（计算数学专业论文）二维浅水波方程的galerkin方法.pdf

二维浅水波方程的g a l e r k i n 方法 摘要 浅水波方程在地球大气，海洋，环境及水利工程清洁能源的开发利用等领 域中有广泛应用，例如海啸和风暴潮的预报，沉积物和污染物的运移，河口和近 海水域的潮汐能捕捉等近三十年来，由于基于无结构网格的有限元方法可以 很容易地处理复杂几何问题，因此其在浅水波问题的数值研究中得到了快速发 展最近的一些进展有特征g a l e k i n 有限元非线性g a l e r k i n 有限元局部间断 g a l e r k i n 有限元，最小二乘有限元时空间断有限元等 本文中我们主要研究二维深度平均浅水波方程组的两种g a l e r k i n 有限元 解法，包括m m o c a a - g a l e r k i n 方法以及间断g a l e r k i n 与连续g a l e r k i n 耦合方 法 m m o c ( 特征线修正方法) 是一种基于特征线的时间步长方法其核心是将 时间导数与对流项合并成沿特征方向的方向导数与标准时间步长方法相比 m m o c 在相同精度下容许更大的时间步长，并且能够消除过多的非物理震荡和 数值弥散但可惜的是，m m o c 并不能保持质量守恒为了消除m m o c 中的质 量平衡误差，d o u g l a s 等( 2 5 j2 6 】) 提出了m m o c 的一个变形一m m o c a a ( 调整 对流的修正特征线方法) 通过在特征点施加高阶扰动m m o c a a 不仅保持了 所期望的守恒性而且也保持了m m o c 概念上和计算上的优势在本文第3 章 我们给出了二维浅水波方程的m m o c a a g a l e r k i n 构造，并得到了速度和水高 在俨( ( o ，t ) ；2 ( q ) ) 范数下的次优阶误差估计，以及速度在z 2 ( ( o ，t ) ；7 - 1 ( q ) ) 范 数下p ( - t - a t ) 形式的最优阶估计这些估计与m m o c g a l e r k i n 构造f d a w s o n 等 1 9 ) 的精度是相同的而且算法分析表明，该格式以较小的额外计算量改善 了全局质量守恒 间断g a l e r k i n 方法有很多良好性能如融合稳定高阶逼近的能力，关于 h p 自适应的灵活性以及局部守恒性但是，与连续g a l e r k i n 方法相比，间断 g a l e r k i n 方法的计算量却大很多最近，d a w s o n 等( 2 0 - 2 2 3 8 1 ) 针对浅水波方 程研究了间断g a l e r k i n 与连续g a l e r k i n 的耦合方法其基本想法( 见f 2 1 1 ) 是在 解的陡峭前沿处或者在局部守恒比较重要的地方应用间断g a l e r k i n 方法，在解 相对光滑处应用连续g a l e r k i n 方法以兼顾效率与性能在本文的第4 章我们 将文献 2 ( ) 中的耦合方法应用于更为复杂的浅水波系统，主要增加了非线性对 流项和外部力的分析所采取的耦合策略是，对原始连续方程应用间断g a l e r k i n 方法对非守恒动量方程应用连续g a l e r k i n 方法 关键词：浅水波方程m m o c a a g a l e r k i n 方法，质量守恒间断g a l e r k i n 方法连续g a l e r k i n 方法收敛性分析 g a l e r k i nm e t h o d sf o r s h a l l o w 珂白t e r t w od i m e n s i o n a l e q u a t i o n s a b s t r a c t t h es h a l l o ww a t e re q u a t i o n sh a v eaw i d er a n g eo fa p p l i c a t i o n si nt h ee a r t h s a t m o s p h e r e ，o c e a n ，e n v i r o n m e n t a la n dh y d r a u l i ce n g i n e e r i n g ，a n dc l e a ne n e r g t e x p l o i t a t i o n r e l a t e di s s u e si n c l u d et s u n a m i sa n ds t o r ms u r g e sp r e d i c t i o n ，s e d i - m e n ta n dc o n t a m i n a n tt r a n s p o r t ，t i d a le n e r g tc a p t u r i n gi ne s t u a r i e sa n dc o a s t a l r e g i o n s ，e t c b a s e do nu n s t r u c t u r e dm e s h e s ，t h ef i n i t ee l e m e n ta p p r o a c h e sc a n h a n d l ec o m p l e xg e o m e t r yw i t he a s e ，t h e r e f o r et h e yh a v eb e e nd e v e l o p e dr a p i d l y i nt h en u m e r i c a ls t u d yo fs h a l l o ww a t e rw a v e so v e rt h ep a s tt h r e ed e c a d e s t h e r ea r es o m er e c e n ta d v a n c e s ，s u c ha sc h a r a c t e r i s t i c g a l e r k i nm e t h o d n o n = l i n e a rg a l e r k i nm e t h o d ，l o c a ld i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o da n ds p a c e t i m e d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o d i nt h i st h e s i s ：w em a i n l ys t u d yt w ot y p e so fg a l e r k i nf i n i t ee l e m e n tm e t h o d f o rt h et w o - d i m e n s i o n a ld e p t h a v e r a g e ds h a l l o ww a t e re q u a t i o n s ，w h i c hi n c l u d e t h em m o c a a - g a l e r k i nm e t h o da n dt h ec o u p l e dd i s c o n t i n u o u sa n dc o n t i n u o u s g a l e r k i nm e t h o d t h em m o c ( m o d i f i e dm e t h o do fc h a r a c t e r i s t i c s ) i sat i m e s t e p p i n gp r o c e d u r eb a s e do nt h ec h a r a c t e r i s t i c s ，t h ec o r eo fw h i c hi st oc o m b i n et h et i m ed e r i v a - r i v ea n dt h ea d v e c t i o nt e r ma sad i r e c t i o n a ld e r i v a t i v ea l o n gt h ec h a r a c t e r i s t i c s t h em m o ca l l o w sf o rl a r g e rt i m es t e p st h a nt h o s eo fs t a n d a r dt i m e s t e p p i n g m e t h o d sw i t h o u tt h el o s so fa c c u r a c y , a n de l i m i n a t e st h ee x c e s s i v en o n p h y s i c a l o s c i l l a t i o na n dn u m e r i c a ld i s p e r s i o na sw e l l u n f o r t u n a t e l y , t h em m o cc a nn o t p r e s e r v em a 8 8c o n s e r v a t i o n t oe l i m i n a t et h em a s sb a l a n c ee r r o ri nt h em m o c av a r i a n to ft h em m o c c a l l e dt h em m o c a a w a sp r e s e n t e db yd o u g l a se t a 1 ( 2 5 ，2 6 】) b yi m p o s i n gah i g h e r - o r d e rp e r t u r b a t i o no nt h ef o o to fc h a r a c t e r - i s t i c s ，t h em m o c a ad o e sp r e s e r v et h ed e s i r e dc o n s e r v a t i o np r o p e r t ya n da l s o t h ec o n c e p t u a la n dc o m p u t a t i o n a la d v a n t a g e so ft h em m o c i nc h a p t e r3 ，w e p r e s e n tt h em m o c a a g a l e r k i nf o r m u l a t i o n sf o rt h et w o - d i m e n s i o n a ls h a l l o w w a t e re q u a t i o n s i ti ss h o w nt h a t ，t h es c h e m ey i e l d ss u b o p t i m a l - o r d e re r r o r e s t i m a t e sf o re l e v a t i o na n dv e l o c i t yi n 掣o o ( ( o 丁) ；c 2 ( q ) ) a n da l lo p t i m a l - o r d e r e s t i m a t eo fo ( h e + a t ) f o rv e l o c i t yi n 俨( ( o ，丁) ；7 l f l ( q ) ) t h e s ee s t i m a t e sp r e s e r v et h es a m ea c c u r a c ya st h em m o c g a l e r k i nf o r m u l a t i o n s ( d a w s o ne ta 1 ： ( 19 】) f u r t h e r m o r e ，a c c o r d i n gt ot h ea l g o r i t h ma n a l y s i s ，t h es c h e m ei m p r o v e s g l o b a lm a s sc o n s e r v a t i o na tam i n o ra d d i t i o n a lc o m p u t a t i o n a lc o s t d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o d sp o s s e s san u m b e ro ff a v o r a b l ep r o p e r t i e s s u c ha st h ea b i l i t yt oi n c o r p o r a t es t a b l ea n dh i g h e r o r d e ra p p r o x i m a t i o n s ：t h e f l e x i b i l i t yw i t hr e s p e c tt oh p - a d a p t i v i t y , a n dt h el o c a lc o n s e r v a t i o np r o p e r t y h o w e v e r c o m p a r e dw i t hc o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o d s ，d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i n m e t h o d sh a v em u c hl a r g e ra m o u n to fc a l c u l a t i o n r e c e n t l y , d a w s o ne ta 1 ( 2 0 - 2 2 ， 3 8 ) h a v ei n v e s t i g a t e dac o u p l e dd i s c o n t i n u o u sa n dc o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o d f o rt h es h a l l o ww a t e re q u a t i o n s i t sb a s i ci d e a ( s e e 【2l 】) i st ou s ed i s c o n t i n u o u s g a l e r k i nm e t h o dw h e r et h es o l u t i o nm i g h th a v es h a r pf r o n t so rl o c a lc o n s e r v a t i o n i si m p o r t a n t ，a n dt ou s ec o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o dw h e r et h es o l u t i o ni sr e l a - t i v e l ys m o o t h ，s oa st ob a l a n c eb e t w e e ne f f i c i e n c ya n dp e r f o r m a n c e i nc h a p t e r4 w ee m p l o yt h ec o u p l e dm e t h o di n 2 0 】t oam o r ec o m p l e xs h a l l o ww a t e rs y s t e m ， m a i n l ys u p p l e m e n t i n gt h ea n a l y s i so ft h en o n l i n e a rc o n v e c t i o nt e r ma n de x t e r n a l f o r c e s t h ec o u p l i n gs t r a t e g ya d o p t e di st ou s ed i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o d f o rt h ep r i m i t i v ec o n t i n u i t ye q u a t i o na n dt ou s ec o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o df o r t h en o n c o n s e r v a t i v em o m e n t u me q u a t i o n s k e y w o r d s ：s h a l l o ww a t e re q u a t i o n s ，m m o c a a g a l e r k i np r o c e - d u r e ，m a s sc o n s e r v a t i o n ，d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o d ，c o n t i n u o u s g a l e r k i nm e t h o d ，c o n v e r g e n c ea n a l y s i s 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：凑哥签字日期：2 , 0 0 7 年岁月2 手日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在 解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：冰哥 签字日期：协1 年，月珥日 j 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 新繇飞絮学导师签字：曲絮酹 签字日期：，7 年月叫日 电话： 邮编： 第1 章综述 二维浅水波方程被广泛应用于沿海、海湾、河口及湖泊等的水动力模拟浅 水波问题的精确建模及数值求解，对发展经济、保护生态环境及公共健康有重 要意义相关的问题涉及风暴潮、海啸、洪水的预报，潮汐能量的商业利用浅 水波模型与输运模型相结合，还可用于模拟污染物输运、海上油膜扩散、盐度温 度的输运、泥沙运动等，对污染物治理、渔业发展、河道疏通等有应用价值浅 水波方程的主要数值难点包括：它由非线性双曲守恒律方程与非线性对流扩散 ( 含粘性项情形) 方程耦合而成：定义区域复杂陆地边界和底部海床往往不规 则：动量方程中的物理源项复杂等等目前为止，己有大量关于浅水波方程的数 值解法，如有限差分法【9 ，测，有限体积法 8 ，l 圳，有限单元法 4 ，5 ，1 2 ，1 3 ，1 9 ，3 2 , 4 5 ，5 1 】等 1 1浅水波有限元模型的发展 1 9 7 2 年，w a n g 等m 在气象学研究中。率先将g m e r k i n 有限元方法应用于 浅水波问题的数值求解三十几年来，出于对复杂区域流体流动模拟的需要，基 于无结构网格的有限元浅水波研究吸引了众多学者的目光，浅水波理论不断成 熟，数值模型不断完善早期的浅水波有限元模型受到严重的空间伪震荡的困 扰为了有效消除这种虚假的短波震荡，研究者们使用了各种技巧，包括在动量 方程中引入粘性项。增大底部摩擦系数等，但效果都不理想1 9 7 9 年，l y n c h 和 g r a y 4 0 】提出了波连续方程模型( 参见第2 章) ，该模型在不引入数值或人工阻尼 不牺牲物理长波精度的前提下，有效控制了短波误差1 9 8 6 年，k i n n m a x k 3 3 】在 波连续方程中引入数值参数g ，用于替代原方程中的摩擦因子7 - ，得到了广义波 连续方程模型( 参见第2 章) 该模型在不破坏波连续方程模型波传播特性的同 时通过调整g 的取值：又建立了原始连续方程与波连续方程之间的平衡尽管 能够有效捕捉“2 a x ”波，广义波连续方程模型在处理解的非线性比较显著的问 题时，并不能保持质量守恒1 9 9 4 年，k o l a r 等【3 5 3 6 】的研究表明，通过恰当地选 择参数g ，重构对流项以及恰当地处理边界等措施，广义波连续方程模型中的局 部质量平衡误差得到了一定程度的控制2 0 0 5 年，d r e s b a c k 等【2 3 】通过数值实验 和截断误差分析发现，在广义波连续方程模型中选用守恒动量方程替代非守恒 二维浅水波方程的g a l e r k i n 方法 动量方程( 参见第2 章) ，能够更好地改进局部和全局质量守恒 对浅水波模型不断完善的同时，研究者们也在致力于数值解法的不断改进 特征法以及间断g a l e r k i n 方法是目前比较流行的两种数值方法，具有较好的数 值特性，应用前景广阔，给浅水波问题的研究开拓了新思路 1 2 基于特征的数值方法 工程和应用科学领域中大量问题都可归结为对流扩散输运问题，其中也包 括本文要研究的浅水波问题这类问题包含两个主要部分，非耗散部分( 对流项) 和耗散部分( 扩散项) ，前者具有双曲特征，后者具有抛物特征当对流占优时，问 题的难度加大，许多原本在抛物问题中表现出良好性能的数值方法应用中却出 现了过多的非物理震荡和数值弥散在解决这一困难的过程中，一些新的数值方 法得到了发展，特征法就是其中之一 现有文献中，特征法有多种形式【1 1 】，如m o c ( 特征线法，或称为e u l e r i a n l a g r a n g i a n 法，简写为e l m ) ，m m o c ( 修正特征线法，或称为对流扩散法，简写 为t d m ，也称为算子分裂法，简写为o s m ) ，m m o c a a ( 调整对流的修正特征 线法) ，e l l a m ( e u l e r i a n - l a g r a n g i a n 局部共轭法) ，l c e l m ( 局部守恒e u l e r i a n l a g r a n g i a n 法) 等 1 9 8 2 年，d o u g l a s 和r u s s e l l 24 l ，p i r o n n e a u 4 纠提出m m o c ( p i r o n n e a u 称之 为t d m ) 该方法基于特征方向进行时间离散，与传统的时间步长方法( e u l e r i a n 法) 相比，不仅有效控制了非物理震荡和数值弥散，而且容许更大的时间步长， 无需使用高度精细网格，从而提高了计算效率 m m o c g a l e r k i nf c h a r a c t e r i s t i c g a l e r k i n 或l a g r a n g e g a l e r k i n ) 方法，将 m m o c 与标准的g a l e r k i n 有限元方法相结合，近二十年来在理论研究和应 用领域取得了深入广泛的进展在浅水波问题中的应用可参阅文献5 ，1 9 ，5 1 虽然m m o g 方法有很多好的数值属性，但在守恒性方面却存在着一个缺 陷，就是无法反映出与实际物理问题相关的质量守恒关系近些年来陆续形成 了一些具有守恒性质的特征方法，例如上面提到的m m o c a a 2 5 t 2 6 j e l l a m 圳， l c e l m 2 7 l 等，最新进展还可参阅文献f 4 3 1 1 3间断g a l e r k i n 方法 间断g a l e r k i n ( d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i n ：简写为d g ) 方法最早由r e e d 和 2 二维浅水波方程的g a t e r k i n 方法 h i l l 在1 9 7 3 年针对中子输运方程提出经过几十年的发展，d g 方法已成为计算 流体动力学领域相关问题如可压缩流不可压缩流半导体器件模拟，多孔介质 中污染物输运等的主要研究方法近些年来应用范围还在不断扩展，新领域如二 阶椭圆问题，k d v 方程h a m i l t o n j a c o b i 方程等【1 8 1 1 8 。d g 方法是一种局部守恒 的稳定且具有高阶精度高度并行的有限元方法，适于复杂边界问题易于实 施自适应策略目前，该方法的主要形式有r k d g ( r u n g e k u t t a 间断g a l e r k i n ) 方法，l d g ( 局部间断g a l e r k i n ) 方法等r k d g 方法( 参阅c o c k b u r n s h u 等 自1 9 8 9 年以来的系列论文，如文献f 1 6 1 ) 是将d g 方法的分片线性空间离散与 显式t v d 二阶r u n g e - k u t t a 时间离散相结合，同时引入斜率限制器以改进精 度增强稳定性该方法在非线性守恒律方程及方程组中有较好效果r k d g 方法应用于对流一扩散问题的过程中形成了l d g 方法【硎该方法的基本构造 思想是将对流一扩散方程改写为个更大型的退化一阶方程，再利用r k d g 方 法进行离散 2 0 0 0 年，s c h w a n e n b e r g 等【4 4 】最先将r k d g 方法引入浅水波问题2 0 0 1 年，李 宏和刘儒勋【3 9 j 将r k d g 方法应用于守恒形式无粘性浅水波方程，并给出了斜 水跃对称渠道收缩圆形溃坝及激波聚焦问题的数值模拟2 0 0 2 年，a i z i n g e r 和d a w s o n a 1 将l d g 方法应用于守恒形式粘性浅水波方程，并给出了超临界 流：复杂区域标准潮流，河流流入及污染物输运等问题的数值模拟2 0 0 2 年起： d a w s o n 等【2 吨2 ，3 8 】将d g 方法与c gf 连续g a l e r k i n ) 方法的耦合方法应用于浅 水波方程主要策略包括对不同方程实施不同的方法以及对不同的划分区域实 施不同的方法，进而做策略比较关于浅水波方程d g 解法的近期发展，可参阅 文献【2 8 ，2 9 ，3 一】 1 4 本文的结构 本章中，介绍了浅水波问题的应用背景，模型发展以及与本文相关的两种 数值方法第2 章，介绍二维浅水波方程的基本形式，给出简化浅水波方程的 推导过程以便对方程中的参数及未知量有更深入的理解第3 章，在浅水波 m m o c g a l e r k i n 逼近【1 9 】的基础上，引入相应的m m o c a a g a l e r k i n 逼近，并给 出误差分析第4 章，将基于简化浅水波模型的间断g a l e r k i n - 连续g a l e r k i n 耦 合方法 2 0 】推广至一般的浅水波方程，并给出误差分析；针对模型问题给出数值 算例 3 第2 章二维浅水波数学模型及其建立 2 1 二维浅水波方程 考虑如下二维浅水波方程组! 1 2 ，1 3 1 ： 兰差+ v 小日) _ 0 ( 2 1 ) m 三筹+ t 上v t 正+ r b u + g v 一等( 心阿) + f = 0 ( 2 2 ) 其中( 2 1 ) 为( 原始) 连续方程。缩写为c e ；( 2 2 ) 为非守恒动量方程：缩写 为n c m e 该方程组的两个未知量分别为= ( z ，t ) 和u = u ( z ：亡) ，z = ( x l ，x 2 ) r 2 ( z ，t ) 表示基准面以上自由面的高度，k ( z ) 表示基准面以 下的深度，日= + h b 为水体总高度，心= ( 让1 ( z ，) ，仳2 ( z ，) ) 丁表示深度平均 水平速度夕为重力加速度，p 0 为常粘性系数丁6 ( f ，u ) = c ，旦半为 底部摩擦函数( c i = 斋为底部摩擦系数，c 为c h e z y 系数) 作用力函数 f = 六七x 乱一击8 + 唧d g v a ；，包括地转c o r i o l i s 力表面风切应力，表面 大气压力梯度和潮夕势( 丘= 2 w s i n q 为c o r i o l i s 参数，u 为地转角速度，a 为纬 度k 为垂向局部单位向量。，p 口分别为自由面上的风应力和大气压力，为 牛顿平衡潮汐势1 ：- z 程( 2 2 ) 中：粘性项茜( u 阿) 还有其他的形式，如# a u ，苦v ( v t 正) 但 是由于肛的取值较小，因此不同表达式在实际应用中区别不大，主要差异体现在 数值分析的过程【6 】由于粘性项的存在，方程组( 2 1 ) ( 2 2 ) 可视为双曲一抛物耦 合方程组：如果粘性被忽略：即“= 0 ，则相应的浅水方程组归结为完全的双曲 方程组 1 ，2 】 除上述形式外，方程组( 2 1 ) ，( 2 2 ) 有另外几种与之等价的形式 一种情形：将非守恒动量方程( 2 2 ) 替换为守恒动量方程( 缩写为c m e ) ： m c 三o ( _ u f h ) + v ( h 让q 让) + u h + g h v 一p ( u 日) + 日f ：0 ( 2 3 ) 方程( 2 3 ) 由( 2 ，1 ) ，( 2 2 ) 推导而来事实上，m 。兰h m + u l = 0 二维浅水波方程的g a l e r k i n 方法 具他情彤，如弟1 草堤剑的将连续万栏( 2 1 ) 替快为汲连续万程( w c e l 4 u 1 ) ： w 兰等+ 丁筹一v v ( 日u 。u + ( 乃一丁) u h + 9 日v + “v 筹+ h f = 。( 2 4 ) 其中，7 - 为底部摩擦因子方程( 2 4 ) 由( 2 1 ) ，( 2 3 ) 推导而来事实上， w 兰酉o l v m 。+ 7 - 三= o 在波连续方程( 2 4 ) 的基础上：形成了广义波连续方程( g w c e 川) ： i 俨三筹坷m 。+ g l = o g w c e 与w c e 相比，方程中的g 并不具有实际的物理意义，而只是一个 数值参数，其作用是控制解的数值属性g w c e 可以看作是在浅水波连续方程 中，建立原始连续方程( c e ) 与波连续方程( w c e ) 之间的一种平衡，这种平衡通 过参数g 来调节当g 取值为7 时g w c e 就转而成为w c e ：g 的取值越大， g w c e 越接近c e ，当g 趋近无穷大时g w c e 无限趋f i _ c e 【3 4 】 2 2二维简化浅水波方程的推导 浅水流动是指具有自由表面的浅水体在重力作用下的流动具备几个基本 特征：( 1 ) 垂直运动尺度远小于水平运动尺度；( 2 ) 水平流速沿垂向近似呈均匀分 布，可用其平均值代替；( 3 ) 垂向速度及垂向加速度可忽略不计从而水压近似呈 静压分布；( 4 ) 水面近似水平，水底坡度较缓【4 6 】 借助于浅水流动的上述特征，反映三维不可压缩流体运动规律的n a v i e r s t o k e s 方程可简化为二维浅水波方程下面，以二维简化浅水波方程为例，做一 下推导【4 9 】 令( z l ，z 2 。x 3 ) 为水体的三维坐标：z = ( z 1 ，z 2 ) 为水体的水平坐标，( “l ，u 2 u 3 ) 为水体的三维速度：乱= ( 仳l ，u 2 ) 为水体的水平速度设基准水面以上水体自由 面高度为( z ，) 基准水面以下水体深度为h b ( x ：t ) ，h = + 为水体总高度 定义浅水体自由面的方程为：f ( z ：z 3 ，t ) 三x 3 - - f ( z ，t ) = 0 三维不可压缩流体的连续方程为： 尝+ 丝+ 娑：o o a z l x 2 。a z 3 。 6 ( 2 5 ) 二型堂塑墼整 三维不可压缩流体的动量方程为： 鲁+ “罄+ u ：差+ 啦豢- f u 2 = p i 石9 p ， 豢+ u 筹+ 让。差+ 仳。罄十加：昙亳： 鲁+ “z 两g q u 3 + 让。豢+ 仳s 豢+ 9 = 一昙塞 ( 2 6 a ) ( 2 6 b ) ( 2 6 c ) 对方程( 2 5 ) 沿垂向从一h b 到f 积分得： 。( 差+ 面c 日? z 2 + 州霉卜吲2 ，也= 0 ( 2 7 ) 由自由面上的运动边界条件知墒叫蚺时，全导数等= 0 ，肌 以z ，即) 一袅如一乱( r e ( 州) ：o 同理，在流体底部，即当z 3 ：一k ( 2 ，。) 时，有： “。( 2 ，一 6 ，亡) + 麦玩( z ，z ) + 心( z ，一玩，z ) v ( 2 ，) ：o 令面= ( 面l ，面2 ) 为深度平均水平速度 啦告l 哇? - t l d x 3 ， 撕2 万，k 吣耗。喊啦2 万上h 地如3 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 很琚焚限积分求导法则：对i = 1 ，2 ： 差如。= 丢( 日蚴飞( 玳去鼬飞( z ，一熹( 州) ( 2 1 0 ) 将( 2 8 ) 一( 2 1 0 ) 代入( 2 7 ) 中：得二维浅水波连续方程： 等+ 击( 硒) + 去( 何豇。) ：誊+ v 怛面) 一o ( 2 1 1 ) 其次推导二维浅水波动量方程 7 二维浅水波方程的g a l e r k i n 方法 根据静水压力假定，( 2 6 c ) 简化为：- o p ：一册，则 o x 3 p = p n + 阳( 一x 3 ) ，p n 为自由面x 3 = 上的大气压 从而 卸8 乏 两。触石， 将( 2 1 2 ) 代入( 2 6 a ) ，( 2 6 b ) ，得： a p8 _ o x 22p g _ o x 2 等地瓦o u a + u 乱 ，1 2 2 2 ：u - 3 , t u - - + g b 比- 石x i _ 0 ，i f + u 1 万石+ ud z 2 + 乱z 3 一广 十 2u ， 丝o t + 钆- 差+ u 。差+ 札s 差+ m + 夕差= 。一十钆1 石+ u 2 瓦+ 札3 瓦+ ，u l + 夕瓦- u 接下来，仍需对方程( 2 1 3 a ) ，( 2 1 3 b ) 沿垂向从- - h , b 到积分 与( 2 1 0 ) 类似，对i = 1 ，2 ： ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 a ) ( 2 1 3 b ) 。等如s = 袅( 她) 叫州) 缸咄( 矿k ) 瓦0 姒勘( 2 1 4 ) 根据不可压缩条件( 2 5 ) ，得 咱喜差= 喜掣小 对方程( 2 1 5 ) 沿垂向从- h b 到积分，并利用( 2 8 ) ：( 2 9 ) ，对i = 1 ；2 ，有： a 讹 乱岛：一c l x 3 d x k = 喜。掣如3 = 喜。笔岩如3 + 。等掣如s = 喜去。u i u k d x 3 - - u i c 咄吾2 州呱瓦0 淞 仳七( z ，一，) 瓦0 ( z ，t ) + “i ( 2 ，f ，t ) 札3 ( z ：f ：t ) 一u i ( x ：一 6 ：t ) ，u 3 ( z ，- h b ，t ) 兰七，。u i u k d x 3 + u i ( z ，z ) 晏( z ，t ) + u t ( z ，危e ，亡) 晏危a ( z ， 8 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 掣 。脚 = 丝 3 随 。 b 厂，一 。随 幻 b h z ，l ， u ， 一 二维浅水波方程的g a l e r k i n 方法 ( 2 1 4 ) 与( 2 1 6 ) 利加得： 。t ( 酉o u i + 喜u ，c 瓦a l t i , 。= 晏c 日鳓+ 喜去。乱i l t k 如s ：。2 ， 记乱l = 五i + 面i ( i = 1 ，2 ) 贝0 对i ，七= 1 ，2 ，有： 。蚝u t 如3 = 日蛐：+ 诹。雹如3 + 诹。魂如3 + 。硒池s c 2 船， ( 2 1 8 ) 等号右端后三项忽略不计，并利用( 2 i i ) ，则( 2 1 7 ) 可变形为： 。( ( 瓦o u i + 善3 “砖差) 如。 = h 瓦0 面i 十乱i 瓦o h + 玩喜掣十日若2 面七蓑 c 2 - 9 ， = 日( 等+ 擎差) ，2 易知， 。凡如s = ，。9 差如s = 9 日差，z = - 一 c 2 七。， ( 2 1 3 a ) ，( 2 1 3 b ) 沿垂向从h b 到日积分，并利用( 2 1 9 ) ，( 2 2 0 ) ，得二维浅水波动 量方程： o 们f l i u id o z f l ，1 + 百。d 0 7z f z i i + 9 苓o z l ，- f a 2 = 0 ， 2 z i a 、) 们 d z 】+ 乱2d z i + 9 瓦】 u 垫+豆，差+面2象+9差+一=。(2210t j u i ( z z t o ) 一+ 乱1 石十u 2 瓦+ 9 瓦十 _ u 。 ( 2 2 1 a ) ：( 2 2 1 b ) 的向量形式如下： 蓑拇v u + g v f 协面_ 0 ( 2 2 2 ) 这样就推导出了由( 2 1 1 ) ，( 2 2 2 ) 组成的二维简化浅水波方程其中，( 2 1 1 ) 与( 2 1 ) 形式相同，( 2 2 2 ) 与( 2 2 ) 相比，缺少了底部摩擦项，粘性项以及不包含 c o r i o l i s 力的外部作用力 需要指出的是虽然二维浅水波方程是由三维不可压缩流方程推导而来，但 是从数学形式来看，它与可压缩流e u l e r 方程却是非常相似从这一角度出发： 可压缩流问题与浅水波问题在研究方法匕是可以相互借鉴的 9 第3 章二维浅水波方程的m m o c a a g a l e r k i n 方法 考虑定义在柱形区域f t ( 0 ，丁1 的二维浅水波方程组： 筹拇( 删三等栅v 日+ h ( v 训= 0 ， ( 3 1 ) 票+ 乱v u + 9 v ( h h ) 一# a u + 7 b u + f = 0 ( 3 2 ) qcr 2 为有界多边形区域，边界为a q ，记晓= qua q t 为正常数将a q 划分 为流入和流出两部分即a q = o f t ，u0 f t o 其中a q ，= z 锄：u 礼 o ) ，佗 为a q 上点z 处的单位外法向量方程组中各变量的具体含义参照第2 章 假定( 3 1 ) ，( 3 2 ) 满足初边值条件： h ( x ，0 ) = 凰( 茁) ， z f t ； u ( z ，0 ) = u o ( x ) ， z f t ； ，。o 、 日( z ，t ) = h ( x ，t ) ，( z ，t ) a q ，( 0 ，明； u ( x ，t ) = 0 ，( z ，t ) 0 1 2 ( 0 ：卅 其中日o ( z ) ，u o ( z ) 及疗( z ，t ) 给定 d a w s o n 等【1 9 】在假定问题是q 一周期的前提下，给出了方程组( 3 1 ) ，( 3 2 ) 的 m m o c g a l e r k i n ( 特征线修正有限元，文献 1 9 称之为c h a r a c t e r i s t i c g a l e r k i n ) 格式：并进行了收敛性分析，得到的结果是速度按照粤2 ( o ，t ；“1 ( q ) ) 范数达到最 优收敛阶m m o c 方法有很好的数值特性但是该方法并不满足积分守恒，因 而应用于对流占优扩散问题时会产生质量平衡误差不能真实反映物理问题潜 在的守恒特征本章利用m m o c a a - g a l e r k i n 2 5 ，2 6 l ：h - 法对原有格式进行改进 通过调整对流项的离散方式以达到控制m m o c g a l e r k i n 方法平衡误差的目 标由于只对m m o c 做局部调整，新格式一方面很好地保持了m m o c 格式的 固有优势，另一方面以增加较少计算量为代价改善了全局质量守恒 3 1符号说明 设为正整数，a t = 叫n 为时间步长，t n = n a t 为时间节点，n = o ，l ，对函数，( z ，) ，定义广( 刃) = ，( z ，俨) ：并简记为广 二维浅水波方程的g a e r k i n 方法 对l p o 。及非负整数m ，定义s o b o l e v 空间( q ) 及w ( q ) 的范数： 1 5 1 刘= 正l 丌如，1 p 。；i l ，| | 叫。，= e s s 咧m ) l ； 州。n ，= 渺州， i c l l m l p 列懈( n ) 2 髅渺刘c * ( q ) 当p = 2 时：w p ( n ) 记为冗m ( q ) ，l i s l l 爿。简写为i i