（计算数学专业论文）延迟动力系统的并行bdf算法.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 f 延迟微分方程( d d e s ) 广泛出现于生命科学、电力工程、自动控制、环境科学、 生态学、电子网络等领域。由于延迟动力系统的复杂性，很难得到理论解的解析 表达式，因此延迟微分方程的数值解法就显得尤为重要。 关于延迟微分方程串行算法研究已经有很多重要的结果。但是对实际工程中 日益涌现的规模巨大、时限要求严格的延迟问题，必须构造相应的并行算法。当 前关于延迟系统的并行计算还很少见有文献出现，许多优秀的求解常微分方程 ( o d e s ) 的算法有待于引申到求解延迟微分方程中来。厂- g 向后微分公式( b d f ) 是一种典型的并被酱遍用于求解常微分方程的线性多步 法，在科学与工程计算中已经取得了广泛的应用。本文首先基于b d f 公式对延迟 系统构造了并行预校算法，给出了算法的局部误差估计和稳定性分析。 考虑用b d f 并行块方法求解延迟微分方程。通过改变传统的b d f 公式的应 用方式，使在每一个计算步中可以确定一组节点上的值，并且使这组节点上的右 函数可以同时计算。 考虑用b d f 并行混合算法求解延迟微分方程。构造7 一类用于求解延迟系统 的b d f 并行混合算法p h m ，算法具有很小的误差常数和较好的稳定性。在p h m 算法的基础上构造了膨p h m 算法。 考虑延迟微分方程的应用，用构造的算法进行了数字仿真。，7 以延迟神经网络 模型和延迟恒化器模型来说明并行b d f 算法的应用，并采取了模拟并行，给出了 算法的部分仿真结果。不同算法仿真结果的相似性以及与实际现象的一致性表明 了算法的可靠性。0 、 关键词：延迟微分方程动力系统b d f 方法并行算法数字仿真 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t d e l a y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ( d d e s ) a r i s ew i d e l y i nt h ef i e l d so fb i o l o g y , e l e c t r i c a lp o w e r e n g i n e e r i n g ，a u t o m a t i o n ，e n v i r o n m e n t a ls c i e n c e ，e c o l o g y ， e l e c t r o n i c sn e t w o r k sa n ds oo n b e c a u s eo ft h ec o m p l e x i t yo ft h es y s t e m s ，i ti sq u i t e d i f f i c u l tt oo b t a i nt h ea n a l y t i cs o l u t i o n s t h u si ti se s s e n t i a lt om a k er e s e a r c ho nt h e n u m e r i c a ls o l u t i o no f d d e s t h e r ea r em a n yi m p o r t a n tr e s u l t s c o n c e r n i n gt h e s e r i a l a l g o r i t h m sf o rd d e s h o w e v e r , w i 血t h ei n c r e a s i n gn u m b e r so fl a r g e s c a l ea n dt i m e l i m i t e dd e l a ys y s t e m si n e n g i n e e r i n g i t i s n e c e s s a r y t oc o n s t r u c t c o r r e s p o n d i n gp a r a l l e la l g o r i t h m s l i r l e a r e n t i o ni sp a i dt ot h ep a r a l l e la l g o r i t h m sf o rd e l a yd y n a m i c a ls y s t e m sc u r r e n t l y m a n y e x c e l l e n tm e t h o d sf o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( o d e s ) n e e dt ob ee x p a n d e df o r s o l v i n gd d e s b a c k w a r dd i f f e r e n t i a lf o r m u l ai sa t y p i c a lk i n do f l i n e a rm u l t i s t e pm e t h o d s w h i c h i sw i d e l yu s e di nt h es c i e n t i f i ca n d e n g i n e e r i n gc o m p u t a t i o n b d fp r e d i c t o r - c o r r e c t o r a l g o r i t h mi sc o n s t r u c t e df i r s t l yi nt h i st h e s i s 1 1 玲l o c a le r r o re s t i m a t i o na n ds t a b i l i t y a n a l y s i sa r eg i v e n b d f p a r a l l e lb l o c ka l g o r i t h mi sp r e s e n t e di nt h i st h e s i s b yd i f f e r e n ta p p l i c a t i o n o f t r a d i t i o n a lb d ff o r m u l a ，ag r o u po fn o d ei sd e t e r m i n e do ne a c hc o m p u t a t i o n a ls t e p ， a n dt 1 1 er i g h tf u n c t i o n sc a nb ec o m p u t e d s i m u l t a n e o u s l y b d f p a r a l l e lh y b r i da l g o r i t h m i sp r e s e n t e di nt h i st h e s i s ak i n do f p a r a l l e lh y b r i d m e t h o di sc o n s t r u c t e df o rs o l v i n gs t i f rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s n ea l g o r i t h mh a s v e r yl i t t l ee r r o rc o n s t a n ta n db e t t e rs t a b i l i t y m p h ma l g o r i t h mi sa l s oc o n s t r u c t e db a s e d o n p h m t h ea p p l i c a t i o n so fd e l a yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa r ea l s op r e s e n t e d t h ed i g i t a l s i m u l a t i o ni s i m p l e m e n t e db a s e do nt h e c o n s t r u c t e da l g o r i t h m s t h ed e l a yn e u r a l n e t w o r km o d e la n d d e l a y c h e m o s t a tm o d e la r ei l l u s t r a t e da s e x a m p l e s s o m e s i m u l a t i o nr e s u l t sa r ep r e s e n t e di nas i m u l a t e dp a r a l l e le n v i r o n m e n t t h er e l i a b i l i t yi s i n d i c a t e db yt h es i m i l a r i t i e so f t h er e s u l t so f d i f f e r e n ta l g o r i t h m sa n dt h ec o n s i s t e n c yo f t h er e s u l t sw i t l l p r a c t i c a lp h e n o m e n a k e y w o r d s ：d e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s d y n a m i c a ls y s t e m s b d fm e t h o dp a r a l l e la l g o r i t h m s d i g i t a ls i m u l a t i o n 1 1 华中科技大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 延迟微分方程的研究意义 自然界和实际工程中的许多动力系统都司以由常微分方程初值问题来描述， 它的形式为： y ( t 三鬻o uy 。c 黧 ， 【) = 妒( f ) ，o “， 7 这里函数j ，( f ) 代表与时间有关的物理量。 然而，为了更加逼真地描述实际情况，有时需要修改( 1 1 1 ) f 抟9 5 边，使导数y 不仅仅依赖于当前的状态，也依赖于过去e l 寸亥l j t f 处y 的值。根据物理现象的复 杂度，延迟量f ( 通常f o ) 可以是常数( 常延迟情形) ，或t 的函数( 变延迟情形) ， 或f 和y 的函数( 状态依赖情形) 。系统 y ( ) 。，( f ，j ，( ) ，y ( 一7 ) ) ， t o , t 1 ( 1 【y ( f ) = f o ( t ) ，f 【r o f ，t o 】 、 称为延迟微分方程初值问题。其中妒：【t 。一f ，f 。】一c “和 厂：【f 。，+ m ) x c ”c ”哼c ”是给定的充分光滑的映射，且设存在某一范数”l i 和正 数l ，m 使得f 满足经典l i p s c h i t z 条件： | f f ( t ，x 1 y 1 ) 一f ( t ，x 2 y 2 ) f i 三i ix l x 2f f + m | f y l y 2 f ，v x i ，x 2 ，y t y 2 c “，( i 1 3 ) 许多情况下系统还有多个延迟项( 多延迟情形) ，其形式如下： y 吁v 7 ) ，y ( t - r j ) ，y ( t - r 2 ) ，y ( t - r , ) ) ，r 【f o ，明，叭4 ) 【y o ) = 妒( r ) ，r 【岛一f ，f 。】， 、 其中k 为延迟项的数目，0 r ，r ( 1 i k ) 是常延迟，r = m a ) 【 ， ，其余各符号 l s s 渣黝i 墓 华中科技大学硕士学位论文 意义同( 1 1 2 ) 。 延迟微分方程在生命科学、电力工程、自动控制、环境科学、生态学、电子 网络等诸多领域中有着广泛的应用。 一般来说，常见的延迟微分方程中，只有极少数能够获得理论解的解析表达 式，因此延迟微分方程的数值方法研究显得十分必要。本篇论文研究的就是延迟 微分方程的数值解法。 1 2 延迟微分方程的理论研究现状 大量现有的延迟微分方程数值解文献主要讨论数值方法的线性稳定性。在较 早的年月里，人们往往认为延迟微分方程的数值方法于常微分方程的数值方法没 有区别，因此没有必要加以特别的研究。事实并非如此。用通常的线性多步法或 r u n g e k u t t a 方法求解延迟微分方程，其数值稳定性的分析，要比用它们求解常微 分方程问题时复杂得多。历史上，l a p l a c e 和p o i s o n 等科学家曾经注意过延迟微分 方程。从六十年代起，人们开始研究延迟微分方程的数值解。1 9 7 5 年b a r w e l l 1 】 首次引入了p 一稳定性和g p 稳定性的概念。其后，大量的文献研究数值方法的p 一 稳定性和g p 一稳定性。1 9 8 5 年w a t a n a b e 和r o t h 2 对线性l a g r a n g e 插值的线性多 步法证明了a 稳定等价于g p 稳定。1 9 9 0 年刘明珠和s p i j k e r 3 详细讨论了0 一方 法的稳定性。1 9 8 9 - 1 9 9 2 年t o r e l l i 4 研究了基于非线性模型问题的数值稳定性， 首次引入了r n 稳定性和g r n 稳定性。1 9 9 7 年黄乘明 5 d i 入了g a r - 稳定和弱 g a r 稳定等新的非线性稳定性概念。关于更为复杂的中立型延迟微分系统中立型 延迟微分系统( n e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a l 励u a t i o n s ，简称n d d e s ) 的数值解法 的稳定性也取得了很多成果，这些讨论可参见t o r e l l i 6 ，7 】、张诚坚和周叔子 8 ，9 】 等人的工作。 关于算法的收敛性问题，基于经典l i p s c h i t z 条件的收敛性研究已获许多重要 结果。然而对于刚性问题来说通常l i p s c h i t z 常数是极其巨大从而导致了经典理论 严重失实，因此，1 9 9 7 年张诚坚和周叔子 1 0 对一类刚性延迟微分方程率先提出 华中科技大学硕士学位论文 了d 一收敛性的概念，从而获得了理论上的突破。继而黄乘明 5 】、张诚坚 1 1 1 等在 此基础上深入地讨论了变系数方法、单支方法、r u n g e k u t t a 方法、一般线性方 法的d 一收敛性质，并获得了系列d 一收敛性的结果。 总的说来，近年来关于求解d d e s 的数值方法与理论已引起了人们的广泛关 注，同时也获得了不少具有深远意义的理论成果。 1 3 延迟微分方程的算法研究现状 对于延迟微分方程( 1 1 2 ) 的各种串行算法已经大量涌现。但随着科学技术的迅 猛发展，工程与科学研究领域中涌现了一系列规模巨大、时限要求严格的延迟问 题，而传统的基于v o nn e u m a n 的串行算法难以解决这类问题。因此，构造延迟大 系统的快速算法便势在必行。要提高算法的运算效率，并行计算是一行之有效的 途径。 并行技术是新一代计算机结构体系研究和应用领域的前沿，也是计算数学领 域新兴的有广泛应用前景和背景的分支。尽管并行计算技术发展历史不长，但在 计算数学地多个传统研究与应用领域中都已取得了令人瞩目的进展，开发出了一 系列切实可行的并行算法。 并行计算机按信息流可分为s i s d 、s i m d 、m i s d 和m i m d 等类型，目前常 用的是s i m d 和m i b t d 型并行机。并行计算机是并行算法的物质基础，它的出现使 计算方法进入并行化的新阶段。并行算法，简单地说就是适合在并行计算机和向 量计算机上求解问题的数值方法。1 9 8 0 年k u n g 将并行算法定义为“多个并发进 程的集合，这些进程同时并相互协作地进行运行处理，从而达到对给定问题地求 解”。并行算法按进程可分为同步算法和异步算法。近年来随着计算机工业的发展 和计算机网络的兴起，特别是集群计算机和l i n u x 操作系统的出现，大型的并行 处理机和分布式网络正在逐渐普及，并行计算正在逐步走向普通用户。 仿真技术通过模型间接地研究对象或过程的规律。数字仿真是建立动力学系 统的仿真模型，并对其进行试验的过程。数字仿真已是独立于理论研究、实验研 究的一种基本的科学活动，而不再仅仅是理论研究和实验研究的辅助手段。科学 华中科技大学硕士学位论文 家和工程师的理论研究，以及解决实际问题能力的提高常常受益于仿真。而对实 际工程中规模巨大、时限要求严格的延迟问题，必须考虑并行数字仿真。 然而，以往并行计算主要针对非延迟系统，对于延迟系统的并行计算国际上 目前还很少见有文献出现。甘四清和张诚坚在文献 1 2 】中利用多步r u n g e - k u t t a 方 法构造了一类延迟问题并行算法，但其计算量大，计算精度不够理想。为此，张 诚坚和余红兵在文献 1 3 1 中进一步构造了另一类并行预校算法，给出了算法的局部 误差估计，且用数值试验表明算法无论从计算量还是计算精度来说都具一定的可 比性。目前，延迟问题的并行算法研究仍方兴末艾，许多优秀的o d e s 算法如并 行块方法、并行混合方法还有待于引申到求解延迟微分方程中来。 1 4 本文的解决方案 1 9 8 4 年s c h e n d e l 指出，对大多数s i m d 计算机而言，构造并行算法的一个重 要原则是从串行算法开始并将之转换成向量处理器上可执行的程序。遵循这一原 则，本篇论文首先考虑用串行算法求解延迟微分方程( 1 1 2 ) ，然后将其转换成能够 在并行计算机上运行的并行算法。 向后微分公式( b d f ) 1 4 是一种典型的并被普遍使用的线性多步方法。特别是 其改造形式g e a r 方法以其计算格式简单、每步计算量小等优点，在科学与工 程计算中已经取得了广泛的应用，深得广大工程技术人员的欢迎。它同时还具有 单支方法高稳定性能的优点，在非线性稳定性等方面优于其它任何同阶的隐式线 性多步法 1 5 】。本篇论文考虑用并行b d f 算法求解延迟微分方程( 1 1 2 ) 。 第二章在吸取前人的优秀思想和经验的基础上，首先基于b d f 公式首先对延 迟系统( 1 1 2 ) 构造了串行算法，然后通过将预估式提前一步，将其转换成能够 在并行计算机上运行的并行算法。对于延迟问题给出了算法的局部误差估计和稳 定性分析。本章对刚性延迟微分方程也构造了相应的b d f 方法，并对算法进行了 简化。 第三章考虑用b d f 并行块方法求解延迟微分方程( 1 1 2 ) 。块方法在单独一个 积分步中可以得到一组节点上的近似值。本章通过改变传统的b d f 公式的应用方 4 华中科技大学硕士学位论文 式，使在每一个计算步中可以确定一组节点上的值，并且使这组节点上的右函数 可以同时计算。这类算法的并行程度较高，因为在求解( 1 1 2 ) 的过程中，主要计算 量集中在右函数的计算上，而右函数的计算可以达到高度的并行化。它特别适宜 在流水线向量计算机上实现。虽然块方法在计算的过程中需要同步，但仍有很高 的并行度。特别当较大时，这类算法的并行程度很高，在流水线向量计算机上 实现是高效的。 第四章考虑的就是用b d f 并行混合算法求解延迟微分方程( 1 1 2 ) 。b d f 并行 混合算法既包含线性多步法l m m 的某些特征，又和r u n g e - k u v t a 方法一样，除了 利用网格点的信息外，还利用离步点的信息。与l m m 方法相比，它有较好的稳 定性：与r u n g e k u t t a 方法相比，它有较小的计算量。首先构造了一类用于求解延 迟系统的b d f 并行混合算法p h m ，其计算速度与传统的向后微分公式b d f 基本 相同，但算法能用两个处理器并行实现，而且从实质上改善了传统的b d f 方法的 数值稳定性。数值实验表明该算法具有很小的误差常数，具有明显的优势。本章 还在p m ，i 算法的基础上构造了m p n 订算法。 第五章考虑了延迟微分方程的应用，并用以上构造的算法进行了数字仿真。 本章以延迟神经网络模型和延迟恒化器模型来说明并行b d f 算法的应用，并采取 了模拟并行，给出了算法的部分仿真结果。不同算法仿真结果的相似性以及与实 际现象的一致性表明了算法的可靠性。 本篇论文只考虑( 1 1 2 ) 常延迟的情形，即r 0 是一个常的延迟量，用定步长 求解，步长h = 二，m k 为一正整数。由于从单延迟推广到多延迟不存在实质性 , 的困难，因此本文中的所有算法均可以推广到多延迟( 1 1 4 ) 的情形。 按本文的类似处理，对通常的线性多步公式均可以得到相应的并行算法。 。娥戡i 华中科技大学硕士学位论文 2 1 概述 2b d f 并行预校算法 对于延迟系统( 1 1 2 ) 的各种串行算法已经大量涌现。但随着科学技术的迅 猛发展，工程与科学研究领域中涌现了一系列规模巨大、时限要求严格的数值计 算问题，而传统的基于v o nn e u m a n 的串行算法难以解决这类问题。因此，构造延 迟大系统的快速算法便势在必行。要提高算法的运算效率，并行处理是一行之有 效的途径。 然而，以往并行计算主要针对非延迟系统，对于延迟系统的并行计算国际上 还很少见有文献出现。甘四清和张诚坚在文献【1 2 】中利用多步r u n g e k u t t a 方法构 造了一类延迟问题并行算法，但其计算量大，计算精度不够理想。为此，张诚坚 和余红兵在文献【1 3 】中进一步构造了另一类并行预校算法，给出了算法的局部误差 估计，且用数值试验表明算法无论从计算量还是计算精度来说都具一定的可比性。 向后微分公式( b d f ) 1 4 是一种典型的并被普遍使用的线性多步方法。特别是 其改造形式g e a r 方法以其计算格式简单、每步计算量小等优点，在科学与工 程计算中已经取得了广泛的应用，深得广大工程技术人员的欢迎。它同时还具有 单支方法高稳定性能的优点，在非线性稳定性等方面优于其它任何同阶的隐式线 性多步法 1 5 1 。 对常微分方程初值问题，刘德贵和费景高等 1 6 1 给出了串行的预校算法和并行 的预校算法的特征，并给出了计算前沿面的概念；徐绪海和朱方生 1 7 】对刚性问题 构造了b d f 方法并作了简化。 本章在吸取前人的优秀思想和经验的基础上，首先基于b d f 公式首先对延迟 系统( 1 1 2 ) 构造了串行算法，然后通过将预估式提前一步，将其转换成能够在 并行计算机上运行的并行算法。对于延迟问题给出了算法的局部误差估计和稳定 性分析。本章对刚性延迟微分方程也构造了相应的b d f 方法，并对算法进行了简 化。 6 华中科技大学硕士学位论文 2 2 串行的b d f 预估一校正算法 向后微分公式b d f 的形式如下 k - 1 y + 。= 威y 。? + h p ：j q 。t ，y + 。k ，y 。t 0 q 2 u f t 0 通过确定系赘x 9 7 ( i = 0 , 1 ，k 1 ) 和厦，使得方法( 2 2 1 ) 的最大可能的精度阶 p = k 。它一般是一个非线性隐式方程，求解时可先用一个显式公式预估的值。我 们可以将预估公式的形式取为： k - t 只+ i = 口，此。+ h f l k f ( t m j ，儿“- l ，以“一h ) ( 2 2 2 ) i = 0 选取其中的系数口，( f = 0 , 1 ，k - t ) 和屏，使得( 2 2 2 ) 的精度阶p 也是k 。 可以把b d f 显式公式与隐式公式联合起来使用，前者提供预测值，后者将预 测值加以校正，使其更精确，这类方法称为预估一校正法。所用的两个公式，分 别称为预估公式( p r e d i c t o r ) 和校正公式( c o r r e c t o r ) 。使用这种预估一校正公式有以 下三种方案： 1 ) 直接将b d f 显式公式和隐式公式联合使用，仅考虑一次校正，称之为简单的 预估一校正法，它具有以下形式： p ：歹。+ 。= 口，y 。+ + h p , a + 女一， e ：厂m 2 ( ) ，m ，y n + k - m ) ， ( 2 2 3 ) t i 、 c ：y 。= a ? y 。+ 碱7 。， e ：工+ = f ( t m ，y ，y m 一。) 然后进入下一点的计算，这样每一步上对右端函数进行了两次估计，称为p e c e 公式。这种方案的最终结果y 。一般并不准确满足校正公式。我们希望得到的计 算结果+ 。应能够满足校正公式 华中科技大学硕士学位论文 y ：+ 。= c r 7 y 。+ ，+ h p ；y 2 。 所以为了提高计算结果的精度，还需要用迭代的方法对y 。加以改进，使之更接 近y ：+ 。 2 ) 于是我们有第二方案： p ：y m o l = q y 。+ h p k f m l ， e ：j f 。n i + o 女! = f ( t n + k ，y 。l o + l t ，y 。+ i 。) ， c ：y 脒】_ 艺口k + 懈业：， ( 2 刎 e ：f n s + 1 1 = f ( t 。+ t ，l ，。 s + + t t l ，y 。+ ，) s = 0 12 - 一 由于每一步的计算过程中都使用了迭代法，所以称这种方法为迭代的预估一 校正法。这种方法虽然能够改善计算结果，但由于每一步都要进行若干次迭代， 这就使计算工作量大为增加。假设预估公式和校正公式的局部相容阶均是p 阶的， 它们仅系数不同，因此，可以用预估值和校正值的组合来表示局部截断误差。于 是便可以用计算结果来修正公式以达到条精度的目的，因此称这种方案为修正的 预估一校正法。这一方法的具体计算格式将在下一节中给出。 2 3 并行的b d f 预估一校正算法 2 3 1 算法的构造 串行的预校算法的预估计算与校正计算之间有着很强的数据依赖关系。为了 说明这一点，先回顾一下计算前沿面的概念。所谓计算前沿面，是用某个数值算 法把要计算的前面各个值与后面已经计算的所有的值分割的虚的直线 1 6 】。例如， 公式( 2 2 3 ) 的计算过程可以用图( 2 1 ) 表示： 华中科技大学硕士学位论文 图2 1串行p c 方法( 2 2 1 ) 的信息流 图( 2 1 ) 中上面的直线表示预估值，下面的直线表示校正值，而虚线就是计算的前 沿面。从图中可以看出，前沿面前头的计算依赖于前沿面两边的信息，即串行的 预校算法的预估计算与校正计算之间有着很强的数据依赖关系。这是串行的预校 算法的特征。 基于b d f 方法【1 4 】和k n z 【1 9 】对d d e ，的并行思想，并受文献【1 3 】的启发，对 延迟系统( 1 1 2 ) 构造了一类b d f 并行算法： rk - i f p ：歹。+ t + l = 口i 歹。“+ 口。y 肿+ h f l f ( t n + k y 。+ i ，y n * k - m ) ； ( 2 - 3 1 1 口) lc ：y 。+ i = ：x - ia ：y 。+ + h f l 。f ( t 。+ i ，歹。+ 女，；。+ 。一，) ( 2 3 l + 1 6 ) l j 0 其中：y ，y ，分别是作为预估值和校正值的真值y ( f ，) 的逼近。设预估式和校正式的 局部相容阶都是p 阶的，即满足如下条件： ( 七+ 1 ) 9 = i q a ，+ g 尻k 川 q = 1 “2 一， j l i t - i k 9 = z i 9 口，+ q f l k 川g = l “2 一，p ，= 0 ti - i 口，= l ，口，= 1 华中科技大学硕士学位论文 方法( 2 3 i 1 ) 的信息流如下： 前沿面 图2 2p p c 方法( 2 3 11 ) 的信息流 从图( 2 2 ) 中可以看出，前沿面的前面的点的计算仅仅依赖于前沿面的后面的点的 信息，这是并行计算的特征。注意到这种并行计算方式是通过将预估式提前一步 而实现的。 在忽略同步和通讯开销不计的情况下，其相对于同阶串行预估校正算法并行 效率将接近于1 。 2 3 2 局部截断误差分析 记式( 2 3 1 1 ) 自精确值出发计算一步所得预估和校正的逼近值分别为 【0 li l y 。+ i = 口，y ( t 。+ ) + h f l k f ( t n + k - i ，y n + k - 1 ，y n + k - l - m ) ( 2 3 2 1 ) ，1 0 ( 2 3 2 2 ) 这里已经将( 2 3 1 1 ) 中n + l 用n 代替 假设预估式与校正式的局部误差阶均是p ，则由泰勒公式，得 肌沪酗肌j ) + 印t 厂( t n + k - i n + k - l - m )( 2 3 2 3 ) + c 。“h 9 + 1 _ y 9 + 1 ( ，。) + d ( 矗9 + 2 ) o 卜肿_ y 肿y肿o厂锻 肿0 口 m l i 肿y 华中科技大学硕士学位论文 肌t ) = y 。e ；y ( t o + ) + h f l ；f ( t m ，只一只一m ，阻2 4 1 + c ：+ l h 9 + j y 9 “( r 。) + d ( 矗9 + 2 ) p2 书h d 誓p “铲。+ 1 溉扩1 ( 2 。2 ， 卜2 赢一善，”小( ，+ t ) f l i k 9 】 。 y ( t ) 一y m = c p + l h 川y 川( r 。) + 0 ( 9 + 2 ) ；( 2 3 2 6 ) y ( t 。t ) 一y 。+ e = h f l k f f 3 ( t 。+ t ，y ( t 。+ 。) ，y 怂一。+ ”( 】，( f n + k - m ) 一y 黔一。) ) m ( y o n + k - m ) 一y 。 0 1 i 一。) + j a ( t 。+ ，y 。1 0 + 1 t + v ( y ( o + ) 一，y 。 o “l - ，、，y 。 o + l 女一。) d v ( y ( ，。+ i ) 一y 肚) 】+ c ；“h 9 y 9 “( ，。) + o ( 9 + 2 ) ；( 2 3 2 7 ) 其中，( ，) 表示厂( ，) 关于第i 个变量的偏导数( i = 2 , 3 ) ，将( 2 3 2 6 ) 式代入 y ( f n + t ) 一，。+ t = 【六( + t ，( o + t ) ，j ，黔一，+ ( y ( f n + k - m ) ，他一。) a u o ( h ，+ 2 ) f f 五以一j ，黢+ v ( j ，( ，。) 一j n 坤+ h k ) ，j ，黔一。) 伽o ”1 ) + c 二l h y + 1 p ) + 1 9 ( 9 + 2 ) ；( 2 3 2 8 ) ”地j 嘏甜( y g 。卜, 1 0 1 。) 协| m f ( ，一，j ，黔+ v ( y ( k t ) 一j ，观) ，y 黔一。) 】咖工 故由式( 2 3 2 8 ) 、( 2 3 2 9 ) 和( 2 3 2 1 0 ) 蝴- ( 2 3 2 9 ) ( 2 3 2 1 0 ) y ( f 。+ i ) 一y 。+ = c ；“h 9 + 1 y 9 “1 ( f 。) + o ( 矗9 + 2 ) ； ( 2 3 2 1 1 ) 由此可见，若预估式和校正式均为p 阶，则式( 2 3 1 1 ) 的局部截断误差阶为p 华中科技大学硕士学位论文 阶。 下面讨论上一节的修改的预校算法的计算格式。 由式( 2 3 ，2 6 ) 与式( 2 3 2 1 1 ) 得 f o l y ( f 肿i ) 一y 肿i = ( c ，+ l c ：+ 1 ) p + lj ，9 “( f ) + o ( h 9 + 2 ) ； 即 【o j h p * l y 9 + 1 ( f 。) = ( y ( r 肿t ) 一y 。+ i ) ( c ，“- c ；+ 1 ) + o ( p + 2 ) 式( 2 3 2 6 ) 和( 2 _ 3 2 1 1 ) 清楚地表明，利用预估值和校正值能够非常容易地得到局部 截断误差估计。如上节所述，将这个估计加在原来的预估式和校正式上可以改进 预测值和校正值的精度。这个办法对预测式是成功的，但对于校正式来说，这样 做将改变方法的稳定性( 通常使稳定性变坏) ，所以一般不考虑对校正式的修正。 由此得到修正的预估一校正法： p ：媲= o t i y # + ，+ 馋五。， p ：- - i o i = m ) 1 0 l 女+ 万兰 ( n m l 一“y l o l ) ， v p + i- p “ e ：搿：f ( t m ，y - m 0 1 ，y + k - r n ) ， c ：y m = 口? y 。+ 慨m f t o j ， e ：+ i ：i ， = o ( f m ，y m ，y 一。) 2 3 3 稳定性分析 在讨论方法( 2 3 1 _ 1 ) 的稳定性之前，我们首先考虑相应的o d e , 方法 k l p ：歹。+ “。= 口。歹。+ 。+ 口，j ，。+ ，+ h f l k f ( t 。+ 。，歹。+ + ) ； 4 1 ( 2 3 3 1 ) c ：y m = a ；y 。+ h f l k f ( t 。，y 。) 1 0 应用方法( 2 3 3 1 ) 解标量线性模型方程 y ( f ) = 砂( ，) r e 3 , 0 ( 2 3 3 2 ) 1 2 华中科技大学硕士学位论文 导致差分方程 y ( ”) = 肘( 再) y 【“ ( 2 3 3 3 ) 其中y ( ”) = ( y 。，n 。，y 。，歹。+ 。) 7 ， 再= 厅兄，i k 一。为( | j 一1 ) 阶单位矩阵， 厕，= 鼍铲卜枷啡枷地两= i o ：毫茏象碱 由差分方程理论，易知l i m y ”= 0 当且仅当 p k ( 址1 ( 2 3 3 4 ) 这里户 】代表矩阵的谱半径。则方法( 2 3 3 1 ) 的稳定域由以下集合决定 ：每c i p k ( 耐 1 其中c 一= 扛c i r e z o ) 进一步，我们考虑标量延迟微分方程组 f ，( f ) = 砂( f ) + - , y ( t f ) f o ，t 】 l y ( f ) = 妒o ) t 一r , o 】 v k b a r w e l l 1 9 指出当卿五满足： i i o 是积分步长，诸a ，口，鼠，成，v 和，是实常数，且恒设尻，+ ，0 ， n + ，y ( t 。) ，y 。y ( t ) ，式( 4 2 1 a ) 和( 4 2 1 b ) 的局部截断误差分别为 女- tl 1k - 1 硝：= ( 1 萎m + 善去( 舻一= o c t i q - - f i t 非” ，o u4 1 1 一声。q v 4 。) h 4 y 9 ( ，。) + o ( h “1 ) k - 2k l1k - 2 r 黜= ( 1 。萎0 口o _ y ( u + 蕃毒( 伊一丢口? ， l o 4 j1 ，= u 一：9 1 ，9 。) 4 y 4 ( f 。) + d ( 厅“。1 ) 它们分别达到k 阶和k 1 阶的条件是 i lk l 口j = 1 ，q 9 + q f l k k + 碱v = k q , q = l ，2 ，k j = oj = o q = 1 , 2 ，一，_ j 一1 此时方法( 4 2 1 ) 是k 阶的。 对于任意给定的v 0 ，1 ，2 ，k 及，只要v 满足条件 k 一2 ( k 一2 ) 2 ( k 一2 ) 3 后一3 ( k 一3 ) 2 ( k 一3 ) 3 k 一4 ( k 4 ) 2 ( i 4 ) 3 k 一2 ) 。( 七一3 ) 。( 七一4 ) 。1 211 412 v 813 v 2o ( 4 2 2 ) ( 4 2 3 ) ( 4 2 4 ) 就可从方程( 4 2 ，4 ) 唯一地解出方法( 4 2 1 ) 的其余系数，因此公式( 4 2 1 ) 和 ( 4 2 4 ) 可视为含有两个自由参数v 和展的一