（计算数学专业论文）小波变换在广义函数框架下的理论及在期权定价模型中的应用.pdf

2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 摘要 本文主要建立了广义函数框架下的小波变换及其性质，并研究了 双正交小波插值法在非线性偏微分方程中的应用，以及双正交小波插值 算法在算术平均亚式期权定价模型和美式看跌期权定价模型中的应用 本文共分五章第一章介绍了小波分析的历史和目前进展以及应 用领域的概况，并叙述了作者在读硕期间的研究工作；第二章简要地介 绍了研究工作中要用到的基本知识；第三章在l 。空间小波理论的基础 上建立了广义函数框架下的小波变换及其性质；第四章在紧支集双正交 小波插值算法的基础上，讨论了该算法在非线性偏微分方程中的应用， 并给出了算例以及和差分方法的比较；第五章提出了双正交小波插值算 法在算术平均亚式期权定价模型和美式看跌期权定价模型中的应用，给 出了算例，得到了在实际操作中有用的结果 关键词连续小波，紧支集，双正交小波，小波变换，广义函 数，基本空间，对偶空间，h e r m i t e 配对，非线性偏微分方程，插 值法，期权定价模型 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 i i a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d yw a v e l e tt r a n s f o r m su n d e rt h ef r a m e w o r ko f d i s t r i b u t i o n a n dt h en u m e r i c a ls o l u t i o no fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，t h e na p p l yt h e w a v e l e tm e t h o dt oo p t i o np r i c em o d e l t h et h e s i sc o n t a i n sf i v ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 w ei n t r o d u c et h eh i s t o r yo f w a v e l e ta n a l y s i s ，i t sc u r r e n td e v e l o p m e n t sa n da p p l i c a t i o nf i e l ds i t u a t i o n t h er e - s e a r c hw o r k so ft h ea u t h o ri nt h eg r a d u a t ep e r i o da r es i m p l yd e s c r i b e d i nc h a p t e r 2 ，w es i m p l yi n t r o d u c es o m eb a s i ck n o w l e d g ew h i c ha l en e e d e di nt h er e s e a r c hw o r k i nc h a p t e r3 w ed i s c u s sw a v e l e tt r a n s f o r m su n d e rt h ef r a m e w o r ko f d i s t r i b u t i o na n d g i v es o m ec o n c l u t i o n so fw a v e l e tt r a n s f o r m si n s p a c e i nc h a p t e r4 w ef i r s t l y d i s c u s sa p p l i c a t i o n so fw a v e l e ti np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h e nw ea p p l ya i n t e r p o l a t i o nm e t h o db ym e a n 8o fb i o r t h o g o n a l i t yw i t hc o m p a c ts u p p o r t f i n a l l y w eg i v eac o m p u t i n ge x a m p l eo nn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n i nc h a p t e r 5 ，w ea p p l yt h ew 召v e l e tm e t h o dt ot h eo p t i o np r i c em o d e l ，t h e ng a i na ne f f e c t i v e r e s u l t s k e yw o r d s ：c o n t i n u o u sw a v e l e t ，c o m p a c ts u p p o r t ，b i o r t h o g o n a lw a v e l e t ， w a v e l e tt r a n s f o r m s ，d i s t r i b u t i o n ，f u n d a m e n t a ls p a c e ，d u a ls p a c e ，h e r m i t e sp a i r - i n g ，n o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，i n t e r p o l a t i o nm e t h o d ，o p t i o np r i c e m o d e l 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究 工作除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已发表或撰写过的研究成果参与同一工作的其他同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示了谢意 签名；妓托日期：渺7 6 r 3 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定， 即。学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和 借阅，学校可以公布论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：粳艳 导师签名：崞荔噬日期：工矿夕莎，矿 i 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 第一章前言 小波分析是近年来国际上受到广泛关注的研究领域，特别是在信号分析方面 是继f o u r i e r 分析之后的一个突破性进展 所谓小波分析，从数学的角度来看，它属于调和分析范畴；从工程角度来看， 小波分析是一种信号与信息处理的工具，是继f o u r i e r 分析之后的一个有效的时 频分析方法小波变换作为一种新的多分辨分析方法，可同时进行时域和频域分 析，具有时域局部化和多分辨特性，因此特别适合于处理非平稳信号 与f o u r i e r 分析类似，小波分析中包含了连续小波变换，小波级数和离散小波 变换与f o u r i e r 变换相比。小波分析是一个时间和频率的局部变换，因而能有效 地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能可以对信号进行多尺度细化分 析( m u l t i s c a l ea n a l y 幽) ，解决了f o u r i e r 变换不能解决的一些困难问题两者区别 在于tf o u r i e r 分析只是考虑时域和频域之间的一对一映射，它以单变量( 时间或 频域) 的函数表示信号；小渡分析则利用联合时间一尺度函数分析非平稳信号， 从根本上克服了f o u r i e r 分析只能以个单变量描述信号和只能提供信号在整个时 间域上的频率，不能提供信号在某个时间段上的频率信息的缺陷小波分析以不 同的尺度( 或分辨率) 来观察信号。信号分析的这种多尺度( 或多分辨率) 的观点 是小波分析的基本观点 小波的起源可追溯到2 0 世纪七十年代初，a c a l d e r o n 表示定理的发现， h a r d y 空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准 备，j o s t r o m b e r g 还构造了非常类似于现在的小波基小波变换的概念是由法 国从事地质信号处理的工程师j m o r l e t 在8 0 年代初首先提出的，并通过物理的 直观和信号处理的实际需要经验地建立了反演公式但小波的形成与发展还是8 0 年代中期才开始的1 9 8 6 年著名数学家y m e y e r 构造出一个真正的小波基，并 与s m a l l a t 合作提出了小波分析的重要基础多尺度分析，给出了构造小波 的方法，小波分析才开始蓬勃发展起来 1 9 9 4 年，d a u b e c h i e s ，i 嘲和s w e l d e n s ，w i 嘲，i 籍】【弘】提出了一种称为”提升格 式”的新的小波构造方法，用来构造第二代小渡，这是有别于以前第一代小波的 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 2 构造方法第一代小波是由小波母函数经过伸缩和平移得到，这类小波的构造依 赖于f o u r i e r 变换，在f o u r i e r 变换不适应的地方，会受到很大的限制而第二代 小波借助”提升格式”，不依赖于f o u r i e r 变换，完全在时域进行，拓宽了小波的 适用面，适用于区间面和非规则采样等，还可以提高快速小波变换的计算速度 目前，由于”提升格式”的优越性质，使得人们对整数到整数的小波分解与重构 的研究产生了浓厚的兴趣，因为这项研究不仅对实现通信中的图像无损压缩有很 高的应用价值，也会对数学领域的数值计算减少误差提供有力帮助 在小波理论发展的同时，小波应用的研究工作也在不断地开展，主要集中在以 下几个方面；( 1 ) 小渡在数学方面的应用，如求偏微分方程、积分方程，函数逼近， 分形、混沌问题，概率小波，非线性分析等等1 9 9 8 年，a m e o d o 和g r a s s e a u 把小 波理论用于混沌动力学及分形理论以研究流及分形生成现象；1 9 9 0 年，s e y n d n 和c o i f m a n 把小波分析用于算子理论；1 9 9 1 年，j a t f a r d 与l a u r e n e o t 把小波变 换用于偏微分方程的数值解 ( 2 ) 小波在信号处理中的应用，包括信号检测、目 标识别以及去噪等，比如语音信号，雷达信号，医学信号( 见【l 】) 、天文信号地 震信号机械信号，机械故障信号等等( 3 ) 小波在图像处理中的应用，其中包括 图像数据压缩、去噪，数字水印，指纹鉴别，模式识别等( 4 ) 小波在通信中的应 用，如在c d m a 、自适应均衡、扩频通信和分形调制等方面的应用( 5 ) 小波在 经济中的应用，如在经济数据分析，经济预测，股票研究等 通过前面对小波分析的历史和目前进展以及应用领域情况的回顾，可以看出。 小波分析从一开始发展就与很多学科的实际应用紧密联系在一起，小波理论的发 展一直是伴随着实际应用因此在对小波理论研究的同时，关注它在实际应用的 研究是非常有必要的下面是本人在读硕期间所做的一些研究工作，建立了广义 函数框架下的小波变换及其性质，并研究了双正交小波插值法在求具有奇点的非 线性偏微分方程数值解中的应用，以及双正交小波插值算法在算术平均亚式期权 定价模型和美式看跌期权定价模型中的应用 ( 1 ) 广义函数框架下的小波变换及其性质 到目前为止，小波变换的适用范围是驴( 舻) ( 以下都以一维情况为例) 一个 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 3 函数f c t ) 属于工2 ( r ) ，即当t 一( 3 0 时，f ( t ) 要以一定的速度衰减到零而在实 际问题中，常常很难判别一个信号在无穷远处的情况，有时甚至连l i mf ( t ) = 0 的条件也难以满足，如实际问题中十分常见的可用来逼近连续函数的多项式函数 r ( ) ，l i r ar ( ) = o 。这就使小波变换无法进行，因此很有必要把小波变换的适 用范围加以扩大，使不属于p ( 硒空间的信号也能使用小波变换这一信号处理的 有力工具因此第三章中建立了广义函数框架下的小波变换及其性质 ( 2 ) 再讨论小波在非线性偏微分方程中的应用 小波变换正成为数值求解偏微分方程的有力工具目前，求解偏微分方程的 小波方法大致分为两种类型t 小波一伽辽金法和小波配置法采用的小波主要 是正交小波但是由于正交小波构造困难，使用上受到较大的限制，而双正交小 波具有较大的灵活性。可以根据问题的特性有针对地构造相适宜的双正交小波 因此在第四章中采用具有紧支集的双正交小波插值方法求具有奇点的非线性偏微 分方程的数值解，得到更精确的解，并且稳定性很好 ( 3 ) 双正交小波插值算法在算术平均亚式期权定价模型和美式看跌期权定价 模型中的应用 亚式期权是当今世界金融市场交易的主要金融产品之一，广泛应用于国际贸 易部门在金融市场中采用算术亚式期权比几何平均亚式期权更普遍但是算术 平均亚式期权定价模型的解没有解析表达式，目前常用的二叉树方法，计算量和 存储量都很大对于欧式期权可以直接代入定价公式为其定价，美式看涨期权也 只有到期执行才划算，所以它相当于欧式看涨期权，可以直接代入定价公式美 式看跌期权却可以提前执行，因此不可能直接使用定价公式，只能用数值解法来 为其定价由于已知条件为到期时刻的期权价格，现在要求初始条件的定价，它 是个反问题。为了求解反问题，要提高正问题的计算速度和求解的精度因此在 第五章中将双正交小波插值算法应用于算术平均亚式期权定价模型和美式看跌期 权定价模型中，并得到一些在期权交易的实际操作中有用的结果 通过以上研究工作，使作者对小波理论及其应用有了更深的认识，受水平的 限制，其中不足之处将作为日后进一步的工作 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 4 第二章基础知识 2 1 小波中常用的一些数学记号 在这里我们首先简要地介绍一些有关的数学记号及f o u r i e r 分析中的基本概 念和一些定理( 见【1 1 0 ) 兄表示实数全体，即r = ( 一c o ，+ ) z 表示整数全体，即z = o ，- 4 - 1 ，4 - 2 ，士3 ， z 牛表示正整数 ： 刮 幻z 1 oi 歹 l 2 表示r 上平方可积函数空间 p 表示r 上p 次方可积函数空间 g 陋，6 】表示陋，6 1 上连续函数全体组成的线性空间 t 2 ( z ) 表示平方可和序列的向量空间，产( z ) = q b z ：iq1 2 c 1 0 ，使得任意的有： c 1 ( iq 1 2 ) 墨oe 勺怕c 2 ( j 吩1 2 ) ；，( 2 1 1 ) ，l 在b a n a c h 空间中，可以证明无条件基与r i e s z 基是等价的 3 框架 定y 2 1h f l b e r t 空间h 中的函数族 叻) 强z 称为个框架，如果存在a 0 ，b 0 和一个m = 【q j 阶的多项式m ，使得v t r ，有 i i ( t ) 一p v i s k i t u i - ,( 2 1 4 ) 则称函数y ( t ) 在t ，点处具有l i p s c h i t z 指数( q o ) 如果对于所有的u 【口，6 】，式 ( 2 1 4 ) 都成立，其中与u 无关，则f ( t ) 在区间陋，6 】上具有一致的l i p s c h i t z 指 数a ，并称f ( x ) 具有l i p s c h i t z 正则性，其正则性阶致定义为口的上确界 若f ( t ) 在u 处的l i p s c h i t z 指数为0 ，则表示函数在该点有界但不连续；若在 u 点处的l i p s c h i t z 指数。小于1 ，则i ( t ) 在该点处连续却不可微n 刻画了函数 的奇性状态 定义2 2 设，( u ) 为函数，( ) 的f o u r i e r 变换，若其满足 e + c o i ，( ) i ( 1 + i f i ) 。 + ， ( 2 1 5 ) ，- c o 则称函数i ( t ) 有界且在( 一o 。，+ o 。) 上具有一致的l i p s c h i t z 指数口这时q 刻画 了i ( t ) 的整体正则性的强弱 6 消失矩 对于函数妒( t ) l 2 ，如果它满足 ，+ f妒( ) 出= o ，r = 0 ，1 ，2 m 一1 ( 2 1 6 ) j 一 则称妒( t ) 具有m 阶消失矩 7 紧支性 若函数妒( t ) 在区间【口，6 】外恒为0 ，则称该函数在这个区间上紧支，称扛，6 】为 i p 的支集，记为s u p p 妒= ti _ p ( t ) o ) 8 对称性 设妒( t ) l 2 ，若妒0 + ) = 妒( 口一t ) ，称妒( t ) 具有对称性若妒( o + t ) = 一妒( n t ) 称i p ( ) 具有反对称性 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 7 9 卷积 若已知函数 ( t ) ，i s ( t ) ，则积分 ，+ g ( z ) = ，1 ( t ) ，2 0 一t ) d t ，( 2 1 7 ) j 一 称为函数，1 ( t ) 与，2 ( ) 的卷积，记为 ( t ) i s ( t ) 2 2 小波基本理论 2 2 1 连续小波 1 - 8 定义2 3 设妒( t ) l 2 ，且满足条件 白= e 铧山 1 ，b o 0 ，记 略。女( ) = 罐妒( 晶一k b o ) ，j ，k z ，则称 ( ) m 。z 为离散小波 又设f ( t ) p ，则，( ) 关于小波函数妒的离散小波变换为。 ，知e 雕砌驰，( z z 2 a ) 记为( - ，) 瓴七) 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 9 f ( t ) 关于离散小波变换的反演公式( 重构公式或小波逆变换) 为 ，( t ) = 勺，t 奶k ( t ) ( 2 22 2 ) j , k g 特别地，当 奶，( t ) ) 楗z 能构成三2 的一组标准正交基，即妒( ) 为正交小波母函 数时，勺 = 2 2 3 二迸小波 定义2 7 若一个连续小波妒却( t ) 仅对参数a 离散化，b 不作离散处理得到 的一族函数 奶，6 ( t ) ) 强z , b e ：r 称为半离散小波 定义2 8 设函数妒( ) 口，如果妒( ) 满足稳定性条件； 0 a s i 识2 一u ) 1 2 b o o ，u r ， ( 2 2 3 1 ) k e g 则称妒( t ) 是一个二进小波 又设f ( t ) l 2 ，则f ( t ) 关于小波函数妒的二进小波变换， 4 0 0 = ，2 ，0 ) 巧【旁o 一6 ) 】出， j 一 记为( w p f ) ( 2 - j ，6 ) f ( t ) 关于小波函数妒的二进小波变换还可以用卷积来表示 ( w p f ) ( 2 - j ，6 ) = = 2 j 2 ( ， 币( 一) ) ( 6 ) 这里用”表示变量 ，( t ) 关于二进小波变换的反演公式( 重构公式或小波逆变换) 为。 ，o ) = 2 w t i ( 2 一j ，6 ) 1 ；f ，( 2 ，o 一砷) ) d 6 ( 2 2 3 4 ) j z 。一 其中，妒( ) 是西+ ) 的f h 】r j e r 逆变换，乒( u ) = l 十( 2 竺- l k 。) 1 2 定理2 3 二进小波必是允许小波，即若妒为二进小波，则它满足 肌狄c 螋d w ；c 嗡竽d w 鲫n 。(2。脚3wj ) j 一 一 伽 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 0 的允许小波特别地，当a = b 时，o = j = 出笋如= 2 a n 2 二进小波变换是一种半离散的小波变换，具有连续小波变换的平移不变性 因而在信号奇异性检测、图像多尺度边缘提取及信号去噪中具有重要的应用 2 2 4 多分辨分析 多分辨分析( m u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i s ，m r a ) 是s m a l l a t 在1 9 8 8 年提出的 定义2 9 嘲令 k ) j z 为l 2 中的一个函数子空间序列，若下列条件成立； 单调性：c 巧一1 c 巧c 巧+ l ，忍 逼近性；1 可= l 2 ，nv j = o ，这里用元表示集合x 的闭包； 伸缩性：，( ) v o 营，( ) k ，坳忍 平移不变形性t ，( ) 兮，( 一t ) ，v k z ； 基的存在性，存在妒( f ) v o ，使得 毋( 一 ) 女e z 是k 的r i e s z 基 则称 k j z 和妒为驴的一个多分辨分析称为一个尺度函数上述定义中若 咖( 一k ) h z 是的标准正交基，则称 k ) 难z 和妒为酽的一个正交多分辨分 析 由多分辨分析的定义知， v a j 钮不是空间工2 的正交分解，所以函数系 奶，i ( ) ) ，k e z 不能构成空间的一组标准正交基现在考虑巧在v j + l 中的正交 补空间- 巧，即l 巧上巧，且k + l = 嵋o 显然，对任意的互j 7 z ，j ，子空 间巧与巧，是相互正交的 ， 因 = 一o 一= 一t 0 一z 0 一， = 0 o o w m 一。0 一。0 礼 ( 2 2 4 1 ) 根据多分辨分析的单调性和逼近性，令m 一+ o o ，一一o o 即得 4 - o o 驴= 0 彤， ( 2 242 ) j = 一 这样就实现了对护的正交分解，职称为小波空间 定理2 4 巧 j z ，妒( t ) 是一个正交多分辨分析，毋( t ) = p 如( 2 t 一 ) 是双 尺度方程，记瓠= ( - 1 ) 嚯l 小则妒( t ) = 讥妒( 2 t 一七) 是一个正交小波母函数。 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 1 且它的平移系构成w j 的标准正交基其中i 是在m 中的正交补这里- 1 一 是n 一 的复共轭 尺度函数与正交小波母函数的区别在于，尺度函数o ) 可以把舻分解为一 列子空间 巧b e z ，k = 稠石；了i 乏，正交小波母函数妒( t ) 则将铲分解为一 列相互交的子空间 ) j e z ，= 面石再万i 网从而 奶 ) 批。z 构成l 2 的 一组标准正交基 2 2 5 双正交小波 定义2 1 0 设 v j b 口和0 ( t ) 巧b e z 和西o ) 为二2 的两个多分辨分析，如 果下述条件成立； 妒( t ) 和西( 满足如下正交性条件； = 如， ，k z ， 这时称妒( t ) 和庐( t ) 为对偶尺度函数 令w ；是k 在巧+ ，中的补空间，吃是谚在吃+ - 中的补空间，使得 k + - = k 阜w ；，仍+ ，= 巧阜吃 其中，丰为直和运算 如果存在l 2 中的函数妒( ) 、币( ) 满足： = 而，l 以，。，协，k ，l ，m z = 0 ，w ，七，m 互 = 0 ，女，仇五 且 屯i ( ) ) k e z 是嵋的一组标准正交基， 谚，( t ) h 。z 是吃的组标准正交 基，从而 如，( t ) ) j 。 e z 和 妨，i ( t ) ，j ，i e z 都构成l 2 的r i t z 基则称 巧 强z ，毋( ) 或者 吃b 。2 ，虱t ) 是驴的一个双正交多分辨分析称妒( t ) ，西( t ) 为对偶双正交小 波且有 l 2 = ；w 二l 罩孚肌罩羊= i 机1 阜吼士吼阜哦丰 特别地，对于l 2 中的任意子空间v k ，有 ，k = ，k l 丰w 7 0 1 = 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文1 2 = 阜阜阜矾f 一2 卓w k 一1 ( 2 2 5 1 ) 定义2 1 1 设妒西l 2 ，奶，( = 2 妒( 霉一女) ，也，k ( z ) = 2 l 妒( 2 j x 一七) ， 丘k z ，如果 如，女 j 女z 和 西， j 舰z 均构成l 2 的p d e s z 基，且 = 毛，l 最，。，j ，七，c ，m 互( 2 2 5 2 ) 则称妒是个双正交小波函数，每为妒的对偶小波， 奶 ) j ，z 和 西，k j ，e 2 为 双正交的对偶小波基 由 咖，k j ，t z 和 奶 j ，k 6 z 的双正交性可以得到f ( t ) l 2 关于双正交小波 的反演公式t ，( t ) = 羁，t ( t ) = 如t ( ) ( 2 2 5 3 ) 工k e z z 双正交小波函数妒，当其对偶小波与其自身相同时，成为正交小波函数 2 3 小波函数的一些性质 1 正则性 由2 1 节正则性的定义可以看出，小波函数的正则性表现为它的可微性或光 滑性 2 消失矩 一般来讲，如果一个小波具有消失矩性质，其消失矩为m ，则它对应的滤波 器长度不能少于2 m d a u b e c h i e s 小波基，双正交基系列等都有较高的消失矩 d b n 小波的消失矩为n ，b i o r n r n d 小波的消失矩为n r - 1 在信号检测的应用中，为了能够有效地检测奇异点，小波基的消失矩必须具 有足够的阶数，它与l i p s c h i t z 指数密切相关然而，突变的信号的l i p s c h i t z 指 数一般在( 0 ，1 ) 内，因此为了分析突变信号，消失矩的阶数也不能太高，过高的阶 数将使分析结果模糊而从数值计算的角度来看，消失矩的作用体现在压缩矩阵 上，阶数高的消失矩可以使矩阵变得更加稀疏，减少计算量 3 紧支性 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 3 具有紧支集的小波称为紧支撑小波，简称紧支小波紧支撑是小波的重要性 质支集越小的小波，局部化能力就越强紧支小波不需作人为截断，计算精度 高 在信号的突变检测中，紧支小波基是首要选择就紧支性来讲，支撑区间的 长度越小，越有利于确定信号的突变点，不过同时也失去了好的正则性 不存在时域和频域同时紧支的小波基，一般更希望时域有紧支性，因此我们 通常所指的紧支性为时域紧支性 d b n 小波函数支集长度为2 n - i b i o r n r n d 小波函数的支集长度为2 n r - i ，其 对偶小波函数的支集长度为2 n d + 1 4 对称性 对称或反对称的尺度函数和小波函数是非常有用的。可以构造紧支的小波基， 使其具有线性相位，这在图像处理中是非常重要的 但是，d a u b e c h i e s 已证明，除h a a r 小波基外，不存在对称的紧支正交小波 基所以，人们为了得到对称的小波基，就要放弃小波基的一些其它特性，或在保 持小波基的紧支性正交性时就只能得到近似对称性 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 4 第三章广义函数框架下的小波变换 及其性质 3 1 引言 到目前为止，小波变换的适用范围是l 2 ( 尼) ( 以下都以一维情况为例) 一个 函数f ( t ) 属于驴，即当t o o 时，f c t ) 要以一定的速度衰减到零而在实际 问题中，常常很难判别一个信号在无穷远处的情况，有时甚至连h mf ( t ) = 0 的条件也难以满足，如实际问题中十分常见的可用来逼近连续函数的多项式函数 r ( t ) ，且mr ( ) = o c * 这就使小波变换无法进行，因此很有必要把小波变换的 适用范围加以扩大，使不属于驴空间的信号也能使用小波变换这一信号处理的 有力工具为此，我们在广义函数框架下建立小波变换，并给出相应的性质，把小 波变换推广到广义函数空间中，使小波变换在实际应用中的范围得以扩大，如检 测持续时间很短，频率很高的脉冲信号的发生时刻( 例如狄拉克( d i r a e ) 函数) 设妒( ) l 2 是一个小波母函数，则通过妒的”伸缩”和”平移”，可以生成 驴中的小波族饥6 ( t ) 2 南妒( 譬) ，其中n ，b r ，n 0 设，g l 2 ，则在 l 2 空间中，小波变换、小波变换的反演公式p a r s e v a l 等式都以内积的形式表示 如下t f + o o ( - ，) ( 口，6 ) = = ，o ) 硒i ( t ) 出( 3 1 1 ) j - - 0 0 ，+ r + o o1 m ) = 筇1 = 布1 ( ，) ( 如6 ) 面( t ) 砉砌 = c 0 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 为了把小波变换的应用范围扩大，现设，是某一类广义函数，妒在对应的基 本空间中构造，把 作为广义函数的小波变换，如果能够作这样的小波 变换，并能证明小波变换的反演公式，p a r s e v a l 等式与胪空间的小波变换的反演 公式、p a r s e v a l 等式有类似的形式，那么就能将驴空间的小波变换推广到一类 广义函数空间的小波变换，扩大了应用范围 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 5 3 2 广义函数框架下的小波变换 引理3 1 设6 为广义函数空间中的狄拉克( d h - a c ) 函数，妒c a ，6 】，并形式 地记 f ( = 表示c 【a ，b 】中的一个线性泛函，则有 f ( 1 p ) = = 6 0 ) 妒( 。) d ( 3 2 1 ) 证明，h m 札( 1 0 i ，i q ) ，并引入如下的脉冲函数列： 甄= 0 曼乏警，或； 。b c s 。卫， i，口写 警，或g o 利用积分中值定理，则有 j ( 6 以( z ) 妒( z ) 如= 元1 ， 一h i ，2 2 妒( z ) 如= 妒( f ) ( 3 2 3 ) 这里6 ( ，) 当 一0 时，p ( ) 一l p ( o ) ，于是对任意给定的妒c a ，叫， 溉上矗( 霉) p ( 。( o ) = ，( ( 3 2 4 ) 这样，6 函数可以看成是由矗( z ) 当h 一0 时，按下述意义的极限( 注意：不是经 典意义下的极限) ，对于任何给定的连续函数妒，有 牌 = 即有； f ( 妒) = = 6 ( z ) 妒( z ) 如 j 4 作为如( z ) 的极限，我们就可以想象6 ( z ) 是在z 0 时值为c o 的一个”函 数”，且在r 上积分值为1 ( 注意：这只是一种想象，不能作为6 ( z ) 的严格数学定 义9 如果小波函数妒是具有6 ( z ) 的这种性质的函数，特别地对于正则的广义函 数 就有积分形式，对非正则的广义函数 就是h e r m i t e 配 对，因此小波变换的推广成为可能这样的推广可以将小波变换的应用范围推广 到怎样的空间呢? 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 6 考虑三个常用的基本空间口s 、其对偶空间分别记为， 由于这三个基本空间有如下的嵌入关系t 口一5 一，故广义函数是一类范 围极广的广义函数，特别它包含了局部可积函数l kcd ，而实际问题中遇到的 函数一般都能满足局部可积的条件 现设，为了使配对 有意义。应有妒( t ) c 铲，若在皤。上 构造满足允许性条件的小波母函数妒( ) ，那么可以定义广义函数的小波变换 ( w o f ) ( a ，6 ) = ，且c 矿上的小波母函数在局部性和光滑性两个方面都十 分理想但根据f o u r i e r 变换的性质可知道c 矿中的函数f o u r i e r 变换后不再属于 c f ，而f o u r i e r 变换是第一代小波变换的基础，因此在驴( 劭空间中的小波变换 的一些性质在中不再成立，所以尽管可以定义空间中的广义小波，但在实 际应用中受到较多限制 缩小一些范围考虑空间s 和它的对偶空间，f o u r i e r 变换不仅是s s 的 同构，一的同构，而且口中的f o u r i e r 变换的性质在这里都能成立 3 3 空间上的小波变换理论 定义3 1 设妒( t ) s ，且满足虑垮学如 o o ，对于，( 似n ，6 ) = 称为，关于妒( ) 的广义连续小波变换其中以，b ( t ) 2 南妒( 譬) b r ，a 0 由于妒( ) 是速降函数，当t o o 时，妒( t ) 能以比t 的任意次负幂t 一更快 的速度趋于0 ，且又是任意次可导，故小波母函数妒( ) 的局部性和光滑性极佳而 空间不仅包含了驴空间p 1 ) ，还包含了缓增连续函数q 因此，对于那些在 t o 。时不趋于0 的函数，( t ) ，只要当t 0 0 时，其增长速度不超过多项式的增 长速度，对f ( t ) 仍能作小波变换这样的函数在实际问题中是十分常见的，所以 空间中的广义函数的小波变换是很有实际意义的 把小波变换从l 2 ( r ) 空间推广到空间上，一个很重要的问题是在空间 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文1 7 上的小波变换的反演公式是否能保留l 2 空间上的形式 定理3 1 ( f u b i n i 定理) 设厶如( 厶i f ( x ，y ) j d y ) 0 0 ，那么 厶胞，) d z d y = 上出zf ( x , y ) 匆= z 咖上胞眦，( 3 s 1 ) 也即积分的次序可交换 定理3 2 设f ，g s ，( w ；，) ( 口，6 ) ，( ”名g ) ( n ，6 ) 分别是f g 在中 的连续小波变换，则有下列小波变换的p a r s e v a l 等式和反演公式。 = c 0 ( 3 3 2 ) f = 1 ( 3 3 3 ) 这里q = j ：卑芈幽 o o ，小波母函数妒( t ) s 证明。 ( ，) ( 峨6 ) = = 掣 ( 肌9 ) ( q 6 ) = 喾 = 警上撕“丽蕊 = 厶( 似n ，6 ) 而万( 咖) 刍d 锄 = 厶而1 上翮删) 如高1 d a d b = 雨1 = 去 = 磊1 ( 积分次序的交换是根据f u b i n i 定理) = 去 = 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文一 1 8 这就证明了空间中小波变换的p a r s e v a l 等式成立 令9 ( t ) = 南e = 喾庄s ，代入上式并令n o + ，即得反演公式t ，= c ：1 在广义函数的框架下的连续小波变换在实际应用中与铲中的连续小波变换 有类似的形式。并且有类似的性质，而且5 空间中的小波母函数有很好的局部性 和光滑性，中的连续小波变换在局部性方面有十分理想的效果特别对于多项 式函数可以作小波变换，具有十分广泛的应用 再讨论有关离散性的问题 先考虑对于伸缩参数a 的= 进离散问题；口= 2 - j ，j z 定义3 2f ，妒s ，( w d ) ( 2 - j ，= 称，的广义 二进小波变换 与l 2 中的= 进小波变换一样，对于中的二进小波变换，只要妒( f ) 满足稳 定性条件，即存在常数a 、b ，使得0 a ef f ( 2 一j w ) 1 2 墨b o o 几乎处处 j e z 成立，就有稳定的反演公式t ，o ) = ( 3 3 4 ) j z 这里矿( t ) 仍为1 ；f i ( t ) 的= 进对偶小波，即当且仅当下述等式满足 + o o 一 氟2 一t d ) 妒( 2 一曲= 1 几乎处处成立 ( 3 3 5 ) j = - c o 当然矿( t ) s 由于f ，妒5 ，故广义函数的卷积公式成立。 ( f + 妒) ( z ) = ( 两( z ) ： 所以广义二进小波变换仍可以写成卷积形式。 ( 3 3 6 ) ( 3 3 7 ) c w 十) ( 2 - j ，6 ) = = 2 c ( f + 孑( ) ) ( )( 3 3 8 ) 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 9 其中1 】f ( t ) 是妒( t ) 的反射 由这个卷积表达式和广义函数的卷积性质，可以用类似于铲中的证明，来证 明上述广义二进小波变换的反演公式成立 对于两个参数d ，b 全离散的小波，。( t ) = 2 9 妒( 2 ”t 一，1 ) ，m ，t l z ，若