（计算数学专业论文）插值算子的加权lp收敛速度和平均误差.pdf

插值算子的加权厶收敛速度和平均误差 摘要 插值理论是一门既悠久又现代的数学理论，它丰富的理论和先进的方法为解决当今科 技镊域层出不穷的计算问题提供了卓有成效的工具，而且许多插值算子在收敛速度和平均误 差方面的性质是非常重要的。但至今这些性质有好多仍是未知的，因此需要进一步的研究 本文一方面确定了基于第一类c h e b y s h e v 多硬式零点的l a g r a n g e 捷值算子列、h e r m i t e - f e j e r 插值算子列和g f 如啪l d 插值算子列在w i e n e r 空间上平均误差的弱渐近阶；另一方面讨论 了g r f i a w a l d 插值算子在加权l 意义下收敛速度的精确阶根据内容我们将本文分成三掌 本文第一章为绪论 本文第= 章确定了基于第一类c h e b y s h e v 多项式零点的l a g r a n g e 插值算子列，h e r m l t e - f e j e r 插值算子列和g r 动a w a l d 插值算子列在w i e n e r 空问上平均误差的弱渐近阶通过我们 的结果可以知道，基于第一类c h e b y s h e v 多项式零点的l a g r a n g e 插值算子列，h e r m i t e - f e j e r 插值算子列和c n 沥w a i d 插值算子列在w h m e r 空问上的平均误差在某些情形下弱等价于相 应的最佳逼近多项式在w i e n e r 空同上的平均误差。并且作为形式简单且恢复函数为多硬式 的一种信息基算法，其在w i e n e r 空间上的平均误差弱等价于相应的以函数值计算为可允谗 信息算予的最小平均信息半径这就说明了在统计学意义下，插值多项式算子一方面是实现 最佳逼近多项式计算的理想算法。另方面是实现最优信息基算法的理想计算工具，且具有 性质优良的恢复函数 本文第三章给出了以第一类凸咖，拓y 多项式的零点为插值结点组的c m t n w a l d 插值多 项式在加权厶范敷下收敛速度的个估计，其在弱浙近阶的意义下是精确的 关键词c h e b y s h e v 多项式；l a g r a n g e 插值多项式；h e r n f i t e - f e j e r 插值多项式；g r 矗n w a l d 插值多项式；加权工，范数；w i e n e r 空问 t h e w e i g h t e dl p c o n v e r g e n c er a t ea n d t h ea v e r a g ee r r o ro ft h e i n t e r p o l a t i o no p e r a t o r a b s t r a c t i n t e r p o l a t i o nt h e o r yi sam a t h e m a t i c at h e o r y , o l db u tf a s h i o n a b l e i t sa b u n d a n tt h e o r i e sa n d a d v a n c e dm e t h o d sp r o v i d ep u w e r f e la n df r u i t f u lt o o l sf o rs o l v i n gc o m p u t ep r o b l e m si nt h ef i e l d s o f s c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , a n dt h ep r o p e r t yo f t h ec o n v e r g e n c er a t ea n dt h ea v e r a g ee r r o ro fi n t e r - p o l a t i o no p e r a t o r sa 糟v e r yi m p o r t a n t , b u tl o t so f t l 佬m 勰u n k n o w ny e t , s oi ti sn e c e s s a r yt os t u d y t h e mp r o f o u n d l y i nt h i sp a p e r ，o do l l ch a n d , w ee s t a b l i s ht h ew e a k l ya s y m p t o t i co r d e ro f t h el a - g r a n g ei n t e r p e l a t o r yo p e r a t o rs e q u e n c e , t h eh e r m i t e - f e j e ri n t e r p o l a t o r yo p e r n t _ o rs e q u e n c ea n dt h e g n 3 n w a l dj n k 【p o h t o l yo p e r a t o rs e q u e n c ew h i c ha r eb a s e do n 廿砖f i r s tc h e b y s h e vn o d e si nt h e w i e n e r s p a c e , o l l t h e o t h e r h a n d , w c d i s c u s s t h es h a r p o r d e r o f t h e g r f i n w a l d i n t e r p u l a t o r y o p e r a t o r u n d e rt h em 锄o f 工，a c c o r d i n gt ot h ec o n t e n t st h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e l 置 i nt h ef i r s tc h a p t e r , w eg i v et h ep r e f a c e kt h es e c o n dc h a p t e r , w ee s t a b l i s ht h ew e t l ya s y m p t o t i co r d e ro f t h el a g r a n g ei n t e r p o l a t o t y o p e r a t o rs e q u e n c e , 岫h e r m i t e - f e j e ri n t e r p u l a t o r yo p e r a t o rs e q u e n c ea n dt h eg n 3 n w a l di n t e r p o - l a t o r yo p e r a t o rs e q u e n c ew h i c h a r cb a s e do nt h ef i r s tc h e b y s h e vn o d e si nt h ew i e n e rs p a c e f r o m o u rr e s u l t sw ec a nk n o wt h a ts o m e w h e r et h ea v e r a g ee i t o ro f t h et h r e ei n t e r p o l a t i o no p e r a t o r si n t h ew i e n e r 即e 删w e a k a yt ot h ea v e r a g e 删o f t h e i rc o r r e s p o n d i n go p t i m a la p p r o x i m a t i o n p o l y n o m i a l i n t h e w i e n e r s p a c e , a n d a s a k i n d o f i n f o r m a t i o n - b a s e d o p e r a t i o n , t h e y h a v e s i m p l e f o r m a n dt h e i rr c c o v e rf u n c t i o n sa r ep o l y n o m i a l s , i nt h ew i e n e rs p a c e , t h e i ra v e r a g ee r r o re q u a lw e a k l y t ot h ec o r r e s p o n d i n gm i n i m a li n f o r m a t i o nr a d i u s 铀ep e r m i s s i b l ei n f o r m a t i o no p e r a t o r s c l a s s i sf u n c t i o nv a l u e s r h e r e f o l , w ek n o wt h a tu n d e rt h em 啪o f s t a t i s t i c s ，i n t e r p o l a t i o no p e r a t o r sa r c n o to n l yi d e a la l g o r i t h mf o rr e a l i z i n go p t i m a la p p r o x i m a t i o np o l y n o m i a l s c o m p u t a t i o n , b u ta l s o i d e a lc o m p u t a t i o nt o o lf o rr e a l i z i n go p t i m a li n f o r m a t i o n - b a s e do p e r a t i o n , a n dt h ep m p e r t yo f t h e i r i f c o v e rf u n c t i o n sa r cg o o d hm ct h i r dc h a p t e r , w co b t a i n e da ne s t i m a t i o nf o rt h ew e i g h t e d0 c o n v e r g e n c er a t eo ft h e g r f i n w a l di n t e r p u l a t o i yp o l y n o m i a l sb a s e do nt h ez e r o so f t h ef i r s tk i n do f c h e b y s h c vp u l y n o m i - a l s ，i ti ss h a r pu n d e rt h em e a no f w e a k l ya s y m p t o f i co r d e r k e yw o r d sc h e b y s h e vp o l y n o m i a l s ；l a g r a n g ei n t e r p o l a t o r yp o l y n o m i a l s ；h e r m i t e - f e j e r i n t e r p o l a t o r yp o l y n o m i a l s ；g r f i n w a l di n t e r p o l a t o r yp o l y n o m i a l s ；w e i g h t e d l p n o r m ；w i e n e rs p a c e 第一章绪论 函数逼近论是近现代数学的最要研究方向，c h e b y s h e v 在1 8 5 9 年提出的连续函数利用 多项式逼近的最佳逼近的特征定理及w e i e r s t m s s 在1 8 8 5 年建立的用多项式逼近连续函数的 著名定理，为函数逼近论作为一门独立的学科奠定了基础，并于上世纪得以蓬勃发展函效 逼近论是用简单的可计算函数对一般的复杂函数的避近，但满足条件的简单可计算函数可 能很多这时就锝要我幻去考虑逼近程度，寻找最佳遥近在实际上我们总是希望利用代教 多项式作为逼近函效如果从单个西数的逼近误差来考虑算子逼近的逼近效果，那么到现 在为止，还未出现具体的多项式逼近算子序列，能够实现对任何函数。算子列的逼近速度 都能够被最佳逼近多项式的收敛速度所控制但是从平均谡差的角度来考虑如果对连续 函数空问赋予w i e n e r 测度，在工，( 1sp + 叫范效逼近的j 墓义下，孙永生王辰永在文献 【8 】中证明了j a c k s o n 算子逼近的平均误差能够被最佳逼近多项式的平均误差所控制注意 到j a c k s o n 算子所利用的是目标函数在所有点的函数值，而就实际问题来讲。我们仅能得到 目标函数在有限个点的函数值，医虼，对实际问题来讲，上述逼近算子是无法实现的本文 证明了在平均误差的意义下，如果对连续函数空问赋予w i e n e r 测度。在工，( 2sp + * ) 范 数逼近的意义下，基于第一类c h e b y s h e v 多项式零点的l a g r a n g e 插值算子列，h e r m i t e - f e j e r 插值算子列和g r 抽w a l d 插值算子列逼近所产生的平均误差能够被最佳逼近多项式列产生的 平均误差所控锚，从而说明了就实际应用来讲。插值算子是一种非常有效的计算工具除此 之外，本文还给出了蓦于第一类c h e b y s h e v 多项式零点的g r 面n w a l d 插值算子的加权乙收敛 速度 本文由两部分组成，第一部分给出了基于第一类c h e b y s h e v 多项式的零点的l a g r a n g e 插值算子列h e r m i t e - f e j e r 插值算子列和g r n w a l d 插值算子列在w i e n e r 空间上平均误差的 弱渐近阶；第二部分给出了以第类c h e b y s h e v 多项式的零点为插值结点组的g f f m w a l d 插 值多项式在加权工p 范数下收敛速度的个估计，其在弱渐近阶的意义下是精确的现分别 介绍如下： 1 1 插值算子在w l e n e r 空间上平均误差的弱渐近阶 设f 是个集合，g 是个范效为i i 的线性赋范空问，j f l 是定义在f 的b o r e l 子集上 的概率测度s 是，到g 的个可测映射。被称为勰算子；设是，到舻的个可测映 射，被称为信息算子；o 是p 到g 的个可测映射，被称为算法当1 p + * 时，逼近 0 0 r 相应于渊度p 的平均误差为 勺岱。 氟以h 渺滓( f 眵一删竹如纠5 ， 信息相应于测度j l 的信息半径为 r p ( u , s 舶n i i ) 冀警彬，m 蛾p ，h i t ) 如果存在个算法扩使得 勺岱，西胁i i | i ) = ，( s j 。n 眈 我i 】称扩为相应于信息的个最佳算法。记 r p ( n ，s ，j , h 盼：= 婶啊，s ，“l i d 一 为第一个曩小信息半径 在过去的几年中。箨学工作者们已经针对线性情形给出了一套完整的理论，在这套理论 中，是个实可分的b a n a c h 空简。卢是，上的高斯测度，s 和都是线性算子( 相关理论 请参阅l e e , 1 9 8 6 ；l e ea n dw a s i l k o w s l d ，1 9 8 6 ) 同时，关于逼近理论的一些更高深的观点( 倒 如源于逼近理论的宽度的概念已经出现在一致误差的概念中) 已经被推广到平均情形。并在 信息基复杂性理论中得以深入研究许多文章如【l h 4 】都研究了逼近算子在平均情形下的 计算复杂性。其中文献【8 】8 讨论了在l p ( 1sp + 叫范数逼近的意义下。最佳多项式逼近在 w i e n e r 空间中平均误差的弱渐近阶，详细说明如下。 设x 是由定义在【0 1 】上的连续函数r 构成的空间，且 c o ) = 0 空间z 被赋予最大范 数w t e n e r 测度是通过如下的性质被唯一刻画的 “厂e x ：【，( 1 ) ，。舭) ) e 毋 = 囊、 2 f f ( t j 皇- - t j - t ) j r b 净掰”机， 对于每个一l ，b e 默兄气0 = f o ，i ，开sl 且u o = 0 它的关联算子是通过下面式 子给出的，对于工j j = m ) ，k ( c o 。) = m i n x t ，恐 ，即 f x f ( z i ) f ( x 2 ) o “d f ) = m i n 工l ，砭 ，v j t ，恐f o , 1 】 2 设f = 厂e 印l ，l 】：g ( ，) = f ( 2 t - j ) e ，对于每个可溯子集a c ，霰幻定义 v ( 4 ) = “l g ( ，) = 贝2 i i ) 厂一 ) 对于1s p c + ，我们记g p 卜l ，l 】为卜l ，l 】上的加权上，可积函数按如下范数i i - “构成 的线性赋范空圊 h i l l , = ( f 俐志硝 记易f i ，i 】为卜l 。i 】上的加权工，可积函数按如下范敷h 构成的线性赋范空问 怫= f 叫5 甩p 表示次数不超过一的代效多项式的全体。矗，表示厶一范数逼近下f 的刀次最佳 逼近多项式。即 v 一砌i 2 麓咿一地 剐在上| 范数逼近下，连续函数稠用一次最佳代数多项式逼近的少平均误差 e d r ，三f ) = ( f 琏厂一矗睁娃砷5x 扩i 在这里及以下一x 肋) 指存在着不依救于月的正常数c 。使得a ( n ) l c s 用s c a ，且 同式子的c 可以不同 本文将考虑基于第一类c h e b y s h e v 多项式零点的l a s t , r a g e 插值算子列h e r m i t e - f e j e r 插值算子列和g r f i n w a l d 插值算子列在w i e n e r 空间上平均误差，具体介绍如下 设，l = ，h = c o s 学五k = 1 ，一，是月阶第一类c h e b y s h e v 多项式死= c o , n o , x = c o s 0 的零点，则以i “ k 为插值节点组的厂的l a g r a n g e 插值多项式为c 览 5 d ， 厶u 曲= 舷坂协 丽 其中 = 稿= = 篙竽加。一 以 “l 垒i 为插值节点组的厂的h e r m i t e - f e j e l 插值多项式为( 见【6 】【刀) 曲= 舷似 3 舯 k t ( x ) 钏一矶) ( 器灿扣一t = ( 卜矶) ( 焉) i o 暑h 1 以l “糕- 为插值节点组的的g r b “啪i d 插值多项式为 g 曲：主，( 伽 本文得到了 定理2 2 i 厶u 曲是如上定义的l 丑鲫g c 插值多项式，我们有 如胁( 坚蔫掣) 4 “g ) z ( 定理2 2 2l 曲是如上定义的h c n n j 忙f 巧盯插值多项式，我们有 晚g 2 ) ( 护 “g ) x 定理2 2 - 3g 砷是如上定义的g 血w a l d 插值多项式，则 “( g - ，厶) x ( 用相同的方法，通过更复杂的计算，我们可以猜出对于任意的偶数p 都有 勺池，郇) x 勺( 皿，g ，) = c p ( g ，u x ( ；) 由m i d 盯不等式，文献【2 】及e 式可得，对于1s p , q + o a 勺以，呦x 勺慨，g q ) x 勺慨，岛) x ( ；) 由上式知道，对于l q 范数逼近( 2 茎g + 。1 p + 叻，基于第类劭西脚甜多项 式零点的l a 笋柚g e 插值算子列h e r m i t e - f e j e r 插值算子列和g 商m 嘲d 插值算子列在w i e n e r 空间上的p 平均误差弱等价于相应的最佳逼近多项式的p 平均误差同时，由【2 】可知，于 最小信息半径的定义中，如果，为w i e n e r 空间，s 为恒等算子，可允许信息泛函为计算函数 在固定点的值，信息算予为自适应的，那么对于1s p ，g - 1 ) 为权的加权k 下的收敛速度。结果如下 定理3 2 1 设eq - , ，i j ，p l ，口 - 1 ，则 c ，【譬】-口 扣 【f 曲一m 敝- 一l r 叫5s c ， + 毕 口：呈一- ， 【c ，f 扣砦】， 水口弘 而且估计的阶在口一1 时是精确的 本章中的c 为绝对正常数，即使在同_ 式子中也不一定耜周，而g 表示与p 有关的 5 第二章插值算子在w i e n e r 空问上平均误差的弱渐近阶 1 2 1 预备知识和弓i 理 设f ：融卟实可分的b a n a c h 空问，p 是定义在f 的b o r e l 予集上的概率测度设g 为 另个范数为n 目的赋范空问。，连续嵌入刭g 任意使得，一i l 厂一为可测映照的算 予：，一g 被称为个逼近算子算子a 的平均误差定义为 训，g ，= ( 上玑厂一i 伽以 设x 是由定义在【o i 】上的连续函数厂构成的空同。且以o ) = 0 空问x 被赋予最大范 数w i e u d r 测度u 是通过如下的性质被唯一刻画的 酊e z ：锨r 1 ) 。以如) ) 国 = 密南妒掰饥 对于每个n l ，口e 甄彤) 0 = t o ，l “si 且蜘= 0 它的关联算子是通过下面式 子给出的对于b 9 = 弛) ，k ( c - 工。) = m i n l x f 。x z i ，即 f 弛i m m 谚，) = m i n x l ，x 2 1 ，v x l 。恐e 【o ，l 】 ( 2 ) 设f = l 厂ec 【一1 ，1 】：罟( r ) = ，( 力一1 ) e 脚，对于每个可测子集a c f ，我们定义 似) = “拓o = f 2 t 1 ) ，厂e 彳1 ) 对于1 兰p - i o o ，我们记g p - i ，1 】为卜1 ，1 】上的加权0 可积函数按如下范数i i u 构成 的线性赋范空间 帅= ( f 删志硝 记岛卜l 。1 】为卜1 。1 】上的加权岛可积i t i l l r - i 受女n 下范敷i i i i 构成的线性赋范空间 i t l l , = ( f r 硝 设珏= f h = c o s 等tk = 1 ，峨是疗阶第一类a 融廊多项式以力= c o s n o , j = c o s 8 的零点，则以i 反i l i 为插值节点组的，的l a g r a n g e 插值多项式为c 览 5 】) 三。何力= 罗m ) 槲 。k 一= l 其中 一 ，t 。哆：揣= ! ! 掣，七= - ，一 c ， 以l “珞i 为插值节点组的厂的h e r m i t e - f e j 玎插值多项式为c 见 6 i f ? i ) 编辑对= 贝祧似 其中 = t t 一叫未f o ，宝k = l 也= t 以f ，i 证i 为插值节点组的的g i 钿啪埘插值多项式为 g 而= m 醒( n 引理2 1 1 对于任意的0 s 却s 砘s 而s _ x s1 ，我们有 jf x 1 ) f ( x z ) f x j ) f ( x 4 ) a k d f ) = 知i 而+ 却而 j j 证明由( 1 ) 和正态分布及r 函数的相关性质可得 f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x 3 ) f ( x 4 ) w ( d f ) j f = 豇南f 上上扣的i 铡砒d u 2 d u 3 d 地 = 自孕南j ：j = 上啪远i 等辔幽- 砒挑 = 自丽南f 小如远l 荆懒 ；固俩一血) + 3 x t 一而) + 去上乖署幽= 蕊而+ 而两 类似的，对于任意的0s 劬s 砘s s msl ，由c u 和正卷分布及r 函数的相关性质 我们可以得到f x f ( x 1 ) f ( x z ) 厂( 砭) l 啊，) 的值例如， f b l l ，u ) 刀蕊皿如= 6 却也妁+ 4 工l 匏曩+ 2 x j 匏奶+ 2 而的知+ x ；x 3 x s j 工 记 蚴= ，七= 1 ， 确= ：厶o 蔫上= l 。氘 = 引理2 1 2 情形1 对于任意的工t 1 纵n ，= i ，i 尾符号交替的并且叭张，。 i ，k 是单调上升的 情形2 对于任意的， t k ，厶似，= t ，一是符号交替的，并且i , - ( x ) l , j = 七。一是单 调下降的 情形5 对于任意的工 f i 岛，j = 七，一是符号交替的。并且扯0 ( 硝。j = 毛，露是 单调下降的，且i e ，( x ) ts 猷硝s2 玛c 瑚 情形6 对于任意的j k ( x - t j ) l ；j ( x ) , j = t ，月是符号交替的，并且h 一硝( 硼，= 毛。 是单调下降的 证明情形1 令j = c o s o , 列 = ( - i y c o s 硼 s i n2 争万 + 1 c o s 等币一c o s 0 易证；筹莉在 o ，田上是单调上升的，因北槲。，= t 。疗是符号交替的。并且 槲k ，= 毛，月是单调上升的 情形4 的证明与此种情形的证明相同 情形2 由( 1 ) 可知对于任意的j 诹，d j ( x ) , j = l ，i 是符号交替的易证 卧i 俐一吼曲i2 ( 俐一2 岈 例+ a k l + l 渊一2 i 厶也例+ 略* l o ) 1 ) ， ，为奇j 瓯 = 栅 趟 圆 l i f 2 例一2 i t i 俐+ ( i 2 - 例一2 1 1 s - 2 j , ( x ) l + 扣i i ) ，_ ，为偶数 m 对于任意的2 s j k 一1 令x = c o s o , 则 i ，+ i ( 而卜2 1 1 , ( x ) f + 旺i ( 曲i - 牮(蔫一z生cos-钞r-cosocos0c o s 0 + 鑫c o s o 、j 月、c 警丌一 c o s 譬万一 s 易i e ( 熹r ；s i n t ( 百2 - c 万o s 2 0 矿- c o s t c o s o ) 巩o c 川露 由( 乃可得；篙晶在【o 田上是凸函数，因此由( 6 ) 可得 i j k i o ) l 一2 v , ( x ) l + i ，卜i o x 0 易知当甩3 时 由( 5 9 ) 可得 以州仉例= 半( 羔一2 生c o s 击x - - c o s o 、i 21 趔皇竺壑：! 查垫o 。 珂 c o s 之膏一c o s 0 一一 俐乏俐= 俐一阱。俐掣0 0 ) 由( 5 ) ( 8 ) ( 9 ) 2 等轼可碍 喜f 删圳，杀零出 = 喜( f 矾志出+ 小志叫 = 喜( r o 一枞丽出+ f 丽与曲 = 喜r 篇丽与出+ f 丽出 = 喜志j 二懈舢= 一嘉喜如笔 万 。一鳖笔尝掣 ( 1 母 矿( 1 一c ：) ”v ， 由( i l h l 6 ) 可知定理2 2 1 对于p = 2 是成立的 当p = 4 时，由厶i 厶= i 可得 弛= “( 薹一觚c 硝志删 =k罗厂(帆(龇了圭事l=t舾1k = 1k 4 ： j - ! k l r l j v 吣一l l | b 濑 哺一l l 蠢测圆一绚吣崎。f q 曲姻f 泓，0 7 ) 对于七is 屯s 南s 七，由引理2 2 1 可得 jc ，i 而一贝f i i ) ) ( ，一，) ) ( ，i 刁一，i f b ) ) ( i 力一八) ) 蝴 , j p t f ；o 一毡x ，一嵋) + ；o 一蝴一嵋) 一ls ，s 帕- 0 ， 峨s 彳s 嵋茸和b s 工s 嵋， 一* 一嵋叫， 钿s 耳 o 毋 ；“一如z 一) + ；o 一嵋) o 一趣) s z s 1 因此。对于k l 七2 b k 4 ，我们有 j c 屯k 志 f 一，”一，) ) 一) ) 一f o j , ) m a 1 ) a x j ， = ；c ( 雄一k 一嵋) + “一位斯一) y l i 眠i 对砺与出 一；r 2 0 一如融一枞枞龇龇志出 + ；f 鼬一一) + 臼一f b 鼬一，t 蚝眠丽与i 如 ( 1 9 ) 对于任意的k l , k 2 ，b 。k ，我们记云，磊，焉i k t ，屯。b ，h 的重组，使得一k js 磊s 焉s i 列 出( 1 7 x 1 9 ) 可得 和 可得 o 一幅) + 臼一噶x 工一戈) 毛o 魄愠( 峨了f 1 专出 = i t + 如4 - 毛 我们首先考虑厶应用递推关系式 ( 善n 嘶j 4 = + 喇( 喜q ) + 6 口 ( 喜研) 2 + 钿t ( 善叫3 + ( 喜珥) ( 喜哪r = 口i + ，a i ( 喜口j ) + ，m ( 骞研) z + ( 喜q f 付 出 谳志 肛一 主一蝴麓 舭 绯 ” 出 志 圪蝇o 埯o 溅 啪 哪 ” 妒 e 辱酬。州p厶。p厶纠纠y符。纠 出 志 川 敷 f 。m ! 堙 出 志 磺谚 上 。捌 化喜r 。删似砉耐击出 + 6 喜r 妇一桃砉“一纵蚋+ z 砉厶叫志出 ：娄j ：臼一“川毒砉t 卜叫们；i 删丽由i l iv十自hi硝“，叫+ = + 五+ + j ：l4 - 以 ( 2 1 ) 由4 ) 和臻i 璧s 2 可得 。 = s 娄譬r 露觥丽与出s 吾j = ：喜层葫丢出s 万6 x g 萄 由引理2 1 2 可知。对于善e | f l ，l 】有l 蜀。酬s 瞰纠。因此 i j z l - 1 2 喜学j = 露t 珊丽与出s 7 2 4 a ( 2 3 ， 峨i 类似于( 2 5 ) ，我们有 由( 2 1 ) _ ( 2 6 ) 可得 1 3 3 1s1 2 娄字上1 砰雠志出s 警 删j 孙- - k + 毫叫志出i 。j 吼i _ i l k ( x ) l 膨，( i 删嘞- 志出 峨，i + t 例了熹罩出6 白nj 。i 最了熹零出万1 2 a ， ( 2 5 ) 川s 警 厶s 万9 0 x ( 2 7 ) 上上上 鲥。埘m 6 一妒 6 一舻 6 舻 v i 、，一 = 受1 取鄹，弧l j e i f f i 骨习 s罂l ，t 我i 仃最后考虑，2 容易证明 。如= 6 善。t - - i 善mf o 一桃一即y , ( x y j ( x x “+ 2 善l - i 毛姒。+ 2 骞百i 亏出b l ，吐+ 。唧p，p s 妄喜蠢f b + ：圣k - ! l + z 砉叫忑妄出 s 去喜毒f 弧例一睢- 渊一卧t ( 瑚丽与出 = 鲁蒌e 耋，o 删一，( 瑚喜( 俐一睢- 俐) 丽与出 ”# lo ，_ - h ”i户i = 鲁萎e 以t 例杀罩出5 詈萎e 杀覃出s 害 由( 2 0 x 2 7 ) ( 2 8 x 2 9 ) 及文取1 2 1 可得足理2 2 - i 对于p24 是厩豆田 定理2 2 2 若以砷是如上定义的h 舶n i 婚f 时盯插值多项式。列 句隔，g 2 ) x ( 扩 “g ) ( 护 证明由文献f 2 】我们可以得到下界估计。因此我们只需考虑上界即可当p = 2 时，类 似于( 1 1 ) 的证明。我们可以得到 帆耻f 若静出一喜昏，m 南出 + 毫f 掣一击以 o 由函舷= 1 可得 喜f 蚴志讲= 兀 瓤知乃志峨t 1 4 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 由( 1 2 ) ( 3 0 ) 3 1 ) ( 3 2 ) 和m i n l a , b = 掣可得 椭向= ；毫f ”枞志加 一；毫小一似志毋 一；委加如m 志破+ 三2 t - ij r i - m 志田 = 一五一 + 厶 ( 3 3 ) 由t t = 一 h l - i 。k = 1 ， 可知h l ( - t ) = 1 4 ( f ) 七= 1 。m 因此 j = 缸( 啦胁志出= j = ：m 砒( 一，卜南出 = f k 以( ，) k 卅志以 由( 3 4 ) 和“= - | o i 。k = 1 ，月可得 矗= ；砉f 纯+ & 胍t 荆+ k - _ t 删志也 = ；毫f m 4 枞c 荆志 。匐 类似地， 厶= ；喜j = ：，丽1 出+ ；喜j = c k t 4 + 如炒丽与出= 。 o o 对于k 五易证 蒜= 嬲【器一焉丽t 2 ( 例t ) 1 c ，乃 ( x 一“) 2 0 一0 ) 22 ( 靠一勺) 2l o 一如) 2 ( f 一班) ( f 一0 )( f 一0 ) 2j 、。 由( 1 4 x 3 7 ) 及凸e 切s 纠多项式关于权( 1 一) 的正交性可得 f 慷t 志出；锱 t ，趵 1 5 由( 4 ) 可得 令工= c o s o ，剜 容易证明 f 陬志讲= 字j = ：离志出 + 鲁i r 罂一r 襻】i c ， f 襻一上器= f 。耐舢= 掣氘 喜驴劲一番+ 堍l + n 2 ( s i n y 土薯脯。簪- = 一二：三_ i 王了+ i ：百 智 云) 2 2 蛐云 ( 4 i ) 由( 4 1 ) 及t k = - | 0 1 4 七= l ，一司| 碍 静r 罂一j ( 1 业、i - z - f j k 喜鲰= 意每 进而有 f 器击西= 层两c o s 淞2 n o 制d o + 刍k - tj p 学磊瓦c o s 砰2 n o 抛+ 蠢j ；丽器掘， 由l 腻瑚s 2 ，再经过简单的计算，我们得到 。s 喜学乓焉硼鲁 容易证明 ( 4 5 ) 丝p f 一彬，笔 甄坫 黧 石 砑煮乓0 应用牛顿莱布尼兹公式可得 ll 面萼再而砰+ 磊再再而砰 + r ( s 岖等j r + v ) 2 5 丽再百砰 s i n ( 等万一订 叫等耳一v ) 一伽等耐( c o s ( 等+ v ) - - c o s 等妒( ( 4 6 ) 由( 4 5 ) 和( 4 0 可知 萋丘磊罢尝每由= 备k - i 一1 1 + r 甜加f 篓 ( 蔺蓦一丽嘉p ( 咧喾霄+ v ) 一淄掣秽州簪z 一磅一涮掣力2 j 一 一 类似的， 杰j ；殍c o 。n o 瞄口d o = 圭赢b + r 甜柏r 耋 s 试2 万一v ) s i n ( 2 s 。- i f f + v ) ( c 暖蛩z 一一一c o s 等帕2 ( c o 簪- ，t + y ) c o s 等妒 由( 3 3 ) ( 3 8 ) 及珏= 一“i 。，七= 1 。，玎，经过简单的计算可得 ( 4 8 ) 【4 9 ) 很容易证明，当0 ( _ ( 开时。商翩在【o ，棚上是单调上升函数，因此，当0svs 刍 时。我们有 茎丽篙赫s 礤羚1 1 ) - - c o s t s 二_ 兰! _ 二一 二一三二， f 5 。( c o 等，r + v ) 一c o s 筹丌) 2 一( c o s ( 等等妒 一 1 7 象一 r 竺甜南，等 蘩一 鞫筹西丽矿鹣一呻 由5 0 ) 可知 。 薹学序f 棚f 霎( 丽筹等蓊 一丽c o s ( 掌慧c o 南sp s 薹( 号 万一y ) 一等万尸，量薯 类似的。 s i n 2 弓 s i l l ( 警神 8 n 4 ( c o s l - i 亓一娜掣神2 s 鱼( 5 1 ) 詹 。 - i 。剐有 鹏州”帕s 茹。，冀， 证明令，= c o s o , 刚 f 睡| ) p ( 卜栅= r ( 骞l 蒜l 舻1 啪 = r 溪i 杀l 舻1 咖 + 霎露( 喜i 蒜亳i 舻1 伽 + 岛( 喜i 蔷1 ) ，舻1 啪 = k + 五+ b 3 l ( 1 2 3 ) 0 2 4 ) ( 1 2 5 ) 0 2 6 ) ( 1 2 7 ) 其中o t = 1 铲 先考虑r i 由o i 磐= 巧( 曲可得 孔= r 溪l 蔷l 驴躺 = f f z 阳卵舻绷= r i 等r s 舻聊 s 啊，r 妒饥矿纠 ( 1 2 s ) 现在估计b 对任意1s j s 【幻，当p e ( 垡笔竽。1 2 笔竽) 时，类似予文献【1 4 】引理2 的证 明过程- - 7 知 争ii旦coso-。osokils 髓竿 ( 1 2 9 ) 由( 1 2 9 ) 计算可得 同理可以证明：当琏】s ，s 露时， 岳【割磊p 油镞掣篙- ， b = 乓溪l 蒜l 哆1 叻s 由( 1 2 7 ) - ( 1 3 2 ) 计算可得( 1 2 6 ) ( 1 3 2 ) 3l ( 1 l 一 一 p 一2 p 一2 呈“ c ，l 听+ 毕 口= j p t ， c ，羚一口c ， 而且估计的阶在口；一l 时是精砖的本文中的c 为一绝对正常：鬏即使在同一式子中也不 一定相同，丽q 表示与，有关的正常数。屿昕妨为文献i t 2 中定义的权为喊曲= 们： 的光滑楱 证明取a 为，( 对在q - , ，l l 上的 次最佳逼近多项式。尉有 g u 曲- f ( x ) = g 【厂- p m d + g 池，j ) 一a + 胁一荆 ( 1 3 4 ) 由0 2 3 ) 及( 1 2 4 ) 可得 1 峨c ，p n ，州i x 2 ) 憎x - p n - ，y a x s 吣( 1 3 5 ) i 峨c ，州is 吣 ) ，一l ” c 1 - x 2 y , a x - ( x y i p o x 2 y 。, t xs 叫”( 1 3 6 ) i 帆 sc 嵋三) ( j i ” 由文献【1 l 】可得 g 僻，力一m 2 善献m 夏南。一矗研( d 一善成。施一施珥似 ( 1 3 7 ) 由文献【1 1 】可知当口一 时，我们有 s 乞1 l ；l 而雠一均匠吖( 1 一，r 出 z “洳一柚瑶( 吖志虮c ，t 。i 1 ( 1 3 8 ) 当- 1 l ，使得口 一l + 畚，于是卢= 与挚 一l ，由式( 1 铊) 及 h s i d e r 不等式知 f 喜办南。一硼吖c 卜，肋 si f l 喜，“，夏南。一n 珥吨c ，一，严，叫毒l 工：c t 一，) b 叫1 嗜 sc ，ily矿ie(143) 由( 1 3 4 ) ( 1 4 3 ) 可得( 1 3 3 ) 下面证明当口；一l 时估计的阶是精确的取。为= 1 ，则由文献 1 1 】知 g 饶。曲一f o ( x ) =一盟+ 堡鲤纽盟。 ( 1 4 4 ) 这里碥为n 阶第二类劭响枷删多项式令3 f = c o s 0 , 则由( 1 4 4 ) 可得 f - ii o 砺，力一石| ，( 1 一) 口出= 矛1j o i c o s n o s i s i 妒n ( n p - 三丝s i n 蚺i 吼 ( 1 4 5 ) 当口 ；一l 时，注意到当0 p 时，；口 ；吐口争， 口= 要一1 0 4 7 ) 又瞒( 纠0 = l ，蛹，扣= 0 ，这样由( 1 4 d 及( 1 4 7 ) 便知_ 定理当口一l 时。估计的阶是精 确的 参考文献 【l 】j f t r a u b , g w w a s i i k o w s k i a n d i l y a c a d e m i cp m s n e wy o r k , 1 9 8 8 【2 】g l a n sr i t t