（理论物理专业论文）关于量子berry相位的研究以及其理论在介观物理中的应用.pdf

摘要 量子力学里的波函数相位问题一直是近年来的研究 热点问题之一，从动力学相位的研究到非动力学相位的研究，量子力学的相 位问题一直引起理论工作者的广泛的关注。自从英国b r i s t o l 大学b e r r y 于1 9 8 4 年提出了量子力学中的绝热的b e r r y 相位以来，量子绝热相位在各个方面的研究 取得了很大进展。早在b e r r y 工作之前，人们已经知道这个相因子的存在，但 是人们由于对波函数的单值性尚未有深入的认识而忽略了它的物理效应。近年来 国内外学者都在努力将已有的物理哈密顿量复杂化用以解决不同的哈密顿量下 的b e r r y 相位减者是将绝热的几何相推广到非绝热情况下。并且b e r r y 相位理 论在实际物理应用中的作用也成了一个重要的课题，介观系统( m e s o s c o p l c s y s t e m ) 介于传统的宏观系统与微观系统之问。从基础理论研究的角度看，对介 观系统的研究既可以作为理解宏观性质的一个中介途径。本文就从量子b e r r y 相 位发现，应用等方面论述了这一理论在最近几十年的研究情况，并对其在介观系 统方面的发展方向做了一些预测。 关键词：量子绝热定理、b e r r y 相、介观系统、可积性、拓扑性、a - b 效应 a b s t r a c k t h ep h a o fw a v cf u n c t i o ni nq u a n t u mh a sb e e nap r o b l e mi nr e c e n tr e s e a r c h ， f r o mt h er e s e a r c ho f d y n a m i c a lp h a s et ot h ei n v e s t i g a t i o no fb e r r yp h a s e ，t h ep h a s e i nq u a n t u mm e c h a n i c sh a sa t t r a c t e de x t e n s i v ea t t e n t i o n s i n c eb e r r yf h s ti n t r o d u c e d t h ec o n c e p to fg e o m e t r i cp h a s ei nq u a n t u mm e c h a n i c si n1 9 8 4a tb r i s t o lu n i v e r s i t y , t h i sd i s c o v e r yh a sp r o m p t e dam y r i a do fa c t i v i t i e si nv a r i o u sa r e a so fp h y s i c s b e f o r e t h ew o r ko fb e r r y , p e o p l eh a v er e a l i z e dt h ee x i s t e n c eo ft h i sp h 獬，h o w e v e r , b e c a u s eo ft h el e s sk n o w l e d g ea b o u tt h em o n o t o n i co fw a v ef u n c t i o n ，t h ep h y s i c a l e f f e c to fp h a s ew a sn e g l e c t e db ym o s t p e o o e i nt h ep a s ts e v e r a ly e a r s ，t h e s c h o l a r si na n da b o r a dm a k eg r e a te f f o t t st os o l v et h ec o m p l i c a t e dh a m i l t o n i a n , i n o r d e rt o g a i nt h eb e r r yp h a s ei nt h o s eh a m i l t o n i a n s ，a n d t h ec o n d i t i o no fa d i a b a t i c h a sb e e ng e n e r a l i z e dt on o n - a d i a b a t i ce v o l u t i o n t h et h e o r yo fb e 盯y p h a s eh a sb e c a m ea nc o n c c m f u ls u b j e c ti nt h ea p p l i c a t i o n i nm e s o s c o p l cs y s t e m ，w h o s ed i m e n s i o ni sb e t w e e nt h ec l a s s i c a lm a c r os y s t e ma n d t h em i c r o c o s m f r o mt h ea s p e c to fb a s i ct h e o r e t i c a ls t u d y , t h er e s e a r c ho fm e s o s c o p l c p h y s i c sc a l lb es e e na sam e d i aa p p o a e ht os t u d yt h em a c r os y s t e m i nt h i sp a p e r , w e i n t r o d u c et h ed i s c o v e r yo fb e r r yp h a s ea n di t sa p p l i c a t i o ni nt h ep a s td e c a d e ， f u r t h e r m o r e ，w em a k es o m ef o r e c a s ta b o u tt h ea p p l i c a t i o no fb e r r yp h a s ei n m e s o s c o p l cs y s t c m k e yw o r d s ： a d i a b a t i ct h e o r e m 、 t o p o l o g i c a lp r o p e r t y b e r r yp h a s e 、 m e s o s c o p l e s y s t e m 、 、a - be f f e c t 、 独创性声明 本人声明所星交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：秕日期：! 上上l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘， 允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学 位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：盆：j ：纽 一 日期：迦2 ! 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 引言 上个世纪2 0 年代末，量子力学的基本框架和核心思想业已形成，以后的发 展主要集中于以下两个方面：一、广泛地应用到不同的物理领域，形成固体量子 理论，原子分子物理，核物理，基本粒子物理与量子场论等诸多新兴科学领域， 直至导致了半导体和激光的高新技术的发明；二、不停地探索量子物理的理论基 础和基本问题，越来越接近微观世界的本质描述，直至今天激发了量子信息等直 接应用量子概念的尝试。贯穿着这些发展，量子相干性的观念是所有问题的核心 所在，它的具体表现就是形形色色的量子相位因子的效应。量子相位观念的发展 是现代物理发展的主旋律之一，这方面典型的例子是a h a r o n o v b o h m 相位因子 和b e r r y 几何相因子的发现与研究，特别是后者在最近2 0 年已成为量子力学 发展最重要的方向之一而b e r r y 相位的研究在介观系统中的应用最近也引起了 物理学界的一定重视，本文主要论述了b e r r y 相位理论的起源、发现、性质和计 算。以及其在介观系统研究中的应用。 1 9 8 4 年，b e r r y 研究了量子态在循回绝热演化的系统中的变化规律时，得到 一个非常深入和有趣的结果。一个含时过程，其h a m i l t o n 量通过含时参量j i ( f ) 依 赖于时间，即为h o ) 一h 僻( f ) ) ，这个量子体系的量子态经过演化后如果回到初 始的态，也就是演化后的量子态与初始的量子态只可能差一个相因子，那么这样 的演化被称为一个循环的演化。在绝热的循环演化条件下，相差的这个相因子中 不仅仅包含了通常的动力学相因子，也包含了不依赖于演化过程的几何相因子部 分，这个表示几何部分的相因子，就是b e r r y 相因子可以用 rj r ) 一f i ：d t 缈。( f ，) l 考i l f ，o ，) ) 。 饼 来表示。 对b e r r y 几何相这一物理学基础问题的研究，不论在实验上还是在理论上， 都有着极其重要的意义。直到现在，关于b e r r y 相位问题的研究仍然是国内外 许多学者研究和关注的热门课题之一。 介观系统( m e s o s c o p l cs y s t e m ) 介于传统的宏观系统与微观系统之间。介观系 统这一概念起源于2 0 世纪的7 0 年代末和8 0 年代初，是在研究凝聚态物理中的 无序体系的电子输运性质时逐步形成的。1 9 9 0 年3 月的美国物理学凝聚态年会 首次将相关内容冠名为介观物理学( m e s o s c o p i c p h y s i c s ) 2 0 世纪8 0 年代以来对介 观系统的研究已成为凝聚态物理中一个令人瞩目的领域，这是因为这类系统所处 的特殊位置。介观系统就其尺度而言几乎是宏观的，实验可及，而其表现又具有 明显的量子力学的特征，电子波的量子干涉性对这类系统的行为起着决定性的作 用。因此它与宏观系统十分不同，是一个具有微观特征的宏观系统，它因此成为 量子力学、统计物理和宏观物理交叉的研究范围。从基础理论研究的角度看，对 介观系统的研究既可以作为理解宏观性质的一个中介途径，又有助于理论澄清和 实验检验量子力学和统计力学的一些基本原理，意义重大。 本文第一章主要介绍了量子绝热定理，再由量子绝热定理到b e r r y 相位。 b c 丌_ y 所讲的绝热定理实质是：最初处于某个定态( 该定态是由一组量子数所表 征) 的系统，由于它随时间变化缓慢，所以在任何时刻它将保持由同一组量子数 所表示的定态。本文第二章详细介绍了b e r r yb e r r y 相位的发现、性质，b e r r y 拓扑相位的基本理论，以及a b ( h a r o n o v b o h m ) 效应，其中包括电a b 效应和磁 b 效应，并且用b e r r y 相位的基本理论解释了a b 效应，最后介绍了 a h a r o n o v a n a n d a n ( 从) 相位理论并且说明了a a 相和b e r r y 的联系和区别。本文 第三章举例详细计算了一个两自旋1 2 耦合系统在含时外磁场中的拓扑相因子 态。第四第五章介绍了介观系统的起源和发展，并且举例说明了介观环的持续电 流与b e r r y 相因子理论之间的关系，以及该理论在未来的发展方向。 第一章量子绝热定理 b e r r y 几何相因子的提出要从量子力学的绝热定理说起。本章首先介绍了量 子绝热定理：再由量子绝热定理到b e r r y 相位；b e r r y 相位与其它相位的不同之 处反映在它有两个重要的属性，拓扑性和可积性。当b = 0 时磁矢量势存在的物 理效应( a b 效应) ，可以理解为几何相因子的特例。 对于一个含时h a m i l t o n i a n 系统，我们从求解s e h r o d i n g e r 方程开始：如果疗 是一个不变量，也就是西不含时，那么可根据曹的本征值方程，得到关于妒( f ) 的 每一个元素的微分方程。对于含对h a m i l t o n i a n 系统，我们可做这样的计算，当 表示口的本征值和本征矢量为t 的函数时，本征方程为： 伪詈渺9 ) ) 一詹( f ) 妒鲫 ( 1 1 ) ( ( f ) 1 o ) ) 一钆 其中任意时刻t 时，e a t ) 是疗( f ) 的第n 个本征值，相应的本征矢量为 | ( f ) ) ，e a t ) 的实函数值称为本征函数。 b e r r y 所讲的绝热定理实质是：最初处于某个定态( 该定态是由一组量子数 所表征) 的系统，由于它随时间变化缓慢，所以在任何时刻它将保持由同一组量 子数所表示的定态。的确，如果妒变化足够慢( 绝热地变化) ，也就是说，当n 棚 的变化足够小的时候，我们可以忽略从m n 态的跃迁( 掣。兰- 马 o t ，l 那么当量子系统在初始时刻f o 的本征值为e ( f 0 ) 时，绝热演变态将保持在时刻t 为e p ) 。 考虑一个态l f ，o ) 用它的完备基i ( f ) ) 来展开。因为完备基中的每个元素都 是正交的，我们可以通过投影方程到各自的本征矢量上，然后再把各个解联立起 来，这样就可求得s c h r o d i n g e r 方程的解设q ( f ) 为t 的实函数，那么在任意时 刻t ，我们有： | 妒( f ) ) 一q ( f ) i p ) ) ( 1 2 ) 代入s c h r o d i n g e r 方程，我们可得到关于疗( f ) 完备基中每一个矢量1 ( f ) ) 的 方程： 访鲁i 以( f ) ) 。；p ) 昙陟。( f ) ) ( 1 3 ) - 弧膏( f ) 眠( f ) ) 一帆e ( f ) ( f ) ) 又因为1 ( f ) ) 满足如下的微分方程： 访昙i 妒。( f ) ) e ( f ) 言f 妒( f ) ) ( 1 4 ) 从初始时刻到t 时刻。对式( 1 3 ) 积分得： ) j 见x p ( 知驯) ) f ) ( 1 5 ) 其中见( f ) 表示积分不变量。 我们可以用实数不变量将见( t ) f d l c ( t ) 结合起来得到： i 织( f ) ) 摹q ( f ) “p ( 去j ：e ( f7 ) ) 1 o ) ) ( 1 6 ) 为本征函数随时问演化的态矢量，其中麟p ( 知e ( f7 ) ) i ( f ) ) 是动力学相 位，不是几何相位，它由系统的角速度，h a m i l t o n i a n 量及能量来决定的。 由于相位是与s c h r o d i n g e r 方程无关的量，这将使得我们在时刻t ，可以任 意应用不同的相位因子到妒( f ) 中，而不影响任何物理结果。这似乎告诉我们一 个事实：绝热变化实际上什么变化也没发生。然而，b e r r y 表明了对绝热演化情 形，波函数的相位有着重要的意义。 4 第二章b e r r y 相位的发现与性质 2 - 1b e r r y 相位的发现 相位是量子力学中的重要概念，它是所有干涉现象的根源，它和几率幅一样 具有深刻的物理意义但是由于其物理含义较为晦涩难懂，所以在早期的量子力 学的研究中，一般只重视对于量子态几率幅的研究，而量子态的相位在很长时间 内没有得到足够的重视，它是在量子力学向着深层次的发展过程中逐渐被重视起 来的，并且得到很快的发展和应用。近些年来，随着对量子力学深层次的挖掘， 量子的相位的研究成为现代量子物理发展的重要方向之一 几何相位的概念首先是p a n c h 盯a t n a m 在1 9 5 6 年的论文中引入的【2 0 1 ，基于 对偏振光的干涉的研究，他提出了这样的问题，给出两束偏振光，是否有比较它 们相位关系的自然方式，他的回答是，让两束光干涉，如果合成的强度最大，则 他们共相( i np h a s e ) ，这实际上给出了比较任意两束不正交偏振光的关系的一种 方法( 比较相位的规则) ，不过，这个规则对于比较正交的偏振光的相位就不适 用了，它们不干涉且叠加强度对两束光的相位是不敏感的。对于偏振光1 ，2 ，3 ， 一般来说，如果1 和2 共相，2 和3 共相，那么1 和3 却并不一定共相， 研究表明3 多出1 的相位是p o i n c a r e 球面上由1 2 3 所围绕的立体角的1 2 ， 后来的研究表明，这个额外相位实际上是b e r r y 相的早期实例。量子系统的状态 由动力学的微分方程来决定。系统的哈密顿算符不仅仅导致了量子态的能级，更 重要的是它通过薛定谔方程决定了这个物理系统的态是如何随时间演化的，在许 多应用条件下，哈密顿量的物理参数是由含时的外部或环境因素决定的，因而研 究含时的哈密顿量在实际的物理领域中是很重要的，其中最有趣的是含时的哈密 顿量导致了几何相位的出现。 b e r r y 相位的提出与量子绝熟过程的研究也是密不可分的对于哈密顿量与 时问无关的量子系统，若系统开始处在某一个定态( 不含时哈密顿量的本征态) 上，则在以后的演化中，系统会始终处在这个定态上，末态与初态的唯一差别， 就是末态增加了一个只与能量相关的动力学相因子。但是，如果系统的哈密顿量 通过某一参数依赖于时间，那么量子体系通常就不会再保持在初始时刻的本征态 上，因为哈密顿量随时间的改变，会激发同瞬时能级间的跃迁。然而，与系统内 禀演化相比，如果哈密顿量的改变足够缓慢，或称体系是绝热变化的，那么类似 于定态演化的特征会得以保持，量子绝热定理对此给出了定量的描述。 量子绝热定理表明，如果量子体系起初( t = o ) 时处在一个含时哈密顿h ( 0 ) 5 的瞬时本征态饥( 0 ) 上，且这个含时哈密顿量日( f ) 随时间参数作足够缓慢的变 化，那么在任意时刻t ，体系仍旧处于该系统瞬时哈密顿i n ( t ) 的本征态妒。( f ) 上，与初始态只有相位的差别。 一个量子体系的量子态经过演化后如果回到初始的态，也就是演化后的量子 态与初始的量子态只可能差一个相因子，那么这样的演化被称为一个循环的演 化。在绝热的循环演化条件下，相差的这个相因子中不仅仅包含了通常的动力学 相因子，也包含了不依赖于演化过程的几何相因子部分，这个表示几何部分的相 因子正是b e r r y 在1 9 8 4 年 2 h q ，的发现。实际上，量子绝热定理仅是告诉我们， 缓慢变化的哈密顿量的本征态会保持下去，但并没有给出这个态是如何演化，具 体的态饥( f ) 是什么。在证明量子绝热定理的过程中，人们仅仅给出了符合直觉 的推导： i 妒( f ) ) 。e 一佤轴渺| 妒( f ) ) ( 2 1 1 ) 其中e n ( t ) 是h ( t ) 在t 时刻的瞬时本征值，这个表达式与时间无关系统的定 态演化是一致的，当n ( t ) 不随时间改变的时候，即回到通常的结果 f 妒p ) ) - c 一卸i 妒( o ) ) 。 然而，在1 9 8 4 年，b e r r y 指出，上面的表达不尽正确，在很多情况下，除了 动力学相因子e 一位日0 7 ) 出之外，还有一个附加的相位： 厶o ) - 和。( f ，) j 昙帆o ) ) 出 ( 2 1 2 ) b e r r y 是从满足薛定谔方程的要求出发而写出的表达式为： 妒( f ) ) 。一伍础冲阮o ) ) ( 2 1 3 ) 将此式代入薛定谔方程，并对t 积分，从而得出了相以( f ) 所具有的性质和上 面的表达式。 当系统经历一个周期t 的演化时，几何相位表达式为： 6 r i f ) 一i f od t 和( f 川昙帆( f ，) ) ( 2 1 4 ) 这个相位发现不久，b s i m o n 就给出了这个相位的几何解释，指出b e r r y 相 因子具有几何拓扑特征，它代表h e r m i t 线丛上的和乐( h o l o n o m y ) ，而绝热演 化则自动定义了这个纤维丛上的联络。从这个意义上说，b e r r y 相因子与趣范结 构有着密切的联系。b e r r y 相位提出后不久，就得到了实验的验证，并得到很广 泛的研究和应用。 2 - 2b e r r y 相位的性质 考虑一个无限长的磁通管，全部磁通都局限在管内因此外面的场强b 为 零。电子在管外运动，它们会感到磁通管的存在吗? 对这个问题的第一反应可能 是4 不会”，但是，如果仔细想一下，进入薛定谔方程的是势( 4 ，彳) 而不是场强， 饵，口) 可能会改变想法。虽然在通量管外b = 0 ，但矢量势a 却不为零。对这个 问题的研究导致著名的a h a r o n o v b o h m 效应( a b 效应) 。结果是，局域电子态 感不到磁通管的存在，因为局域的场强为零，而在通量管附近波函数为有限的电 子延展态能感受它的整体效应。这个结论在当时引起不少物理学家的惊讶。这个 研究也导致著名的结论，即带电粒子的经典电动力学中，物理是由场强决定，但 对服从量子力学薛定谔方程的粒子在电磁场中的运动是由杨振宁和吴大峻 3 5 】 引入的不可积相因子决定的，而场强是不足以决定物理，它们是欠定的，电磁势 是超定的。 图2 1 电子在磁场中运动的哈密顿量是： 日= 土【- i j iv - e - a ( x ) a o ( x ) (221)2m c 7 令妒 ) 代表胁= ( i hv ) 2 + e a “x ) 的本征函数，则它和h 的本征函数 z 用 t , 。o ) 之间存在以下关系： 妒( x ) = 妒。( 力e x p - i e h c 蛞oa ( x ) 出 ( 2 2 2 ) 从参考点 0 到x 的线积分在一般情况下是和路径有关的。图2 1 画出有磁通 垂穿过平面情况下从x o 到x 的两条路径1 和2 。取沿不同路径的线积分之差，有 j jj2 s o ，a ( x ) d x 。fa ( x ) 。o x 2 ( r + ，) a ( x ) d x i x 0 7 x 0l z 0l 。尹4 0 ) 。d x ( 2 2 3 ) 用s t o k e s 定理，它可以表示为： 尹爿扛) 诎2 f ：v a d s 。j ：占诫i 妒 ( 2 2 4 ) 此处s 是闭合路径所围的面积，面积元d s 的方向垂直于平面，b 是矢量势 a 所决定的场强。由于对a 的积分与路径有关，式( 2 2 2 ) 的相因子就不可能 写成一个单值函数，这个相因子成为不可积相因子。 a h a r o n o v 8 0 h m 效应完全是从量子力学基本原理出发的，并未引入新的原 理或假设，但同时又是出乎很多物理学家意料的。f e y n m a n 在他的物理讲座 中写道：“像这样的东西就在我们周围3 0 年之久，却一直被忽视，是一件有趣 的事。之所以被忽视，是由于存在一些定见，究竟什么是重要的，什么是不重要 的。”在薛定谔方程中出现的是电磁势( a ) 。在经典力学的拉格朗日和哈密顿 描述中( a o _ a ) 同样出现，但在写出运动方程时它们就被e 和b 取代了。在量 子力学发展过程中企图以e 和b 完全取代( a 0 a ) 的尝试一直没有成功，这里 原来蕴藏了深刻的原因。 量子力学中波函数的相位是个微妙的概念。考虑与时间有关的薛定谔方程 的解。方程中的势按事先确定好的时间的周期函数演化。当势经过一个周期回到 初始的形式时，波函数并不回到它初始的形式，而出现了与时间有关的相位。而 这个相因子也不能通过重新定义波函数被其吸收，由此而产生了b e r r y 相及其相 关问题。 b e r r y 拓扑相位是a - b 相的一种延展的情况，对于b e r r y 拓扑相位的完全 8 了解，是在1 9 8 4 年m i c h a e l b e r r y 完整的阐明了对于拓扑相的理解。他阐述了对 于依赖于外参数的哈密顿量在绝热近似下，如果t o 时系统处在此时刻的瞬时本征 态，则在参数空间中，沿着封闭路径的绝热过程中的每一时刻，系统均处于非简 并的瞬时本征态中，运行一周后，所得的波函数将多了一项相因子，这便是b e r r y 拓扑相位。 b e r r y 拓扑相位在物理中的意义是非常大的，由于其中包含了不可积相因 子及它在几何中的拓扑性质，使得它在物理实验及理论物理中验证和预言了许多 的可观测效应，典型的这些实验包括光子b e r r y 相的量子干涉现象，螺旋磁场中 中子自旋旋转的b e r r y 相实验，自旋绝热旋转造成的核四级共振频率分裂等。在 下部分中我们给出有关b e r r y 拓扑相位的最为基础的理论。 2 3b e r r y 拓扑相位的基本理论 设体系的哈密顿量是h ，随参数r 变化， 问题已经解决： h l m ；r ) - e ( r ) m ；r ) r 随t 慢变化设h 的能量本征值 ( 2 3 1 ) i m ；r ) 是h 的一个本征态，量子数是m ，r 作为参数进入本征矢及本征值 i m ；r ) ( 不同的m ) 组成分立、非简并态的正交归一完备集。波函数随时间演化 的薛定谔方程是 访业。枷( 2 3 2 ) 前 下面说明t - - 0 时位于定态n 的体系仍会保持在这个定态上。将妒m l m ；r ) 展 开： 妒一。( t ) e x p - i l h 正o s ，o ，) 】l 胁；r ) ( 2 - 3 3 ) 指数因子是动力学相因子随时间的变化是由参数r 随时间的慢变化造成 的。将式( 2 3 3 ) 代入( 2 3 2 ) ，并利用( 2 3 1 ) ，将结果从左方乘以( t ；驯，就得 到展开系数a m ( t ) 的时间微商： 或( f ) i 一善仁；r i l l 脚；r ) e x p - u 矗f o e ( t 3 一 ( f ) 协 ( 2 3 4 ) 9 此处与f 无关，是定态薛定谔方程的展开系数。妄 晖詹) 可以用 式( 2 3 1 ) 通过旦o 堕表示：将式( 2 3 1 ) 对f 微商，并从左方乘以似；r l ，对k - m t 情况就得到 辑；露睁加；r ) t 击 ；r o 。h l m r ) ，t 一卅( 2 3 5 ) 对k = m ，则从归一化条件隹；尺f 七；r ) 一1 得 k ；r 七；r ) + ( 昙七；r i 七；r ) 。 c z 3 s ， 即 ( 昙啪嘞 c z s m 上式右边为纯虚数。设体系在f o 时位于某定态旧r ( o ) ) ，即( 0 ) t 屯下面 来求有限时间体系在不同状态上的几率振幅。设对k n 各态，式( 2 3 4 ) 右方 随时间缓变的各本征值为常数，用式( 2 35 ) 和a m = d 。，得 d a t ) 一点狂；尺f i o hf 胁；r ) e x p 【寺( 一巳y l ，k - n ( 2 3 8 ) 移 分后有 a t ( f ) 一i h ( e - e k ) ：隹；月i i o h i 甩；旯) 唧删 ( k - - e n ) 卜1 七，n( 2 3 9 ) 绝热理论要求 南体；r i l l 肛；r ) 远小于l 。对k - n 的各态几率 振幅都随时间振荡，并不显出长时间稳定增长的趋势。原位于一个定态的体系， 现在仍然位于时间t 的那个状杰。 下面给出这个态如何演化。m v b e r r y 在1 9 8 4 年写出 9 0 ( t ) i c x p 卜“巳( f 】e x p i i r ( t ) l 力；r ( 2 3 1 0 ) 旧尺o ) ) 是能量本征态。第一个因子是动力学相因子。如果这个态是完全的 定态，则动力学相因子就是麟“一言5 一f ) ，对当前缓慢变化r ( f ) ， e x p 一瓤( f 弦】l n ；尺( f ) ) 并不满足薛定谔方程( 2 6 ) m v b e n t 从满足薛定谔 方程的要求出发，加进去相因子e x p i y o ) 】，从而得到“( f ) 所应具有的性质。将 ( 2 3 1 0 ) 代入( 2 3 2 ) ，就, z 1 4 九( f ) 的方程： 九( f ) 一z 0 ；rj 言一；r ) 。永( f 婚；r i v 一；r ) ( 2 3 1 1 ) 正如式( 2 3 1 1 ) 所示，g ；胄l 言行；r ) 是纯虚数，因而；。实数，即只要 初 始值为实数。它就一盲保持为宴教。官县个相角。令 爿俾( f ) ) - i ( n ；r v 一；r ) ( 2 3 1 2 ) 式( 2 3 1 1 ) 变为 y 。( t ) = r ( t ) a ( r ) ( 2 3 1 3 ) 令r ( t ) 随时间慢变化从r ( 0 ) 变到r = r ( o ) ，即经一周期回到初始值，即算一 下y 私，有 “仃) 一h ( 0 ) 4 f oe t f , ( f ) ；j ：矗o ) 纠( r ) 一班枷叫僻) ( 2 3 1 4 ) 此处c 是r ( t ) 从0 到t 回到初始值所描出的封闭路径。用s t o k e s 定理，并 记沿c 的这个封闭积分为 ( f ) ，有 “( c ) 。j = 西田r x 爿 ( 2 3 1 5 ) s 为c 所围出的平面。一般情况a 不是无旋的，因此封闭积分不为0 ，即 圪仃) 一厶( ，或j ：积叫俾) 与路径有关 ( f ) 是不可积的，它不能表示为r 的函数。由于k 月) 只通过r 和t 有关，因此它不能把相因子e x p p 以( f ) 】吸收进 去。如果要求绝热定态满足薛定谔方程，b e r r y 相因子在一般情况下是必要的。 式( 2 3 1 5 ) ( c ) 的值不依赖r 完成封闭路径所需的时间( 只要满足绝热近似) ， l l b e n _ y 称之为“几何相”，这是和动力学相c x p 【一言f 毛( f ) 出】对照的。 2 - 4b e r r y 相位的物理效应一_ a b ( a h a r o n o v - b o h m ) 效应 在经典电动力学中，电磁矢势和标势只是作为描述和计算电磁场强度的一个 方便的数学工具而引进的1 2 】。诚然，在经典电动力学的h a m i l t o n 正则形式和 l a g r a n g c 理论形式中，对于荷电粒子的描述，的确要出现矢势和标势，但在荷电 粒子的基本动力学方程 m 旦v 。f 牡+ 里v b 1 甜 、 o ， 伦4 1 ) 中。只有粒子所在地域( i o c a l ) 的电场强度e ( r ，0 和磁场强度b ( r ，t ) 出现而矢 势和标势并不出现。 与此不同，量子力学中( 无论是s c h r o d i n g e r 波动力学形式，h e i s e n b e r g 矩阵 力学形式，或者f e y n m a n 路径积分形式b 掐述荷电粒子在电磁场中的动力学方 程中都会出现粒子所在地域的矢势：a ( r ，f ) 和标势妒( ，f ) 。a h a r o n o v 和b o h m 首 先认识到电磁矢势和标势的深刻的物理含义。他们指出，在电磁场强度为0 的区 域中( 矢势和标势并不为o ) 运动的两束相干的荷电粒子，波函数会发生不同的相 位变化。因此，当两束粒子重新会聚后，就会出现干涉现象。不久，果然在实验 中观测到了这种干涉现象。后来人们称之为a b 效应。f u r r y 和r a m s e y 还从量子 力学理论本身的自洽性来论证了a b 效应的正确性。 ( 一) 磁a b 效应： 如示意图i i 所示，荷电q 粒子柬在a 点分成两束( 经过双缝) ，分别经历空 闻两条路径只和昱，然后在d 点会聚。在不存在磁场的情况下，设相干波束用 如下波函数描述 妒( ，f ) 。妒t ( r ，f ) + 1 | f | 2 ( r ，f ) ( 2 4 2 ) 掰l _ l 磁a l l 效应 d 假设在双缝装置后面紧邻处放置一个细长的螺管( 垂亘纸面) ，霄内邵有磁场 b ，磁通量为妒，在管外，磁场强度b - - - 0 。( 特别是在两束粒子经过的路径上b = o ( 但 a o ) 。粒子的波函数中将出现一个d i r a e 相因子，即 州t 吣x 瓢删渺卜，叫瓢们叫 m 奶，+ 妒z ，唧降k ) ，) d r 】 咄( ，f ) 毗( r ，归p 隆亚删) 】 q “咖哪) e x p 刖 ( 2 4 3 ) 式中 妒。正4 ( ，) 。d ， ( 2 4 4 ) 是通过螺线管的磁通。因此，在有磁场的情况下，通过两条路经的粒子的波函数 有一个相差： 酗；鲤。2 型 j i ch c ( 2 4 5 ) 随磁通中的变化，相差却( 因而干涉花纹) 也随之而变化。磁通变化的周期 为。如。丝这已在实验中观测到，称丝为振荡，或a b 振荡 b e r r y 重新考察了a b 效应，他指出，相差就是电子绕螺线管一周时获得的 几何相位。 ( 二) 电a b 效应 与磁矢势a 对偶的是静电标势妒，矢势a 使带电粒子的波函数获得了附加 相位因子，电标势妒也会使带电粒子波函数获得附加相因子。即当带电粒子经过 无电场但有电势的区域( e ；0 ，妒l , t 0 ) 时，由于电势妒的作用会使粒子获得附 加的相位因子，两个相干带电粒子波束沿不同路径通过无场有势区域后再会合 时，会获得附加的相位差，从而使衍射条纹发生移动。这是电a b 效应。 图1 2 电a b 效应 翳t 一2 电a b 绶成 o 如示意图l 一2 所示，设入射荷电q 的粒子分解成两束，分别经过两条路径号 和芝然后在d 点汇集。在粒子经历的两条路径上，分别放置两个f a r a d a y 筒( 空 心金属圆柱形简，筒内无电场) ，筒上静电势分别为镪和仍，电势差为 a f t 一吃一竹。设荷电粒子通过f a r a d a y 筒所需时间为f 。则经历两条路径的荷电 粒子的波函数有一个相差， 却。秘 ) 由于技术上的困难，这种电a b 效应尚未在实验中观测到。 1 4 2 - 5 用b e r r y 相位解释a b 效应 为了考察慢变量r ( t ) 在它自身的“参数空同”沿闭合路径c 转一圈，在t 。f 时刻回到出发点的情形：r ( o - - r ( o ) 。注意眵。( 尺p ) ) ) 仅通过r ( i ) 才依赖于t ，于 是在时有： 成( c ) 一i f o d t 掣细僻( f ) ) l v 。眇俾o ”) = i f c d r 缈轵) l v 。l 织职) ) ( 2 5 1 ) 积分是在r 空间沿闭合曲线c 作的，t 可视为其上的参数。b e r r y 引入一个 r 空问上的“矢势”； 于是 一俾) - f 枷一似) i r i 织俾) ) ( 2 5 2 ) 成( c ) 。五积彳( r ) 这一矢势的引入可以重新解释a b 效应。 ( 2 5 3 ) 设垂直纸面方向有很窄的磁通量管( 通量为妒) ，离开它距离r 远处有一密 闭的小箱子( 不被磁通量所穿过) ，箱内装有一个荷电q 的粒子，它从磁通量管( 固 定坐标系1 测量的坐标为：。：是问题中的“快变量”，而r 相当于前面b e r r y 定义 的“慢变量”。可以证明当小箱子绕磁通量管沿闭合曲线c 转一圈，粒子将获得 一个附加相位 r ( c ) 一瓤搬4 僻) 一丢妒 ( 2 5 4 ) 这里a ( r ) 确实是由妒产生的电磁势，与( 2 5 3 ) 式比较可见，儿( c ) 就是粒子 绕磁通量管一周时获得的几何相位。 所以在一定意义上可以说a b 效应也是一种b e r r y 相位。 2 - 6a h a r o n o v a n a n d a n ( 从) 相位 a h a r o n o v 和a n a n d a n 对b e v y 绝热相概念作了重要推广，放弃了绝热近似 假定，但假定体系的量子态p ) ) 按照薛定鄂方程周期演化，周期为f 。 妒p ) ) 1 1 ；f r ( 0 ) ) ( 2 6 1 ) 即经历一个周期_ r 后，量子态回到初态，但有一个相差，试作含时相变换妒 | 妒( f ) ) = “l 妒( f ) ) 要求，( f ) 一，( 0 ) 一妒，即i 妒( f ) ) 在经历一周后没变化， 1 6 ( 0 ) 乏j 妒( o ) ) 注意眵( f ) ) 随时f h j 演化不再遵守薛定愕方程。代入薛定愕方程 动昙f 妒( f ) ) ，一彤渺o ) ) + ( f ) 请妄渺( f ) ) = h o ) 1 1 ；f r p ) ) ( 2 6 2 ) 上式左乘移( f ) i ，得 一矽+ 舻( f ) l 胁妄眵( f ) ) 舻( f ) i ；和( f ) 1 日弦( f ) ) ( 2 6 3 ) 对t 积分一周期，得 ，( f ) - ，( o ) 2 j ：出蚓半+ 疵枷) ) ( 2 f 6 4 ) 即 妒一f ( o - ，( 0 ) 一口 ) + 芦一) 州= 出蚓二半 声( r ) 一班舻o ) p 昙i 妒( f ) ) 一妒一口扛) ( 2 6 1 5 ) 把口( f ) 称为动力学相，而把总相位妒与动力学相口p ) 之差妒一a ( r ) 一声0 ) 称为几何相。回到b e r r y 讨论过的h 限( t ) ) 随时间绝热变化的情况，设体系处于 h ( r ( 1 ) ) 的某一个瞬时本征态i 妒。( r ( f ) ) ) ，则 口”承劬l 二学w ) ) - 一丢z 出e ( 冗。协 ( 2 6 6 ) 与b e r r y 定义的动力学相是一致的。而芦扣) 一妒一a 0 ) 则称为几何相，或a a 相。a a 相位也被称为非绝热几何相位。 1 7 第三章：两自旋1 2 耦合系统在含时外磁场中的 拓扑相因子态 下面我们来考虑一两自旋1 2 耦合系统，将其放入一选定的随时间变化的特 殊外磁场中，其磁场分量为 曰。o ) 一目p 和哪，b 1 = b o 跏口，玛= b o c o s o ( 3 1 ) b o 为磁场强度，b 1 为x o y 平面内的磁场强度，第三分量为也，0 为外磁场矢量 方向与之轴的夹角，为旋转外磁场的角频率。系统的哈密顿量选为 1 h ( t ) = 一言s l s 2 一y b ( t ) s - g b ( o - j ( 3 2 ) 其中 s = s l + = i j _ s i - js 2 娶s l x & ( 3 3 ) 在两自旋1 2 的耦合系统中，自旋的三重态( t r i p l e t ) 乖l 单态( s i n g l c t ) 分别为 i i t t ) i 妒l o ) 了1 2 ，t i ) + | 坩h j ) i h ) 一击一l i t ) ) ( 3 4 ) l j 算符对这些态的作用关系为 ，i 妒u ) - 习妒。，。) ，+ i 妒。) - 压l 妒) 厂陟加) - 铜矿) 。j + h 。) 一铜妒。) ， - ，帆) i 一应( p + ；) 妒卵) - 一q p 一挑，) ，i 妒埘) 。( 卢+ ；) 妒) ，i 妒o , o ) ；( 一鲁) 妒”) ， ，慨一) 一q + 渺加m i 一) - 压卜渺一) ( 3 s ) 下面我们来计算含时哈密顿量h ( t ) 的瞬时本征态，设其为j e ( f ) ) ， e ( f ) ) 2 。瑚磊一；。尸( t ) i 灿) ( 3 6 ) 对于两自旋1 2 的耦合体系，它的独立基为l 妒“) ，所以本征函数是按i 妒b ) 展 开的式中，砷( t ) 是本征函数在自旋单态和三重态这些基上的展开系数。 为了计算方便，我们将h ( t ) 写成下面的形式： h 忙- ( rg ) y 睦( b + 蛸- + b ( t ) s + ) + b 3 s 3 - g 1 ( b + ( t ) j + b ( d j + ) + b 3 j 3 】 ( 3 7 ) 则h ( t ) i e ( o ) - i ( r 如，严协孚r 州严印鼢譬g ( + 鲁剐严吣1i 帆。) + 【雩r b + ( i ) 严。协；j 咻譬皿( 1 ) ，j | 一。眇g ( + 鲁飓严吣ll 妒 + 【譬，j ，愀扣彬卅( t - t 压g ( p 呜剐忾】i 虬，) + t 孚颤p 鲁归+ ( 1 ) 严”g ( 一等，玛j ，m ( 0 - - 譬- g ( 鲁) b _ ( i ) 严撕 + ；严印( t ) 】i 妒叩) = el e ( f ”( 3 7 ) 将式( 3 6 ) 代入上式等号右侧，比较独立基前的系数，我们可以建立下列方程 组： ( yb 3 ) 严。咿譬rb ( 1 ) 严卜孚g ( p + 鲁) b - ( i ) 严嘞= e ，j j j j ( i ) 鱼2 心( 1 ) 严脚咿；严甜协孚y