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西南大学硕士学位论文摘要 关于迹为1 的s a l e m 数的研究 计算数学专业硕士研究生彭成刚 指导老师吴强教授 摘要 s m e m 数是一个比1 大的代数整数，它的所有共轭元都在闭的圆盘1 内，并且至少有一个共轭元在单位圆上它的极小多项式是一个互反的，次数为 2 d ( d 2 ) 的多项式s m e m 数是计算数论研究中的一个重要的课题通过变换 z = 名+ 1 z 十2 ，可以将s 献e m 数转化成大于4 的全实正的代数整数 我们主要的研究工作是利用整超限直径的理论，结合相应的辅助函数及相关 的计算方法，对全实正的代数整数的极小多项式的系数的上下界进行较为精确地 估计，从而计算出所有次数为1 6 次，迹为1 的s m e m 数 作为研究生期问研究工作的一部分，我们最后讨论了不定方程z 3 + l = 1 2 9 y 2 ， 并给出了其全部整数解f 1 1 关键词：代数整数s 出e m 数整超限直径辅助函数半无限线性规划法不 定方程， 西南大学硕士学位论文 a b s t r a c t s t u d i e so nt h es a l e mn u m b e ro ft r a c e 1 m a j o r ：c o m p u t a t i o nm a t h e m a t i c s n a m e ：p e n gc h e n g g a n g s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rw uq i a n g a b s t r a c t as a l e mn u m b e ri sar e a la l g e b r a i ci n t e g e rg r e a t e rt h a n1 ，w h o s eo t h e rc o n - j u g a t e sa l l l i ei nt h ec l o s e dd i s c 1 ，w i t ha tl e a s to n eo nt h ec i r c l eh = 1 i t sm i n i m a lp o l y n o m i a li sar e c i p r o c a lp o l y n o m i a lo fd e g r e e2 dw i t hd 2 t h e r e s e a r c ho fs a l e mn u m b e r si sa l li m p o r t a n tt o p i ci nc o m p u t a t i o n a ln u m b e rt h e o r y w ec o u l dt r a n s f o r ms a l e mn u m b e r si n t ot o t a l l yp o s i t i v ea l g e b r a i ci n t e g e r st h r o u g h t h et r a n s f o r m a t i o nz = 名+ 1 z + 2 i nt h i sw o r k ，w ef i n da l ls a l e mn u m b e r so fd e g r e e16w i t ht r a c e - 1 o u rc o m p u - t a t i o nu s eam e t h o dc o n c e r n e dt h ei n t e g e rt r a n s f i n i t ed i a m e t e r ，a u x i l i a r yf u n c t i o n a n ds e m i l i n e a rp r o g r a m m i n g t h e s et o o l sa r eu s e dt og i v eg o o db o u n d so nt h e c o e f f i c i e n t so ft h em i n i m a lp o l y n o m i a lo ft o t a l l yp o s i t i v ea l g e b r a i ci n t e g e r sw h i c h c a nb et r a n s l a t e dt os ；a l e mn u m b e r s i nt h i sw o r k 。w ed i s c u s st h ed i o p h a n t i n ee q u a t i o n 矿+ l = 1 2 9 y 2a n dg i v ei t s a l lt h ei n t e g e rs o l u t i o n s 1 k e y w o r d s ：a l g e b r a i ci n t e g e r s ，s a l e mn u m b e r s ，i n t e g e rt r a n s f i n i t ed i a m e t e r ， a u x i l i a r yf u n c t i o n ，s e m i i n f i n i t el i n e a rp r o g r a m m i n g ，d i o p h a n t i n ee q u a t i o n 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中己加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：彭威衙f j 签字日期：乙。f 。年& 月z 夕日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 学位论文作者签名：毫弓武俐导师签名： 签字日期：2 , o ip 年年月巧日签字日期： 舅琵 z 口【口年牛月巧日 西南大学硕士学位论文第1 章引言 第1 章引言 代数整数是代数数域研究中的重要内容，一直是被人们广泛关注的对象对于 代数整数的性质和特点，我们主要从它的长度，高度，m a h l e r 测度，迹等方面进行 研究，并根据代数整数共轭根的分布状况将其分为全实代数整数和有复共轭根的 代数整数两个领域来进行讨论我们讨论的主要是全实代数整数 如果q 是整系数多项式 a o x n + a l x n l + + 口，l l z + a n 的根，我们称o l 为一个代数数，如果多项式中a o = 1 ，称q 为一个代数整数a 所 满足的次数最低的多项式叫做a 的极小多项式，极小多项式的次数称为o e 的次数 令n 为一个d 次的代数整数，并且p ( x ) = 一十a l x d - 1 + + a d - l x + a d 为o l 的极小多项式p ( z ) 的d 个不同的根q 1 ，q 2 ，伽称为q 的共轭元如果口的所 有共轭元都是实数，我们称口为全实的代数整数；如果q 的所有共轭元都是正数， 称口为全实正的代数整数 我们定义： 鼠= q k ，( 七z + ) i = l 显然，当七= 1 时s l = t r a c e ( a ) = 一q l ，& 称为q 的迹，毋d 被称为q 的绝 对迹若口是全实正的代数整数，对于绝对迹，有著名的“s c h u r - s i e g e l - s m y t ht r a c e p r o b l e m 【2 】： 给定p p 对于这个计算数论中的仍未完全解决的问题，近一百年来，随着研究方法的不 断改进和计算机计算能力的不断提高，有很多人对p 的值进行了改进： p v 乍( 1 9 1 8 年，i s c l l u r 【3 】) ； p 1 7 3 7 0 ( 1 9 4 5 年，c l s i e g e l 4 ) ； p 1 7 7 1 9 ( 1 9 8 4 年，c j s m y t h 5 ) ； p 1 7 7 3 5 ( 1 9 9 7 年，f l a m m a n g ，g r a n d c o l a s 和r h i n 6 ) ； p 1 7 7 8 3 ( 2 0 0 4 年，m c k e e 和s m y t h 【7 】) ； p 1 7 8 0 0 ( 2 0 0 6 年，a g u i r r e ，b i l b a o 和p e r a l 【8 】) ； 1 西南大学硕士学位论文第1 章引言 p 1 7 8 3 6 ( 2 0 0 6 年，a g u i r r e 和p e t a l 【9 】) ； p 1 7 8 4 1 ( 2 0 0 6 年，a g u i r r e 和p e t a l 【1 0 】) ； p 1 7 8 7 0 ( 2 0 0 9 年，v f l a m m a n g 1 1 ) 这个问题的最新研究结果是不久前我的导师吴强教授和我的同门梁艳华共同 做出的结果p 1 7 9 1 9 ，为了能够得到更好的结果，他们仍然在为改进p 的值，作更 进一步的努力，希望他们能够取得更好的成绩 在对代数整数的研究中，有几类具有特殊性质的代数整数受到了人们的广泛 研究，如：p e r r o n 数，p i s o t 数，s a l e m 数等 一个代数整数q ，它的次数d 2 ，如果q m a x 2 3 且d 三3r o o d6 或者 d 三5r o o d6 时，l i n d 的猜想并不成立并且l i n d 和b o y d 提出了l i n d b o y d 猜 想： 次数d 2 的最小的p e r r o n 数的极小多项式为： i z d z 一1 id 3 , 5 m 。d6 ； ( z “2 一一一1 ) ( x 2 一z + 1 ) ，d 兰3 r o o d6 ； i ( z d + 2 一：9 2 1 ) l ( x 2 一z 一1 ) ，d 三5 r o o d6 2 0 0 8 年，吴强【1 4 】计算出了次数d 2 3 的所有最小的p e r r o n 数，并且验证了 其极小多项式满足l i n d - b o y d 猜想对于p e r r o n 数，有很多人对其做了研究，具体 可参考文献d b o y d 1 2 1 3 ，a d u b i c k a s 1 5 1 6 ，d l i n d 1 7 1 8 】和a s e h i r m e l 1 9 人们对s a l e m 数的研究，已经有很长一段时间的历史，并且它也出现在数学研 究的很多分支，如：具有较小m a h l e r 测度的多项式，与一致分布相关的问题，调和 分析，动力系统，c o x e t e r 群的增长序列，【广函数的特殊值以及丢番图逼近等等而 且，寻找迹为负数的s a l e m 数与寻找具有较小的绝对迹的全实正的代数整数紧密 相关 2 西南大学硕士学位论文第1 章引言 到目前为止，已经找到的最小的s a l e m 数为l e h m e r 2 0 1 多项式z l o + z 9 一矿一 z 6 一矿一一一z 3 + z + 1 的最大实根，其值为1 1 7 6 2 8 j a m e sm c k e e 和c h r i s s m y t h 7 1 在2 0 0 4 年证明了迹为2 的s a l e m 数的次数不会低于2 0 次，并且给出了 所有迹为一2 ，次数为2 0 次的s a l e m 数v f l a m m a n g 1 1 1 在2 0 0 9 年证明了如果存 在迹为3 的s a l e m 数，那么它的次数不会低于3 0 次c j s m y t h 2 1 1 在1 9 9 8 年证 明了对于所有的d 4 ，都存在迹为1 ，次数为2 d 的s a l e m 数，并且这样的s a l e m 数的个数d ( 1 0 9 l o g ( d ) ) 2 ，同时，他还给出了次数2 d = 8 ，1 0 ，1 2 ，1 4 迹为一l 的所 有的s a l e m 数，与这些次数对应的迹为1 的s a l e m 数分别有1 ，3 ，9 ，3 9 个 在这篇文章中，我们找出了所有次数为2 d = 1 6 ，迹为1 的s a l e m 数，一共有 1 3 8 个我们将在第二章中介绍研究过程中所需要的基础知识；第三章中介绍研究 过程和所用到的主要理论与方法；第四章阐述研究结果和及相关讨论；第五章中介 绍不定方程矿+ 1 = 1 2 9 y 2 f 1 】 3 西南大学硕士学位论文 第2 章预备知识 ；i i ii i i i ；i i ；i i ；i 罩 第2 章预备知识 本章主要介绍我们在研究过程中所需要的一些预备知识主要包括代数整数 和多项式，l l l 算法，线性规划及整超限直径的基础知识 2 1 代数整数和多项式 定义2 1 如果a 是一个有理数多项式 矿+ a l x n 一1 + + 口l l z + 的根，则称o t 为一个代数数若上述多项式的系数都是整数，则称q 为一个代数整 数口所满足的次数最低的多项式称为口的极小多项式，极小多项式的次数称为q 的次数 显然，每个代数整数一定是代数数，反之不真实代数数与代数整数的极小多 项式是唯一的 定理2 2 一个有理数是代数整数当且仅当它是有理整数 定理2 3 在通常的复数加法与乘法下，全体代数数构成一个域，全体代数整数 构成一个环 定理2 4 假设口是多项式 a o x n + a l 矿一1 + + - 1 x + a n 的根，如果a o ，a l ，都是代数数，那么n 一定是代数数j 如果印，n 1 ，n ，l 都是代数整数，且a o = 1 ，那么口一定是代数整数 定义2 5 设a 是一个代数整数，它的共扼定义为q 所满足的极小多项式的所 有根 定义2 6 设口是一个代数整数，如果它的共轭都是正数，则称q 是全实正的， 也称它的极小多项式是全实正的 关于代数数和代数整数更详细的介绍可参考文献【2 2 】和【2 3 】 定理2 7 如果f ( x ) 与g c x ) 是域f 上的两个多项式，且9 ( z ) 0 ，那么存 在唯一的口( z ) ，r ( x ) f 旧，使得，( z ) = q ( x ) g ( x ) + 7 - ( z ) 这里r c x ) = 0 ，或者 d e gr ( z ) sd e g 夕( z ) 4 西南大学硕士学位论文 2 1 代数整数和多项式 定义2 8 如果数域【上次数1 的多项式p ( z ) 不能表示成数域p 上的两 个次数比p ( z ) 低的多项式的乘积，则称p ) 为数域p 上的不可约多项式 定理2 9 ( e i s e n s t e i n 判别法) 设f ( x ) = n l 护+ 口，l 一1 护一1 + + a l x + a o 是一 个整系数多项式，如果存在一个素数p ，使得 1 p 十a n 2 p i 一1 ，a n 一2 ，口o 3 p 2 】【a o 那么f ( x ) 在有理数域上是不可约的 关于多项式在给定区间根的个数的判定，有以下法则： 定理2 1 0 ( f o u r i e r b u d a n ) 如果f ( x ) 是n 次多项式，a b ，f ( a ) f ( b ) 0 ， 令n ( x ) 表示序列，( z ) ，( z ) ，( n ) ( z ) 正负号的变化次数，那么f ( x ) 在区间 ( o ，b ) 内e ，f f , e j 个数隍根按重数计算夕不超过( o ) 一( 6 ) 定理2 1 1 ( d e s c a r t e sr u l e ) 多项式 f ( x ) = a o t , n + a l x n 一1 + + 的正根的个数不超过序列a o ，口l ，a n 的正负号变化次数 给定多项式，( z ) ，令 ( z ) = ，( z ) ，我们用e u c l i d 算法计算，( z ) 与 ( z ) 的 最大公约数 f = q l f l 一厶， = q 2 f 2 一 ，厶一2 = q n 一1 厶一1 一厶，厶一1 = q n 厶 序列f ， ， 一l ，厶称作多项式，的s t u r m 序列 定理2 1 2 ( s t u r m ) 令u ( z ) 表示序列，( z ) ， ( z ) ，n ( z ) 的正负号变化 次数，口 b ，f ( a ) f ( b ) 0 ，则多项式，( z ) 在区间( o ，6 ) 内根的个数仔按重数计 算j 等于u ( 口) 一u ( 6 ) 下面再介绍几个与多项式有关的测度及有关性质 设p = 冬oq i c n ，d e g p = d ，q l = q ，q 2 ，伽为p ( z ) 在c 中的所 有根 定义2 1 3 多项式p 的高定义为 日( 尸) = m f 也称作。的高，即日( q ) 5 定义2 1 4 多项式p 的长度定义为 d 工( p ) = m 0 也称作q 的长度，即l ( q ) 定义2 1 5 多项式尸的范数定义为 俐= ( 卦2 ) 5 定义2 1 6 多项式尸的马勒测度定义为 m ( p ) = l o d i1 - im a x ( 1 ，i 啦1 ) ， 也称作。的马勒测度，即m ( q ) 下面介绍关于结式的一些性质 考虑多项式，( z ) ；妻啦护一和夕( z ) ：曼玩z m 一，a o 0 ，b o 0 我们构造下 i = 0i = 0 面的m + n 阶矩阵 s ( f ，g ) = a o 口l a o 矩阵s ( ，g ) 称作多项式f 和g 的s y l v e s t e r 矩阵s ( f ，g ) 的行列式称作，和 夕的结式，记作r ( i ，9 ) 定理2 1 7 多项式，和夕有公因子当且仅当r ( f ，9 ) = 0 定理2 1 8 设q l ，a 2 ，是多项式f 的所有根，风，屈，风是多项 式g 的所有根，则 r ( i ，9 ) = 口孑皤( 啦一岛) = a 孑n 夕( 俄) = 6 n ，( 屈) 1 n l i n l s j s n l j ml g s m l s j m 6 ， 伽 b m 跏 加 伽k h 饥加 吣 西南大学硕士学位论文 2 2l l l 算法 推论2 1 9 r ( ，g ) = ( - x ) m n ( g ，) 推论2 2 0 如果f = g q + r ，则 r ( f ，g ) = b o d e g ，一d e g7 r ( r ，g ) 这里6 0 是多项式夕的首项系数 推论2 2 1 r ( f ，g h ) = r ( f ，g ) r ( f ，h ) 有关多项式的内容十分丰富，可以参阅文献【2 4 卜 2 7 】这里不再过多介绍 2 2l l l 算法 l l l 算法是计算数论的重要工具之一在我们的研究工作中，为了构造好的辅 助函数，需要寻找好的辅助多项式锄这些辅助多项式的产生，很大程度上依赖于 l l l 算法关于l l l 算法的基础知识可见【2 8 1 及【2 9 】 r 是实数集，r n 为n 维欧氏空间舻中的元素用列向量表示，取r n 中通常内 积： ( ，) ：r n 舻叫r ( z ，掣) hz y 此内积定义了r n 中的长度| i “： ”l i ：舯一r 0 zh ( z 。z ) 由舯中的一组r 一基所构成的一个n 维自由z 一模l 称作r n 的一个格取定l 的一组基u l ，叻，那么 l = z l + + z 行列式的绝对值i d e t ( w x ，) i 称作l 的判别式，记作d ( l ) 为叙述方便，以后内积( ) 也用表示，即z y = x t y 对r n 中的任一组线性 无关向量u l ，忱，利用g r a m s c h m i d t 正交化过程，均可得到一组正交 基u ；，嵋，峨，这里 i - l 越= 蛾一胁j q ，他j = 咄q q 嵋( 1 歹 i n ) j = 1 这两组基生成相同的向量空间 7 西南大学硕士学位论文 2 2l l l 算法 定义2 2 2 ( l l l 约简基) 如上所述，如果以下两个条件成立 n l 肚j l 三， v 1 歹 ；sn l 肚j l 丢， v 1 j isn ( i i ) m + 脚一l 吐1 1 1 2 扣旺1 1 1 2 ，v 1 i n 或者等价地。 i l 心抡( 差一2 ，) l l 一。1 1 2 则u ：，嵋，称作是格l 的l l l 约简基 定理2 2 3 令u l ，忱，是格l 的一组l l l 约简基，则 ( 1 ) d ( l ) i ii i o , i i 2 掣d ( l ) ( 2 ) i l l l 2 孚l l 田l i ，1 歹i n ( 3 ) i l u l | i 2 警d ( l ) 吾 ( 4 ) i i u l i l 2 孚i i z l l ，比l ，z 0 ( 5 ) 一般地，对厶中线性无关的向量z l ，z 2 ，轨，我们有 i i 姚i i 2 下n - 1m a x ( 1 i x l i l ，l l z 2 l i ，i i 甄| 1 ) ，v 1 i t 由上述定理中的结论( 4 ) 可知，格己的一组约减基中的u 1 的长度不超过其中 最短向量长度的2 加一1 ) 2 倍在实际计算中我们看到向量u l 接近格l 中最短的非 零向量事实上，它往往是最短的向量，即使不是，在大多数情况下我们都可以用它 近似代替最短向量来使用而且，我们观察到维数越低，所得的结果越好 给定格l 的一组基，我们能够通过l l l 算法得到格三的一组l l l 约减基 8 西南大学硕士学位论文 23 线性规划 肚i g 1 1 g12。(11n) b = ( 三三：! i 三三) = e 只，b ，p m ， 这个解称为基本解 x s = z 2 ，x r a ，0 ，0 ，酽 9 西南大学硕士学位论文2 4 整超限直径 定义2 2 7 满足非负条件( 2 3 3 ) 的基本解称为基本可行解，否则称为基本不 可行解 定义2 2 8 对应于基本可行解的基称为可行基 利用单纯形法我们可以求解线性规划问题单纯形法的基本思想是：先找到一 个初始可行基，得到一个初始基本可行解然后判断该解是否最优如果不是最优 解，则施行基变换，找到一个新的可行基，使新的基本可行解比原来的要好这样跌 代下去，直至找到最优解为止 关于线性规划更详细的介绍可参考文献【3 0 】和【3 l 】 2 4 整超限直径 设k 是c 中的一个紧集，p 是一个多项式且p c m 令i p i ，k = s u pl p ( x ) 1 k 的整超限直径定义为 z k 定义2 2 9 t z ( k ) = h 喈l fp z 【m i n ；】i p | 留k 对于任意n 1 ，如果某个n 次多项式尸n 满足 p n i ，k2p z m i n i p i o o 。k d c 口p = 再 则称r 是c h e b y s h e v 多项式满足上式的r 通常不是唯一的目前已知：如果 k 是一个实区间，不妨设k = 【口，6 】，则当b 一口4 时，t z ( k ) = 宁；当b a 4 时，t z ( k ) 4 并且口的其它共轭 元都在区间( 0 ，4 ) 内，利用变换z = z 4 - 1 z - 4 - 2 就可以生成一个互反的多项式 q ( z ) = z 2 d4 - z 2 d - 4 - - 4 - 名十1 由于p ( z ) 在区间( o ，4 ) 内的一个根对应于q ( z ) 在单位圆盘上的一对根，p ( z ) 在区间( 4 ，o o ) 内的根对应于q ( z ) 的一对互为倒数 的正实根，所以q ( z ) 就是一个次数为2 d ，迹为1 的s a l e m 数的极小多项式因此 要找出所有次数为1 6 ，迹为一1 的s m e m 数，只需要找出所有次数为8 ，迹为1 5 的 全实正代数整数a ( 2 ) 对满足条件的全实正的代数整数的极小多项式的系数的取值范围进行估 计，从而缩小搜寻范围： 由( 1 ) 我们可知，若设q 是一个8 次的全实正的代数整数，p ( x ) = z 8 1 5 x 7 + 6 2 扩+ + b t z4 - b s 为口的极小多项式，q l = 口，啦，蚴为p ( x ) 的所有根，则 我们需要确定p ( z ) 的系数的取值范围，而牛顿公式 s k + 6 l 鼠一1 - 4 - + b k i s l + 七k = 0 为我们提供了尸( z ) 的系数k 与& 之间的关系，其中& = e 墅l 砖，1 k 1 2 这 样我们将求p ( z ) 的系数k 的取值范围的问题转化为求& 的取值范围的问题因 此，我们对瓯的取值范围进行较为精确地估计有利于缩小b 的搜寻范围 ( 3 ) 求& 的取值范围： 我们利用构造辅助函数的方法，结合整超限直径的理论及相关的计算方法对 瓯的上下界进行较为精确的估计 当我们获得了较为精确的瓯的上下界后，即可利用( 2 ) 中的牛顿公式给出满 足相应条件的全实正代数整数的极小多项式的系数的取值范围，从而找到满足相 应条件的所有的全实正代数整数，再利用( 1 ) 中的变换即可求出满足相应条件的所 有的s a l e m 数 3 2 2 研究问题的具体步骤 ( 1 ) 对所研究的问题的转化： 1 2 西南大学硕士学位论文 3 2 研究问题的方法 在上一节中我们已经介绍了对次数为2 d ，迹为1 的s a l e m 数的研究可以转化 为对次数为d 的全实正的代数整数的研究，并且介绍了转化的根据和过程通过上 面的介绍可以看出寻找所有次数为1 6 ，迹为1 的s a l e m 数等价于寻找所有次数为 8 ，迹为1 5 的全实正的代数整数口 ( 2 ) 对研究区间的转化： 在( 1 ) 中，我们将问题转化为了寻找所有次数为8 ，迹为1 5 的全实正的代数整 数口，这里q ( 0 ，o o ) 为了更精细的讨论p ( x ) 的系数的上下界，我们可以用下面 的事实将口的范围缩小 设a 是一个8 次的迹为1 5 的全实正的代数整数，p ( z ) = 护一1 5 x 7 + b 2 2 6 + + b t z 4 - b s 为乜的极小多项式，q 1 = q ，q 2 ，0 ：8 为p ( z ) 的所有根 2 0 0 9 年，f l a m m a n g 在对全实正的代数整数的性质的研究中，证明了除了几个 例外点，对于z 0 ，都有 ，( z ) = z 一c ，l o g i q j ( x ) l 1 7 8 7 0 2 l g s j 其中c 0 ，q ( z ) z 】，1 j j ，j 为辅助多项式锄( z ) 的个数 因此，对8 次全实正的代数整数q l ，蚴，0 ：8 ，我们有 q l = ，( q ) + c j l o g i q j c a l ) i ， a 2 1 7 8 7 0 2 + c i l o gi q j ( a 2 ) i ， i 0 f 7 1 7 8 7 0 2 + c a l o gi q j ( 0 ：, ) i ， a 8 1 7 8 7 0 2 + c a l o gi q j ( 0 ：s ) 因为我们讨论的是迹为1 5 的全实正的代数整数，所以以上八式累加得： t r y ( 0 ：) = 1 5 1 7 8 7 0 2 7 + 似) + e j l o g l 8 锄( q i ) l ii l j 0 ， j = l 因此 ，( a ) 2 4 9 0 8 6 由于，( q ) 经过最后一个极小值点后变为单调递增函数的性质，我们可以得到 o t 6 9 6 因此，寻找所有次数为1 6 次，迹为1 的s a l e m 数就可以转化为寻找所有次数 为8 次，迹为1 5 ，a ( 4 ，6 9 6 ) ，而q 的共轭元在区间( 0 , 4 ) 内的全实正的代数整数 ( 3 ) 牛顿公式及其他限制条件的利用： 由上一步的结论可知，我们只需要确定所有次数为8 次，迹为1 5 的全实正的 代数整数的极小多项式的系数的取值范围即可 我们通过辅助函数的方法( 详见下一节) 计算出瓯的界，牛顿公式为我们提供 了p ( z ) 的系数k 与乳之间的关系，其中= 整l 乜? ，1 ks1 2 特别地，对于 k = 1 ，我们有b l = 一1 5 ，& = 1 5 ，然后利用牛顿公式对p o ：) 的系数k 的上下界进 行进行较精确的估计，从而找出所有次数为1 6 ，迹为1 的s a l e m 数 另外，我们还通过一些特殊的性质，改善我们对次数为8 ，迹为1 5 的全实正代 数整数的极小多项式p ( x ) 的系数的估计，例如：通过算术平均数和几何平均数之 间的关系，可以得到 蚝= q ，q 2 蚴s ( 竺l 生竺生产) 8 = ( 萼) 8 = 1 5 2 7 6 。， 除此之外，在具体计算中，我们还用到了一个比较重要的约束条件：如果p ( z ) 的所有根都在区间( 0 , 6 9 6 ) 之间，那么它的k 阶导函数的所有实根也都在区间 ( 0 , 6 9 6 ) 之间因此，对k = 7 ，6 ，1 ，p ( x ) 的k 阶导函数 州= 南x s - k _ 1 5 南扩+ 的所有实根都在区间( 0 , 6 9 6 ) 内 ( 4 ) 求鼠的取值范围： 由上面的步骤，我们可以看出，只要对鼠的上下界进行较为精确的估计，就可 以缩小k 的取值范围，从而减少计算时问，更快的计算出所有次数为8 次，迹为1 5 的全实正代数整数 1 4 西南大学硕士学位论文 3 2 研究问题的方法 在本章接下来的几节中，我们将介绍如何利用整超限直径的理论，结合相应的 辅助函数及相关的计算的方法对& 的上下界进行较为精确的估计从而计算出所 有满足条件的全实正代数整数q 3 2 3 辅助函数的构造 构造辅助函数是计算数论中比较常用且较重要的方法之一，也是解决本问题 的关键所在，设z ( 0 ，6 9 6 ) ，七【2 ，1 2 ，且后n ，e o r ，百= ( e l ，e 2 ，e n ) r n ，勺0 ，劬0 ) z x 】，( 1 歹j ) 对于瓯的下界，我们考虑辅助函数 ， ，动= 矿一e o z 一e j l o g i q j ( z ) i ( 3 2 1 ) l s j ， 令m ( 虿) 2o m 霉 i n 6 9 6f ( x ，动，则有 q k e o q i 一勺l o gi 岛( q i ) i m ( - o ，1 i d 1 j ， 从而有 dd ii q ? 一e o 锄一勺l o gi q j ( q t ) l d m ( 动 i - - - - 1i = 1 1 j s ，i l 一i 一d i 其中冬l 啦= 岛，即代数整数的迹，由于我们讨论的是迹& = 1 5 ，因而有 ， 一1 5 e o - e j l o gi r e s ( p , q j ) i d m ( 动 5 = 1 当p 不整除任何劬时， i r e s ( p , q ) l 1 因此 3 e jl o gi r e s ( p , q j ) i 0 ， j = l 故有 & d m ( 功+ 1 5 e o ( 3 2 2 ) 由式( 3 2 1 ) 和( 3 2 2 ) 可知，对于& 的下界的研究可以转化为对辅助函数 ( 3 2 1 ) 在z ( 0 ，6 9 6 ) 时的最小值的研究因此把问题转化为求解下面的线性优化 问题： r = m 。a xr e ( a ) = m 虿a xo 0 ，从而 有i2 ui + ( 2 5 8 u 心一1 ) 怕= + 狐= ( 2 + 娟) n n 0 ，其中2 + 镛为p e l l 方程x 2 3 y 2 = 1 的基本解，所以有2 5 8 u 忍= 蜘+ 1 由于2 i n 时，2 1 y ，所以 仡兰士l ( m o d 4 ) 兰礼= 4 m 一1 时，2 5 8 u 堙= y 4 m 一1 + 1 = 一z 4 m4 - 2 玑m + 1 = 2 y 2 m x 2 m 一1 ，即 1 2 9 u a = y 2 m z 2 m 1 由( 锄n ，z 2 m 1 ) = 2 ，所以有下列情形之一成立： 耽m = 2 5 8 a 2 , 。2 m l = 2 b 2 y 2 m = 2 a 2 , z 2 m l = 2 5 8 b 2 耽m = 6 a 2 , t 2 m l = 8 6 b 2 耽m = 8 6 a 2 , z 2 m l = 6 b 2 ( 5 2 ) ( 5 3 ) ( 5 4 ) ( 5 5 ) 其中t = 2 a b 由( 5 2 ) 式的后式得4 6 4 3 一l = 1 ，由引理l 可知一l = 士1 ， 则m = 0 或1 当m = 0 时，由y 2 m = 2 5 8 a 2 得a = 0 ，从而= 0 ，与假设矛盾当 m = 1 时，代入y 2 , n = 2 5 8 a 2 不成