（计算数学专业论文）内吸收多重非线性抛物组奇性解的渐近分析.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 本文研究几类具有内部吸收和耦合边界流的多重非线性抛物方程组奇性解的渐近 行为，包括由不同非线性机制占优而导致的多重b l o w - u p 速率，非同时与同时b l o w - u p 等 首先讨论了一个具有混合型内部吸收与耦合边界流的多重非线性模型通过引入特征 代数方程组得到其b l o w - u p 临界指标的清晰刻画特别引入包含两个新参数的另一类特 征代数方程组用以刻画多重b l o w - u p 速率非常有趣的是，这里得到了两个与吸收有关 的b l o w - u p 速率，而现有文献中的所有b l o w u p 速率结果都是与吸收无关的为进一步分 析这个现象到底来自混合型非线性还是耦合机制，又对比考虑了单一非线性耦合情形， 同样得到与吸收有关的b l o w - u p 速率，从而确认耦合机制在这里所起的关键作用此外， 本文还分别讨论了( 对称的) 负一负源和( 非对称的) 正一负源的边界流耦合抛物方程组的非 同时与同时b l o w - u p 问题，由此确定源的符号对引发非同时b l o w u p 的影响 本文得到的主要结果概述如下： ( i ) 关于多重b l o w - u p 速率 在第二章中，对于具有混合型内部吸收的方程u t = a u a l u m ，仇= a v a 2 e n v ， ( z ，t ) q ( 0 ，t ) ，附加边界条件嘉= e 删，赛= 舻，( 。，t ) o f t ( 0 ，t ) 的问题，先根 据比较原理建立b l o w - u p 临界指标，再利用g r e e n 表示公式和多重形式下的s c a l i n g 方 法【l 】得到了上述问题在n = 1 ( n 表示维数) 时的b l o w u p 速率需要提及的是，在现有 文献中，吸收项会影响临界指标、b l o w u p 时间以及b l o w u p 解所需初值等等，但不影 响b l o w u p 速率，而这里得到的多重b l o w u p 速率中有两种是与吸收有关的 第三章研究了具有幂型内部吸收的方程u t = 乱一a l u m ，v t = v x 一a 2 v n ，( x ，t ) ( 0 ，1 ) x ( 0 ，t ) 经由边界条件u $ ( 1 ，t ) = v p ( 1 ，亡) ，( 1 ，t ) = u q ( 1 ，) ，u ( 0 ，t ) = 0 ，( o ，t ) = 0 ， t ( 0 ，t ) 耦合的初边值问题，得到基于非线性指标分类完全的多重b l o w u p 速率，其中 也有两种速率是与吸收有关的这说明与吸收有关的b l o w - u p 速率是由耦合机制造成的 若p = q ，m = 佗，初值咖( z ) = v 0 ( x ) ，则方程组化为单个方程，而此时恰属于b l o w - u p 速 率与吸收项无关的指标区域，进一步说明存在与吸收项有关的b l o w u p 速率是耦合方程 组区别于单个方程问题所特有的现象 ( i i ) 关于非同时与同时b l o w u p 第四章考虑了方程u t = 一a 1 俨z ，v t = v 。一a 2 v p l ，( z ，t ) ( 0 ，1 ) ( 0 ，丁) ，附加 边界条件“霉( 1 ，t ) = u c 。2 v p ，( 1 ，t ) = u q v i 勤，u z ( o ，t ) = ( o ，t ) = 0 ，t ( 0 ，t ) 的解的非 同时b l o w - u p 首先借助对辅助问题的研究并引入截断函数得到一个基本引理，继而，结 合g r e e n 表示公式和s c a l i n g 方法最终得到了存在初值发生非同时b l o w u p 的充分必要 内吸收多重非线性抛物组奇性解的渐近分析 条件，以及所有b l o w - u p 必为非同时b l o w u p 的充分条件 第五章研究了u t = u 黜+ 俨t ，仇= z 一秒风，( x ，t ) ( 0 ，1 ) ( 0 ，t ) 经由边界条件 ( 1 ，t ) = u 口2 v p ，( 1 ，t ) = u q v f l 2 ，u x ( o ，t ) = ( o ，t ) = 0 ，t ( 0 ，t ) 耦合的方程组的解的 非同时b l o w - u p ，得到了与第四章相对应的结果两个分量u 和v 的非对称性导致了讨论 过程和所得结果都较前一模型更为复杂与第四章结果的对比可见源的符号对引发非同 时b l o w - u p 的作用 关键词：多重非线性抛物型方程组；非线性边界流；非线性源；非线性吸收；特征代数方 程组；渐近分析；b l o w - u p ；同时- 9 非同时b l o w - u p ；临界指标；b l o w - u p 速率；b l o w - u p 集 大连理工大学博士学位论文 a s y m p t o t i ca n a l y s i st os i n g u l a rs o l u t i o n so fm u l t i - n o n l i n e a r p a r a b o l i cs y s t e m sw i t hi n n e ra b s o r p t i o n s a b s t r a c t t h i st h e s i sd e a l sw i t ha s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs i n g u l a rs o l u t i o n sf o rm u l t i n o n l i n e a r p a r a b o l i cs y s t e m sw i t hi n n e ra b s o r p t i o n sa n dc o u p l e db o u n d a r yf l u x e s ，s u c ha sm u l t i p l e b l o w - u pr a t e su n d e rd i f f e r e n td o m i n a t i o n so fn o n l i n e a r i t i e s ，n o n s i m u l t a n e o u sv e r s u ss i - m u l t a n e o u sb l o w - u p ，a n ds oo n f i r s t l y , am u l t i n o n l i n e a rm o d e lw i t hi n n e ra b s o r p t i o n s a n dc o u p l e db o u n d a r yf l u x e so fm i x e dt y p en o n l i n e a r i t i e si sd i s c u s s e d t h ec r i t i c a le x p o - n e n ti so b t a i n e d ，a n dc l e a r l yd e s c r i b e dv i aas oc a l l e dc h a r a c t e r i s t i ca l g e b r a i cs y s t e m i n p a r t i c u l a r ，a n o t h e rc h a r a c t e r i s t i ca l g e b r a i cs y s t e mw i t ht w on e wp a r a m e t e r si si n t r o d u c e d t os i m p l ys h o wt h em u l t i p l eb l o w - u pr a t e s i ti si n t e r e s t i n gt oo b s e r v et h a tt w oo ft h e m u l t i p l eb l o w - u pr a t e so b t a i n e dh e r ed od e p e n do nt h ea b s o r p t i o ne x p o n e n t s ，u n l i k ea l l t h ek n o w nr e s u l t st h a tt h eb l o w - u pr a t e si nt h ec u r r e n tl i t e r a t u r e s ，t oo u rk n o w l e d g e ， a r ea l la b s o r p t i o n - i n d e p e n d e n t f u r t h e r m o r e ，i no r d e rt oe x p l o r et h er e a s o nf o rt h en e w p h e n o m e n o n ( i e ，i ti sd u et ot h em i x e dt y p en o n l i n e a r i t i e so rt h ec o u p l i n gm e c h a n i s m ) ， t h es a m ep r o b l e mi sc o n s i d e r e df o rt h ec a s eo fs i n g l et y p en o n l i n e a r i t i e s ，a n dt h eb l o w - u pr a t e so ft h es a m ep r o p e t i e sa r eo b t a i n e da l s o t h i si st oc o n f i r mt h a tt h ec o u p l i n g m e c h a n i s mp l a y st h ek e yr o l ef o rt h ea b s o r p t i o n r e l e v a n tb l o w - u pr a t e s i na d d i t i o n ， t h et h e s i sd i s c u s s e sn o n - s i m u l t a n e o u sb l o w u po fs o l u t i o n sf o rc o u p l e dp a r a b o l i cs y s t e m s w i t hn e g a t i v e n e g a t i v es o u r c e sa n dp o s i t i v e - n e g a t i v es o u r c e s ，r e s p e c t i v e l y t h e r e b y , t h e i n f l u e n c eo ft h es i g no fs o u r c e st on o n - s i m u l t a n e o u sb l o w - u pi sd e t e r m i n e d t h em a i nr e s u l t so b t a i n e di nt h i st h e s i sc a l lb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： ( i ) m u l t i p l eb l o w u pr a t e i nc h a p t e r2 ，f o rt h es y s t e mw i t hm i x e dt y p en o n l i n e a r i t i e s 让t = a u a l u m ，仇= a v a 2 e 俐i n ( 0 ，1 ) ( 0 ，丁) ，鬻= e 即，赛= 舻o na q ( 0 ，r ) ，t h ec r i t i c a lb l o w - u pe x p o n e n t i se s t a b l i s h e db yu s i n gt h ec o m p a r i s i o np r i n c i p l e f u r t h e r m o r e ，m u l t i p l es i m u l t a n e o u s b l o w u pr a t e so fs o l u t i o n sw i t hn = l ( i st h es p a c ed i m e n s i o n ) a r ee s t a b l i s h e db y g r e e n si d e n t i t ya n dt h es c a l i n gm e t h o d1 1 】i ts h o u l db em e n t i o n e dt h a ti np r e v i o u s l i t e r a t u r e s ，t h ea b s o r p t i o n sa f f e c tt h eb l o w - u pc r i t e r i a ，t h eb l o w u pt i m e ，a sw e l la st h e i n i t i a ld a t ar e q u i r e df o rt h eb l o w - u po fs o l u t i o n s ，a l lw i t h o u tc h a n g i n gt h eb l o w u pr a t e s ， w h i l eh e r es o m ea b s o r p t i o n - r e l e v a n ts i m u l t a n e o u sb l o w - u pr a t e sa r eo b t a i n e d i i i 内吸收多重非线性抛物组奇性解的渐近分析 i nc h a p t e r3 ，t h es y s t e m 饥= u 一a l u m ，仇= $ 一a 2 v 仃i n ( 0 ，1 ) ( 0 ，t ) w i t h c o u p l e db o u n d a r yf l u x e s ( 1 ，) = v p ，u z ( 1 ，t ) = u 9 ，u z ( o ，t ) = u 霉( o ，t ) = 0i sc o n s i d e r e d t h em u l t i p l es i m u l t a n e o u sb l o w u pr a t e so b t a i n e dw i t hac o m p l e t ec l a s s i f i c a t i o nf o ra l l t h en o n l i n e a rp a r a m e t e r so ft h em o d e l ，w h e r et w oa b s o r p t i o n r e l e v a n to n e sa r eo b s e r v e d a l s o t h i si st os a yt h a tt h ea b s o r p t i o n - r e l e v a n tb l o w - u pr a t e ss h o u l db ec a u s e db yt h e c o u p h n gm e c h a n i s m i fp2q ，m = 佗w i t hu o ( x ) = v 0 ( x ) ，t h es y s t e mr e d u c e st oas c a l a r p r o b l e m ，w h i c hb e l o n g st ot h ec l a s so fa b s o r p t i o n i n d e p e n d e n tb l o w u pr a t e t h i ss h o w s as u b s t a n t i a ld i f f e r e n c eb e t w e e nt h ec o u p l e ds y s t e m sa n dt h es c a l a re q u a t i o n sw i t hi n n e r a b s o r p t i o n s ( i i ) n o n s i m u l t a n e o u sv e r s u ss i m u l t a n e o u sb l o w - u p c h a p t e r4d e a l sw i t ht h ei n i t i a l b o u n d a r yp r o b l e mf o r 饥= u x x a l u ，v t = v x 茹一 入2 口p ti n ( 0 ，1 ) ( 0 ，t ) c o u p l e dv i au x ( 1 ，t ) = u 如u p ，v z ( 1 ，t ) = u q 庐，( o ，t ) = ( o ，t ) = 0 ， t ( 0 ，丁) f i r s t l y , b yi n t r o d u c i n ga na u x i l a r yp r o b l e ma n dac u t o f ff u n c t i o n ，ab a s i c l e m m ai sp r o v e d t h e n ，c o m b i n i n gw i t hg r e e n si d e n t i t ya n dt h es c a l i n gm e t h o d ，t h e n e c e s s a r y - s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rn o n - s i m u l t a n e o u sb l o w - u po fs o l u t i o n su n d e rs u i t a b l e i n i t i a ld a t aa sw e l la st h es u f i i c i e n tc o n d i t i o n su n d e r w h i c ha n yb l o w u po fs o l u t i o n sw o u l d b en o n s i m u l t a n e o u sa r ee s t a b l i s h e d c h a p t e r5c o n s i d e r sn o n - s i m u l t a n e o u sb l o w - u p o fs o l u t i o n sf o rt h es y s t e mw i t hp o s i t i v e - n e g a t i v es o u r c e s 饥= u z z + 乱们，y t = u 一护1i n ( 0 ，1 ) ( 0 ，? ) ，c o u p l e dv i ab o u n d a r y c o n d i t i o n su ( 1 ，t ) = u 口2 钞p ，( 1 ，t ) = u q v f h ，u 。( o ，亡) = v x ( 0 ，亡) = 0 ，t ( 0 ，t ) t h en o n - s y m m e t r yo fc o m p o n e n t s 扎a n dvl e a d st oam o r ec o m p l i c a t e dd i s c u s s i o n c o m p a r i n g w i t ht h ec o r r e s p o n d i n gc o n c l u s i o n sf o rt h et w om o d e l si nc h a p t e r s4a n d5 ，t h ec o n t r i b u - t i o n so ft h es i g n so fs o u r c e st ot h en o n - s i m u l t a n e o u sb l o w u po fs o l u t i o n sa r es h o w nh e r e c l e a r l y k e yw o r d s ：m u l t i n o n l i n e a rp a r a b o l i cs y s t e m ；n o n l i n e a rb o u n d a r yf l u x ；n o n l i n e a rs o u r c e ； n o n l i n e a ra b s o r p t i o n ；c h a r a c t e r i s t i ca l g e b r as y s t e m ；a s y m p t o t i ca n a l y s i s ；b l o w - u p ；s i m u l - t a n e o u sa n dn o n - s i m u l t a n e o u sb l o w - u p ；c r i t i c a le x p o n e n t ；b l o w - u pr a t e ；b l o w u ps e t i v 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工 大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料与我一同工作的同志对 本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 作者签名：袒日期：盟 大连理工大学博士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论 文版权使用规定 ，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学 可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文 作者签名：企盔 导师签名： 大连理工大学博士学位论文 1 绪论 这一章我们先概述本文所研究问题的实际背景和目前国内外的发展现状，然后简要 介绍本文的主要内容 1 1问题的背景及发展现状 非线性方程的定性理论是p o i n c a r d 于1 8 8 0 年左右在其天体力学的工作中奠立的，从 那时起，它一直都是纯粹数学和应用数学家非常关注的研究课题我们知道，描述大干 世界物质变化规律，无论物理、化学还是生物领域，凡是涉及质变现象或者涉及到与时 间变化及空间分布有关的问题的讨论时就必然要与非线性模型，特别是非线性偏微分 方程( 组) 打交道通常的对线性模型的讨论，只是局部( 时间或空间) 地讨论良变过程时 对模型的近似处理和简化与线性模型相比，对非线性模型的讨论通常会有本质性困 难，而且非线性问题的研究不存在一劳永逸的的统一工具和解决方法，非线性偏微分方 程( 组) 的极端复杂性直接反映了自然现象千变万化的极端复杂性非线性抛物型偏微分 方程( 组) 即是一类非常典型的非线性方程，其非线性项可以来自内部反应项( 源或吸收 项) 、对流项( c o n v e c t i o n ) 、扩散项( 高阶项) 、边界流项( a u x ) 以及由他们所形成的各种不 同的复杂的耦合关系所有这些非线性项都可能导致解的奇性的产生，例如：解在有限时 刻发生b l o w - u p ( 爆破) 、e x t i n c t i o n ( 灭绝) 、q u e n c h i n g ( 熄灭) 等，它们都具有明确的物理 意义，分别对应于( 固体燃料) 爆炸、( 种群) 灭绝、( 金属) 淬火等现象本文将主要讨论几 类具有内部吸收与耦合边界流的非线性抛物方程组的b l o w - u p 解的渐近行为 关于抛物方程的b l o w - u p 现象的研究由来已久，开创性工作是1 9 6 6 年f u j i t a 对半 线性抛物型方程( 1 ) 饥= a u + 伊的b l o w u p 临界指标的研究随后，包括f r i e d m a n ， l e v i n e ，w e i s s l e r ，g i g a ，g a l a k t i o n o v 在内的一批著名数学家进入这一研究领域对于方 程( 1 ) f u j i t a 临界指标的经典结果为p 。= 1 + 2 n 和p o = 1 ：若p 0 p c ( n ) ，则解对于大初值发生b l o w u p ， 而对小初值整体存在，其中为空间维数此后，人们开始研究各种类型的非线性 抛物型方程f u j i t a 临界指标，例如对非线性扩散方程( 2 ) u t = 俨+ 妒的初值问题有 p c = m + 2 n 和p o = m 人们还发现对有界域上的齐次d i r i c h l e t 问题有p 0 = p 。在 文献 2 】中r o d r i g u e z - b e r n a l 和t a j d i n e 对具有吸收项的半线性方程毗= a u 一厂( u ) 附 加n e u m a n n 边界条件繁= 夕( u ) 的初一边值问题得到解整体存在与不存在的条件 2 0 0 0 年之前关于临界指标的研究工作的综述见文献f 3 ，4 1 从二十世纪八十年代人们开始关注方程组的b l o w - u p 问题e s c o b e d o 在文献f 5 1 中 研究了弱耦合方程组饥= a u + v p ，仇= a v + 舻的临界指标；g a l a k t i o n o v 在f 6 ，7 1 研 内吸收多重非线性抛物组奇性解的渐近分析 究了有界域上的拟线性方程组u t = a u 蚪1 + 矿，v t = u p + 1 + 舻第一初边值问题 的临界指标z h e n g 在【8 ，9 】中对有界域上u t = a u + u p l v q l ，v t = a v + 泸u 啦的齐 次d i r i c h l e t 问题得到其解的整体存在与整体不存在的条件，以及整体解的整体有界性 对于毗= “，仇= u 附加非线性n e u m a r m 边界条件豢= u p l v q l ，嘉= u p 2 v q 2 问题， d e n g 在 1 0 1 0 0 研究了p l = q 2 = 0 情形，w a n g 在 1 1 中推广到p t ，吼0 ( i = l ，2 ) ，均得 到了方程组的解整体存在与不存在的条件对于具有内部吸收项的抛物组，z h e n g 等 在【1 2 1 4 中分别研究了拟线性方程组地= e 一a l e q 埘，v t = a e 彻一0 2 轳 边界条件 为嘉- - e q 2 缸切，爱- - _ e q u + 励v ，幂型方程组( u m ) t = 让一a l u 口1 ，( 矿) t = 一a 2 v b l 边值 条件为器= 让口2 矿，爱= 蚀，以及指数型方程组u t = 乱一a l e a h ，v t = a v a 2 e p l 边值条件为嘉= e a 。计p t ，嘉- - e q u + # ： 的临界指标对于含有混合型非线性项的方程组， r o s s i 和w o l a n s k i 1 5 】讨论了u t = a u + v p e 鲫，t j t = a v + u q 扩 齐次d i r i c h l e t 问题的解 对任意初值整体存在与不存在的条件，进一步地，m u 和s u p s l 将问题推广到拟线性情形 u t = + v p e 叫，v t = + u q 矿 随着研究的逐渐深入，人们在确定抛物方程( 组) 的b l o w u p 临界指标的基础上 又进一步研究b l o w u p 时刻附近奇性解的渐近行为，包括b l o w - u p 速率、b l o w - u p 集以 及p r o f i l e 关于b l o w u p 速率，f r i e d m a n 在【17 中率先给出了方程( 1 ) 饥= 心+ 伊的齐 次d i r i c h l e t 问题的解的b l o w - u p 估计( ，t ) l l o o = d ( ( 丁一亡) 声) 0 1 ) 文献 1 ，i s 得到 齐方程= u 附加n e u m a n n 边值爱= u p 问题的解的b l o w u p 速率为( ，t ) l l = 0 ( ( t t ) i 商) ( p 1 ) 对于方程组u t = a u + u q l v p l _ ， 1 3 t = a v + u q 2 v r n 的齐次d i r i c h l e t 问 题，z h e n g 在【1 9 】中于一定假设条件下通过引入线性方程组 、 p 1 1 q l t 9 l 1 il ll = ii ， 耽q 2 1 p 1 简单地将u 和口的同时b l o w u p 速率表达为d ( ( ? 一t ) 吨) 和d ( ( t 一亡) 一卢) 后来， w 抽g 【2 0 】进一步改进了上述b l o w u p 速率估计的条件f i l a 2 1 ，l i n 2 2 ，f u 2 3 1 ，w a n g l 2 4 】等 分别研究了幂型源与边界流耦合抛物组的b l o w u p 临界指标和解的b l o w u p 速率等问 题r d s s i 【2 5 】和z h e n g 等【2 6 l 各自得到具有幂型吸收项的方程u t = a u a u p 附加边界 条件是= 舻和具有指数型吸收项的方程u t = a u o e 肼附加边条件嘉_ - e q u 的 解的b l o w u p 速率，分别为l l u ( ，t ) l l o o = d ( ( t t ) 莉) ( p 2 q 一1 ，或p = 2 q l 且 a 口) 和e l l u ( - , t ) l l o o = d ( ( t 一芒) 看) ( p 2 q ，或p = 2 q 且a 小) 注意：这里的b l o w u p 速率均与吸收项指标无关最近，s o n g 研究了方程组u t = a u ，v t = a v 附加混合 型n e u m a n n 边界条件爱= e r , o u q ，象= e 跏札g 的b l o w u p 速率，在【2 7 】中对q = p = o 得到 i l 乱( ，t ) l l o 。= d ( ( t 一亡) 嚣) ，e l l ( ，。) o * = o ( ( t t ) 帮) ，在 2 s 中对0 q q + 1 或者礼 p + 1 时，一定存在初值使得一个分量发生b l o w - u p 而另一分量 仍有界；当m o ；qcr n 是具有光滑边界0 f l 的有界区域我1 f i l l 入 下两的特征代数方程组 的情形，即 f t 占= 钆一a l 乱m ，魄= 溶一a 2 e 伽， ( z ，t ) ( 0 ，1 ) ( 0 ，t ) ， | ( 王，主) = 酽( 1 ，豹，( 王，舌) = 舻( 1 ，) ，t ( o ，? ) ， i u x ( o ，t ) = 0 ，( o ，t ) _ 0 ，t ( 0 ，r ) ， 【u ( x ，0 ) = 乱o ( 茹) ，v ( x ，0 ) 一弼( 。) ，茹p ，王】， ( _ 101)(：)02 o 埘 其中 i 白，q ) ，当m 2 q + 1 ，n 2 q + 1 ，他 0 ，a l ，a 2 0 我们也得到多重b l o w - u p s 率：忙( ，t ) l l = o ( ( t 一 亡) 咄2 ) ，i i v ( ，t ) l l o o = 0 ( ( t 一亡) 一口2 ) ，其中( 口，p ) 是下面特征代数方程组 ( ：二：【) ( ；) = ( ：) ( p 1 ，口2 ) 0 ，必n + l 一1 ) ，当n + 1 刿q + l ，m + l 幽p + l ， ( 口，2 p m + 1 ( q + 1 ) 一1 ) ，当仇+ 1 2 p p ( q + + 1 1 ) ，礼+ 1 则q + l ， ，g ) ， 当m + 1 垄p 业+ l ，礼+ 1 垫q + l ， 且肛= m a x ( t m + l ，1 ) ，7 = m a x ( 下n + l ，1 ) 我们注意到这里也得到两类与吸收项指标m 和 佗有关的b l o w - u p 速率这表明我们在第二章得到的与吸收项指标有关的b l o w u p 速率并 非来自吸收项的混合型，其根本原因应该在于方程组的耦合机制 第4 章和第5 章分别研究( 对称的) 负一负源抛物模型 f 地= 钆一a l u 口l ，v t = u 弼一a 2 口卢1 ，( z ，t ) ( 0 ，1 ) ( 0 ，r ) ， u z ( 1 ，t ) = 让n 2 v p ，v x ( 1 ，t ) = u q v & ， 钆正( o ，t ) = 0 ， u ( x ，0 ) = 咖( z ) ， ( 0 ，t ) = 0 ， v ( x ，0 ) = v o ( z ) ， t ( 0 ，t ) ， t ( 0 ，t ) ， z 【0 ，1 1 ， 正一负源抛物模型 u t = u 霉z + 铲t ，仇= v z 茁一t ，( z ，t ) ( 0 ，1 ) ( o ，t ) ， u z ( 1 ，t ) = 让v p ，( 1 ，) = u q 口岛，t ( o ，丁) ， ( o ，t ) = 0 ，( 0 ，t ) = 0 ，t ( 0 ，丁) ， u ( x ，0 ) = “o ( z ) ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) ，z 0 ，1 】 的非同时b l o w u p 问题，这里p ，q ，九 0 ，啦，屈0 ，i = l ，2 我们得到这两个模型存在 初值使得解发生非同时b l o w u p 的充分必要条件，) 及b l o w - u p 必为非同时的充分条件 5 一 劬、_v，【 自称对 q 及以 一 内吸收多重非线性抛物组奇性解的渐近分析 二二= ： 我们特别给出三个表格以清楚地展示源的符号对引发非同时b l o w u p 的作用 6 大连理工大学博士学位论文 2 具混合型吸收项与耦合边界流的抛物组的b l o w - u p 速率 2 1问题介绍 本章考虑具有如下形式的内部吸收和耦合的边界流均为混合型的抛物方程组： f 让t = u 0 1 让仇，仇= a v 0 2 e 舢， ，t ) q ( o ，t ) ， 器= ，、 岛= 俨， ( z ，) 锄( o ，t ) ，( 2 1 ) 【u ( z ，0 ) = u o ( z ) ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) ，z q ， 其中仇，礼0 ，p ，q 0 ，a 1 ，a 2 o ；qcr 佗是具有光滑边界a q 的有界区域，且r l 为a q 上的外法向量；伽 ) ，v o ( x ) 是满足相容性条件的非平凡非负的光滑函数形如( 2 1 ) 的抛 物模型可以用来描述具有非线性吸收和非线性边界流的混合固体燃料的热传导过程( 参 见【3 9 ，4 1 - 4 6 ) 模型( 2 1 ) 中的非线性n e u m a n n 边界条件为交叉型边界流 文献 1 3 ，1 4 】分别研究了吸收项和耦合的边界流为单一非线性的抛物方程组 f 毗= “一0 1 u m ，v t = a v a 2 俨，( z ，t ) q ( o ，t ) ， 鬻= 矿， 丝o n = 札9 ， ( z ，t ) 弛( o ，丁) ，( 2 2 ) iu ( z ，0 ) = u o ( z ) ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) ，z q 以及 f 地= u a l e m 牡，仇= a v a 2 e n ，( z ，t ) q ( 0 ，r ) ， 舞= e p t ，器= e 弘， ( z ，t ) a q ( o ，t ) ，( 2 3 ) 【u ( z ，0 ) = u o ( z ) ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) ，z q 在【1 3 】和【1 4 中曾各自引入特征代数方程组 ( i - 二二y ) ( ：) = ( ：) 与 ( 一三m 三佗) ( ! ：) = ( ：) 分别刻画方程组( 2 2 ) 和( 2 3 ) 的b l o w - u p 临界指标，其中 p = 1 + ( 里尹) + = m a x ( 堡笋，1 ) ，7 = 1 + ( 孚) + = m a x ( 丁n + l ，1 ) 7 一 内吸收多重非线性抛物组奇性解的渐近分析 在本章中，方程组( 2 1 ) 的b l o w - u p 临界指标可由如下形式的特征代数方程组来描述： ( i - 三珏) ( ：) 一( ：) ， e 2 。4 ， 即， q = 孬2 而p + n ，吃一曩警兰专击， ( 2 5 )q 2 而，吃2 赫， ( z 5 其中 p = 1 + ( 孚) + = m a x ( 警，1 ) ( 2 6 ) 我们将证明：当l n ，l 豫 0 或l 吃 0 时解对大初 值是非整体的；两当l 曩= 1 ， 2 = 0 时，解的b l o w ，u p 与否将依赖于系数a l ，a 2 和指标 m 。这里( 圭a ，l l r 2 ) = ( 0 ，0 ) 酶定义由p q 一i n 对( 王及，王您) ( 冤( 2 5 ) 式) 豹极羧给出 我们主要讨论方程组( 2 1 ) 一维情形 l 弧= 摊一吼俨，仇一影豁一a 2 e 舢，( 嚣，t ) ( 0 ，1 ) ( o ，t ) ， 毛篇一毛豹溉( 1 。) _ 娥l ，玲( 瓯， ( 2 7 ) i 乱z ( o ，t ) 一0 ，( o ，t ) = 0 ，t ( 0 ，t ) ， 【t ( z ，0 ) 一t 幻( 。) ，v ( z ，0 ) = t 砸( z ) ，。【0 ，1 】 下豹多重阚时b 泌一毪p 速率，其中初俊满足u o ，v o 吞 0 ，u o ，0 ，毯：一a l 赠，一 a 2 e n v o 0 我们所确定融的三个不同的同时b l o w u p 速率可以通过下面的特征代数方程 组来简洁表达： ( ：) ( 丢) 一( ：) ， t 2 s ， 这里 l 囟，q ) ，当m 竖2 q + 1 ，髓 鬻， ( 痧l ，如) = ( a ，p ) = p ，譬( 鬻一；) ) ，当m 2 q + 1 ，n 纽q + l ， ( a l ，国 ( 暾2 ，阮 ( 铂，岛 8 一 ( 2 ，9 ) 当m 2 q + 1 ，珏 2 q + 1 ， 器。 ， 丑阶 ， 弘番曩 一一一一一 大连理工大学博士学位论文 借助于( 2 8 ) 一( 2 1 0 ) ，该方程组解的多重同时b l o w - u p 率即可表示为 c m o a x , 1 1u ( 。，懈一2 c 一 e x p m a x ( ，蝴t 一2 c ，亡_ t ， i = 1 ，2 ，3 最近，s o n g 在【2 7 】中研究了边界流为耦合的混合非线性型但不含吸收项的抛物方程 组 f 啦= 牡船， v t = 钝，( 。，t ) ( 0 ，1 ) ( 0 ，t ) ， j 姒1 d 秽o # 池( 1 。) _ 舻( 1 。) ，徙( 0 ，t ) ( 2 1 1 ) 、 - l 上， l u z ( o ，t ) = 0 ，( o ，t ) = 0 ，t ( 0 ，t ) ， 【u ( x ，0 ) = 咖( z ) ，v ( x ，0 ) = v 0 ( x ) ，z 【0 ，1 】 他得j i l j ( 2 1 1 ) 的b l o w - u p 速率为 c _ 口1 ) 的解( b l o w - u p 时间为t ) 证明了 i 罂( t 一亡) 声u ，t ) = 【0 1 ) l f 2