（计算数学专业论文）基于径向基函数的散乱数据拟合方法研究.pdf

摘要 大规模散乱数据的插值或拟合方法，在很多领域都有重要的应 用所以长期以来，都有很多学者从事这方面的研究，并且发展和形 成了许多方法本文主要是针对其中的径向基函数方法，提出一些改 进办法，同时结合实例比较，证明改进后的算法在计算复杂度或拟合 质量等方面较原来的方法有了较大的提高主要进行了如下的研究： ( 1 ) 利用多元样条剖分、分片连续的思想，对散乱数据的拟合 提出了一种径向基函数局部化插值的新方法，该方法较好地继承了径 向基插值曲面的性质，且减少了计算量，曲面的整体也达到了较好的 连续性 ( 2 ) 利用紧支撑径向基函数，使得系数矩阵为稀疏矩阵，再结 合共轭梯度法求解方程组的方法来实现对散乱数据的曲面拟合，减少 了运算量并且保证方程有唯一解 ( 3 ) 提出了一种径向基函数与b 样条插值结合使用的曲面拟合 方法通过分片径向基函数插值，从分片插值曲面上获取有序网格点， 利用张量积b 样条插值有序网格点，从而得到拟合曲面该方法较 好地解决了散乱数据插值和拟合的计算不稳定性问题 ( 4 ) 研究了对大规模散乱数据点的简化技术在对散乱数据聚 类的基础上，用基于距离最近和基于移动最小二乘两种方法实现了散 乱数据点的简化，从而为大量散乱数据的曲面拟合做好准备 ( 5 ) 针对带有噪声数据散乱数据点自由曲面的重构，利用径向 基函数神经网络，通过数据简化技术和改进的r a n 学习算法来实现散 乱数据的曲面拟合 ( 6 ) 对各种径向基函数的拟合方法的优缺点进行分析比较，探 讨各方法的适用范围 关键词：逆向工程，径向基函数，散乱数据，共轭梯度法，b 样 条曲面，径向基函数神经网络 a b s t r a c t t h ep r o b l e m so fc o n s t r u c t i n ga p p r o x i m a t i o n sb a s e du p o ns c a t t e r e d d a t aa r ee n c o u n t e r e di nm a n ya r e a so fs c i e n t i f i ca p p l i c a t i o n s t h i sf i e l d h a sb e e nr e s e a r c h e df o ral o n gt i m ea n dm a n ym e t h o d sh a v eb e e n d e v e l o p e da n df o r m e d i nt h i sp a p e r , t h ea u t h o ri m p r o v e da n da p p l i e dt h e n e wm e t h o dt oe x a m p l e s t h er e s u l t ss h o wt h a tt h ei m p r o v e da l g o r i t h m w o r k sb e t t e ri nc o m p u t i n gc o m p l e x i t ya n dt h es u r f a c ec a nb ef i t t e db e t t e r t h em a i nw o r ko f t h i sp a p e ri sl i s t e da sf o l l o w ： ( 1 ) w ec o n s t r u c tal o c a l i z e dm e t h o df o ri n t e r p o l a t i o nw i t hr a d i a l b a s i sf u n c t i o n s ( g l o b a ls u p p o r t e d ) b a s e do nt h ei d e ao f m u l t i v a r i a t es p l i n e m o r e o v e r , w ev e r i f yt h a tt h i sm e t h o di sf e a s i b l et h r o u g ht h e o r e t i c a n a l y s i sa n dn u m e r i c a le x p e r i m e n t s t h e s em e t h o d sp e r f o r ma l m o s ta s g o o da st h eg l o b a ls u p p o r t e dr a d i a lb a s i sf u n c t i o n si n t e r p o l a t i o nm e t h o d s d o ( 2 ) t h ea l g o r i t h mt h a tt h ea u t h o re m p l o y e dt of i ts c a t t e dd a t au s e s c o m p a c t l ys u p p o r t e dr a d i a lb a s i cf u n c t i o nw h i c hc h a n g e st h ec o e f f i c i e n t m a t r i xi n t os p a r s em a t r i xa n dc o m b i n e dw i t hc o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o d t os e t t l et h ee q u a t i o n s b yt h i s ，t h ec o m p u t a t i o ni ss i m p l i f i e da n dt h eo n l y s o l u t i o n ( 3 ) t h i sp a p e rp r o p o s e saf i t t i n gm e t h o do fc u r v e ds u r f a c ew h i c hi s b a s e do nt h er a d i a lb a s i sf u n c t i o n su s e dt o g e t h e rw i t ht h eb s p l i n es u r f a c e w i t ht h eb a n d i n gr a d i c a lb a s i sf u n c t i o n s ，w eo b t a i no r d e r e dm e s hp o i n t s f r o m3 - d i m e n s i o ns c a t t e r e dd a t a , a n dt h e nu s et e n s o rp r o d u c tb - s p l i n e i n t e r p o l a t et h e s eo r d e r e dm e s hp o i n t st og e tt h ea p p r o x i m a t i n gs u r f a c e t h i sm e t h o di sag o o ds o l u t i o nf o rt h en u m e r i c a li n s t a b i l i t yo fs c a t t e r e d d a t ai n t e r p o l a t i o na n d f i t t i n g ( 4 ) t h es i m p l i f i c a t i o no fu n o r g a n i z e dc l o u dd a t a b a s e do ht h e c l u s t e rr e s u l to ft h eu n o r g a n i z e dc l o u dd a t a ，t w os i m p l i f i c a t i o nm e t h o d s ， b a s e do nt h en e a r e s td i s t a n c ea n db a s e do nm o v i n gl e a s t s q u a r e s ( m l s ) ， i st h ep r e p a r a t i o nf o rt h es u r f a c ef i t t i n go f u n o r g a n i z e dc l o u dd a t a ( 5 ) t h ep r o p o s e dm e t h o da p p l i e st h er b f n nt ot h ef r e es u r f a c e r e c o n s t r u c t i o nf r o ma nu n o r g a n i z e dc l o u do f p o i n t si nw h i c ha l w a y s i n v o l v en o i s e i nt h i sp a r t ，t h ea u t h o ru s e dt h ei m p r o v e ds t u d y i n g a l g o r i t h m ( 6 ) t h ea u t h o ra l s oa n a l y z e dt h em e r i t sa n dw e a k n e s s e so fv a r i o u s f i t t i n gm e t h o d so f r f b a n dd i s c u s s e dt h e i ra p p l i c a b l es i t u a t i o n k e yw o r d s ：r e v e r s e e n g i n e e r i n g ，r a d i a l b a s i cf u n c t i o n s ， s c a t t e rd a t a ，c o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o d , b s p l i n es u r f a c e ，r a d i a lb a s i c f u n c t i o n sn e u r a ln e t w o r k 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特另, l m 以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南 大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同志对本 研究所作的贡献均己在在论文中作了明确的说明。 作者签名：乏乙趔日期：碰趔月互日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文；学校可根 据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：迎导师签名聋堕瞧过年山拳日 硕士学位论文 第一章绪论 1 1 逆向工程技术 第一章绪论 逆向工程( r e v e r s ee n g i n e e r i n g ，r e ) 是指根据实物测量的数据重新构造实 物的计算机模型，然后利用c a d c a m 等计算机辅助技术进行分析、再设计、 数控编程等操作，而后进行加i t ”逆向工程是数字化与快速响应制造大趋势下 的一项重要技术，是c a d 领域中一个相对独立的范畴逆向工程是针对正向工 程而言的，传统几何模型的建立是基于产品或构件的功能和外形，由设计师在 c a d 软件中构造的，这即为正向工程( f o r w a r de n g i n e e r i n g ) ，正向工程与传统的 c a d c a m 是一致的但在许多情况下，需要根据已有实物样件的坐标测量数 据，重新建立样件的数字化模型，而后再进行分析、改型设计和制造，这种以实 物模型为依据来生成几何模型的设计方法使用的就是逆向工程技术逆向工程将 现代坐标测量设备作为产品设计的前置输入装置，与快速原型制造( r a p i d p r o t o t y p i n gm a n u f a c t u r e ，r p m ) 、c a d c a m 相结合并形成产品设计制造的闭环 系统，大大提高产品的快速响应能力逆向工程技术在具有复杂型面的产品设计 开发和制造方面，能大大地缩短设计开发周期，保证产品质量；逆向工程技术不 仅仅是仿形设计和制造技术，而且是在原型产品的基础上进行二次设计和加工， 是更高层次的设计技术这一技术使产品模型得到精确的表达和再现，为产品的 进一步分析，优化和制造确立了统一的对象，在产品快速设计开发和复杂型面数 控加工方面都具有重大的意义逆向工程有着大量的应用和需求场合，目前它已 经在工业制造( 如汽车、玩具生产) 、医学( 如假肢制造) 、地理信息( 如对大地 遥测数据进行识别) 以及计算机辅助检测( 如成品精度检测) 等领域得到了深入 而广泛的应用 在逆向工程中首先有产品的样件，经过对产品的坐标数据采集，并对这些数 据进行处理，然后反求出产品的c a d 模型，这些c a d 模型经修改、设计再 加工出新的产品其流程如图1 1 所示 硕士学位论文 第一章绪论 圈日 二口 o p 测量数据处理 妙 与曲面荤建 i c 掣 圈l - 1 逆向工程流程图 由图可知，测量数据的处理与曲面重建是整个流程中联系前后环节的一个至 关重要的纽带由测量设备采集的数据点通常比较密集，因而形象地称作点云 ( p o i n tc l o u d s ) ，点云是三维点坐标( x ，y ，z ) 的集合，按照数据的组织形式，点云可 分为有序点云和散乱点云对测量点云数据进行预处理的主要工作有：多视拼合、 噪声去除、数据简化、数据补缺等散乱数据点云的数据量一般都比较庞大，这 会给后续的数据计算以及数据显示等处理带来很大不便，针对这个问题本文对散 乱点云的数据简化方法做了研究曲面重建是逆向工程中的关键技术，曲面重建 是指根据测量所得的反映几何形体特征的一系列离散的数据点，在计算机上获得 几何形体的曲线曲面方程或直接建立c a d 模型的过程按照所处理数据对象的 不同可以分为对有序数据的曲面重建和对散乱数据的曲面重建，相对来说，对散 乱数据的曲面重建难度又要大得多目前，模型重建按重建后曲面的不同表示形 式可大体分为四类：一是建立b s p l i n e 或非均匀有理b 样条( n o n - u h i f o r m r a t i o n a lb - s p l i n e s ，n u r b s ) 曲面模型：二是建立由众多小三角平面片组成的分 片线性的三角网格曲面模型；三是建立以三角域的曲面插值为基础的曲面模型； 四是建立径向基函数曲面模型曲面模型生成的方法，根据参数域选取的不同， 实际运用中主要有两种类型：一是基于矩形参数域，以b s p l i n e 和n u r b s 曲 面为代表的曲面重建方法：二是基于三角参数域，以三角b e z i e r 曲面为代表的 曲面重建方法经过几十年的发展，曲面重建技术已经较为成熟，最近不少学者 将其它技术引入到逆向工程领域来寻求曲面重建技术 2 硕士学位论文 第一章绪论 1 2 逆向工程的应用 今天的设计工程师己经可以方便地利用手工草图或现有图纸生成三维计算 机模型，以备制造或工程分析应用但是在生产中，经常出现的一个问题是，如 何从实物模型获得其儿何模型? ( 1 ) 目前，许多外形设计师还难以直接用计算机进行设计，而更倾向于粘 土或泡沫塑料造型另外，尽管计算机具有越来越逼真的模型上光着色功能，但 大型物体，如轿车，还是要做成一比一的实物模型才能鉴定其外观 ( 2 ) 设计师经常要对冲压模、塑料模做局部修改，这样就必须将实物模型 输入计算机，获得一个与实际相符的几何模型，然后对几何模型进行修改 ( 3 ) 有时设计要以现有的模型为基础在我国，许多模具制造商收到的是 实物，需要反求出实物的几何模型传统的从实物模型获得几何模型的方法是由 人工用测量仪测出实物上的一些特征点，然后利用计算机拟合特征点生成光顺曲 线曲面这种方法的缺点是费工费时，对操作者技术要求相当高，且测量点数量 有限，精度也难以保证采用逆向工程可获得高精度、高质量的几何模型 逆向工程主要应用于以下四个方面： 制造业如在产品设计方面，那些在c a d c a m 系统出现前所设计的产品， 现在需要获得其计算机表达的模型，重新利用在产品仿制方面这类产品 如古代文物、国外产品这些产品没有设计资料逆向工程可以通过测量原 样件，重构出其几何模型，从而是产品仿制、改型设计、乃至新产品开发中 实现快速、精确和完美测绘与重构的重要手段特别对我国现阶段许多产品 的“引进消化吸收创新”具有重要的应用价值在数字化模型 检测方面，如对加工后的零件，进行扫描测量，再利用逆向工程构造出几何 模型，使产生的模型与初始的几何模型在计算机上进行数据比较，可以提高 检测精度 商业界例如，每一个人的身体外形是不同的，采用先进的扫描设备和先进 的模型重建软件，可以快速建立人体的数字化模型，从而可以设计制造诸如 头盔、鞋、服装等产品，并使这些产品完全适合每一位不同的客户目前， i n t e r a c t 技术突飞猛进，使人们在互联网上就能定制自己需要的用品同样， 在航空宇航领域中，宇航服装的制造要求非常高，也需根据不同体形来制作 娱乐界在娱乐界，电影和游戏的制作中通常需要制造一些三维模型，这些 模型首先由艺术家作成实体模型，然后通过逆向工程c a d 建模得到计算机 可以表示模型，从而利用它们制作特技片段 医学领域c t 成像和m r i 成像是当今流行的成像技术，它们主要是通过扫 3 硕士学位论文 第一章绪论 描人体组织器官获得大量的测量数据并在计算机上可视化显示，以识别病理 组织，有时为了获知骨头的受力分析或者软组织的变形分析，也需要用逆向 工程技术重建出计算机模型 总之，逆向工程的应用是非常广的在娱乐、工业设计、医学、电子商务、 制造业、航空宇航等领域都有重要的应用价值 1 3 逆向工程中的自由曲面重构 逆向工程中首先由三维扫描仪或三坐标测量机采集三维实体或模型表面数 据，然后采用相应的算法进行曲面或实体重构其中复杂自由曲面重构是一项关 键技术如果物体表面部分被磨损或不完整，则曲面拟合将变得更加困难而一 旦构造了原模型的曲面或实体，就可以进行有关分析或改型设计等 用各种三维数字化方法得到的测量数据，必须转换成r p 设备能够接受的数 据格式才能用快速成型方法重构成实体模型目前r p 设备可接受的通用数据格 式是s t l 文件，获得s t l 文件通常有两种方法，一种是将测量数据直接转换为 s t l 文件，这种方法直接利用测量点一步到位，或是对数据点稍作简化，一其缺 点是生成的s t l 文件过大，可能包含了大量误差点，给后续的切片处理理带来 困难，甚至无法进行r p 加工；另一种方法是先将测量数据在c a d 软件上转换 为实体或曲面模型，然后再转化成s t l 文件，或者，如果此时的模型已经符合 设计要求，则直接应用各种成熟的c a d c a m 软件生成n c 加工文件，然后利用 各种n c 加工设备进行加工，无需利用r p 设备生产，而这种方法的应用前景更 加广阔正是基于此，逆向工程的研究才得以展开 逆向工程中最初由扫描获得的测量数据点是一群海量的密集散乱数据点，其 数目通常是成干上万，这些散乱数据点被形象地称为数据“点云”，他们反应了 实体模型的几何形状，但其拓扑关系并非显而易见这些数据点云中通常也包含 了大量的由人工操作或机器精度而产生的误差点它们将影响曲面的重构，应该 被滤掉因此，对海量测量数据的处理过程，一般分三步进行：一是对数据进行 滤波( 或者数据简化) ；二是数据拟合；三是曲面重构对数据进行滤波的方法， 己有很多方法存在，例如程序判断滤波、n 点平均滤波以及采用预测误差递推辩 识与卡尔曼滤波相结合的自适应滤波方法，这些方法在滤除干扰信号和随机误差 方面都取得了较好的效果数据的拟合处理分两种情况：一种是对不很密的双有 序点列，常采用非均匀有理b 样条( n u r b s ) 方法，n u r b s 是i s o 在s t e p 标 准中制定的自由曲线曲面表示标准，具有许多优越性：另一种是规则的散乱数据 点，对这种数据的拟合处理，常有弹性网格逼近法、曲线法、薄板样条法等，对 4 硕士学位论文 第一章绪论 于此类数据的拟合，h a r d y 与r f r a n k 一直用m u l t i q u a d r i 等径向基函数类进行研 究，己取得一些成果i l “曲面模型的建立大多由两步构成，第一步将散乱点 分区，分成由若干个呈矩形拓扑形状的区域，第二步将每个区域上的散乱数据点 拟合成b 样条曲面，并把各区域按一定的连续阶拼接起来从以上的分析可以 看出，这三步过程中，自由曲面的重建是关键的一步 由前面的介绍可知，逆向工程的主要目的是由一系列测量数据得到一个连 续、光顺的监面模型，由于测量获得的数据组织方式不同，数据点被分为等高线 数据和散乱数据两类等高线数据点是指数据点通过沿轮廓线或切片平面进行测 量得到扫描线，从而得到的一系列点，如c t 扫描数据；散乱数据点是通过任意 采样方式得到，如三坐标测量机测量的散乱点海量规则数据通过简化，过滤掉 误差噪音点之后，也会生成散乱数据点 1 4 基于散乱数据的曲面重构 散乱类型的数据点集具有以下几个特点： ( 1 ) 数据量大、数据点排列散乱无章、数据非常密集； ( 2 ) 曲面边界不明显，几何形状复杂，不宜采用常规的曲面构造方法； ( 3 ) 曲面往往是由几张监面经过求交、裁剪、过渡、延伸等高级曲面处理得到； ( 4 ) 由于数据采集技术的限制，往往需要分块测量，从而有一个多块测量数据 融合问题 关于散乱数据拟合成曲面的问题，虽然己有许多文献报道了不同的方法，但 从曲面的光顺性、计算的稳定性、数据量的大小以及数据分布规则的复杂性等诸 多方面来考虑，目前已有的研究结果还存在一定的局限，很有必要进一步深入研 究当前比较突出的散乱数据拟合方法主要有全局逼近的s h e p a r d 法、径向基函 数方法、薄板样条法以及有限元法等几种方法 早在1 9 6 5 年气象学家和地质学家s h e p a r d 提出了基于数据的逆距离加权拟 合曲面方法，即s h e p a r d 法该方法定义了一个c o 连续的插值函数作为数据的 权平均，其权因子与距离成反比这种方法有几个缺点，包括在数据点处出现尖 角、角点、平坦区域以及受远距离点的不适当影响等，如果加入、删除或修改某 数据点则所有的权因子都需要重新计算 1 9 7 1 年，地质工作者h a r d y 在绘制地形等高线时遇到了散乱数据拟合曲面 的问题，他提出了一种新的基函数m u l t i q - a d r i c ( m q ) 基函数，其表达式为 枷x x | | 2 + ，2 ，以此为基函数来构造曲面的二元函数，收到很好的效果此后， 围绕着m q 函数，涌现了大量的研究文献 l s - ”1 ，这些文献要么讨论参数的选择， 硕士学位论文第一章绪论 要么讨论线性方程组的系数矩阵的条件数，要么改进构造插值函数的方法，但大 多是一种全局函数插值问题，只能应用在处理数百个点的规模，难以推广到工程 实际应用中m q 函数在逼近论领域也得到了发展，文献 2 5 】与文献【2 6 】将其归 入径向基函数类，把它与其余函数，如s o g ( s u m - o f - g a u s s i a n s ) 和t p s ( t h i n - p l a t e - s p l i n e ) 函数同时研究，从理论的深度研究了它们具有的三个性质：稠 密性、插值性和收敛性质，为径向基函数类在散乱数据插值中的应用提供了理论 背景 薄板样条法是考虑散乱点插值函数曲率积分应该达到最小而推得因其在大 数据量时具有良好的可视性和计算的稳定性而得到广泛应用通过多网格消除技 术可加速薄板样条法的数值求解，为了利用分层基函数加速迭代技术，还提出了 另一种多网格消除技术，然而当插值函数对大量网格进行计算时其数值计算相当 费时散乱数据拟合的另一类解法可归于有限元法，这种方法涉及到在数据点的 基础上构造某类优化的三角形来限制局部相邻关系，然后在三角形网格的基础上 构造曲面片，所得曲面片受到原始数据插值的约束为了获得优化的三角形， l a w s o n 提出了几条准则避免小角度的狭长三角形三角形的线性近似并不光顺， 只能达到c o 连续，为了达到c 1 连续，最常用的方法是利用c l o u g h - t o u c h e r 三角 形插值三角形方法对数据分布很敏感，如何避免狭长三角形一直是研究的焦点， 1 9 8 3 年f a r m 利用c l o u g h - t o c h e r 分割构造了c 连续的插值曲面，避免了比给定 曲面连续阶次更高的导数条件，通过三角形分割和一阶导数连续的条件来保证相 邻曲面片间的连续性 1 5 本文的主要工作 由于目前对散乱数据拟合曲面研究的效果还不甚理想，存在很多局限性，本 文结合径向基函数的优点，具体地研究了各种用径向基函数方法来实现散乱数据 的曲面拟合，以期达到较好的效果，主要工作如下： ( 1 ) 具体阐述了径向基函数的各种理论、性质，并着重介绍了高斯径向基 函数的性质以及用其拟合曲面的基本方法 ( 2 ) 利用多元样条剖分、分片连续的思想，对散乱数据的拟合提出了一种 径向基函数局部化插值的新方法，既减少了计算量，曲面的整体也达到了较好的 连续性 ( 3 ) 利用紧支撑径向基函数，使得系数矩阵为稀疏矩阵，再结合共轭梯度 法求解方程组的方法来实现对散乱数据的曲面拟合，减少了运算量并且保证方程 有唯一解t 6 硕士学位论文 第一章绪论 ( 4 ) 提出了一种径向基函数与b 样条插值结合使用的曲面拟合方法通过 分片径向基函数插值，从三维散乱点获取有序网格点，利用张量积b 样条插值 有序网格点，从而得到拟合曲面该方法较好地解决了散乱数据插值和拟合的计 算不稳定性问题 ( 5 ) 研究了对大规模散乱数据点的简化技术在对散乱数据聚类的基础上， 用基于距离最近和基于移动最小二乘两种方法实现了散乱数据点的简化，从而为 大量散乱数据的曲面拟合做好准备 ( 6 ) 针对带有噪声数据散乱数据点自由曲面的重构，利用径向基函数神经 网络，通过数据简化技术和改进的r a n 学习算法来实现散乱数据的曲面拟合 ( 7 ) 对各种径向基函数的拟合方法的优缺点进行分析比较，探讨各方法的 适用范围 7 硕士学位论文第二章 径向基函数的理论与性质 第二章径向基函数的理论与性质 2 1 径向基函数的基本理论 据e m s t e i n 和gw e i s s 在文献 2 5 】中的定义，径向函数( r a d i a lf u n c t i o n ) 就 是满足：如果1 | 毛旧l 屯，那么妒( 毛) = 妒( 恐) 的函数妒即，仅依赖于，刊i z0 的函 数虽然其表述简单，但其内含有的理论知识却非常丰富，不少专家学者对其进 行了深入细致的研究本文摘录部分内容如下： 径向基函数( r a d i a lb a s i sf u n c t i o n ) 就是这样的函数空间( 见文献【3 5 】) ： 给定一个一元函数：r r ，在定义域x r 4 上，所有形如o ( x - c ) = 矿( 0 x - - c | i ) 及其线性组合张成的函数空间称为由函数毋导出的径向基函数空间在一定的条 件下，只要取缔， 两两不同， o x ，) 就是线性无关的从而形成径向基函数空 间中某子空间的一组基当p 。 几乎充满r 时， m 一x ) ) 及其线性组合可以逼 近几乎任何函数1 定义2 1 径向函数( 忪1 1 ) 与( 忪i ) 的d - 变量卷积定义见文献 2 6 1 ： ( 矿c 妒) ( 0 x i i ) = i 矿( i i y l i ) ( | | x - y i d a y 帚 定义2 。2 径向函数m ( x ) = ( 忪0 ) 是正定的( p o s i t i v e d e f i n i t e ) ( 见文献 2 6 】、【2 7 】) ， 如果对所有两两不同的点集“，x o r 4 ，矩阵爿= “m ( x ，- x d ) 脚曲是正定的 定义2 3 连续函数矽：如斗r 称为的正定函数，记为矿p d a ，如果诱导函数 似工) s ( 0 x 眦x r “是正定的 一般地，用c s 表示有紧支撑( c o m p a c ts u p p o r t ) 的函数 若( 工) ，( 石) c s n p d d ，则矿= v t v 2 c s n p d # ( 见文献 2 7 】) 如果( 功c s o p d d 且g ( x ) o ，则( x ) = 【v ( x a ) g ( a ) d a c s f ) p d d ( 见 文献 2 7 】) 通过如下b o c h n e r 定理可以判定一个径向函数是否正定( 见文献 3 5 1 ) 定理2 1 ( b o c h n e r ) 函数似x ) = 妒( 1 i x 1 ) 是正定函数的充要条件是其f o u r i e r 变换m 几乎处处大于零 m i c c h e u i 给出如下定义：( 见文献 2 8 】) 定义2 4 定义于 0 , o o ) 上的连续函数f ( t ) 称为上k 阶条件( 严格) 正定函数， 如果对于任何不同的点而，矗r 。及使得对所有的p 1 7 ( ) 满足 乞c ，p ( t ) = o 8 硕士学位论文 第二章径向基函数的理论与性质 的标量q ，二次型 c , c y ( 1 lx , - - x j1 1 2 ) = 0 t = lj 皇l 是非负( 正) 的其中，n 。( ) 表示次数七一l 的多项式组成的空间 常用的径向基函数有：( 见文献 3 5 】) ( i )k r i g i n g 方法的g a u s s 分布函数：( ，) = p 一 ( i i ) h a r d y 的m u l t i q u a d r i c 函数：声( ，) = ( c 2 + ，2 ) 4 ，( ，) = ( c 2 + ，2 ) 9 ( i i i ) d u c h o n 的薄板样条：妒( ，) = ，”l n r ，( r ) - j 一2 “ 此外，还有一类重要的径向基函数紧支撑正定径向基函数 这类函数g o ( x ) = ( 忪0 ) 主要有如下形式的多项式：( 见文献 2 6 ，2 7 1 ) 如，= 算1 ； 其中，p ( ，) = q r ，这里臼o ，n 称为中或妒的次数当且仅当d 变量f o u r i e r 变换 m ( x ) 喜乃( ，) = ( 2 万) 一扪l ( 弦，。d r o = _ ，一4 7 2 f 4 7 2 l ( d - 2 ) n ( r t ) d t 非负且至少在一个开子集为正时，g o ( x ) 是正定的其中，以表示第一类 b e s s e l 函数这类函数主要有： ( 1 ) 截断幂函数：( r ) = ( 1 - ，z 当， k d 2 j + l 时，9 z t ( r ) 踢，其中，l x j + l 表示满足月x n + l 的整数 n ，也就是我们通常所说的地板函数 ( 2 ) e u c l i d s 帽子石2 n + 1 ) 2 ”p d 2 f t c o ，其次数o x ( 2 n + 1 ) = 2 n + 1 它是由单位球的特征函数与 其自身的d - 变量卷积生成即，l x o ”1 = z ( ，) + z ( ，) ( 3 ) w u s 函数谚i w u s 函数是因由z m w u 提出而得名这一类函数表示为 办。= d 。( z 。石) ，0 k s ，其中，f ( r ) = ( 1 - r 2 ) ：，而算子d 定义为( 见文献【2 7 】) ： 1j d ( f x r ) = 一二以，) 九p d 2 m n c 2 “ ( 4 ) w e n d l a n d s 函数 w e n d l a n d s 在研究文献 2 7 】中的“o p e np r o b l e m ”后找到了一类最低次数的 9 硕士学位论文 第二章 径向基函数的理论与性质 正定且紧支撑的径向基函数，后来，人们将其称为w e n d l a n d s 函数 其表达式为y ，= ，。，其中，v 0 ，帆( ，) = o - r ) ：虬j 可由如下的表达式给 出： t 妖 = 成j r ”y m t 。( ，) n = l 其中，系数孱i 满足如下递归关系： 鼽- 2 喜。纵高咎镑唧姗， 这里，忽略了n - - - - 一1 ，j = o 这一项，对口r 一l ，v r ，n ，而括号算子定义 为： 陋】- l = i 1 石，瞳】o = l ，陋】，= 口 一1 ) 一，+ 1 ) ，口2 ，一l 、 ( v ) o = 1 ，( v ) ，= v ( v + 1 ) ( v - l + 1 ) w e n d l a n d 在文献【2 6 】中还证明了w u s 函数轧与e u c l i d s 帽子x 2 “1 有如下 关系： 轧= i t 。x 2 “ 其中，= 表示两边仅可能相差一个常数因子 2 2 径向基函数插值 径向基函数插值就是：对于给定的数据瓴，z ，t r d , z r ，i = l ，2 ，栉， 要寻找如下形式的函数 s ( x ) = c # ( 1 l x - x , 1 1 ) ，薯畎4 f l l 满足条件 i s ( t ) = z ，f = l ，2 , - - - , h l q 碍( t ) = o ，v q n 。 l i = l 其中，五，毛是酞4 中两两不同的点，兀，是次数最多是m 的多项式所组成空间， c l ，厶r 对上述的径向基函数插值，有如下定理：( 见文献【3 5 】) 1 0 硕士学位论文第二章径向基函数的理论与性质 定理2 2 设函数c ( 酞+ 寸酞) ，l i m # ( r ) = 0 ，那么对d 元径向基函数插值总存在 唯一解的条件是：对任何两两不同的点列 ，矩阵( 妒( 0 一砟都是正定矩阵 2 - 3 径向基函数的正定性 由定理2 2 我们可知，径向基函数的正定性对于插值十分重要，在这里，有 必要做一下讨论 上述径向基函数中g a u s s 函数及逆m u l t i - q u a d r i c 函数在任意维空间都是正定 函数m u l t i q u a d r i c 函数及薄板样条不是正定函数，但是它们的广义f o u r i e r 变 换还是大于零，只是在零点有个极点如果极点是y 阶的，那么当满足条件 q 巧- - 0 ，l a l - 0 k = l1 = 1 。= 1 我们称这类函数为y 阶的条件正定函数若定义矩阵 肚p i 引d 盂 其中，o q a l ，i 峰，则当( r ) 满秩时，a 是非奇异的( 见文献【3 5 】) 关于径向基函数理论的综述性文章可参考b u h m a n n 的【2 9 】和吴宗敏教 授的 3 6 1 等 2 4 高斯型径向基函数 形如矿( ，) = p 一，称为高斯型径向基函数，是本文主要用到的径向基函数， 因此，在这里，有必要做一下介绍在不引起混淆的情况下，我们简称为高斯函 数 2 4 1 高斯函数的连续性 设高斯函数的表达式为： = 唧( 一刍 g v j ( 2 1 ) 式分别求一阶和二阶导数碍： ( 2 - 1 ) 硕士学位论文 第二章径向基函数的理论与性质 妒( 加专e 砸一争 ( 2 2 ) 妒。( 州等) 吲一书 ( 2 - 3 ) 由( 2 - 2 ) 和( 2 - 3 ) 可见 ) 具有连续的一阶和二阶导数，可以依次求出 ) 的n 阶导数，并且可以证明其n 阶导数是连续的 2 4 2 高斯函数的正定性 在前面，我们曾讲过，高斯函数是正定的这里，我们做一下证明 引理2 1 若实对称矩阵a = 。满足 o ( i ，= l ，2 ，疗) ，且 吒 q ( f ，j = l ，2 ，疗) ，则矩阵a 是正定的 i 定理2 3存在盯 0 ，使得高斯函数的系数矩阵g 是正定矩阵 证明g = q ，6 ：，= e x p ( 叱t - x j ) 2 + 一只) 2 ( 2 a 2 ) “，= i ，2 ， r ) ，由 q 的表达式可知： q = g ， 0 ，q = 1 ，( f ，_ ，= l ，2 ，) ，即g 是各元素为正数且对角元素均为l 的 实对称矩阵令_ 2 ( 一) 2 + 一乃) 2 ，( f ，= 1 ，2 ，) ，f 卿( _ ) ，于是有 q = e 啾- ( 薯一_ ) 2 + ( 咒一乃) 2 ( 2 a 2 ) s e x “一r ( 2 0 - 2 ) = l嘲 l ( - 1 ) e x p ( - r ( 2 0 2 )( f = 1 ，2 ，疗) 容易知道，存在盯 0 ，使得 q = ( - 1 ) e x p ( 一r ( 2 盯2 ) o 其中，口为曲面形状调整参数，可根据散乱数据点分布特征选择，当数据点投影 对应的函数值变化较大时，口可取的稍大些；数据点投影对应的函数值变化较小 时，口可取的稍小些高斯函数插值及口参数的改变效果见下图( 插值点为 p o i n t s = 3l2 ；12 4 ；412 ；333 ：l45 1 ) 图2 - 1 参数口= 1 的高斯插值曲面图2 - 2 参数口_ 5 的高斯插值曲面 2 4 4 带参数q 的高斯函数的可逆性讨论 上面提到的高斯函数均为可逆的。一般地，若将参数口改为q ，则设带有参 硕士学位论文 第二章径向基函数的理论与性质 数q 的高斯函数s ( x ) = q 8 1 i 一一i ” 令毛= e - i i x , 喝”，则o 了，o ，_ ) ， 由上述算法可知，为得到一个整体插值益面，只需分别构造每个剖腔上的插 值曲面片，并且在每一个剖腔上，只需求解一个小型线性方程组 s ，( 置) = z ，s = l ，2 ， z 是置处的值因此其计算量较整体径向基插值要小的多实际应用中我们可 以选择适当的剖分，使得每个剖腔上有适当数量的点这样直接用高斯消元法就 可以求解 我们容易证明以下定理： 定理3 1 如上构造的插值曲面s ( x ) 在定义域上沿x 方向和y 方向是z - 1 阶 光滑的。 证明：首先，墨，( ) 在每个剖腔4 ，上是任意次光滑的只需证明插值曲面 s ( x ) 在剖分线f ，和曩上沿x 方向和y 方向是一l 阶光滑的 设 、 z 。( x ) = 墨，一( x ) 一s 。( x ) ( 3 - 1 ) 由于4 ，。和4 ，以剖分线j 相邻，且 t , j ( 耻+ l ( 玲( 聊善例卜剐霄瓦g 高干秽一 = z - l ，( x ) + q 一- ( x ) 巧 屯( 聊苫c , 声( 1 1 x 刮瞰万毫惫纛g ( 删： = 7 = 由( x ) + 一置似万= 二毫b 了_ ) 9 + g ( x ) ： 2 z 2 ，( x ) + g 一2 ( z ) f ： 2 五，( x ) + g l ( x ) 巧 瑙，。( x ) 一s ，( x ) + g l ( x ) 巧 2 善删n x , 1 1 ) 弓嚣广+ g i ( 的2 ； 2 g ( ) g 。 这里，z ，( z ) 在4 川u 4 。，上是任意次光滑的，并且在f ，上有 ，罢一o ，窘小，警= 。 c s 国 1 7 硕士学位论文 第三章径向基函数插值的局部化方法 由( 3 一1 ) 、( 3 - 2 ) 得到s p l ( x ) 和s ，( x ) 在，上沿x 方向是一1 阶光滑拼接 同样，s “，( x ) 和s ，( x ) 在 上沿y 方向是一l 阶光滑拼接注意到i 和j 的任意性以及，和 与坐标轴的关系( z ，垂直于x 轴，红垂直于y 轴) ，所以插值 曲面在整个定义域上沿x 方向和y 方向是j l 阶连续的 注意到求解各个剖腔上的线性方程组时，实际上相当于求解一个径向基插值 方程组( 每个方程右端除去一个常数后，其系数矩阵就只由径向基函数构成) 再 由径向基插值矩阵的非奇异性 3 3 1 ，所以插值曲面唯一确定由于每个剖腔插值 点数量不大，所以其插值矩阵的条件数也不会太大， 上述方法可以使曲面沿x 方向和y 方向达到一1 阶光滑但考虑到尽量保 持多重二次曲面插值曲面的好的性质，不宜取的太高 方法二： l 、如方法一首先对数据域进行矩形剖分 2 、选择边界点和剖分线上的以及剖分线附近区域的插值点，设这些插值点 构成的集合为昂，用径向基插值方法构造一张基曲面 & ( x ) = 艺喇( 悄一置i i ) 五弓，为b 中插值点的个数 3 、构造每个剖腔上的插