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半线性椭圆边值问题的无网格数值方法 摘要 中文摘要 半线性椭圆边值问题在物理、力学、化工、天文等众多领域中有广泛的应用由 于半线性椭圆边值问题常具有多解且解缺乏稳定性，因而数值上很难计算出它的多 解本文讨论了二维半线性椭圆边值问题的径向基函数无网格数值方法及其可视化 按照半线性椭圆边值问题解的三种不同情况，分别给出了基于径向基函数的无网格 数值方法并分析了其多解性和解的可视化 第二章，利用径向基函数( r a d i a lb a s i sf u n c t i o n s ) 无网格法和牛顿法( n e w t o n s m e t h o d ) 求解了单解情形时半线性椭圆边值闯题，并给出了数值算例，通过与常用算 法进行比较，说明了该方法具有易于编程、计算精度高及不需要对区域进行网格划分 等优点 第三章提出了基于径向基函数的配点型( r b fc o l l o c a t i o nm e t h o d ) 无网格法和尺 度迭代算法( s c a l i n gi t e r a t i v ea l g o r i t h m ) 的耦合方法利用该方法在各种不同的区域上 求解了半线性椭圆边值闯题的正解以及奇异摄动半线性椭圆问题我们发现利用径 向基函数无网格方法耦合尺度迭代算法( s i a ) 来求解半线性椭圆边值问题与奇异摄动 半线性椭圆问题是可行的，且具有良好的精度、易于编程该方法明显优于现有的边 界元( b e m ) ，有限元( f e m ) ，有限差分( f d m ) 的耦合方法： 第四章，对于半线性椭圆边值问题多解情形时的变号解，构造了基于径向基函数 r b f ) 配点型的搜索牛顿法( s e a r c hn e w t o nm e t h o d l 的耦合方法，大量数值算例表明 基于径向基函数配点型的搜索牛顿法精度好，易于编程，无需对区域进行划分，对不 规则区域同样有效，是一种求解半线性椭圆边值问题多解的有效方法 关键词：半线性椭圆边值问题；无网格法；径向基函数；配点法；牛顿法；尺度迭代算 法 作者：沈铨 指导老师：丁 睿 半线性椭圆边值问题的无网格数值方法 英文摘要 a b s t r ac t t h es e m i l i n e a re l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b i e m s ( s e b v p s ) a p p e a rw i d e l y i np h y s i c s ，m e c h a n i c s ，c h e m i c a le n g i n e e r i n g ，a s t r o n o m ya n ds oo n b e c a u s e t h es e b v p so f t e nh a v em u l t i p l es o l u t i o n s ，w h i c hr e v e a lal a c ko fs t a b i l i t y , i ti s d i f f i c u l tt oc o m p u t et h em u l t i p l es o l u t i o n sn u m e r i c a l l y t h i st h e s i sd e s c r i b e s f t h er a d i a lb a s i sf u n c t i o n s ( r b f ) m e s h l e s sm e t h o d so ft h es e b v p sa n dt h e v i s u a l i z a t i o no ft h es o l u t i o n s a c c o r d i n gt ot h r e ed i f f e r e n tc a s e so ft h e s o l u t i o n so ft h es e b v p s ，t h i st h e s i s p r e s e n t s r b fm e s h l e s sm e t h o d s r e s p e c t i v e l ya n da n a l y z e st h em u l t i p l i c i t ya n dv i s u a 1 i z a t i o no ft h es o l u t i o n s i n c h a p t e rt w o , i ti n t r o d u c e st h ec o u p l i n gm e t h o do fr b fm e s h l e s s m e t h o da n dn e w t o n sm e t h o dt os o l v et h es e b v p , w h i c hh a sas i n g l es o l u t i o n t h e nt h en u m e r i c a le x a m p l ei sg i v e n c o m p a r e dw i t ho t h e ra l g o r i t h m s ，t h e r e s u l t ss h o wt h a tt h em e t h o di se a s yt op r o g r a m m e ，h a sah i g hp r e c i s i o na n d d on o tn e e dt h em e s hi nt h ea r e a i nc h a p t e rt h r e e ，i ti n t r o d u c e st h ec o u p l i n go fm e s h l e s sm e t h o dw i t hr b f c o l l o c a t i o nm e t h o da n ds c a l i n gi t e r a t i v ea l g o r i t h m ( s i a ) t os o l v et h ep o s i t i v e s o l u t i o no ft h es e b v p sa n dt h es i n g u l a r l yp e r t u r b e ds e b v p so nd i f f e r e n t a r e a s w ed i s c o v e ri t i sf e a s i b l et os o l v et h ep o s i t i v es o l u t i o no ft h es e b v p s a n dt h es i n g u l a r l yp e r t u r b e ds e b v p sb yt h ec o u p l i n gm e t h o d t h em e t h o di s e a s yt oi m p l e m e n t ，h a sah i g hp r e c i s i o na n di ss u p e r i o rt ot h ec o u p l i n g m e t h o do fb e m ，f e ma n df d m i nc h a p t e rf o u r , i ti n t r o d u c e sr b fc o l l o c a t i o nm e s h l e s sm e t h o dc o m b i n e d w i t h s e a r c hn e w t o nm e t h o dt os o l v et h e s i g n - c h a n g i n gs o l u t i o no ft h e s e b v p sa n dv i s u a l i z e st h es o l u t i o n t h en u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h a to u r a l g o r i t h mh a s t h ep r o p e r t i e so fe a s yp r o g r a m m i n g ，h i g hp r e c i s i o na n d m e s h f r e ei nt h ea r e a i ti sa l s os u i t a b l ef o rt h ei r r e g u l a ra r e a s oi t i sa n e 仟i c i e n tm e t h o df o rt h es e b v p k e y w o r d s ：s e m i l i n e a re l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b i e m s ( s e b v p s ) ；m e s h l e s s m e t h o d ；r a d i a lb a s i sf u n c t i o n s ( r b f ) ；c o l l o c a t i o nm e t h o d ；n e w t o n sm e t h o d ； s c a l i n gi t e r a t i v eal g o r i t h m ( s i a ) m w r i t t e nb y ：s h e no u a n s u p e r v i s e db y ：d i n gr u i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已 经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书 而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式标明。本人承担本声明的法律责任。 研究生签名：丛日期：硼：型 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、 中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文 档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以 公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大 学学位办办理。 研究生签名：三塾铨日期：三竺节：生! 曼 叫月鬈 导师签名： 一2 匿e t 期：砬! 望。竺：查 半线性椭圆边值问题的无网格数值方法序言 第一章序言 本文主要讨论如下半线性椭圆边值问题的数值解法：假设以是r 2 中的有界区域， 其边界弛逐段光滑求 c 2 ) n c 砸) 满足： 乏罂三o0 0 枷 1 1 1 ) t u l a n = 卜“ 这类方程广泛的出现在物理学、工程学、生物环境学、力学、化学工程等学科中实 际中的许多物理化学问题都可以化为( 1 1 ) 那样的方程( 组) ，比如压杆弯曲的e u l e r 问题 ，天体物理中的l a n e e m d e n 方程【2 j ，超导中的g i n z b u r g l a n d a u 方程嘲，激光电场强 度的非线性s c h i s d i n g e ，方程组【4 l 等等当似) = 酽0 ) “时，( 1 1 ) 是著名的非线性 h e l m h o l t z 方程：如果厂0 ) = 妒，1 1 4 0 ，p 1 ，则( 1 1 ) 是天体物理学中著名的 l a n e e m d e n 方程：如果m ) 一4 u 3 时，即为化学反应中的a r r h e n u s 源项3 2 1 如果 厂m ) = 4 9 ( 2 u + 2 ) 3 z ，即为天体物理学中研究白倭星的c h a n d r a s e k h a r 方程扭1 l ，可 以看到1 1 1 ) 这类方程的应用范围是相当广泛的 正因为如此，半线性椭圆边值问题引起了数学家们的强烈关注和浓厚的兴趣，这 一领域的数学理论研究在7 0 年代出现了爆炸式的增长，相关的经典文献著作非常的 多为什么半线性椭圆边值问题会如此吸引人7 这是因为半线性椭圆边值问题具有 多解现象半线性椭圆边值问题的数学理论也证明了这一点，但半线性椭圆边值问题 的一般数学理论只给出了解的存在性证明，至于这些解有何种结构和分布，如何有效 数值计算这些解，半线性椭圆边值问题的数学理论没有具体给出，即使使用c o m s o l ， a n s y s 等大型工程计算软件计算，大多情况下也只能得到平凡解，如何数值计算半线 性椭圆边值问题的非平凡解成了物理学家，力学家和广大科技工作者们共同关心的 问题 本文在数值计算( 1 1 ) 时，率先引入了无网格法 s ( m e s h l e s sm e t h o d s ) 无网格法是 近年来迅速兴起的一种偏微分方程的数值方法它可以克服有限元法、有限差分法、 边界元法等传统数值分析方法对网格的依赖性，彻底或部分地消除网格，抛开网格的 初始划分和网格重构因此，无网格法在涉及网格畸变、网格移动等问题中显示出明 显优势该方法的基本思想旧是在求解区域上任意设置有限个节点采用节点权函数 来表示节点及其邻域内的物理和力学量，进而形成与节点位移和节点物理场相关的 半线性椭圆边值问题的无网格数值方法序言 系统方程进而求解无网格法与有限元法和有限差分法的根本区别6 1 在于无网格法 免除了定义在求解区域上的网格结构，不受网格约束，可以方便地在求解域内增加和 减少节点，从而极大改善局部区域内的求解精度经过多年的迅速发展，无网格法主 要有十几类为便于实现，我们选用了径向基函数( r b f ：r a d i a lb a s i sf u n c t i o n s ) 配点型 的无网格法 本文将就以下三种情形来对( 1 1 ) 进行讨论： 1 f | s0 此时方程( 1 1 ) 最多只有一个解 证明：1 1 1 ) 的等价变分方程为： 求u 硪使得口( 妒) = ( 厂，1 7 ) ，v v 础 1 1 2 ) 其中口“秒) = f d 7 u f v d x ，( 厂，l ，) = f j v d x 若等价变分方程有两个解t l l ，u 2 h j w = t | i 一吃硪，有口“1 ，) 一( 厂( 托1 + ( 1 一t ) u 2 ) w j 杪) = o ? 厂g ) o ，令秒= w 则口( 坼w ) = 0 ，得到w = 0 ，即u l = u 2 证毕 第二章将利用径向基函数5 1 ( r b f ) 无网格法和牛顿法r e ( n e w t o n ) 来求解( 1 1 ) 在数 值算例中，通过与一般迭代法【8 ，3 0 1 和r i e s z 投影法疆3 0 1 的比较，结果表明径向基函数 无网格法是求解( 1 1 ) 的一种有效且精度高的方法 2 厂0 ) 变号，u 0 此时方程( 1 1 ) 解的唯一性不能保证，常常具有多解f 引，并且解还常常不稳定，此时 使用牛顿法就比较困难为此，在第三章中将利用基于径向基函数的配点型删( r b f c o l l o c a t i o nm e t h o d ) 无网格法和尺度迭代算法【1 1 l ( s c a l i n gi t e r a t i v ea l g o r i t h m ) 耦合来 求解( 1 1 ) ，对照文 1 1 1d p ，在各种不同的区域上，对( 1 1 ) 进行求解，绘出解的图形 此外，还计算了如下奇异摄动问题1 2 8 1 ： p 铲u 谠誊。0 0 枷 3 ， 通过比较，我们发现利用r b f 无网格方法耦合尺度迭代算法( s i a ) 来求解半线性椭 圆边值问题是完全可行的，并且具有良好的精度、易于编程，优于边界元法( b e m ) ， 有限元法( f e m ) ，有限差分法( f d m ) 在原算法中的作用 半线性椭圆边值问题的无同格数值方法序言 3 厂。 ) 变号 此时方程( 1 1 ) 除了正解外，还有许多变号解，如何数值求解这些变号解，引起了人 们广泛的关注1 2 3 - z s , 砌我们认为牛顿法( n e w t o n ) 是一个不错的选择，但此时对初 值的选取比在第一种情形时对初值的选取要严格地多，因为在第一种情形时方程 ( 1 1 ) 最多只有一个解，而此时方程( 1 1 ) 多解，初值如果取的不好，牛顿法就会发散， 不收敛，得不到所要求的变号解众所周知嘲，方程( 1 1 ) 的解总能用一算子在区 域n 上的特征基的有限级数来逼近，即t l 0 ) = 翠l 吁竹0 ) ，其中竹使得 一卿一乃竹纺e 珊且( 仇，竹) = 两，嘞为k n o n e c k 符号，当f ，时，8 , j = 0 ， 否则如= 1 对方程1 1 1 ) 的解而言，只要用少数几个特征基就能得到解的较好的近似解，从而 能抓住解的基本形状阴因此用若干基的组合作为牛顿法的初值来求解方程1 1 1 ) 是非常合适的，为此，在第四章中我们构造了新的基于径向基函数( r b f ) 配点型的 搜索牛顿算法( s e a r c hn e w t o nm e t h o d ) 采用径向基函数配点型无网格法求解特征 “方程，给出牛顿迭代法的初值，以此做牛顿迭代计算得到方程的变号解大量数 值算例说明了该方法的有效性特别值得一提的是由于我们方法中采用的配点型 无网格法是纯无网格法，因而不需要借助于任何网格计算积分，精度好且易于编 程对不规则区域同样有效，是一种求解半线性椭圆边值问题多解的有效方法 本文部分工作得到了国家自然科学基金( n o 1 0 2 0 1 0 2 6 ，n o 1 0 6 7 2 1 1 1 ) 的资助，作者 在此表示感谢i 半线性椭圆边值问题的无网格数值方法第二章 第二章单解情形时半线性椭圆边值问题的无网格法【1 2 】 2 1 引言 本章考虑如下半线性椭圆边值问题单解情形时的数值方法即求 戤ec 2 ) n c 匝) 满足： 从吖u l o n 三9 0 0 枷 2 1 1 ) t = 弘“ 其中q 是r 2 中的有界区域，其边界如逐段光滑，厂g 均为已知函数，且 厂：c 2 ( 渤专c ( 固非线性映射，g 在加上连续文【8 ，3 0 l 在迭代法基础上提出了关于 求解此类问题的两种新的高效迭代方法：一般迭代法和r i e s z 投影法尽管算例表明 这两种方法要优于有限元方法，然而它们在实施过程中，都需要对求解区域进行网格 划分，这无疑增加了计算的难度本文给出了( 2 1 1 ) 的径向基函数无网格法径向基 函数无网格法具有形式简单，计算方便等优势通过和文【8 】中两种方法的实算结果 比较，发现径向基函数无网格法无需对求解区域进行网格划分，因而大大减少了计算 量，摆脱了区域对所求问题的限制，提高了计算精度是求解这类半线性椭圆边值问 题单解情形时理想的数值方法之一 2 2 半线性椭圆边值问题的径向基函数无网格方法 径向基函数p ( r a d i a lb a s i sf u n c t i o n s , r b f ) 是一类以点x 到节点而的距离 西爿l 工一ti 为自变量的函数常见的定义在全域上的以节点为中心的全局径向基 函数有：办( 力= 2 + 刃) “2 ( m q ) 、办( 力= 2 + 钟广彪( r m q ) 、办( x ) = 舒p ( _ 研) ( g a u s s 型) 、力( 力= 彳，b g 刃( t p s ) 其中c 为大于零的常数，夕为整数 将求解区域q 用个节点而( ，= 1 z ，忉离散，其中在q 内部有口个点，在r 边界上有m 个点( = 口- i - 6 ) 函数“( 力在域q 中的近似函数“6 0 ) 可用以各节点 为为中心的径向基函数办( 表示为 “ ) = 口j 九( x ) ；m r ( 对口 ( 2 2 1 ) ，d 4 半线性椭圆边值问题的无冈格数值方法 第二章 其中a - 【口l ，口：，a ，】r 为待定系数，o ) = 【无( 工) 丸( x ) ，九( 力】r 式( 2 2 1 ) 有个未知数，令近似函数“o ) 在节点而处的值等于函数“( 功在该节 点处的值蜥，即材 瓴) 一甜，可得到如下线性方程组： a a 一材 ( 2 2 2 i 其中“= h ，“：，j r ，a f f i r “) r 0 2 ) r ) 办( 毛) a ( x ：) 砖) 办( 毛) 丸o ：) 疙) 由式( 2 2 2 ) 解出系数列阵口，代入式1 2 2 1 ) 中，得 如( 置) 如( 屯) 办) “( 力；r ( 圳一1 = 脚 ( 2 2 3 ) 其中( 功= r m 一如果彳接近奇异，么一1 将会给计算带来误差，由文f s j 知，可以 通过改变参数c 和的选取来减小误差，而这些参数的最优值与所求解的具体问题有 关 将近似函数( 2 2 3 1 代入方程( 2 1 1 冲，根据加权残量法，即方程( 2 1 1 ) 在各离散点 处误差l 残量) 平方的总和为最小，来建立所要求解的方程组，从而获得方程在离散点 处的解以甜6 代替甜代入方程( 2 1 1 ) ，在内部、边界上离散点的误差( 残量) 分别为： 她) ；血5 “) + m “) ) i = l 2 , ，d 尺瓴) = “6 瓴) 一g ( 而) ， i = 口+ l ，a + 2 ，d + m 得到各离散点的残量平方总和为： - ， ) = 【a u 6 “) + m ( 而) ) 】2 + 艺。瞄“) 一g 瓴) 】2 1 2 2 4 ) 一- n + n o ” i - n o + i 各离散点的平方总和为最小的条件是 掣：0 u( 2 2 5 )i 一2( z z 5 j 将( 2 2 3 ) 代入( 2 2 4 ) ，则( 2 2 s l 司f 化为： 【 ，) “+ 厂( “) 】 a n r “) + 厂( ( x ，w ) n r “) 】 i - 1 半线性椭圆边值问题的无网格数值方法 第二章 l + ， + ( n ( x , ) u - g ( x d ) 矿“) = o 其中o ) = 叭，2 ，】 2 2 6 ) ( 2 2 6 ) 式是含有个未知数个方程的非线性方程组用非线性方程组n e w t o n 法阴来求解令2 2 6 ) 式左边为f 0 ) 计算可得： f ) = 阮，f ：， 毛：兰【材+ 厂l ，“) 】【蚍+ 厂( 丝) m 】+ n o + n ( “一g ) m j i - - n + i f ，( “) ：( 当k o n 。 考= 粪畔+ 朋哪+ 厂( 删 + - + ( 。”+ f ( n u ) ) f f ( 。”) 。m m ) l + m 也 再利用舯= 心一【f o 。) r l f o 。) 进行迭代求解非线性方程组 2 3 数值算例与算例分析 考虑边值问题( 非线性h e l m h o l t z 方程) ： - a u + 七2 国弦= o ，胁q 卜i r = g ( 2 3 1 ) 这里q = “力尺2 l0 焉y 1 ) 在q 上取离散节点o e x x y 其中 x 2 _ 2 【o ，o 1 25 ，d 25 ，径向基函数取g a u s s7 犁1 ，即办( 功一e x p ( 一c 刃) ，其中 常数取c = 5 ，迭代初值= 1 ( a ) 取后2 ) = 瓦丽1 ，g = 。分别用m a t l a b 编程实现本文的径向基函数无网格法和 文 s l q ，介绍的一般迭代法的算例程序计算结果见表1 6 半线性椭圆边值问题的无网格数值方法第二章 ( b ) 取七2 ( u ) - - 4 u 2 ，g = - 上一同样分别用m a t l a b 编写径向基函数无网格法和文【8 】 1 4 - 工4 - y r i e s z 投影法的算例程序计算结果见表2 表1 一般迭代法与无网格法的误差对比 迭代次数七节点上的最大误差( 一般迭代节点上的最大误差( 无网格 法) ( 计算所用时间)法) ( 计算所用时间) 七= 5 2 7 4 3 9 e 0 1 0 ( 7 6 秒) 3 7 7 7 5 e - 0 2 71 2 0 7 秒) k = 1 0 9 5 3 8 7 e 一0 2 0 ( 1 4 9 秒)1 2 9 7 6 e - 0 7 9 ( 4 2 0 秒) j = 1 5 3 3 1 5 0 e - 0 2 9 ( 2 3 0 秒)4 7 5 4 8 e 1 3 2 ( 6 2 0 秒) 表2r i e s z 投影法与无网格法的误差对比 迭代次数七节点上的最大误差 r i e s z 投影节点上的最大误差i 无网格 法) ( 计算所用时间)法) i 计算所用时间l 七= 5 4 1 1 5 5 e - 0 0 1 ( 7 7 秒)1 6 0 6 7 e - 0 0 1 ( 8 0 秒) k = 1 0 2 6 8 3 0 e - 0 0 1 ( 1 5 2 秒) 1 4 2 7 1 e 0 0 31 1 5 7 秒) k = 1 5 1 6 7 2 3 e 0 0 1 ( 2 4 8 秒)1 0 7 1 0 e - 0 0 5 ( 2 5 0 秒) 注：本文表中涉及的误差与计算时间均为p 41 6 g h z 2 5 6 m 的计算机上实算在不同 配置的计算机或c p u 的不同运行状态下测出的时间有一定波动 由算例的计算过程及结果可知，在相同迭代次数时，径向基函数无网格法的计算 精度远远高于一般迭代法和r i e s z 投影法其计算时间和r i e s z 方法基本持平，但远高 于一般迭代法特别值得一提的是一般迭代法与r i e s z 投影法对所求解问题都有一定 的收敛条件限制，尤其是一般迭代方法，并且都依赖对网格的划分而径向基函数无 网格法则无需对网格进行划分，只需选取恰当的初值，保证n e w t o n 法收敛，即可得 到问题的数值解总之，这类半线性椭圆边值问题的径向基函数无网格法是一种易于 实现且精度很高的方法 7 半线性椭圆边值问题的无网格数值方法第三章 第三章多解情形时半线性椭圆边值问题正解的径向 基函数无网格法与可视化 3 1 引言 本章主要讨论如下半线性椭圆边值问题正解在多解情形时的数值解法：假设q 是 r 2 中的有界区域，其边界施逐段光滑求“e c 2 ( 固n c ( _ ) 使满足： i 血- i - m ) = 0 o nq “ 0 o nq ( 3 1 1 ) 。 i “i a q - - - - o 其中厂暑她，求解( 3 1 1 ) 的最基本的思想来自于r i t z g a l e r k i n 方法：在q 上寻找一组 基，得到甜的近似函数“ ，把越代入1 3 1 1 ) i 或其变分形式) 进行离散，最后求解一非 线性方程组本文第二章使用径向基函数无网格法求解了1 3 1 1 ) 单解时的情况，在求 解最后的方程组时使用了n e w t o n 法，精度与速度还是令人满意的但若用于求解 ( 3 1 1 j 多解问题时，n e w t o n 法就明显不足了，本来确定n e w t o n 迭代的收敛域就很困 难，再加上( 3 1 1 ) 多解，如何确定初值使迭代收敛到不同解，更为困难目前，对于这 类问题至少有两种选择： ( a ) 使用一种大范围的迭代算法来求解非线性方程，比较成功的算法有搜索延拓法i ”】 ( s e a r c he x t e n s i o nm e t h o d ) ，遗传算法等等 b l 以现代变分学1 棚( 临界点理论) 为理论，特别是其中的山路引理( m p l ) 和极大极小方 法( m i n i m a xm e t h o d ) 来构造求解( 3 1 1 ) 的算法当然临界点理论并不能具体给出这些 解，但却隐含着一种逼近的思路基于这种思路，在近1 0 年出现了3 种相关的计算方 法嘲： ( i ) d j 路算法( m p a ) 它最早由c h o i 和m c k e n n a 1 5 1 提出一般地说，此算法只能找到 m o r s e 指标【“1 ( 用于描述泛函在临界点的性态) 为0 或1 的两个解m p a 算法被广泛用 于求解其他偏微分方程，如半线性弦振动方程一+ a ( u ) = 厂0 的周期解1 已 著名的悬桥方程吨t + 呶徽- i - 乩+ = w ( x ) + e h t ) t 1 氐1 9 1 的大振幅解与行波解泌捌 ( i i ) 高环绕算法( h l a ) h l a 由d i n g ，c o s t a ，c h e n 1 所建立，可以得到某些变号解数值试 8 半线性椭圆边值问题的无网格数值方法第三章 验表明，h l a 最多得到两个节点解 1 i i i ) 最大最小算法( m n a ) m n a 可以寻找一般m o r s e 指标的临界点，l i 和z h o u p 4 1 设计了 这种新算法在文【2 4 】中，他们提出了一个局部最大最小定理，于是它比传统的最大最 小定理在数值上更具构造性，并能计算某些高m o r s e 指标的解他们还用此法研究了 拟线性椭圆偏微分方程瞄1 以上三种算法都是双层算法，具体用计算机实现很不方便，为此c h e ng o o n g , z h o uj i a n x i n ，n iw e i m i n g 提出了一种新的求解3 1 1 ) 的算法尺度迭代算法【1 1 ( s c a l i n g i t e r a t i v ea l g o r i t h m ，s i a ) ，文【1 1 】利用s i a 和边界元( b e m ) 在不同区域上求解了( 3 1 1 ) ，得 到了满意的结果但边界元法也有它的不足，虽然边界元比起有限差分法( f d m ) ，有 限元法( f e m ) 对区域的依赖性要小，但仍然需要对边界区域进行划分，边界元法需要 事先知道基本解的情况，通过对边界点的计算，才能得到内点的值一旦边界形状比 较复杂，计算起来就会相当麻烦，当求解区域比较复杂时，基本解也很难求得文1 3 0 j 中利用s i a 与一般迭代法及r i e s z 投影方法计算了问题( 3 1 1 ) 另外一般迭代法与r i e s z 投影法虽较边界元方法，有限元方法更易实现且编程方便，但仍要背景网格计算 为此，本章引入了r b f 无网格配点法，利用s i a 和r b f 无网格配点法在不同区域上 来求解( 3 1 1 通过计算结果的比较以及对解的可视化，我们发现径向基函数无网格 法无需对求解区域进行网格划分，因而大大减少了计算量，摆脱了区域对所求问题的 限制，提高了计算精度，且易于编写程序，是与s i a 耦合求解这类半线性椭圆边值问 题理想的数值方法之一 3 2 尺度迭代算法( s c a l i n gi t e r a t i v ea l g o r i t h m ，s i a ) p l 】 文【1 1 】中( 3 1 1 ) 的s i a 算法 s t e p1 在q 上选取初值v o ( x ) 0 ，v o 充分光滑； s t e p2 求口。i 0 和，件i ( 力，使得 l 如胂l o ) ；一口肿1 6 y f o ) 0 1 1 q i 瓴) = l 1 3 2 1 ) l ，件ii 触一o ； s t e p3 如果l iv ，蚪- - 1 。忆 f ，算法中止，输出结果否则转到s t e p2 9 半线性椭圆边值问题的无网格数值方法 第三章 s i a 算法有如下理论结果： 定理3 2 ( 文 1 1 1 定理2 3 ) ：假设( v 。o ) ，口。) 收敛到瓯，) 且0 那么 i 材暑口f 1 是( 3 1 1 ) 的解 3 3 径向基函数( r b f ) 无网格法 径向基函数嘲( r a d i a lb a s i sf u n c t i o n s ，r b f ) 是一类以点x 到节点而的距离 西爿lx 一屯i i 为自变量的函数常见的定义在全域上的以节点而为中心的全局径向基 函数有： 力= p 2 + 刃) 2f m q ) 、力= p 2 + 刃) _ 坨( r m q ) 、# 1 ( x ) = c x p ( - c a ；) ( g a u s s 型) 、办( 力一矽b g 西( t p s ) 其中c 为大于零的常数，为整数 将求解区域q 用个节点而( ，= l ，乙，奶离散，其中在q 内部有虬个点，在r 边界上有m 个点( = 口+ 6 ) 函数k x ) 在域q 中的近似函数矿o ) 可用以各节点 而为中心的径向基函数办表示为 v 6 = 口j 九( 曲= r ( 功口 。 ( 3 3 1 ) ，- d 其中a f 口l ，a 2 ，口】r 为待定系数，o ( 力= 暾( 破丸( 办，如例r 式f 3 3 1 ) 有个未知数，令近似函数 ，6 在节点毛处的值等于函数v 在该节 点处的值叶，即v 6 “) = _ ，可得到如下线性方程组： a a = v 其中y = h ，吃，啊1 r ，彳= r ( ) 矿也) r ( x s r ) 磊( x m ) 疙( 赡) 九( 一) 么o ：) 丸( x ：) 如( z 2 ) 苁( h ) 以( h ) 丸( h ) 3 3 2 ) 由式( 3 3 2 ) 解出系数列阵a ，代入式( 3 3 1 ) 中，得 v ( 力= r ( x x 4 1 v = m 1 ，( 3 3 3 ) 其中( x ) = r ( x m 1 半线性椭圆边值问题的无网格数值方法 第三章 3 4 基于r b f 无网格法的s i a 耦合算法 在编写具体程序时，采用以下步骤来实行s i a 算法更加方侧1 1 i ： s t e p1 在q 上选取初值v o ( 力0 ，充分光滑； s t e p2 求v ：h ( 力，使得i 1 肿oi 一一如：( 力o nq ，v ，件oll 铂= 0 ； s t e 畦k 。= 毛嚣，。；丽i s t e p4 如果l i v 枷一忆 占，算法中止，输出结果否则转到s t e p2 容易验证v 肿1o ) 和口。满足1 3 2 1 ) 以下将详细给出用r b f 无网格法来离散以上s i a 算法的具体步骤 将求解区域q 用个节点而u = l ，2 ，加离散，其中在q 内部有口个点，在 铀边界上有m 个, 点( n f f i m + m ) 由3 3 节介绍的径向基函数无网格法得到： 矿( 力；西r ( 彬1 vf f i n ( x p 其中( 曲= r ( 彬一，v = h ，吃，r ，( 力一【办( ，以( 办一，九o ) ， a = 矿“) 矿o ：) f i i ( j c l ) 丸“) 九“) 磊o ：) 以( 屯) 氐也) 9 i i ( x n ) 以o ) 如) s t e p1 取初值吒一( 订，记，o ) r ，得到( _ ) 舒讨( _ ) = ( _ ) = 口，= l 乙， s t e p2 求= ( 印，n , 1 i ，蛉1 ) r ，使得 j a l v ( x d w , , 1 = - b ( n ( x 1 ) v ) ，i = l ，2 ，口 【) = 0 ，i = 口+ l ，心2 ，辨6 利用近似函数1 ，( 力在节点处的值等于函数，在该节点处的值匕，即1 ，“瓴) = 屹， 得p 麓篇：二芝乞瓮，口 半线性椭圆边值问题的无网格数值方法第三章 s t e p 3 k t2 丽 w n 4 1 ，2 而i l s t e p4 如果l | v 胂l - - v 。忆 f ，算法中止输出结果“誊口荔1 k 1 否则转到s t e p2 3 5 数值算例与可视化 r 毛掌q 慨， 泛函为：j 5 哇i v 邗一i 1 v 4 】出 q = x e r 2 ll 工i q = 工砰li z l o 9 ，lx - ( o 2 , o ) i ； q 5 = o e r 210 5qx l ； q = x e r 2 li x - ( - l o ) l o 5 u lx 一( 2 , o ) l 5 从哑铃区域退化出来的星形区域( as t a r s h a p e dd o m a i nd e g e n e r a t e df r o ma 半线性椭圆边值问题的无同格数值方法第三章 d u m b b e l l ) ： q i = z e 尺2ii x 一( _ l ，o ) l 0 5 u l x - ( 2 , 0 ) l 6 有非对称空腔的哑铃型区域l d u m b b e l l - s h a p e dd o m a i n sw i t hc a v i t i e sl a c k i n g s y m m e t r y ) q = q - x e r 2i ix - ( - i ，o ) 1 o 2 u ix - ( 2 , o 3 ) 1 选择的径向基函数为m q 型： 办( 力= ( c 2 + 刃) 1 心 计算结果如下： c = 0 1 区域 m a x “， g口 迭代 图片 次数 3 5 7 4 21 0 9 91 e 一61 2 7 7 5 ( o , o ) 1 6 f i g1 q i 3 5 7 4 11 0 9 91 e 61 2 7 7 ( 0 ，0 ) 1 3 见【1 1 】 9 0 37 3 7 31 e 叫48 1 9 1 ( - 0 6 ，0 ) 1 9 f i g2 鸣 9 1 27 2 0 91 e - 58 0 1 9 - 0 6 ，0 ) 1 6 见 1 1 】 7 2 84 8 2 0l e 45 3 4 3 l 一0 5 2 5 ，0 ) 1 8 f i g3 q 3 7 - 3 84 7 4 31 e 45 1 9 9 ( - 0 5 2 5 ，0 ) 1 1 见 1 1 】 6 9 44 2 7 31 e - 44 7 4 3 ( - 0 5 ，0 ) 1 8 f i g4 q 6 9 s4 2 1 4l e - 44 7 2 1 ( - 0 5 ，0 ) 1 2 见 i i 】 1 3 4 31 6 3 21 e - 41 8 4 0 7 ( 0 7 ，0 ) 2 3 f i g5 q ，( 单峰解) 1 3 4 11 6 2 3l e 41 7 9 9 ( 0 7 ，0 ) 1 2 见 1 1 】 1 3 6 13 2 6 41 e 一21 8 6 0 6 ( 0 7 ，0 ) 4 f i g6 q ，( 双峰解) 1 3 6 03 2 7 01 e 21 8 5 0 ( 0 。7 ，0 ) 2 见【1 1 】 1 3 6 04 8 2 9 93 e 21 8 6 8 2 ( 0 7 ，0 ) 3 f i g7 q ( 三峰解j 1 3 6 04 8 8 61 e 21 8 5 0 ( 0 7 ，0 ) 2 见i n 】 1 3 6 16 5 1 1 81 e 21 8 5 2 5 ( 0 7 ，0 ) 4 f i g8 q ，( 四峰解) 1 3 5 96 5 0 31 e 21 8 4 6 ( 0 7 ，0 ) 2 见 1 1 1 2 7 4 96 5 6 1 91 e 40 0 0 0 3 ( 0 8 ，0 ) 1 5 4 f i g9 q 。( 单峰解) 2 7 1 16 3 5 21 e 47 3 5 ( 0 8 , 0 ) 7 见i n 】 3 0 15 3 6 48 e 一27 5 9 1 1 ( 0 8 ，0 ) 2 f i g1 0 q ( 八峰解) 2 9 1 s 5 5 7 11 e 2 2 4 7 3 ( 0 8 ，0 ) 4 见 1 1 】 3 5 6 8 51 0 8 81 e - 41 2 7 9 ( 2 , 0 ) 1 3 f i g1 1 q ( 右) 3 5 6 2 1 0 91 e 4 7 见 1 1 】 半线性椭圆边值问题的无网格数值方法第三章 7 0 4 6 34 2 4 6 1 e 一49 4 5 e 一6 ( 一1 , 0 ) 4 7 f i g1 2 q ( 左) 7 0 3 74 2 2 21 e 一41 2 见 1 1 】 1 3 9 2 1 4 1 6 2 7 0 1 e 43