（计算数学专业论文）关于连分式中几个问题的研究.pdf

关于连分式中几个问题的研究 摘要 连分式是一个古老的数学分支，近年来其应用随着科学技术的发展越发广 泛了，特别是以连分式为工具的有理数值逼近方面更加引起人们的关注。本文 所做的工作主要包括两部分：基于连分式的有理反插法在数值优化中的应用和 矩形网格上基于块的二元t h i e l e 型有理插值的对偶性。 本文利用基于连分式的有理反插法来处理最优化中的极值问题，方法简 单，易于编程，得到的结果比其它一般迭代方法效果更好，收敛速度更快，精 度更高。通过数值例子验证了其方法的有效性。 本文对基于块的二元t h i e l e 型有理插值的性质做了进一步的研究，得 出了插值函数在同种分块形式下的对偶性以及互为对偶的块有理插值之 间的联系及其性质，并给出了数值例子，验证其结论的正确性。 关键词：连分式，块插商，对偶性，有理插值 t h es e v e r a lp r o b l e m si nc o n t i n u e df r a t i o n r e s e a r c h a b s t r a c t t h et h e o r yo fc o n t i n u e df r a c t i o n si s a no l db r a n c ho fm a t h e m a t i c s ，i t s a p p l i c a t i o nb e c o m em o r ea n dm o r ew i d ew i t ht h ed e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n d t e c h n o l o g y , e s p e c i a l l yt h er a t i o n a li n t e r p o l a n t sb a s e do nc o n t i n u e d f r a c t i o n s i nt h i s p a p e r , t h em a i nw o r ki n c l u d et w op a r t s ：t h ea p p l i c a t i o n o fr a t i o n a la n t i _ i n t e r p o l a t i o ni n h u m e r i c a lo p t i m i z a t i o nb a s e dc o n t i n u e df r a c t i o na n dt h ed u a l i t yo fb l o c k b a s e db i v a r i a t e r a t i o n a li n t e r p o l a n t s i n t h i sp a p e r ，b a s e do nc o n t i n u e df r a c t i o n so fr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ，w ed e a l w i t ht h ee x t r e m ev a l u ep r o b l e m t h i sm e t h o di ss i m p l e ，e a s yt op r o g r a m m i n g ，t h e r e s u l ti sb e t t e rt h a ng e n e r a li t e r a t i v em e t h o d ，w ec a no b t a i nf a s t e rc o n v e r g e n c e s p e e da n dh i g h e ra c c u r a c y t h ee f f e c t i v e n e s so ft h i s m e t h o di sa l s ov e r i f i e db y n u m e r i c a le x a m p l e s i n t h i sp a p e r , w ef u r t h e ri n v e s t i g a t et h ef e a t u r eo fb l o c k - b a s e db i v a r i a t et h i e l e r a t i o n a li n t e r p o l a n t s ，a c q u i r et h ed u a l 时o fr a t i o n a li n t c r p o l a n t sb a s e do nt h es a n l eb l o c k f o n na n ds h o ws o m en u m e r i c a le x a m p l e s f i n a l l y , t h ev a l i d i t yi sa l s ov e r i f i e d k e y w o r d s ：c o n t i n u e df r a c t i o n ；b l o c k - b a s e di n v e r s ed i f f e r e n c e s ； d u a l i t y ；r a t i o n a li n t e r p o l a n t s i i 表格清单 表2 1 6 表2 2 7 表2 3 1 4 表2 4 1 4 表4 1 2 3 表5 1 3 i 表5 2 3 i i v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得 金胆王些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示谢意。 学位论文作者签字： 签字日期：砌7 年午月g 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 金把王些太堂 有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人 授权 金魍王些太堂 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名：爿陷骂 导师签名： 签字日期：加7 年千月，彦日 形y 签字日期： 6 i 年￥月加日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：嵝，徼理1 六学理学p j 乞 通讯地址：鹭翻欧娌工犬，蒡多璺学冉已 电话：o s q f ，“岁三知7 邮编：3 多工吣f 。 致谢 时光飞逝，转瞬已到毕业之际。回顾这三年的生活，往事历历在目。在老 师和同学们的帮助下，自己顺利度过了紧张、忙碌而又快乐的三年研究生生活， 同时，在学习和为人处事方面，自己也取得了一定的进步。这三年的生活，将 是我人生中的宝贵财富，在此，我要向所有帮助过我的人表示由衷的谢意! 首先我要向我的导师唐烁教授致以最衷心的感谢。他不仅学识渊博，治学 态度严谨，更有着博大的胸怀，在做学问、做人和生活上都给予了我很大的帮 助。三年里，他不断的鼓励给了我信心。在他的亲切的指导下，我顺利地完成 了论文的写作，并在此过程中受益非浅，深刻体会到了学习的乐趣。 我要感谢系里的老师们，他们是朱功勤教授、檀结庆教授、苏化明教授、黄有 度教授、邬弘毅教授、朱晓临教授，他们不仅教会了我很多知识，同时他们的治 学态度、教学作风和高尚的品德也是我学习的楷模；我要感谢2 0 0 6 级研究生 3 1 班的同学们，相逢是缘，和他们一起学习一起生活的日子是快乐的，将成为 我记忆中的风景；我要感谢和我一起参加讨论班的同门师兄师弟们，在学习期 间，他们也给予了我很多的帮助。 感谢我的父母，二十多年来，他们无私地关爱、支持和鼓励，让我安心学 习，顺利完成学业。 感谢我的岳母，在我读研期间，在生活上对我的家庭无微不至的照顾。 感谢我的妻子，她在生活上给予我无微不至的关心和照顾，在学习，工作 上不断鼓励和支持我，才使我有勇气一直坚持并努力前行。感谢我可爱的女儿 唐棠，她是我一直以来不断进取，努力学习和工作的动力。 感谢各位评审专家在百忙中抽出时间对论文给予的批评指正和宝贵意见。 i i i 作者：李强 2 0 0 9 年3 月于合工大 第一章绪论 连分式( c o n t i n u e df r a c t i o n s ) 即连续分式，其思想萌芽可以追溯到公 元前30 0 年前，经过数个世纪积淀的连分式理论体系博大精深。 有关连分式的论述首先出现在印度数学家a r y a b h a t a 的著作中。1 5 7 2 ，= - ： 年，r a f a e lb o m b e l l l i 首次利用连分式来逼近无理数小3 。l613 年，p i e t r o 厂 c a t a l d i 利用连分式来逼近无理数4 1 8 。荷兰数学家和天文学家c h r i s t i a a n h u y g e n s ( 1 6 2 9 16 9 5 ) 首次将连分式用于解决有理逼近问题，从而连分式 进入了充满活力的发展时期。代数学宗师如e u l e r ( 1 7 0 7 17 8 3 ) 、l a g r a n g e ( 17 3 6 18l3 ) 、 g a u s s ( 17 7 7 18 5 5 ) 等都为连分式的发展做出了重大的贡献。 g a u s s 于1813 年给出了超几何级数之比的连分式展开，借助于连分式证明 了f e r m a t 猜想；兰伯特( h e i n r i c hl a m b e r t ) ( 17 2 8 17 7 7 ) 于17 7 0 年给出了 a r c t a n x 的连分式展开式；l i o u v i l l e 贝l j 利用正则连分式展开证明了超越数的 存在性，这些都是连分式在数值近似求解方面的经典例证。 直到18 世纪，连分式理论的应用还仅限于数学领域。到了2 0 世纪初， 连分式理论开始越来越多地出现在其他应用领域。特别在19 8 0 年后，w b 。j o n e s 和w j t h r o n 在对连分式的解析理论做了深刻而系统的探讨后，将 先前的许多零碎的有关连分式的理论和结果进行了总结、归纳、扩充和深 化，完成名著c o n t i n u e df r a c t i o n s ：a n a l y t i ct h e o r ya n da p p l i c a t i o n sr 一。，该 书对推动连分式的现代研究起到了不可忽视的重要作用。与次同时，连分 式理论也不断换代升级并应用于工程技术领域，r o b e r t m c o r l e s s 用连 分式研究混沌理论；i j g o o d 将连分式理论应用于控制领域，解决传递 函数的l a p l a c e 变换问题；g r a v e s m o r r i s 【4 5 6 1 和j e n k i n s 从机械振动中有关 “振动模”这一实际问题出发，借助于一元t h i e l e 型连分式和s a m e l s o n 逆变换，提出了一种t h i e l e 型向量连分式插值的方法，证明了这种向量有 理插值函数的特征定理和唯一性定理，由此开辟了一个新的领域向量有 理插值和向量有理逼近。 自19 9 0 年以来，合肥工业大学研究群体，利用t h i e l e 型连分式插值 算法，可以构造在某一类给定节点情况下的有理插值，从而对某些非线性 问题提供了良好的解决途径。在这一方面，他们做了大量的研究工作，尤 其在多元向量插值、逼近、展开与算法取得了一些卓有成效的工作，主要 表现在v j ：多元分叉连分式插值；连分式插值的存在性问题；极限连分式 插值；混合连分式插值；复合连分式插值；多元混合型切触有理插值格式； 块混合插值；向量值函数连分式插值和矩阵连分式插值的统一描述。朱功 勤，檀结庆，唐烁，顾传青，朱晓临1 4 0 , 4 1 】，赵前进等人系统的研究了向量 值和矩阵值有理插值与逼近，得到许多美妙的结果。朱功勤、顾传青把数 量值连分式的思想引入到向量值连分式中，给出了向量的s a l z e 定理及 t h i e l e 型向量值连分式的收敛性定理，并将著名的p r i n g s h e i m 定理拓广至 向量值的形式 8 , 9 , 1 0 , 1 1 】；檀结庆等提出了二元t h i e l e 型向量连分式有理插值 方法，建立了多元分又连分式的特征定理、唯一性定理、边界插值定理和 对偶定理等，研究了具有洞形结构的矩形网格上的多元连分式插值问题， 通过划分等价类的方法得到了特征拓扑不变性等优美结果【4 7 8 u 川3 l ；檀结 庆教授对n e w t o n 插值多项式和t h i e l e 型插值连分式巧妙地进行糅性加工 得到了几种混合有理插值格式，通过引进混合差商的概念，解决了混合有 理插值的有效计算问题 7 , 1 2 , 13 】；檀结庆和唐烁 4 2 , 4 3 针对病态数据构造了复 合型的多元连分式插值框架，并研究了这种插值的误差估计 1 4 , 1 5 , 1 6 1 ；檀 结庆等提出了多元向量值函数连分式插值的矩阵算法1 7 , 8 】，利用行向量展 开技巧揭示了向量值连分式插值与矩阵值连分式插值之间的必然联系，指 出矩值阵连分式插值可由向量值连分式插值转换而得 1 7 1 。近年来，赵前 进提出了两种新形式的对称型混合有理插值；王家正构造了一种 s t i e l t j e s - - n e w t o n 型有理插值 1 8 】；k h i k u c h m i n s k a 和s m v o z n a 建立了 一种n e w t o n t h i e l e 1 i k e 插值格式 1 9 , 2 0 】。此外，赵前进利用分块的思想得 到一系列新的插值形式，大大丰富了有理插值的成果 7 , 2 1 , 2 2 , 2 3 】。檀结庆、 朱晓临、胡敏等在连分式插值理论应用方面也进行了卓有成效的尝试，提 出了利用连分式进行有理曲面的重建 s l ，快速构造圆弧和圆弧样条以及生 成空间任意形状旋转曲面【1 1 1 ，数字图象压缩与重建 7 ，8 】的新方法等。 连分式这门古老的数学学科分支，随着科学技术的发展，其应用在不 断的扩大。它不仅在数值积分、微分方程数值求解、积分计算、积分方程、 2 数学物理中特殊函数的渐进展开、数论、马尔可夫过程理论、矩量问题和 生死过程、混沌、理论物理等领域得到了广泛的应用，而且还在控制理论、 统计力学、机械振动、模分析、信号处理等工程技术领域有显著的应用。 2l 世纪初，檀结庆和胡敏卜剖利用一系列的连分式插值格式作为主要的 数学工具，并辅以其它的信号处理方法，对图象处理中的若干问题进行了 一系列的深入研究和探讨，提出了基于连分式的数字图象处理思路和方 法。周志丹将基于连分式的有理逼近模型应用于回归函数，让有理逼近 模型与最小二乘法相比，提高了拟合与预测的精度。檀结庆和李声锋 2 5 , 2 6 , 2 7 将t h ie le 型连分式插值和v is c o v a t o v 算法结合起来，构造一系列的基于连 分式的非线性方程的迭代格式，与其它的迭代格式相比，更具有一般性。 唐烁教授 2 8 , 2 9 , 3 0 和赵欢喜 3 1 】在连分式的加速收敛方面也取得一定的理论成 果。以上都是连分式在理论上得到了很大的发展，但是把连分式理论应用 于工程技术领域还是很少见的，是值得认真探索的。 本文的主要内容： 第一章介绍连分式的研究背景，以及在国内外的发展概况。 第二章介绍连分式的定义、基本性质、收敛定理、等价变换、向前 三项递推公式、向后三项递推公式、连分式的构造方法。 第三章与本文有关的有理插值中的连分式方法进行了总结。 第四章主要是讲基于连分式的有理反插法在数值优化中的应用，得到的 结果比一般的迭代方法效果更好，收敛速度更快，精度更高。 第五章对基于快的二元有理插值的性质做了进一步的研究，得出了 插值函数在同种分块形式的对偶性以及互为对偶的块有理插 值之间的联系及其性质，并给出了数值例子，验证其结论的 正确性。 结束语对全文的工作、实际意义做总结，对今后的研究工作提出了浅显的想 法。 3 第二章连分式的定义及基本性质 2 1 连分式的定义 8 】 设。) 和蛾) 为两个复数列，称形如6 0 + i 了二二a 1 互 2 1 1 及+ l 岛+ 的分式为连分式，其中呸，包称为( 2 1 1 ) 的元素，或部分分子和部分分母，通常 为实数、复数或函数。( 2 1 1 ) 式可记作+ 重( 毒) 或+ 百a 1 + 百a 2 + 蚩+ 或 + 昔+ 蔷+ 昔+ 或+ 喜蔷。 称+ 静= 6 ：0 + i 二a 互i 二为连分式( 2 1 1 ) 的以次渐近分式或第 及+ ! l 一 岛t + 盟 吃 以项截断连分式，记最2 爱5 + 鑫( 26 0 + 寺+ + + 每以称为撤渐近 分式的分子，e 称为，z 次渐近分式的分母。连分式( 2 1 1 ) 的前，z 个渐近分式依次 为 岛= 鲁= 6 ：d ，墨= a 昼= 6 o + 等2 警， 蔓= 安= + 毒+ 丢 = 鱼型垡糌， 最= 乏= 篙揣。 连分式的起源可追溯到公元1 6 世纪。r b o m b e l l i ( 1 5 2 6 - - 1 5 7 3 ) 在1 5 7 2 年 最早使用连分式来近似表示无理数西，即插= 3 + 詈+ 詈+ 詈+ 反复利用 厮一舞蠹= 丽丽b 丽2 五b + 瓦志丽可得一般形式 = f 万：口+ 旦旦，由此可看出无理数西是此式的一个特例。 2 d + 2 口+ 。 例2 1 1 阁由压_ 12 志1 2 志1 可推出v 么十z 十i v z 一， 山2 夏丙12 毛壬1 2 + ( 2 - 1 ) 2 + 2 + 2 + + 再而- 1 )2 + ( 2 这样可利用连分式将压展开成互= 1 + i 2 + 互1 + 三+ ( 2 1 2 ) 经计算，可得此连分式的前五项截断依次为 s 3 = 1 4 - 三+ 互1 + 一1 = 西1 7 2 = 1 4 1 6 6 ，2 + 2 +1 2 。 只：1 + ! 三三三：一4 1 ：1 4 1 3 7 9 ， 2 + 2 + 2 + 22 9 。 墨= 1 + j 1 + 互1 + j 1 + 互1 + 互1 = 而9 9 = 1 4 1 4 2 8 5 7 ， 而互= 1 4 1 4 2 1 3 5 6 2 ，由此可见，若取式( 2 1 2 ) 的第五项截断连分式，则误差 不超过8 1 0 。 例2 1 21 7 从恒等关系式 鬲一1 ：下兰一：尘一可推出 1 + x + 12 + ( 4 1 + x 一1 ) 瓜一1 ：三一x 兰 三一，因此， 可将瓜一1 形式展开成 。 2 + 2 + + 2 + 2 + ( 4 1 + 工一1 ) 。 5 4 只 = l 7 5 i i | 1 2 1 2 + + 1 i _j一，_ 0 。卜2 墨 卅 是 瓜一1 ：兰兰三 2 + 2 + + 2 + 7 ( 2 1 3 ) 前三项截断蒯为驰) = 考矧加主十考= 缶矧加主+ 主+ 主= 蒜 而一1 在z ：0 处的m a c l a u r i n 级数展式为 一嘲 制一 = 妻 = 兰筚= 生兰兰二铲= 一( - 1 ) 。- 1 ( 2 k - 3 ) ! ! ， 因此q = i 1 ，锡= 一i 1 ，吻= 去，以= 一去， 从而瓜小互1x _ 1x 2 + 去 去 因为l 刮_ f 错 ：型_ 1 ( 七一) ， = 一哼，c 一- 2 k + 2 、“ ( 2 1 4 ) 故知展开式( 2 1 4 ) 在h 1 时发散，其前三个部分和分别为 吒( 功= 三x ，吃( 功= 三1x 一吾x 2 ，为( 功= 三x 一言x 2 + _ 1 1 6 比较连分式展开式( 2 1 3 ) 和 m a c l a u r i n 展开式 ( 2 1 4 ) 的逼近效果 。分别 计算 ( 2 1 3 ) 的前7 项截断和( 2 1 4 ) 式前7 项部分和在x = 0 9 6 的值，可得 表2 1x = 0 9 6 时连分式和m a c l a u r i n 展开式的值 ，z123 45 6 7 0 4 8 0 0 0 3 6 4 80 4 2 0 10 3 8 6 90 4 0 9 20 3 9 3 2 0 4 0 5 3 最 0 4 8 0 00 3 8 7 l0 4 0 2 20 3 9 9 60 4 0 0 10 4 0 0 00 4 0 0 0 z ：0 9 6 时，再j 一1 的精确值为0 4 此表说明：函数瓜一i 的连分式展开式 与m a c l a u r in 展开式相比具有更好的逼近效果。当x ：3 时届一1 的精确值为 1 ，而瓜一1 的m a c l a u r i n 展开式( 2 1 4 ) 在工：3 处是发散的，但其连分式展 6 开式( 2 1 3 ) 在x = 3 处仍收敛，具体数值见表2 2 表2 2石= 3 时连分式和m a c l a u r i n 展开式的值 刀l2345 1 5 0 0 00 3 7 5 02 0 6 2 5一1 1 0 1 65 5 4 3 0 s n 1 5 0 0 0o 8 5 7 l1 0 5 0 00 9 8 3 61 0 0 5 5 ，z 67 8 91 0 一9 4 0 7 22 5 8 3 36 0 0 6 41 5 4 6 83 9 2 9 2 鼠 0 9 9 8 21 0 0 60 9 9 9 81 0 0 0 11 0 0 0 0 由此进一步可说明连分式展开在数值计算方面的逼近优势。 2 2 连分式的性质 定理2 2 l 【7 j 设鲁26 0 + 蠢( 则有4 4 - e _ ( - 矿“， 4 或一：一4 l 一：e = ( 一1 ) ”包n 。 定理2 2 2 7 】令a 。= 4 色一l 一以一l 或，且对一切hen ，a 。0 ， 则 l 意似删名3 ， 吃= 掣 定理2 2 3 【7 】复数序列 4 ) ：。， w 。，。刊是( 2 1 1 ) 的渐近分式的分子与分母序列 对一切栉n ，a 。= 以b _ l - a 一l 吃0 ，缱l = 1 ，罡i = o ，4 = b o ，b o = 1 且此时， + 歪( 可由下式唯一确定 6 0 6 1 吨q 卟辑一惫小半 推论扩充复平面c 中的序列 只) 是某个连分式的渐近分式序列 晶o o ，最= 最- 1 ，珂= l ，2 ，。 7 定理2 2 4 【7 】若对l 姚毗有量o ，嬲= 2 j b 嘻( 。) f + 1 酱。 2 3连分式的变换 2 3 1 惩分式阴，寺钐r 父决 定义2 3 1 【，】称两个连分式等价，如果它们有相同的渐近分式序列。如果连分 式6 0 + 鞋) 与磊+ 星哮) 骷价舭为+ 翰磊+ 砖) 。 注：两个等价的连分式形式上可能不一样，但每一个截断都相同。 例如+ 丢+ + 丢+ h 孙石a i + 百a l a 2 + 百a 2 a 3 + 百a 3 a 4 + 等价。 定理 2 3 1 7 】 6 0 + n 云= l ( 刍6 n + 曼印存在复数序列饥) p o = 1 ，p 。0 ，v n n ，使得磊= b o ，巳= n 以一1 ，破2n 吃，v n n 定理2 3 2 【7 】( 1 ) 若v ，z ，o ，则2 j b + 星( 毒) + 墨( 旁， 其中以= 吃密眷。一，删，2 ， ( 2 ) 若渤，吃o ，则+ 卦。瓦a n ) + 差( 旱) ， 其中c i2 百a i ，q2 彘，z _ 2 ，3 4 ，。 2 3 2 连分式的压缩 定义1 3 2 【7 】对n ，称形如下式的连分式。曼。( 2 i a n i + l + i a n i + 2 + 为连分 式6 0 + n 詹= l 净) 的第项尾式( t a i ls e q u e n c e ) ，记作知 注：。2 瓦忑a n + i 营+ t 2 知( 6 十一+ “t ) 。 定义2 3 3 【，】称连分式d o + 星夸) 为连分式+ 星( 争) 的一个压缩，如果 肛1 d h胆1 氐+ 星哮) 的渐近分式序列是6 0 + 歪( 毒) 的渐近分式序列的一个子序列。 特别，称盛+ 星( 未) 是6 0 + 星( 专) 的一个标准压缩，如果g5 厶， b = & ，尼= o ，1 ，其中e ，见是毛+ n 量= l ( 阜d n ) 的第以项渐近分式的分子与分母，而 以，e 分别是+ 琏) 的第，z 项渐近分式的分子与分母。 定理2 3 3 【7 】如果对k = 1 ，2 ，3 ，乞t 0 ， 则+ 星( 争) 满足c = 4 t ，q = 岛t ，j = o ，1 ，2 ，的标准压缩磊+ n k = 1 ( 阜d ) 存在 此时n n = i ，1 ，孤，b 2 a ll呸吃i即s i ”睁”蒯一阿皱一阿皱 又若 乙) 二是+ n 云= l ( 当b n ) 的尾式序列，且乙，, 贝l jt o ，一毛乞，一岛，是d o + 垂唼) 的一 定理2 3 4 【7 】 设4 ，吃分别表示截断连分式+ 墨e ) 的分子和分母， r = in 令最( 计= + 毒+ + 南， 则最( 川2 而i n + a n _ 1 w 当w = 。时，最( w ) = 爱在扩充复平面里考虑w = 时，最( w ) 。鲁。 2 4 连分式的收敛 9 2 4 1 连分式收敛的定义 定义2 4 1 7 】如果连分式6 0 + k 睁) 的渐近分式序列 鼠) 收敛于s ，即。l i r a 。e = s 存 n = l 在，则称连分式6 b + k ( 争) 收敛于s s 称为连分式( 2 1 1 ) 的值：否则称连分式 n = l ( 2 1 1 ) 是发散的。 2 4 2 【，j 连分式收敛定理 连分式的许多应用都与连分式的收敛性联系在一起，故连分式的收敛定理 在连分式理论中占有重要的地位。对于连分式存在大量的收敛准则，下面只罗 列一些对应用最有用的结果。 定理2 4 1 7 1 ( s t e r n s t 。1 z ) 如果i 巩i 。，六为垂唼) 的 第n 项渐近分式，则 ( 1 ) 五州 五肿。 正。轭二正。，7 z ：1 ，2 ，进而连分式的奇数项渐近分式序列和偶 数项渐近分式序列都收敛到有限值。 ( 2 ) 如吃 o d ，则连分式答专) 收敛到有限a f 。 定理2 4 4 ( p r i n g s h e i m ) 【7 】如果b i i 口。l + 1 1 ) ，六为连分式歪( 卺) 的第，z 项 渐近分式，则( 1 ) i z i 1 ； ( 2 ) 连分式垂( 毒) 收敛。 定理2 4 5 ( w o r p i t z k y ) 【7 】如果k i _ - 1 = 1 ，2 ，3 ，) ，则 4 ( 1 ) 连分式茎( 争) 收敛； 一= il 1 0 ( 2 ) i 六i 虿1 ，其中五为歪哗) 的渐近分式序列； ( 3 ) i s l - o ) 可以得到 m ) = 丙d l o + 面d 2 0 x + 面d 3 0 x + 可以把上面得到的系数排成如下的表格，并按式( 2 6 2 ) 来计算 表2 - 3 则表 由第 ( 2 6 2 ) 中的第三行元素可按式( 2 6 2 ) ，由第一行与第二行的元素求出，第四行元素 二行与第三行元素求出( 类似求第三行元素的方法) ，其余的依次类推。 如果九= 0 ，则 巾) 2 = i 二互d l o 五互二 2 石嚣缸 用类似前面的方法展开分式 望21 垄兰；二， 盔o + 盔l x + d 1 2 x 2 + 则可以导出恒等式 小，= 诺+ 管+ 剖+ 掣 其系数可以按照下表所示来计算 ( 2 6 3 ) 表2 - 4 如 盔2 吐2 畋， 趔， 以。以：以， ： 刃1 = 吐l d l i - d i o 以2 2 = 如l d l 2 - d i o 如3 ； 。= 之。畋：一卅：如。 故一般地情况下，如果矾o = 0 也可采用上面的方法来处理。 仍j 2 6 1 将有理分式嘲= 高卜宰p 成连航 解：先将有理分式函数系数排成两行 1o 一10_ 4 10o一30 则 畋o = l 0 - 1 o = o ，畋i = 1 ( - 1 ) - 1 0 = - 1 d 2 2 = 1 0 - 1 ( 一3 ) = 3 ，吐，= 1 - ( - 4 ) 一1 o = - 4 此时第三行元素为o ，一1 ，3 ，- 4 ，0 ，然后将第三行元素左移一个位置便得到第四行， 即得数表示为： 10 1o-4 o0o- 30 o一13- 40 13_400 然后由第三行、第四行元素按求第三行元素的方法，便可求得第五行的元素为： 一3 ，4 ，3 ，0 ，0 。再由第四行元素与第五行元素按上面的方法可求出第六行的元素 为：一5 ，1 5 ，0 ，0 ，0 。类似地，可以求出第七行元素为：2 5 ，- 1 5 ，0 ，0 ，0 ；第八行元素 为：3 0 0 ，0 ，0 ，0 ，0 ；最后一行元素为_ 4 5 0 0 。 将这些系数代入式( 2 6 3 ) ，得 弛) = + 二蠢鲁+ 害+ 等+ 等+ 等 1 4 “九如砍o 九站 1 一x 23 x5 x 5 x1 2 x3 x = 一o 1 + 1 + 1 3 1 + 5 + 1 1 5 第三章有理插值问题中的连分式方法 3 1 有理函数插值的一般提法 设( 五，y f ) ，q = o ，1 ，m + ”) 是与y = 厂( x ) 有关的m + n + 1 个型值点，其中五， r an ( f = o , l ，所+ 功互异，咒= f ( x g ) ，( f _ o ，1 ，所+ ，z ) ；聃= ，= 殛，所谓有理 】卸瑚 插值问题，就是寻找有理分式函数 使之满足 啪，= 器= 筹筹等， ， ( 驴器叫舢例，1 ，肿玩 ( 3 1 2 ) 此时，称x o ，i ，+ 。为插值节点，乃= 厂( 薯) ，o = o ，1 ，r e + n ) 为型值，( 3 1 2 ) 式为插值条件，如。( x ) 称为插值函数，厂( x ) 称为被插函数。，( x ) = ( 工) 一如，。( 工) 称 为插值余项。 对于有理插值问题( 3 1 1 ) ，( 3 1 2 ) 的解，人们往往通过求解下列线性方程组 得到： a o + a 】x t + + 薯m - y , ( b o + 岛五+ + 吃五”) = o ，u = 0 , 1 ，r e + n ) ( 3 1 3 ) 然而，有理插值问题( 3 1 1 ) ，( 3 1 2 ) 的解不一定总是存在的，而且满足( 3 1 3 ) 的解不一定满足插值条件( 3 1 2 ) 。大量的文献对于有理插值问题( 3 1 1 ) ，( 3 1 2 ) 解的存在唯一性给予了研究。如n m a c o n ，和d e d u p r e e 在【8 】中研究了有理 插值问n ( 3 1 1 ) ，( 3 1 2 ) 的解的存在唯一性；在文献【3 2 】中利用n e w t o n 插值多项 式，给出判别有理插值问题( 3 1 1 ) ，( 3 1 2 ) 的解是否存在的另一个方法。 3 2 一元t h i e l e 型插值连分式 由3 1 的介绍可知，要想得到有理插值函数的显示表示，需要对于每个具 1 6 体问题解一个齐次线性方程组。下面介绍一种有理插值函数算法t h i e l e 型 连分式插值算法，作为一种有效的有理插值算法，它被广泛地应用于数值逼近 i s 】、图像处理【7 , 8 , 2 3 。 定义3 2 1 称下述形式的连分式： 为t h i e l e 型连分式【2 3 , s l + 早竿_ x - - x n _ 1 ( 3 2 1 ) ” 包+ 包+ +吃 + 、。 定义3 2 2 设x = 讧，fi 吖j 是复平面上一点集，f ( x ) 是定义在g ( g3 彳) 上 的函数。令 9 k 】_ f ( x i ) ，i = o ，1 ，2 ， ( 3 2 2 ) 驴 ，】2 而x q - - x p ， ( 3 2 3 ) 科孙邙以】= f o l x 0 i i 妻篇而x o 再而， p 2 4 ，t 一2 ，吒j 一科，五，一l j 称由上述公式确定的6 p x o ，五，】为函数g ) 在点x 0 x l ，x 27 7 以处的k 阶逆差 商。 定理3 2 1 i s 设 聃m + 千+ 等+ + 等2 器 b 2 渤 贝f jd e g 只= 降 ，d e g q = 阿其中d e g 表示多项式的最高燃m 表示不超 过的最大整数。 皋理3 【s 】诒 r ( 石) = f o x o + x x ox x t 苎一苎n 立 f o x o ，x 1 + 口o x o ，五，恐】+ + f o x o ，五， ( 3 2 6 ) 其中研，x l ，一，吒】o ，o 。，k = 7 l ，n 为厂( x ) 在x 0 , x l ，一，以处的k 阶逆差商，则 有 兄( t ) = 厂( 薯) ，待o ，1 7 ，z 。 定义3 2 3 如果连分式 1 7 驰m + 寻+ 寻+ + 芋 满州小m 抄_ o ，1 ，吲删称该连分式为函靴硼 丁n + l 垤n 型t h i e l e 插值连分式。 定理3 2 3 【8 】函蝴硼 丁n + 1 睁n t h i e l e 插值连分式是唯讯 定理3 2 4 【8 】设 ，而，矗) c a ，b cr ，厂( 曲在【口，6 】上有直到，z + 1 阶的导 数，若 嘶) 却寻+ 寻+ + 等2 器 满足b ( 誓) = 厂( 薯) ，i = 0 ，1 ，z ，则帆 口，6 】，均j 孝，k ，工l 一，石) ，此处 l ( x o ，x 1 ，x 。，工) 表示包含x 0 x l ，一，及x 的最小开区间，使得 m m = 酱 其中q + 。( x ) = ( x 一) ( x 一五) ( x 一吒) 。 3 3 二元t h i e l e 型分叉连分式插值 这里将介绍一种纯非线性的多元有理插值格式，即二元t h i e l e 型分叉连分 式插值。令兀嚣c acl r 2 是矩形域上的矩形网格，f ( x ，y ) 是定义在矩形域上 的实函数，记厂( 薯，乃) - - f , ，i = o ，1 ，m ，= 0 , 1 ，l 。 定义3 3 i t 3 3 1 。( 五；y k ) = 彳仍，。( 五，_ 沙t ) 2 瓦j i 五豸= 初 ( b ，h ，五，_ ；儿) 2 石瓦i 磊焉x , 而- x ：忑了丽，。1 ) 9 蹦b p 、，x p i ；y t ，y 02 y k y l i 瓦i i 万瓦瓦x p , ；y t ) 9 s ，+ 1 ( x p o x p i j y q 一”，y q r ，y k ，y t ) = _ ，上坠_ ，p 1 ) 9 s ，b ，xp i ；y 弧，y q r ，y k ) 一9 s 。r 心，xp i ；y q l ，y q r ，y j 、 。 若对于 ，) c n ：和魄，) c n ；，仍，( ，x p , ；y q o ，) 存在， 则称为f ( x ，y ) 的第( z ，) 次偏逆差商。 w s i e m a s z k o 在文p 3 】中构造了如下形式的二元t h i e l e 型分叉连分式 舭川= 嬲= + 莆+ + 裔， ( 3 3 1 ) 其中 hi(y)2仍，。(，毪；y。)+；：忑：iy0yl+；：o_(xo：三乏yo ，= o ，以。 仍，o l 而，五； ， j + + 仍，而； ，以j 定理3 3 1 【3 3 】由( 2 3 3 ) 式定义的二元分叉连分式心。“y ) 满足插值条 件 如。( ，y j ) = f ( x t ，y j ) ，u = 0 ，1 ，m ；j = 0 ，1 ，z ) 。 ( 3 3 2 ) 具体的证明过程及其它性质可参考文献 7 3 3 】。 3 4 基于块的混合有理插值 文 2 1 , 2 2 ，2 3 1 将插值点集划分为一些子集( 块) ，在每个子集( 块) 上选择插 值，然后用类似于n e w t o n 插值、l a g r a n g e 插值或t h i e l e 型连分式插值的格式 进行装配，得到几种新的一元或二元混合有理插值格式。这些混合有理插值格 式包含传统的n e w t o n 插值、l a g r a n g e 插值和t h i e l e 型连分式插值作为特例； 且更为灵活、简便；算法具有继承性。这里只介绍基于块的一元t h i e l e 型混合 有理插值的构造思想。 设石。= “，扛0 ，1 ，n ) ，厂( 功在j ( i3x 。) 上有定义，给定支撑坐标 z ，扛o ，“，咒。我们将x 。分为“+ 1 个子集 ，+ l ，) ， ，+ l ，x a u ， 需要时可先将点重新排序后再划分子集。显然有 ( d ，一g + 1 ) = 刀+ 1 。 8 = 0 1 9 其中 让我们考虑下面这个具有类似t h i e l e 格式的函数 荆吲卅鬻+ + 酱， ( 3 4 1 ) 以 c o ( x ) = 兀( x t ) ，j = 0 , 1 ，“一1 ， ( 3 4 2 ) f = 。 以及t ( x ) o = o ，l ，“) 是子集x ：( s = o ，1 ，“) 上的多项式或有理插值。 如果选定所有上述的l ( x ) 0 = 0 , 1 ，“) 使得 r ( x ，) = f ( x ；) ，t x 。， ( 3 4 3 ) 则称由式( 3 4 1 ) n i ( 3 4 2 ) 所定义的函数丁( x ) 为厂( x ) 的基于块的t h i e l e 型混合 插值。 引入以下记号 ，o = ，i = 0 , 1 ，n ， ( 3 4 4 ) 以及对s = 1 , 2 ，u z 。= = 燕，z = = c ? s ，c ；s d p l ，。，z ，( 3 4 5 ) 这里t ) 0 = o ，1 ，“) 是子集x ：( s = o ，1 ，“) 上的多项式或有理插值，它满 足 l ( x ，) = ，5 ，f = c ，c ，+ 1 ，d 。，s = 0 , 1 ，“。 ( 3 4 6 ) 如果所有的z 5 都存在，则称它们为厂( x ) 的第s 阶块逆差商。 定理3 4 1 2 2 】设 l ( x ) = l ( 功， ( 3 4 7 ) 且 驰m + 器错心0 ，1 ，州) ( 3 4 8 ) 如果满足式( 3 4 7 ) 的所有的插值l ( x ) 0 = 0 , 1 ，甜) 都存在，且 + l ( x f ) 0 ，0 = o ，1 ，u - 1 ；i = c ，c 。+ 1 ，d ，) ( 3 4 9 ) 则r ( x ，) = z ，i = 0 , 1 ，z 。 2 0 第四章基于连分式的有理反插法在数值优化中的应用 最优化方法是一个新的数学分支，它所研究的问题包括两个方面，一方面是从实 际的生产或科学技术问题中形成最优化的数学模型，另一方面对数学模型做数学处理 和求解。由于科学技术的发展，实际上已经形成解决最优化问题的一套数学计算方法， 这套方法通常叫做最优化方法1 3 6 , 3 7 , 3 s 】。本文是应用连分式插值来处理最优化中的极值 问题，所获得的结果比比其它的迭代方法的精度高，收敛速度快，易于计算机编程实 现。 设目标函数( 石) 在区间p ，b 内连续、单峰，s ( x ) ：( e l z l n - j a ，b 】内某些点薯处的值 可以从计算或者实验给出。把厂( 薯) 记为厂，。现在要寻求函数厂( x ) 在区间