（计算数学专业论文）孤立子与微分几何中某些问题的机械化方法.pdf

摘要 本文以吴方法( 吴代数消元法和吴微分消元法) 为工具，研究了孤立子理论的某些 问题、可积系统和微分几何中的部分定理给出了求非线性演化方程精确解( 孤子解、 周期解、双周期解、有理函数解) 的机械化方法；把吴微分特征列法和r e i d 的理论相结 合应用于线性偏微分方程，计算解的规模；把吴微分特征列法应用于微分几何，给出部 分定理的机械化证明 第一章主要介绍了本文所涉及的概念，孤立子理论研究的起源和发展情况，孤立子 与微分凡何的关系以及国内、外学者在这些方面的工作和已经取得的成果 第二章介绍了求解非线性偏微分方程的a c = b d 模式及其应用首先给出了c d 对 和c d 可积系统的基本理论以及构造c d 对的方法如何寻找变换是这一部分的重点 内容然后把a c = b d 模式应用于微分几何，给出了微分几何中的c d 对和广义c d 可积系统 第三章研究了齐次平衡法的改进和应用把它应用于b o u s s i n e s q 方程并和吴方法相 结合。获得了许多新的孤子解和双周期解把它应用于变系数k d v 方程、d l w 方程、 s k 方程、k k 方程、k p 方程，不仅得到了b ；i c k l u n d 变换，而且得到了更多的精确解 第四章讨论了求非线性演化方程孤波解的若干方法：包括新的e x t e n d e d t a n h 函数 方法、扩展r i c c a t i 方程方法、射影r i c c a t i 方程方法、一般形式的r i c c a t i 方程方法，并 给出了一般形式的r i c c a t i 方程多种形式的解利用这些方法探讨了一类非线性演化方 程，包括b u r g e r s 方程、广义b u r g e r s - f i s h e r 方程、k u r a m o t o - s i v a s h i n s k y 方程的精确 解( 包括奇性孤波解，周期解和有理函数解) 进一步研究了高维变系数b u r g e r s 方程的 类孤子解在解决问题的过程中吴方法是最重要的基本工具 第五章研究了非线性偏微分方程的雅可比椭圆函数解( 双周期解) 的机械化算法首 先提出了改进的j a c o b i 椭圆函数展开法，它是一种比s i n e c o s i n e 方法和s n c n 函数法 以及双曲函数法更有效更简单的方法把它应用于组合k d v 和m k d v 方程，获得了许 多雅可比椭圆函数解和其它精确解然后，我们又提出了第一种和第二种椭圆方程法 特别给出了这两种椭圆方程更多形式的雅可比椭圆函数解，利用这些解，我们获得了一 类菲线性演化方程，包括耦合k d v 方程、耦合m k d v 方程的双周期解在退化情况下， 又得到其孤子解最后，把它应用于高维变系数k p 方程。获得了更多的双周期解 第六章介绍了吴微分特征列法的基本理论及其应用把它与r e i d 方法结合，应用于 线性偏微分方程。得到了解的规模；把它应用于微分几何，得到微分几何中部分定理的 机械化证明 关键词：特征列；非线性演化方程；吴方法；孤波解；周期解；类孤子解；c d 对和 可积系统；b 五c k l u n d 变换；齐次平衡法；r i c c a t i 方程；椭圆方程；解的规模；标准型； v 可积条件；，型序；李群；联络；曲率 中图分类号t0 1 7 5 2 9 a m s ( 2 0 0 0 ) 主题分类：3 5 q 5 1 ；3 5 q 5 33 5 q 5 8 ；3 4 a 0 5 ；3 5 q 3 0 ，3 5 g 2 5 v 1 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ed i s c u s ss o m ep r o b l e m so fs o l i t o nt h e o r y , t h ei n t e g r a b l es y s - t e m sa n ds o m et h e o r e m so fd i f f e r e n t i a lg e o m e t r yw i t ht h ea i do fw u m e t h o d ( i n c l u d i n gw u a l g e b r a i ce l i m i n a t i o nm e t h o da n dw u d i f f e r e n t i a le l i m i n a t i o nt h e o r y ) 。s o m em e c h a n i c a l m e t h o d sa r ep r e s e n t e dt oo b t a i ne x a c t s o l u t i o n s ( i n c l u d i n gs o l i t o ns o l u t i o n s ，p e r i o d i cs o l u t i o n s ，d o u b l y p e r i o d i cs o l u t i o n sa n dr a t i o n a ls o l u t i o n s ) o fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s w u r i t td i f f e r e n t i a lc h a r a c t e r i s t i cs e tt h e o r yt o g e t h e rw i t hr e i dm e t h o di sa p p l i e dt ol i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c hp o s s e s sp h y s i c a ls i g n i f i c a n c et oo b t a i nt h es i z eo f s o l u t i o n s i ti sa l s oa p p l i e dt od i f f e r e n t i a lg e o m e t r yt op r o v es o m et h e o r e m s m e c h a n i c a l l y i nc h a r t e r1 ，w ei n t r o d u c es o m er e l a t e dd e f i n i t i o n s t h eo r i g i na n dd e v e l o p m e n to f s o l i t o nt h e o r ya n dt h er e l a t i o n sb e t w e e ns o l i t o nt h e o r ya n dd i f f e r e n t i a l g e o m e t r y t h e m a i nw o r k sa n da c h i e v e m e n t sw h i c hh a v eb e e no b t a i n e da r e p r e s e n t e d c h a r t e r2i sd e v o t e dt oa c = b dm o d e la n di t sa p p l i c a t i o n si n p a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n dd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y f i r s t ，w eg i v eb a s i cn o t a t i o n s ，b a s i ct h e o r yo fc d p a i ra n dc di n t e g r a b l es y s t e m sw i t ht h ea l g o r i t h mt oc o n s t r u c tc - dp a i r ，h o wt os e e k t r a n s f o r m a t i o nu = c vi sa ni m p o r t a n ta s p e c ti nc h a r t e r2 t h e n a c = b dm o d e li s a p p l i e dt od i f f e r e n t i a lg e o m e t r y c - dp a i ra n dg e n e r a lc di n t e g r a b l es y s t e ma r ed e f i n e d i nc h a p t e r 3 ，w es t u d yt h ea p p l i c a t i o n s o ft h ei m p r o v e d h o m o g e n o u s b a l a n c em e t h o d w ea p p l yt h em e t h o dt o g e t h e rw i t hw u a l g e b r a i c e l i m i n a t i o nm e t h o dt ob o u s s i n e s q e q u a t i o n ，a n dm a n yn e ws o l i t o na n dd o u b l y - p e r i o d i cs o l u t i o n sa r eo b t a i n e d a p p l y i n g t h em e t h o dt os k ，k k ，k p ，d l 、v e q u a t i o n sa n dk d ve q u a t i o nw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s ， w eo b t a i nn o to n l yt h e i rb i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n sb u ta l s on e we x a c ts o l u t i o n s c h a p t e r4d e a l sw i t hs o m em e c h a n i c a lm e t h o d st oo b t a i ns o l i t o ns o l u t i o n so fn o n - l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n si n c l u d i n gn e we x t e n d e d t a n hf u n c t i o nm e t h o d ，e x t e n d e dr i c c a t ie q u a t i o nm e t h o d ，p r o j e c tr i c c a t ie q u a t i o nm e t h o da n dg e n e r a l i z e dr i c c a t ie q u a t i o n m e t h o d t h em u l t i p l es o l i t o ns o l u t i o n so ft h eg e n e r a l i z e dr i c c a t ie q u a t i o na r eo b t a i n e d w i t ht h e s es o l u t i o n s ，w eo b t a i nm o r ee x a c ts o l u t i o n s ( i n c l u d i n gs o l i t a r yw a v es o l u t i o n s ， p e r i o d i cw a v es o l u t i o n sa n dr a t i o n a ls o l u t i o n s ) o f ak i n do fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ， s u c ha sb u r g e r se q u a t i o n ，g e n e r a lb u r g e r s - f i s h e re q u a t i o na n dk u r a m o t o - s i v a s h i n s k y e q u a t i o n m o r es o l i t o n - l i k es o l u t i o n so ft h eb u r g e r se q u a t i o nw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s a r eo b t a i n e db yu s eo fo u rm e t h o d w um e t h o di st h em o s ti m p o r t a n tb a s i ct o o ld u r i n g t h ec o u r s eo f s o l v i n gt h e s ee q u a t i o n s i nc h a p t e r5 ，w ep r e s e n tt h em e c h a n i c a lm e t h o d st oo b t a i nd o u b l y - p e r i o d i cs o l u t i o n s v i i o fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s f i r s t ，w eg i v et h ei m p r o v e dj a c o b ie l l i p t i c f u a c t i o ne x p a n s i o nm e t h o d i ti sm o r ee r i e c t i v et h a nt h es i n e c o s i n em e t h o d t h es n ， c nm e t h o da n dt a n h m e t h o d w ea p p l yt h em e t h o dt ot h ec o m b i n e dk d va n dm k d v e q u a t i o n st oo b t a i nj a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o ns o l u t i o n sa n do t h e re x a c ts o l u t i o n s t h e n ， w ea l s op r e s e n tt h ef i r s tk i n da n dt h es e c o n dk i n do fe l l i p t i c e q u a t i o nm e t h o d ，w i t h w h i c hm o r ej a c o b i e l l i p t i cf u n c t i o ns o l u t i o n so ft h e s et w ok i n d so fe q u a t i o n sa r eo b t a i n e d w i t ht h e s es o l u t i o n s ，w eo b t a i nm o r ed o u b l y - p e r i o d i cs o l u t i o n so fac l a s so fn o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n s ，s u c ha st h ec o u p l e dk d va n dm k d v e q u a t i o n s t h o s es o l u t i o n s a r ed e g e n e r a t e dt os o l i t o ns o l u t i o n su n d e rd e g e n e r a t e dc o n d i t i o n s f i n a l l y , o u rm e t h o d i s a p p l i e dt oh i g h e rd i m e n s i o n a lk pe q u a t i o nw i t hv a r i a b l ec o e f i i c i e n t st oo b t a i nm o r e d o u b l y - p e r i o d i cs o l u t i o n s i nt h el a s tc h a p t e r ，w es t u d yb a s i ct h e o r yo fw u - r i t tm e t h o da n di t sa p p l i c a t i o n s w e a p p l yw u r i t tm e t h o da n dr e i dt h e o r yt ol i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n st oo b t a i n t h es i z eo fs o l u t i o n s w ea l s oa p p l yw u r i f td i f f e r e n t i a lc h a r a c t e r i s t i cs e tt od i f f e r e n t i a l g e o m e t r yt op r o v es o m et h e o r e m sm e c h a n i c a l l y k e y w o r d s ：c h a r a c t e r i s t i cs e t ；n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ；w um e t h o d ；s o l i t a r y w a v es o l u t i o n ；p e r i o d i cw a v es o l u t i o n ；s o l i t o n - l i k es o l u t i o n ；c - dp a i ra n dc - d i n t e g r a b l e s y s t e m ；b 抽k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ；h o m o g e n o u sb a l a n c em e t h o d ；r i c c a t ie q u a t i o n ；e l l i p t i c e q u a t i o n ；t h es i z eo fs o l u t i o n ；s t a n d a r df o r m ；i n t e g r a b i l i t yc o n d i t i o n ；i if o r m a lo r d e r i n g ； l i eg r o u p ；c o n n e c t i o n ；c u r v a t u r e 第一章绪论 本文以孤立子理论和微分几何中的某些问题为研究对象，以多种构造性的形式变换 及符号计算为工具，以机械化方法为手段，来研究它们的一些的性质，如精确解( 孤子 解、周期解、有理解等) 、b i c k l u n d 变换及新的可积系统等，得到很好的结果下面介 绍这方面国内外发展的情况及本文的主要工作 1 1微分代数与微分几何 “微分代数”一词首先出现在j f r i t t 的著作“d i f i e r e n t i a la l g e b r a ”中1 1 】，这 一条研究路线是从研究微分方程解的存在性出发的由于受到e n o e t h e r 思想方法的影 响，r i t t 等人在前人工作的基础上更加强调了代数性 微分代数的理论和方法重额被重视是由于微分方程理论和应用这两个方面研究迅速 发展的需要例如，在对称分析中，需要处理大量的线性或非线性超定方程组，而这些方程 组多数是多项式形式的微分代数的约化方法比较适合处理这类问题但是关于r i t t w u 方法的算法研究表明，现有的许多算法都不是“好算法”一即步数不是多项式的特别 对于微分代数运算，中间表达式膨胀及运算时间超限阿题更为严重，所以算法的改进更 为必要有效算法的产生不仅仅是经验和技巧的积累，还需要深刻的理论背景发展微 分代数理论是十分必要和非常有意义的工作。 微分几何的出发点是微积分；一条曲线的切线和微分是同一个概念同样，一条封 闭曲线所包围的面积的理论就是积分论“微积分在几何上的应用”演变成曲线论及曲 面论微分几何初期作出重要贡献的，当推l e u l e r ( 1 7 0 7 - 1 7 8 3 ) ，g m o n g e ( 1 7 4 6 1 8 1 8 ) 微分几何的始祖是c f g a u s s ( 1 7 7 7 - 1 8 5 5 ) 他的曲面论建立了由曲面的第一基本式 所奠定的几何，并把欧氏空间推广到曲面上。弯衄”的几何b r i e m a n n ( 1 8 2 6 1 8 6 6 ) 在 1 8 5 4 年所做的著名的演讲把这个理论推广到n 维空间黎曼几何就在此年出生 黎曼的演讲直到1 8 6 8 年他死后才发表，当即引起许多新工作来处理和发展他的新几 何主要的作者包括e b e l t r a m i ，e b ，c h r i s t o f f e l ，r ，l i p s c h i t z ；他们的论文都发表在 1 8 7 0 年左右c h r i s t o f f e l 是一位开拓的大师，他一度在瑞士的苏黎士任教授，因此影响 及于意大利的数学家，其中有l b i a n c h i 及t ，r i c c i 前者是第一个用“微分几何”作书 名的( l e z i o n id ig e o m e t i ad i f f e r e n z i a l e ，p i s a ，1 9 8 3 ) ；后者是“张量分析”的始祖 黎曼几何之大受重视，由于爱因斯坦之广义相对论爱氏把引力现象释成黎曼空间 的曲率性质，因之，物理现象变成几何现象微分几何的了解遂为理论物理学者所必需 同在1 8 7 0 年f e l i xk l e i n 发表了他的e r l a n g e rp r o g r a m m 这个计划把几何学定为一 个变换群下的不变性质视变换群的选择，我们有欧氏或非欧几何学、投影几何学、仿射 大连理工大学博士学位论文 几何学等等这些空间内的支流形的研究成为相当的微分几何学2 0 世纪初期投影微分 几何的研究相当活跃，领导者为美国的e j w i l e z y n s k i 及意大利g f u b i n i ，苏步青教授 作过重大的贡献并指导了很多学生在仿射微分几何作决定性工作的当推w b l a s c h k e 把两种观点融合的是e l i ec a r t a n ( 1 8 6 9 - 1 9 5 1 ) 他的广义空间把联络作为主要的几何 概念他建立的外微分和他在李群的工作，是近代微分几何的两大柱石外微分和活动 标架法结合在一起在微分几何中有广泛的应用e c a r t a n 曾经系统地发展这种方法， 将它用于各种几何问题；陈省身则继承和发扬这种方法，通过自己的出色工作使外微分 和活动标架法成为几何学界公认的强有力手段 微分几何的主要问题是整体性的，即研究空间或流形的整体的性质。尤其是局部性 质与整体性质的关系g a u s s - b o n n e t 公式就是一个例子 要研究整个流形，流形论的基础便成为必要流形内的坐标是局部的，本身没有意 义；流形研究的主要目的是经过坐标卡变换而保持不变的性质( 如切矢量，微分式等) 这是与一般数学不同的地方这些观念经过几十年的演变，渐成定型将来数学研究的 对象，必然是流形【1 8 4 】；传统的实数或复数空间只是局部的情形( 虽然在许多情况下它 会是最重要的情形) 讲到微分几何的未来，当然预测是很困难的1 9 世纪的深刻的结果( 如单复变函数 论) ，多半是单元的本世纪内高维流形的发展是辉煌的但整个宝藏发掘未及十一，可 以发展的方向，多不胜数数学的前途无量是可以预h 的 1 2 孤立子研究的发展 英国物理学家j s c o t tr u s s e l l ( 罗素) 于1 8 3 4 年最先发现孤立子( s o l i t o n ) 现象 他 2 】在1 8 4 4 年9 月英国科学促进会第1 4 次会议上作了论波动的报告，报告中讲 述了他于1 8 3 4 年8 月在运河里发现了一个波形不变的水团，该水团在一两英里之外的 河道转弯处消失了，他凭借物理学家的敏锐的观察力意识到这种现象绝菲一般的水渡运 动，之后r u s s e l l 为了更加仔细地研究这种现象，在实验室里进行了很多实验也观察到 了这样的波一孤立波( s o l i t a r yw a v e s ) 该水波具有浅长的性质另外在深度为h 的河道 中，该孤立波行进的速度c 满足关系式，= a ( h + 刁) ，其中野为波的振幅，g 为重力加 速度 随后，a i r y ( 1 8 4 5 ) ，s t o k e s ( 1 8 4 7 ) ，b o u s s i n e s q ( 1 8 7 2 ) 和r a y l e i g h ( 1 8 7 6 ) 对这种波作了 进一步的研究为了近似地描述孤立波。b o u s s i n e s q 提出了一个一维非线性演化方程， 即后来被人们命名的b o u s s i n e s q 方程 r u s s e l l 等人观察到的孤立波到底存在于什么样的水波方程中? 或者说什么样的水波 方程拥有那样的弧波懈? 这一直困绕着人们，直到1 8 9 5 年，k o r t e w e g 和他的博士生d e 2 第一章绪论 v r i e s 3 提出了一个非线性演化方程( 人们简称为k d v 方程) 他们用该方程的一个孤波 解来解释r u s s e l l 观察到的浅水波，但是并没有发现该方程的新的应用这似乎说明发现 k d v 方程并没有太大的价值到了“山穷水尽疑无路”的地步 商到2 0 世纪5 0 年以后，1 9 5 5 年著名物理学家f e r m i ，p a s t a 和u l a m 4 1 提出了著 名的f p u 问题。即将6 4 个质点用非线性弹簧连接成一条非线性振动弦，初始时。这些 谐振子的所有能量都集中在一质点上，即其它6 3 个质点的初始能量为零经过相当长的 时间后，几乎全部能量又回到了原来的初始分布这与经典的理论相矛盾当时，由于 只在频率空间来考虑问题，未能发现孤立波解因此该问题未能得到正确的解释 1 9 6 2 年，p e r r i n g 和s k y r m e 5 】在研究基本粒子模型时，对s i n e - g o r d o n 方程作了 数值实验，结果表明：这个方程产生的孤波解也不分开，即使碰撞后两个孤立波也保持 着原来的形状和速度 为了解释f p u 问题中的现象，1 9 6 5 年k r u s k a l 和z a b u s k y 【6 】从连续统一体的观点 来考虑f p u 问题在连续的情况下，f p u 同题近似地可用k d v 方程来描述他们对 k d v 方程两个波速不同的孤波解进行研究若这两个孤波开始分开且波速大的在左边， 那么在相互碰撞后，波速大的在右边且保持最初的高度和速度，仅仅发生变换的是相的 转移这两个孤波的碰撞是弹性碰撞，又类似于粒子。因此他们称它为孤立子( s o l i t o n ) 孤立子有时也称为孤立波，它是指一大类非线性偏微分方程的许多具有待殊性质的解。 以及与之相应的物理现象，用物理的语言来说，这些性质是：( 1 ) 能量比较集中于狭小 的区域；( 2 ) 两个孤立子相互作用时出现弹性散射现象，即波形和波速能恢复到最初这 揭示了孤立波的本质从此以后，孤立子理论的工作开始蓬勃发展，孤立子已经渗透到 了很多领域，如物理学的许多分支( 基本粒子、流体物理、等离子体物理、凝聚态物理、 超导物理、激光物理、生物物理等) 、生物学、光学、天文学等在世界范围内掀起了孤 立子研究的热潮f 7 - 1 3 孤立子的发展大致分为以下三个阶段：第一阶段从1 8 3 4 年到1 9 5 5 年主要的成 就为t ( 1 ) r u s s e l l 发现孤立波( 1 8 3 4 ) ；( 2 ) s i n e - g o r d o n 方程的b i i c k l u n d 变换的发现 ( 1 8 8 5 ) ；( 3 ) k d v 方程及其孤波解的提出( 1 8 9 5 ) ；( 4 ) c o l e - h o p f 变换( 1 9 5 0 1 9 5 1 ) 第二阶 段从1 9 5 5 年到1 9 7 0 年主要的贡献为：( 1 ) f p u 问题的提出( 1 9 5 5 ) ；( 2 ) 孤立子的命 名( 1 9 6 5 ) ；( 3 ) 反散射法( 1 9 6 7 ) ；( 4 ) m i u r a 变换( 1 9 6 8 ) ；( 5 ) l a x 对( 1 9 6 8 ) ，第三个阶段从 1 9 7 0 年至今，这个阶段发展的特别迅速 1 3 孤立子与微分几何 经典微分几何中出现过许多很有意义的偏微分方程，著名的s i n e - g o r d o n 方程就是 首先在微分几何中出现的 3 大连理工大学博士学位论文 1 9 世纪出现了非欧几何学后来又有人指出。欧氏空间的负常曲率曲面能够局部地 实现非欧几何( 即非欧平面的几何) 因而，对负常曲率曲面的研究很受重视，在研究中 出现了s i n e - g o r d o n 方程及其b 苕c k l u n d 变换【1 4 】一个负常曲率曲面对应于s i n e - g o r d o n 方程式的一个非零解，而b i c k l u n d 变换恰对应于伪球线汇中两个焦曲面( 具有相同的负 常曲率) 之间的变换，同时b i c k l u n d 变换也是s i n e g o r d o n 方程的解之间的变换，这些 都是很有兴趣的结果 1 4 一1 5 1 _ 虽然，s i n e - g o r d o n 方程及其b a e k l u n d 变换是在微分几何学的研究中发现的，人们 在那时只是把这些研究成果看作为微分几何中的定理，日子一久，对此也逐渐不太予以 重视了直到s i n e - g o r d o n 方程的b i i c k l u n d 变换在孤立子理论中起了重要作用，人们才 逐步认识到微分几何学在孤立子理论中的意义与作用 其后，许多作者注意运用微分几何中所出现的方法于孤立子理论，例如，d a r b o u x 变换，c a r t a n 的延拓系统理论，j e t 丛等。在制作多种类型的孤立子方程的b c k l u n d 变 换中，产生很大的作用人们又发现，孤立子方程可以作为线性可积系统的可积条件，而 可积条件本身则是纤维丛上联络的零曲率条件f 1 6 - 1 7 此外，人们也认识到孤立子方程 与调和映照及曲面论的基本定理均有密切联系，这就提供了从孤立方程的解，构造出相 应的调和映照及曲面的方法【1 1 】更进一步，容有s 0 ( 3 ) 与s o ( 2 ，1 ) 线性可积系统的偏微 分方程，实际上是兄3 及r 2 0 中各种球面在各种不同标架下的g a u s s 方程从此出发， 我们给出了一个一般方法，来判别一个已给的非线性偏微分方程g = 0 是否容有s o ( 3 ) 或s o ( 2 ，1 ) 的线性可积系统，使得g = 0 就是这个线性系统的可积条件 在高维孤立子理论中，将会用到更多的微分几何，这将促进孤立子理论的研究与微 分几何学的研究的发展，这是值得进一步探讨的课题，文 1 8 1 9 已得出古曲的b 五c k l u n d 线汇在高维空间情形的一种推广 零曲率方程 在孤子理论中，通常将时间变量t 及一维空间变量z 的孤子方程称为“i + i ”维的 方程它可以从对空间z 与时间t 的联立谱问题中导出设 啦= m 西，( 1 1 ) 中= 圣( 1 2 ) 这里圣是。，t 的n 维向量函数，m ，是n n 矩阵，其中包含有谱参数a 及以z ，t 为自变 量的m 维向量函数“( t ，t ) 及其各阶导数为了使方程( 1 i ) 和( 1 2 ) 同时有解，m 必须满足 协调性条件垂。f = 西b 由此，得中：l = 尬圣+ m 奶= m t 垂+ m n m = 垂拓= n z 圣+ n m 圣， 即 4 第一章绪论 尬一u + i m ，n 】= 0 ，其中m ，n 】三m n n m ( 1 3 ) 这个方程在微分几何中叫零曲率方程 适当选取m ，可以导出许多孤子方程前苏联学者萨哈诺夫( v e z a k h a r o v ) 和沙 巴椽a b s h a b a t 考虑一阶方程组的谱问题，随后，美国学者阿布罗维茨( m j ，a b l o w i t z ) 、 考普( d j k a u p ) 、纽维尔( a c ，n e w e l l ) 和色谷( h s e g u r ) 考虑一阶方程组( 简称z s a k n s ) ，导出了一些重要的孤子方程，如k d v 方程，广义k d v 方程( m k d v ) ，非线性薛 定谔方程( n l s ) ，伯格方程( b g ) ，正弦一戈登方程( s g ) 和双曲正弦戈登方程( s h g ) 等等【1 3 】最近，范恩贵教授在这方面做了很好的工作f 2 0 】 孤立子曲面 在孤立子理论中，把线性系统( 1 1 ) 和( 1 2 ) 中的m ，看作不仅依赖于相应偏微分 方程的未知函数及其导数，而且还依赖于一个参数a ，这一点对于孤立子理论是非常重要 的对于这种带参数的可积系统，s y m 2 1 2 2 】提出孤立子曲面的概念我们以群s u ( 2 ) 的情况为例来说明，这时孤立子曲面是三维欧氏空间中的二维眭b 面一般情况，当群依赖 于参数r 时，孤立子曲面照样可以定义，它们是r 维欧氏空间或拟欧氏空间中的二维曲 面设m = m ( ，以，也，a ) ，n = ( 曲，也，也，a ) 在a 为实值时都取值于s u ( 2 ) 的李代数s u ( 2 ) ( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的可积条件为( 1 ，3 ) 假定它决定一个不依赖于a 的非线 性偏微分方程( 或方程组) 如果曲( z ，t ) 是方程( t 3 ) 的一个解，据此西，可以积分( 1 1 ) 和( 1 2 ) 得到西，我们可以采用取值于s u ( 2 ) 的垂( 因为m ，属于s u ( 2 ) ，只要中在某点 的值( 初始值) 属于s u ( 2 ) ，它就会属于s u ( 2 ) ) 这种圣一般是依赖于参数a 的，故记为 西( a ) 如所知，s u ( 2 ) 的李代数s u ( 2 ) 是一个3 维的线性空间，其上有c a r t a n 内积 ( x ，i ) = ；霉( x + y ) ( x ，y s 札( 2 ) ) ， 是一个正定的双线性型，使得s u ( 2 ) 具有3 维欧氏空间的结构令 p ( t ，z ，a ) = 垂一1 圣( 1 4 ) 对于确定的a ，p 定义了( t ，z ) 平面( 或它的一个区域) 到s u ( 2 ) 的一个映照，一般来说， 它是一个曲面，s y m 称之为孤立子曲面，当a 变动时，就得到一系列孤立子曲面 对于( 1 3 ) 的同一个解庐，( 1 1 ) 和( 1 2 ) 如果有另外一解皿( a ) ，那么由于方程( 1 1 ) 和( 1 2 ) 是线性的，西( a ) 必能写成为 中( a ) = 圣( a ) x ( a ) ( 1 5 ) 大连理工大学博士学位论文 的形状，x ( a ) 和( t ，。) 无关，仅为a 的函数由于我们要求皿( a ) 取值于s u ( 2 ) ，所以 x ( a ) s u ( 2 ) ，且有 皿一1 皿 = x - 1 ( a ) 圣一1 垂 x ( a ) + ) - i ( a ) x ( a ) ，( 1 6 ) 所以如令 p ( ，z ，a ) = 田一1 m ，( 1 7 ) 那么从( 1 6 ) 可见，p 到尸的变换是一个转动( 它由x 。( a ) 西_ 1 吼x ( a ) 表示) 和一个移 动( 由x _ 1 ( a ) n ( ) 表示) 所构成因此，这两系曲面中相应于同一个a 值的两个曲面都 只差一个刚性运动从而，孤立子曲面的几何性质只和解的选取以及a 的值有关，而与垂 的选取无关因而，对于( 1 3 ) 的一个解及一个确定的a ，唯一地确定一个孤立子曲面( 除 运动之外) 后文将证明：零曲率方程( 1 3 ) 与孤立子曲面p ( t ，z ，a ) 的g a u s s c o d a z z i 方 程相等价 1 4非线性演化方程( 组) 的解发展情况 对自然科学中很多问题的研究大致分为两大类：一是定性研究；二是定萤研究在定 量研究中又可细分为数值近似研究和精确构造性研究对于出现在很多领域( 如物理，化 学，光学等) 中非线性演化方程( 组) 的许多性质的精确解构造性研究，我们想从以下几 个方面来阐述其国内外的发展情况 1 4 1 非线性演化方程解的构造性方法 自从1 8 9 5 年k d v 方程被提出以来，在很多领域的人们获得了大量的具有实际意义 的非线性演化方程许多数学家和物理学家对于这些方程的精确解做了大量的工作，所 用的方法各有千秋，但没有一种方法能包罗万象正如k l e i n 所说：微分方程求解只是 技巧的汇编一般来说，直接寻找非线性演化方程的精确解是非常困难的往往首先须 对方程进行变形( 或称变换) ，将原方程变为简单的，易解的方程例如b i l c k l u n d 变换， d a r b o u x 变换，相似约化等 b i c k l u n d 变换和d a r b o u x 变换 1 8 8 5 年，瑞典几何学家b 茜c k | u n d 2 3 j 在研究负常曲率曲面时，发现s i n e - g o r d o n 方 程u 翱= s i n “的两个不同解u 和u 7 之间有如下的关系式 u ；= u f 一2 脚n ( t u - - u ) ，u = - - - - 吾s i n ( 丁u - - l ? ) ( 1 8 ) 6 第一章绪论 此即为b i i c k l u n d 变换另外还得到了一个非线性叠加公式 u ：= 4 a r c t a n 【臌t a n ( 半。 ( 1 9 ) 其中u o 为s i n e g o r d o n 方程的解这个公式在非线性理论中具有重要的作用但由于 这个变换没有别的应用，因此被冷落了近百年直到2 0 世纪6 0 年代。由于非线性光 学，晶体位错等许多领域的研究都与s i n e - g o r d o n 方程有关，这时b g c k l u n d 变换才受 到重视1 9 7 3 年w a h l q u s t 和e s t a b r o o k 2 4 发现k d v 方程也具有b j k ：k l u n d 变换。 也有类似的叠加公式1 9 7 6 年他们提出了求非线性方程的b i i c k l u n d 变换的延拓结构 法，将b i i c k l u n d 变换。守恒律及反散射变换统一在一个拟位势中1 9 8 3 年。w e i s s ， t a b o r 和c a r n e v a l e 2 5 1 推广了常微分方程的p a i n l e v e 可积的判定法，提出了偏微分方程 的p a i n l e v e 可积的判定法，并用其来获得可积方程的b f i , c k l u n d 变换与b l i c k l u n d 变换 具有同等重要的是d a r b o u x 变换，1 8 8 2 年，d a r b o u x 2 6 1 研究了一个一维s c h r s d i n g e r 方程的特征值问题( a t = 0 ) 一以。一u ( 互，t ) = a 庐( 1 1 0 ) d a r b o u x 发现：若u 和咖是满足( 1 1 0 ) 的两个函数，对任意给定的常数a o ，令，( z ) = ( z ，a o ) ，即，是( 1 1 0 ) 当a = a o 的一个解，则由 乱= + 2 ( 1 n ，) 。；，毋( z ，a ) = 以( z ，a ) 一( 巩i n ，) 西( o ，a ) ，0( 1 1 1 ) 所定义的函数u 7 ，一定满足( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) 就称为原始的d a r b o u x 变换d a r b o u x 变 换的基本思想为：利用非线性方程的一个解及其l a x 对的解，用代数算法及微分运算来 获得非线性方程的新解和l a x 对相应的解有时人们将d a r b o u x 变换也称为b i i c k