。和d n 七可以用来构造新的 椭圆w p ，b a i l e y 对基于其重要性，我们将它写成一个单独的推论为此我 们利用一个简单的关系 、( b t ；q ，p ) 2 n ( s 玩玩刃2 。j 7 一( 幻；q ，p ) 2 n ( c s ；玩刃2 。一 推论2 2 1 设( k ) 。孙 厶，k ) k o 是满足特征方程偿j 圳的两个序列，则 a 。( c s ，1 c ；玩刃，风( c s ，l c ；玩刃关于参数c s ，1 c ，虿和f 构成椭圆w p - b a i l e y 对， 其中 f 叫c s ，1 c 厕= 糌( 三) n 如； ， ( 2 2 5 ) 卜班厕= 帮揣瞄孙p n 糕黥( 弘n 注意到椭圆w p b a i l e y 链( 2 1 2 ) 中九和d r i ，七通常是依赖于b ，c 等参数 的，在变换8hc 8 ，ch1 c 下推论2 2 1 中的q 。( c s ，l c ；玩刃和风( c s ，1 c ；玩刃 可以唯一地变换成( s ，c ；玩动和风( s ，c ；玩回在下一章我们将会进一步讨论 推论2 2 1 的应用 结合定理2 2 1 和2 2 2 ，我们发现 如，) 咄0 事实上是它的子序列 “，o ) 。o 的一个线性组合从而，我们在构造椭圆w p - b a i l e y 链时 厶，七 。舱。要受这 一线性组合的限制 2 3椭圆w p - b a i l e y 引理 在本节我们将普通的b a i l e y 引理推广到椭圆、p b a i l e y 引理 引理2 3 1 设( a n ( t ，6 ；g ，p ) ，风( t ，6 ；q ，p ) 是相对于参数t ，b ，q 和p 的椭圆w p - b a i l e y 对，n 为一正整数则对任意序列_ 【a n ) n o ，有 其中 n n 如6 ( t q 轨；p ) q n ( 屯b ；q ，p ) = o ( b t q 2 七；p ) 仇( ，b ；q ，p ) s k ( b ) ， ( 2 3 1 ) n = o k = o ) = 萎错丽( t q ；q , p 而) n + 2 k - 1 州m 1 4 椭圆w e l l - p o i s e db a i l e y 链与超几何级数变换 第二章椭圆w p b a i l e y 链 证明：将( 2 1 1 ) 写成 ( z o ( t ，6 i g ，p ) ，风( 友6 ；g ，p ) ，) ? = m ( t ，玩口，p ) ( 咖( ，b ；q ，p ) ，( t ，b ；q ，p ) ，) t ， 其中上标t 表示矩阵的转置，m ( t ，6 ；g ，力与( 2 1 4 ) 相同利用反演关系( 2 2 3 a ) 解这个线性方程组得 州啪m 沪帮 砉蚴鬻窘器嗍t,b；q,p9(bt；p) b t q ； ) ( 2 3 2 ) 一鲁 ( g ；g ，力n i (g ，p ) 州。心、 p卜“7 将( 2 3 2 ) 代入到( 2 3 1 ) 并交换求和顺序即得( 2 3 1 ) 右端 口 下面的定理揭示了在 风( 屯玩毋p ) 与 ( 友6 ；g ，p ) ，之间存在着一种对称 关系 定理2 3 1 。设( a n ( t ，b ；q ，p ) ，风( t ，b ；q ，p ) ) 和( ( 8 ，c ；玩刃，疋( s ，c ；玩回) 是满足偿z 剀 的椭圆w p - b a i l e y 对，则对任意整数n 0 有 帮壹i糌铣勰辄厕=0 0 ( c s ；口( s ；刃厶刃( 蟊玩刃。一( c s 萄玩刃。“。州r 一州7 吐帮妻i篱訾砻器蔫屈c2删=0 t,b；q,po(t；p6 ( b t ；p ) 厶) ( g ；g ，p ) 。一t ( 6 幻；q ，p ) n + t ”胁o ，。 恤也o 证明：将( 2 3 2 ) 代入到( 2 1 2 ) 的第一个方程即得 口 利用引理2 3 1 我们可以将b a i l e y 引理推广到椭圆超几何级数情形 定理2 3 2 佛圆w p b a i l e y 引理j 设口。( t ，6 ；g ，p ) ，风( t ，6 ；g ，p ) 是相对于参数 t ，b ，q 和p 的椭圆w p - b a i l e y 对，为一正整数，则有 羹l g ，z ，。x q , ，y , ，z 。, 口q ，- 名n ，。q + 。；q ，二 n ( 詈) n a h c