（计算数学专业论文）抛物方程dirichlet定解问题的高精度age方法.pdf

ab s t r a c t t o s o l v e t h e p a r a b o l i c e q u a t io n w i t h t h e d i r i c h l e t b o u n d a ry c o n d i t io n o n p a r a l l e l c o m p u t e r s , w e c o n s i d e r t h e a l t e r n a t i n g d i ff e r e n c e s c h e m e w i t h p a r a l l e l i s m t h e a l t e r n a t i n g g r o u p e x p l i c i t ( a g e ) s c h e m e w i t h t h e t h i r d o r d e r t r u n c a t i o n i s p r e s e n t e d . t h e u n c o n d i t i o n a l s t a b i l i t y o f t h e s c h e m e i s p r o v e d , a n d t h e a n a l y s i s o f t h e t r u n c a t i o n e r r o r i s g i v e n . t h e n u m e r i c a l e x p e r i m e n t s s h o w t h a t t h e s c h e m e h a s t h e a c c u r a c y o f o r d e r t h r e e a n d b e tt e r a c c u r a c y t h a n t h e a g e s c h e m e p re s e n t e d b e f o r e . t h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s : i n c h a p t e r 1 , w e i n t r o d u c e t h e d e v e l o p m e n t a n d s i g n i fi c a n c e o f t h e fi e l d . i n c h a p t e r 2 , w e i n t r o d u c e t h e s o l v i n g f o r m u l a f o r t h e g ro u p e d f o u r p o i n t s , a n d d e r i v e t h r e e p a i r s o f b a s i c s c h e m e s f o r n o n - re g u l a r i n n e r p o i n t s . i n c h a p t e r 3 , w e p r e s e n t t h e a g e s c h e m e f o r a l l c a s e s . t h e t r u n c a t i o n e r ro r a n d s t a b i l it y o f t h e s c h e m e i s d i s c u s s e d . i n c h a p t e r 4 , w e m a k e t h e n u m e r i c a l e x p e r i m e n t s , c o m p a r i n g t h e n e w s c h e m e w i t h t h e f o r m e r o n e . k e y w o r d s : p a r a b o l i c e q u a t i o n , d i r i c h l e t b o u n d a ry v a l u e p ro b l e m , e x p l i c i t s c h e m e , h i g h a c c u r a c y , u n c o n d i t i o n a l s t a b i l i ty n 甫 口 于 大 学 学 1 立金 仑 文 电 任 卜 犬 反 授 权 使 用 办宝 义 ( 请将此协议书装订于论文首页) 论文 南开大学工作和学习期间创作完成的作品，并 已通过论文答辩。 系本人在 本人系本作品的唯一作者 ( 第一作者)，即著作权人。现本人同意将本作品收 录于 “ 南开大学博硕士学位论文全文数据库”。 本人承诺;已提交的学位论文电子 版与印刷版论文的内容一致 ，如因不同而引起学术声誉上的损失由本人 自负。 本人完全了解 南开大学图书馆关于保存、使用学位论文的管理办法。同意 南开大学图书馆在下述范围内免费使用本人作品的电子版: 本作品呈交当年，在校园网上提供论文目 录检索、文摘浏览以及论文全文部分 浏览服务 ( 论文前1 6 页) 。 公开级学位论文全文电子版于提交1 年后， 在校园网上允 许读者浏览并下载全文。 注: 本协议书对于 “ 非公开学位论文”在保密期限过后同样适用。 院 系 所 名 称 : 4 柳 a 即 毛 作 者 签 名:林命i : 学 号 : 产 w j - u d - 日 期 : 乡 w 年 日月 a 犷日 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本;学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版; 在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名: 体+1丫 二 洲 年1 ! 月才日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名: 4 , 少 k- 学位论文作者签名: 解密时间:年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: 内 部 5 年 ( 最长5 年，可少于5 年) 秘密1 0 年 ( 最长 1 0 年，可少于 1 0 年) 机密*2 0 年 ( 最长 2 0年，可少于 2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的学位论文， 是本人在导师指导下， 进行 研究工作所取得的成果。 除文中已经注明引用的内容外， 本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、 己公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体， 均已在文中以明确方式标明。 本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名: 体1;k f 二 1 娜年 “月 才日 第一章引言 第一章引言 随着具有并行处理功能的高性能计算机应用机会的不断增加，极大地推动 了并行数值方法的发展，并行算法的研究日益受到重视。许多大型的科学计算 问题都归结为求解复杂的偏微分方程或方程组，因此，并行求解偏微分方程具 有重要的意义。 第一节研究现状及意义 抛物型方程是三类古典的数学物理方程之一，在实际应用中占有极为重要 的地位。如研究分子扩散现象 ( 如气体扩散、液体的扩散、液体渗透、半导体 材料中杂质的扩散等)时，经常要考察空间某物体上各点的温度分布状态，这 可归结为抛物型方程的定解问题。对于该类方程特别是线性情形，串行差分方 法的研究已 经很成熟。 并行差分方法的研究始于上世纪8 0 年代，e v a n s 教授针 对抛物方程于 1 9 8 3 年 【 1 )提出了分组显式的思想，并于 1 9 8 5 年 2 )中提出 了交替分组显格式 ( a g e ) 。张宝琳教授于 1 9 9 1年 【 3 】提出了交替分段显一隐 格式 ( a s e i ) ， 又于1 9 9 4 年 4 ) 提出t 交替分段c r a n k n i c l o s o n 格式。后来， 交替型并行格式被进一步推广到非线性抛物型方程、高维方程问题及其它类型 的方程，如:一阶的 双曲方程、三阶的色散型方程等等，得到了很大的发展( 见 8 】 一 【 1 6 ) 。 9 0 年代初，d a u s o n 等，提出了区域分裂型并行差分格式 ( 见 5 ) 6 ) ) ,随后这一类型的格式也得到了较大的发展 ( 见 【 1 7 】 一 【 1 8 7 ) 。两 种并行格式相比 较各有优势与不足:一般地，区域分裂型格式有较好的加速比， 但目 前出现的格式均是条件稳定的，而交替型格式尽管加速比不如区域分裂格 式，但它是无条件稳定的。然而无论哪种类型的并行格式，至今研究高精度格 式的文章还比较少， 仅见文章 【 7 ) 讨论了抛物方程周期型初边值问题的高精度 交替型并行格式。 相比较， d i r i c h l e t 定解问题是更基本的数学物理问题， 显然讨 论这一问题的高精度并行格式是有重要意义的，本文将针对抛物型方程的 d i ri c h l e t 定解问 题进行研究， 给出抛物型方程的 d i r i c h l e t 定解问题的高精度的 a g e 格式。 第一章引言 第二节本文的主要工作 构造高 精度格式必然要用到更多的网格点，求解 d i ri c h l e t 定解问 题，自 然 要处理好邻近边界点的情况，给出合适的格式，以保证总体格式是绝对稳定的 且是具有高精度的，这是本文需要解决的关键问题。本文对如下定解问题: =v。 ( x , t ) e ( 0 , l ) x ( 0 , t ) v ( o , t ) = al , t ) = 0t e 0 , t v ( x , 0 ) 二 v o ( x ) x e 0 , l 构造了具有三阶精度的交替分组显格式，证明了格式的绝对稳定性，并进行了 数值试验。结果表明，格式具有三阶精度，且好于原来的 a g e格式。本文具体 内容安排如下: 第一章，综述本课题研究现状与意义。 第二章，介绍四点组求解公式，并构造适合边界点附近运用的三对基本格 式。 第三章，给出各种情况下的交替分组显格式，分析格式的截断误差并证明 格式的绝对稳定性。 第四章，给出数值例子，观察差分解的 l 2模误差随 h变化的情况，并与 e v a n s 给出的a g e 格式进行精度比 较。 第二章 基本公式与格式 第二章基本公式与格式 先记 本章首先给出成组点的求解公式，然后构造邻近边界点处的基本格式。 将区域 【 0 , l x 0 , 7 1 进行网格剖分，a t 分别为空间、时间步长。 x i = j h , j = 0 ,1 二 j , j h = l; t o = n r , n = 0 ,1 , 2 . n , n r = t 用 u : 表 示 (x ， ， 广 ) 处 的 差 分 解 ， 并 设r = 太 2 第一节四点组求解公式 我们首先介绍文 7 】 提出的四点组显式求解公式。 1 7 】 构造了以下基本格 式: .1214 2222 . 7 r , n + i 2 r ( 1 + 丁 vu，一 二 二 1石jn+iu ,+l + 台n+,u ,+2 r。4 r 。 2 3 r , 。 2 r = 一 万u , - 2 + 了u ， 一 + l ， 一 万) u j + 了u ; + 1 zr-32r 2 r n + i ， 。 2 3 r 、 。 + i 一 : 犷 u, - , + ( 1 + 兀 ; 二 ) u, jl 4 r 3 . + 护n + lr. u , + i + 万u , + 2 = 一 万u , - 2 + 之，zr r n + i 4 r 1 2 u i - 2 一 了 n + 3 ， 。 2 3 r , n + i 材, _ , + k 1 + 不 ,- ) u, 1l n + 1 ， 、 7 r 、二 材, . i _ k , 一1 万少 材; ，1 曰 一 7 r , 材1 - 1 + l i 一 二 百) 材1 1 月r. + 了u , . l 一 万u,.2 rn + l 万u , - 2 2 r + , ， . 7 r , n + i 一 丁u ， 一 ， + “ + 万) u ,= 丁u , - t 2 3 r , 。 4 r 。r + k i 一 二 不 一 ) 材i 十 二材1 + 1 一 获材1 + 2 ,tj一,. 考 虑 上 述 格 式 ( 2 . 1 ) 一( 2 . 4 ) 在( x , , r ) 的 泰 勒 展 式， 则 可 得到 下 述 截断 误 差表达: t ( 2 . 1 ) 二一 r h v , + 二 h 2 v ( 4 ) 一 二 h t v + 2 3 t ( 2 . 2 ) 二一 r b y ， 一 二 h 2 v (4 ) 一 二 h : v + 2 3 4 马了 t ( 2 . 3 ) = 二 加 一 二 h 2 v ( 4 ) 2 3+ r h zv 4 + “ “ 十 + 第二章 基本公式与格式 马r t ( 2 .4 卜二 h v + 二 h 2 v ( 0 ) + 二 h a v + o ( t 2 + 2 1 2 + 2 3 4 其 中v a2 v axat a 3 v_ . 一 v = a x a t 2 导 数 但p i 位 ( x , , t ) 处 。 为 t 求 解 ( x j l t - 1 ， ( x j + 将上述四个格式联立， ( 2 . 1 ) 、 r m l ) ， ( x l + 2 , t m l ， ( x j + 3 , t n + l ) 处 的 差 分 解 ， 可 ( 2 . 2 ) 、 ( 2 . 3 ) 、 ( 2 . 4 ) 分 别 对 应毛, x j + l i x j + 2 i x j + 3 处所需的格式，得到如下代数方程组: ( i + d )(u + ,，u n+ l，u n +l ，u + ,) t( )(u j u j+ ,u ,+ 2 u ;+ 3) 一 (b , b 2 ,b , ,b w v w 4 ) r i +d 2 = 一8 2 3 一1 6 一4 1 一1 6 3 0 一6 一 1 6 2 0 w, = w 2 = - 2 r u j-e + 3 r u j-5 + ( 一 2 312 r )u :一; + 2+ 3 r u ，一 一 1 r u- 12:二 + 3 r u j-4 + (， 一 2 r) u ，一 w3 =uj - 2 w4 - uj - 1 易 证 : d 2 + d 2 r是 非 负 定 的 。 所 以 ， 方 程 组 可 解 。 3 . 考虑中间的四点组 在点 和点 之间的四个点应用公式( 2 . 1 ) -( 2 . 4 ) ，同时 应用已知条件有: 一12之3 j 。 7 r , n , i ( 1 + 二 百1 ,.4 5 l乙 2 r n * irn a l 2 3 r 一 丁u 6 + 万u , = r 。 4 r 。 月 - u 3 + 丁u , + k l 一 1乙j 。 2 r 1 u 5 +下一 u6 j u 鲁. 2 r -1 . 2 3、n + 1 + 吸 1 + 下 r 1 材 1乙 4 r n + 1 r 。 + 1 r 一 了u 5一 了u , + 万u 。 一万 u 4 u s + ( 1 - r n + 1 4 r 。 + 1 万u ， 一 丁u 6 r . . + 1 2 r n + 1 万u 一 了u , ， . 2 3 、 + + 万r ) u , 2 r . + 1 一 了u s= n 一 互 ) 1 2 2 r ，r u , + 了u 。 一 万u j - 4 ， 7 r , ， + 1 + k i + 二) u s= i名 2 r 。 ， 2 3、 二 犷 材 , +( 1 一 1 百r 1 材 s j1 4 r . . r + 了u j - 4 一 石u , - 3 方程组可表示为: ( i + d ) ( i 1 n5+ 1 u 6n + 1 u 7n + 1 u s n + i) t 一 ( 9 1 9 1 9 1 9 4 ) t 其中，1 为单位矩阵。 第三章d i r i c h l e t 初边值问题的四点组 a g e 方法 一8 2 3 一1 6 1 1 一1 6 2 3 一8 7-810 了|.!、 1-12 -一 d = - 1 2 u 3 + 3 r u 4 + (1 一 誉u:+2 ru s + 3 u 6 一 台 u : 十 警 u ; + 。 一 斋 )u 6 一 。 一 斋 ) 。 : + 警 u ; 一 r1 2 u ; -, 2 r 。 , . 2 3、 ， 4 r =二. 封 r + ( t 一 ; 育r ) 探 8 + 下 厂 封 j - 4 j1lj r 一 万u j - 3 乙乙乙乙 易证:d+ d r 是非负定的。所以，方程组可解。 综上对于奇数层的解的方法可表示为: ( i + g . ) u + ， 一 ( ， 一 g , ) v n -0 ,2 ,4 ,6 , 8 , . . . . . . 其中 : g , = d i a g ( d d , d 2 )q = d i a g ( 0 , 0 , d , d , 0 , 0 ) 了= ( u , , 端， 试， ， 端 - ,) r rr - 0 ， 1 ，2 . 二 ” 由 于 d + d t ， 只+ 可( i= 1 ,2 ) 非 负 定 ， 故g , + g 厂( i = 1 ,2 )非 负 定所以 ， 方 程 绝 对 稳 定 推广到一般情形: g , = d ia g ( d d , . . . , d , 几)g 2 = d i a g ( 0 , 0 , d , - - - , d , d ,0 ,0 ) 第三章d i r i c h l e t 初边值问题的四点组 a g e 方法 0 0 1 + i 十g , ! 十二 二 r 2 3 1 + i r u卜110 r-梦-琢一 323-122r-30 十- 2之3r一12。 sr一3也3r-12。 r-122r-3 -12生3 zr一323 122r-30 - -124r一3一 r-，一户1 71zj-3尸2 +111 -12土3 ;一12之3 1 + 5 r zf-2 之3津12也，;一3 l+e提方一。r-。r一仪 0000 120000 了nf!卜llwe.1.raes!ee，ieel1.es、 - 000 000 0111八u 卜”nu 00八u 000r 00r 02r-3 0八u 0.0 12加-3 124r一3122r-3 2 r 卜 卫， 3 1 2 0一 二竺 1 2 3 1 - 卫， i 一 g z = u八u r一12竺3 ;一12竺3 1 一2 3 1 一 卫; 1 2 一12竺3 1 一 7 r。 1 2 .皿0 00 0n 00 nuo 00 00nu 000 000 00 第三章d i r i c h l e t 初边值问题的四点组a g e 方法 3 . 1 . 2 考虑偶时间层的情况 在点处应用公式 ( 2 . 1 2 ) ，在点外w 用公式 ( 2 . 1 6 ) ，同时应用已知条件 有: 1， 5、 = 1 1 一育r ) u j n . 1 1 n + 1 1 n + 1 1 .1 1 + 2 r u 2 + 3 r u 3 一 万r u a = 了 r u 1 . 5 、 ， + ( 1 一 万r ) u2 l 4 .1 1 + 1 + 3 r u ， 一 万r u 4 耐1耐2 uu 在点0处应用公式 ( 2 . 1 6 ) ， 在0处应用公式 ( 2 . 1 4 )， 同时应用已 知条件 有: . 李 2 uj - 2 -一 石r u r - 4 n + 1 ， . 5 、 -1 .7 - 3 + 1 ， 一 2 r 1 z l r - 2 4 .1 十 3 r u r - 1 n + 2 1 .1 1 n + 1 1 u,-1 = 一 i 2 r u _ 4 + 3 r u , _ 3 + 2 r u n + 1 ， . 5 、 - 1 j - 2 + k ， 一 3 r ) u j - 1 在与0之间的 两个四点组分别应用公式 ( 2 . 1 ) 一( 2 .4 ) ，同时应用已 知条 件有: 7 r , n + 2 ( 1 + 二 百探3 t乙 2 r m2 r + 2r - 1 一 万u 4 + 万u , 一 万u 1 + + ( 1 一 2 3 r , - 1 2 r - 1 万1 u 3 + 了u , 2 r.，4 r n + 2 r n + 2 r n + i 一 了u 3 rn + 2 万u 3 rn + 2 万u 4 ， 2 3 、 n + 2 +( i + - r 1 u4 1石 4 n + 2_ 2 : 一 3 u ,+ 万u 6= 一 万u 2 2 r n + 1 7 r , + 下 一 u3 + ( 3 一 获) 材 j2乙 n + 2 2 r n + 2 3 、1 2 一 2 n + 2 “7 、 n + 2 一 3 r u s + ( t + 万r ) u 6 一 了u 6= ( i 一 7 r 1 2一 犷 ， + 2 r 3 n + 1尸- 1 2 r n + i ， . 2 3、 n + i 了u , + “ 一 万r ) u 6 “一 石u 7 n + 1了n + 1 u ，一 花u 8 u6 4r-3 ， 7 r , u+-i 1 2 n + l 2 r n + i + 万u j - 4 r月 u 7一 丁u 8= 一 万u , 4 r ， ， 。 2 3 r , n 2 r + 二材 6 + ( l 一 兀 万) 材 ， + 丁探 : jlj _ 2 r 3u 7 + 1 + ( i + 2 3 1 2 n + l 4 r n + i r n + 1 r ) u :一 了u j - 4 + 万u j - 3= 一 万u 6 2 r n ， . 7 r , + 丁 u 7 + ( i 一 言) 材 : j.乙 产n + l 万u 7 r” 于 t 万u s 一 警 u s+1 + (i + 臀 )。 n+lr ) u j-4 一 警 u n+1u j-4 十 。 十 7 r 。 n+112 2 -, = 2 r 2 r 一 万u j - 3u j - 4 十 丁u j - 3 r 一 万u j - 2 2 r 。， ， 2 3、 。4 r 丁u j - 4 + ( 1 一 万r 1 u j - 3 + 了u j - 2 产月 一 万u j - i 将上述的方程， 组成方程组可表示为: ( i + g z ) u - 2 二 ( i 一 g d u a * . n = 0 , 2 , 4 , 6 , 8 第三章d i r i c h l e f 初边值问题的四点组a g e 方法 综上:当 j = 4 k+ 1 解的方法可表示为: ( i + g ,) 丫 = ( i 一 g z ) 了 ( i + g 2 ) u = ( i 一 q ) u n = 0 , 2 , 4 , 6 , 8 . . . g , = d i a g ( d , , d , 几)q= d i a g( 0 , 0 , d , d , 0 ,0 ) 了_ ( n ， n ， n ， ， n _ ) r- ( u 1 u 2 u 3 r , u j - 1 由 于d+ d t ， d , 十 d t 故 g + g t ( i= 1 ,2 ) 推广到一般情形: ( 1 = 1 , 2 ) 非负定， 非负定所以，方程绝对稳定。 g , =d ia g ( d , , d , . . . , d , 几) g z = d i a g ( 0 , 0 , d , - - - , d , d , 0 , 0 ) 第二节 j = 4 k + 3 的情形 奇时间层靠近左边界处的两点应用显格式 ( 2 . 1 2 ) , ( 2 . 1 6 ) .靠近右边界处 的四个点，分别应用公式 ( 2 . 1 ) , ( 2 . 2 ) , ( 2 . 1 5 ) , ( 2 . 1 3 ) ，中间的点四点为一组， 应用成组点求解公式。 偶时间层左边界附近的四个点分别应用格式( 2 . 1 1 ) , ( 2 . 1 5 ) , ( 2 .3 ) , ( 2 .4 ) ， 右边界附近的两点为一组， 应用显格式 ( 2 . 1 6 ) , ( 2 . 1 4 ) 。 中间的点 四点为一组，应用四点组求解公式。为了清楚起见，以k = 2 为例用图3 . 2 示意: 第三章 d i r i c h l e t 初边值问 题的四点组a g e 方法 3 . 2 . 1 奇时间层的情况 在( 1 ) 处应用格式 ( 2 1 2 ) ， 在( 2 ) 处应用格式 ( 2 . 1 6 ) 一 。 一 3 r)u l + 2 r u 2 + 3 r 一 誉 。 : + (， 一 号 r ) u 2 + 鲁 ， 1 u 3 一 万r u e 1 u 3 一 万r u 4 +l+l 月.月凡孟 uu 在( 2 ) 和( 3 ) 之间的四点组应用四点求解公式有: 3，一2纷 差-lz 月 7 r , - 1 k l +丁 vu3 1g 2 r 二 ， 1rn + 1 一 了 u . + 万 u , r， 4 r = 一 万u , 十 了u 2 十 ( ( i - 。 2 r ) u ， 十下 一 u4 j u 答 2 r n + 1 一 了u 3 ， . 2 3、n + l + t 1 + 丁 万 r ) 封 1 4 r . + 1r . + 1 r. 一 了u ,+ 万 u 6 = 一 万 i!t 2 + 3 u 3 十 ( 1 - r. + ! 1 2 u 3 rn + l 万u 4 4 r . . t 一 丁u 4 ， 2 3、 m l + 气 1 + 获 r ) 材， l 2 r n + 1 _ 11 7 入 一 - u 6 一, . 一 万 不 ， j1l 2 r。r u 5 + 丁u 一 万u j - 4 2 r n + i ， . 7 r , n + i 一 - 材 s + ( t + 获 j u 6 j1 2 r = 丁u 5 2 3 + ( 1 一- r ) u6 胜乙 4 r x r + 丁u 、一 万u j _ 3 在点 ( 3 ) . ( 4 ) . ( 5 ) . ( ) 处分别应用公式 ( 2 . 1 ) . ( 2 . 2 ) . ( 2 . 1 5 ) . ( 2 . 1 3 ) 有: ， 。 7 r , n + i l 1 + 获) 材 j - 4 l乙 2 r n + i 一 万u j - 3 rn + l 4 r + 万u j _ z 护月研r月 一 不u 5 十 7u 6 十 妙 一 1乙j 2 3 r , 。2 r 二 n ) u j - 4 + , 材 ， 一 3 1乙j 2 r n + 1 ， 。 2 3、 n + 1 - - u . 一十u十 - r ) uj - 3 l 4 r n + i 一 了u l - 2 + 二 1 2u n + 1 u j - 1 = 一 万u 6 + 2 r 。， ， 7 r , -s u j 一十 一 a n ) j1g uj - 3 1 n + l 万r u j - 4 4 n + l ， . 5 、 n + l 4 n + l 一 3 r u j - 3 + t i + 2 r ) l l ， 一 ， 一 3 r u j - 1 = uj - 2 1 n + l 1 n + l 1 n + l 万r u . 、 一 3 r u j - ， 一 2 r u j - 2 ， . 5 、 。 +1 + ( i + - r ) u j - 1 uj - l 于是奇时间层的差分解的情况可表示为 ( 1 + g 3 ) 了+ ， = ( i 一 g s ) 了 乓= d i a g ( o , o , d , d 2 ) g 4 = d i a g ( 马， d , 0 , 0 ) 3 . 2 . 2 偶时间层的情况 在点 ( ”、 ( 8 ) . ( ，)、 ( 1 0 ) 处的情况与7 = 4 k + 1 的情形中的点、 、 、 处 第三章 d i r i c h l e t 初边值问题的四点组a g e 方法 的情形同，有: 5 、 n + 2 ( 1 + r 1 u1 j一 2 r u 2一 合 。 n+2 + _1 u n+2r u 3 + 12 r u 4 月 十 赶 = u1 4二 + 1 一 3 r u 1 ， . 5、 n + 2 +l 1 + 万r ) 材 z 4 n + 2 1 n + 2 一- r u 3 十; nr u 4 jls 月 + 百 = u2 1， 1 n + 2 4 n + 2 万 r u ，一 了 r u e 1 n + 2 2 n + 2 万 r u e 一 3 r u s + (， + 2 3+ (1 + 12 r ) u 3+2 + (1 + 云 ) u n+2r ) u 4 一- ; r u, = 了 r u 3 = ( 一 7 ) u n+i12 r ) u 3 + (1 一 臀 ) u n+1r ) u 4 2 n + 1 r n + l + 了 r u 4 一 万u , 4 r n + 1 r . + l + 了u $ 一 万u 6 在点 d 0 到点 的 之间的四点组应用四点组求解格式有: 7 r , n + 2 ( 1 + - ) 探， 1 2 rr n + 2 r n + t 4 r n + 12 r n + 1 一 了u 6+ 万u j - 4 = 一 万u 3 + 了u 4 2 3 r , n + l + l i 一 下 不) u s 1l+ 了u 6 2 r r . 2 一 丁u s ， 。 2 3 、 n + 2 +t i +- r 1 u6 1l 4 rr . . 2r r *i2 r + i 一 丁u j - 4十 万u j - 3 = 一 万u 4 + 丁u , . 7 r , n + i 十 t i 一 获声 u 6 1乙 r。 + ， 4 r n + 2 万u ，一 丁u 6 ， 。 2 3、 n + 2 + ， + 万r ) u , - 4 2 r n + 2 一 了铸一 ， = ( 1 一 互 ) 1 2 n + i 2 r n + 1护- + u j - 4 + 了u j - ， 一 万u j - 2 r. + 2 2 r n + 2 ， . 7 r , 。 + 2 一 二 厂 u j - 4 + ( 1 + 丁 1 , 材 j - 3 j1 台 2 r , . 2 3、 n + l 4 r n + 1 + l 2 一 下r ) 封 j - 3 t 二u j - 2 1j rn + 1 = 了u j - 4一 万u j - 1 ( 1 1 ) , ( 1 2 ) 处分别应用格式 ( 2 . 1 6 ) , ( 2 . 1 4 ) 有: u n , 2u j _ z一 合 以、 4 r u - 1- 12 r u j_4 + s r u j-3+ 。 一 5 r)u 分 42 r)u j-2 + 3 r u j-1 u n + 2z l j - 1 1 1 1 n + 1 1 n + 1 = 一 万r u j - 4 + 3 r u ， 一 ， + - r u j - 2 s 、 n + 1 十( 1 一- r) 刀 ，。 3， ， 护 一 且 于是偶时间层的方法可表示成: ( i + g 4 ) u-， 一 ( ， 一 g 3 ) v+ 1 综上 j = 4 k + 3 的情形方法可表示为: 第三章 d i ri c h l e t 初边值问题的四点组a g e 方法 ， 十 g , ) 了. ， 一 ( ， 一 g , ) 了 x =0 , 2 , 4 , 6 1 + g , ) i * z 一 ( 1 一 g ) u * ta 推广到一般情形: 仇= d i a g ( 0 ,0 , 几. . , d , d z ) 仇 = d i a g ( q， d , - - - , d , 0 , 0 ) 第三节j = 4 k 的情形 奇时间层靠近左边界处， 三个点为一组分别应用显格式 ( 2 . 1 2 ) , ( 2 . 1 6 ) , ( 2 . 1 6 ) 0 靠近右边界处的四个点为一组， 分别应用公式 ( 2 . 1 3 ) ，中间的点四点为一组，应用四点组求解公式。 五个点为一组，分别应用公式 ( 2 . 1 1 ) , ( 2 . 1 5 ) , ( 2 . 1 5 ) , 附近的两点为一组，分别应用显格式 ( 2 . 1 6 ) , ( 2 . 1 4 ) 0 应用四点组求解公式。下面以k = 3 为例用图3 . 3 示意: ( 2 . 1 ) , ( 2 . 2 ) , ( 2 . 1 5 ) , 偶时间层左边界附近的 ( 2 . 3 ) , ( 2 . 4 ) ，右边界 中间的点四点为一组， 润。(7) 的。(6) 六 0一 0 0(8) (9) ow (id(1) (2) (3)0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 j - 4 j - 3 j - 2 j - 1 j 图 33 3 . 3 . 1 奇时间层的情况 在 点 ( 1 ) , ( 2 ) . ( 3 ) 处分别应用格式 ( 2 . 1 2 ) . ( 2 . 1 6 ) . ( 2 . 1 6 ) ， 有: n + t 、 5 、。 1二 1， 1 拟 1=( t 一 - r ) 材 i + 万r 材 ， + 万 r u ， 一 石 r 探 ; jj1 第三章 d i ri c h l e t 初边值问题的四点组a g e 方法 4。 ， 5 、 。 4。1 = 万 r 探 t + ( i 一 万 r ) u 2 + 万 r u 3 一 石r 材 jt 1。 4。 ， 。 5、 。 4。 1 _ - ; ., r u t + 1 r u e + ( i 一 -; r ) u 3 + 2 r u 4 一 石r u , i 乙jjl 针场肋铸 在 ( 3 ) 和 ( 4 ) 之间的四点组应用四点组求解公式有: 23r一12互 7 r , . . t k i + - ) u 4 il 2 r . . t r月 + i 一 了u , + 万u 6 r n 4 r =- t u z + 二 犷 u 3 + 1 一 1j 。 2 r ) u ; 十二 二 j u ; 2 r + o 一 了u 4 +( 1 + 2 3、 n . t 百 二r ) u5 i6 4 r n + t r n + t rn 一 丁u 6 + 万u , =一 万u 3 + u 4 + ( 1 -互 、 1 2 u nu s rn + s 万u 4 月 +1 万u , 在点 同有: + (1 + 知n+tu 6 一 2 r n3 u , 一 。 一 合 u:+-7 r . ) u 6 + 3 r2“ 一 r12 一; + (1 + t2 ) u ;+i = 3 r u 6 + ( 一 2 312 r ) u + 警 u ;、 一 1 2 u ;-3 ( 4 ) , ( 5 ) , ( 6 ) , ( 7 ) 的 情况与j = 4 k + 1 的 情形中点、 、 、 的 情形 7 r , ( 1 +-) 1 2 u r au j - 4 2 r 。 + i r， + i 一 了u , _ 3 + 万 u , - 2 二 一 万u 6 4 r 。 ， 2 3 r 、 二2 r + 丁u 7 + ( ， 一 万) u ， 一 + 丁u j a 2 r + j 一 丁u j - 4 ， 。 2 3、 + ， + 万r ) u j - 3 4 r n + j rn + i 一 了u , - 2 + 万 u j - i r n 2 r 。 7 r , = - -u 7 + 二材 j - 4 + 1 i 一 下) t ，it uj - 3 1 n + i 万r u j - 4 1 n . 1一 3 1 ,j-3 + (1 + 号 ) u n+1r) u ,-x 一 奋 u n+lr u r-1 1. ， 1 n . 1_ 5 。 + 1 =u! - 2 万r u . - ; 一 丁 r u ， 二 一 百 r u .f - ， 十 t ， 十 百 r ) u r - l = z l r - 1 于是奇时间层差分解的情况可表示为: ( i + g , ) 丫 ， = ( 1 一 g 6 ) 了 其中 : g s = d i a g ( 0 ,0 ,0 , d , 几) ，氏 = d i a g ( 几， d ,0 , 0 ) 2 0 一1 6 一6 3 0 一1 6 1 0 一4 一1 6 3 0 一1 6 1 1 1 一1 6 2 3 一8 n0 1 9 第三章d i ri c h l e t 初边值问题的四点组 a g e 方法 3 . 3 . 2 偶时间层的情况 在点( 8 ) , ( 9 ) , ( 18 1 , o d , o z处分别应用公式 ( 2 . 1 1 ) . ( 2 . 1 5 ) . ( 2 . 1 5 ) . ( 2 . 3 ) . ( 2 . 4 ) 有: ， 。 5、 ， + 2 ( 1 t 万 r ) z s , j 1 n + 2 1 一 2 r u 2 5 n + 2 + 一 3 r u 3 万r u , 口 十1 留u, 2” ， . 5、 a + 2 + ( 1 + 2 r ) u 3 1 2 1 2 日 + 2 r ue 。 十 2 r 双， 4，2 ， 。 -rv二 十十 3j 一 普 。 a+2r u 3 十 合n+2u 4 一 n+,u 2 一 誉 。 n+2r u 4 + 合n+2 = n+,u , = u 3 2 3 r)u - 212 r )zl4 一 号 +2 = ,r u s = 1一 劫。 +1u 4 + 号 。 n+,r u . 一 1 。 +11 2 r u . 一 3 r u 4 ， ， 7 、n a g + ( 1 十 下r ) 封 ， 1g= - r u 4 2 3、 + , + ( 1 一 1 万r ) 材 ， 1 乙 n + i r e + 1 + 3 r u 6一 万u , 在点( m 与0 3 ) 之间的四点组应用四点组求解公式有: “ 7 r , n + 2 2 r n + 2 r n + 2 ( 3 十 万 ) u 一 了u 7 十 万u j - 4 =一 万u 4 + 竺u n + i u , + ( i 一 答) n + ln 4 f 6 lz 2 3 r 2 r n + l + 了u 7 2 r n + 2 一 了u 6 ， 。 2 3 、 n + 2 4 r n + 2 r n + 2 + ( ， 十 万 r ) u ， 一 丁 u j - ; 十 万 u j -3= 一 万u , 2 r + i ， 7 r , n + l + 了u 6 + ( 一 万) u 7 _r u +27 1 u 6 一 粤 u 州 + (1 + 2 典 r ) 。 n+2r ) u j -4 一 粤 。 n+2u j -3 = (卜 _7 r ) 。 n+l, ., ) u j -4 十 粤 u n+iu j -3 t 夕.j14j r u n+12 u 7 一 警 u 尤 + ( + 7 ru j-4 + (1 + )u n.212 ) zlj-3 一 譬 u n+lu j-4 + ， 一 臀 )。 n+l + 4 r u n+ir ) u j-3 + 3 u j-2 在点 ( 1 3 ) , (