（计算数学专业论文）对流扩散方程非均匀网格上的高精度紧致差分格式及其多重网格算法.pdf

与二夏人学硕i ：学位论义摘要 摘要 高精度紧致差分格式和多重网格方法相结合越来越广泛地应用于各类偏微分方程的数值求 解，并充分体现出了其精确和高效的计算优势，特别是对于椭圆型方程的研究最为深入但是 已有的文献报道中，高精度紧致格式及其多重网格算法大多数是在均匀网格上提出和实施的， 而对于非均匀网格上高精度紧致格式及其多重网格算法的研究报道很少见 本文基于已经建立的二维对流扩散方程非均匀网格上的高精度紧致格式，进一步将之推广 到三维并建立了三维对流扩散方程的非均匀网格上高精度紧致格式然后结合多重网格算法求 解1 f 均匀网格上离散的线性代数系统由于已有的多重网格算法都是在均匀网格上实施的，不 能适用于非均匀网格的计算，因此本文根据面积率和体积率( 对三维) 分别构造了适合网格完 全粗化和部分? 卜粗化的多重网格算法的限制算子、插值算子及循环迭代算法数值实验结果表 明，非均匀网格上的高精度紧致格式在求解人梯度或边界层等问题时能够提供比均匀网格上更 精确的数值结果，多重网格方法具有比传统迭代法更高收敛效率比较网格完全粗化和部分半 粗化多重网格方法可见，对于各向异性问题网格部分粗化多重网格算法在计算效率和精度方面 都要比网格完全粗化更经济、有效 关键词：对流扩散方程，紧致差分格式，1 f 均匀网格，多重网格方法，部分半粗化 宁夏人学顾i j 学位论文 摘璎 a b s t r a c t h i g h - o r d e rc o m p a c td i f f e r e n c es c h e m e sc o m b i n i n gw i t hm u l t i g r i da l g o r i t h m sa r ee m p l o y e d w i d e l yt oo b t a i nh i 【g h a c c u r a t en u m e r i c a ls o l u t i o n so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，e s p e c i a l l yf o r e l l i p t i ce q u a t i o n s ，a n ds h o wt h e i rc o m p u t e da c c u r a c ya n dc o m p u t a t i o n a lh i 【g he f f i c i e n c y f o re l l i p t i c e q u a t i o n st h e r ea l em a n yr e p o r t so nd e v e l o p i n gh i g h - o r d e rc o m p a c tf m i t ed i f f e r e n c es c h e m e sa n d m u l t i g r i da l g o r i t h m so nu n i f o r mg r i d h o w e v e r , t h e r e a r ef e wf o rn o n u n i f o r mg r i d s b a s e do np r o p o s e dh i g h o r d e rc o m p a c ts c h e m eo nn o n u n i f o r mg r i d sf o r2 dc o n v e c t i o n - d i f f u s i o n e q u a t i o n ，t h eh i g h - o r d e rc o m p a c ts c h e m eo nt h en o n u n i f o r mg i r d sf o r3 dc o n v e c t i o n - d i f f u s i o n e q u a t i o ni sg i v e ni nt h i sp a p e r t h em u l t i g f i dm e t h o di su s e df o rs o l v i n gt h el i n e a rs y s t e md i s c r e t i z e d f r o md i f f e r e n t i a le q u a t i o n o w i n gt ot h ee x i s t i n gm u l t i 酊dm e t h o di sa l lc o m p l e m e n t e do nu n i f o r m g r i d ，t h er e s t r i c t i o no p e r a t o r , i n t e r p o l a t i o no p e r a t o ro nn o n - u n i f o r mg r i df o rf u l l - c o a r s e n i n gs t r a t e g ya s w e l la st h es e m i - c o a r s e n i n gs t r a t e g ya r ec o n s t r u c t e db yt h ea r e ar a t i o d i f f e r e n tc i r c l ea l g o r i t h m sa r e a l s ob e e nd e s i g n e df o rd i f f e r e n tg i r d sc o a r s e n i n gs t r a t e g i e s n u m e r i c a le x p e r i m e n t sv e r i f yt h a tt h e h i g h - o r d e rc o m p a c ts c h e m e sb a s e do nn o n - u n i f o r mg r i d sc a no b t a i nm o r ea c c u r a c yr e s u l t st h a nt h e s c h e m e so nu n i f o r mg r i d sf o rt h ep r o b l e m sw i t hg r e a tg r a d i e n t sa n db o u n d a r yl a y e r s t h em u l t i g r i d a l g o r i t h m sp r o v i d e da r ep r o v e dm o r ee f f i c i e n tt h a nc o n v e c t i o n a li t e r a t i v em e t h o d t h ec o m p a r i s o no f t h em u l t i g r i do nf u l l - c o a r s e n i n ga n dp a r t i a ls e m i - c o a r s e n i n gs t r a t e g i e sa r es h o w nt h a tt h em u l t i g r i d b a s e do np a r t i a ls e m i - c o a r s e n i n gs t r a t e g yi sm o r ee c o n o m i ca n de f f i c i e n tf o ra n i s o t r o p i cp r o b l e m s k e yw o r d s ：c o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n ，h i g h - o r d e rc o m p a c ts c h e m e ，n o n - u n i f o r mg r i d s ， m u l t i g r i dm e t h o d ，p a r t i a ls e m i c o a r s e n i n g 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示了谢意 研究生签名：穆磊耳时间：劲哆年石月牛1 9 关于论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交 论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位 论文的全部或部分内容 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名： 导师签名： 常寓军 时间：x 唧年月争i + i 时间：年月r 宁夏人学硕i j 学 讧论文 第一章绪论 1 1 研究背景和意义 第一章绪论 求解椭圆型方程的数值计算方法很多，如有限差分法、有限元法、有限体积法、边界 元法等其中有限差分法是一类很重要的数值计算方法，其基本思想是用离散的、至多有限 个量的差分方程去代替连续变量的微分方程和定解条件经过1 0 0 年的发展，它在理论上系 统成熟，有严密的理论依据而且其应用j “泛，构造新格式比较容易，方法简单、明了，易 - 丁编制程序因此一直以来备受广大研究者的青睐一些基本的差分格式，如古典中心差分 格式和迎风格式，它们在数值计算中都存在一定的不足：中心差分格式具有二阶精度，但是 当网格雷诺数较大时，采用古典迭代法求解会不收敛，故不能用于求解对流- 优问题；迎风 格式具有很好的稳定性，并且对于任何的网格雷诺数其离散系数矩阵都对角占优，不足之处 在于其只有一阶精度，不能满足实际计算和模拟的需要因此研究数值求解椭圆型方程的稳 定、高效及精确的差分格式备受j “大学者的关注 高精度紧致差分格式由丁其精度高并且具有小的离散子域、稳定性好、边界条件容易处 理等特点在偏微分方科数值解和计算流体力学领域越来越受到人们的重视已经发展了针对 泊松方程1 、对流扩散方程【5 8 1 以及涡量流函数变餐n a v i e r - s t o k e s 方程组3 1 的高精度紧致 差分格式但目前已有的高精度紧致格式及多重网格算法几乎都是在均匀网格上提出的和实 施的而在实际流场计算中，经常遇剑待求物理量如浓度、温度等急剧变化或空间分布不均 匀、人梯度问题、边界层问题或者局部奇性等问题，使均匀网格格式的计算精度受到很大影 响比较合理的做法是在大梯度或边界层区域内多分布些计算节点，而在小梯度或物理层变 化比较平缓的区域内少分布计算节点，这样既可以兼顾算法的稳定性和计算结果的精确性， 又可以节省计算量【l4 | 因此发展非均匀网格上的高精度紧致格式的多重网格方法无疑具有 十分重要的理论意义和实际应用价值 为了实现这一方案，目前比较流行的做法是采用坐标变换【l 乒侈】，即通过可逆的坐标变换 把物理区域上的1 f 均匀网格变成计算区域上的均匀网格( 1 1 9 】，计算出结果再通过逆变换返回 到物理区域这种方法在具体问题的求解中获得成功，但也有缺点其一，坐标变换往往导 致控制方程会增加一些项，如交叉导数项，这对于很多问题的求解来说，无疑会增加其计算 复杂度 1 6 - 1 9 】；其二，如果这种变换不能显式给出而是要通过求解某些微分方程( 一般为椭圆 方程) 得剑，就会增加计算量，并且另外引入新的计算误差，从而影响最终计算结果的精度 【2 0 1 ；其三，偏微分方程中的扩散项系数在物理区域中往往是一个常数，而通过坐标变换后 到计算区域上就可能不再是常数而是函数表达式，这也会对计算方法的构造带来困难 1 5 - 1 9 】冈此，发展不通过坐标变换而直接在求解区域上采用非均匀网格的计算方法具有重要 意义 鉴丁坐标变换的缺点，k a l i t a 等人针对定常对流扩散方程，不采朋坐标变换而直接在物 理区域上建立了1 均匀网格的紧致著分格式，并发展了相应的计算方法【2 数值计算结果 宁夏人学硕i ：学化论艾第一章绪论 与均匀网格进行了对比，充分显示了该方法在提高计算精度和减少计算量方面的优势但是 该方法仍限丁二二维定常问题，对于三维定常和1 卜定常问题的报道并不多见，这方面的研究有 待于深入下去 1 2 国内外研究现状 多重网格方法是从十九世纪七十年代后才迅速发展起来的一种行之有效的快速迭代方 法【2 2 4 1 ，已经从理论上被证明至少对丁求解线性椭圆型问题是一种最优化的数值计算方法 2 0 1 其计算工作量仅与最精细网格层上网格节点总数的一次方成正比，并且收敛速度与网 格尺度大小无关 近几年，g u p t a 和z h a n g 等人在将高精度紧致差分格式和多重网格方法结合用丁椭圆型 方程求解的理论分析和数值分析方面做了很好的j r 作 2 5 - 3 2 1 葛用斌等人在将这方面的一r = 作推 广到非椭圆型方程以及n s 方程组的研究中，做出了一些有益的尝试【3 3 椰】但我们注意到 差分格式往往是建立在均匀网格上的，所以其多重网格算法也是在均匀网格上实施的g e 和z h a n g 提出了在非均匀网格上适合求解边界层对流扩散方程问题的基于高精度紧致格式 的多重网格算法u s ，但仍然采 l j 了坐标变换，将物理区域变换到计算区域上仍然是在均匀 网格上实施的 然而，对丁各向异性问题，标准的网格粗化策略并不十分有效【3 2 】2 0 0 2 年，z h a n g e 3 2 】 提出了二维泊松方程的网格部分半粗化策略( 网格粗化过程仅在主控方向上进行，而在另一 个方向上的网格步艮则保持不变) ，数值实验表明对丁各向异性问题，该策略下的多重网格 算法比网格完全粗化策略下的多重网格算法取得更高的精度和更快的收敛效率，作者在文章 后指出将该方法推广到三维问题并非是一件轻而易举的事情2 0 0 7 年，马廷福等人【4 2 】对二 维对流扩散方程基于非等距网格高阶紧致差分格式，研究了标准网格粗化和部分? 仁粗化策略 下的多重网格算法效率2 0 0 8 年葛永斌等人1 4 3 j 完成了文献【3 2 中作者指出的非轻而易举的工 作，提出了三维对流扩散方程一般网格步长下的部分半粗化多重网格算法数值研究结果表 明，对下各向异性问题，一般网格步长下的部分半粗化多重网格算法比等距网格下的完全粗 化多重网格算法具有更高的精度和更好的收敛效率 1 3 本文主要工作 本文基于已经建立的二维对流扩散方程1 ! 均匀网格上的高精度紧致格式，进步建立了 三维对流扩散方程非均匀网格上的高精度紧致格式并结合多重网格算法求解非均匀网格上 离散的线性代数系统由于已有的多重网格算法都是在均匀网格上实施的，因此本文根据面 积率分别构造了适合网格完全粗化和部分? 卜粗化策略的多重网格算法的限制算子、插值算 子从而为大梯度、边界层或局部奇性等问题的数值求解提供精确、稳定、高效和实用的数 值计算方法本文，_ 1 ：作主要从以下几个方面展开： 1 推导二维和三维椭圆型方程( 包括泊松方程、定常对流扩散方程) 竹均匀网格上的 高精度紧致著分格式； 2 2 研究基于1 均匀网格上二维和三维椭圆型方程的高精度紧致差分格式网格完全租 化及部分半粗化策略下多重网格算法，包括构造非均匀网格离散格式的网格完全粗化和部分 半粗化策略下多重网格算法的限制算子、插值算子、细网格粗化方法及多重网格的循环算法； 3 通过数值算例比较均匀和非均匀网格上二维和三维对流扩散方程上的高精度紧致 差分格式的计算精度以及不同网格粗化策略下的多重网格算法的收敛效率 3 宁夏人学硕l j 学位论文第一二幸对流扩敞方程1 r 均6 j m 恪i i 的，阶紧敛格式 第二章对流扩散方程非均匀网格上的高阶紧致格式 对流扩散方程是描述有粘流体运动n a v i e r - s t o k e s 方程的一种简单模型，它描述的对流扩 散问题出现在气动力学、水力学、环境保护、化学工程等多种科技领域，对流扩散方程的数 值求解在计算流体力学领域扮演着非常重要的角色因此，研究对流扩散方程精确稳定和高 效的数值求解方法就显得非常重要 数值求解对流扩散方程的基本差分格式，如古典中心差分格式和迎风格式，均存在着 不同方面的缺陷，不能满足实际计算和模拟的需要因此，高阶紧致差分格式的研究受到研 究者普遍的重视目前人多数的高阶格式都基于均匀网格构造，对于犬梯度或计算区域内含 边界层问题的求解并不能达剑理论上的精度这就需要采用1 f 均匀网格进行计算 本章给出对流扩散方程非均匀网格上的高阶紧致格式由于文献【2 l 】已给出了二维对流 扩散方程的高阶紧致格式，因此本章的重点是在已有的二维高阶紧致格式的基础上推导二维 对流扩散方程在非均匀网格上的高阶紧致格式 2 1 二维对流扩散方程 二维定常对流扩散方程的一般形式为： 一口窘一6 守州w ，署圳w ，爹吡趴 亿t ， 其中( x ，y ) 口i ，口2 】x 6 l ，b 2 】，c ( x ，y ) 和d ( x ，y ) 分别为x 和y 方向的对流系数，源项 f ( x ，y ) 是求解区域上变量x 和y 的足够光滑的函数 陟 ( i 一1 ，j + 叠曼王7 _ 川+ 1 ) 8 ， y f 石 ( 萱一1 ，歹) o + 1 ，j ) r ( i ) 8 乒，y i ( i 一1 ，_ 一1 ) 岛一， ( j ，j 一移五。( j + 1 ，j + 1 ) 图2 i二维问题的9 点嘲格离散，j ：感图 将求解区域【口l ，c t 2 】和 6 l ，b 2 】分别剖分a l = 而 而，x 。一l 工。= a 2 ， 4 宁夏人学硕i ：学位论文第一二章对流扩散方程1 f 均匀列格i ：的，坼阶紧敛格， b j = y o y l ， n ：) 时，构造限制算子时只在工方向做加权平均： i ，i = 。i = 弓。 ( f ，) 施何 i ：_ 。= 圭( 厶i ”+ 厶。+ ，+ 1 从) = 弓，- ， ( f ，) q 铀片 图3 1 4 单方向上的限制示意图 其中较人的黑点表不粗网格层上的网格点，较小的黑点表不细网格层上的网格点 当n x = n y n z ( 虬= n y ：) 时，构造限制算子时在x 和y 方向上同时做加权平 均： i = 吒。t = 弓，j ，t ( f ，歹) 魂 i ：。 = ( c t r f 1 一l ，i + c 2 ，+ 1 t + c s + l ，+ l ， + c - 3 一l _ i + c o _ i + c j + l + c | 6 一l ，一l j + c 4 。产1 + c ，8 + i 一l ，女) = 弓，j ，t ( f ，) q 云 q 珂 当n x = ，= ：时，构造限制算子时同时在x ，y 和z 方向上同时做加权平均，相当于 完全粗化网格上的限制算子： i k ，i = 。= 弓j ，f ( f ，歹) 硷 i ? _ 2 古 _ t + k 乍i _ t + 。川+ 圪“”+ 圪_ h + 圪+ i + 圪- “ + + 1 ，i + l + 一1 j + l + 一l ，。一l + k o + i ，t i + k l + i + 1 i + 巧2 0 弘1 “1 + k 3 一l 。p l ，t + k 4 ，+ 1 t l + _ 5 + i 一1 t + k 6 ，一1 t + l + k 7 一1 一l + k 8 一i i l ，6 宁夏人学硕i ：学位论文第_ 三章1 r 均匀网格f ：的多蓖网格算法 + “9 + i 。p l ，i + l + v 2 0 r f 1 卜l ，“l + 圪l 一1 p l ， 一l + 圪2 i + l + 1 t l + 砭3 _ + i 一1 i + l + 匕4 吒- 1 ，- 1 七+ l + 5 ，l ，一l ，h + k 6 l ，- l ，i l 】 对于插值算子同样分情况讨论，当n x n y n ：时，构造插值算子时只在石方向做插 图3 。1 5 单方向卜的插值示意图 其中较大的黑点表示粗网格层上的网格点，较小的黑点表示细网格层上的网格点f 表示2 i ， 同理，歹表示2 j i ：互j = 亏，j = ，( f ，后) q r 、q h i 。h 只u ，。 i 1 ( 厶弓- l j , k + k 弓。) = h m u ，) q 一q 当 ，j = n y n ：( n ，= m n z ) 时，构造插值算子时在x 和y 方向上同时做插值： 其中 i h h 0 - - ，=r t 。j2 l i i ( f ，j ，k ) q nq i h h i - - 。t2 i 1 ( 三五小+ 瓴m ) = ，t i t2 古( + 瓴缸h ， i t2 毒( 乒+ 瓴如) 弘川t ( f ，j ) q q 何 i t2 毒( 墨矽弓q ) - t , k + 8 2 矽b 一档 弘h 川。t s 叫= s l 砂+ s 2 秒+ s 3 矽+ s 4 耖 s l 矽= h ，y h hs 2 叫= h ，) h 缸 ( i 一1 s 秒= h 驴h h ，1 s 2 s l ( i - 1 , j 一1 固 s 3 s 4 - 图3 1 6 x ，y 两个方向f i 司时插值示意图 s 4 矽= h 加h 肛 宁夏人学硕 j 学位论文第蔓奄1 f 均匀网格 ：的多蕈网格算法 其中较人的黑点表示粗网格层上的网格点，较小的黑点表示细网格层上的网格点f 表示2 f ， 同理，歹表示2 ，云表示2 尼 当m = n y = m 时，构造插值算子时同时在x ，j ，和z 方向上同时做插值，相当于完 全粗化网格上的插值算子值得说明的是参照以上两图，可以给出在j ，和z 在单方向上的插 值算子系数，以及在工z 和yz 两个方向上插值算子的系数： i 抚，= 亏，j = i ， ( f ，j ，k ) q r 、q i ：弓_ i = ( 。h 硝+ 厶弓。 ) = 叱t 上一x i 玩歹。i = f 1 ( 三咿亏 i + 岛亏加= m 。y i ，i = ( 。亏_ 抽+ k 。f ) = 一l ( f ，) q q ， 。一z i ：弓- = ( s l a y 1m + s 2 砂弓 l + 墨掣_ ，j ，t + s 4 x y h j 1 ) = 廿1 七 。矽 1 i ，i = ( s l 胆弓 柚+ s 2 矽亏 i + ，j ，i + s 4 弘1 ) 2 - 一l ”胆 1 i 鲁k f = ( s i 。弓- i , j , 柚+ s 2 。弓。柚+ s 3 。l 。i + s 4 印h “) 2h 川 。 1 i ：弓，j ，i = 矿1 ( k i ，f + 砭0 - l j ，f + _ _ i ，产l ，i + t ，j 吨f + 圪t j i l + 圪i _ i ，j 。i i + 巧n f l + 蚝i i 1 ) 2 川一i 对于二维和三维问题本文松弛算子分别均采用字典顺序的点高斯赛德尔迭代方法( p g s ) 、红黑顺序的点高斯赛德尔迭代方法( i m g s ) 、斑马线高斯一赛德尔迭代方法( z l g s ) 和 线高斯赛德尔迭代方法( l g s ) 3 3 本章小结 对于网格完全粗化和网格部分半粗化两种多重网格的粗化策略，本章采用面积率分别构 造了二维和三维问题非均匀网格上两种粗化策略下的限制算子和插值算子其中，对于三维 问题限制算子和插值算子实际上是采用体积率，然而由于其基本思想不变依旧称其为面积 率它根据当前：符点周嗣网格点的分布确定各相邻点对计算结点的贡献系数，而且限制算子 和插值算子在每个计算结点都不相同 2 8 豇 # 碳l 缸论文 摭叫章h 格竞争l l 化多栽h 格方n 数值算例 第四章完全粗化多重网格算法数值算例 本章采用具肯精确解的二维和三维对流扩散方程数值算例验证程序的正确性及本文提 出的非均匀咧格上的高精度紧致格式的猫度币i 住网格完全相化策略f 的多重网格力法的收 敛效率 假定问题的求解区域为【o 1 】 o j 】，e i f j 采片i 咀r 变换函数剖分求解区域 - = 专一鲁s i n c 竹= 面j 一等s i n ( t a 一， 其中_ v 和i 肘分别是对，y 区间鲋分后的子区间的个数 ， ，称作伸缩变换系数，该参 数可咀调仃网格点在某一点处的网格点的密集程度并且一i ! 一2 i 以x 方向为例， 当0 。l 时，网格点分布在= 1 附近较密集， ，的值越大，分布在= l 附近的网格 点越多：当一1 s 五，s 0 时，阿枯点窿= 0 附近较密集，z ，的值越小，分布在j = 0 跗瑶的 网格点越多；当丑，= 0 时网格剖分为均匀削分p 是角度的控制，肖目；2 m 时网格在该 方向的两个边界处分布皲多的阿格点：当o ：z 时在该方向的某个边界处分布较多的地界 点而且当h1 ) 式中两项的中间符号变为止时咧格在区域中间部分分布较多的呵格点 幽41h 格数为6 5 6 5 目均匀h 格1 f 均o 格的比较 2 9 宁夏人学硕i j 学位论文第p q 帝网格完令 4 l 化多亏网格方法数值算例 如图4 1 所示，( a ) 为均匀网格剖分，( b ) 为非均匀网格( 丑= 0 6 5 ，勺= 0 ) 的剖分， ( c ) 为非均匀网格( 友= o 6 5 ，a y = 0 6 5 ) 的剖分，( d ) 为p = 2 石且( i x = 0 6 5 ，名y = 0 6 5 ) 的1 f 均匀网格剖分 4 1 二维对流扩散方程 首先，选取三个具有精确解的二维对流扩散方程验证本文提出的非均匀网格上的高精度 紧致格式的精度和网格完全粗化策略下多重网格算法的收敛效率 算例1 ： 考虑一般的二维对流扩散方程 a 万2 _ _ 9 6 尝+ c ( 圳挈川圳娑：m ，y ) 叙2 一6 矿+ c ( 五y ) 瓦+ d “y ) 百2 ( x ，y ) 其中口= b = g ，c ( x ，y ) = 0 ，d ( x ，y ) = = _ i - 卜 y 满足d i r i c h l e t 边界条件，源项f ( x ，y ) 由精确解 u ( x , y ) = e ，。+ 2 - 1 5 ( 1 + y ) 1 州8 ，0 x , y 1 确定，该问题在y = 1 处有一垂直边界层 表4 1 1s = 1 时最人绝对误差( e 兀o r ) 、多重列格迭代次数( n u m ) 及误差收敛阶( r a t e ) 比较 表4 1 2s = 1 0 1 时最大绝对误差( e n - o r ) 、多壅网格迭代次数( n u m ) 及误差收敛阶( r a t e ) 比较 宁夏人学硕i 学位论文第叫章嘲格完伞杆l 化多草网格方法数值算例 表4 i 3 占= 10 2 时最人绝对谈差f e r r o r ) 、多薹9 啊格迭代次数( n u m ) 及误差收敛阶( r a t e ) l l 牟! ；2 表4 i 4 占= 1 0 3 时最人绝对误差( e r r o r ) 、多重网格迭代次数( n u m ) 及误差收敛阶( r a t e ) 比较 表4 i 5s = 1 0 2 时不删松弛算子在均匀网格和1 f 均匀网格：的效率 表4 1 1 _ 4 1 4 给出了s = l ，1 0 ，1 0 z ，l o 。时均匀网格和非均匀网格下不同网格等分下 的误差、多重网格算法在点高斯塞德尔松弛算子下的迭代次数和误差收敛阶由表中可以 看出当占= l ，1 0 1 0 - 2 时，均匀和非均匀网格下的计算结果都可以达到四阶精度且基本上具 有相同的迭代步数而且非均匀网格上取得比均匀网格上更小的误差当g = 1 0 q 时，均匀 网格上的计算精度明显下降，而且均匀网格上在细网格等分数下的误差大于非均匀网格上粗 网格等分下的误差( 如当占= l o - 2 时，均匀网格上n = 1 2 9 1 2 9 时的误差为2 5 1 ( - 5 ) ，而 非均匀网格上n = 6 5 6 5 时的误差为3 7 0 ( 6 ) ) 从表4 1 3 和表4 1 4 可以看出，非均匀网 格上的依然取得较好的精度并且保持四阶精度( 再如，当占= 1 0 q 时，均匀网格6 5 6 5 上 的最大误差为4 3 9 ( 1 ) ，收敛阶为1 0 9 ，然而非均匀网格上的最大误差为3 7 2 ( - 4 ) ，收敛阶为 4 5 7 ) ，当网格数增加时非均匀网格上需要比均匀网格更多的迭代次数 表4 1 5 比较了不同松弛算子在均匀网格和非均匀网格上不同网格等分数上的多重网格 方法的收敛效率由表中可以看出在均匀网格上线高斯迭代法都需要最少的迭代步数，因此 具有更高的收敛效率在非均匀上当网格数较小时线高斯和斑马线高斯具有绝对的收敛优 势，然而当网格数增大时，点高斯的收敛速度最好 3 i i 习| 强 a 0 1 4 * 一h ，“m 7 5 i l 一7 51 。0 1 0 1 1 2 三蒸i1 1 ：# 戳川 一0 j = 徽il l 。| _ 兰篙l 写 j 三d 剖 宁夏人学硕十学位论文第叫章嘲格完令稿l 化多。重| ) c ) 4 格方法数值算例 图4 1 4 占= 1 0 3 时均匀网格( a ) 和非均匀网格( b ) ( t = o ，以= o 9 ) 在不同网格数下 y = i - h 处的误差比较 图4 1 1 中给出了网格等分数为6 5 6 5 ，占= 1 0 - 3 时均匀网格和非均匀网格上 ( a ，= o ，五。= 0 9 0 ) 在y = l j i i 处的误差比较从图中可以清楚的看出该问题在y = 1 处 有一边界层而且误差在边界层处突然变大非均匀网格上取得比均匀网格上精确的计算结 果均匀网格上的最人误差大于0 4 ，然而非均匀网格上的最大误差小于0 o 0 0 4 而且从图 中可以明显看出在非均匀网格上在边界层附近比均匀网格上分布更多的计算节点 图4 1 2 比较了网格等分数为6 5 x6 5 ，占= 1 0 q 时均匀网格( a ) 和非均匀网格( b ) ( 允，= 0 ，旯。= 0 9 ) 在y = 1 一h 处的计算结果从图中可以看出，均匀网格上的精确解在 边界层附近有一个剧烈变化的拐点，而且数值解在该处明显有偏离非均匀网格上在边界层 附近分布较多的计算结点而且数值结果与精确解吻合很好 图4 1 3 比较了网格等分数为6 5 6 5 ，占= 1 0 。时非均匀网格上取不同伸缩系数下 y = 1 一1 l 处的计算误差从图( a ) q a 可以看出在非边界层区域不同伸缩系数下的计算误差基 本上是相同的，在边界层附近计算误差突然增大图( b ) 是图( a ) 在边界层附近的放人图像， 由此可以看出当伸缩系数逐渐取大时，即边界层附近分布更多的计算：1 了点时，计算误差逐渐 减小 图4 1 4 比较了占= 1 0 q 时均匀网格( a ) 和非均匀网格( b ) ( a ，= 0 ，兄，= 0 9 ) 在不同网格 等分数下y = 1 一j l 处的误差从图中可以看出在均匀网格上当网格数增大时误筹明显减少， 而从图( b ) 中看出网格数为6 5 6 5 时取得和网格数为1 2 9 x 1 2 9 时相近的计算误差，即网格 数增人时误差不再明显减少比较( a ) ( b ) 两图可以看出非均匀网格在网格数为3 3 3 3 时取得 比均匀网格上网格数为1 2 9 1 2 9 时更小的计算误差 图4 1 5 比较了网格等分数为6 5 6 5 ，占= 1 0 q 时均匀网格和非均匀网格 ( 兄，= 0 ，元，= 0 9 ) 上的误差从图中可以明显看出，该问题在y = l 处有一明显的边界层， 而且基于