（应用数学专业论文）脉冲微分方程的若干稳定性结果.pdf

摘要 众所周知，稳定性的研究是非常重要的李亚普诺夫对稳定性理论的发艘作出 了重大贡献，他所提出的李亚普诺夫第二方法给稳定性的研究提出了全新的思路， 这种方法使得我们无需求解就可以知道微分系统的稳定性态从他以后，稳定性的 研究沿着两个方向进行，一方面是在方法上，一方面是在对象上在方法上，数学 家们不断的改进旧的方法并提出新的方法，比如，锥值李亚普诺夫函数法，比较方 法等在对象上，数学家们研究了脉冲微分方程，差分方程等新的模型，并提出了 实用稳定性，局部稳定性等新的概念。在数学家们的努力下，稳定性的研究得到了 很大发展 在现实生活当中，有很多过程具有状态跳跃的现象，脉冲微分方程是对他们的 更好的描述很多数学家对脉冲微分方程进行了大量的研究当脉冲微分方程具有 的是固定时刻脉冲时，结果可以比照连续性的情形得到在本篇文章当中我们讨论 的就是这种情形在讨论当中，我们引入了改进的李亚普诺夫函数一片连续李亚普 诺夫函数利用它我们就可以有效的把李亚普诺夫第二方法推广到脉冲微分方程中 去 李亚普诺夫函数和不等式理论相结合产生的比较方法对稳定性的研究也非常有 效在这种方法中，李亚普诺夫函数作为一个中介把给定的复杂系统转化成相对简 单的系统，然后只需对这个相对简单系统进行研究即可比较方法极大推动了现代 稳定性理论的发展但在这种方法中存在一个令人不满意的事实；这种方法要求比 较系统具有拟单调性，但比较系统可以在没有拟单调性的条件下具有所需要的稳定 性态v l a k s h r n i k a n t h a m 和其他一些人指出造成这一困难的原因是我们把相对于 比较系统的锥选成了r ：，一个可能的解决方法是根据具体情况选取适当的锥他 们引入了锥值李亚普诺夫函数和西。稳定的概念在本论文中我们将把这些概念引 入一般的脉冲微分系统，进而讨论比较脉冲微分系统的圣。稳定及一般脉冲微分系 统的比较定理 我们已经很熟悉李亚普诺夫意义下的稳定性概念，但显然在应用上渐进稳定 要比稳定重要事实上我们想要知道的是渐进稳定域的大小以使得我们可以判断 一个给定的系统是否稳定到可以正常运作并知道如何改进其稳定性另一方面，系 统可能是不稳定的但它可能充分接近某一状态振动，从而其表现是可以接受的所 以我们需要一个在某些清形下比李亚普诺夫稳定更合适的稳定性概念l a s a l l e 和 l e f s c h e t z 在他们的书中引入了实用稳定性的概念，从那以后数学家们得蓟了很多 这方面的结果 在李亚普诺夫稳定概念的基础上数学家们发展出许多在应用当中很重要的稳定 性概念，比如，条件稳定，部分稳定和最终稳定等为了整合这许多稳定性概念并 提供一个研究的一般框架，数学家们提出了两测度稳定和任意集稳定的概念本篇 论文将把两侧度实用稳定和任意集实用稳定的概念引入一般脉冲微分系统并加以讨 论 本文讨论了脉冲微分方程稳定性方面的三个问题1 建立了比较脉冲微分方 程圣。稳定的一些准则，并利用片连续锥值l y a p u n o v 函数法进一步得到了一般脉 冲微分方程系统的各种稳定性结果2 讨论了脉冲微分方程系统的两测度实用稳 定性，在研究中细致考察了两个不同测度之闯的相互作用，解的不连续性及土与a 之间的相互关系3 讨论了脉冲微分方程的集合实用稳定性，得到了一些比较结 果并给出了一些直接的充分条件 a b s t r a t i nt h ep r e s e n tp a p e r ，t h r e eq u e s t i o n so fs t a b i l i t yo fi m p u l s i v ed i f i e r e n t i a l s y s t e m sa r ed i s c u s s e d 1 s o m e m o s t a b i l i t yc r i t e r i ao fc o m p a r i s o ni m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l s y s t e m sa r ce s t a b l i s h e d f u r t h e r m o r e ，v a r i o u ss t a b i l i t yr e s u l t sf o rav e r yg e n e r a la y a t e mo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r eo b t a i n e du s i n gt h em e t h o d o fp i e c e w i s e c o n t i n u o u sc o n e - v a l u e dl y a p u n o vf u n c t i o n s 2 t h eq u e s t i o no ft h ep r a c t i c a ls t a - b i l i t yi n t e r m so ft w om e a s u r e so f i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m si sd i s c u s s e d t h e i n t e r p l a yo ft w od i f f e r e n tm e a s u r e s ，t h ed i s c o n t i n u i t i e so fs o l u t i o n sa n dt h er e l a t i 。n b e t w e e n a n daa r ec o n s i d e r e dd e l i b r a t e l y 3 p r a c t i c a ls t a b i l i t yi nt e r m so fs e t s o fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m si sd i s c u s s e d s o m ec o m p a r i s o nr e s u i t s a n ds o m e d i r e c ts u m c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e d i i i - ad i s s e r t a t i o nf o rt h ed e g r e eo fm s c i e n c e l i n t r o d u c t i o n a si sw e l lk n o w n ，t h er e s e a r c ho ns t a b i l i t yi s v e r yi m p o r t a n t l y a p u n o vd i d m u c ht ot h ed e v e l o p m e n to fs t a b i l i t yt h e o r y b yl y a p u n o v ss e c o n dm e t h o d 1 7 ，w e c a nk n o wt h es t a b i l i t yp r o p e r t i e so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t h o u tt h ek n o w l e d g eo f s o l u t i o n s h ep u tf o r w a r dt o t a l l yn e wi d e at ot h er e s e a r c ho ns t a b i l i t y f r o mt h e n o n ，t h er e s e a r c h0 ns t a b i l i t yi sd e v e l o p e di nt w ow a y s o n ei si nm e t h o d s t h eo t h e r i si no b j e c t s i nm e t h o d s 3 4 9 m a t h e m a t i c i a n sc o n t i n u o u s l yd e 、i s et h eo l dm o t h o d sa n dg i v en e wm e t h o d s ，s u c ha sl y a p u n o v ss e c o n dm e t h o d ，c o m p a r i s o nm c t h o d ， c o n e - v a l u e dl y a p u n o vf u n c t i o n sa n ds oo n i no b j e c t s i 1 4 ，m e t h c m a t i c i a n ss t u d y i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，d i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a - t i o n sa n ds oo n a n dt h e yi n t r o d u c em a n yn e ws t a b i l i t yc o n c e p t s 2 5 1 0 1 1 1 3 ， s u c ha sp r a c t i c a ls t a b i l i t y , s t a b i l i t yi nt e r m so ft w om e a s u r e s ，s t a b i l i t yi nt e r m so f s e t sa n ds oo n w i t ht h ee f f o r to fm a t h e m a t i c i a n s t h er e s e a r c ho n s t a b i l i t yi sg r e a t l y d e v e l o p e d i nr e a l i t y , t h e r ee x i s t sp l e n t yo f p r o c e s s e sa n dp h e n o m e n a w i t ha c h a n g eo ft h e i r s t a t eb yj u m p s i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r em o r es u i t a b l em o d e lf o rt h e m m a n y m a t h e m a t i c i a n sd ol o t so fr e s e a r c ho n i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u t i o n s 2 【1 3 】 1 8 w h e ni m p u l s e st a k ep l a c ea tt h ef i x e dm o m e n t st h er e s u l t sa r ee a s i e rt oo b t a i nb y m e a n so ft h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t si nt h ec o n t i n u o u sc a s e i nt h ep r e s e n tp a p e rw e m a i n l yd i s c u s st h i sc a s e t od ot h i s ，w ei n t r o d u c ep i e c e w i s ec o n t i n u o u sf u n c t i o n so f l y a p u n o vw h i c ha r ea n a l o g u e so ft h ec l a s s i c a ll y a p u n o v l sf u n c t i o n s b ym e a n so f s u c hf u n c t i o n s ，t h ee x t e n s i o no f l y a p u n o v sm e t h o d t oi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m s i sm u c hm o r ee f f e c t i v e c o m p a r i s o nm e t h o d 3 1 4 】i sae f f e c t i v em e t h o df o rd e a l i n gw i t hq u e s t i o n so f s t a b i l i t y i nt h i sm e t h o d ，l y a p u n o vf u n c t i o ns e r v e sa s av e h i c l et ot r a n s f o r ma g i v e nc o m p l i c a t e ds y s t e mi n t or e l a t i v e l ys i m p l e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dh e n c ei t i ss u f f i c i e n tt os t u d yt h ep r o p e r t i e so fs o l u t i o n so ft h i ss i m p l e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n c o m p a r i s o nm e t h o dh a sg i v e nd e c i s i v ei m p e t u sf o rm o d e r nd e v e l o p m e n to fs t a b i l i t y t h e o r yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s b u ta nu n p l e a s a n tf a c ti nt h i sm e t h o d i st h er e q u i r e m e n to fq u a s i m o n o t o n ep r o p e r t yo ft h ec o m p a r i s o ns y s t e m ss i n c et h ec o m p a r i s o n s y s t e m sw i t ht h ed e s i r e ds t a b i l i t yp r o p e r t ye x i s tw i t h o u ts a r i s f y i n gq u a s i m o n o t o n e p r o p e r t y 1 2 vl a k s h m i k a n t h a m 4 a n ds o m eo t h e r s 3 】n o t e dt h a tt h i sd i f f i c u l t yi s d u et ot h ec h o i c eo ft h ec o n er e l a t i v et ot h ec o m p a r i s o ns y s t e m ，n a m e l y , r ：_ ，t h ec o n e o fn o n n e g a t i v ee l e m e n t so fr “a n dap o s s i b l ea n s v l r l 2 rl i e si nc h o o s i n gas u i t a b l ec o n e o t h e rt h a n 兄2t ow o r ki nag i v e ns i t u a t i o n t h e yi n t r o d u c et h ec o n c e p to fc o n & - v a l u e dl y a p u n o vf u n c t i o n sa n d 垂。一s t a b i l i t yi nt h ep r e s e n tp a p e r ，w ew i l le x t e n d t h e s ec o n c e p t st oi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m s t h e o r y o f s t a b i l i t yi nt h es e n s eo fl y a p u n o v i sn o ww e l lk r l o w n b u ti ti so b v i o u s t h a t ，i na p p l i c a t i o n s ，a s y m p t o t i cs t a b i l i t yi sm o r ei m p o r t a n tt h a ns t a b i l i t y i nf a c t ， t h ed e s i r a b l ef e a t u r ei st ok n o wt h es i z eo ft h er e g i o no fa s y m p t o t i c s t a b i l i t ys ot h a t w ec a n j u d g e w h e t h e ro rn o ta g i v e ns y s t e m i ss u f f i c i e n t l ys t a b l et of u n c t i o np r o p e r l y a n dm a yb ea b l et os e eh o wt oi m p r o v ei t ss t a b i l i t y o nt h eo t h e rh a n d ，t h ed e s i r e d s y s t e mm a y b eu n s t a b l ea n dy e tt h es y s t e mm a yo s c i l l a t es u f f i c i e n t l yn e a rt h i ss t a t e t h a ti t sp e r f o r m a n c ei s a c c e p t a b l e t h u sw en e e da n o t i o no fs t a b i l i t yt h a ti sm o r e s u i t a b l ei ns e v e r a ls i t u a t i o n st h a nl y a p u n o vs t a b i l i t y l a s a l l ea n dl e f s c h e t zi nt h e b o o k 7 】s u g g e s t e da n a m ef o rs u c ha c o n c e p ta n d c a l l e di t ”p r a c t i c a ls t a b i l i t y ”，f r o m t h e no n ，n u m e r o u sr e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e d 5 t h e c o n c e p t so fl y a p u n o vs t a b i l i t yh a v eg i v e nr i s et om a n yn e w n o t i o n st h a t a r ei m p o r t a n ti na p p l i c a t i o n s f o re x a m p l e ，p r a c t i c a ls t a b i l i t y , p a r t i a ls t a b i l i t y , r e l a t i v es t a b i l i t y , c o n d i t i o n a ls t a b i l i t y , t o t a ls t a b i l i t ya n d c o r r e s p o n d i n g b o u n d e d n e s s n o t i o n s t ou n i f yav a r i e t yo fs t a b i l i t yn o t i o n sa n do f f e rag e n e r a lf r a m e w o r kf o r i n v e s t i g a t i o n ，t h ec o n c e p t so fs t a b i l i t yi nt e r m so ft w om e a s u r e sa n ds t a b i l i t yi n t e r m so fs e t sw e r ea d v i s e d 2 9 1 0 i nt h i sp a p e r ，w es h a l ld i s c u s ss o m e s t a b i l i t yc r i t e r i af o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i ns e c t i o n2 w ed i s c u s s 垂。一s t a b i l i t yo fc o m p a r i s o ni m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l s y s t e m s i ns e c t i o n3 w ed i s c u s sp r a c t i c a ls t a b i l i t yi nt e r m so ft w om e a s u r e so f i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m s i ns e c t i o n4 w ed i s c u s sp r a c t i c a ls t a b i l i t yi nt e r m s o fs e t so fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m s 2 o nt h ec o - s t a b i l i t yc r i t e r i ao fc o m p a r i s o ni m p u l s i v e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 2 1 p r e l i m i n a r i e s l e tr “d e n o t et h en d i m e n s i o n a le u c l i d e a ns p a c ew i t ha n yc o n v e n i e n tn o r m | | 1 1 ，a n ds c a l a rp r o d u c t ( ) r + = 0 ，+ o 。) ，r = ( 一0 0 ，+ 。) ，霹= u j p ： n i 0 ，i = 1 j2 ，n ) ，c r + r “，r “ d e n o t e st h es p a c eo fc o n t i n u o u sf u n c t i o n s m a p p i n gr - x r “i n t o 彤 d e f i n i t i o n2 1 ap r o p e rs u b s e t o fr ”i sc a l l e dac o n ei f u k k ，a 0 ； 2 ) k + k k l 3 j k = k ； 4 ) k o o ； 5 ) n ( 一) = 0 ， w h e r eka n dk od e n o t et h ec l o s u r ea n di n t e r i o ro fk r e s p e c t i v e l y a n do k d e n o t e s t h eb o u n d a r yo fk t h eo r d e rr e l a t i o no nr 8i n d u c e db yt h ec o n e i sd e f i n e da s f o l l o w s ：o k i f f 一z ka n d 卫 k o i f f 一z k o d e f i n i t i o n2 2 t h e s e tk i s c a l l e d t h e a d j o i n tc o n e i f k + = t j r “：( 妒，。) 0 ，f o r x k s a t i s f i e sp r o p e r t i e s1 ) 一5 ) o fd e f i n i t i o n2 1 o b v i o u s l yz o k i fa n d i f ( 毋，o ) = 0 f o rs o m e j 5 爿苫，k 0 = k 一0 d e f i n i t i o n2 3 af u n c t i o ng ：d _ 彤，d r “i ss a i dt ob eq u a s i m o n o t o n e r e l a t i v e t o t h ec o n e k i f z ，y d a n d y z o k i m p l y t h a t t h e r e e x i s t sa 妒o 爿苫 s u c ht h a t ( ，y x ) = 0a n d ( 如，g ( y ) 一g ( z ) ) 0 c o n s i d e rt h ei m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m 一= f ( t ，z ) ，t 以， o = 丑( 。) ，t = 屯 。( t j _ ) = x 0 ，t o 0 ，i = 1 ，2 ( 2 1 ) w h e r ea x = z ( + ) 一。( t ) ，u n d e rt h ef o l l o w i n ga s s u m p t i o n s ： 砂0 t l t 2 “ 一，a n d “_ o o a si 。o 。； 到，：r + r _ r i sc o n t i n u o u si n ( t l 一1 ，t i 】r a n df o re a c hz r i = 1 ，2 ，l i r a ( t ，y ) 一( t ，x ) f ( t ，y ) = ，( t ? ，x ) e x l s t s ； 3 ) ，丑：r 一兄。 3 d e f i n es pb y 昂= x r | zl i o ) a n dw ec o n s i d e rt h ec o m p a r i s o ni m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m n = g ( t ，u ) ，t t ， a u = 五( n ) ，t = t i ， u ( t 吉) = i s o ，t o 0 ，i = 1 ，2 ( 2 2 ) u n d e rt h ef o l l o w i n ga s s u m p t i o n s ： 砂0 t l t 2 t i o ， t o r 十，t h e r ee x i s t sap o s i t i v ef u n c t i o nd = 6 ( t o ，) t h a ti sc o n t i n u o u si nt of o re a c h s u c ht h a tt h ei n e q u a l i t yi l x ( t ，t 0 , o d ) l i 0 ，t h e r ee x i s t sd = 5 ( t o ，) ，c o n t i n u o u si nt of o re a c h s u c ht h a tt h ei n e q u a l i t y ( 垂o ，乱o ) 石i m p l i e s ( 垂o ，r ( ) ) e ，t t o ，w h e r e 圣o 瑶i nd e f i n i t i o n2 5 ，a n d f o rt h er e s to ft h i sp a p e r ，r ( t ) d e n o t e st h em a x i m a ls o l u t i o no f ( 2 2 ) r e l a t i v et ot h e c o n e k 卵 o t h e r 垂。一s t a b i l i t yc o n c e p t sc & nb es i m i l a r l yd e f i n e d d e f i n i t i o n2 6 a f u n c t i o n 口( ) i s s a i d t o b e b e l o n g t o t h e c l a s s k i f a g ( o ，p ) ，r + ) ， a ( o ) = 0 ，a n da ( r ) i ss t r i c t l yi n c r e a s i n gi nr d e f i n i t i o n2 7 ua f u n c t i o nu ( t ，) i ss a i dt ob ep o s i t i v ed e f i n i t er e l a t i v et ot h e c o n ek ( o r 圣。一p o s i t i v ed e f i n i t e ) i ft h e r ee ) c i s t sa 仡s u c ht h a tn 【( 西o ，r ( t ) ) ( 垂o ，v ( t ，u ) ) ，中o 蠕； 印a f u n c t i o nv ( t ，u ) i ss a i dt ob ed e c r e s c e n tr e l a t i v et ot h ec o n e k ( o r 西。一d e c r e s c e n t ) i ft h e r ee x i s t sb k ，圣o k 苫，s u c ht h a t ( 圣o ，v ( t ，i s ) ) 6 ( 圣o ，r ( t ) ) 】 4 一 2 2 m a i nr e s u l t s i nt h i ss e c t i o nw ew i l li n v e s t i g a t e4 o - s t a b i l i t yo fc o m p a r i s o ni m p u l s i v ed i f f e r - - e n t i a ls y s t e m ( 2 2 ) b yi n t r o d u c i n gc o n em a dc o n e - v a l u e dl y a p u n o vf u n c t i o n t h e o r e m2 1 a s s u t l l et h a t b 】j g ：r + k r “，g ( t ，0 ) = 0 ，9 ( t ，u ) i sq u a s i m o n o t o n e 讯7 1r e l a t i v e 。， u + i ( 7 1 ) k ，a n d t s k = u + h ( n ) - - k + 扣) ，i = 1 ，2 ，i b 2 ) v o ，v ( t ，0 ) = 0 ，v ( t ，u ) i sl o c a l l yl i p s h i t z i a nt 竹札r e l a t i v et ok ，a n du ( ，u + ( u ) ) 0 ， t o r + ，t h e r e e x i s t sd l ，s u c ht h a ti l 1 | 6 li m p l i e s j | v ( t o ，u o ) a l ( e ) ， a l k ， t h e nf o rs o m eg 0 瑞，i i 垂o 钍ol i 0 垂o0 占1i m p l i e s 8 西o i iv ( t o ，u o ) i i 1 l 圣o0a a ( e ) t h u si ( 圣o ，札o ) l 0 垂o t oi i 1 l 中o0ni m p l i e s ( 垂o ，v ( t o ，u o ) ) l - i l 壬o iv ( t o ，“。) i i 1 i1 i o0a l ( e ) i tf o l l o w st h a t ( 由o ，u o ) 6 辛( 垂o ，v ( t o ，7 1 0 ) ) o ( ) ， w h e r el i 壬o l l 文= 5 ，0 垂o0a l ( e ) = 口( e ) ，a k l e tu ( t ) b ea n y s o l u t i o no f ( 玉2 ) s u c ht h a t ( 圣o ，7 1 0 ) 6 t h e nb yb 2 ) ，v ( t ，7 1 ( 0 ) i sn o n i n c r e a s i n ga n ds o v ( t ，u ( t ) ) kv ( t o ，n o ) ，t t o t h u s ( 西o ，v ( t ，t 0 ) ) ) ( 垂o ，v ( t o ，让o ) ) f r o mb 3 ) ，( 垂o ，7 1 0 ) 5i m p l i e s o 【( 圣o ，r ( 亡) ) 】s ( 西o ， ( t ，u ( t ) ) ) 冬( 垂o ，v ( t o ，u o ) ) a ( e ) 5 。1 1 h u s ( 中o ，r ( ) ) 0 ，l e td = b - 1 o ( ) 】i n d e p e n d e n to ft of o ro ，b k ，a n dl e tu ( t ) b c a n ys o l u t i o no f ( 2 2 ) s u c ht h a t ( 垂o ，n 。) 5 t h e nb yh y p o t h e s i sb 2 ) ，v ( t ，u ( ) ) i s n o n i n c r e a s i n ga n d u ( t ，u ( t ) ) kv ( t o ，u o ) ， a n df r o mb 4 ) ，( 圣o ，u 0 ) 6i m p l i e s 口 ( 圣d ，r ( ) ) 】茎( 中o ，v ( t ，u ( t ) ) ) ( 垂o ，v ( t o ，“o ) ) 茎6 【( 圣o ，u o ) b ( 5 ) o 忙) ， t h u s ( 西o ，r ( f ) ) 0 ，t o 兄 ，t h e r ee x i s t s6 = 6 ( t o ) a n d t = t ( t o ，) ，s u c ht h a tf o r t t o + t ，( 西o ，u o ) 5i m p l i e s ( 垂o ，r ( t ) ) 口 ewu 0 盯 o l e l 一 、jl )、j u ，l + u + ， 0 i e i8tght 、， u ” k 0 ，t h e r ee x i s t s6 ( 5 ) i n d e p e n d e n to ft o ， s u c ht h a t ( 垂o ，咖) 0i n d e p e n d e n to ft os u c ht h a t ( 4 0 ，u 0 ) 南i m p l i e s ( 圣o ，r ( t ) ) 0b e g i v e n ，t h e r ee x i s t sd ( e ) i n d e p e n d e n to ft os u c ht h a t ( 垂o ，u o ) d i m p l i e s ( 4 0 ，r ( t ) ) ， f o rts t o s e ta ：= s u p ( 西o ，v ( t o ，u o ) ) i ( 垂o ，z t 0 ) 南，t o r + ) b yt h eh y p o t h e s i s b 4 ) ， e x i s t sa n db ef i n i t e - 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