（计算数学专业论文）基于区域分解的不连续介质问题的边界元法及其外推.pdf

四川大学博士学位论文 摘要 基于区域分解的不连续介质问题的边界元法及其外推 计算数学专业 研究生杨荣奎指导教师吕涛教授 本文首次研究了求解分片常系数介质问题x 7 ( 1 ( 。) v u ( z ) ) = 0 ( 其中7 ( z ) 为分 片常系数) 的边界积分方程组的高精度机械求积法，高精度中点常元配置法及其 外推。 作者首先讨论了边界和界面都光滑的不连续介质问题的边界积分方程的 机械求积法及其r i c h a r d s o n 外推。利用单层位势和区域分解理论将不连续介质 的微分方程转换为等价的具有对数弱奇异性的第二类f r e d h o l m 边界积分方程 组，再根据s i d i i s r a e l i 求积法则，提出了一套计算该奇异边界积分方程组的机械 求积法，该方法具有o ( h 3 ) 的高阶精度、非常低的计算复杂度，且误差具有渐 近展开。利用聚紧和渐近紧收敛理论并结合e u l e r m a c l a u r i n 展式，证明了近似 解的收敛性与稳定性，并证明了误差具有o ( h 3 ) 幂以上的渐近展开。进一步利 用r i c h a r d s o n - - h 3 外推，外推近似解精度高j j s _ o ( h 5 ) 。此外，我们还得到了近似解 的后验误差估计，利用后验误差估计，可构造机械求积法的自适应算法。数值例 子显示我们的计算结果与使用外推和不使用外推得到的理论收敛阶完全一致，计 算所花c p u 时间比中点常元配置法少得多，后验误差估计也非常准确。 其次，研究了求解边界和内部界面为多角形的不连续介质问题的边界积分 方程组的机械求积法及分裂外推。由于边界积分方程组的解在角点具有奇异 性，不宜直接离散因此我们先对多角形的每条边及内部界面使用s i n 正弦周 期变换，借以消除解在角点的奇异性，然后使用s i d i - - i s r a e l i 的求积法则及中矩 形求积公式以构造解多角形上不连续介质问题的边界积分方程组的机械求积 法。从理论上证明了近似解的存在性与收敛性，并证明了其误差拥有多参数 的，3 ( i = 1 ，2 ，j = l ，2 ，豳) 幂以上渐近展开，由此构造了相应的分裂外推算法。 外推精度可达o ( h 4 ) 。由于分裂外推算法可并行计算，计算时可节约大量运算时 间 四川大学博士学位论文 第三，讨论了多角形域上不连续介质问题的一种修正的中点常元配置法。边 界积分方程组离散之前，先对每条边做周期变换，然后取剖分子区间的中点为配 置点，得到一种新的中点常元配置法。实际计算表明，该修正的中点常元配置法 收敛阶达到了针对光滑边界的标准中点常元配置法收敛阶：即对第二类边界积分 方程，收敛阶为o ( h 2 ) ，对第一类边界积分方程，收敛阶为o ( h 3 ) 。由于配置法在 工程界被广泛使用，因此研究不连续介质问题的高精度配置法具有重要的理论与 应用价值。 第四，我们研究了不连续介质问题的基于直接边界积分方程的机械求积法， 对不同介质区域间无包含关系情形( 见第五章图5 1 右) ，数值计算显示前面提出的 基于单层位势的机械求积法计算效果不佳。基于区域分解的直接边界积分方程的 机械求积法，对各种区域具有更好的适应性，且近似解精度也达到o ( 3 ) ，但由 于在内部界面上同时需要计算u ( z ) 和a u ( z ) a 他的两个未知量，而基于单层位势的 边界积分方程组只需计算一个未知量勿( 盯) ，因此其计算量比基于单层位势的边 界元要大许多。但由于直接边界积分方程在边界上的未知量具有物理意义，因此 该方法更易于被工程界接受。 第五，研究了曲边多角形区域l a p l a c e i h - 题第一类边界积分方程的修正中 点常元配置法如果对该问题直接使用中点常元配置法，近似解内点精度 为o ( h f l + 3 2 ) ，其中= ( 1 一0 0 口, a 7 r 是最大内钒因而凹角区域内点精度低 于- o ( h 2 ) 。为提高精度，本文在离散之前，对每桀边作s i n m 周期变换，然后取每 个离散子区间中点作为边界积分方程组的配置点，得到一种新的修正中点常元配 置法该配置法不仅适用于内问题，也适用于外问题数值例子显示近似解收敛精 度对凸区域和凹区域都可达到0 ( ，2 3 ) 最后，本文应用偏微分方程的区域分解算法理论研究了底水打开不完善气井 二项式产能公式底水打开不完善气井的渗流是由井附近区域遵循二项式径向流 规律的非达西流动及此区域外遵循由底水驱动向不完善井三维达西流动两部分组 成。由于底水气藏的产气主要由底水驱动而得，侧边边界影响可忽略，故本文假 定气藏由上边界封闭和下边界定压的无限大区域所导出的产能公式便具有普遍意 义。本文首先导出底水气藏打开不完善井在非达西区域的压降公式，再结合达西 区域的二项式产能公式最终得到底水气藏向打开不完善井流动的二项式产能公 式。由于目前流行的计算向不完善井流的公式，仍使用改进的上下封闭边界的裘 比公式，未能充分反映底水驱动特点，而本文公式能准确描述底水驱动的打开不 四川大学博士学位论文 完善井非达西流动规律下的产能。 关键词不连续介质问题，边界元，机械求积法，配置法。r i c h a r d s o n 岁l - 推，分 裂外推，底水气藏，二项式产能公式。 一l v 四川大学博士学位论文 a b s t r a c t b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d sa n dt h e i re x t r a p o l a t i o n sf o rt h ed i s c o n t i n u o u sm e d i a p r o b l e mb a s e do nt h ed o m a i nd e c o m p o s i t i o n m a j o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s a u t h o r ：y a n gr o n g l m is u p e r v i s o r ：l i it o o t h i st h e s i sf i r s t l ys t u d i e sh i g ha c c u r a t em e c h a n i c a lq u a d r a t u r em e t h o d s ( m q m ) a n d m i d p o i n tc o n s t a n te l e m e n tc o l l o c a t i o nm e t h o d s ( m c e c m ) a n dt h e i re x t r a p o l a t i o n sf o r s o l v i n gb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n so f t h e d i s c o n t i n u o u sm e d i ap r o b l e mv 竹0 ) v 就p ) ) = o t h ea u 山o rf i r s td i s c u s s e sm e c h a n i c a lq u a d r a t u r em e t h o d sa n dt h e i rr i c h a r d s o ne x t r a p o l a t i o n sf o rt l l ec a s ew h i c ht h eb o u n d a r ya n di n t e r f a c e sa r ea l ls m o o t h t h ed i f f e r - e n t i a le q u a d o no ft h ed i s c o n t i n u o u sm e d i ap r o b l e mi sc o n v e r t e di n t oe q u i v a l e n tf r e d - h o l mb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n so ft h es e c o n dw i t hl o g a r i t h m i cw e a k l ys i n g u l a r i t yb y u s i n gt h et h e o r yo fs i n g l el a y e rp o t e n t i a la n dd o m a i nd e c o m p o s i t i o n ac l a s so fm e - c h a n i c a lq u a d r a t u r em e t h o d sa r ed e v e l o p e df o rs o l v i n gt h es i n g u l a rb o u n d a r yi n t e g r a l e q u a t i o n sb a s e do ns i d i i s r a e l sm l c w h i c hp o s s e s s e sah i 曲o r d e ra c c u r a c yo ( h 3 ) ， l e s sc o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t ya n da s y m p t o t i ce x p a n s i o no ft h ee r r o r s b yt h et h e o r yo f c o l l e c t i v e l yc o m p a c ta n da s y m p t o t i c a l l yc o m p a c tc o n v e r g e n c e 。a n dc o m b i n i n gw i t ht h e e a l e r - m a c l a u r i ne x p a n s i o n ，t h ec o n v e r g e n c ea n ds t a b i l i t yo fa p p r o x i m a t i o ns o h d o n sa r e p r o v e dt h e o r e t i c a l l y w ea l s op r o v et h a tt h ee r r o r sh a v em o r et h a no ( h 3 ) o r d e ra s y m p t o t i ce x p a n s i o n s b ym e a n so fr i c h a r d s o n h 3e x t r a p o l a t i o n ，a l la p p r o x i m a t i o nw i t hn h i g h e ra c c u r a c yo r d e ro ( h 5 1i so b t a i n e d m o r e o v e rnp o s t e f i o r ie r r o re s t i m a t ef o rt h e a l g o r i t h mi sd e r i v e d ，w h i c hc a nb eu s e dt oc o n s t r u c t e da d a p t i v ea l g o r i t h m n u m e r i - c a le x a m p l e ss h o wt h a t0 1 1 1 c o m p u t i n gr e s u l t sa x eg o o da g r e e m e n tw i t ht h et h e o r e t i c a l e s t i m a t i o n sf o rb o t he x t r a p o l a t e da n dn o n - e x t r a p o l a t e dr a t e so fc o n v e r g e n c e t h ec o s t o fc p ut i m eo fm q mi sm u c hl e s st h a nt h a to fm i d p o i n tc o n s t a n te l e m e n tc o l l o c a t i o n m e t h o d ( m c e c m ) t h en e x t ，w er e s e a r c ht h em e c h a n i c a l q u a d r a t u r em e t h o d s a n dt h e i rs p l i t t i n ge x t r a p o l a t i o n sf o rs o l v i n gt h eb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n so ft h ed i s c o n t i n u o u sm e d i ap r o b l e m v 一 四川大学博士学位论文 w i t hp o l y g o n a lb o u n d a r ya n di n t e r f a c e s b e c a u s et h es o l u t i o n so ft h eb o u n d a r yi n t e g r a l e q u a t i o n sh a v es i n g u l a r i t ya tc o i n e r s ，t h e ya r en o t s u i t a b l et ob ed i s e r e t i z e dd i r e c t l y s o w ef i r s tu s es i n ”p e r i o d i c a l a n s f o r m a t i o nt oe l i m i n a t et h es i n g u l a r i t yo ft h es o l u t i o n s a tc o m e r s ，a n dt h e nu s et h es i d i - - i s r a e l i sr o l ea n dm i d p o i n tt r a p e z o i d a lf o r m u l at oc o n s t r u c tm q mo fb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n so ft h ed i s c o n t i n u o u sm e d i ao np o l y g o n a l r e g i o n s t h ec o n v e r g e n c ea n ds t a b i l i 够a r ea l s op r o v e dt h e o r e t i c a l l y , m u l t i p a r a m e t e x a s y m p t o t i ce x p a n s i o n s o f e n o r s w i t h m o r e t h a n b 3 a = 1 ，2 ，j = 1 ，2 ，d ) p o w e r a r e d e r i v e df o rt h ea l g o r i t h m u s i n gm u l t i p a r a m e t e ra s y m p t o t i ce x p a n s i o n s ，s p l i t t i n ge x t r a p - o l a t i o nw i t hh i g ha c c u r a c yo r d e ro ( h 4 ) a r ep r o p o s e d , w h i c hc a l lb er e d u c ec o m p u t i n g t i m eb yp a r a l l e lc o m p u t a t i o n t h et h i r d am o d i f i e dc o n s t a n tc o l l o c a t i o nm e t h o di sp r o p o s e df o rt h ed i s e o n t i n u o u sm e d i ap r o b l e mw i t hp o l y g o n a ld o m a i n b e f o r et h eb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n sa r e d i s c r e t i z e d 。w ef i r s tt r a n s f o r me v e r yb o u n d a r yb ys i n mp e r i o d i c a la a n s f o r m a t i o n ，t h e n t a k em i d p o i n t so fs u b i n t e r v a l sa st h ec o l l o c a t i o np o i n t s ，a tl a s tw eg e tan e wm i d - p o i n t c o n s t a n tc o l l o c a t i o nm e t h o d n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ea p p r o x i m a t i o no r d e ro f t h em o d i f i e dm i d p o i n tc o n s t a n tm e t h o df o rp o l y g o n a ld o m a i nr e a c h e st h es a m el e v e l a st h es t a n d a r dm i d p o i n tc o n s t a n tm e 山o df o rs m o o t i lb o u n d a r y ：i ef o rt h es e c o n d k i n db o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n ，t h ea p p r o x i m a t i o no r d e ri s0 ( 舻) ；a n df o rt h ef i r s tk i n d b o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n ，t h ea p p r o x i m a t i o no r d e ri so ( h 3 ) s i n c ec o l l o c a t i o nm e t h - o d sa r eu s e dw i d e l yb ye n g i n e e r s tt h i ss t u d yh a si m p o r t a n tt h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a l v a l u e f o u r t h l y , w ep r o p o s et h em e c h a n i c a lq u a d r a t u r em e t h o d sf o rt h ed i r e c tb o u n d a r y i n t e g r a le q u a t i o n so f t h ed i s c o n t i n u o u sm e d i ap r o b l e mw i t hp o l y g o n a lb o u n d a r ya n di n t e r f a c e sb a s e do nt h eb a s i cs o l u t i o n n u m e r i c a lc o m p u t i n gs h o wt h a tt h em q mf o rt h e b i eb a s e do nt h es i n g l el a y e rp o t e n t i a lp r e s e n t e db e f o r ea r en o tg o o df o rt h ec a s ew h i c h t h ed i s c o n t i n u o u sm e d i a sh a v en oi n c l u s i o nr e l a t i o n ( s e et h er i g h to ff i g u r e5 1 0 fc h a p t e r5 ) t h em q mb a s e do nt h ed i r e c tb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n so fd o m a i nd e c o m - p o s i t i o nh a v ee x t e n s i v ea d a p t a b i l i t y , a n dt h ea c c u r a t eo r d e ro fa p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n a l s or e a c h e so ( h 3 ) b u ts i n c et h em e t h o d sr e q u i r et oc a l c u l a t et w ou n k n o w su ( x ) a n d o u ( z ) o no nt h ei n t e r f a c e sw h i l et h em q m b a s e do nt h es i n g l el a y e rp o t e n t i a lo n l yr e q u i r et oc a l c u l a t eo n eu n k n o wz , 2 ( g ) ，t h e i rc o m p u t a t i o na m o u n t sa r em u c hm o r et h a n v i 四川大学博士学位论文 t h a to ft h em q mb a s e do nt h es i n g l el a y e rp o t e n t i a l h o w e v e r , a st h eu n k n o w so ft h e d i r e c tb o u n d a r yi i l 唰e q u a t i o n so nt h eb o u n d a r yh a v ep h y s i c a lm e a n i n g ，t h em e t h o d s c a l lb ee a s i l ya c c e p t e db yt h ee n g i n e e r s t h ef i f t h ，ah i g ha c c u r a c ym o d i f i e dc o l l o c a t i o nm e t h o di sp r o p o s e df o rt h ef i r s t - k i n db o u n d a r yi n t e f a le q u a t i o n so fl a p l a c ep r o b l e mo np o l y g o n a lr e g i o n s i fm i d p o i n t c o n s t a n te l e m e n tc o l l o c a t i o nm e t h o d sa r ed i r e c t l ya p p l i e dt ot h ep r o b l e m , t h ea c c u r a c y o r d e ro ft h ea p p r o x i m a t i o ns o l u t i o nc a l lo n l ya c h i e v eo ( h a + 3 2 、a ti n t e r i o rp o i n t , w h e r e p = ( 1 一a ) 口，a ，ri sm a x i n t e r n a la n g l e s ot h ea c c u r a c yo r d e ri sl o w e rt h a no ( h 2 ) a ti n t e r i o rp o i n tf o rt h ec o n c a v ep o l y g o n t oi m p r o v et h ea c c u r a c yo ft h ea p p r o x i m a t i o n s o l u t i o n ，w ef i r s tt r a n s f o r me v e r ye d g eo ft h ep o l y g o n a lr e g i o n sw i t has u i t a b l es i n m p e r i o d i c a lv a r i a b l et r a n s f o r m a t i o nb e f o r ee q u a t i o n sb e i n gd i s c m t i z e d ，a n dn e x tt a k et h e m i d - p o i n t so fs u b i n t e r v a l sa sc o l l o c a t i o np o i n t so fb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n s f i n a l l y w e g e tan e wm i d p o i n tc o n s t a n te l e m e n tc o l l o c a t i o nm e t h o d t h em e t h o d n o t o n l ya d a p t t ot h ei n t e r i o rp r o b l e m , b u ta l s oa d a p tt ot h ee x t e r i o rp r o b l e m n u m e d c a lr e s u l t si n d i c a t e t h a tt h ea c c u r a c yo r d e ro ft h ea p p r o x i m a t i o ns o l u t i o nc a nr e a c ho ( h 3 ) b o t hf o rc o n v e x - p o l y g o na n dc o n c a v ep o l y g o n a ti n t e r i o rp o i n t a tl a s t , t h et h e s i su s ed o m a i nd e c o m p o s i t i o na l g o r i t h mf o rt h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o nt os t u d yb i n o m i a ld e l i v e r a b i l i t ye q u a t i o no fp a r t i a lp e n e t r a t i n gg a sw e l li nb o b t o mw a t e rr e s e r v o i r t h ed r a i n a g ed o m a i no fp a r t i a lp e n e t r a t i n gg a sw e l li nb o t t o m w a t e rr e s e r v o i rc o n s i s t so ft h ef o l l o w i n gt w op a r t s ：( 1 ) n o n d a r c yb i n o m i a lr a d i a lf l o w l q e a t h ew e l l ；( 2 ) t h r e ed i m e n s i o n a lf l o wf a ra w a yf r o mt h ep a r t i a lp e n e t r a t i n gg a sw e l l d u et ob o t t o mw a t e rd r i v e b e c a u s et h em a i nd r i v em e c h a n i s mi sb o t t o mw a t e rd r i v e ， t h ee f f e c t so fl a t e r a lb o u n d a r i e sa r en e g l i g i b l e ，w i t h o u tl o s i n gg e n e r a l i t y , i nt h i sp a p e r , w ea s s u m et h eg a sr e s e r v o i ri si n f i n i t ew i t hi m p e r m e a b l eu p p e rb o u n d a r ya n dc o n s t a n t p r e s s u r el o w e rb o u n d a r y t h i sp a p e rp r e s e n t sp r e s s u r ed r a w d o w ne q u a t i o no fp a r t i a l p e n e t r a t i n gg a sw e l li nd a r c y f l o wd o m i n a t e dd o m a i ni nb o t t o mw a t e rr e s e l v o i r , a n d c o m b i n i n gn o n - d a r c yb i n o m i a lr a d i a lf l o we q u a t i o n ，t h e nb i n o m i a ld e l i v e r a b i l i t ye q u a - t i o ni so b t a i n e d i nt h el i t e r a t u r e t h ef l o we q u a t i o n sf o rp , m i a lp e n e t r a t i n gw e l l sa r e b a s e do nt w o - d i m e n s i o n a lm o d e lw i t hi m p e r m e a b l eu p p e ra n dl o w e rb o u n d a r i e s t h o s e e q u a t i o n sc a n n o tr e f l e c tt h ec h a r a c t e r i s t i c so fb o t t o mw a t e rd r i v em e c h a n i s m s ot h en e w e q u a t i o n si nt h i sp a p e r c a na c c o u n tf o rt h ec h a r a c t e r i s t i c so fn o n d a r c yf l o wo fp a r t i a l v i i 婴型盔兰竖主竺垡造銮 p e n e t r a t i n gg a sw e l l si nb o t t o mw a t e rr e s e r v o i rw i t hh i g ha c c u r a c y k e y w o r d sa n dp h r a s e s d i s c o n t i n u o u sm e d i ap r o b l e m ；b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ； m e c h a n i c a lq u a d r a t u r em e t h o d ；c o l l o c a t i o nm e t h o d ；r i c h a r d s o ne x t r a p o l a t i o n ；s p l i t t i n g e x t r a p o l a t i o n ；b o t t o mw a t e rr e s e r v o i r , b i n o m i a ld e l i v e r a b i l i t ye q u a t i o n v i i i 四川大学博士学位论文 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得四川大学或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意 本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导下取得的，论文成果 归i 四j i l 大学所有，特此声明 作者签名：壶盘奎导师签名 兰屠 四川大学博士学位论文 1 1 问题提出 第一章前言 不连续介质问题v ( 7 扛) v “( 。) ) = o 在混合材料电导率，热传导及多孔介 质d a r c y 流等领域具有广泛的应用。研究这些问题的高效数值计算方法具有重要 的理论和应用价值。解决这类问题的数值逼近方法主要包括有限元法( 【4 8 】) 、 有限差分法和边界元法本文主要研究求解分片不连续介质问题的高精度低复 杂度边界元法。由于不知道不连续介质问题的基本解，使用边界元有一定的困 难，相关文献也较少，特别还未见到使用近年发展起来的机械求积法求解该问题 的文献。本文首次研究了机械求积法及其分裂外推方法在分片不连续介质问题 上的应用，得到了一些具有理论和实用价值的结果。本文给出的机械求积法具 有计算量小，编程简单，近似解精度高和计算速度快的特点，而且其误差具有 渐近展开，因此可利用渐近展开构造精度更高的r i c h a r d s o n 夕 - 推与分裂外推近似 解( 见 4 0 ，4 3 ，4 4 】) 。我们也讨论了常元配置法在不连续介质问题上的应用，该方法 是一种计算量最小的配置法，我们还对比了配置法与机械求积法的计算精度和计 算时间。 1 2 边界元回顾及本文所做工作介绍 边界元与有限元，有限差分法一样，都是求解微分方程数值解的重要方法。它 与有限元相比有很多优点：首先，它能使问题的维数降低一维，如原为三维空间的 可降为二维空间，原为二维空间的问题可降为一维。其次，它只需将边界离散而不 象有限元需将区域离散化，所划分的单元数目远小于有限元，这样它减少了方程组 的方程个数和求解问题所需的数据，不但减少了准备工作。而且节约了计算时间。 第三，由于它是直接建立在问题控制微分方程和边界条件上的不需要事先寻找任 何泛函，不像阱交分问题为基础的有限元法，如果泛函不存在就难于使用。所以边 界元法可以求解经典区域法无法求解的无限域类问题。最后，由于边界元法引入 基本解，具有解析与离散相结合的特点，因而具有较高的精度。 当然。边界元法也有其弱点，它需要知道问题的基本解或g r e e n 函数，而变 系数问题和非线性问题的基本解往往不知道，故难以使用边界元法。虽然有这 四川大学博士学位论文 些缺点，边界元法还是凭借其优点广泛使用在波的传播，断裂力学( 【1 5 】) 接触问 题( 【1 0 】) ，耦合问题，粘弹塑性( 【6 0 】) 振动问题电磁场( 【8 ，2 5 】) 流体力学( 【8 2 】) ，渗 流力学，生物力学，等离子运动等广阔领域，取提了丰富的成果。 边界元法建立在与实际问题等价的边界积分方程基础上，同一个问题，从不 同的规化途径出发，可以得到微分方程边值问题的不同的等价积分方程。比如， 从基本解和g r e e n 公式出发，可得到直接边界积分方程。从单层位势和双层位势 出发。可得到第一类边界积分方程和第二类边界积分方程。这两类方程又称为间 接边界积分方程( 见祝家麟【8 3 。c a b r e b b i a 【6 ，7 】) 。直接边界积分方程不引入新 变量，间接积分方程引入了新变量。从g r e e n i 函数和g r e e n 公式出发，可得到具有 强奇异性的自然边界积分方程( 见余德浩【7 4 】) 。 不同的边界积分方程虽然在形式上等价，但在实际计算时，它们并不完全等 效，数值计算方法可能有很大的差异比如，对二维l a p l a c e f 司题，直接边界积 分方程和间接边界积分方程都是对数奇异核积分。但自然边界积分方程是强奇异 积分核。因此它的离散方法与直接边界积分方程和间接边界积分方程都有很大的 不同。不同积分方程的计算精度和适用范围也可能不同。 本文研究了分片不连续介质问题间接边界积分方程和直接边界积分方程的数 值计算方法，比较了它们的计算量大小及逼近精度。通过分析我们得出，基于单 层位势的间接边界积分方程的机械求积法计算量小于直接边界积分方程的机械求 积法的计算量。在不同介质间具有包含关系的区域情形( 见图2 1 ) ，近似解精度都 达n o ( h 3 ) 。但对不同介质间无包含关系的区域情形( 见图5 1 ) ，间接积分方程的 近似解精度低于直接边界积分方程的近似解。 边界积分方程的离散方法大致有以下几种：g a l e r k i n 方法，配置法和机械求 积法。 1 g a l e r k i n 法 将边界积分方程再写成等价的变分形式。便可用g a l e r k i n 方法即有限元方法 求解。由于关于g a l e r k i n 法的收敛性及误差估计具有成熟的理论，容易对此方法 进行理论分析。不过在利用这一方法计算系数矩阵时，每一个元素都要计算二 重积分，般说来要花很大的计算时间，以至于解线性方程组所用的时间与计 算矩阵系数所花的时间相比微不足道( 见祝家麟【8 3 】) 。当然用g a l e r k i n 法求解典型 区域上的自然边界积分是个例外。在那里只需计算很少的部分系数，且每个系 数的计算量也很小( 见余德浩【7 4 1 ) 。因此多数情况下不使用g a l e r k i n 方法求解边界 一2 一 四川大学博士学位论文 积分方程。不过g a l e r k i n 方法精度较高，这是它的优点。g a l e r k i n 法相关文献可参 见( 1 2 ，5 8 8 2 】) 2 配置法 首先将边界剖分为单元，在二维情况下取直线或弧断单元。在每个单元上 根据插值约束条件确定一定数目的节点，然后构造节点上的分片插值函数，用 构造的分片函数作为解的近似逼近，得到一个以节点处有关变量为未知量的线 性方程组。这样得到的方程组的系数矩阵是不对成的满秩矩阵。解出线性方程 组的未知值，便可求得区域内任意点处的解函数值。配置法常用h e r m i t e 函数作 为插值函数( 见 4 9 ，6 6 ，6 7 】) 。理论分析工具常使用富氏级数展开在实际计算 中，经常采用低阶( 常元) 配置法。s a r a n e n1 9 8 8 年在文【4 9 】中通过理论分析和实 际计算得到，如果l a p a l c e f 司题边界足够光滑，对其第一类边界积分方程( 单层位 势) 使用中点常元配置法离散，近似解收敛精度达o ( h 3 ) 。随后，1 9 8 9 年s a r a n e n 又 在文【5 0 l 得到势能问题( 如l a p l a c e f 司题) 第一类和第二类边界积分方程的样条配 置法的渐近展开，并由此构造出一步和两步r i c h a r d s o n 外推。理论和数值例子显 示，对第一类边界积分方程使用中点常元配置法，如果边界及边界上的数据足 够光滑，一步刚c h a r d s o n 外推精度可提高到d ( 5 ) ，两步外推精度可达到d ( 舻) 。 但如果边界不光滑，直接样条配置法收敛精度达不到这么高。y m ly i1 9 8 8 年在 文( 【6 8 】) 中讨论了多角形区域第一类边界积分方程中点常元配置法的收敛精度， 结果为d ( 胪+ 3 ，2 ) ，p = ( 1 一a ) a ，q 是最大内角。低于光滑边界常元配置法的收敛 精度。原因在于解在角点具有奇异性。 为提高多角形区域第一类边界积分方程的精度，g r a h a m1 9 9 3 年采用s l o a n 迭 代技巧( 见【1 7 】) 构造了一种修正的分片常元配置法。近似解精度达到d ( 九3 ) ，外推 近似解精度可达o ( h 5 ) 。进而，1 9 9 5 年e l s c h n e r 和g r a h a m 又提出在对第一类边界 积分方程离散前，先做一个非线性变换，然后再使用k 阶( 自由度为k 一1 ) 样条配 置法离散( 见【2 1 】) ，理论证明其收敛阶为0 ( 胪) ，但数值计算结果显示近似解具 有超收敛。比如对中点常元配置法，理论收敛阶为d ( ) ，但数值结果显示收敛 阶j 幻o ( h 3 ) 。 本文对多角形域_ ：l a p l a c e i n 题第一类边界积分方程中点常元配置法也提出 了一种新的改进，离散之前先对解使用s i d i 提出的正弦周期变换，消去了解在角 点的奇异性。然后使用中点常元配置法离散，计算结果显示，近似解收敛阶达 至u o ( h 3 ) 。进而使用一步r i c h a r d