（应用数学专业论文）一类非齐次moran集的hausdorff测度.pdf

太原理t 人学坝 ：训究生学位论义 一类非齐次m o r a n 集的h a u s d o r f f 测度 摘要 自相似分形集的h a u s d o r f f 预q 度的研究一直是国内外研究的热点问题， 也是一个难点问题。到目前为止，只给出了少数非常规则的分形集的 h a u s d o r f f 钡l j 度( 如三分c a n t o r 集) ，即使对k o c h 曲线如此经典分形集，其 h a u s d o r f f 测度也只有估计结果。近年来，人们将注意力更多地集中在了齐 次c a n t o r 集与m o r a n 集的研究中，瞿成勤和周作领对一类齐次m o r a n 集的 h a u s d o r f f 测度进行了讨论，并得到了精确表达式。本文也主要着眼于分形 集h a u s d o r f f 钡r j 度的讨论，给出了满足开集条件自相似集的h a u s d o r f f 测度 的等价公式，并获得了一类非齐次m o r a n 集的h a u s d o r f f 测度。 本文的主要研究工作： 首先，通过引入r a d o n n i k o d y m 导数与绝对连续的概念，证明了存在 一个测度，使得h a u s d o r f f 测度对j 的r n 导数存在，并以此为基础，给 出了h a u s d o r f f 钡j j 度的等价定义。获得以下定理 定理2 4 1 设e 为满足开集条件的自相似集，s ：d i m e ，则有： 】) 存在一个测度，使得掣存在； a u 2 ， 州耻烈”薹多c 多警 3 ”占，则 ( 耻石n l i m i n f ( 珥挈少 本定理的意义在于给出了此类分形集的h a u s d o r f f n i 度的精确计算公式。 最后，对一种“方形花状”分形集的h a u s d o r f f 钡j 度进行了细致考察， 得到该分形集h a u s d o r f f 测度的计算公式与估计： 定理5 2设f 是“芳形花状，分形集， 对，z 】，1s 吒5 ”，设 ，e 吆 f ：- ，见) ，且是，上一般的概率测度，( f n ，) = c ：c ：c ： ( f ，= 三，1 ，sn 嘏t 糕h 掣鼍。訾。斟m 芦i n 。溉一 a 0 ，使得a 。a ( n = 1 , 2 ) ，那么h5 ( f ) a 定理5 3 对”1 ，定理5 3 中a n 递减，j l l i m 。口。= 日、( e ) 。 定理s 4“方形花状”分形集的h a u s d o r f f 测度满足以下估计式： 口，钏i 广2 日一( f m ， 关键词：分形，自相似集，m o r a n 集，h a u s d o r f f 测度，质量分布原理 太原理t 人学坝i i j i 究生学位论义 h a u s d o r f fm e a s u r e s0 fac l a s s0 f n o n h o m o g e n e o u sm o r a ns e j 、s a b s t r a c t t h eh a u s d o r f fm e a s u r eo fs e l f - s i m i l a rs e t si sn o to n l yaf o c u sb u ta l s o am o r ed i f f i c u l tq u e s s t i o n a tp r e s e n t ，o n l yal i t t l eo fh a u s d r f fm e a s u r eo f r e g u l a rf r a c t a la r eg i v e n ( s u c ha st r i c a n t o rs e t ) e v e nf o rk o c h c u r v es ot y p i c a l f r a c t a l ，i t sh a u s d o r f fm e a s u r ei so n l ye s t i m a t e d r e c e n t l y , p e o p l ep a ym o r e a t t e n t i o nt oh o m o g e n e o u sc a n t o rs e ta n dm o r a ns e t ，c h e n g q i nq u ，z u o l i n g z h o ud i s c u s s e dt h a tt h eh a u s d o r f fm e a s u r eo fac l a s so fh o m o g e n e o u s m o r a ns e t s ，g a v ei t sp r e c i s ee x p r e s s i o n i nt h i sp a p e r , i ti sm a i n l yd i s c u s s e d t h a tt h eh a u s d o r f fm e a s u r e s ，g i v e na ne q u i v a l e n td e f i n a t i o no fs e l f - s i m i l a r s e ts a t i s f i e do p e ns e tc o n d i t i o na n dah a u s d o r f fm e a s u r eo fac l a s so f n o n h o m o g e n e o u sm o r a n s e t s t h em a i nr e s e a r c hw o r ki sd e s c r i b e d ： f i r s t ，s h o wt h a tt h e r ee x is tam e a s u r e u ，s u c ht h a tt h er nd e r i v a t i v eo f h a u s d o r f fm e a s u r ef o r e x i s tb yr a d o n n i k o d y md e r i v a t i v e a n da b s o l u t e c o n t i n u o u s b a s e do ni t ，g e tae q u i v a l e n td e f i n i t i o no f h a u s d o r f fm e a s u r e t h ec o n c l u s i o n sa sf e l l l o w ： t h e o r e m 2 4 1 l e tei sas e l f - s i m i l a rs e ts a t i s f i e do p e ns e tc o n d i t i o n ， s = d i m he ，t h e n ： 1 ) t h e r ee x i s tam e a s u 唧，s u c h t h a t 等e x i s t ； 2 渺c 耻删”薹砉c 多等 3 ”，t h e n 州驴石n l i 凹f ( 枣弘) t h i r d l y , d i s c u s s e dh a u s d o r f fm e a s u r eak i n do f“s q u a r ef l o w e r ”，g e ti t s e s t i m a t e ： t h e o r e m 5 2l e tfi s a s q u a r ef l o w e r f r a c t a l ，f o r 刀1 , 1 k 。5 ”， 吼f n 、，f 吒姆：j d 3 ，p i sa p r o b a b i l i t y m e a s u r eo nf ， ( ，) = c 弑c s ( c 。 = 三，1 - ，门) 。 l e t 2 嘏t 豁h 毋。弩 口n 。婴璺鲰， i 。s 5 ” ” e x i s tc o n s t a n ta 0 ，s u c ht h a t a 。彳( 胛= 1 , 2 ) ，t h e nh ( f ) a t h e o r e m 5 3f o r n 1 ，t h ea 。d e c r e a s e sa n d l i m a ，= h 、( ) + 0 2 t h e r e t h e o r e m 5 4h a u s d o r f fm e a s u r eo f “s q u a r ef l o w e r f r a c t a ls a t i s f i e st h e e s t i m a t i o n ： 口j ，p 一釉i “州( f h k e yw o r d s ：f r a c t a l ，s i m i l a rs e t ，m o r a ns e t ，h a u s d o r f fl n e a s u r e ，t h en l a s s d i s t r i b u t i o np r i n c i p l e i v 芦明尸叫 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 论文作者签名： 潼玲留、荔 | 日期： w 8 6 6 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解太原理工大学有关保管、使用学位论文的规定，其 中包括：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印 件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文； 学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为：目的， 复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 签名： 导师签名：疲纽疆、 日期：超： ：! 太原理工人学硕十研究生学位论义 第一章引言 自然界大部分不是有序的，稳定的，平衡的和确定的，而是处于无序的，不稳定的， 非平衡的和随机的状态之中，它存在着无数的非线性过程。自然界中出现的诸如云层的 边界，山脉的轮廓，雪花，海岸线等“不规则”的几何形体。流体力学当中的湍流，物 理中的临界现象与相变，化学中酶与蛋白质的构造，生物中细胞的生长，工程中的信号 处理，噪声分析等自然科学中不同领域的大量“不规则”几何现象都难以用经典几何描 述。分形几何正为解决这样的问题提供了有力的工具。 分形几何研究所借助的主要工具之一是分形的许多形式的维数。如h a u s d o r f f 维数， 计盒维数，填充维数等，见文献 1 。这些维数用以度量一个分形的不规则性和裂碎程 度，从几何角度看，则反映了集合的填充空间的能力是描述集合分形特征的重要参数。 分形几何研究所应用的另一个工具是集合的h a u s d o r f f 测度。测度，作为度量集合 大小的工具，原本是b o r e l 与1 8 9 5 年提出的。1 9 1 5 年c a r a t h e o d o r y 给出了线性外测度， 即一维外测度的构造，他宣称这种外测度可以被扩展成s 一维测度，s 为月”中的任意整 数。1 9 1 9 年h a u s d o r f f 指出对非整数s 仍然可以构造类似这种测度，并给出了三分c a n t o r 辅- ( 1 0 9 9 3 ) 一维正测度的例子。从此，这种测度就被称为h a u s d o r f f 测度。所以， h a u s d o r f f 测度就是长度，面积，体积在非整数s 维空间上的推广。 在各种分形集中，自相似分形集是很重要的一种，它有一些很好的性质。见文献 2 。 1 9 8 1 年，h u t c h i s o n 于文 3 把用“相似”递归步骤产生的自相似集的方法一般化，给 出了开集条件( o p e ns e tc o n d i t i o n ) 的定义。满足开集条件的自相似分形的h a u s d o r f f 维数，计盒维数，填充维数均与其自相似维数相等，其中自相似维数是容易计算的，h 在此维数下分形的h a u s d o r f f 测度是正有限的。b a n s l e y 和d e m k o 于1 9 8 5 年文 4 引入 了产生和分类分形集的统一方式：迭代函数系统( i n t e r a c tf u n c t i o n ss y s t e m ) 。许多经典 的分形可以利用i f s 产生，如c a n t o r 三分集，s i e r p i n s k i 挚片等。关于i f s 数学理论及 应用方面的专著，以b a n s l e y 文 5 为代表。f a l c o n e r 在文 6 中得出了一个很好的结论： 对于一个一般的自相似分形( 不必满足开集条件) ，它的计盒维数，h a u s d o r f f 维数，填 充维数是相等的。这不仅使得对于一些分形集的维数计算变得容易，而且对讨论分形的 测度带来很大方便。 太原理t 人学硕十研究生学位论文 分形集的h a u s d o r f f 测度的计算是一个有难度的问题，迄今为止仍是国内外研究的 热点。，文 7 l3 等都采用不同方法对经典自相似分形集k o c h 曲线和s i e r p i n s k i 挚片 等的h a u s d o r f f ；狈t j 度进行了讨论。但都没有得到精确的结果。 同时人们也开始了对推广的自相似分形集进行讨论。m a u l d i n 和u r b a n s k i 与文 1 4 将相似压缩族的元素推广到无限的情况并做了详细的讨论：如果开集条件不满足，自相 似集仍为正则集，但关于维数的经典结论不再成立；作为自相似集的一种推广，p e s i n 和w e i s s 在文 1 5 中考虑了称为类c a n t o r 集的相当广泛的一类集合，它具有以下几何结 构：同阶基本元之间的相互位置可以任意变化，甚至在某些意义下同阶基本元可以相交 ( 但本质上满足开集条件) ，但每次迭代均不改变压缩比；在文 1 6 中，华苏研究了一 类自相似集的推广，称它为广义自相似集。他考虑一列相似压缩族，在每一级构造中他 们采用不同的压缩比，但是同阶基本元的相互位置完全确定。 与上述各种自相似集的推广相比，文 1 7 讨论了更具一般性的自相似集m o r a n 集， 它有如下性质： ( 1 ) 在逐级构造中，开集条件满足但基本元的相互位置可以任意改变： ( 2 ) 逐阶压缩比可以改变； ( 3 ) 压缩比的下界可以为零。 文献 1 7 对m o r a n 集的性质作了详细的介绍，文 1 8 对一类齐次m o r a n 集的 h a u s d o r f f i 贝1 度进行了讨论，并给出了精确表达式。 在前人工作的基础上，本文主要针对h a u s d o r f f 钡j 度进行了讨论。给出了h a u s d o r f f 测度的一个等价定义，提供了计算h a u s d o r f f 测度的一种方法；并将文 1 8 所定义的一 类齐次m o r a n 集推广到非齐次的情况，讨论了它的h a u s d o r f f 测度，给出了这类分形集 h a u s d o r f f 测度的精确计算公式；文中还定义了一种特殊分形集( 称为方形花状分形集) 对其测度进行了估计，给出了上下界。 太原理t 人学侦i 。f j f 究生学位论义 第二章h a u s d o r f f 测度与维数 2 1h a u s d o r f f 测度及其性质 设r ”为胛维欧氏空间，ec r ”，用i e l 表示e 的直径，即：吲= s u p d ( x y ) ix ，y 目， d ( x ，y ) 表示点x ，y 之f s j 的距离 设ecr ”，万 0 ，集合x 的一个可数子集族口= 4f = 1 , 2 ，) ，满足ua3e ， 一口 且对任意a 口有0 la | 0 ，s 0 定义 h j ( e ) = i n f ia j 5 ：口为e 的一个可数万一覆盖) a e 口 注意到作为万的函数，h ；( e ) 单调非减。 从而当万一0 时，它趋向于一个极限，定义 ( e ) = l 。i m 彤( e ) d _ u h ( e ) 为e 的s 维h a u s d o r f f 测度，它的值可能为0 ，正有限或正无穷。如果 0 0 ，则以下结论成立： ( i ) 设e 是h 、一可测的，且h ( e ) 0 ，则 h 5 ( 俎) = h 。( e ) 这旱2 e - - 7 - - 触：工e ) ，即按比例放大旯倍。 定理2 1 2设cr ”，若对常数c o , o l 0 ，映射：专r ”满足 i ( x ) 一( y ) l cix j ，i 口 ( x ，y 点) 则对每一个s 0 ，有 s 日几( ( e ) ) c 几日5 ( e ) 证明：若 u ，lf = 1 , 2 ，) 是e 的一个万一覆盖。因为if ( eov ) i cu ，i 。故知 f ( env ) ) 是f ( e ) 的一覆盖，这里占= c 5 。， 于是 艺j 厂( e n ) 洋c 艺lu ，j 5 所以 日( 厂( e ) ) c 日；( e ) 当万一0 时，显然f - - - 0 故结论成立。 定理中的条件if ( x ) 一f ( y ) 阵clx yi o 被称为指数为口的h 6 l d e r 条件。特别地，当 口= l 时，即存在常数c 0 ，使得 i ( 工) 一( y ) l ci 工一yi ， 这时称厂满足l i p s c h i t z 条件，且有 h 5 ( 厂( e ) ) c s h 5 ( e ) 若厂满足双l i p s c h i t z 条件，即qx yl if ( x ) 一f ( y ) i c 2lx yl ，则 c , h 。( e ) h ( 厂( ) ) sc ；( ) 若厂是自相似映射，即if ( x ) 一f ( y ) i - cx yi ，则 h ( 厂( ) ) = c h 、( e ) 2 2h a u s d o r f f 维数及其性质 对于给定的集合ecr ”，由h a u s d o r f f 可测的定义可见，e 的h a u s d o r f f 测度 h 、( e ) 是关于维数s 的减函数，即当s ， 0 时， 太原型t 人学帧| f i “究生学位论义 h 、( e ) = 0 ( 3jh ( e ) = o o 月( 点。) = 0 爿、( e ) = 0 由此可以定义集合e 的h a u s d o r f f 维数d i m he 为 d i m e = i n f s h 、( e ) = 0 ) = s u p sh ( e ) = o o 所以 州耻苗刚s d 吨i m h e e 如果j = d i m e ，则h 。( e ) 可以为零或无穷或a ，0 0 ， 使得p ( u ) cur 对于所有满足iul 5 的集u 成立，则日s ( e ) z ( e ) c 证明：如果 u ，) 是的任意覆盖，则 0 ( e ) ( u u ，) ( u ，) c ju ，i ， ， 取下确界，如果万充分小，则h ；( e ) k t ( e ) c 因此h 、( ) 4 e ) c 6 太原理t 人学坝f 研究生学位论义 定理2 3 2 设砧是r ”上的质量分伟，ecr ”是b o r e l 集，又设0 c 。o ，c 是常数 1 ) 如果对任意x e ，j i m 4 b ，( x ) ) ， c ，则日1 ( e ) 2 u ( r ”) c 证明见文献f 】。 2 4h a u s d o r f f 测度的等价定义 定义2 4 1r a d o n n i k o d y m 导数：设妒是测度空间( x ，e ，) 上的符号测度，如果 存在a p 意义下唯一的可测函数厂，使缈( 爿) 2 工 扯，v a e h - v a _ _ 立，则称厂为缈对的 r - - n 导数记作：譬。 a 定义2 4 2 伊对的绝对连续：设缈和分别是可测空间( x ，e ) _ k 0 9 符号测度和测 度，如果对v a e ，均有4 4 ) = 0j 妒( 爿) = 0 ，则称伊对p 绝对连续，记作9 引理2 4 1r 一一n 导数存在定理：设p 和声z 分别是( x ，e ) 上的符号测度和o - 有限测 度，如果缈 , t 则存在( x ，e ，) 上在a e 意义下唯一的可测函数厂，使得 缈( 彳) = 互 班，v a e 成立，若p 是有限的，n f 口z 有限。 引理2 4 2 设，d 均为( 彳，e ) 上的仃有限测度，则 u ，u o 。 以上定义及引理见文【2 0 】。 设e 为满足丌集条件的自相似集，以下均设e 为s 一集。 设二( e ) = i n “i u kl 、： k ) 为e 的任意覆盖) 可以验证：三( e ) 定义中覆盖限制为开覆盖或球覆盖都不会改变它的值，所以日三( e ) 为 e 的h a u s d o r f f 容度。 引理2 4 3 对三的h a u s d o r f f 容度日：( e ) ，存在一个仅依赖于s 的常数f ，对任。+ 紧 集e ，都有一个测度1 ，使4 e ) 月：( e ) - 4 e ) 。 引理2 4 4 对满足丌集条件的自相似集e ，h 二( e ) = h 、( e ) 。见文【2 1 】o 定理2 4 1 设e 为满足丌集条件的自相似集，s = d i m he ，则： 1 ) 存在个测度，使得型 存在： 奎堕兰 叁兰堡旦堕壅兰兰丝堡苎 2 ) 州耻憋t 7 蓦。砉c 多警 等m c 警刎，。 特别地，若罢：青，胃一( e ) ：红( e ) 。 证明：1 ) 由于为满足开集条件的自相似集，由引理4 3 ，4 4 推出，存在常数c 和一个测度，使得i t ( e ) h 三( e ) 1 ( e ) ，5 绝对连续的定义可知， h 。，h o ，x c 每+ n = 1 ，2 ， 令工= j k 。1 ( 础脚。伽n + 胛，。：，则非负非 降，以阶梯逼近厂，目有 i = u 。 可见 所以有 0 厂( x ) 一( x ) 音厂( x ) 甩 【f ( x ) l ( 班甩m ) 刀 l i m 六( z ) = ( x ) ， 月 月1 ( e ) 2 【f ( x ) d , a 2 l ，l i m f ( x ) d , u t 七月一 = 一l i m 。f ( ”荟, 2 n - 1k 2 剁i 州；川伽冲 2 嫩篙1 【争( 砉叭等m 似胁) 】 当掣a c t 叱州驴上挚制趴壬d “ 定理证毕。 于臣论2 4 2 砹e 为s 一集，看0 h ；( e ) o 。， 则州驴l i m ”羔k = o 。砉州p 专面d h 等m 蹦篆刎】。 证明：由定义：h p ( e ) ：i n f 荟( e ) e c h u e , ， 内( 毋2 泱5 以( ) ) ， 可知厅。( e ) h ；( ) ，因此券存在， 本节的意义在于给出了h a u s d o r f r 测度的一个等价定义，即通过r n 导数的逼近来 太腺理t 人学坝i i 川究生学位论义 获得h a u s d o r f f 测度。在理论上提供了一种新的计算测度的方法。 9 太燎理t 人学颀i j 研究生彳，f 芷论义 第三章自相似压缩映射族与开集条件 3 1压缩映射与不变集 设d 是月的闭子集，映射s ：d _ d 称为是d 上的压缩，如果对任意d 上的x ，y ， 存在一个数c ，满足0 c 0 ，acr ”，a 的一平行体定义为： a 。= z ：d ( x ，彳) f ) 显然aca 。 设b 表示r ”的非空有界紧子集族，在b 上定义h a u s d o r f f 度量d 如下： d ，( a ，b ) = s u p d ( x ，b ) ? d ( y ，彳) ：x a j y b ，a ，b b ) 这样d ，( 彳，艿) 0 ，有 日；( e ) = h ( ) 其中s 是e 的自相似维数。 证明：由于e 是自相似系统缈= 月”；z ，厶，厂， 所确定的自相似集，故 e = 缈( e ) = u n ：，e 设口= u ，：1 i o o ) 是e 的一个万一覆盖，则ecu ：。u ，从而 e c o ( e ) c 妒( u ! 。u ，) cu ：。厂( u 三，u ，) = u ：，u 三，厂( u ，) 记 妒( 口) = 厂( u 川= 1 ，7 ；待1 , 2 ) 由于1 厂，( u ，) 卜c ，iu ，i - m a x c ，) 万，i ? , m a x c ，) = c 。，则妒( 口) 是e 的一个c o 万一覆盖，由 于0l ( u ，) i = o ，。lu ，h f - 1 ，2 故 太原堙t 人学坝i ：1 0 i 究生学位论义 二0 厂( u ，) i 。= 墨iu ，r 从而 片i ，5 ( e ) = ；( e ) 进而，易见对任意的币整数m ，有 日5 ( e ) = 日；( e ) 由于0 c o 0jd i m 1 ，e = 口。其中e 是由缈确定的 自相似集，口是e 的自相似维数。 另外，文献 2 】还证明了一个很好的结论： 定理3 6 设是自相似系统缈= 月”；s ，s ：，s ) 所确定的自相似集，则以下三个条 件等价： ( i ) 缈满足s o s c 。 ( i i ) 缈满足o s c 。 ( i i i ) h 口( e ) 0 口是e 的自相似维数 注意：h 8 ( e ) 0 与d i m e = 口并不等价。文献【2 】举例说明d i m e = 口时 月口( e ) = 0 定义3 5 设缈= 只”；s ，s ：，s ) 是一个自相似压缩系统，e 是由妒所确定的自相似 集， 则当缈满足s ，( e ) ns ，( e ) = 痧 ( ) 时，称e 满足强分离条件。 注：自相似集是否满足强分离条件，往往对其h a u s d o r f f 测度的讨论的难易程度起 到决定性的影响。 太原堙丁人学坝| f f “宄生学位论文 第四章m o r a n 集的h a u s d o r f f 测度 m o r a n 集是一类重要而广泛的分形集，它是自相似集的推广。与自相似集相比，它 的同阶基本元的相互位置可以任意改变，o 逐阶压缩比可以改变；压缩比的下界可以为零。 本文主要计算了一类m o r a n 集的h a u s d o r f f 测度。 4 1m o r a n 集与m o r a n 集类 满足 首先给出关于m o r a n 集的基本概念及性质。 设，cr d 为内点非空的有界闭集， 行。) 为一列正整数序列， 。) 为一f 向量， = ( c k ，l ，c i 2 ，c k ，) ，0 0 ，则 ( i ) h 凡( e ) = o 当且仅当l i 缚乏“= o ； ( i i ) 0 h 瓦( e ) o o 当且仅当0 l i m 。i n f 1j 。卜o o ； - 一一 ( i i i ) h ( e ) = 当且仅当l i r a f 乏：i ，1 、= 7 i 一i w n 一 定理4 ，1 2 设e 是满足( ， 仇) ， 呶) ) 的m o r a n 集，且满足下述条件： ( i ) s u p n 女= a o d ； ( i i ) 0 i n ，f m ，a x c , ，) ss u p m h ) 0 ，使得 也时，边长为7 的立方体f 中 每个直径为，的凸集与边长为寺的立方体最多( 1 + 占) ”个相交。 n 事实上，当凸集是直径为，的球时，它与小立方体相交最多。此时，记c 为直径为， 的球，c 是边长为，的立方体，当球与最多x 个小立方体相交时，球体积的极限值应为x 个小立方体的体积。应用极限的定义即可得结论。 同理 对任意占 o 可确定o 7 7 3 ”“则 o - e ，) 太原理r 人学硕i 。研究生学位论义 引耻们i 啤f c 冉弘) 。 f lc j 、， 证明：定义一个e 上的概率测度，使得对任意，。f t ，有( j r 。) = 彳 ， 丌c i ， i = il = l 其中，是1 至q l 中的任意一个数。 设石、l i r a 。i 。n f ( 冉喜吒) 2m ，且。 。，当k k o 时， 簟 n t - 石5 兀c i ， ( 1 - 占) 肘 i = 1 = l 记，是一个七阶基本立方体的直径，则耳，：c l q m q 。：石ac ， 因为q m 专0 ，( 七专) 则存在毛 0 ，使得七 k 时 m k + , x k “= i + 1 q _ c , k + l ，山= x k ，( + l c k + l , j j + j ) m a x k o ，墨) ， 若fu l _ m a x x k ，) ，则由( 1 ) 式，对任意盯q ，有 m 蝴( 小石一卉溉罂新眠叫 ”i 兀c 。：， 8 又因为u 仅与一个k 阶基本立方体相交，所以 ( 1 一e ) m p ( u ) ( 1 一e ) m p ( 1 。) lul ， 从而有 4 u ) ( ( 1 一) m ) 一iu 5 。 m ，i n _ ，) i ，仃l ( 戤，) ，由( 1 ) 式可推出2 ( u ) ( ( 1 一占) m ) 一fu l 。 若iui ilf ( 以，) ，则设lu 厂二生，0 r i 寿i ，所以( 詈) ”r 又因为0 c 3 ”， 代入( 牢) 式可得 4 u ) ( ( 1 一占) m ) 叫lu1 5 若iui m i n x k 。，) ，证明方法与上文方法类似。 由质量分布原理可知，h5 ( ) ( 1 一c ) m ， 由于占任意小，所以h 。( e ) m 。 另一方面，e 显然可以由其k 阶基本立方体 j 。 。d 覆盖，这样就有 膏盯 ( e ) 刀 i m 2 ：f ( 1 - i c j - - - ，0 0 _ _ 一 所以，定理结论成立。 ( 车) 太原理t 人学颂l j m 究生学位论义 第五章“方形花状 分形集的h a u s d o r f f 测度 下文将构造种特殊分形集( 我们称为“方形花状”分形集) ，并对它的h a u s d o r f f 测 度进行了细致的考察。 5 1 “方形花状”的构造 取边长为1 的正方形，记为f 。，将边长三等份。耿四个角上边长为1 3 的四个小i f 方形，以及中间部分边长为1 3 的一个小正方形，为第一次变换后的图形，记作f 。重 复如上过程，如图所示： 我们有： f 1 3f 23 e 非空集合f = n ：。e 称为由f o 生成的“方形花状”分形集。其中c = u 州，。f n 。， k = 厶( ) ， z = lx , l = 1 x + ( 争 ，= 三x + 魄 ，厶= 三x + 霞 ；六：三工+ ；喜 利用自相似压缩系统理论，f 是自相似压缩系统 ：1 ks5 ) 的不变集，我们称第门次 压缩变换后生成的新正方形为c 的一个基本l f 方形，记为f n 。= ，j ，d 一其中 d 。= ( i ，) ：1 以5 , 1sk ，? j ， 由h a u s d o r f f 测度的性质可知，5 h5 ( = 1f ) = h 、( f ) 太原埋t 人学坝l i i 口f 究生学位论义 5 2 “方形花状”分形集h a u s d o r f f 测度的估计 可见，“方形花状”分形集是典型的自相似集，且满足丌集条件。 引理5 1 设f 是满足开集条件的自相似集，那么，对任意可测集u ，有 、( ，nu ) 马u1 5 ，s = d i m hf 。 定理5 2 设f 是“方形花状”分形集，对行1 , 1 七。5 ”，设 一，k 吆 鬈：见) ，且是，上一般的概率测度，( f n ，。) = c ，i c t ：c ： ( c ，= ，1 ，z ) 。 捣。t 糕h 删警。眦m i n 慨。描张撒 a 0 ，使得口。a ( n = 1 , 2 ) ，勇b 么h ( ，) a 证明：易见可只讨论开集覆盖的情况，对任意开集y ，设e - - u - ；o r 7 ，显然 e 。ce 小u ：e = fny ，由的性质及吼，b - 的定义，有 ( y ) = ( ，n y ) = ( l e e 。) = 。l i m 。p ( e 。) = 。l 。i m 。( u 一。矿f ) 妄iu ，“f 降1 iy 峰去f yr 出质量分布原理得日。( ，) a 定理5 3 对力1 ，命题5 2 中口。递减，且l i r aa 。= h 、( f ) 。 证明：设吒如命题5 2 定义，记u 2 ，一= 以，由引理4 1 知，h 、( f g lu k ) - tu kl 、， 所以p ( u k )