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关于等距曲线的若干研究 摘要 等距线又叫平行线，是指与原函数方向距离为常数d 的点的集 合。等距曲线在计算机图形及三维数控机床等方面的应用非常广 泛，因此目前关于等距曲线的研究，已成为c a g d 中的一个热门 课题。 1 9 9 0 年f a r o u k i 和s a k k a l is 提出了一类特殊的平面曲线叫做p h ( p y t h a g o r e a nh o d o g r a p h ) 曲线。p h 曲线具有多项式参数速度， 因此它有精确有理等距线，它的弧长为多项式函数。f a r o u k i 等同 时给出了多项式参数曲线为p h 曲线的充分必要条件。p h 曲线由 于具有良好的性质，在实际生活中有很多重要的应用。三次p h 曲 线是p h 曲线中最基本的曲线，它有很多性质仍有待研究。另外它 是多项式p h 曲线中次数最小的一种曲线，在逼近b 6 z i e r 曲线，逼 近b 样条曲线等方面都有很好的性质。不过也有缺点，就是不能 处理拐点。三次p h 曲线偶继承了p h 曲线的优点，同时又摈弃了 它的缺点，用三次p h 曲线偶逼近b 6 z i e r 曲线，逼近b 样条曲线 非常值得研究。 关键词：b 6 z i e r 曲线p h 曲线p h 曲线偶等距曲线 t h es t u d yo fo f f s e tc u r v e s a b s t r a c t 0 f f s e tc u r v e s ，a l s oc a l l e dp a r a l l e lc u r v e s ，a r ed i f i n e da sl o c a so f p o i n t sw h i c ha r ea t c o n s t a n td is t a n tda l o n gt h en o r m a lf r o mt h e g e ner a t orc urves 。o f f se tarew i d e 1 y use di nvar ious a p p l i c a t i o n s ，s u c ha sc o m p u t e rg r a p h i cs ，3dn cm a c h i n i n g ， a n ds oo n t h e r e f o r e ，t h es t u d yo f o f f s e tc u r v e sh a sb e c o m eah o t t o p i co fc a g d f a r o u k ia n ds a k k a l i si n t r o d u c e dac l a s so fs p e c i a lp l a n a r p o l y n o m i a l c u r v e sc a l l e dp y t h a g o r e a n 日d j d g r 口p ( p h ) c u r v e si i l 19 9 0 t h ep hc u r v e sh a sp o l y n o m i a lp a r a m e t r i cs p e e d ，a c c o r d i n g l y i t so f f s e ti sar a t i o n a lc u r v ea n di t sa r cl e n g t hi s ap o l y n o m i a l f u n c t i o n f a r o u k ia l s 0h a sg i v e nt h es u f f ic ie n ta n dn e c e s s a r y c o n d i t i o nf o rt h ep o l y n o m i a lp a r a m e t r i cc u r v e st ob ep hc u r v e s p h c u r v esh a sm a n yr e m a r k a b l epr 0 pe r t i es t h e r e f o r ei th a sm a n y i m p o r t a n ta p p l i c a t i o n s t h ec u b i cp hc u r v e si st h ee a s l e s tc u r v e so f t h ep hc ur v es i ta 1s oh asm a n yg o o dpr o p e r t y i t s t h e l o w e s t d e g r e e c u r v e so fa 1 1 p c l y n o m i a l p h c u r v e s ，i t c a n a p p r o x i m a t eb d z i e rc u r v e s ，b s p l i n ec u r v e sa n ds oo n b u ti ta l s oh a s f l a w e g i tc a n td e a lw i t hi n f l e x i o na n ds e l f i n t e r s e c t i o ne t c t h e c o u p l eo fp l a n a rp hc u b i ci n h e r i tt h ea d v a n t a g eo fc u b i cp hc u r v e s a n do v e r c o m ei t sw e a k n e s s i ti sw o r t ht os t u d ya p p r o x i m a t i n g t h eb 6 z i e rc u r v e so rb - s p l i n ec u r v e sw i t ht h ec o u p l eo fp l a n a rp h c u f v e s k e y w o r d s ：b 6 z i e rc u r v e s ；p hc u r v e s ；t h ec o u p l eo fp hc u r v e s ： o f f s e tc u r v e s 插图清单 三次b 6 z i e r 曲线6 b 6 z i e r 曲线凸包性9 图3 2 1 5 图3 - 4 1 6 三次p h 曲线偶的c h e r i ni t e 插值2 l 给定的初始条件2 7 构造出的p h 曲线的控制多边形2 7 第f 段b 6 z i e r 子曲线与其对应的p h 曲线2 9 当b 1 落入两圆域时，二次b 6 z i e r 曲线曲率单调2 9 p h 样条曲线l 的端点条件3 0 p h 样条曲线2 的端点条件3 1 l 2 l 3 5 1 2 3 4 5 6厶知孓孓舡舢舢舡乱舢 图图图图图图图图图图图 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得金g 王些盘堂 或其他教育机构的学位或证书两使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签字；秘直考 签字日期：匆年6 月罗日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金月b 王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权盒目b 王些盔 堂一可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名：陌、逸予 签字日期：勘7 年月了日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 一名：盔强 签字日期：。1 年6 月亭日 电话 邮编 致谢 本文是在我尊敬的导师黄有度教授的悉心指导下完成的。黄 老师给予我很多关键性的指导，并提出很多宝贵意见。黄老师渊 博的知识，严谨的态度，对学生的亲切关怀和一丝不苟的治学精 神，诲人不倦的工作作风，使我受益匪浅。在此向黄老师致以深 深的敬意和衷心的感谢! 另外，在研究生学习期间和论文写作过程中，也得到了理学 院朱功勤教授、苏化明教授、邬弘毅教授、檀结庆教授、朱晓临 教授、林京教授、唐铄教授的帮助，在此表示诚挚的谢意! 对所有在我读研期间给过我帮助的同学和朋友表示衷心的 感谢! 感谢家人对我的关心和支持! 谢谢! 最后，要感谢审阅硕士论文和出席硕士论文答辩会的各位专家学 者，感谢他们在百忙中给予的批评指正。 作者：陈远宁 2 0 07 年5 月 第一章绪论 1 1c a g d 概述 c a g d 这个名词最早出现在1 9 7 4 年召开的u t a h 会议上，是由b a r n h i l l 和 r i e s e n f e l d 提出，它表示计算机辅助几何设计( c a g d ) 的意思，从此，以几何 造型方法为主体的c a g d 开始以一门独立的学科出现。c a g d 主要研究工业 产品的几何问题，它是各种几何外形信息的计算机表示、分析与综合，以函数 逼近论、微分几何、计算数学以及数据技术为基础的边缘学科，其核心问题是 计算机表示，即要解决既适合计算机处理且有效地满足形状表示与几何设计要 求，又便于形状信息传递和产品数据交换的形状描述的数学方法。1 9 6 3 年美 国b o e i n g 飞机公司的f e r g u s o n 首先提出了自由曲面表示的参数矢函数方法， 并成功构造了f e r g u s o n 双三次曲面片，该方法由f m i l l 系统实现，它可以生 成数控纸带。f e r g u s o n 所采用的曲面的参数形式从此成为形状数学描述的标准 形式。f e r g u s o n 将四角点的混合偏导矢( 又叫“扭矢”) 都取为零矢量，1 9 6 4 年美国麻省理工学院( m i t ) 的c o o n s 发展了具有一般性的曲面描述方法，给 定围成封闭曲线的四条边界就可以定义一块曲丽片。1 9 6 7 年c o o n s 进一步推 广了他这一思想，c o o n s 双三次曲面片在c a g d 实践中广泛应用。1 9 7 1 年法 国雷诺( r e n a u l t ) 汽车公司的b 6 z i e r 发表了由控制多边形定义曲线的方法。 它是雷诺公司u n i s u r fc a d 系统的数学基础。1 9 7 2 年d eb o o r 给出了关于 b 样条的一套标准算法。1 9 7 4 年美国通用汽车( g m ) 公司的g o r d o n 和 r i e s e n f e l d 将b 样条理论用于形状描述，提出了b 样条曲线曲面。为了解决 自由曲线曲面和初等曲线曲面的统一表示，1 9 7 5 年美国锡拉丘兹( s y r a c u s e ) 大学的v e r s p r i l l e 首先提出了有理b 样条方法。以后主要地由于p i e g l 和t i l l e r 等人的功绩，至8 0 年代后期，非均匀有理b 样条( n u r b s ) 方法成为用于 曲线曲面描述的最广为流行的技术。1 9 9 1 年，国际标准化组织( i s o ) 把n u r b s 作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法。 不断地研究和发展使得基于矩形拓扑网的曲面造型技术逐渐走向成熟。但 在实际应用中并不是所有的曲面都可以用矩形网曲面来描述。在一些复杂的零 件造型中，矩形曲面片与矩形拓扑的局限性就明显暴露出来。但由于当今c a d 系统中的曲面几乎都是定义在矩形区域上的，修改现有的系统要比完全地集成 新的方案容易得多，这使得非矩形曲面片即所谓n 边曲面片难以在c a d c a m 系统中普及开来，这也多少限制了非矩形曲面片理论的发展。n - 边曲面片一直 是一个广泛研究的题目。1 9 7 3 年b a r n h i l l 给出了三角域上的超限插值曲面，1 9 7 6 年s a b i n 又给出了三边贝齐尔曲面片，成为最为流行的三边曲面片。由于三边 曲面片适合于有限元分析中广泛应用的三边形元素的需要，因而受到了更多的 关注。 c a g d 应用日趋广泛，除了围绕汽车、航空、造船这三大工业部门的几何 外形设计问题之外。经过2 0 年的发展，理论不断深化，方法日益丰富，应用 愈加广泛。在国外，计算机辅助几何设计的应用除了上述三个方面及一般机械 零部件的设计这些传统领域外，正在扩展到越来越多的技术领域。例如：人体 造型、人体器官( 脑、心脏、胃等) x 光断层扫描立体图形重建、导弹地形匹 配、飞机模拟训练、石油勘探地形结构图建立、鞋、帽外形设计、动画片和艺 术图案设计等等。 1 2 等距线等距面综述 等距( o f f s e t ) 曲线曲面也称为平行或位差曲线曲面，它们是基曲线曲面沿法 向距离为d 的点的轨迹，为近十年来c a g d 的一大热点。其应用领域遍及数据 加工中刀具轨迹计算、机器人行走路径规划、行位公差学、公路铁路线型设计、 箱报等带厚度物体设计、钣金零件为装配所预留的等宽度间隙计算、等间距挖 洞加工、艺术花纹设计、实体造型和图形学等。 由于曲线曲面的单位法矢包含平方根项，等距曲线的代数次数相当高i l l ， 且一般不再具有原基曲线曲面的相同类型。除直线、圆、平面、球面、圆柱面、 圆环面以外，有理曲线曲面的o f f s e t 一般无法表示为有理形式，从而无法被通 用的c a g d 系统来处理1 。于是何种类型的有理曲线曲面其o f f s e t 仍为有理， 又是如何来构造的，成为了人们非常关注的一个问题，这也就是o f f s e t 研究中 的精确有理表示和插值造型问题一“；如果不能满足上述条件，为了使c a g d 系统能有效处理，那就必须对o f f s e t 进行逼近，这就是o f f s e t 研究中基于几何 或代数的逼近算法问题”；当法向距离d 大于基曲线的最小曲率半径或其中 部分曲线段间的距离时，o f f s e t 会产生尖点，环或自交现象，另外o f f s e t 有时 还会出现断裂现象，对此提出了o f f s e t 中异常情况对策；最后一类研究问 题是测地o f f s e t 胁4 ”、广义o f f s e t m4 0 1 和o f f s e t 最优化。 1 9 9 0 年，f a r o u k i ”等首次提出了p h 曲线的概念，由此开辟了有理表示精 确研究之先河。p h 曲线为一类参数曲线其平面多项式曲线的o f f s e t 表达式中分 母根号内为完全平方，所以可以精确有理表示。后来，他有把平面p h 曲线推 广到空间p h 曲线与曲面，并给出了具有有理o f f s e t 的可展曲面的显示表达”1 。 与此同时，他对p h 曲线做了进一步的理论和应用研究”，并把其弧长函数是 原参数的多项式函数这一特性成功应用于速度控制是基于轨迹弧长的数控加 工和工业机器人中。p o t t m a n ”依据投影对偶表示和包络技术，导出了有理曲 线曲面的o f f s e t 的精确有理表示的条件。m a r t i n ”1 等研究了扫掠体的等距曲面， 并给出自交检测。f a r o u k i ”对凸多面体、旋转体和简单轮廓线的拉伸体这三种 简单实体的表面均给出了等距面的精确表示。m a r t i n ”证明了d u p i n 曲面( 即 曲率线为圆弧的曲面) 的等距曲面也是d u p i n 曲面。p e t e r n e l ”“等利用l a g u e r r e 2 几何模型间的几何变换，给出了构作任意有理曲面的p h 曲面的几何。另一方 面由于p h 曲面的一些优点，实际应用需要对已知型值点列构造用两端点的位 矢、单位切矢和有向曲率作h e r m i t e 插值的p h 曲线。一般三次参数曲线的g c 2 h 插值为d e b o o r ”所研究。1 9 9 5 年f a r o u k i 等”给出五次p h 曲线的c 1 h 插值算 法；1 9 9 7 年m e e k 等”给出平面分段三次p h 曲线的g c l 插值算法。 在o f f s e t 逼近算法方面，主要有：( 1 ) 等距移动( o f f s e t i n g ) 控制网格( 顶 点) 来得到o f f s e t 逼近曲线控制网格( 顶点) 的方法。如c o b b 。把b 样条曲线的 控制顶点沿曲线上与其距离最近点( 称为结点) 处的血线法矢方向平移等距离 d ；c o q u i l l a r t 。把上述方法的d 根据结点曲率及结点与原控制顶点的距离作修 正；t i l l e r 等把n u r b s 曲线b 网的各边沿法向平移距离d ，再由相邻平移边的 交点来得到o f f s e t 逼近曲线的b 网；e l b e r 和c o h e n 1 以c o b b 得到的b 网为初值， 利用控制顶点对应与结点的逼近误差来迭代地扰动修正个控制顶点的偏移量； 他们用n u r b s 曲线的和与积表示误差函数，并结合自适应的分割算法1 ，即 把基曲线上逼近误差最大的点取为分割点，进行o f f s e t 逼近。( 2 ) 基圆包络逼 近法。如l e e 等”。先用二次b d z i e r 样条曲线逼近基圆，再把此逼近曲线沿基曲线 扫掠所得的包络线作为o f f s e t 逼近。( 3 ) 基于插值或拟合的方法。如k l a s s 一 和p h a m 分别用三次h e r m i t e 和有限个采样点的三次b 样条插值曲线逼近等距 线；h o s c h e k 1 用样条曲线对等距线采样点的逼近误差的最小二乘解来调整 o f f s e t 端点的切矢模；h o s e h e k 和w i s s e l ”“用多段低次保端点高阶连续的样条曲 线做非线形最优化的o f f s e t 逼近；s e d e r b e r g 等一1 用仅有中间控制顶点为区间点 的偶次区间h e r m i t e 插值曲线来进行o f f s e t 逼近；p i e g l 和t i l l e r 。对n u r b s 提出 基于样本点插值的o f f s e t 曲线曲面逼近算法；l i 和h s u 一1 提出基于l e g e n d r e 级数 逼近的方法；f a r o u k i 1 利用双三次h e r m i t e 插值曲面来逼近等距曲面等。以上 方法均在基曲线上取有限个样本点来考核误差，并与分割算法相结合来提高精 度。( 4 ) 不会产生自交的逼近法。如c h i a n g 等。把基曲线上的点与二维网格 点相对应，用图象处理的方法求等距线逼近；k i m m e l 1 在具有精度所需分辨率 的矩形网格上进行小波计算，最终通过对应网格点值的等高线来生成等距曲线 逼近。在异常情况对策研究方面，m a e k a w a 等一。提出了基于子分的区间投影多 面体算法，用于计算平面等距曲线的局部自交点和整体自交点；m a e k a w a 等”1 计算了使管道曲面不产生自交的最大可能半径；m a e k a w a 1 讨论了在显式或 隐式表示下二次曲面的等距面的自交问题；c h e n 和r a v a n i 一提出了用于计算一 般参数曲面的等距曲面上自交曲线的步进算法；a o m u r a 等”提出了计算均匀双 三次b 样条曲面片的等距面上自交曲线的步进算法；v a f i a d o u 等用光线跟踪 方法绘制b 6 z i e r 曲面片的等距面的自交；m a e k a w a 等一1 提出了一种基于 b e r n s t e i n 子分的b d z i e r 曲面片的等距面的自交曲线的计算方法。 至于测地等距线，定义为曲面上沿曲线c 的测地线距离为d 的点的轨迹1 。 3 p a t r i k a l a k i s 等”首次提出n u r b s 曲面上测地等距线的算法；r a u s c h 等。1 和 k u n z e 等”“用测地等距线的方法分别计算了曲面上两条曲线之间的中线和测地 v o r o n o i 图。广义等距曲线曲面的概念最早由b r e e h n e r 。提出；p o t t m a n n 。对它 作了进一步的推广，并应用于自由曲面三轴铣削的无碰撞研究1 。o f f s e t 的最 优化问题为a 1 h a n a t y 等一1 提出，即求一形体，使得其等距线的周长变化最小或 其等距面的面积变化最小，这在固体燃烧和在液体环境下的药物释放中有重要 应用。他们在凸集和星状集范围内给出了最优解。 国际学者围绕o f f s e t 虽然做了以上大量研究，但分析表明，这些工作还有许 多缺陷： 1 p h 条件只是具有有理等距曲线的平面多项式曲线所应满足的一个充分 条件。换言之，p h 曲线只是所有等距线能精确有理表示的参数曲线( o r 蓝线) 的一个子集。那么，0 r 曲线一般形式怎样? 分哪几类? 如何构造它呢? 2 等距面的研究限于p h 曲面及扫掠体和简单实体的表面作为基曲面，对 c a g d 常用的抛物面、双曲面、柱面、锥面、非可展有理直纹面等，其o f f s e t 有理表示尚一无所知。 3 对p h 曲线的插值研究者寥寥，三次情况下曲线无法产生拐点”一，f a r o u k i 的方法仅限于h 插值。对o r 曲线以上的h 插值由于技术难度和复杂计算，更鲜 有人涉足。 f 蚋 4 对o f f s e t 的逼近，以o f f s e t t i n g 控制顶点的多种方法为最简单直观。e l b e r 。1 以逼近曲线所需控制顶点的多少为准则来评价优劣。但所有这些方法都无有效 的手段来控制误差。那么能否精确分析顶点偏移中的误差，给出最优逼近呢? 5 l e e 的基圆包络逼近法所得到的逼近曲线次数太高，对n 次多项式或有 理多项式曲线而言，逼近曲线是3 n 2 或5 n 4 次的有理曲线。那么能否降低逼近 曲线的次数，例如，使其与基曲线同次呢? 又能否把它推广到曲面逼近呢? 我国数学界同仁针对以上论题进入深入研究，取得了一系列结果。吕伟。 一1 和郑建民”利用复分析、重新参数化和代数几何技术，找到了o r 曲线的充 要条件，一般形式，分类及构造方法；f a r o u k i 和s e d e r b e r g 一1 称这一结果为他们 所意想不到的( u n e x p e c t e d ) ，并通过证明抛物线的等距线的亏格为零，从理论上 验证了我们结论的正确性。与此同时，吕伟1 证明了中心线为有理曲线的管 道曲面可有理参数化；证明了椭圆抛物面、双曲抛物面、椭球面、单叶双曲面、 双叶双曲面的等距面都为有理曲面；吕伟与p o t t m a n n 一1 证明了不可展的有理直 纹面的等距面为有理曲面。陈国栋与王国瑾1 利用平面b 6 z i e r 曲线的复数表 示，按插值和p h 、o r 条件，构造了平面五次p h 曲线的h e r m i t e 插值曲线平面 双三次p h 曲线的h e r m i t e 插值曲线和平面八次抛物p h 曲线的h e r m i t e 插值曲 线。刘利刚和王国瑾”给出了基于法矢曲线逼近的等距曲线最佳逼近和基于 球面三角网格逼近的等距曲面逼近算法，远优于国外专家的逼近效果。寿华好 4 1 6 2 】等给出了基于刘徽割圆术的等距曲线逼近算法。 1 3 本文的主要研究内容和成果 本文主要研究了三次p h 曲线和五次p h 曲线以及p h 曲线偶的性质和应用。 本文的研究成果有以下几个方面： l给出了一种构造三次p h 曲线控制多边形的办法 2 用三次p h 曲线偶构造b 6 z i e r l 抽线的等距曲线 第二章基础知识 在后面的章节中，我们要用到b 6 z i e r 曲线以及微分几何方面的一些知识， 为了方便起见，我们对此做一些简短的介绍。 2 1 b 6 z i e r 曲线及其性质【6 3 1 2 1 1b 6 z i e r 曲线的定义和性质 1 定义 给定空间n + 1 个点的位置矢量p fc i = 0 ，l ，2 ，厅) ，则b 6 z i e r 参数曲 线上各点坐标的插值公式是： p o ) = 只骂，。( f ) ， f 【o ，l 】 其中，尸f 构成该b 6 z i e r 曲线的特征多边形，鼠，。( f ) 是珂次b e r n s t e i n 基函数： 刚f ) “卜。2 五南f i ( 1 - 矿。 o - o ，1 ，) o ! = l b 6 z i e r 曲线实例如图2 - 1 所示。 p o 图2 - l 2 1 2b e m s t e i n 基函数的性质 ( 1 ) 正性 删= 雠淼v 乩2 ，棚- 1 ； ( 2 ) 端点性质 、1 1 ( f = o ) 旦嗣2 托釜它。 、1 1 ( f = 刀) 骂m ( 1 ) 2 o釜它。 ( 3 ) 权性 ( f ) - - - 1 t ( o ，1 ) 如 三次b 6 z i e r 曲线 6 由二项式定理可知：马，( f ) ；q ，( 1 一f r 。= 【( 1 一f ) + f r - = 1 ( 4 ) 对称性 ( d = e 。( f ) 因为只。( f ) = c 7 i l 一( 1 一f ) r ( 1 - t ) “= q ，( 1 - t ) = e ，( 1 - t ) ( 5 ) 递推性。 墨。( ，) = ( 1 - ，) 局，一l ( f ) + t b , - 1 n - i ( f ) o = o 1 ，功 即高一次的b e r n s t e i n 基函数可由两个低一次的b e r n s t e i n 调和函数线性组合而 成。因为 b t m u ) = c ：f j ( 1 一f ) ”= ( i c + c 二i - 一1 1 ) ，( t - t ) ”一= ( 1 一f ) c ：- 1 t 。( 1 - t ) ”- 1 卜。+ “z i - y ! 。- 1 ( 1 一r ) ”一h 扣” = ( 1 - 力e 川+ t b , - l , n - i ( ，) ( 6 ) 导函数 捌j o ) = 门 量一。，( f ) 一骂，一。o ) 】， o = 0 , 1 ，珂) ； ( 7 ) 最大值 忍。( f ) 在t = z 处达到最大值。 ( 8 ) 升阶公式 ( 1 - t ) b r 一( ) = ( 1 一斋) ( f ) 崛朋= 等州o ) 耻) _ ( 1 一嘉) i ( ，) 十等l ( r ) ( 9 ) 积分 “( f ) a t = 击 2 1 3b 6 z i e r 曲线的性质 ( 1 ) 端点性质 a曲线端点位置矢量 由b e r n s t e i n 基函数的端点性质可以推得，当t = 0 时，尸( o ) = p o ；当t = l 时，p ( 1 ) = n 。 由此可见，b 6 z i e r 曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。 b 切矢量 7 月h 因为p 7 ( r ) = 甩芝：只【马- 1 ，- 1 ( f ) 一旦，一。( ，) 】= 玎芝：a 只骂，。( f ) ，其中只= 只。一鼻所以当 l = oj - o f = o 时，p ( 0 ) = 巩日一p o ) ，当r = l 时，p ( 1 ) = n c p 一墨i ) ，这说明b 6 z i e r 曲线的起点 和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。 c二阶导矢 ，( r ) = 玎( 竹一1 ) ( 只+ 2 - 2 p , + 1 + 只) 垦，一：( f ) 当t = 0 时，p 。( 0 ) = n ( n - 1 ) ( p 2 2 互+ 晶) ， 当t = l 时，p 。( 1 ) = n ( n - d ( p 一2 只一l + 只一2 ) 。 上式表明：2 阶导矢只与相邻的3 个顶点有关，事实上，阶导矢只与( r + 1 ) 个 相邻点有关，与更远点无关。 将p ，c 。，c 。，及，p c t ，代入曲率公式茁c 。= 止韦装寿掣，可以得到b 包k r 曲线在端点的曲率分别为： 砌，= 等，背 硼，= 寻睑铲 dk 阶导函数的差分表示 n 次b d z i e r 曲线的k 阶导数可用差分公式为： ( 幻2 两n ! 刍n - k 忍，“f 【。，l 】 其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定义： a 只= 4 曩i - a 。1 只 例如： o 只= 只 只= o 只“- a o 只= 只“一只 2 只= a 1 “- a 1 只= 只+ 2 2 只“+ 只 ( 2 ) 对称性 8 由控制顶点只= 。，o = 0 , 1 ，一) ，构造出的新b z i e r 曲线，与原b 6 z i e r 曲线形状 相同，走向相反。因为： c + ( r ) = 只忍，( ，) = 只一。旦，( ，) = 只一，最一协o - t ) = y 只量，( 1 一r ) ，t e o , 1 i ：0t s oi - - - oi - - - o 这个性质说明b 6 z i e r 曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。 ( 3 ) 凸包性 由于骂，( 0 = - 1 ，且o 忍，( f ) 1 ( o s f s l ，i = 0 ，1 ，哪，这一结果说明当，在【o ，l 】 区间型化时，对某一个t 值，p ( f ) 是特征多边形各项项点p 的加权平均，权因子 依次是旦在几何图形上，意味着b 6 z i e r 曲线p ( t ) 在t 【o ，1 】中各点是控制点 只的凸线形组合，即曲线落在构成的凸包之中，如图2 2 所示。 图2 2b 6 z i e r 曲线凸包性 ( 4 ) 几何不变性。 这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。b 6 z i e r 曲线的位置与形状与 其特征多边形顶点p r ( f _ 0 ，1 ，玎) 的位置有关，它不依赖坐标系的选择，即 有： 善nc e ，( f ) = 娄c e 石u - 石a ) ( 参变拿“是f 的置换) ( 5 ) 变差缩减性。 若b 6 z i e r 曲线的特征多边形p o p l 是一个平面图形，则平面内任意直线与 p ( f ) 的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩 减性质。此性质反映了b d z i e r 曲线比其特征多边形的波动小，也就是说b 6 z i e r 曲线比特征多边形的折线更光顺。 ( 6 ) 仿射不变性 对于任意的仿射变换4 ： r 月1 彳( 【p ( f ) 】) = 4 只局，( ，) = 彳 只】e ，( f ) l t = 0j 即在仿射变换下，p ( f ) 的形式不变。 2 2 空间曲线上的f r e n e t 标架州1 9 即在仿射变换下，p ( r ) 的形式不变。 2 2空间曲线上的f r e n e t 标架” 给定r ：r ；r ( s ) 为一c 3 类曲线，其中s 是曲线f 的自然参数。 令 a ( s ) = ，( j ) ( 单位切向量) 。 显然，( s ) 上，( s ) 。设，( j ) o 。令 胁器 则称( j ) 为曲线r 在点s 处的主法向量( 单位向量) 。单位向量，( 3 j i a ：卢! ) 另曲磊f 在点s 处的副法向量。训、( 力和，构成一副标架，称为曲线r 上 f r e n e t ( 伏雷内) 标架，记作【，( s ) ：口( s ) ，声0 ) ，( j ) 】 基本向量a ( s ) 、声( s ) 和，( s ) 的计算 给定曲线f ：r = r ( o ( 一般参数表示) ，它可以写成 r = “s ( t ) ) 于是 f i ( t ) = ( s ) ( s ( t ) ) 2 一( s ) s “( t ) ，( 0 _ ( s ) s 。( t ) ， 因此，( j ) 与共线，r ”、“s ) 和敢s ) 共面( 都在t 点的密切平面上) 。 所以 弘南h 2 丽胪彬弘弼矿 定义2 2 1 对| 享曲线r ；r ；“s ) ，称砷) = l k s ) i 为曲线r 在s 点的曲率，当 k ( s ) o 时，p ( j ) ；去称为曲线r 在s 点的曲率半径。 定理2 2 1 对用一般参数s 表示的曲线f ：r 。“s ) ，曲率 i r r 。i 舻霄。 设给定空间曲线r ：r = s ) 。 副法向量y ( s ) = 口( s ) 卢( s ) 。则 户o ) ：西( j ) 。( s ) 十口0 ) 矽0 ) = 后0 ) ( j ) ( s ) + 口( s ) 矽0 ) = 口0 ) 矽o ) 于是户( s ) 上口( s ) 。 又，o ) 上y o ) ， 所以尹。 定义2 2 2 对于曲线r ：r = “s ) ，设，( j ) o 。 则由户( s 产f ( s ) p ( s ) 所确定 的函数r ( s ) 称为曲线r 在点s 的挠率。 当，( j ) = o 时，规定f ( s ) 5 0 。对用一般参 数t 表示的曲线f ：r = r ( o ，挠率 f ，r 。r ”) 弘可万矿。 l o 黪矽 该定理可用矽表示成群、，的线形组合，然后分别与口、，做内积求得。 2 3 本章小结 由于b d z i e r 曲线方面的知识是本文的基础，如后面的p h 曲线以及用p h 曲线逼近b d z i e r 曲线等都要用到b d z i e r 曲线方面的知识，所以本章介绍了 b d z i e r 曲线的定义和一些性质。另外在后面的章节还要用到微分几何方面的一 些方法和知识，所以在本章也一并做了个简单的介绍。 第三章p h 曲线 3 1p h 曲线基本知识1 定义3 1 对一多项式参数曲线p ( t ) = ( 工( ，) ，j ，( f ) ) ，如果存在另一多项式c r ( t ) ， 使得，2 ( f ) + y o ( r ) = 仃2 ( f ) ，则称p ( t ) 为p h 曲线。 根据这一定义，可以推出p h 曲线的如下定理： 定理3 1 1 1平面参数曲线p o ) ： o ) ，y o ) ) 是p h 曲线的充要条件为 x o ) = 和) m 2 ( d v 2 0 ) 】 ( 1 ) 和 y ( f ) = 2 w ( t ) u ( t ) v ( t ) ( 2 ) 其中，以，) ，u ( t ) 和f ) 分别为非零的实多项式，且“( r ) ，v ( t ) 不同时为常数， ( “( f ) ，v ( t ) ) = 1 ，w ( t ) 为首项系数为1 的多项式。 推论3 1p h 曲线必可表示为： ，( f ) = ( x ( r ) ，_ y o ) ) = ( 卜帕) ( 甜2 ( f ) 一1 ，2 ( f ) ) 出，2 以f ) ( f ) ，( o a t ) 定理3 2由式( 1 ) 、( 2 ) 定义的p h 曲线的次数为五+ 2 k t + 1 ，其中 五= d e g ( w ( t ) ) ，t = m a x d e g ( u ( t ) ) ，d e g ( v ( t ) ) 定理3 3甩次p h 曲线有n + 3 个自由度 平面上的p h 曲线也可以用复数表示，有时反而显得很方便。对于复平面 中的奇数次b 6 z i e r 曲线 2 n + ， p ( 1 ) = p j 哆| ( t ) p j = p 。+ ， ，0 若 p ( f ) = ( q 彤( f ) ) 2 ，q = + 吻 j = o 则p ( t ) 为p h 衄线。 定理3 4具有2 n + 1 次的p h 曲线p ( t ) 的参数化速率可表示为： 2 n 盯( d = 西研”( f ) ， k - o 其中， 1 2 磷= 。f f i m 警a x ( o j c - n ) 塑号掣2 n 型 。 定理3 5e ( t ) 的等距线可表示成有理多项式形式： 只( f ) = ( 勤( ，) ，均) = 其中，d 为等距距离，表示差分， a ( t ) 盯( f ) 小黧 张2 州鲰弼k h l - k kl-kt-max(0 。) 触。 p ：=( ( p 。4 成千( 2 栉+ 1 ) a p d ) c h l 2 。“) c 乞“ , 一2 n n ，；：曲戮k 。西( 2 ”+ 1 ) 印硒c ：k h i - 。k i - k ) c 乞+，；2 k = m a x ( 麓o d2 ( n 西( 2 川) 印“d ) c ：h “) c 乞+ 一一n 3 2 三次p h 曲线 3 2 1 三次p h 曲线的定义 上面讨论了平面参数曲线p ( t ) = ( x ( ，) ，y ( r ) ) 是p h 曲线的充要条件，得到了( 1 ) 式和( 2 ) 式，在通常情况下为了使得曲线没有奇点，取w ( f ) = 1 ，然后将其中 “( f ) ，v ( t ) 用b i z i e r 形式表示。在求三次p h 曲线时，令 u ( t ) = u o b o l o ) + u t b t j o ) ，v ( t ) = v 0 6 0 l ( ，) + v l 岛j ( ，) ， 将它们代入( 1 ) ，( 2 ) 可得三次p hb 6 z i e r 曲线的控制顶点的关系例： p l = 胁+ j 1 ( 吒2 一，砜v o ) 见= a + l ( u o u , 一v l ，h + v o u o ( 3 ) 见= p ：+ 扣一霄，地v 1 ) 其中，岛p 1 p 2 和p 3 为三次p hb 6 z i e r 曲线的控制顶点。 由( 3 ) 式可以得到如下定理： 定理3 6 三次b 6 z i e r 睦线p ( f ) = p o b o j ( t ) + p l b t j ( ，) + 仍6 2 j ( f ) + 岛6 3 j ( f ) 为 w ( f ) = 1 时的p hb 6 z i e r 曲线的充要条件为葺= 上。上2 ，且z p o p l p 2 = z p l p 2 p 3 ，其中 n 彰 p 舯 彰 wp 。厶和厶为控制多边形的边长。 3 2 2 - - 0 ：p h 曲线的性质6 5 1 三次p h 曲线具有以下性质： 性质1 三次p h 曲线的曲率为 = 篙潞。 性质2 三次p h 曲线没有实拐点。 性质3 三次p h 曲线的参数速率为 仃( ，) = q 霹( f ) 。 其中 吼= u 0 2 1 _ v 0 2 ，q = u o u l + v o v i ，c r 2 = u ：+ 吒 性质4 三次p h 曲线的弧长可表示为 s ( f ) = 域3 0 ) 其中 = o ，= q ，k = 1 ，2 ，3 性质5 三次p h 曲线的等距线可表示为 5 q q 群( f )二j f l l 、7 白( f ) = 2 号_ _ 一，0 f 1 鸭覃( r ) 其中 q 瑚纰孵等等+ 恭r 半 d ：互墨! 至墨! 亟墨+ ! ! 垡t a p 2 + 6 a + 3 a p o “ o - 2 + 6 0 r , + 3 c r 2 + 6 q + 3 吼 1 0 0 3 ：3 c r 2 p l + 6 c r , p 2 + o 0 p 3 ! 旦翌一t 3 a p 2 + 6 a + a p 0 3 0 2 + 6 吼+ 3 0 2 + 6 0 r i + c r o 1 0 q 4 = 群3 0 , + 最n 墼5 堂加只+ 鹋 一 + 2 正3 以+ 2 矾 巩 1 4 d 为等距距离，越= 只+ 一只i = 0 , 1 , 2 , 3 , t = 0 1 胡为旋转矩阵 2c r 0 ，q2 ；( 2 吼+ 3 c r o ) ，呸2 亩( c r 2 + 6 q + 3 c r o ) ， 鸭= 去( 3 c r 2 + 6 q + ) ，峨= ( 3 c r 2 + 2 q ) ，略= c r 2 性质6 三次p h 曲线可以用几何参数来表示其等距线，可表示为以下形式： ，l ? 1 1 ( 啦霹( f ) + 砰( f ) + 霹o ) ) 屹o，2骞弓巧o，+dli：乏ijij；：了；i；i：i；i：；i：i_蒜 其中q ，表示向量弓- e o ，昱一只，只一， 表示边向量啊，的夹角 3 2 3 构造三次p h 曲线的几何方法惭1 给定始末点p o ，p 3 及其对应切向量与弦线的夹角口，【o ，2 石】( 如图3 - 1 所示) 。很显然口= 0 ，p =