（计算数学专业论文）半线性波动方程谱方法的长时间行为.pdf

中文摘要 中文摘要中又摘要 本文考虑的是一维带阻尼的半线性波动方程 u t t + 0 f u t u 霉+ 夕( 仳) = ，( z ，t ) q 乏+ ， 带有齐次d i r i c h l e t 边界条件 u ( 一1 ) = t ( 1 ) = 0 ， 和初始条件 让( z ：o ) = 咖( z ) ，饥( z ，o ) = u 1 ( z ) 这里常数q = ( 一1 ：1 ) ，q o ，l 2 ( q ) 首先，对此类一维带阻尼的半线性波动方程的初边值问题建立了半离散的l e g - e n d r e 谱格式，并对其近似解做了先验估计进一步地，在一定的条件下，在有限 时间段( o ，t 】内，我们证明了半离散的l e g e n d r e 谱格式的稳定性和收敛性及误差估 计 其次，对此类一维带阻尼的半线性波动方程的初边值问题建立了全离散的l e 分 e n d r e 谱格式，并应用了l e r a y s c h a u d e r 不动点定理证明此问题的解的存在性通 过9 ( u ) = ps i l l 和夕( 让) = m 1 u 两种情况对全离散的l e g e n d r e 谱格式的近似解做 了的先验估计在一定的条件下，在有限时间段( o ，t 】内，得到了全离散的l e g e n d r e 谱逼近格式的稳定性，收敛性及误差估计 最后，我们讨论了由半离散的l e g e n 山e 谱格式和全离散的l e g e n d r e 谱格式生 成的离散动力系统( 有穷维的) 的动力性质，证明了这些离散动力系统都拥有整体 的吸引子 关键词：带阻尼的半线性波动方程；l e g e n d r e 谱方法；整体吸引子 黑龙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t o n e - d i m e n s i o n a ld 锄p e ds e 血l i n e 2 u rw a ee q u a t i o n si sc o i l s i d e r e di nt h i sp 印e r u 扰+ a 锄一u 竹+ 9 ( 缸) = ， 丽t hd i r i c h l e tb o u n d a 巧c o n d i t i o n a n di n i t i a lc o n d i t i o n s ( z ，) q r + ， 缸( 一1 ) = “( 1 ) = o ， u ( z ：o ) = 咖( z ) ，撕( z ，o ) = u 1 ( z ) 帅e r eq = ( 一1 ，1 ) ：q o ：，l 2 ( q ) f i r s t l y as e m i d i s c r e t el e g e n d r es p e c t r a ls c h e m ef b rt h eo n e - 出m e n s i o n a ld 缸n p e d 鼬m i l i n e 缸w a ee q u a t i o nw i t hi n i t i a lc o n d i t i o na n dd i r i c l l l e tb o u n d a 巧c i n d i t i o n s i sc o s t r u c t e d w bg e tau n i f o r mp r i o r ie s t i m a t ef 6 rt h ea p p r o 晒m a t es o l u t i o no f t h es e m i d i s c r e t el e g e n d r es p e c t r a ls c h e m ei nt i i n e t h es t a b i l i t y t h ec o r l v e r g e n c e a n de 玎o re s t i m a t e0 ft h es e i n j d i s c r e t el 倦e n d r es p e c t r a l ls c h e m eo v e ra 丘n i t et i i l l e 证t e r v a l ( o ，卅a r eo b t a i n 酣u n d e rs o m ec o n d i t i o n s s e c o n m y w ec o l l s t r u c tac o m p l e t e l y 山s c r e 七el e g e n d r es e p e c t r a ls c h e l ef o r t h eo n e - 出m e n s i o n a ld 锄p e ds e m i l i n e a rw a ee q u a t i o nw i t hi n i t i a lc o n d i t i o n 缸l d d i r i c h l e tb o u n d a 珂c i n d i t i o 璐t h es o l v a b i l i 锣o ft h ef u l l yd i s c r e t el e g e n d r e p e c t r a l s c h e m ei s 山s c u 豁e db yl e r a y 蟠c h a u d e r 缸e dp o i n tt h e o r e m w bg e tau n i f o mp r i o r i e s 恤n a t ef o rt h e 印p r o ) d m a t es o l u t i o no ft h ec o m p l e t e l y 出s c r e t el e g e n d r es p e c t r a l s c h e l ei nt i m e 而t h9 ( 让) = ps i n 札a n d9 ( u ) = i “1 1 t 正t h es t a b i h 饥t h ec o n v e r g e n c e a n de r r o re s t i m a t eo ft h ec o m p l e t e l yd i s c r e t el e g e n d r es p e c t r a ls c h e m eo v e raf i n i t e t i m ei n t e r v a l ( o ，刁a r eo b t a i n e du n d e r8 0 m ec o n d i t i o 璐 f i n a u y ，w ed i s c u 踣d i s c r e t ed y n 锄i c a ls y s t 锄s ( t h e 丘n i t e d i m e n s i o n a l ld y n 锄i - c e l ls y s t e m s ) w h i c hw e r eg e n e r a t e db yt h e8 e m i 山s c r e t el e g e n d r e 印e c t r a ls c h e m ea n d t h ec o m p l e t e l yd i s c r e t el e g e n d r es p e c t r a l ls c l l e m e t h e 晒s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o r s 缸ep r o v e df o rt h ed i s c r e t ed y n a m i c a l 科s t e 【璐 k e y 、帕r d s ：d 锄p e ds e 血l i n e a rw a v ee q u a t i o n s ；l e g e n d r es p e c t r 础s c h e m e ；g l o b a l l a t t r a c b d r i i 黑龙江大学硕士学位论文 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得黑龙江大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料，与我一同工作的同志对本研究所作的任何贡献均已在论文 柞黧萎糕薹耨红 学位论文作者签名：外断够1 卜 签字日期：九艉f 月彦日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解黑龙江大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人 授权黑龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编本学位论文 学位论文作者签名：耻把张导师躲旅砀 签字日规枷彳年岁月罗1 日 签字日期：磁咐月日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 谱方法简介及研究状况 谱方法作为一种重要的求解偏微分方程的数值方法，其最大的优点就是具有所 谓的“无穷阶”收敛性，即如果原问题的解充分光滑，那么用适当的谱方法所求得的 近似解将以- 1 的任意幂次速度收敛于精确解这里为所选取的基函数个数 因此，谱方法已经和有限差分法、有限元法一起成为数值求解偏微分方程的三种基 本方法 谱方法从产生至今已有较长的历史，7 0 年代初，许多学者在谱方法计算、应用 及算法稳定性方面做了大量的工作，如k r e 汹，o h g e r 【1 】，o r s z a g l 2 】等，并被g o t t l i e b 和o r s z a g 总结在专著【3 】中到了8 0 年代，a q u a r t e r o n i ，c c a j l u t o 【4 】【5 】1 6 】吲【8 】： y m a d a y 【9 1 1o 】【1 1 】，j e p a s c i a k 【1 到，h o k r e i 鹃【1 引，郭本瑜【1 4 】【1 5 】【16 】等人对谱方法在理 论匕进行了系统地研究，对各类投影算子、插值算子在各种范数意义下给出了误差估 计，并把这些结果运用于一系列重要的线性和非线性偏微分方程的数值分析上，得到 十分满意的结果，这一时期的成果已总结在c c a r n l t o ，m y h u s s a i n i ，a q u a r t e r o n i ， t a z a n g 的专著【1 7 】中国内也有谱方法方面的专著，如【1 8 】，【1 9 】另方面大量 的实际计算也证明了谱方法确是一种十分有效的数值方法，现在它已成功地应用到 流体力学、气象、计算物理等领域 1 2 无穷维动力系统简介及研究状况 有穷维动力系统的研究已经有四、五十年的历史了，至今已经取得了许多重要 的成果但是，在实际问题的解决过程中，仅仅考虑有穷维动力系统的情况是远远 不够的，比如流体力学中的湍流问题就是一个典型的无穷维动力系统问题，无穷维 动力系统的研究在科学界有着非常重要的意义近二十年来，许多数学家对此作了 大量的工作，如r t e m a m l 2 0 l 【2 1 l ，j k h a l e 【2 2 】【2 3 】【川，a v b a b i n ，m i v i s h i k 【2 5 】【2 6 】，还 有我国的郭柏灵院士m 【2 8 】【2 9 儿圳和李大潜院士等 无穷维动力系统的长时间行为完全被其整体吸引子所刻画，系统的复杂性一 般与它维数有关，维数越高，系统就越复杂 s i n 争g o r d o n 方程是很典型的半线性 波动方程，对其而言，吸引所有轨道的吸引子的存在性是最重要的特征之一，动力 系统的长时间性态完全被系统的吸引子所决定j m g h i d a 9 1 i a 和r t e m a m 【2 0 】【2 1 l ： 黑龙江大学硕士学位论文 j k h a l e 【2 2 l ；j m b a l l ( 3 1 】，a h a r a u x | 3 2 l ，o l a d y z h e n s k a y a 【3 3 1 等都研究了半线性波动 方程的长时间性态，在一定的条件下证明了整体吸引子的存在性，并得到了吸引子 的h a u s d o r f f 维数和n a c t a l 维数的估计 许多物理现象都可由波动方程来描述，如在凝聚态物理中提出的一维量子s i n e - g o r d o n 模型就是个半线性波动方程半线性波动方程的解析解一般很难得到 因此数值求解及研究数值解的长时间性态等相关问题就显得尤为重要随着计算机 的存储量和计算能力的提高，人们已经有能力解决这种长时间的数值计算问题 采取对p d e 方程离散化的方法( 将无穷维动力系统化为有穷维动力系统) ， 并采用长时间计算方法，是从有穷维动力系统走向无穷维动力系统的一条很好的 途径利用数值计算，通过计算机模拟动力系统的行为是研究无穷维动力系统很重 要的方法由于在数值计算中必须考虑t 趋向无穷的有效性，这对微分方程的数 值解法来说，也是一个全新的研究领域国内外许多学者都致力于这方面的研究， 如j k h 出e ，x b l i n ，g r a u g e l 在文【2 3 】【2 4 】中研究了耗散的抛物型方程和双曲 型方程的离散化问题，证明了离散系统吸引子的存在性及它们的上、下半连续性 l d e t t o r i 在文【3 4 】中研究了一类半线性抛物型方程的吸引子的谱逼近 y i ny m 在文 3 5 】中用差分法研究了带有阻尼项的一维s c h r 6 d i n g e r 方程的半离散格式，证 明了对应的离散系统吸引子的存在性及它们的h a u s d o 维数和n a u c t a l 维数的估 计向新民在文1 3 6 中讨论了带弱阻尼的非线性s c h r 甜i n g e r 方程周期初边问题 的半离散f o u r i e r 谱格式，得到了近似解的长时间收敛性以及近似吸引子的存在性 和弱上半连续性f y z h a i l g 在文 3 7 】【3 8 】中也用差分法研究了带有阻尼项的一维 和三维s c h r c l 出n g e r 方程的全离散格式，证明了对应的离散系统吸引子的存在性 c m e 1 1 i o t t ，s l a r s s o n 在文【3 9 】中用有限元法研究了c a h n h i l l a r d 方程的半离散 和隐式e u l e r 全离散格式，证明了对应的离散系统吸引子的存在性及它们的上半连 续性 c m e l l i o t t ，a m s t u a r t 在文【4 0 】中用有限差分法研究了半线性抛物方程 的半离散和全离散格式，对于一些离散格式，证明了对应的离散系统拥有整体的吸 引子；而对于一些离散格式，证明了对应的离散系统存在着一些原系统没有的虚假 现象，如存在二周期解，平衡点增多等现象m m a r i o n ，r t e m 锄在文【4 1 】中针 对长时间问题提出了非线性g a j e r k j n 方法之后，文 4 2 】 4 3 】中分别对有限元和有 限差分两种情形证明了近似解的收敛性 j i es h e n 在文【4 4 】中证明了全离散非线 性g a l e r l 【i n 方法的长时间稳定性和收敛性c d e l d e r ，m m a r i o n ，e s t i t i - 在 文【4 5 】中考虑了非线性g a l e r k i n 方法的收敛速度关于这方面的文章还有很多， 如【4 6 】- 【5 7 】 第1 章绪论 1 3 一类带阻尼的半线性波动方程长时间性态( 行为) 的研究 对于非线性偏微分方程的数值分析一般只限于在有限时间段( o ，卅上，而得到 的结果往往推广不到无界时间段( o ，+ o 。) ，因为所得到的近似解的先验估计和误差 估计一般与时间区间的长度t 有关故我们要建立与t 无关的一致的先验估计和 误差估计 设q = ( 一1 ，1 ) ：我们考虑半线性波动方程 t 上扰+ 口t 上t 一让z z + 夕( 缸) = ，( z ，t ) q 乏十( 1 1 ) 带有齐次d i r i c h l e t 边界条件 札( 一1 ) = u ( 1 ) = o 和初始条件 t 正( z ：o ) = t 正o ( z ) ，t “( z ，o ) = u 1 ( z ) 这里常数q 0 ，l 2 ( q ) 令 g ( s ) = 9 ( 盯) 如 我们假设非线性函数9 c 1 且满足 l 槲掣。 并且存在常数c - ，使得 l i m i n f 兰趟二0 坐! o 一 s ( 1 _ 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 - 5 ) ( 1 6 ) 由( 1 5 ) ；( 1 6 ) 式知，对v d o ，jq ，q ，使得 g ( s ) + d s 2 一q ：v s r( 1 7 ) s 9 ( s ) 一c 1 g ( s ) + d s 2 一q ： v s r ( 1 8 ) j m g l l i d a g l i a r t e m a m l 2 0 l 和r t e m a m 【2 1 】研究了带有边界条件( 1 2 ) 的半线 性波动方程( 1 1 ) 所生成的动力系统s ( t ) 在乘积空间岛= 础( q ) l 2 ( q ) 上的长 时间行为，在条件( 1 5 ) 和( 1 6 ) 下，证明了s ( t ) 在昂中存在着整体吸引子a 设 常数 o ，且o o ，取 ( 1 1 0 ) ( 1 - 1 1 ) ( 1 1 2 ) o 。 由此得到 入1 ，i i u 0 2 i 训；， v t ，p o z 舟 显然有 0 入1 a 1 其中入，代表算子一品在础( q ) 中的特征函数对应的最小特征值 一7 一 黑龙江大学硕士学位论文 第3 章半离散l e 9 e 7 1 l 办e 谱方法及其对艺一致的先验估计 问题( 1 9 ) - ( 1 1 2 ) 的半离散l e g e n d r e 谱格式为：求映射u ( ) ：( ) ：( o ，o o ) _ 帕岛，使得 ( 仳肌，妒) + e ( 乱，妒) 一( ，妒) = o ，v 妒帕嗡 ( 3 - 1 ) ( 。，妒) + ( t 正脓，妒z ) 一( 乜一) ( u ，妒) + ( 口一) ( u ，妒) + ( 9 ( 缸) ，妒) = ( ，9 ) ，v 妒p d f 舟 ( 3 - 2 ) 钍( o ) = p ? ，让o ： ( o ) = p ( 札1 + 让o )( 3 3 ) 半离散l e g e n d r e 谱格式( 3 _ 1 ) 一( 孓3 ) 可看成是一个常微分方程组的初值问题，其局 部解存在为了证明此问题的解在( o ，。) 存在，我们要对半离散l e g e n d r e 谱格式 的解做对变量t 一致的先验估计 3 1 半离散l e g e n d r e 谱格式解的先验估计 征( 孓2 ) 甲取妒2 ：开狂葸剑( 孓1 ) i 得 丢爰伽i ；刊州| 2 ) 刊札l ；+ ( q 叫慨j 1 2 叫q 叫( + ( 咖) - = ( 六 ( 3 4 ) 当满足( 1 1 3 ) 时 川；+ ( q 一) 1 2 一g ( q e ) ( 牡，) 弘| 2 + 刳俨 而 ( 夕( 让) ，) = 爰( g ( 仳) ：1 ) + ( 9 ( u ) ：t ) 将上述两式代入到( 孓4 ) ，得 三丢 i u 瞎+ o 1 1 2 + 2 ( g ( 钍) ，1 ) ) + 差i 片+ 詈| l 1 1 2 + ( 夕( 让) ，) ( ，) ( 孓5 ) 又由于( 1 7 ) ；( 1 8 ) 式及入- 的定义知，一定存在两个常数硒，鲍，使得 g ( 牡) + 耵焉删2 + 蜀o ：讹p d f ( q ) ( 孓6 ) ( 趾，9 ( 钍) ) 一c l g ( u ) + 扣1 1 2 + 尬o 地p 。k ( q )( 孓7 ) 第3 章半离散e 9 e 几d r e 谱方法及其对一致的先验估计 那么， 1 ( u ，9 ( 钍) ) c 1 g ( u ) 一去i | u 1 1 2 一 把上式代入到( 3 - 5 ) ，得 去知u l ；十1 2 + 2 ( g ( 牡) ：1 ) ) + 扣i i + 扣1 1 2 + g ( 牡) + ( ，) + 刳圳2 + 扣1 1 2 设q 12 m i n 参c l l 得 象+ q ，秒岛+ 昙l i ，1 1 2 ( 孓8 ) 象佃秒岛+ 舢1 2 ( 孓8 其中 可( ) = i u ( ) i ；+ o v ( t ) 0 2 + 2 ( g ( u ( t ) ) ，1 ) + 2 k 1 三i u ( 亡) l ；+ l i ( t ) 1 1 2 o ( 孓9 ) 岛= 2 恐+ 2 & 1 而 由引理2 4 和( 3 8 ) 有 一 绯) 们) e 印( 咄卅( 鲁+ 去2 ) 1 一e 印( 咄啪，。 ( 3 - 1 。) 联合估计式( 3 - 9 ) ，我们有估计 l u ( 圳；+ l i ( 驯1 2 鲁可( 。) e 印( 一q t ) + 鲁( 鲁+ 去l | ，1 1 2 ) 1 一e 印( 一q - 坍，。 ( 3 - 1 1 ) 因此我们就得到 定理3 1 在条件以砂- 以一砂下，半离散l e 夕e 几d 他谱方法的解在( o ，o o ) 上存 在，并且有估计式f ，争j j ) 3 2 半离散l e g e n d r e 谱格式的稳定性，收敛性及误差估计 设( 札：) 和( ，知) 是带有初值条件( 缸( o ) ，( o ) ) 和( ( o ) ：知( o ) ) 的半 离散l e 夕e n 办e 谱格式( 孓1 ) - ( 3 3 ) 的两个解，且初值满足 0 u n ( o ) 1 1 1 + l i u ( o ) 0 兄， i i 可( o ) 0 1 + 0 z ( o ) i i 兄 由定理3 1 ，存在常数g ( 冗) ，使得 s u p ( i i 让( t ) i i l + i l ( 亡) i i ) q ( 兄) ：s u p ( i 阿( ) 0 1 + i l 知( t ) i i ) g ( r ) ( 孓1 2 ) t 2 ut 三u o 一 黑龙江大学硕士学位论文 我们设g = 缸一：= 一z ，那么知和r 满足 ( g m ，妒) + e ( 口，妒) 一( 7 ，妒) = o ，v 妒帕z 知( 3 - 1 3 ) ( r 。，妒) + ( 吼忧，妒正) 一( 口一e ) ( g ，妒) + ( q 一) ( 7 ，妒) + ( 9 ( u ) 一9 ( 可) ，妒) = o ，v 妒p o 岛( 3 1 4 ) 在( 孓1 4 ) 中取妒= h ，注意到( 3 - 1 3 ) ，我们有 三丢 l g 悟+ 咿j 1 2 ) + | g 悟+ ( q e ) 盯川2 一e ( 口一) ( g ，r ) + ( 夕( ) 一9 ( ) ，) = o ( 3 1 5 ) 当e 满足( 1 1 3 ) 时 e i g i ；+ ( q 一) i | r i f 2 一( q e ) ( 知，) 导i 口i ；+ 芸l l r 1 1 2 由嵌入定理，有 i ( 9 ( u ) 一9 ( ) ，r ) i c i l g 0 i i r | i c ( i i 口1 1 2 + i 卜i j 2 ) 代入到( 3 - 1 5 ) ；得 知q 1 2 + 州1 2 ) c ( 1 i 口1 1 2 + i l r 1 1 2 ) c ( 川+ | 2 ) 由g r o 矾讪引理，我们有估计 i 口( t ) i ；+ 0 r ( z ) 0 2 e c ( 1 9 ( o ) i ；+ i | 7 ( o ) 0 2 ) ， 耽o ( 孓1 6 ) 定理3 2 设( ，) 和( 蜘，知) 是带有初值( o ) ，( o ) ) 和( ( o ) ，知( o ) ) 的半离散l e 夕e 礼打e 谱格式但砂一仔矽的两个解，且初值( ( o ) ，( o ) ) 和( ( o ) ， 知( o ) ) 满足 0 让( o ) f 1 1 + 0 u ( o ) l | 冗，i 阿( o ) 1 1 1 + i i 知( o ) f i 冗 那么，存在着与t 无关的常数c ，使得仔j 砂成立 利用类似于定理3 2 的证明方法，我们能得到下面的定理 定理3 3 假设问题门一j ，) 一门一砂的解t l 日口( q ) n 础( q ) ，盯1 ，则半离散 三叼e n 打e 谱格式仔j ，一仔砂的解( u ( ) ，t ) ) ，存在一个依赖于丁和钍的常数 c ( t ) 使得 i l 札( t ) 一u ( t ) | 1 1 + i i t u ( t ) 一m ( t ) | i c ( t ) 1 盯， 其中叫( t ) = ( t ) 一e 仳( ) 第3 章半离散l e 夕e 几d r e 谱方法及其对t 一致的先验估计 3 3 本章小结 在本章中，我们对问题( 1 9 ) 一( 1 1 2 ) 建立了半离散的l e g e n d r e 谱逼近格式( 孓 1 ) 一( 3 - 3 ) 为了证明此问题的解在( o ，o o ) 存在，我们对半离散l e g e n d r e 谱格式的解 作了对变量t 一致的先验估计，并证明了半离散的l e g e n d r e 谱逼近格式的稳定性， 收敛性及误差估计 黑龙江大学硕士学位论文 第4 章全离散l e 9 e 几办e 谱方法及对亡一致的先验估计 让代表时间方向的步长我们构造问题( 1 9 ) 一( 1 1 2 ) 的全离散l e g e n d r e 谱 格式为： 求u ：，u ：p d z ，n l ，使得 ( 些铲川一丢( e 拳咖e 一学盯m = o v 妒叽岛( 删 ( 翌 箬翌川一掣滢巾铲小妒t 嚷 这里 + e 一盖2 让蕊1 ：妒z ) + ( g 【e 妄。u 品，e 一暑2 札丁1 】：妒) = ( ，妒) ：v 妒帕z 备 ( 4 2 ) u ：r = p ? ，咖：哦= p 舟( 让l + 咖) r g 5 1 = s z 】： l g ( s 2 ) 一g ( s 1 ) s 2 一s l 夕( s 1 ) ， ，s 2 s l ； s 22s 1 ( 4 - 3 ) 全离散l e g e n d r e 谱格式( 4 - 1 ) 一( 垂3 ) 是一个关于让的非线性方程组下面我 们来证明此方程组对于任何的礼解都存在 4 1 全离散l e g e n d r e 谱格式解的存在性 使得 对任意的一个函数伽勘岛和任意的盯【o ，l 】，我们定义函数让帕岛， ( 坚学川一善( e 和咿一学川_ 0 ，。v 妒p d f 器 ( 4 4 ) ( 翌 乒m 一掣滢+ e 中吼沪妒t + e 一参。钍蕊1 ，妒z ) + ( g 【e 暑。硼，e 一参“f 1 】，妒) = ( ，妒) ，v 妒p d 2 品 ( 4 - 5 ) 由此定义算子乃：( 伽，盯) 乳岛( q ) 【o ，l 】_ 让帕岛显然，算子已对 ( 叫n ：盯) p d 嗡( q ) 【o ，1 】都是连续的为了证明全离散l e g e n d r e 谱格式( 4 - 1 ) ( 4 - 3 ) 解的存在性，由引理2 5 ，只须证明算子乃的所有可能的不动点哼1 + 9 都一致 有界算子l 的不动点u 1 + 盯满足 ( 丝芷m 一吾( e 铷咖e 一掣哼，m 扎v 妒叽引4 - 6 ) 一1 2 第4 章全离散e 9 e n 打e 谱方法及对t 一致的先验估计 ( 竺字掣m 一掣滢t 盱，e 巾吼小扣镟m + e 一墨札蒿1 ，妒王) + ( g e 差。仳丁1 + 旷，e 一差2 u 丁1 】，妒) = ( ，：妒) ，v 妒p d f 在( 4 - 7 ) 中取妒= 盯( e 孚嵋+ e 一孚 品一1 ) t 再注意到( 4 - 6 ) ，我们有 ( 4 - 7 ) 盯e ( q 一6 ) i | 1 1 2 一仃e 一( q 一5 ) i i t ，品一1 1 1 2 一g ( q e ) ( e 5 | l u 芦1 + 仃1 1 2 一e 一。i l t 正10 2 ) + e 5 i 仳矿1 + 口i ；一e 一5 2 i q _ 1 l ；+ 2 ( g ( e 暑2 乱芦1 + 4 ) ，1 ) 一2 ( g ( e 一叁u 1 ) ，1 ) = 以地e 孚。u 品+ e 一学。 品一1 ) 或者 选择 盯e ( 口一5 ) 2 l l u ：1 1 2 一e ( q 一) e 5 。0 u 芦1 十9 1 1 2 + e 5 i 让矿1 + 口l ；+ 2 ( g ( e 差q _ 1 + 口) ，1 ) 盯e 一( a 一) 2 0 品一1 0 2 一( q e ) e 一5 0 仳1 1 1 2 + e 一5 。l u f l l ；+ 2 ( g ( e 一主札f 1 ) ；1 ) + 以t ( 厂，e 孚嵋+ e 一孚。 品一1 ) ( 垂8 ) 0 o ： 又由入1 ，的定义及不等式( 1 7 ) ，有 旷曲( 詈，尝) ， 一( 口一e ) e 5 。0 u 丁1 + 口0 2 + e 8 i i u f l + 矿f i ；+ 2 ( g ( e 暑。让f 1 + 叮) ，1 ) 丢e 出i 盱1 + 口i ；+ ( 字一q 时e 2 ) e 5 i i u 矿1 + ，1 1 2 _ 2 彬。i | u 芦1 + 旷1 1 2 2 。i q 丢e e t l 仳f - 扣后+ 譬e e t l i u f l + 刊2 一c 譬l q l ，( d = 等) 这里l q i 表示区间长度 再利用c a u 吐可不等式，我们有 l 以( ，e 警t u ：) i 以l l e 孚2 i i 盯e ( 汹i i 卯+ 竽z 把以上结果都带入到( 4 - 8 ) ，我们有 丢i 仳丁- 押瞎+ 譬f ，+ 刊z o 哝一，i i ：+ s ( 口一) i i 札芦l l z + i 札丁曙+ 2 ( g ( e 一暑t u f ) ，1 ) + 2 c 譬i q i + 竺孚i i ，1 1 2 + i ( 厂， 二一1 ) 1 4 q 一 这意味着l i u 1 + 口瞻关于口是一致有界的因此，全离散l e g e n d r e 谱格式 ( 4 - 1 ) ( 垂3 ) 的解对于任何的n 都存在 一1 3 4 2 全离散l e g e n d r e 谱格式解的先验估计 和 在此节中，我们仅考虑 9 ( u ) = 卢s i n 让 9 ( 让) = i t 正1 1 牡 两种情形，此时方程( 1 1 ) 称为s i n e - g o r d o n 方程或者称为相对量子力学方程在 ( 4 _ 2 ) 中取妒= ( e 孚 品+ e 一孚。u 品一1 ) ，再利用关系式( 4 1 ) ，我们有 或者 e 扣2 2 峨0 2 一e 一2 峨一1 1 1 2 一( q e ) ( e 锄嵫1 1 2 一e 砒i l 仳丁1 | 1 2 ) + e 5 2 i 让i ；一e 一5 i 让 1 i ；+ 2 ( g ( e u ) ，1 ) 一2 ( g ( e 一参2 u 丁1 ) ，1 ) = 2 ( ，e 社u 品一e 一弘u 丁1 ) e 。一2 5 ) 2 l i 品1 1 2 一e ( o 一) i i 孔1 1 2 + i 仳品l ；+ 2 e 一5 。( g ( e 2 让：) ，1 ) 一2 e 一主t ( ，：t 正) = e 一2 5 e 一( 。一2 5 2l | u ：11 1 2 一e ( q e ) l i 钍11 1 2 + i u 矿1i ； + 2 e 山( g ( e 一号t u 芦1 ) ，1 ) 一2 e ( ，钆矿1 ) ) ( 4 - 9 ) 首先，我们考虑9 ( 牡) = p s i n 让的情况，这时的g ( 让) = 一p c o s 仳，那么，( 4 - 9 ) 变成 e 陋一拈l i ：1 1 2 一( q 一) i i t 正品1 1 2 + l u 品i i 一2 p e s ( c 0 8 ( e 舌t u ：) ，1 ) 一2 e 一盖t ( ，u 品) = e 一2 e e 一( 口一2 ) 。| i 嵋一1 1 1 2 一e ( 口一e ) l i 仳矿o z + i u f - 曙 一2 缈。( c o s ( e 一言盱1 ) ，1 ) 一2 e 批，让矿1 ) ) ( 4 1 0 ) 我们定义 研= l | 喁1 1 2 一( q e ) l | u ：1 1 2 + i 乱i ；一2 p e 一6 。( c o s ( e 墨2 u ) ，1 ) 一2 e 一考( ，钍品) ( 4 _ 1 1 ) 如果0 e o ：我们有 曰l l 这里 1 2 + l 瞎+ 1 2 + i u 期+ ( 垄笋一q e + 2 ) 0 u 1 1 2 2 l 卢i i q i 一2 e 一盖t l l ，0 l i “品i l 譬l i t 正嚣1 1 2 一d ， d 1 = 2 2 e 1 址1 2 + 2 例i q 一1 4 一 ( 4 - 1 2 ) ( 4 1 3 ) 价 第4 章全离散l e 9 e n 打e 谱方法及对t 一致的先验估计 设 研= 研+ d 1 那么，由( 4 - 1 2 ) 和( 4 1 4 ) ，我们有 屠蚓l z + 扣i ；+ 知卅 又由( 4 一l o ) ，有 ( 4 1 4 ) ( 4 - 1 5 ) 研e 一拈e ? 一1 2 e 一2 5 ( e 5 一e 一5 。) p ( c o s ( e 舌。t f l ) ：1 ) + 2 e 一p ( c o s ( e 主t 正芦1 ) 一c o s ( e 一量u 1 ) ，1 ) + 2 e 一缸2 ( e 一考一e 吾。) ( ，盱1 ) 陋1 6 ) 下面我们来估计( 缸1 6 ) 右端各项利用h 6 l d e r 不等式和不等式1 + z 矿：比r ， 我们有 1 2 e 一2 5 。( e 出一e 一5 。) p ( c 0 8 ( e 暑。u 矿1 ) ，1 ) i 4 i p i i q i ， 和 2 e 一出p ( c o s ( e 舌u 芦1 ) 一c o s ( e 一暑2 牡芦1 ) ，1 ) i 2 钯一暑例i q 川叮1 0 丢e 一蛐3 t i i u 洲2 + 4 e 一1 e s t t p 2 毗 2 e 一拈( e 一主。一e 舌) ( ，让1 ) i 2 把一警2 0 ，i 札芦1 i 丢e 一蛐e 3 & i i u 州2 + 4 一1e 啦t 制l 代入到( 4 1 6 ) 右端，得 厨e 一拓。( 1 + e t ) 厨一1 + ( 1 一e 一2 e & ) d 1 + 墨t 这里 n = 1 ，2 ，( 缸1 7 ) = 4 e i p l l q i + 4 一1 e 5 。p 2 i q l 2 + 4 一1 e 一5 。i l ，0 2 由( 4 1 7 ) ；我们得到 研e 一鼋一1 + ( 1 一e 一2 以) d 1 + 尬t 又由( 4 1 5 ) ，我们有 e 一n 2 霹+ ( 1 一e e n 2 ) ( 2 d l + e 一1 e 5 。甄) ( 4 1 8 ) 1 2 + 丢l 钍瞎+ 譬l l u 刘2 e e n 霹+ ( 1 一e f t i 。) ( 2 。+ e 一1 e e 。凰) ，钆= 1 1 2 ， ( 4 - 1 9 ) 我们得到下面的定理 一1 5 一 i 2 定理4 1 设夕( u ) = p s i n 让，对全离散l e 夕e 几打e 谱格式似- j ，一心一圳的解( 仳品：u 品) ， 我们有如下的先验估计式似一j 砂其中伊，d 和l 的定义分别在似一j j ) ，似一_ f 印， ( 4 一l 毒) 昶( 一1 8 ) 中 现在，我们来考虑9 ( u ) =川1 u ，这时的g ( u ) = 熹川7 + 2 ，那么，( 4 9 ) 变为 e 。一船峨忙( 口一e ) 峨i | 2 + 吲 + 南e 芋2 ( 心p ；1 ) 一2 e 一弘( ，乱嚣) = e 一2 e 一( 口一2 ) 。i f u 品一1 l j 2 一( q 一) i i 钍矿i i z + i 乱f ，陪+ 嘉e 一警t ( i u 矿- l r 州，1 ) - 2 e 弘( ，让f 1 ) ) ( 4 - 2 0 ) 设 霹2 蚓1 2 一( q 一非卯+ 吲；+ 南e 弘( 吲伴，1 ) _ 2 e 巾。( 厂，缸) ( 蚴) 如果0 e o ：我们有 叼i i 品1 1 2 + ；i u ：i + ( 叁芋一q + 2 ) i l u 品1 1 2 + 熹i | 缸0 2 e 一丢t | i ，| i i i u 品1 1 2 + ；l 也品l i + 譬0 t 上品1 1 2 一d ： 这里 设 由( 4 2 2 ) 和( 4 2 4 ) ，可知 又由( 缸2 0 ) ，可得 研 d 2 = 2 e 一2 e 一出1 2 霹= 研+ d 2 ， 霹2 + 扣i ；+ 知卯 e 。2 以。霹1 + 2 e 咄2 ( e 一净一e 渺) ( ，仳r 1 ) 现在我们来估计( 4 - 2 6 ) 右端由h 6 l d e r 不等式和l + z 矿：比r ，有 2 e 咄( e 一社一e 考) ( ，：盱1 ) i 2 e 抛一警2 l l 让丁1 三e 咄3 z 牡铷2 + 2 e _ 1 e 啦z 把上式代入到( 4 - 2 6 ) 右端，有 厨e 一拓。( 1 + s ) 鼋一1 + ( 1 一e 一挺) d 2 + t ， 一1 6 一 | f u 刘 ( 4 - 2 2 ) ( 4 - 2 3 ) 阻2 4 ) ( 4 - 2 5 ) ( 4 - 2 6 ) n = l ：2 ： ( 4 - 2 7 ) 第4 章全离散e 夕e n d r e 谱方法及对t 一致的先验估计 这里 鲍= 2 e 一1 e 一出例1 2 由不等式( 4 - 2 7 ) ，我们得到 两e e 。厨一1 + ( 1 一e 一2 5 。) d 2 + 鲍 e e n 霹+ ( 1 一e 一n 。) ( 2 d 2 + e 一1 e 6 ) ( 4 2 8 ) 又由( 4 2 5 ) ，有 l i 品1 1 2 + 吾i 乱品i ；+ 等i i 钍1 1 2 e e 以鼋+ ( 1 一e e 以2 ) ( 2 d 2 + 一1 e 5 出亿) ，礼= 1 ，2 ， ( 4 2 9 ) 我们就得到下面的定理 定理4 2 设9 ( 乱) = l u l l u ，对全离散l 印e 佗d 他谱格式似一一似一剀的解t 品： ：， 有如下的先验估计式似一2 砂其中日，d 2 和j g 的定义分别在似一2 j ，似一2 彰，似一纠夕 帮( 4 2 8 ) 中 4 3 全离散l e g e n d r e 谱格式的稳定性，收敛性及误差估计 设( 札品：u 品) 和( 可：，露) 是带有初值条件( 哦，哦) 和( 可品，器) 的全离散l e 9 e 礼打e 谱格式( 4 - 1 ) 一( 4 - 3 ) 的解，且初值条件满足 u ：i l - + i i 品| j 冗，0 y 品l i + l i 器0 r 由定理4 1 4 2 ：存在a ( 冗) ，使得 s 鼍p ( | i u 品i i - + 0 | | ) q ( r ) ：s 鼍p ( 0 可：l l + l l z 品| i ) q ( 冗) ( 4 - 3 0 ) n ) ut 1 7 u 我们设略= u 一可品：r ：= 嵋一露，那么g 品和r ：满足 ( 塑