（计算数学专业论文）声波障碍反散射问题的几种数值方法.pdf

摘要 摘要 声波反散射问题是个典型的数学物理反问题。由于声波反散射理论在 雷达及声纳等领域的迫切需要，反散射理论及计算方法的研究有着广 泛的应用前景。本文对于声波障碍反散射问题，综述了其历史发展， 并对其中的部分问题做了认真的研究，取得了比较满意的结果。详细 内容如下： 1 对于线性矩问题，给出了逼近方法，数值例子表明方法的有效性。 2 对于正散射问题，利用单层位势逼近，求解远场模式。 3 对于系数反问题进行了研究，利用远场模式的不完全数据反演声波 阻尼系数。 关键词：障碍反散射线性矩逼近方法单层位势远场模式阻 尼系数 a b s t 阳c t t h ei n v e r s ea c o u s t i cs c a t t e r i n gp r o b l e m i 8at y p i c a li r e r 8 ep r o b l e m - i t h a sb r i g h tf u t u r ei na p p l i c a t i o no n r a d 甜a n d8 0 n a r ，e c t i nt h i sp a p e 。，s o m e p r o b l e i 璐0 f i n v e r s eo b s t a c ks c a t t e r i n gt h e o r ya r ei n v e 8 t i g a t e da n d s o m e s a t i s f 8 c t o r yc o n c l l l s i o i l s 盯er e a c h e d d e t 缸ba r ea sf o u o w s ： 1 a p p r 似i a m 8 t i o n m e t h o di 8 百v e n f o r1 i n e a rm o m e n t p r o b _ l e m s n u m e r i c a le x a m p l e s 眦g i v e ns h o w i n g t h e p r a c t i c a l i t y o ft h e m e t h o d 2 t h ed i r e c ts c a t t e r i n gp r o b l e mi ss o l v e db y t h e8 i n 舀el a y e ra p p r o ) c i m a - t i o n 3 t h ea c o u 贰i cw 8 i m p e d 舭l c ec o e m c i e n ti sr e c o v e r e df r o mt h ei n c o m d l e t ed a t o ft h ef 8 rf k l dp a t t e r n k e y w o r d s ： i n v e r s eo b s t 砌e8 c a t t e r i n g ，l i n e 8 rm o m e n t ，a p p r o 晒m a - t i o nm e t h o d ，s i n g l el a y e r ，f 缸f i e l dp a t t e r n ，i m p e d a n c ec o 娟c i e n t 独创性声明 本久声羁掰璺交酶学位论文楚本入农导j | | i 豹攒导下遽行的研究工作及敬得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的内容外，本论文不包含其 德久已发表或撰写熬璎究成果。瞧苓包会为获褥鞭憩大学竣箕缒教弯辍拣熬学经 和证书而使用过的材料。与我一起工作过的同志对本研究所做的贯献已在论文中 作了明确的说明劳表示谢意。 学位论文律者签名：专i 翻毛签字目醇h 姑月珈 第一章绪论 第一章绪论 5 1 1 反问题介绍 对反问题的研究是个相对新的研究领域。它源于六十年代t i k h o n o v 的基础性 论文。在科学史上有一个著名的“盲人听鼓”的问题，这是一位丹麦物理学家 在1 9 1 0 年提出的一个数学问题。在已知鼓的形状的条件下，要确定鼓的发声规 律，这在数学物理研究中早已是成熟的课题。反之，仅仅通过鼓的声音能否判断 出鼓的形状呢? 生活经验告诉人们“以耳代目”具有一定的可能性。例如，我们 挑选西瓜时，通过拍打瓜皮发出的声音，就可知道瓜瓤长得怎样。这是因为当物 体的材料确定后，它的音调高低与其形状密切相关，有经验的人不难发现它们之 间的某些联系。经过数学家们近一个世纪的深入探讨、巧妙解析，使人们对于现 实中普遍存在的类似问题有了更加透彻的理解。在“盲人听鼓”的问题中，虽然 不能推算鼓面的精确形状，但是从鼓声中可以得到相当多的有关形状的信息。例 如，通过鼓的音谱，可以计算出鼓面的大小和周边的长短，甚至鼓的内部有否凹 洞，都可以由计算公式确定。 在实际生产、生活中，类似的数学问题经常可以遇到。随着社会的发展和科 技的进步，很多应用中的难题不能通过传统的科学研究去解决，它们向数学家们 寻求新的解答方法。比如要探求位于不能触及到之处的物质变化规律，根据特定 的功能对产品进行设计，按照某种目的对流程进行探制，在工业生产中希望得到 某种新材料等等。由此，在数学中派生出一个新兴的分支学科一反问题研究。 反问题的研究起源于数理方程，在数学物理中，通常研究的是数理方程的正 问题，也就是给出微分方程及其解应满足的某些给定条件，如初值条件、边值条 件或混合初边值条件，求满足给定条件的解及研究解的正则性质。然而在实际 中，常常会遇到与求解正问题相反的情况。作为代表某种物理场的微分方程的 解，我们不仅知道它们应取的初、边值，而且还可以观测到解( 场) 的某些进一 步的信息，但是反映场源结构性质的某些物理参数或几何参数却作为未知量出现 在微分方程的系数中，或出现在微分方程的右端部分，或初边值条件中，要求我 们利用解的进一步附加信息去反求这些未知参数，这就是数理方程反问题。其反 演算法中包含了微分方程数值解法、最优化方法和概率统计等方面的许多思想和 技巧。近年来，计算数学在计算机技术飞速进步的基础上，结合解决科学与工程 中的计算问题，构造和发展新型算法，取得了丰硕的成果，也为解决反问题提供 了重要的条件。 反问题是从各个领域，各个学科的实际需求中提出的，因此反问题研究是一 第1 页，共3 5 页 第一章绪论 门交叉性学科，解决反问题必须进行跨学科、多领域的携手合作。首先，能否提 出一个归纳到数学范畴的，具备可行条件的反问题，不仅需要一定的数学理论水 平，而且要掌握某个领域或学科的专业情况，这是反问题研究最重要的前提。 数学正以前所未有的广度和深度向其它学科领域渗透，数学正在有力地影响 着经济生产的发展和社会生活的进步。作为数学的一门新兴学科，反问题与人类 生产、生活密切相关。反问题的出现，为传统数理方程的研究开辟了新的领域， 也推动了数学工作者积极参与解决生产和生活中的实际问题。反问题研究有着十 分广阔而实际的发展前景，反问题研究的丰硕成果将不断造福于人类。 1 2 关于声波障碍反散射问题 1 2 1 声波障碍反散射理论的历史发展 声波反散射理论是个典型的数学物理反问题。声波散射理论在二十世纪的数 学物理领域占有重要的地位，在这方面已经有大量的研究工作，而在声波反散射 的研究方面，大量的研究工作才是近十多年的事。由于声波反散射理论在雷达、 声纳、地球物理勘探等领域的迫切需要，反散射理论及计算方法的研究有着广泛 的应用前景。在1 9 8 5 年以前，对声波反散射问题的研究大致可分为两个方面：一 是解析方法，这种方法是将总体场展成f o l l r i e r - b e s 8 e 1 级数，求区域，使得总体场 在区域的边界上为零，这种方法只对软表面障碍有效。且收敛性要求散射波的奇 点远离障碍的边界，但这对未知区域不可能判断，数值试验很难实现，解析方法 还有利用复变函数的方法，利用保形映照将未知区域映成单位球，问题归结为求 这个映照，但问题的收敛性受制于苛刻的附加条件，对于解析函数，小扰动都有 可能破坏其解析性，数值实现几乎不可能。另一个方法是非线性最优化方法，理 论结果似乎很完美，但数值试验也很困难，原因是要求边界到远场模式这个映射 的n e 吐l e t 导数，并且每迭代一次都需要解一个正问题，即解一个n e d h o l m 积分方 程。1 9 8 5 年以后，对声波反散射的研究，无论在理论上还是在数值计算方面都取 得了长足的进展。对我国对于反散射的研究甚少，尤其是在声波反散射区域的重 建方面，几乎空白，就声波反散射的研究，无论是理论结果，还是数值方法，与 实际问题的结合还有很大差距，这是由于对区域较理想的重建对原始数据的要求 相当苛刻，在这方面，要解决的问题还很多，如何降低对原始数据的要求，有效 的数值方法，一些先验估计都是追切需要决解决的问题。声波散射区域的重建， 目前主要有三种较为有效的方法。一是c o l t o na n dm o n k 方法，一是k i r s c i la n d k r e 龉方法，还有一种是最新的l i n e a r 踮m p l i n g 方法【5 j ，本文将在后面对这几种方 法逐一介绍。目前对声波反散射的研究，目前的研究方法主要是基于积分方程方 法，一种重要的途径是利用波场的远距离行为，即远场模式( f a rf i e l dp a t t e r n ) 。 第2 页，共3 5 页 第一章绪论 关于这方面的研究很多，砌m m 在1 9 8 6 至1 9 9 0 的四年间先后发表了多篇论文，主 要研究系数反问题，对所提出的三种反求系数方法，讨论了解的唯一性和稳定 性c o l t o n 等人利用远场模式研究了声波和电磁波反问题【1 。g i l b e r t 和x u 主要针对 有限深度海洋问题，研究了如何用远场模式反求系数和区域等问题，并给出一些 数值例子【2 5 】【2 6 】。虽然他们的研究只限于理论方面，但为将声波与电磁波反散射 理论应用于海洋问题提供了一条可行途径。在声波反散射理论的研究中，利用积 分方程方法的优点是，对问题的唯一性与稳定性容易得到证明，但不容易做数值 试验，许多文献只给出算法，而没有给出相应的数值例子。在数学性质上，不同 于正散射问题，通常反散射问题的一个特点是不适定，非线性，这正是反散射问 题的难点所在。它对理论研究和数值方法的设计都带来相当大的困难，也正因为 如此，反散射的研究远不如正散射问题那样成熟和完善，还有大量的问题需要解 决。数理方程反问题大多数是不适定的，因此，正则化方法及拟解方法被广泛的 采用，尤其是正则化方法显示出强大的活力，不少演算方法是利用正则化方法实 现的。解不适定问题的正则化方法是1 9 6 3 年由前苏联数学家a ht i k h o n o v 院士提 出的，其后他和他的学生在这方面做了许多工作，到1 9 7 4 年，t i k l l n o v 等人合著的 不适定问题的解法一书出版，系统地总结了这个方法及理论。迄今，正则化 方法一直被人们认为是一种有效的求解不适定问题的方法。4 1 1 2 2 声波障碍反散射问题的提法 古典声波散射理论的两个基本问题：一是时间调和声波在非均匀介质中的散 射问题，另一个是不可穿透的障碍散射问题。我们将重点讨论后者。 首先考虑第一种情况，假定入射波是时间调和声波 o ( 。，) = e x p p ( 女- 口一“，t ) 】， 其中= u g 是波数，u 表示频率，g 表示声波在均匀介质中的传播速度，o 表 示波传播方向，那么在非均匀介质中最简单的声波散射问题可归结为求总体场u 使 得 t + k 2 t l ( 茁) t = 0 ，讯r 3 ，( 1 1 ) u ( z ) = e l 虹口+ t 上。( 。) ， ( 1 2 ) l 糕r ( 筹地u 。) = o ( 1 3 ) l 嚣i 丽1 舰。户o ( 1 3 ) 其中r = ，礼= 四c 。是折射率，c 表示声波在非均匀介质中的传播速度，u s 称 为散射波，( 1 3 ) 称为s o m m 凹f e l d 辐射条件 对不可穿透的障碍d ，散射问题可归结为求总体场u ，使得 u + 2 n ( 让= o ， n r 3 d ， ( 1 4 ) 第3 页，共3 5 页 u ( z ) = e 让+ 缸3 ( z ) ， u = 0 o na d i 概r ( 筹墙u 8 ) = o ( 15 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 6 1 表示软表面障碍( s o u n d - s o f to b s t a c l e ) 边界条件，物理上可解释为总体压力在 障碍边界上为零。在大部分研究中，我们令n ( o ) = 1 类似地，硬表面障碍( s o l l i l d - h a r do b 8 t a c i e ) 对应于n e u m a m n 边界条件， 笔_ 0 帆呱 u 表示单位外法向，在物理上可解释为声波沿法向的速度在障碍边界上为零。 还有阻尼边界条件 娑+ i a 让：o ，o na d 咖 虽然( 1 1 ) 一( 1 3 ) ，( 1 4 ) 一( 1 7 ) 是两个最简单的声波散射问题，其中有些问题还没 有得到完全解决，就数值计算而言，还有许多问题需进一步研究。 对障碍正散射，问题是由障碍及边界条件确定散射波或散射波的远距离行为一远 场模式而反散射问题则是已知散射波或其远场模式的一些信息，反求散射区域的 形状例如，边界条件已知，求区域的形状，或形状已知，求其总体场满足的边界 条件。区域重建这个反问题研究的主要困难的非线性与不适定性，对数值计算而 言，适定性带来的困难更为明显。我们知道，由远场模式确定散射波这个问题是 不适定的，非线性是由于要寻求区域，使得总体场满足边界条件这个问题是非线 性的。 象正散射问题一样，首先要回答的问题是解的唯一性。第一个唯一性 结果是由s c l l i 脑【1 3 】得到的，他表明，对问题( 1 4 ) 一( 1 7 ) ，远场模式t 。( 圣，d ) 对所 有q ，d q 和固定的波数唯一确定了散射障碍d 。对应于问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的结 果由n a c h m m a i l 【1 4 】，n o v i k 吖【1 5 】和m | m m 【l6 】得到。随后，c o l t o n 和s l e e m a n 证明 了如果事先知道d 包含在一个半径为r 的球内，并且有r 0 ，算子o j + a + a ： x x 是一双射，且它有连续逆算子，并且当a 是单射时，则r 。：= ( q ，+ 小a ) - 1 小定义了一个正则化序列，满足l i r 。| | 赤 上面的正则化序列兄。对应的正则化方法就叫做t i k h o n o v 正则化方法。 实际上，我们还可以这样理解t i k h o n o v 正则化方法。它是通过使一个泛函最 小化得到。 定理2 2 设j 4 ：x y 是一个全连续算子，令o 0 ，则对任意的，y ，存 在唯一的t x ，使得 l i a u 一，j 1 2 + a i i u 1 2 = i n f i i a u 一，1 1 2 + 口i i u i l 2 ) 其中u 满足方程 a u 。+ a + a u 口za + ， 且连续依赖于， 证明 i i a 钍一，0 2 + a o u i l 2 = i l a u 。一，1 1 2 + o i | t 0 2 + 2 r e ( u u 。，。牡。+ a ( a t 正。一 ，) ) + | i a ( u u 。) 0 2 + 酬u t 。| | 2 可知t = 牡。是使i l a 乱一，2 + a 1 1 u 1 1 2 最小化的充要 条件。 由以上定理，我们可以选取适当的口，通过求解方程a u 。+ 小a u 。= 小，从而 得到近似解u 。 在实际计算过程中，当月是自共轭正定算子时，t i k l l o n o v 方法可以改进如下： 定理2 3设a ：x x 是一个自共轭正定全连续算子，则对任意的n o ，算子序列：兄a ：= ( ，+ a ) - 1 是一个正则化序列，满足0 r a | i 去 第8 页，共3 5 页 第二章不适定问题及线性矩问题的解法 24 线性矩问题 第一类算子方程在不同函数空间的离散化得到不同形式的线性矩问 题1 9 6 8 年，地质学家gb a c l c u s 和fg i l b e r t 给出了一种求解线性矩问题的方法， 用来求解地球物理反问题，后来称之为b g 方法【7 】从理论上严格论证了其收敛 性，【8 】给出了一种求解线性矩问题的光顺方法， 9 】讨论了再生核空间的b g 方 法，并将其用于信号处理。【1 1 】给出了b g 方法对不精确数据的误差估计，从而 证明了b g 方法是一种正则化方法。以上方法的核心思想是在某类函数空间寻求 对6 ( 茁) 函数的逼近，从而得到线性矩问题的近似解【1 0 】给出了一种求解线性矩问题 的修正方法，得到了误差估计，证明了在一定条件下修正方法是一种投影方法 2 4 1 b g 方法 考虑线性矩问题 u ( ) 毋( ) 曲= 心 j = l ，2 ， ( 2 1 ) 其中qcr 是有界开集，毋l 2 ( q ) ，p = ( 肛1 ，p 2 ，) z 2 是给定的数 据，“l 2 ( q ) 是要确定的函数为了方便，假定l 2 ( n ) ，1 2 是实空间， 9 j ) p 线性 无关且在l 2 ( q ) 中完全，在实际问题中，我们只能知道有限多个矩，因而需要求解 有限矩问题 u ( 口) 鲫( ) 匆= 如 j = 1 ，2 ，n ( 2 2 ) 将( 2 1 ) 和( 2 2 ) 表示为算子方程即为 a u = pu l 2 ( n ) ，p z 2 ( p 。r ”( 2 2 ) ) 求解问题( 2 2 ) ，就是构造一个算子b ：彤一l 2 ( q ) ，使得在某种范数下，b a 逼 近单位算子b ：彤。一l 2 ( q ) 的一般形式为 b p = 脚， p 彤，t 。l 2 ( q ) j = l 由于 舢) - 上山) 善眯删曲， 蚝g 胙驴( 锄( 2 3 ) 因而b a t 一u 导致了选择函数l 2 ( n ) ，使得( z ) 毋( 9 ) 逼近6 ( f z 一 1 ) ，设如( $ ，! ，) 是逼近6 ( 1 z 一1 ) 的一个序列( 固定z ，n 一) ，则问题归结为下述极 小化问题 啦露) 上上i 喜( 。) 毋( 们一晶( 孔们1 2 曲出 ( 2 4 ) 第9 页，共3 5 页 第二章不逶定瓣怒及线洼缒蠲题蘸瓣法 b - g 方法则是求解魏f 豹投小譬| 最题 l 瓣蹦咄 陪。伽蚓， 其中 = ( 魄，啦，一，) r ， 蹦2 小叫1 2 1 善酬们1 2 句 鸯毛8 9 r 髓g e 黍子法，辍枣纯瓣蘧等徐予求口舻，天蠢满是 髀0 其中 g ( 嚣) 缮= 7l 嚣一 2 露( ) 露( ) d g ，i ，j = l ，- ，t ，嚣 7 一( 7 l ，他，) r ，= 野( ) 却，j = l ，n 。 j 翁 或者 ( 警姑) = ( ：) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 对固定的r ，上式是一个 + 1 ) 阶线性方程组，如前面假定 吼) 2 是线性笼关 的，盈缓定蕾0 ，翔上式静系数矩箨是珂逆静，阑两唯一研解 定义2 3 我们称 n u 。( 善) 一心( z ) j = 1 为阍题( 2 。2 ) 的& g 辩 2 4 。2 遂逶方法 对于前述的线憔矩问题，我们有如下的逼近方法a 由( 2 4 ) 霹褥 n 饥( z ) ( m ，函) = ( 如扣，) ，协) 一1 ，2 ，n ( 2 8 ) 甚l 我们由另一角度来矜析，设( 甜l ( 。l 砚 ) ，( 。) ) 是上面方程缎的解，则 n ( 娥缸) 袅( ) 一氏( 文) ，露( ) ) 一o ， j = l ，2 ，羁 第l o 员，共3 5 贾 第二章不适定问题及线性矩问题的解法 由最佳逼近定理知，q ( z ) 9 j ( f ) 是空间s = s p o n 9 1 ，啦，肌) 对矗( 。，) 的最佳 j 一 。 逼近，换一种说法，即在空间s 中，0 是( z ) 毋( ) 一以( z ，) 的最佳逼近我们完全可 ，= 1 以换一种空间来逼近( z ) 西( ) 一“( z ，) ，使得。是它的最佳逼近 设a ，a z ，a 。是l 2 ( q ) 中的一组线性无关元素，要使得在空 间跏o n a 1 ，a 2 ，q 。 中。是( z ) 毋( ”) 一矗( z ，封) 的最佳逼近，由最佳逼近定 j = l 理，应有 ( u ( z ) 仇( ) 一矗( ”) ，( ) ) = o ， j = 1 ，2 ，n ( 2 9 ) b 1 用矩阵表示，即为 g 0 = 6 f 2 1 0 1 其中g j = 慨，q ) ，u = ( u 1 ，) 7 ，6 j = ( 矗( 。，) ，) 若选取q = ( 口1 ，a 2 ，口。) 使得g 可逆，则上式唯一可解，修正方法的解定义 为 n 麻( z ) = 心( 2 1 1 ) j = l 下面给出数值例子，分别用零次b 样条函数和一次b 样条函数构造逼近序列，画出了 在同一坐标系下的图形，并对结果进行了分析 例2 1求解线性矩问题 f8 i n 妇u ) = ，jj = 1 ，2 ， 其中 = 一三s 肛一烈筹+ 普 精确解为u 仕) = z c o s 3 0 a ) 使用零次b 样条 取 = 扣( 等) 矧沪；( 芝竽) j - 1 i z ，n 其中 酬= 搿名 = 孟舻执川怎，n 计算“( 勺一 ) ，j = 1 ，2 ，1 0 0 ，计算结果见图l ( 精确解与近似解在同一坐标系 内的图形) b ) 使用一次b 样条 第1 1 页，共3 5 页 第二章不适定问题及线性矩问题的解法 “啪) = ；q ( 等) 矧沪；q - ( 罕) j - 1 1 z ，n 其中 州扣圳蓦n = 扣叫庐，n 计算u ( q ) ，j = 1 ，2 ，1 0 0 ，计算结果见图2 ( 精确解与近似解在同一坐标系内 的图形1 例22求解第一类线性积分方程 七( 茁，掣) u ( 可) = ，( 。)。【o ，1 其中 e 。，”) = 了南， ) = ；z 3 2 + ；( - 一。) 3 2 一；i 。一；1 3 2 精确解为 出，= m 。，裂霎， 选取5 0 个配置点，= j ，j = l ，2 ，5 0 ，巧= 矗 矗，的选取如例1 计算结果见图3 ( 使用零次样条) ，图4 ( 使用一次样条) ( 精确解 与近似解在同一坐标系内的图形) 第1 2 页，共3 5 页 第二章不适定问题及线性矩问题的解法 从图形我们可以看出，使用零次样条的精度明显高于一次样条，这是因为使用零 次样条函数逼近6 ( i z f 1 ) 的精度高于一次样条笔者还算过二次样条等许多例子， 结果表明选取的基函数光滑性越好，逼近效果越差 第1 3 页，共3 5 页 第三章利用单层位势求解远场模式 第三章利用单层位势求解远场模式 对于反问题的求解，我们需要知道远场模式的一些信息，因此，对于正问题 的研究也至关重要。在均匀介质中，对软表面障碍，时间调和声波散射问题归 结为h e l m h o l t z 方程的d i r i c h l e t 外问题【1 】【6 对此问题的求解，主要是利用位势理论将 问题化为第二类边界积分方程，采用s 打拥，配置法，g a l e r l 【i n 等方法进行求解f 1 9 1 本文对于阻尼边界条件的外问题，利用单层位势进行逼近，导出一个第二类边 界积分方程，采用f s 打讥方法对边界积分方程中出现的对数奇性进行细致的处 理，算法简单，并具有很好的精度。 3 1 位势理论 首先我们介绍位势理论 h e l m h o l t z 方程的基本解为 西( z ，可) = ；日 1 ( 后i z 一i ) ，z 可 其中硪是第一类零阶h a n k e l 函数，给定可积函数仍积分 u ( z ) ：= 妒 ) 圣( z ，) d s ( ) ，。r ”r ，( 3 1 ) 和 出) ：= 伽) 哿蝴z 趴r ， ( 3 2 ) 分别称为具有密度妒的声波单层位势和声波双层位势。它们是h e l i i l h o l t z 方程在 在d + 的解并满足辐射条件。它们在边界的行为可以用下面的跳跃关系来描述。 定理3 1 设r 是c 2 类，并且妒是连续的。那么，单层位势u 在r ”连续。在边 界上，有 札( 。) = z 岫) 吣m 州n z r ) ( 3 渤 并且有 等= z 劬) 裂d s ( 蚺扣，删， ( 3 a ) 其中 鬻( z ) ：= 牌。( n ( 。) n du ( z 士砌( 瑚) 可以被理解为在边界一致收敛，其中的积分是不定积分。双层位势口可以连续地 从d + 拓展到z 耳，从d 拓展到d ，并且有 u 出) = z 劬) 哿蛐) 士扣) 1 z r 1 ( 3 5 ) 第1 4 页拱3 5 页 第三章利惩单磊位势求簿运场摸武 其中 啦( 。) ：。艘。”扫士砌p ) ) ， 其审蛉积分是不定积分。遴一步专 脚。 未”州瑚嘉( 。一州瑚) _ o z r 3 2 裁翔革屡位势进行邋近 我们对于阻尼边界条件的外问题 u + 舻礼( k = o 执r 3 西， h ( z ) 一e 伯。“+ 妒( $ ) ， 豢+ i 她；o ，d n 拟 丽十2 “= u 讲。d “ 概r 群砘珏。) = oh 一拼 寻求用单层位势表示的魑 ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 国 钍2 厶哟) 垂( 删冲o ) ， 鬈兄“r ， ( 3 1 1 ) 因此我们餐到上式簧是阻尼边界条传的外阕题的解，密度妒褥要满慰下露的边界 积分方程 妒一妒一 a s 妒= 一2 ， ( 3 1 2 ) 其中，s ：a r ) 一e ( r ) 表示如下定义的积分算子 ( 幽黼一2 z 雩等始础珐。g r ， 强1 3 ) ( s 妒) ( 。) ：= 2 厶垂( ，掣) | p ( 可) d s ( 掣) ， z r ， ( 3 1 4 ) 下嚣证秘释闯题的缀尼逮赛条俘豹解是存在壤一豹。因为，s 都是綮箅子，阂而 我们通过紧算子的第二类积分方程的m 鹤z 理论1 6 l 建立解的存在唯一性。假定妒是 上麓戆透赛积分方耩懿齐次形式戆瓣鑫兔褒玖，社蔓， 黠= 扣一扣o ， 彘= 渺+ 扣丽。互矗妒十互妒， 联以 抛 蕊两2 妒 叉瓣免餐鬃女2 不是受l 婚b 脚舞子在执上熬特摄蓬，鬟强在口一童毽为零，掰戳 蕊两2 u i 第1 5 页洪3 5 页 第三章利用单层位势求解远场模式 所以 = 0 因而由r i e s z 理论，非齐次形式的方程存在唯一解 3 3 参数化 接下来我们对上面所给方程进行参数化，并利用s 打西n 方法求解( 二维情 形) 。 假定边界曲线a d 是解析的且以2 7 r 为周期有如下的参数形式表示 z 0 ) = ( z 1 0 ) ，z 2 q ) ) ， 0s t 2 丌， ( 3 1 5 ) t 沿逆时针方向，且有陋i ( t ) 】2 + z ：( t ) 】2 o ，对所有的o t 2 7 r 我们可以把( 3 1 2 ) 化为如下的参数形式 妒0 ) 一 l 0 ，r ) + i a f ( ，丁) ) 妒( 下) d r = 一2 9 0 ) ， o t 2 7 r ， ( 3 1 6 ) 其中妒( t ) ：= 妒( z ( t ) ) ，9 ( t ) = ， ( t ) ) ，其核为 o ，r ) = 萼 z ：o ) 【。) 一z 。( r ) 】一。：( 。【。，( t ) 一z ，( r ) 】) ：! ! i ：；5 i ；业一p ，r ) ， m ( t ，r ) = ；硝1 ( h ( ，r ) ) m ( r ) 】2 + 【z ：( r ) 】2 ) 1 2 ， 对r 其中 叩，扣锱麟瓣， 由于核l 和m 在t = t 处具有对数奇性【l 】i 我们把核作如下处理 l ( ) 呐( ) l n ( 4 s i n 2 字) 地( m 啡，r ) = 雠，r ) l n ( 4 s i n 2 字) + 坞( ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) l - ( ，r ) = ； 。：( t ) 陋( ) 一z - ( r ) 】一。i ( ) f z 。( t ) 一$ z ( r ) 】) ：! ! ；! 善；产盯。，r ) 姚r ) = l ( ) 山( 删n ( 4 s i n 2 字) ， m - ( t ，r ) = 一去j 0 ( h ( t ，r ) ) p i ( r ) 】2 + i z ；( r ) 】2 ) 1 2 ， m 2 ( ) = m ( 扣) 一尬( 俐n ( 4s i n 2 字) ， 可以证明己1 ，l 2 ，尬， 如都是解析的并且，我们还可以得到 她r 卜去毪器群， 第1 6 页共3 5 页 第三章利用单层位势求解远场模式 l l ( 丁，t ) = o ， 归 ；一等一去m ( 等m 俐2 仆删2 ) ) 沁拊) 】2 仆2 ) 1 2 ， 因此，我们只需要求解具有如下形式的积分方程 妒( ) 一k 0 ，r ) 妒( r ) d r = 9 0 ) ， o t 2 7 r ，( 3 1 9 ) 其中核可以写成以下形式 ( t ，f ) ：1 ( t ，r ) l nf 4 s i n 2 三) + 鲍( t ，r ) ，( 3 2 0 ) k 1 ，j 已以及右端项9 都是解析的 3 4 s 打6 m 方法 对于第二类积分方程的数值解法，大体上有三种基本的方法，9 s 打溉方 法，配置法和g n 2 e r 礼方法 1 9 】尉于一维积分方程来说，s 打讥方法计算量 最小，因而比其他方法更实用对这三种方法来说，我们都需要求解一有限线 性系统在s 打f ；m 方法中，要求每一个矩阵元素的值只需要求一次核函数的 值，而在配置法和g n f e r k 伽方法中，矩阵元素是一重或二重积分，需要数值求积而 且，s t r 撕方法一般比较稳定，而配置法和g n f e r i 礼方法对基的选取要求较高因 而9 5 打拥方法被认为是最有效的求解第二类积分方程的方法 对于上面的式子，我们选取等距节点如= 力n ，j = o ，2 n 一1 对有对数奇性 的项采用积分公式 卜( a 咖2 字) m 渺a 篆椭仲a 。继。丌，( 3 z ，) 其中权值为 砖( t ) = 一等击c o s m ( h t ) 一磊c ( t 吨) ，女= o i 一，2 礼- 1 1 对光滑项采用梯形公式 zm 2 ：篆巾“ o 重建数瓣区 域，这无疑对声波反散射的实际应用有很重要的意义，利用远场模式的不完全数 攒重建散射区域称为声波反散射