（计算数学专业论文）球面和环面上的样条函数.pdf

摘要 由于现实世界中的各种曲面均可看作黎曼面，从而在任意黎曼面的某参数区域上构 造样条函数在实际应用中具有基本的重要性，广泛应用于造型设计、几何设计、图形学 等。在文章3 1 中，证明了在黎曼面上样条的存在性等价于黎曼面上仿射结构的存在性， 并给出了样条建立的框架。同时也指出了样条函数的存在性与黎曼面的结构有着深刻的 关系。而文章【3 】是通过对任意黎曼面进行三角剖分后，利用变分方法和共形不变量解决 的 本文研究了球面去掉北极点s 2 ( o ，0 ，1 ) ) 以及标准环面t 2 的情形下样条函数的 具体建立过程由于球面去掉北极点以及标准环面都有标准的结构，因而可以不用做剖 分，而直接或间接得到它的全纯1 形式，从而在它们上面建立仿射坐标系，最终建立其 上的样条函数。 本文包括以下几方面的工作： 1 对于球面情形，证明了铲 ( o ，0 ，1 ) ) 到c 的全纯双射在相差一个仿射变换下是 唯一的。而在仿射变换下，样条函数保持不变，从而可以得到s 2 ( o ，o ，1 ) ) 上的本质上 唯一的仿射结构。对于环面情形，证明了环面上的仿射结构在本质上也是唯一的。 2 详细建立了球面去掉北极点铲 ( o ，0 ，1 ) ) 以及标准环面t 2 的仿射坐标卡集， 并建立了定义在它们上面的样条函数 3 分析了样条函数在球面和环面的紧支集上的稳定性指出，黎曼面上紧支集上的 样条函数是稳定的，对于环面情形则是整体稳定的。 关键词：黎曼面；样条函数；仿射结构；三角b 样条；极形式 s p l i n ef u n c t i o n so ns p h e r e sa n dt o r i a b s t r a c t b e c a l l s ea l lo ft h es u r f a c e si nt h er e a lw o r l dc a l lb er e g a r d e da sl 气i e m a n n i a ns u r f a c e s ， c o n s t r u c t i n g l i n e sw h o s ep a r a m e t r i cd o m a i ni sa r b i t r a r yr i e m a n n i a ns u r f a c e sm r d e l - f e c t i v e l yc o m p u t i n gs u c hs p l i n e si nr e a l - w o r l da p p l i c a t i o n sa r eo ff l m d a m e n t a li m p o r t a n c e i ns o l i da n ds h a p em o d e l i n g ，g e o m e t r i cd e s i g n ，g r a p h i c s ，e t c i np a p e r 3 j ，g up r o v e dt h a t t h ee x i s t e n c eo fs p l i n e so nr i e m a n n i a ns u r f a c e si se q u i v a l e n tt ot h ee x i s t e n c eo fa na f f i n e a t l a sa n dp r e s e n t e dat h e o r e t i c a lf r a l n e w o r l t h e ya l s op o i n t e dt h a tt h ee x i s t e n c eo f a na f f i n ea t l a si ss o l e yd e t e r m i n e db yt h et o p o l o g yo ft h er i e m a n ns u r f a c e s i na r t i c l e 【3 ，t h e yt r i a n g u l a t et h er i e m a n ns u r f a c e ，a n dt h e nf i n dt h ea p p r o x i m a t ea f f i n ea t l a sb y v a r i a t i o n a im e t h o da n dc o n f o r m a li n v a r i a n t s i nt h i sp a p e r ，t h ea u t h o rh a ss t u d i e dh o wt oc o n s t r u c ts p l i n ef l m c t i o n s ( t r i e a r g u l a r n u r b s ) 0 1 1t h es p h e r ew i t ht h en o r t hp o l er e m o v e ds 2 ( o ，o ，1 ) ) a n dt h es t a n d a r d t o r t l 8t 2i l ld e t a i l b e c a u s et h es p h e r ew i t ht h en o r t hp o l er e m o v e ds 2 ( o ，0 ，1 ) ) a n d t h es t a n d a r dl o t u st 2a d m i ts t a n d a r dc o m p l e xa n a l y t i cs t r u c t l l r e s ，w ec 8 2 2o b t a i nt h e i r h o l o m o r p h i ei - f o r m sw i t h o u tt r i a n g u l a t i i t h e m i nt h i sw w ，w ea l s oo b t a i nt h ea f f t n e a t l a sa n dc o n s t r u c ts p l i n e so nt h e m t h i sa r t i c l ec o n t a i n 8t h r e ew o r k sa sf o l l o w s ： 1 t h i sa r t i c l eh a sp r o v e dt h a tt h eb i - h o l o m o r p h i cm a p sb e t w e e ns 2 ( o ，0 ，1 ) a n d ca r eu n i q u eu pt oa na f f i n et r a n s f o r m a t i o nb e c a u s et h es p l i n e sa r ei n v a r i a n tu n d e rt h e a f f i n et r a n s f o r m a t i o n ，t h i sm e a n st h a tt h e r ei st h eu n i q u ea f f i n ea t l a so n 铲 ( o ，0 ，1 ) e s s e n t i a l l y f o rt h et o r t l s ，t h i sa r t i c l ea l s oh a sp r o v e dt h a tt h e r ei st h eu n i q u ea f f i n ea t l a s e s s e n t i a i y 2t h i sa r t i c l e h a sd e s c r i b e d t h es p h e r e w i t h t h e n o r t h p o l er e m o v e d 铲 ( o ，0 ，1 ) ( 4 3 ) a n dt h es t a n d a r dt o r a st 2 ( 5 44 ) i l ld e t a i la n dc o n s t r u c t e ds p l i n e f n n t i o n so nt h e m 3t h i sa r t i c l eh a sc h a r a c t e r i z e dt h ea p p r o x i m a t i o np r o p e r t i e sa n dt h es t a b i l i t yo f t h eb s i sf l m t i o n so nc o m p a c tm t p p o r to ft h er i e m a n ns u r f a c e s i tf o l l o w st h a tt h es p l i n e f u n c t i o n sd e f i n e do nr i e m a n ns u r f a c e sh a sb e t t e ra p p r o x i m a t i o np r o p e r t i e sa n dt h es t a - b i l i t y0 1 lc o m p a c ts u p p o r tf u r t h e rm o r e ，t h i sa r t i c l ec o n c l u d e dt h a tt h es p l i n e sd e f t n e d o nt o r t l 8a r es t a b l e k e yw o r d s ：r i e m a n n i a ns u r f a c e ；s p l i n e ；a f f i n es t r u c t u r e ；t r i a n g u l a rb - s p l i n e ；p o l a r f o r m l v 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的 研究工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也 不包含为获得大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明 确的说明并表示了谢意。 作者签名：盎堑竖日期：2 0 0 6 年6 月 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 窖编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文； 保密口，在年解密后适用本授权书 本学位论文属于 不保密口 ( 请在以上方框内打”、”) 作者签名 指导教师签名 2 q q 年q 目堕1 日 l 绪论 1 1 黎曼面上祥条函数的背景 1 - 1 1n u r b s 的历史 曲线曲面造型是c a d c g 中最为活跃，同时也是最关键的学科分支之一，它随着 c a d c a m 技术的研究发展而不断完善，渐趋成熟。曲线曲面造型技术是随着汽车，航 空等现代工业的发展而出现的工业产品的形状大致上可分为两类或由这两类组成；一 类是仅由初等解析曲线曲面组成，大多数的机械零件属于这一类，可以用画法几何和机 械制图完全清楚的表达和传递所包含的全部形状信息第二类是不能由初等解析瞌线曲 面组成，而以复杂方式自由的变化的曲线曲面即自由型曲线曲面组成，例如飞机，汽车， 船舶的外形零件，自由型曲线曲面因不能由画法几何与机械制图表达清楚，成为摆在工 程师面前的首要解决的问题 曲线曲面造型是个有较长历史的领域，1 9 7 1 年b 4 z i e r 发表的由控制多边形定义的 曲线方法，则可以方便的控制曲线的形状，但曲线上任一点都与多边形的所有顶点相关， 因此，对控制多边形的任何修改都会影响到曲线的整体形状随着应用数学及c a d c a m 技术的发展，在s e h o e n b e r g ，m a n s f i e l d ，d eb o o r 和c o x 奠定和完善t b 样条的基础理论 之后，w g o r d o n 和r r i e s e n f e l d 于7 0 年代中期，将b 样条理论引入曲线曲面的设计 系统b 样条曲线曲面保留了b z i e r 曲线的大部分优点另一方面，由于是分段多项 式因此允许局部修改控制，但是上述各种方法不能表示圆锥截线和球面椭球面等初等 解析曲面基于r i e s e n f d d 的工作，v e r s p r i i l e 于1 9 7 5 年在他的博士论文中提出有理b 样条方法，以后在p i e g l 和t i l l e r 等人的努力下，于8 0 年代发展起来非均匀有理b 样条 ( n u r b s ) 的一整套方法，把有理和非有理b 6 z i e r 曲线和b 样条曲线曲面及圆锥曲线和 初等解析曲面统一在一种表示之中，最终使n u r b s 方法成为曲线曲面造型方法中最为 流行的技术，成为c a d c a m 行业的工业标准。 n u r b s 曲线曲面能够被迅速接受的主要原因在于： 1 ) 可精确表示规则曲线与曲面( 如圆锥曲线，二次曲线，旋转曲面等，而孔斯方法， b 4 z i e r 方法非均匀b 样条方法做不到这一点，为了用上述方法构造的参数曲面逼近它 大连理工大学硕士学位论文：球面和环面上的样条函数 们，往往需要把它们离散化，使造型不变，且影响精度) 。 2 ) 可把规则曲面( 一般用解析曲面表示) 和自由曲面( 一般用参数血面表示) 统一在 一起，因而便于用统一的算法子以处理和用统一的数据库加以存储，程序量可明显减少。 3 ) 由操作控制顶点及权因子为各种形状设计提供了充分的灵活性，权因子的引入成 为几何连续样条曲线曲面中的形状参数的替代物，同时有利于曲线与曲面的形状控制与 修改，使设计者能方便的实现自己的设计意图。4 ) 计算稳定且速度快。5 ) n u r b s 有明 显的几何解释，使得它对良好的几何知识尤其是画法几何知识的特别有用。 6 ) n u r b s 有强有力的几何配套技术( 包括插入节点细分消去，升阶，分裂等) 能用于设计，分析与处理等各个环节。 7 ) n u r b s 是非有理b 样条形式及有理与非有理b e z i e r 形式的合适推广正是基于 上述优势，n u r b s 方法在c a d c a m 与计算机图形学领域获得越来越广泛的应用 1 1 2 黎曼面上的n u r b s 由于n u r b s 有以上的优势，因此有必要将n u r b s 定义在任意黎曼面的区域上。 在任意黎曼面上构造样条和有效计算这样的样条在模型设计、几何设计以及图形学等中 有基本的重要陛【5 1 提出了一般的理论和计算框架将样条曲面由平面区域扩张到任意 黎曼面的区域上。他们研究黎曼面上区域的仿射结构并证明黎曼面上样条的存在性等价 于黎曼面上仿射坐标卡的存在性。基于他们的理论突破，挫 j 发展了实际的算法推广从 平面区域到黎曼面的区域的三角b 样条曲面。选择三角b 样条作为例子主要是因为它 的一般性及很多诱人的性质。作为结果，新的定义在任意黎曼面的样条曲面是高阶连续 性的分片多项式益面 现实世界中的物体都有复几何和任意拓扑。对于现实模型，基本目的是寻找精确和 有效的技术来实现光滑造型的表示应用于科学研究和工业应用人们可以通过严格的样 条理论来研究图形学。样条曲面已经在造型技术、有限元分析、科学计算、可视化等有 广泛的应用。最流行的实例包括b 6 z i e r 曲面、张量积b 样条曲面和兰角b 样条瞌面。更 关键的是，它们都是定义在平面参数区域的分片多项式这些样条曲面是理想的模型， 但是他们表示带有任意拓扑的光滑曲面时有点笨拙可行的方法是修改定义在平面区域 上的参数样条曲面。 1 2 本文的主要工作 由于在黎曼面上定义样条函数有十分重要的意义，为了定义黎曼面上的样条函数， 必须充分理解样条的内在性质以及黎曼面的固有结构本文首先详细的分析了样条函数 的关键性质：样条函数有一个关键的性质是局部支集性，从而在黎曼面上分片遗定义祥 2 第1 章绪论 条更进一步，由于样条在参数仿射变换下是不变的，这里要求黎曼黎曼面的参数变换 时仿射函数但是，黎曼面的仿射坐标的存在性依赖于曲面的拓扑结构。从而奇点的存 在性是不可避免的黎曼面上的样条函数是通过粘合样条片构造的 在文章5 中，证明了在黎曼面上样条的存在性等价于黎曼面上仿射结构的存在性， 并给出了样条建立的框架。 本文研究了球面去掉北极点s 2 ( 0 ，0 ，1 ) ) 以及标准环面t 2 的情形下样条函数的 具体建立过程由于球面去掉北极点以及标准环面都有标准的结构，因而可以不用傲剖 分，而直接或间接得到它的全纯1 一形式，从而在它们上面建立仿射坐标系，最终建立其 上的样条函数 本文包括以下几方面的工作： 1 对于球面情形，证明了s 2 ( o ，0 ，1 ) 到c 的全纯双射在相差一个仿射变换下是 唯一的。而在仿射变换下，样条函数保持不变，从而可以得到s 2 ( o ，0 ，1 ) 上的本质上 唯一的仿射结构。对于环面情形，证明了环面上的仿射结构在本质上也是唯一的 2 详细建立了球面去掉北极点伊 ( o ，0 ，1 ) 以及标准环面铲的仿射坐标卡集， 并建立了定义在它们上面的样条函数 3 分析了样条函数在球面和环面的紧支集上的稳定性。指出，黎曼面上紧支集上的 样条函数是稳定的，对于环面情形则是整体稳定的 3 2 三角b 一样条函数概要 三角b 一样条曲面既可以通过调节控制节点来调控曲面形状，又继承了样条函数的 性质，在实际中得到了广泛的应用，因此在黎曼面上建立样条函数时主要考虑三角b 一样 条函数。在建立三角b 一样条函数时，使用极形式可以简化我们的描述，因此有必要先引 入极形式的概念 2 1 极形式简介 极形式简化了多项式和分片多项式曲线和曲面的结构并且产生了新的曲面表示和算 法，在理论和实际中有着广泛的应用下面简单地介绍极形式 定义2 1 ：【1 8 】映射，：群一瓜2 是仿射的，当且仅当它保持仿射结构，也就是说，当且仅 mmm 当，( 皿啦) = a l f ( u ) ，其中o = 1 。 = 0t = 0i = 0 定义22 ：l l s l 设f 是n 元映射。f 是对称的当且仅当 f ( u l ，u 2 ，。，u n ) = f ( u 。( 1 ) ，u * ( 2 ) ，一，u 。( 。) ) 对所有置换7 r 。均成立映射f 是多重仿射的当且仅当f 对每个变元是仿射的 著名的b l o s s o m i n g 原理说明任意多项式等价于它的极形式； 定理2 1 ：i l s ( b l o s s o m i n g 原理) 多项式f ：碡2 一碰是次数为n 的多项式与其对称多 元仿射映射的极形式f ：( 噼) ”一科是等价的给定任意类型的一类，另一类是唯一确 定的，且满足f ( u ) = f ( u ，u ，u ) 映射，叫做f 的极形式，f 叫做，的对角化。 事实上，只要取 f ( u 棚。，u 。) = 鬲1 ( 一1 ) 胛( q ) i i ”8 “谁t 1 “) 。j e s 例如：对于二次多项式： f ( u ) 一a o o + a l o ? m + a o l + a 2 0 “2 + a l l “甜+ a 0 2 v 2 5 钉口 坠o + 饥l + 砚 坐o + 2 u 虮幻 + 啦 + 扣 坠o + 地 + u 塑o + a 1 1 uu 有， 大连理工大学硕士学位论文：球面和环面上的样条函数 2 2 b p a t c h e s 和三角b 一样条 b p a t c h e s 是建立三角b 一样条的基础，为了行文方便，需要介绍它们的基本概念和 基本性质，首先引入重心坐标的概念： 定义23 ：【1 6 】设v = o ，u 1 ，矿) ，矿黔，单形 口o ， 1 ，u 1 的有向体积定义为 “c = a e t ( 毒j ：二) ，再设。砧为任意一点，令 而c y i z ) = d 代( 护1 ：1 一。1 。二，：) ss 则。的重- 心坐标定义为( z ) = d a v x ) d ( v ) 此时z = b ( 。) 矿，且l j ( x ) = 1 。 i = oi = o 下面按照 3 1 的策略建立单形样条，它是定义三角b 一样条的基础。 设x = z “o i 8 ，0 j 后 c 碾2 ，满足v 卢p r ，0 f 七，子集 确= ( z ，岛b = 0 ，1 ，s ) 仿射独立，其中r f ：= 垆z 3 俐= 岛+ 卢l + 岛= z ) 。 则在 3 中有如下的对称单形迭代算法c f 哪( z ) = 印 1q ( z ) 2 j = 01 肋( z ) 铝；妊) 口r 口r 一2 其中知，j ( 。) = d j ( 昂i z ) d ( x 口) 为。关于的重心坐标 对偶迭代算法为： 誊乩知溉。品篇 从而对任意o c ，有 啼，o ) ( z ) = 昂( 。) 睇( 。) 卢n 一 这里约定只要卢有一个分量为负，就有如( 。) = b z ( x ) = 0 。在文献 3 1 3 中，实值函数 占0 ( z ) 叫做规范化b 一权。 规范化b 一权凰( z ) ，卢n 是线性独立的( 证明见 3 】) 。特别地，若，( z ) = 0 ，z 球，则它的极形式也是0 ，c m ( z 1 ，扩) = 0 ，z 1 ，z r 8 。因此由 上述的迭代算法知道， c 5 ( 。1 ，x 2 ) = 0 ，。1 ，一黔，卢n f ，并且特别地， 6 第2 章三角b - 样条函数概要 c 口= 0 ，卢f k 。因为n 的基数与科上次数至多为k 的多项式空间兀k ( 碾5 ) 的维数 ( ：5 ) 是一致的。每个多项式p n 5 ) 有唯一的表示： p ( z ) = c 。b 。( z ) 更进一步，上述表示中的控制点c 。，d f k 由下式给定： c q = p ( 。o 一，。o ，。o 一1 ，。8 一j ，z 8 ，。a 一1 ) 其中，p 表示p 的极形式 以下只就8 = 2 考虑，则上述论述简化为如下的定理： 定理2 2 ：( 3 j 每个多项式p k ( 豫2 ) 有唯一的表示p ( x ) = 瓯b 。( z ) 其中控制占、 由下式给出：c 0 = p ( x o 一，一，。o ，8 0 ，z 1 广，。1 m ，z 2 ，。2 ，。2 1 ) ，p 为尸的极 形式 对任意点集v o ， 1 ，俨r 2 ，用m ( x l v o ， 1 ，一，俨) 表示b 样条函数，而 m ( z i o ，u 1 ，一，俨) 是次数为n 一2 次的多项式，支集在凸包妒，口1 ，v “】中，递归 算法如下： m ( 。”13 v 2 ) ：挚塑些 a e t 0 。1 。) 且对v = o ，u 1 ，俨) ，n 2 ， 脚一喜帮坼叭舻 ) 其中w = ”，v z ：) 为y 中任意仿射独立的子集。 设：= i n ti n 。砀】) 满足v o l 2 ( 吼) o ，则 3 】中有如下定理： 圳 定理2 3 ：【3 若v o l 2 f f 2 k ) 0 ，则b 口( 。) = i d ( x z ) l m ( x l v z ) ，对v z 呱，卢n 均成 立其中场= 和4 , s l j = o ，屈，i = o ，1 ，2 。l 设c d = 1 ，则有 1 = 昂( z ) 卢n 因此， c r z d ( z z ) m ( x l v z ) = 1 ，z 吼 这说明了规范化的b 一样条j ( z ) = l d ( 。砀) l m ( x 1 ) ，卢f k 是吼的单位分解从而有 下面的推论： 7 大连理工大学硕士学位论文：球面和环面上的样条函数 推论2 4 ：n b 一样条j ，卢f 自在每个吼的子域上局部的是线性独立的。i 下面按照 3 提出的方案建立三角_ b 一样条： 给定点x = 。i , j i i z ，j = 0 ，一，) ，设t = ( ，) = 陋。邮，扩zo ，x i 2 , g ”= ( i 。) ，ii 2 ) jcz i ) 。定义了豫2 ( 或群中的某区域) 的三角剖分。也就是说，对任意， j ，a ( i ) n a ( j ) 是空的，或者是a ( z ) 和( ，) 的公共面。令昭= 。吼2 i t = 0 ，岛，j = 0 ，1 ，2 ) 是决定b 一样条j ( 。) 的集合n ) 。另外记o ( x ) ：= s p a n 弼i 卢p k ，了 由于多项式( 凸+ u 。) 关于集合嵋= z 日o ”= 0 ，岛，j = 0 ，s ) 的极形式为 ，。1 定理2 4 ： 3 】假设v o l 2 ( n r ，k ) 0 ，j j ，则对所有的oe 琏和。，u r 2 ，有 z ) = 皿 ( 叫) 蟛( 。) i l e , y 口n 则对每个三角形，三元组卢，指定控制点毋，8 和相应的权值为u ，则三角b 样条定义为 s ( 。) = 毋口嵋( z ) j j 口r 三角n u r b s 定义为 片，口u ，口嵋( 。) 6 。1 f 瓦丽 ，卢r o 三角b 一样条有以下性质： 1 局部支集性：样条曲面有局部支集性。要计算f ( u ) 的值( 其中u a ，) ，只需 要控制点，其中a j 是的临近三角形 2 凸包性：多项式曲面完全在控制点的凸包内 3 完备性： b 一样条基是完备的，也就是说，次数为n 的b 一样条基可以通过线 性组合表示出任意次数不大于n 的多项式。 4 仿射不变性：如果控制点经过一个仿射变换，则多项式曲面也仿射的变化。 最后有如下的重要的定理： 定理2 5 ：吲设p 是任意次数为的多项式，设p 表示它的极形式。则下面的恒等式对 任意z 磷都成立： p ( 。) = p ( 庐p ，一肛1 ，铲，一1 ，仆1 ，庐一，妒，比一1 ) 蟛( z ) i ，卢r 8 u + 0 。!豆 | | u0 口 皿 第2 章三角且一样条函数概要 2 3 误差估计 本节讨论了空间e ( x ) 的逼近陛质以及b 一样条基底的稳定性这是下文在黎曼面 上建立样条函数逼近效果与稳定性的基础 设t i ，口是f i t 的某个固定点，按照 3 】定义c 。( f 2 ) 的函数p j 为 “小= 坠掣d 。，( ) 川女 注意到 p ，卢( ( 口+ ur ) ) = 眨9 u 。+ u 口，p ) 一一皿f 卢( 口，u ) i o , l ， 0 ，对任意，l p ( r s ) ，有 1 1 ，一q ，l i ，( ( ，) ) c p e n i n 。f ( 舭) l i ，一p l l ，( 矿( ，) ) 其中c 是常数- 为了叙述稳定性定理，需要引进b 一样条的三。规范化。即 畦口( z ) ：= l d ( 弼) i 1 扫职( z ) 并对c 一 q ，p ) ，j ，口n ，令： 、1 p i l c l | 扩 l ，j ，丁卢r 9 大连理工大学硕士学位论文：球面和环面上的样条函数 定理27 ：【3 】设v o l 2 ( n j ，k ) 0 ，则对任意序列c = c ，口) ，丁，艇n 估计式 其中1 是常数i 1 0 口峨 口 q m 3 黎曼面概要 在黎曼面上建立函数需要一些初步的黎曼面的基础知识，本章给出黎曼面的基础知 识以及黎曼面上仿射坐标的存在性，作为下一章建立黎曼面上的样条函数的基础 3 1 定义和例子 定义3 1 ：【4 】黎曼面是一维连通的复解析h a u s d o r f f 空问；即带有极大坐标卡集 ，) 。 的二维连通h a u s d o r f f 空间，( 即： 巩) 。 是m 的开覆盖，且：一c 是到复 平面c 的开集上的同胚映射) 变换函数： 厶口= z 。石1 ：印( 巩n ) 一z 。( 以n ) ( 3 1 1 ) 是全纯的，只要e n 0 。满足上式的覆盖 玎的坐标卡集叫做解析坐标卡集 开黎曼面的最简单的例子是复平面c ，单个坐标图( c ，i d ) 定义了c 上的黎曼面结 构 给定任意黎曼面m ，其上的连通区域d 也是黎曼面，d 上的坐标图可以由m 上 的坐标图在d 的限制得到这样c 的每个连通区域也是黎曼面 c 的一点紧致化cu o o ( 叫做扩充复平面或者黎曼球面) 是最简单的黎曼面。坐标 图表为 ，z j ：1 ，z 其中仉= c ；巩= ( c o ) ) u o o ，且z l ( z ) = z ，z u 1 ；z 2 ( z ) = z z ，o u 2 。坐标变换函数 f k j ：c o ) 一c o ) ，k j ，j = l ，2 由下式给出 = z z 定义32 ：f 4 黎曼面m 与n 之间的连续映射，：m n 叫做全纯的或解析的，如果m 上的每个局部坐标 阢z ) 和n 上的满足u n ，_ 1 ( y ) 0 每个局部坐标 v ) ，映射 。，。z 一1 ：。( v n s 一1 ( y ) ) 一( ( y ) 1 1 大连理工大学硕士学位论文：球面和环面上的样条函数 是全纯的。映射f 叫做共形的，如果它还是一一的且是在上的。此时一1 ：n m 也是 共形的。 映射到c 的全纯映射叫做全纯函数。而映射到c u o 。) ( 但不是仅仅将m 映到 o 。) 的映射叫做亚纯函数m 上的全纯函数环记作h ( m ) ；m 上的亚纯函数域记作 ( m ) 。 3 2 微分形式 微分形式是黎曼面的主要研究对象，著名的r i e m a n n r o c h 定理就是黎曼面上刻画 全纯微分维数性质的定理因此，我们有必要简单介绍一下微分形式的概念。 设m 是黎曼面，m 上的0 一形式是m 上的函数m 上的1 形式是在局部坐标系 z ( = + t ) 下，两个连续函数，和g 的指定；f d z + 9 d y 且在坐标变换下是不变的 m 上的2 一形式是在局部坐标系z ( = z 十匆) 下，连续函数，的指定： d x a d y 且在坐 标变换下是不变的。 为了方便起见，用复符号表示微分形式：利用复解析坐标2 ，1 一形式可以写为 u ( z ) d z + ( 。) 以 其中：d z = d z + i d y ，d 三= d x i d 芎，= u + 础，g = t ( “一v ) 类似的，2 一形式可以写为 g ( z ) d z ad z 其中，d z a 如= - 2 i d x d y 。 对于a 1 一形式，引入微分算子d 对于g 1 函数，定义 = f t 如+ 。乱 对于g l _ 形式u 一，如+ g 由有： 幽= d i s g ) + d ( 9 d g ) = d ， d x , + d 9 d = ( f = d x + 屯d y ) ad x + 如+ 乳d ) a d y = ( 啦一 ) d z ad y 对于2 一形式q ，有d n = 0 。 著名的s t o k e s 定理为； 若“是c 1 的形式，d 是( 1 + 女) 一形式，则 u = | 幽i j dd 1 2 第3 章黎曼面概要 另外，有著名的p o i n c a r 6 引理：d 2 = 0 - 。 下面定义共轭算子+ 如下：对于1 一形式u = f d x + g d y ，定义 + u = - 9 d x + f d y 为了定义函数和2 一形式上的+ 算子：选择处处非零的2 形式a ( z ) d xad y 设，是函数，令 f = ，( z ) ( a ( z ) d zad y ) 对于2 一形式n ，令 啦淼 显然，对于每个= 0 ，1 ，2 ，+ ：八一八2 “且”= ( 一1 ) 定义3 3 ：【4 】一个1 一形式u 是恰当的，如果对m 上某个c 2 函数f 有u = 影。1 形 式u 是余恰当的，如果+ u 是恰当的1 一形式u 是闭的，如果它是c 1 的且d w ；0 1 - 形式u 是余闭的，如果+ u 是闭的。若，是m 的c 2 函数，定义f 的l a p l a c i a n ； a f 一0 f 。+ ) d z ad y ，是调和的，如果a f = 0 。1 - 形式u 是调和的，若局部由调和函数，给定。 1 形式u 叫做全纯的，如果存在全纯函数f 满足“= d f 。 则有如下的定理： 定理3 1 ： 4 】微分u 是调和的当且仅当u 是闭的且是余闭的。微分u 是全纯的当且仅 当u 是闭的且+ u = 一i u 。 3 3 因子和r i e m a n n r o c h 定理 r i e m a n n - r o c h 定理是数学中最著名的几个定理之一，它有着广泛的应用，本文中 主要应用r i e m a n n - r o c h 定理推出黎曼面上全纯微分的维数定理首先介绍几个基本 概念： 定义3 4 ：【4 】设口是一个整数，m 上的q 一微分u 是指m 上的亚纯函数指定，满足 f ( z ) d z 。 在坐标变换下是不变的对于g = l ，叫做a b e l 微分。 设u 是m 上的q 一微分，z 是局部坐标系，且g ( p ) = 0 ，定义u 在p 点的阶为 o r d p w = o r d o f 1 3 大连理工大学硕士学位论文：球面和环面上随竖叁亟墼 定义3 5 ：叫m 上的因子是一个形式符号： u = p p 孝t p ：k 其中b m ，z 记因子“为 “= p 妒 p e m 其中d ( p ) z 且仅对有限的p m ，a ( p ) 0 。 用d i v ( m ) 表示因子群，设8 一兀p p ( 引，定义乘法 p m u b = p 。卧卵 p m 以及逆； 酣_ 1 = p 1 即 p e m 定义3 6 ：对于“= n p 尸。( “，定义 d e g u ；d ( p ) p e m 显然，函数d e g ：d i v ( m ) 一z 建立了因子群到整数加群的同态 若，尼( m ) ( o ，则，决定了一个因子( ，) d i v ( m ) ： ( ，) = p o r d ， p e m 这样建立了域厄( 吖) 的乘群到因子度为零的因子子群的同态： ( ) ：厄( m ) + 一d i v ( m ) ( ) 的像中的因子叫做主因子因子群模主因子群的商群叫做因子类群。因子“是整的 ( 记作甜1 ) ，若对所有的p ，有o ( p ) 0 。若“1 ，则“叫做严格整的( 记作 甜 1 ) 这样在因子上引入了偏序集：甜s ( u b ) 当且仅当“舀。i ( u s - 1 1 ) 定义3 7 ：4 对m 上因子“，令； l ( u ) = ，_ c ( m ) ( ，) “) 其维数记作r ) ，叫做因子“的维数。 1 4 第3 章黎曼面概要 设 n ) = u l u 是a b e l 微分且) “) 且i ) = d i m q ) ，称为酣的指标 则有如下的著名的r i e m a n n r o c h 定理； 定理3 2 ：【4 l 设m 是亏格为g 的紧黎曼面，甜是m 上的因子，则 r ( “一1 ) = d e g ( u ) 一g + 1 + ( “) - r i e m a n n - r o c h 定理是黎曼面中最深刻的定理之一，由r i e m a n n r o c h 定理有 下面的重要定理： 定理3 3 ：【4 设q z ，黎曼面m 上的全纯q 一微分的维数由下表给出： 亏格权值维数 9 = 0q 0 1 2 d q 0 0 g = 1 a 1 1q 目 l口 1( 2 q 一1 ) 0 一1 ) 从上面的定理可以看到，对于亏格g = 0 的曲面( 必同胚于球面) 来说，其上没有全纯 1 一形式，而对于亏格g 0 的衄面来说，其上必有全纯1 一形式。再由p o i n c a r & h o p f 定理知道，对于亏格g 1 的曲面来说其全纯1 一形式必有零点，且可使零点的个数小 于2 9 一2 个这是下面定理的基础 3 4 仿射坐标卡的存在性证明 构造黎曼面上的样条函数最重要的步骤是在黎曼面上建立仿射坐标图因此，仿射 坐标图的存在性以及如何构造仿射坐标图成为建立黎曼面上样条函数最关键的步骤。首 先给出仿射坐标系的定义以及一些有关的结果： 定义3 8 ：【5 设 ( ，币。) ) 。 为黎曼面m 的坐标覆盖，其中如：u 0 一觋2 ，若两 个坐标卡( ，九) 与( ，如) 相交，且其变换函数丸口= 如o 虻1 是仿射映射，则称 “，丸) ) 。 为m 的仿射结构 定理3 4 ：恻黎曼面m 容许仿射样条的充要条件是m 具有仿射结构。 定理3 5 ：【1 q ( b e n z g c r i ) 设s 是闭的二维仿射黎曼面，则x ( s ) = 0 。_ 1 5 大连理工大学硕士学位论文：球面和环面上的样条函数 定理3 6 ：【5 设m 是开的定向二维黎曼面，则m 必是仿射黎曼面。_ 定理3 ，7 ：1 5 】给定一个亏格为9 的黎曼面m ，一个全纯l 一形式u 。设u 的零点是 z ，则零点z 的数目不多于2 9 一2 且在m z 上存在由u 诱导的仿射坐标卡。 注：该定理的证明是构造性的，其证明本身便是给出黎曼面上仿射坐标卡的方法， 而且对下文的讨论直接相关。因此，在此给出了该定理的证明。 证明：全纯1 一形式u 存在性以及u 的零点z 的数目可以由r i e m a n n - r o c h 定 理推出来由于u = u 。十i 是全纯的，峨是调和1 一形式。将看作向量场，奇点 仅有负的指数，并且它们的指标和等于e u l e r 示性数2 2 9 。因此，零点的几何数目不 少于2 9 一2 设肘z 静开覆盖是开集的集合t ，巩，。要求；如果两个开集，相 交n d ，则它们的并以u 是拓扑圆盘。如果这个条件不髓满足，可以细分 该开集族使得条件满足则在每个内任取一点p 。，定义p 的坐标为 札( p ) ：，。 ，p 。 其中从p 。到p 的路径是任意选的。下面断言a = ( ，丸) ) 是m z 的仿射坐标系 要证明对任意p 巩n ，九) = 如( p ) + c o n s t 也就是说，坐标变换函数 。p ：r 2 一皿2 是平移。设p ，g n 有： ”删邓础川础) ) - 鬈u 一( ui + l j _ 因为n 是拓扑圆盘，闭曲线r = p z p p 。一q p 口是同伦于零的。因为此 和嘞的旋度为零，从而上面的积分为零，即l u = 0 。因此对于任意p n 有 咖( p ) 一九( p ) ；c o n s t ，变换函数。口是平移。i 1 6 4 球面和环面上的样条函数 由于n u r b s 在c a g d 中有着众多优势，因此有必要将n u r b s 定义在任意黎 曼面的区域上在任意黎曼面上构造样条和有效计算这样的样条在模型设计、几何设计 以及图形学等中有基本的重耍性 3 提出了一般的理论和计算框架将样条曲面由平面 区域扩张到任意黎曼面的区域上他们研究黎曼面上区域的仿射结构并证明黎曼面上样 条的存在性等价于黎曼面上仿射坐标卡的存在性基于这些理论，他们发展了实际的算 法推广从平面区域到黎曼面的区域的三角b 样条血面选择三角b 样条作为例子主要 是因为它的一般性及很多诱人的性质作为结果，新的定义在任意黎曼面的样条曲面足 高阶连续性的分片多项式曲面 现实世界中的物体都有复几何和任意拓扑对于现实模型，基本目的是寻找精确和 有数的技术来实现光糟造型的表示应用于科学研究和工业应用可以通过严格的样条理 论来研究图形学样条曲面已经在造型技术、有限元分析、科学计算、可视化等有广泛 的应用。最流行的实铡包括b 6 z i e r 衄面、张量积b 样条曲面和三角b 样条曲面更关 键的是，它们都是定义在平面参数区域的分片多项式这些样条曲面是理想的模型 4 i 引论 随着样条理论的发展，桦条理论已经广泛应用于造型设计、有限元、科学计算、可视 化和制造业等，从而产生了在搬黎曼面上构造样最函数的必要性在文章 5 之前， 一般的构造黎曼面上的样条函数的方法如下t 1 先我出黎曼面m 的坐标卡集 巩也) ，坐标变换函数为= 奶o o i l ，要求 这些坐标函数是光滑的或者是解析的； 2 在每个坐标上定义基函数 口，( 玑) 一豫； 3 对于每一点p m ，规范化上述函数为基函数日，最( p ) = 警备； 4 定义f = ：g 岛扫) ，其中g 为控制点 很明显，设丝在( 以，啦) 上为多项式函数，但它在