（应用数学专业论文）两类线性微分方程解的复振荡.pdf

t h ec 。m p l e x 。s c ；。a t ；。n 。ft h es。ut；。ns二f黜y1 8 8 4 4 9 6 缈 k i n d so fl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s g ur u i x i a n g b e ( h e n a nn o r m a lu n i v e r s i t y ) 2 0 0 8 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e l n a p p l i e dm a t h e m a t i c s l n c h a n g s h au n i v e r s i t yo fs c i e n c e t e c h n o l o g y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rh u a n gb i n m a y , 2 0 1 1 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由 本人承担 作者签名：日期o年月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编 本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书 2 、不保密囱 ( 请在以上相应方框内打“) 、j 作者签名： 导师签名： 日期：年月日 日期：以刃年户月叼日 摘要 本文主要研究两类线性微分方程解的复振荡，分别考虑了一类二阶和一类高阶的 情形，全文分为三个部分： 第一部分( 引言) 介绍了国内外研究现状及研究意义，并引进了相关的记号和定义，给 出了文章中要解决的问题 第二部分( 第二章) ，研究了一类具有形式，”+ ( a 1 e 酩+ a 2 e 韶) 厂+ a o e b z f = 0 和它 的非齐次式，”+ ( a 1 e 口z + a 2 e ) ，7 + a o 少厂= f ( 名) 的线性微分方程的复振荡，得到了 解的级，超级，零点收敛指数和二阶零点收敛指数的精确估计；进一步推广了陈宗煊，李纯 红程涛等人的结果 第三部分( 第三章) ，研究了一类具有形式，( 七) + a k l f ( k - d + + a l l + a o f = o ( a i 为亚纯函数) 和其非齐次形式，( 七) + a k - 1 ( k - 1 ) + + a l l + a o f = f ( 名) ( 山为亚 纯函数1 的线性微分方程的复振荡，考虑了在某个系数的迭代级处于支配地位时解的增 长性得到了解的迭代级和零点迭代收敛指数的精确估计进一步地推广了l k i n n u n e n 的 结果 关键词：亚纯函数，整函数，线性微分方程，级，超级，迭代级，零点收敛指数，零点迭代收 敛指数 一一一_ _ i i _ - - _ - _ _ _ _ _ _ _ - _ _ i - _ - _ _ _ _ _ _ i _ - ，_ _ _ - _ i _ _ _ _ ，- _ i - _ _ - 一 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，t h ec o m p l e xo s c i l l a t i o no ft w ok i n d st h a t i n c l u d i n gas e c o n do r d e r a n dah i g ho r d e ro fl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw e r ec o n s i d e r e dr e s p e c t i v e l y i tc o n t a i n s t h r e ep a r t s ： i np a r t1 ( c h a p t e r1 ) ab r i e fi n t r o d u c t i o no fp r e s e n ts i t u a t i o no ft h i sf i e l di n d o m e s t i ca n df o r e i g n ，t h es i g n i f i c a n c eo ft h es t u d y , a n dt h er e s u l t st h a tw eg e ti nt h i s t h e s i sw e r eg i v e n 。a l s os o m er e l a t e dd e f i n i t i o n sa n ds i g n sw e r eb r o u g h ti n i np a r t2 ( c h a p t e r2 ) t h ec o m p l e xo s c i l l a t i o no fs o l u t i o n so fac e r t a i ns e c o n do r d e r h o m o g e n o u sl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o no ft h ef o r mf ”+ ( a 1 e 口。+ a 2 e ) + a o e b z f = 0 a n di t sn o n - h o m o g e n o u sf o r m 厂“+ ( a l e + a 2 e c z ) f + a o e b z f = f ( z ) w e r ei n v e s t i - g a t e d ；a n dt h es h a r pe s t i m a t i o no ft h eo r d e r ，t h eh y p e r - o r d e r ，t h ee x p o n e n to fc o n v e r - g e n c eo fz e r o - s e q u e n c ea n dt h ee x p o n e n to ft h eh y p e r - c o n v e r g e n c eo fz e r o - s e q u e n c e o fs o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n sw h i c hi m p r o v et h er e s u l t so fc h e nz o n g x u a n ，l ic h u r l - h o n g ，c h e n gt a ow e r eo b t a i n e d i np a r t3 ( c h a p t e r3 ) t h ec o m p l e xo s c i l l a t i o no ft h ek i n do ft h ef o r m ，( 七) + a k 一1 ，( 七一1 ) + + a 1 + a o f = 0a n di t sn o n h o m o g e n o u s ，( 詹) + a 七一1 ，佧一1 ) + + a l f + a o f = f ( z ) w e r ei n v e s t i g a t e d ，t h ei t e r a t i v eg r o w t ho r d e ra n dt h ee x p o n e n to f i t e r a t i v ec o n v e r g e n c eo fz e r o - s e q u e n c eo ft h es o l u t i o n sw h e nt h ei t e r a t i v eo r d e ro fa c e r t a i nc o e f f i c i e n ti si nd o m i n a n tp o s i t i o nw e r ec o n s i d e r e da n dt h ep r e c i s ee s t i m a t i o n o ft h ei t e r a t i v eo r d e ra n dt h ee x p o n e n to fi t e r a t i v ec o n v e r g e n c e o fz e r o - s e q u e n c ew h i c h f u r t h e ri m p r o v et h er e s u l t so fl k i n n u n e nw e r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i o n ；e n t i r ef u n c t i o n ；l i n e a rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ；o r d e r ；h y p e ro r d e r ；i t e r a t i v eo r d e r ；t h ee x p o n e n to f c o n v e r g e n c eo fz e r o - s e q u e n c e ；t h ee x p o n e n to fi t e r a t i v ec o n v e r g e n c eo f z e r o - s e q u e n c e i i 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第一章引言( 1 ) 1 1 国内外研究现状及意义( 1 ) 1 2 基本定义( 1 ) 1 3 预备知识( 3 ) 1 4 本文主要结果( 4 ) 第二章 一类二阶线性微分方程解的复振荡( 6 ) 2 1 引言及主要结果( 6 ) 2 2 引理( 7 ) 2 3 定理2 1 1 的证明( 9 ) 2 4 定理2 1 2 的证明( 1 3 ) 第三章一类迭代级亚纯函数系数微分方程解的复振荡( 1 7 ) 3 1 引言与主要结果( 1 7 ) 3 2 引理( 1 8 ) 3 3 定理3 1 1 的证明( 1 9 ) 3 4 定理3 1 2 的证明( 2 0 ) 3 5 定理3 1 3 的证明( 2 1 ) 3 6 定理3 1 4 的证明f 2 2 ) 结论( 2 4 ) 参考文献( 2 5 ) 致谢( 2 9 ) 附录( 攻读学位期问所发表的学术论文目录) ( 3 0 ) 第一章引言弟一早 ，ii 1 1国内外研究现状及意义 对复域微分方程解的研究始于上世纪八十年代，它是一门边缘领域，是跨学科的研 究它研究的范围包括：一，解的复振荡即解的零点收敛指数和极点收敛指数，二，解的增 长性；二者统称复振荡理论它是以复分析的理论和方法，n e v a n l i n n a 值分布理论，w i m a n - v a l i r o n 理论等为研究工具 从1 9 8 2 年s 。b a n k ，i l a i n e ，对二阶齐次线性微分方程解的复振荡的研究开始，随后该 领域吸引了j k l a n g l e y , g g u n d e r s e n ，s h e l l e s e i n ，g f r a n k ，m o z a w a ，m f r e i 等在此领 域做出了大量有意义的工作，并得到了一系列深入的结果在我国何育赞教授，高仕安 教授，陈宗煊教授多年致力于此领域的研究，不仅在二阶方面做了突破性的进展，而且推 广到高阶，并在这两个方面对级，超级，零点收敛指数，零点迭代收敛指数的估计取得了很 精确的结果 自1 9 9 8 年l k i n n u n e n 研究了复域微分方程解的迭代级和零点迭代收敛指数开始，国 内许多学者开始着手这方面的研究，如曹廷彬，涂金，徐峻峰等，并得到有意义的结论 2 0 0 4 年北京大学伍胜健教授首次研究了复振荡中的辐角分布，得到了零点聚值线 与b o r e l 方向之间的关系；随后曹廷彬等开始在单位圆和角域中来研究微分方程解的复 振荡 由于微分方程的实振荡有着广泛的实际应用背景，因此复振荡的研究在理论上是 有意义的，在实践中也会有意义的 1 2 基本定义 我们使用n e v a n l i n n a 值分布理论的标准记号 1 】，如n ( r ，f = n ) 表示r _ l = f ( z ) 一 a m 零点个数，重级零点按重数计算；( nf = 口) 表示亚纯函数厂( 名) 的n 指点密指量，t ( r ，) 表 示亚纯函数厂( 名) 的特征函数；m ( r ，厂) 表示亚纯函数，( 名) 的平均值函数 定义1 2 1 【2 】设厂( z ) 为开平面上的亚纯函数，则定义，( z ) 的增长级盯( ，) ，零点( 计 及重数) 及不同零点( 不计及零点) 的收敛指数a ( 厂) 和天( ，) 分别如下： 盯( ，) _ y ，百。l o g l t 。g ( r r , f ) r _ o 。l ( ) g r 入( f ) = 甄l i m 警 - ( 肛戛警 当厂( 名) 为整函数时有： 彤) _ l - 丽- l o g l o g t ( r r , f ) = 甄警 1 定义1 2 2 俐 1 段设，( 名) 为亚纯函数，定义，( z ) 的超级眈( ，) 为： a 2 ( f ) = j l 。i m l o gl o l g 哪t ( r , f ) r l o g7 如果厂( z ) 为整函数，那么： t r 2 ( f ) = 1 - - 百l o g l o g l o g l o gr m ( r , f ) 一面r - - o o 警 另外规定： e x p o ，= r ，e x p l r = e 7 ，e x p t + lf = e x p ( e x p l r ) ，e x p 一1r = l o g r l o g o r = r ，l 0 9 1 r = l o g r ，l o g f + 1 r = l o g ( 1 0 9 l r ) ，l o g 一1r = e x p l r 定义1 2 3 1 3 1设ec 【1 ，。) ，则我们定义e 的对数测度m l ( e ) 为m l ( e ) = 掣dt00 ， ，i，、 其中x e 为e 的特征函数，即： j1 v x e c z ，= 三：主言： 定义1 2 4 阁 设叫( z ) = 扩为整函数，则对给定的7 ，我们称p ( r ) = 瓣 i n n i r n ) 为叫( z ) 的最大项，称u ( 7 ) ：m 轰耘：p ( r ) ：i 口n i p ) 为伽( z ) 的中心指标当r ：o 时，定 义u ( 0 ) = p ，其中为叫( z ) 的t a y l o r 展开式的第一个非零系数 定义1 2 5 【3 1设集合ec ( 0 ，o 。) ，e 的线性测度记为：m ( e ) ，其对数测度记为m l ( e ) = 厶譬，上下对数密度分别记为： 一d e n s e = 毫掣l o g r，逝e = 虹。掣l o g r r + o 。 定义1 2 6 1 4 1 。非常数亚纯函数，( 名) 的迭代级唧( ，) 定义为： a p ( f ) = h 1 - 丽。- l o g p l o t g ( r r , f ) ， 注1 ：( 1 ) ：盯1 ( ，) = ( ，) ，( 2 ) ：，( z ) 为整函数时： 咄)=1-1-1-1-1-丽-logplogt(rr,f)-=甄警 定义1 2 7 1 4 1 亚纯函数，( z ) 的迭代级的增长指标i ( ，) 定义为： f 0 若，是有理函数； 酊) = p n 刨卜耐黧黼鬻砘耕 l礼v 1 史1 寻仉。i ，j 。o ： 【o 。 对于所有的仃都有( ，) = o o 定义1 2 8 f 4 】 亚纯函数厂( z ) 的口值点序列的迭代收敛指数( ，一口) 定义为： a n ( f 叫吐( ， 扣戛譬 ) 2 亚纯函厂( z ) 的不同n 值点序列的迭代收敛指数定义为： w 刊：矶：甄譬( p ) 注2 ：( 1 ) ：入1 ( ，一a ) = 入( ，一a ) ( 2 ) ：a a ( f a ) = a ( ，一n ) 定义1 2 9 【4 】 亚纯函数，( z ) 的。值点序列的迭代收敛指数的增长指标i a ( 厂一n ) 定 义为 ， 1 0 若n ( n - ，1 - 。) = o ( 1 0 9r ) ； l m i n n n ：入n ( ，) o 。) 若存在某个n 使 i a ( ，n ) = 得入n ( 厂一o ) o 。； 1 o 。对于所有的n 都 i 有入n ( ，一n ) = 0 0 1 3 预备知识 w i m a n v a l i r o n 理论 1 】 设，是一个超越整函数，6 为常数满足0 6 m ( r ，f ) u ( r ，) 一 + 6 的点，则除去一对数测度为有限的值r 的集 合外，有 梨：( 掣) m ( 1 + 0 ( 1 ) ) +f( 一= i l il + ，ll1 z ) 、 z 7r r 川 n e v a n l i n n a 理论： n e v a n l i n n a 第一基本定理【1 l 设函数，( z ) 于i z i 尺( o 。) 内为亚纯函数，a 为任一 有穷复数，则对0 7 r 有 m ( 7 ，志) + ( r ，志) = 丁( r ，) + l o gl c r i + g ( 叩) ， 其中c r 为币b 在原点t a y l o r 展式中的第一个非零系数，l ( 7 ，口) i l o g + l a l + l 0 9 2 n e v a n l i n n a 第二基本定理【1 】设函数f ( z ) 于l z i 兄( 。) 内为亚纯函数，不退化 为常数，3 l a y ( = 1 ，2 ，g ) 为口( 2 ) 个有穷复数，且m i n l 曼l ，l o 若f ( o ) 0 ，o 。；f 7 ( o ) o ，则对0 r r 有 m ( r ，) + m ( 邮p ) 2 t ( r ，) 一1 ( r ) + s ( r ，n 其中 1 ( r ) = ( 2 n ( r ，f ) 一y ( r ，厂，) ) + n ( r ，击) ， 跗= 嘶，芋) + m 萎q 万f , ) + q l o g + + l o s2 + 1 唱南 对数导数引理【1 】设函数f ( z ) f f ：i z l r ( o 。) 内亚纯函数，若f ( o ) 0 ，。o ；，7 ( o ) 0 ，则对0 r 仃 r ：f f r e ( r , 芋) 1 0 + 4 l o g + l o g + 丽1 + 2 1 0 9 + 吾+ 3 l o g + 鬲1 + 4 l o g + a + 4 l o g _ t ( 吖) 3 若，( 名) 为无穷级亚纯函数，则有 m ( r ，手) = 。 l 。g ( r t ( n ，) ) ) ，r 譬e ，m z ( e ) o 。 若厂( 名) 为有穷级亚纯函数，则有 r e ( r , 争d ( 1 0 9 n 1 4 本文主要结果 本文将在第二章和第三章给出如下六个定理： 定理2 1 1 设如( z ) ( o ) 是整函数，r a ( a j ) 1 ，0 = 0 ，1 ，2 ) ，a ，b ，c 是非零常数，满 足| 6 | m a x l a l ，i e l 那么方程( 2 1 ) 的解具有以下性质： ( i ) 所有非退化解满足天( ，) = 入( ，) = 盯( ，) = o o ( i i ) 除去以下两种情况： ( 1 ) 当a r g a = a r g b = a r g c ， m a x l a l ，i e l 时； ( 2 ) 当a r g a ，a r g b ，a r g c 不完全相等时，i 厶| m i n l a l ，l c f ) ；方程的每个解都有：a 2 ( f ) = 1 定理2 1 2 设如( z ) ( o ) 是整函数，r a ( a j ) 1 ，u = 0 ，l ，2 ) ，a ，b ，c 是非零常数，满 足| 6 l m a x l a l ，i c l ；f ( z ) o 是整函数，r a ( f ) o 。，那么方程( 2 1 ) 的解具有以下性 质： ( i ) 至多除去一个有穷级例外解如( z ) 外，其他所有非退化解满足天( ，) = 入( ，) = o ( f ) = c x ) ( i i ) 如果存在一个有穷级例外解，o ( z ) ，那么它满足：o ( o ) m o 天( ，) ，仃( f ) ，1 ) ( i i i ) 除去以下两种情况： ( 1 ) 当a r g a = a r g b = a r g c 时，有1 6 i m a x l a l ，i e l ； ( 2 ) 当a r g a ，a r g b ，a r g c 不全相等时，有 m i n l a l ，i c | ；则除去至多一个例外解，0 ( 2 ) ； 方程的每个解都有万( ，) = a z ( ，) = c r 2 ( 厂) = 1 定理3 1 1 假设如( 名) d = 0 ，1 ，k 一1 ) ，是亚纯函数，满足：i a ( 赤) = l ( j = o ，1 ，七一1 ) ，a 1 ( 去) a 1 ( a o ) 并且有： m a x a p ( a j ) ( j = 1 ，k 1 ) ) a p ( a o ) = 盯， 那么对于微分方程( 3 1 ) 的任一非零亚纯解t 厂都有：听1 ( ，) = 仃 定理3 1 2 假设如( z ) o = 0 ，1 ，k 一1 ) ，是亚纯函数，凋- u - 匕：z , 从石1 两) = l ( j = 0 ，1 ，k 一1 ) ，a l ( 击) 盯1 ( 凡) 并且有： m a x a p ( a j ) ，( 0 j k 一1 ，歹s ，s o ) ) 唧( 4 。) = 仃， 若微分方程( 3 1 ) 存在无穷级亚纯解厂，那么有：唧+ l ( f ) 唧( 凡) a n ( f ) 4 定理3 1 3 假警a a 名) o = o ，1 ，七一1 ) ，f 是亚纯函数，满足：i a ( 南) = 1 ( j = 0 ，1 ，k 一1 ) ，a l ( 击) c r l ( 凡) ，i ( p ) = g 且有： 仇n z 唧( a j ) ) a p ( a o ) = 盯 a p ( a o ) ，则：i ( ，) = i ( f ) = q , o q ( f ) = ( f ) ( i i ) i 若q pa q ( f ) a p ( a o ) 测：i ( ，) = i a ( ，) - p + 1 ( ，) = + l ( ，) = a p + 1 ( ，) = a p ( a o ) 至多除去一个例外解如 定理3 1 4 假设4 ( z ) = 0 ，1 ，k 一1 ) ，尸是亚纯函数，满足：i 入( 赤) = l ( j = o ，l ，k 一1 ) ，入1 ( 击) a l ( a 。) ，i ( f ) = 口并且有： m a z 唧( a j ) ) a p ( a 。) = 仃 a n ( a 。) ，则：i ( 厂) = i ( f ) = q , a q ( f ) = ( f ) ( i i ) i 若：q pa q ( f ) c r p ( a 。) ，则：q 件1 ( 厂) a p ( a 。) 咋( ，) ，i ( f ) = i x ( ，) ，页0 1 ( 厂) ： 升1 ( ，) = d 计1 ( ，) 至多除去一个例外解 5 6 定理2 1 e n 设如( z ) ( o ) 是整函数，且盯( a ) 1 ，o = 0 ，l ，2 ) ，a ，b ，c 是三个非零 复常数，满足i o l m a x i b l ，i c l ；f ( z ) 0 是整函数，且仃( f ) o 。；那么方程 7 + a l e ，+ ( a o e k + a 2 e ) ，= f ( z ) 满足： ( i ) 除去至多一个有穷级例外解 ( z ) 外，方程其他所有非零解都满足灭( ，) = a ( ，) = a ( f ) = o 。 ( i i ) 如果存在一个有穷级例外解局( z ) ，则满足：盯( 知) m a x - f ( f ) ，盯( f ) ，1 ) ( i i i ) 除去情况q r 妒= a r g b = a r g c 和( i i ) 中的有穷级例外解如外，方程其他非零 f 晖f ( z ) 都满足石( ，) = a 2 ( ，) = c r 2 ( ，) = 1 我们自然地会想到对于方程( 2 1 ) ( 2 2 ) 的解是否也会有定理2 1 d u 定n 2 1 e 相似 的结论呢? 我们接下来用以下两个定理来解释这个问题 定理2 1 1 设如( z ) ( o ) 是整函数，r a ( a i ) 1 ，( j = 0 ，1 ，2 ) ，a ，b ，c 是非零常数，满 足i b i , n a x l a l i e l 那么方程( 2 1 ) 的解具有以下性质： ( i ) 所有非退化解满足天( ，) = 入( 厂) = a ( f ) = o o ( i i ) 除去以下两种情况： ( 1 ) 当a r g a = a r g b = a r g c ，i b i ma x l a l i e l 时； ( 2 ) 当a r g a ，a r g b ，a r g c 不完全相等时，i b i m i n l a l ，i c i ) ；方程的每个解都有：c r 2 ( 厂) = 1 定理2 1 2 设如( z ) ( o ) 是整函数，r a ( a i ) l ，d = 0 ，1 ，2 ) ，a ，b ，c 是非零常数，满 足i b i m a x l a l ，i c l ；f ( z ) o 是整函数，j l a ( f ) 。o ，那么方程( 2 2 ) 的解具有以下性 质： ( i ) 至多除去一个有穷级例外解知( z ) 外，其他所有非退化解满足天( 厂) = a ( ，) = 盯( ，) = 0 0 ( i i ) 如果存在一个有穷级例外解，o ( z ) ，那么它满足：o ( f o ) m a x x ( f ) ，仃( f ) ，1 ) ( i i i ) 除去以下两种情况： ( 1 ) 当a r g a = a r g b = a r g c 时，有i b i ma i x l a l ，i e l ； ( 2 ) 当a r g a ，a r g b ，a r g c 不全相等时，有i b i o ，都存在一个具有穷线性 测度和对数测度的集合日c 【1 ，o 。) ，使得对任意= 7 隹 0 ，1 】u e l 则有： e 印 一r 卅) 0 是给定的常数，则存在一个常 数c 0 和一个集合岛c o ，2 丌】，且m 岛= o ，使得如果毋o 0 ，2 7 r ) 一易，那么有一常 数凡= r o ( 砂o ) 0 使得对所有满足a r g z = 如且h = r r o 的z 我们有： l 帮| o ，对任意的7 e 3c ( 1 ，o 。) ，易是无穷对数测度集，则满足m ( r ，) c l e x p ( c 2 r 7 ) ，其中c 1 ，c 2 是两个正常数 引理5 【6 】勘( z ) = ( a + i e ) z n + ( + 例0 ) ( o z ，p 是实数) 是一个度为n l 的多项式，a ( z ) ( o ) 是整函数，k a ( a ) 0 ，存在零测度集合e 4c 【0 ，2 7 r ) ，满足对任 意0 【0 ，2 r ) 一( e 4ue s ) ，存在r o ，使得z l = r r 时有： ( i ) 如果6 ( p ，0 ) o ，那么 e 印 ( 1 一e ) 6 ，o ) r n ) l f ( r e 徊) i e x p ( 1 + e ) 6 ( p ，0 ) r n ( i i ) 如果6 ，p ) o ，那么 e x p ( 1 + e ) 6 0 ，o ) r n ) o 是一给定常数，那么： ( i ) 存在一有限线性测度集合风c 【0 ，o 。) ，使得对所有满足i z i 甓邑的名和对所 有( 南，j ) h ，有： l 豁酬”烈眯) ( i i ) 存在一有限对数测度集合易c 【1 ，o o ) ，使得对所有满足i z i 圣岛u o ，1 】的z 及对 所有( 七，歹) h ，有： i 豁酬伪卅卜1 + c ) ( i i i ) 存在一线测度为零的集合e sc 【0 ，2 7 r ) 如果妒【0 ，2 丌) 一e s ，那么存在常 数r o = r o ( 妒) l ，使得对所有满足a r g z = 妒，i z i = r r oz 以及对所有的( 尼，j ) h ， 有： i 豁川”烈一 8 引理7 【6 】设f ( z ) 是整函数，i f ( 岛) ( 名) i 在射线a r g z = 口上是无界的，那么存在一无穷点 列钿= e 坩，( m = 1 ，2 ，) 其中r m _ o o ，满足，( 詹) ( ) 一o 。和 ，( f ) ，_、 i 踹1 s1 z m l k - j ( 1 + d ( 1 ) ) = 0 ，1 ，k 一1 ) 一 、 ， 引理8 【3 】( p h r a g m e n - l i n d e l o ft h e o r e m ) 设( z ) 在角域d = z ：q a r g z p ；r o r l 则在 域d 内有i f ( z ) i m ，当且仅当，( z ) 是常数时等号成立 2 3定理2 1 1 的证明 当n = c 时，由定n 2 1 b 我们可以得到盯( ，) = 。o 所以我们只需证明情况口c 假 设方程有超越解，满足盯( ，) = o ，存在一个线测度 为零的集合e 4c 【0 ，2 7 r ) ，对任意g o 【0 ，2 r r ) 一( e 4u 尾) ，存在r 0 ，当= ， r 时 、( i ) 如果5 ( b z ，0 ) 0 那么 e z p ( 1 一e ) 6 ( ，名，p ) r ) i a o e k l e x p ( 1 + e ) 6 ( 6 z ，p ) r )( 2 3 1 ) ( i i ) 如果i j ( b z ，0 ) 0 那么 e x v ( 1 + e ) 6 ( 6 z ，p ) r ) r o 任意的z 有： l 错酬眯；i 铬腓i1 2 1 ( 2 3 3 ) 由于r e ( b z ) = 6 ( 比，0 ) r i b i = l b i tc o s ( a r g b + 口) ，我们只需讨论a r g a ，a r g b ，a r g c 之间 的关系我们将证明分为三种情形： 情形( i ) ：当a r g a = a r g b = a r g c 时；显然a ，b ，c 在同一条射线上，在把这种情形分为 两种情形： 情形( i ) ：当 m a x l a l ，l e l 时，不妨设l a i = ma x l a l ，l e l ，对方程( 2 1 ) 我们可得： i a o e b q l 铬铬i i a l e a z + a ，e = 1 ( 2 3 4 ) 若a ( b z ，0 ) 0 ，把( 2 3 1 ) ( 2 3 3 ) 代x ( 2 3 4 ) 式，对任意的妒 0 ，2 r r ) 一( & u 岛t ob ) a r g z = 妒，h = r m a x r ，r o ) 有： e z p ( 1 一e ) 6 ( 6 z ，o ) r i z l 2 ( 叮+ + i z l ( 盯“ e 印【( 1 + e ) 5 ( a z ，o ) r ) + e x p ( ( 1 + e ) a ( c z o ) r i 2 1 2 1 2 ( 卅) e x p ( 1 + e ) a ( a z ，p ) r 9 即为 e x p ( 1 一e ) j ( 6 z ，e ) r 一( 1 + e ) 6 ( a z ，o ) r ) si z l 2 p + ( 2 3 5 ) 设o e o ，可得到： e 印( ( 1 一e ) j ( 6 名，口) 叫 p ( 1 + o ( i z l 七) ) r k - 2 ( 1 + o ( i z l 七一2 ) ) + r k - 1 ( 1 + o ( i z l 七一1 ) ) e 印 ( 1 + e ) 6 ( a z ，口) r ) + e x p ( 1 + e ) a ( c z ，p ) 7 2 r 七一1 ( 1 + o ( i z l 七一1 ) ) e 茁p ( 1 + e ) 6 ( a z ，口) r ( 1 + 0 0 ) ) 即为： e x p ( 1 一e ) 6 ( 6 z ，p ) 7 - 一( 1 + e ) 6 ( 。名，p ) r ) ； ( 2 3 6 ) 设r2r 和o m a x r ，r o ， 有： e x p ( ( 1 一e ) j ( 虹p ) r ) 丁( 2 7 ，) 3 + t ( 2 7 ，) 3 e x p ( ( 1 + e ) 而l a l6 ( 眩p ) r ) + e x p ( 1 + e 、 丝l b l6 ( p ) r e x p ( 1 - c ) 砌硼m 2 t ( 2 吖) 3 e x p ( 1 + c ) 饼慨咿) ) e x p ( 1 一e ) 胍p ) r 一( 1 + e ) 而l a l 纠2 t ( 2 r ，) 3 令o 1 ，满足对任意z 有a r g z = 妒，i z i = r m r o 和对任意的实数对( 尼，j ) h 我们得到： e x p ( 1 一e ) 5 ( a z m ，口) ) se x p ( 1 + e ) 6 ( c 钿，口) + 1 2 h i 叮+ + l z 。l ( 1 + o ( 1 ) ) e x p ( 1 + e ) 6 ( 6 2 h ，o ) r m 3 i i 寸机e z p ( 1 + e ) 6 ( c ，o ) r m ) 即有： e x p ( 1 一e ) 6 ( a z = ，口) 一( 1 + e ) 6 ( c ，p ) ) 3 i r 不妨令o e 髓格，当佗_ o o ，在上式就产生了矛盾，因此在射线。叼z = o _ k ；n ：l f i 0 ) 取积分曲线为l = t l a r g t = 0 ，0 i t l ) 则有：i 厂( 名) l i 厂( o ) i + l 后( t ) d t l 所以在射线。叼z = o _ k n 足：l f l m l z l 2 情形( 2 ) 5 ( b z ，0 ) 0 ，设i ( z ) i 在射线a r g z = 口上无界，由q l n 7 存在点列钿= e 棚，( m = 1 ，2 ，) ，当r m _ o o 时，有i ，”( ) l o o 和 i 糕l i z m l ( 1 + o ( 1 ) ) i 器i | 锄+ d ( 1 ) ) 从方程( 2 1 ) 得到： 1 i 端j i a o e b z + i 粥l l a l e 名+ a 2 e 。q 即有： 1 i 1 2 e 印 ( 1 一e ) j ( o ) r i + l z d ( 1 + o ( 1 ) ) e x p ( 1 - - e ) 6 ( a z m ，口) r ) + e 印 ( 1 一e ) 6 ( c ，p ) r ) ) 当n _ o 。，上面的不等式趋于零，这样就产生矛盾 因此假设不成立所以我们得到l ，”i m 用和情形( 1 ) 中相同的方法在射线a r g z = 护我们有：i f i r o 的z 有i f ( z ) i e x p r 外) 令o i 0 ，2 7 r ) 一( 及u 既ub ) ，0 = 1 ，2 ，扎) 满足