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摘要 求解第一类p a inle v 6 方程的多层扩充法 专业：计算数学 硕士生：肖清 指导老师：陈仲英教授 摘要 多层扩充法是用于解离散线性方程组的一种快速有效的算法，该方法基于算 子方程值域空间和解空间的直和分解进而得到扩充算法格式，通过选择合适的子 空间和基函数，使得系数矩阵有特殊的结构，从而大大降低计算复杂度，并能快 速得到精度高的数值近似解。我们首先回顾了一般算子方程的多层扩充算法格式 和多尺度小波基函数的生成方法，然后我们应用多层扩充法给出了求解第一类 p a i n l e v 6 方程的多层扩充算法格式。数值计算结果表明该算法得到的近似解有良 好的近似度。 关键字：多层扩充法，第一类p a i n l e v 6 方程，多尺度小波基 原创性声明论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名：日期：沙 年6 月f学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查 阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其他方法保存学位论文。 学位论文作者签名：日期：1 叩6 月黼导师签名：日期i f 吖犹 厶月1日 中山大学硕士学位论文 充。第二，把矩阵分解成两个矩阵，一个反映低频部分，一个反映高频部分，并 要求低频矩阵的逆矩阵要有简单明晰的结构，以便于降低计算复杂度。 多层扩充法可以粗略的描述如下：对一个固定的k ，我们首先求出第k 层的 线性方程组的近似解，然后通过扩充求出细层次上的近似解。此过程可一直进行， 直到求得满意的近似解为止。由于分解的特殊性，在每一层我们只需要解一个线 性方程组，其系数矩阵总是第k 层的矩阵，而只有右端向量不同。注意到对某个 固定的k ，解线性方程组的计算复杂度是常数，因此多层扩充法提供了一个解算子 方程的有效快速的算法。 z c h e n ，b w h 和y x u 在文献【1 0 】提出多层扩充法之后，即用此方法求解微分 方程，并在文献【1 1 】中给出了理论分析和数值结果。数值结果表明将此方法在应 用于微分方程求解时同样是快速有效的。 2 0 0 6 年z c h e n ，y ) ( u 和h y 抽g 在 2 7 】中，将多层扩充法与la _ v 砌呖e v 正则 化方法结合，用于解不适定的第一类算子方程，并给出了一神后验参数选取策略， 证明了在未知所求解的光滑性的情况下，其近似解可达到最优收敛阶，并通过数 值试验证明了该方法的有效性。 2 7 年，z c h 跖，y j i a n g ，l ，s o n g 和h y a n g 在文献 2 8 】中，将多层扩充法用于 求解不适定的算子方程，并在此基础上给出了一种新的后验参数选取策略，证明 了所得的近似解可达到最优收敛阶。 1 2 p a i n l e v 6 方程 p a i l e v 6 方程是一类重要的二阶非线性常微分方程，是由法国数学家( 同时 也是政治家) p p a i n l e v 6 和他的学生在研究复平面上二阶非线性微分方程的奇点 性质时所得到的，p a i l i l e v 色同时提出了所谓的p 血i e v 色性质。具有p a i n l e v 6 性质的 方程称为p 型方程，但只有六类方程产生新的超越函数，并称为p a i n l e v 6 超越函 2 第一章绪论 数。虽然p 划e v 6 方程是从纯数学的角度提出的，但如今已经知道它们与许多数 学物理方程密切相关。这些联系的发现以及p a i n l e v 6 理论本身的问题引起了人们 的广泛兴趣，使得p a 砒e v 6 方程理论及其应用的研究成为国际上相当活跃的领域 之一，并且取得了一系列重要进展。m j a - b l o w 沱，a r a n l a n i 和h s e g u r y 以及 p a c l 捌【s o n 等在偏微分方程的p a i n l e v 吾理论和完全可积性方面获得丰富的成果， 还引入了对高阶p a 瑚e v 6 方程的研究。已知p 血l e v 6 方程的解一般地不能由线性 微分方程的解或椭圆函数表示，但对某些特殊的参数值，相应的p a i n l c v 6 方程的 解能表示为经典的特殊函数，代数函数或有理函数，特别是p a i n l e v 6 方程具有有 理函数解参数定则现在已经得到解决。并且特殊参数的解族之间可由b a c k h 诅 变换建立递推关系。v i ( h m a k 等对p a i n l e v 6 方程解的表示，b a c k l 衄d 变换和一般 解析性质做了一系列有益的工作。近年来p a i n l e v 6 方程解析理论中最为显著的进 展是a h 血k 粕e n 和i l a i n e ，n s t e i n i n e 包对p a i n l e v 6 方程解的大范围亚纯性的严 格而完整的证明，以及s s 1 1 i m o 删m ，s t e i l 瑚e 乜关于p a i n l e v 6 超越函数的增长性 估计和值分布性质的深入结果。在国内，何育赞，李叶舟，袁文俊等在p a 瑚e v 6 方程有理解的参数定则和高阶p a 谳e v 6 方程解的值分布方面得到若干有意义的结 果。 由于p a i n i e v 6 方程没有解析的精确解，因此在实际问题中，我们通常是求在 某种限制条件下p a 瑚e v 6 方程的近似解或者渐进解。因此，发展p a i n l e v 6 方程的 多层扩充算法是有实际意义的，在本文第四章，我们给出了用多层扩充法计算第 一类p 砌e v 6 方程两点边值问题的的计算格式，并给出了数值计算结果。 1 3 本文的结构框架 本论文主要基于文献 1 0 】，【l l 】所提出的多层扩充法，将其运用到一类重要的 非线性二阶常微分方程一p a 瑚e v 6 方程，给出了具体的多层扩充算法格式和数值 结果。 3 中山大学硕士学位论文 本章主要介绍了多层扩充法的相关背景，研究成果及p a i n l e v 6 方程的历史， 发展及相关成果。后续章节内容安排如下： 第二章首先回顾了一般多层扩充法的格式及误差分析，然后回顾了第二类算 子方程和微分方程的多层扩充算法格式。 第三章回顾了单位区间上s o b o l e v 空间的多尺度基函数的构造方法。 第四章首先介绍了p a i n l e v 6 方程的相关知识，然后给出第一类p a i n l e v 6 方程 的多层扩充格式及数值计算结果。 第五章是全文总结。 4 第二章多层扩充法计算格式及误差分析 第二章多层扩充法计算格式及误差分析 本章我们将回顾多层扩充法解算子方程的一般格式。多层扩充法基于粗层 次上的标准近似算法，并根据直和分解在高层次上得到新的近似解。我们将看到 多层扩充法和原近似算法有相同的收敛阶。本章内容主要来自文献 【l o ， 7 1 ， 8 】，【1 1 】， 1 】。 1 1 一般算子方程的多层扩充算法 令x ，y 是两个b a n a c h 空间。a ：x 一】，是有界线性算子。对f y ，我们考 虑如下算子方程 a u = 工 ( 2 1 1 ) 这里“x 是待求的解。我们分别选择两个有限维子空间序列以， 匕，露n o ：= o ，1 ，2 ， ，使得 ul 一，甄2 yhen 7 ” 并且有 d i m 以= d i m i ：n n o 我们假设方程( 2 1 1 ) 有如下的近似解 a u 疗= 六， 5 ( 2 1 2 ) 第二章多层扩充法计算格式及误差分析 对m n ，极限 k i t - n o ，对后n ，m n 。方程( 2 1 1 2 ) 有唯一解。五+ 埘。 现在我们考虑第二个要求。对刀“，我们用e 表示甜x 在空间e 上的 误差。也即e = e ) - i n f 司卜一圳工：1 ，以) 。非负序列以，刀o 称为e 的优化序列，如果以e ，刀o ，并且存在正整数0 和正常数仃，当拧o 时有厶丛仃。 我们还需要如下假定： i 存在正整数n o 及正常数p ，对刀o ，和方程( 2 1 2 ) 的解以，有 i p 一甜。8 卢吃。 这样就有如下定理：( 见【1 0 】) 定理2 1 2 设1 , 1 i ，i l l 均成立，”x 是方程( 2 一1 1 ) 的解。以，n o 是e 的优化序列，p 是中的常数，那么存在正整数n ，对七n 及所o ，有 这里“。是方程( 2 1 1 2 ) 的解。 l 卜一甜。棚l ( 夕+ 1 ) 以+ 。， 9 酲蠢刁鹎浦氆) 2 0 0 9 羹耋；复l 茎 雾| | 萎蕃 滔萼毒薹幕婪鬟霎丝篓蛮娶 蓁霎董 i 翼雾塞枣亏| 攀妻囊萎圣手毫莹霎藿囊；篓霎囊萎2 4 6 0 0 0 ) 螫荔莓拶童薹星蠹薹萋霎墓茎薹薹窆霎妻藿蕈羹；釜基喜茎霉主萋襄辇霪陲麓器琴壹! 耋茎萝羹篓雾妻薹；蒹w 善薹薹察霉塞霪 謦? 妻鼍萼囊奏薹雾重耄鍪葚羹鬟； 霪冀薹墓季霎运塞霉! 妻雾姜垂：季墓至霎 萋翥垂窭主s 7 1 8 。5 2耋萋塞薹薹匡 墓鬟奏篓1 0 0 7 - 5 7 3 9 ( 2 0 0 9 ) 1 5 0 2 0 7 - 0 1 雾薹蓄蔡羹錾蜜薹孽耋妻耋至妻薹霎垂；霪霎雾羹霪 塞荐庶羹羹篓薹蚕薹矛童耄薹荔萌。& 霎誉薹。蓁鋈“萋 譬耋薹囊薹r 蠡雾：冀薹茎耋萋要薹薹= 塞雾一薹霪萋萋妻 蓁篓薹一雾羹錾蓁季垂奏j 茎薹薹萋鏊萋冀茎萋蠹萎薹葛 o f 墓；萋篓霉霎匕耋耄萋。厦奏。萋姜霎赢燮。萋耄萋蓁雾 薹囊孑墨錾羹雾= 5 霉妻奏妻型囊薹霪羹型夔荔翼q 霪i 萎 需薹冀蓥妻玛囊嘉萋妻囊篓薹：羹薹萋冀薹雾蠹蓬| 雾茎霉 卅q 蔓j 囊雾霪蒌，薹霪羹雾冀薹： l 墓茎墓喜蓥羹囊塞 羹季葡髦羹囊馨萋一民震萋雾薷攀薹妻霎蠢冀【蔷奏羹 攀羹蓑誓錾萎警蓁萎：薹西零点霎露篓至雾囊薹苇亳；薹薹 蓁 冀霎墓薹囊荐= 奠薹霉霾霎妻羹蘩囊萋薹鍪， 1 1i 蓑一赢囊；薹冀薹嚼曼零叁蓍奏妻零羹 x 璧荤垒葡 至乏澎誊叁薹蓁 蓍善翼囊耋i 薹冀 雾翼翥羹垂翼蓁藿蓁 叁篓 i 霎薹萋t t 封熏斗熹琴苎曩爰雾：霪童霞妻雾i 霪l 星! 耋垂薹璧羹司萎嚣羹雾；兰茎耋耄霎垂萎萋；囊霆，；薹篓囊基妻餮羹羹薹萎囊两器1 冀塑霎羹蠹；善囊蠢i 囊主i 葬辇奏i 蠢毒i 薹薹羹萋 耋霎墓童零三i 三三，i ；i i霉耋萼三薯雪蠢曩鍪! 二；i 三熏墨i 事i j 每：i i i i ；i i 重墓i ；薹避萋耄垂i l 始k l o ；蚓；萎荔霎薹薹，萋雾雾；耋 冀鬟羹；囊蓄曼藩& 毒螽羹鋈霎蠢霎口妻蠢，! 雾雾耋雾。 g 霪攀蓁i 薹霎羹薹妻堇妻蓁薹j 薹藿薹萋参薹冀誊；蚕鍪 讳篓薹薹誉羹霉萋墓霎蠢；雩篷蓁薹鍪鍪羹霎篓萋萋羹薹鏊； 霪茎霪毳霎耋墓冀雾薹鋈蠢藩丛垂委霉j 三冀萎霭霎三雾k 卜必；蓁蓁羹a 雾翼蓁薹鬲望篓紊鋈蠹薹； i 薹冀蠡薹翼雾型 蓁囊篓i 霆薹鬈；霎羹薹矍；翼薹羹薹。藿萋譬 随时判断 解的精度以终止计算。显然，它比由(227)求解，要简单得多。1 3 微分方程的多层扩充法1 4 x 第二章多层扩充法计算格式及误差分析 上一节我们具体回顾了第二类算子方程的多层扩充法。本节我们回顾如何将 多层扩充法应用于解微分方程，而微分方程通常是第一类算子方程。为此，我们 把算子进行分解，将第一类算子方程转化为第二类算子方程来解。 我们令h 是可分h i l b c r t 空间，( ，) 是其内积，| 1 i i 是范数。假设t 是从h 的子空间到h 的线性映射，f h 已知。考虑下述算子方程 t u = ( 2 - 3 1 ) “h 待求。设t 有分解t = a + b , a 是t 的主部，b 是t 的扰动。那么方程( 1 3 1 ) 可以写成 a u + b u = f ( 2 3 - 2 ) 下面我们给出a ，b 的一些假设。令v 是h 的子空间。v 本身也是h i i b c r t 空间，f ，】是其内积，i i 是范数，v 到h 的嵌入是紧的。算子a 从h 的子空间 映射到h ，且是线性的，并满足下列条件： ( 1 ) 在范数下，a 的定义域d ( a ) 在v 中稠，也即6 i 萄= v 。 ( 2 ) 双线性型a 沁v ) ：= ( v , a u ) 在d ( a ) xd ( a ) 上有界，即存在m 0 ，对所有 u ，v e d ( a ) ，l ( v ，a u ) i - 0 ，对所 有v d ( a ) ，p ，a v ) - a h 2 。 我们给出下述引理：( 见 1 1 1 ) 引理2 3 1 如果h 是h i l b e r t 空间，a 一h - - y h 满足条件( 1 ) 一( 3 ) ，那么a 可以唯一延拓到v 中的线性算子4 ，并且 a ：= 【，a 】是v 中的内积。诱导 范数1 i a 等价于i 1 。 下面我们给出算子b 的假设条件。设b 满足下列条件： 1 s 中山大学硕士学位论文 ( 4 ) 在范数i - i 下，b 的定义域d ( b ) ! ev 中稠，也即反面= v ，进一步，还有 d ( 蓁i cd ( b ) 。 ( 5 ) 双线性型b ( u ，羹i ：誉i 蓁! b u ) 有界，即存在m 0 ，0 万l 对所有u ，v d ( b ) ， l i 薹，b u ) l _ o ，0 s j l 对所有u , v ed ( b ) ， i i 薹，b ，u ) l m ，h i q l t i | 冀i 国，l i 薹，b ，u ) l i ； ( 2 3 - 7 ) 1 6 第三章 o ，l 】上s o b o l c 、r 空降的多尺度基的构造 第三章o，1上sobol e v 空间的多尺度基的构造 在第一章我们回顾了算子方程多层扩充法的算法格式构造问题。我们可以看到，选择合适的基函数，对系数矩阵k 。棚的形式有着重要的影响，而这直接影 响着计算复杂度。为此，我们希望选择合适的基函数，使得系数矩阵k 翩有着尽可能简单的形式，从而降低计算复杂度，提高计算速度。( 本章内容主要来自文 献11】，【1】) 31单位区间上h孑的多尺度基函数构造 令m 为一固定整数，i ：= 0 ，1 为单位区间，h 孑表示s o b o l e v 空间，且满足零边界条件，即 这里乙= o ，1 ，露一1 。空间h 孑( ，) 中定义内积和范数 材7 ( o ) = ”7 ( 1 ) = o ，_ ，z 。+ l ，h 孑( 3 - l - 1 ) 。净f z f f m o ) ，( m ( f ) 击，u ，v h 孑( ，) (3-12) v h 孑u )( 3 一l - 3 ) 令七2m，l是固定的正整数，对任意非负整数n，记x。为h孑(，)的子空间，1 9 薹蚕e 罄郦旺薯 2 0 0 9 塞霎! 萋曼 霉羹薹雾 麦；妻；耋萋冀霎薹霎薹薹囊二两3 5 蓁篓薹霎鋈2 m l m 2 ； 薹妻篓i 鬟萎耋嘉怿寒鬣i 毒z 塞薹瓯萎甬奏萋雾囊霾 薹篙丝雾薹| 辇| 墓。囊| 篓雾磊塑囊薹誓褰姜藿雾囊霭；丽墓霎荔霎3 ：2 ：1 ；鋈薹羹翼琴喜羹。i 翥霁晖萎耋茎耋，薹衬1 登 2 5 d 囊蓍蟹蓁萎篓霎：茎蓥2 3 蚪；刘羹薹孽s 想篓。茎塑薹希篓。踅雾亓篓錾8 0 一l o o c m i 嘉季塞萋：r 篓孽2 0 c m x 4 0 c m = 霎奏1 2 k g h r n j ，篓篓蠹篓囊薹萼易囊鬟蓁喜? 妻薹量鍪萋委 蚕萋篓萋痢1 2 0 - 1 5 0 c m ；量囊骂萎；霾囊翼3 0 c m x 4 0 c m ；萋 莺j 薹霉霖器1 - 2 c m ；萎薹耋囊鍪雾篓雾妻篓j 蓁蓁霉鬻薹薹薹匹j 羹琴矗篓囊囊篓薹委i ，5 r e x 27 0 m ，一妻薹氢篓霎 薹雾薹冀望；坚雾薹荔萋鋈菰鐾鍪；囊篓；羔拦羹妻霎砦萎鋈薹摹蓁兰 4 5 重薹蓁篓蔷；鋈辇摹霎妻篓篓蠹萋摹i 奏鏊薹萋嚅塑雾季雾凄i 囊萋萎墓薹霎蓁薹矍霎羹萎薹；一妻善差薹霎妻羹蓁篓奏1 - 2 羹霪。辇囊霎蓁霎囊羹蓁霪名萋囊。羹器羹姜9 0 零毒墨i 萼未篓薹薹雾霎薹耋薹季霎耋i 妻善差主孽 x 第三章【o ，l 】上s o b o l e v 空降的多尺度基的构造 根据上述定理，我们可以这样生成w l 的正交基底。由条件( i ) ，v v w l 有 如下的形式： v ( t ) = j f - z k ，唼，等”乙 r卜 另一方面，条件( i i ) 一( i v ) 对系数口j ，给出了k + m ( z 一1 ) 个限制条件，因此我 们得到关于c i u ，i 乙，j e z 。的齐次线性方程组，其解空间的维数是 取一m ) 似- i ) 。因此w l 的正交基底可以通过对上述线性方程组的解进行标准正交 化来得到。这样，我们就介绍完了多尺度基函数的构造问题。在下一节我们将引 用一些实际计算中所用到的具体基底函数的例子。 3 2 一些重要的基底( 见 1 1 ， 1 ， 7 ) 3 2 1 h ：( ，) 中的基底 现在我们考虑h ：( j ) 中的正交基，我们使用分片线性，分片二次，分片三次多 项式作为基函数。 分片线性基：令七= 2 ，= 2 ，那么x 。= 0 ) ，d h n w i = 2 h ，w j 的基函数为 七，霉 分片二次基：令七= 3 ，= 2 ，那么d i m ) ( o = l ，d i i n w = 2 ，w o 的正交基函数可 林业科学现代农业科技2 0 0 9 年第1 5 期 类圈。王其超和张行言的中国荷花品种图志( 1 9 8 9 年) 记载的品种种群。但在学术界未有一个固定的科学且实用的品 了1 6 2 个荷花品种。将中国莲花品种群与美国莲及其种间杂种分类系统，这很不利于国际间的交流，这也将对荷花的产 种的品种群列为第1 级分类标准，按花径、花型、花色顺序排业化发展产生极大的影响。因此。确定世界统一的荷花分类 列为2 级、3 级、4 级标准。花径分小花型和大、中型2 类；花品种分类系统是势在必行的一件事情。 型分为单瓣、复瓣、重瓣、重台、千瓣5 类；花色分红、粉、白、以进化的观点为依据以相对重要性状为基础，同时应 洒金、黄等5 色系；1 9 9 7 年王其超和张行言又对中国荷花该考虑到生产应用上的需要是荷花品种分类的基本原则。 品种图志制定的荷花品种分类系统做出了若干调整，即按 荷花在长期的进化过程中出现了各种变异类型，经过长期 二元分类法认定美国莲为中国蓬亚种后重新确定其分类 的人工选择，首先可以以主要用途为第1 级分类标准分为三 地位，将中小株型品种并列，与大株型品种分开，补充重台 大类型，即藕莲、籽莲和花莲，前两者以食用为目的，后者以 型，增设新类型和间色品种，调整后制定的荷花品种分类新 观赏为目的，开花多，群体花期长，花型、花色丰富，品种繁 系统检索表，包括3 种系、6 群、1 4 类、3 8 型，含2 7 8 个品种。 多。具有较高的观赏价值。种源也应该作为1 个重要的分类 2 0 0 5 年王其超和张行言的新版中国荷花品种图志的 标准。以种源分3 类，即中国莲种类、中国莲亚种莲种类和 “荷花品种分类新系统”，是按观赏植物“二元分类法”原则， 中美杂种莲种类。另外，根据以上荷花的品种分类的现状可 将种源作为1 级品种分类标准，按株型大小( 包括与之成正 以看出花型、花径、花色是荷花品种分类的相对重要的性状 相关的花径大小) 、花型、花色的顺序，列为1 级、2 级、3 级、 标准。应以这3 个性状作为以下的分类等级标准。具体的标 4 级标准，共分为3 系、6 群、1 6 类、4 8 型，暂包括6 0 8 个品种。 准应该通过专家相互讨论沟通。最后达成一致意见，建立统 新系统符合荷花品种的演化趋势，便于应用旧。2 0 0 6 年张行 一的荷花品种分类系统。 言和王其超根据世上的荷花品种中存在温带型和热带型2 4 参考文献 种不同生态型的品种群，针对中国荷花品种图志( 2 0 0 5 f t l 邹秀文。赵效锐靳晓白中国荷花i m l 北京：金盾出版社，1 9 9 7 年版) 只限于温带型荷花品种分类范畴未能将热带型荷花 【2 】王其超张行言荷花f m 】北京：中国建筑工业出版社1 9 8 2 品种包容进去，在维持原荷花品种分类系统前提下，仅在前黥景籍篇鬻戮絮主霎勰芸鬻盖蛊黔 加“温带型”或“热带型”3 个字，使“温带型荷花品种分类系 f 5 】钟扬荷花品种的数量分类研究u 】武汉植物学研究，1 9 8 7 ，5 ( 1 ) ：4 9 一 统”与“热带型荷花品种分类系统”并列。及荷花品种分类新 5 7 t 系统包括温带型荷花品种分类系统( 3 系、6 群、1 6 类、4 8 型) 嘲善霉黧：蔫是署j 是髯i 要罂种综合评选的数学模型卟北京林业大 和热带型荷花品种分类系统( 1 系、2 群、3 类、8 型) 1 1 1 j 。阴倪学明，於炳。周远捷，等睡莲科的属间关系研究】武汉植物学研 另外，钟扬l ”等( 1 9 8 7 ) 运用计算机进行了数学分类的定究- 1 9 9 4 1 2 ( 4 ) ：3 1 卜3 2 0 量分析，菇合理解毒荷花品种分类系统问题提供了科学依 高墨嚣馏慧黧燃嚣翥茹薪丝学报， 据。张晓燕i q 等( 1 9 8 8 ) 建立了荷花品种综合评选的数学模1 9 9 2 ，1 9 ( 2 ) ：1 “一1 7 0 型，在数学方法上，它具有简便实用的特点，同时能够克服 【l o 】王其超，张行言- 荷花品种分类新系统】武汉植物学研究，1 9 9 7 ，1 5 多元决策中的交叉现象。 【1 1 l 装荐蔷，三叠超热带型荷花的发现与荷花品种分类系统】中国园 3 建议林2 0 0 6 ，2 2 ( 7 ) ：8 2 8 5 荷花作为中国的十大名花之一，在最近十几年内通过 【1 2 】三其超二元分类法在荷花品种分类中的应用】北京林业大学学 各种育种方法培育出了许多新品种，现已达到5 0 0 多个，出 【1 3 】写羹，嘉蓬蔷：描蓬；，等莲藕研究进展】氨基酸和生物资源， 现了各种新花型、新花色、新株型等性状。大大丰富了荷花 2 0 0 4 ，2 6 ( 1 ) ：8 1 1 f x 5 t ( 1 2 0 ( 1 4 0 ，f 0 ，争 i 一一， f 【o ，去) 2 2 1 x 5 ( 1 一f ) ( 1 2 t ) ( 3 4 t ) ，f 哇1 ，1 】 l f ) ( 1 一 一 ，f ( 二，1 】 l 上述基函数的图像分别如下： 暗蚋i 由( 1 忍t ) 峙赡i 由o ) t + h 剿b i 由o 1 固h 时沌i 由( 1 由( 1 - t ) 图3 - 1 h ：( ，) 的分片线性基w 1 o 撇l a a o ) 蛔吼槽j 由( 1 由3 1 应t ( 由 图3 - 2 h ：( ，) 的分片二次基w o ，o 中山大学硕士学位论文 怕弧怊j 由( 1 尼 ) 怕融，i s i 由 t ( 1 毫t ) 坩目鼽，l s i 由o - 1 硒腑v i s l 由( 1 由( 1 pt 固 图3 3 h ：( ，) 的分片二次基w 1 o 瞻乱由i 由( 1 尼 ) h e a v i s l 由3 1 尼tc - 2 t ) 甜伐埘s i 由4 - 1 五蛩h 田妇 由t 3 1 詹( 1 由( 1 之雄 图3 - 4 h ：( ，) 的分片二次基w 1 1 第三章【o ，l 】上s o b o l e v 空降的多尺度基的构造 图3 5 h ：( j ) 的分片三次基w o 。o h 日鼬，i s i 出h 日孙，i s i 由( 1 由5 1 尼t ( 1 由( 1 乏t 图3 - 6 h ：( j ) 的分片三次基w 1 o 中山大学硕士学位论文 忱融，i s i 由( 1 忍訇h 阳v i s j 由g ) a 1 詹i ( 1 之t ) ( 1 韦t ) 抽v i s i 由o 1 脚h 髓v j s i 由( 1 - 1 ) 3 1 尼a 主) a 之t ) 0 “ 图3 7 h ：( j ) 的分片三次基w i o 怕呐i 由洲鞠h e 呐j 由t ( 霜t ) + h 强内i 由o - 固h 瞰v i s i 由a ) ( ) pt 固 图3 8 h ：( j ) 的分片三次基1 第三章 0 ，l 】上s o b o l e v 空降的多尺度基的构造 佃勘舾i 由( 尼由燃i 由o ) 5 1 尼ta - 2t ) ( 1 4 t ) 计鼬 由o 1 1 2 ) 怕弧悟i 由( 1 由5 1 忍( 1 由( 1 乏t ) 仔 图3 9 h ：( ，) 的分片三次基w 1 2 3 2 2h ：u ) 中的基底( 见 1 1 ) 我们给出当j | = 4 ，= 2 时h ：( ，) 的一组基底。这时，x 。= 0 ，d 疏w = 2 ，w 1 的 基函数为 它们的图像如下： b 文3 _ 4 f ) ， 【专( 卜矿( 4 卜1 ) 佳三：i二2， 州o ，知 f o ，争 ( 扣 ， f 中山大学硕士学位论文 图3 1 0 h ：( ，) 的分片三次基w 1 o 1 1 1 2 怕弧怊i 由( 1 忽由蛔叫斛由t 2 ( 1 - 2t ) + 1 忍蛔毗，l s i 由o - 1 硒鼬l , b 0 - t ) ( 1 妒c 1 乏q 图3 - 1 1 h 0 2 ( i ) 的分片三次基w 1 1 第四章第一类p a i n l e v e 方程的多层扩充法 第四章第一类p a i n l e v 6 方程的多层扩充法 4 1 p a i n l e v 6 方程的介绍( 见 5 ， 6 ) 。 p a i n l e v 6 方程是由e p a i n l e v 6 和他的学生在研究e p i c a r d 所提出的下述问题 时发现的：设r ( x ，y , y ) 关于- y , y 是有理函数，对于x 是解析函数。寻找微分方程 y 。= r ( x ，y ，y ) 的所有类型，使得它们的解除了极点之外其他极点仅依赖于所论方 程而不依赖于积分常数。上述性质又叫p a i n l e v 6 性质。p a i n l e v 6 性质又可以表述 为：常微分方程的所有活动奇点都是简单极点。所有的线性常微分方程都具有 p a i n l e v 6 性质。 p a i n l e v 6 方程的一般形式为 y 。= p ( x ，y ) y “+ q ( 工，y ) y + 尺( x ，力 ( 4 1 。1 ) 其中p , q ，r 是y 的有理函数且关于x 是解析的。 p a i n l e v 6 在对非线性方程进行分类时认为有五十种不同类型的方程可以化成 ( 4 1 1 ) ，其中有四十四类可以化成线性微分方程或用椭圆函数求解。另外六类 p a i n l e v 6 方程分别写为： 丑：y = 6 y 2 + x ， 最：y 。= 2 y 3 + 砂+ 口， 忍：y 。：一1y , 2 一一1y + 三( 缈2 + 历+ y y 3 + 8 ， 只：) ，= 万1y “+ 3 y 3 + 4 x y 2 + 2 0 2 一口j ) ，+ 曼y ， 中山大学硕士学位论文 只：y 。= 专+ 列ly , 2 一：ly + 孚( 缈+ 争量y + 幽y - 1 ， 。= 净击+ 扣“一e + 击+ 专。+ 筹铲m 笋+ 而z ( x - d + 篱，。 其中口，y ，万为常数。 上述六类方程通常不能化为简单的方程去求解，一般我们只能求它们在某种 条件下的渐进解或特解，或者定义六种p a i n l e v 6 超越函数。除第一类p a i n l e v 6 方 程露以外，其他五类p a i n l e v 6 方程均带有参数，当这些参数取一定值时，它们可 能有有理解，这方面的研究构成了p a i n l e v 6 方程具有有理解的参数定则理论。但 是已经证明，第一类p a i n l e v 6 方程只没有有理解，它的任何解都是超越亚纯函数， 且均具有无穷个极点。p a i n l e v 6 曾证明方程眉的通解可表示为具有两个任意积分 常数的既不是有理函数，又不是具有一个任意常数的代数函数或首次积分后成为 具有一个积分常数的代数函数的超越函数。 虽然p a i n l e v 6 方程是从纯数学的角度提出的，但是如今已经知道它和许多数 学物理方程密切相关。例如：k d v 方程可经过只的解表出，非线性s c h r o d i n g e r 偏微分方程的解可通过只的解表出，正弦g o r d o n 方程的解与只解之间有着密切 联系，等等。另外，p a i n l e v 6 方程还可以表示为h a m i l t o n i a n 系统。具体相关内 容可参见文献 5 】，【2 4 】。 下面我们给出几个具体的实际例子( 见 6 】) ： 例4 1 ( 白热丝灯问题) 设有一长为l ，直径为d 的白热丝灯固定在两个厚厚 的墙壁上。设热丝灯的电阻为p ，通过的电流为i ，它一方面通过电热丝加热得 到热量，另一方面通过热传导和辐射散失热量。设x 为白热丝灯长度的方向，在 点x 处，长为蠡的体积元= 万每) 2 岔内的温度为t ，则其控制方程为 一廖k d 2 t + 么丁4 ：曰。 第四章第一类p a i n l e v e 方程的多层扩充法 其中彳：4 6 0 ，b ：百1 6 1 2 p 。上述方程即是p a i n l e v 6 方程。 k d ：定z 融4 例4 2 ( 散热片问题) 设在一个固定温度的热金属板上放置一个薄的矩形散热 片，其长度为l ，宽度为a ，厚度为b ( b “口) ，它一方面通过热传导得到热量另 一方面通过与环境空气的对流损失热量。设x 沿散热片方向，在点x 处散热片温 度与环境空气温度之差为0 ，则在x 附近的一个元长度蠡内，通过热传导得到的 加热率与堡成正比，而通过对流损失的热量与矿成正比( n 可以从1 到1 2 5 改 之间变化) ，则控制方程为 k a b 堡一2 a h o 一：0 。 c & 其中k ，h 分别为热传导系数和热输送系数，当n 不为1 时，上述方程即为p a i n l e v 6 方程。 例4 3 这个问题来自核工业，是个反应堆堆芯的优化问题。在额定的输出功率 之下，要决定燃料的适当配比，使得堆芯的临界质量与反应堆功率之比取最小值。 由这个问题得到下列微分方程： 2 y ( 2 + 盟一生+ 彦2 ：0 。 x y 其中y 是无量纲的热流量，口，是已知常数。上述方程也是p a i n l e v 6 方程。 由于p a i n l e v 6 方程通常不能精确求解，因此发展p a i n l e v 6 方程的数值解法是 很有必要的。下面我们运用多层扩充法来求第一类p a i n l e v 6 方程的近似解。 中山大学硕士学位论文 6 ( w 0 o ( ( i j mw j 。，乃) 2 ) 0 0 ( i i ) 令n 。o = 儿，假设已经求出j ，枷一l ，做以下步骤： 1 ) 扩充k 乏所- l 碍一。为k 乏。，碍。 2 ，儿，一扩充为歹。朋= ( 少孑q 。 3 ) 由下列方程组求解儿。： ， ( 4 2 5 ) 一l l 几一+ 吃= 一k 磊一以棚。 ( 4 2 6 ) 计算时，我们选取战u ) 空间上的分片二次基函数。 由于戤。，豫都含有y 枷，因此在实际计算中高频矩阵磁中的y 枷我们 用j ，。棚代入，低频矩阵k 厶中的y 枷作为未知数保留。 我们取初始层k = 4 。由于初始层方程组( 4 2 5 ) 是一个非线性方程组，我 们可以采用n e 吼迭代法求初始层方程组( 4 _ 2 5 ) 的近似解。 将( 4 2 5 ) 整理成如下的形式： f 饥，o ，少l ，o ，儿，州t 卜i ) = 岛，o 饥，o ，m ，o ，儿，州i ) 一1 ) e ，o 饥0 ，y l ，o ，儿，州t 卜1 ) ； e ，“i ) - l 饥，o ，乃，o ，儿，“i 卜i ) 选取初始值向量，则n e 讯o n 迭代格式为 ：o ( f ，j ) 以 魄) ( 钞一，( 儿) 蜘胁 【y m = 儿+ 坝 p 沙 ， 扎 m ， ， m o ；r 叫 i，、 o掣： 砭 巾 m m “ “ ，。一 黧馨蔷羹霎蟊型劳勤囊霎) 2 0 0 9 蠹羹l l 睁 塞霎霎裹姜蒌菱薹妻囊篓；| | 冀| 薹薹霎羹霎妻窆羹囊誊骤冀； 薹羹薹薹薹薹囊茎要萎霎錾谲型萋茎， 4 2 粪挈妻雾零囊妻薹耋薹兰雾萎望喜耋囊襄 薹囊襄萋墓霎雾毳霪薹奏萋蓥萋雾鍪篓羹耄孽j 蔓薹 蒌雾耄囊善童堇茎萋，季妻茎兰至蚕蓁擎委薹薹垂：萋薹霉 囊冀霎譬轰鋈羹， 中山大学硕士学位论文 图4 2 多层扩充解 我们可以看到两个图形几乎没有什么差别，再结合上表的数值结果，可以说 明我们所得到的多层扩充解与差分解有着良好的近似度。 中山大学硕士学位论文 【l3 】zc h e n ca m i c c h e l l i 粕dy x u ，ac o 邶仃u c t i o no fm e i p o l 缅gw a v e l e t i n v a r i a n ts c t s ，c 伽叩m a m 6 8 ( 19 9 9 ) 15 6 0 - 15 8 7 【1 4 】zc h e n ，ca m i c c h e l l i 锄dy x u ，f a s tc o l l o c a t i o nm e t l l o d sf o rs e c o n dk i n d m e g r a le q u a t i o n s s i a mj n 啪e r a n a l 4 0 ( 2 0 0 2 ) ，3 4 4 - 3 7 5 【l5 】zc h e n ，yx t h ep e 仃0 v g a l e r k i n 觚di 删i v ep e 的v g a l e r l 【i n 眦h t o d sf o r s e c o n dk m m e g m le q u a t i o n s s i a mj n u m e r 加m 1 35 ( 19 9 8 ) ，4 0 6 4 3 4 【1 6 】 w d a l l m e n ，w | a v e l e t衄dm u l t i s c a l em e 也o d sf o ro p e r a l o re q u a t i o n s ，a c t a n 啪e r i c 巩6 ( 19 9 7 ) ，5 5 2 2 8 17 】i d a u b e c h i e s ，1 hl e c t u r e so nw 打e l e t ，c b m s - n f sr - e g i o n a lc o n f e r e n c es 嘶e s i na p p l m a m ，61 ，s i 舢v ip l l i l a d e l p h i a ，19 9 2 【18 】m c o s t a b e l ，a n de p s t e p h a 呜o n 缸1 ec o n v e r g e n c eo fc o l l o c a t i o nm 砒o d sf o r b o u n d a 巧i n t e g m le q u a t i o n so np o l y g o n m 甜1 c o