（应用数学专业论文）多解椭圆型方程的最优控制问题.pdf

摘要 本文主要研究了几类多解椭圆型方程的最优控制问题首先，在凸性条件下考虑了半线 性多解椭圆型方程的最优边界控制问题，证明了变分不等式其次，在非凸情形下首次采用 松弛控制方法研究了具有两点边值条件的多解常微分方程以及一类只有两个解的半线性椭 圆型方程的最优控制问题，得到了p o n t r y a g i n s 最大值原理最后讨论了一类半线性椭圆方 程的最优控制的存在性及不存在性问题 全文共分为三部分内容： 在第一部分即本文的第二章和第三章中，我们分别讨论了带有线性边界条件以及非线 性边界条件的半线性椭圆型方程的最优边界控制问题在凸性条件下，通过构造相应的惩罚 问题并取极限，我们以变分不等式的形式给出了原始问题最优对所满足的必要条件 在第二部分即本文的第四章中，我们考虑了一类具有两点边值条件的多解常微分方程 的最优控制问题由于控制区域及指标泛函可能非凸，那么相应的惩罚问题可能无解在这 样的情形下，我f r i l l 入了新的工具即松弛控制理论通过构造松弛惩罚问题再取极限，从而 得到了原问题最优对所满足的p o n t r y a g i n s 最大值原理 第三部分包含了本文的第五章，本章分为两节第一节，在非凸情形下我们致力于一类 只有两个解的半线性椭圆型方程的最优控制问题，通过对状态方程解性质的分析并建立适当 的能量估计，我们证明了松弛控制方法对本问题的适用性并得到了最优对的p o n t r y a g i n s 最 大值原理在第二节，采用松弛控制方法我们证明了一类最优控制问题的存在性及不存在性 结果 关键词：椭圆型方程；多解；最优控制；变分不等式；p o n t r y a g i n s 最大值原理；存在性； 不存在性；松弛控制 i a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni n v e s t i g a t e sm a i n l yt h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sf o rs e v e r a l c l a s s e so fm u l t i - s o l u t i o ne l l i p t i ct y p ee q u a t i o n s 。f i r s t l y , u n d e rt h ea s s u m p t i o no fc o n - v e x i t y , v c ec o n s i d e ra no p t i m a lb o u n d a r yc o n t r o lp r o b l e mf o rs e m i l i n e a rm u l t i - s o l u t i o n e l l i p t i ct y p ee q u a t i o n sa n dp r o v et h er a t i o n a li n e q u a l i t y s e c o n d l y , i nt h en o n - c o n v e x c a s e ，u s i n gt h er e l a x e dc o n t r o l sw es t u d ya no p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m f o ram u l t i - s o l u t i o n o r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t ht w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o na n dt h a tf o ra c l a s so fs e m i l i n e a fe l l i p t i ct y p ee q u a t i o n sw h i c ha d m i te x a c t l yt w os o l u t i o n s 。w eo b t a i n t h ep o n t r y a g i n sm a x i m u m p r i n c i p l e f i n a l l yw ed i s c u s st h ee x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c e o fa no p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mg o v e r n e db yac l a s so fs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s t m sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ft h r e ep a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，i e 。c h a p t e r2a n dc h a p t e r3o ft h i sd i s s e r t a t i o n ，w ed i s c u s s o p t i m a lb o u n d a r yc o n t r o lp r o b l e m sf o ras e m i l i n e a re l l i p t i ct y p ee q u a t i o nw i t hl i n e a r b o u n d a r yc o n d i t i o na n dn o n l i n e a rb o u n d a r yc o n d i t i o n ，r e s p e c t i v e l y u n d e rt h ec o n v e x c a s e ，b yc o n s t r u c t i n gt h ec o r r e s p o n d i n gp e n a l i z i n gp r o b l e ma n dp a s s i n gt ot h el i m i t ， w eg i v et h en e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h eo p t i m a lp a i r so ft h eo r i g i n a lp r o b l e mi nt h e f o r mo fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y i nt h es e c o n dp a r t ，i e c h a p t e r4o ft h i sd i s s e r t a t i o n ，w ec o n s i d e ra no p t i m a l c o n t r o lp r o b l e mf o rac l a s so fm u l t i - s o l u t i o no r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ht w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n s i n c et h ec o n t r o ld o m a i na n dt h eo b j e c t i v ef u n c t i o n a l m a yb en o n - c o n v e x ，t h ec o r r e s p o n d i n gp e n a l i z i n gp r o b l e mm a yh a v en os o l u t i o n i n t h i sc a s e ，w ei n t r o d u c ean e wt o o l ，i e 。r e l a x e dc o n t r o lt h e o r y b yc o n s t r u c t i n gr e l a x e d p e n a l i z i n gp r o b l e ma n dt h e np a s s i n gt ot h el i m i t ，w eo b t a i nt h ep o n t r y a g i n sm a x i m u m p r i n c i p l ef o rt h eo p t i m a lp a i r so f t h eo r i g i n a lp r o b l e m 。 t h et h i r dp a r tc o n s i s t so fc h a p t e r5a n dt h i sc h a p t e rc o n s i s t so ft w os e c t i o n s i n t h ef i r s ts e c t i o n ，u n d e rt h en o n - c o n v e xc a s ew ea r ed e v o t e dt oi n v e s t i g a t ea no p t i m a l c o n t r o lp r o b l e mf o rac l a s so fs e m i l i n e a re l l i p t i ct y p ee q u a t i o n sw h i c ha d m i te x a c t l yt w o s o l u t i o n s b ya n a l y z i n gt h ep r o p e r t yo fas o l t u i o no ft h es t a t ee q u a t i o na n de s t a b l i s h i n g h t h ep r o p e re n e r g ye s t i m a t e ，w ep r o v et h er e l a x e dc o n t r o lm e t h o di sf i tf o ro u rp r o b l e m a n dg a i nt h ep o n t r y a g i n sm a x i m u mp r i n c i p l e i nt h es e c o n ds e c t i o n ，b yu s i n gr e l a x e d c o n t r o l sw ep r o v et h ee x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c er e s u l t so fac l a s so fo p t i m a lc o n t r o l p r o b l e m s k e yw o r d s ：e l l i p t i ct y p ee q u a t i o n ；m u l t i - s o l u t i o n ；o p t i m a lc o n t r o l ；v a r i a t i o n a l i n q u a l i t y ；p o n t r y a g i n sm a x i m u mp r i n c i p l e ；e x i s t e n c e ；n o n e x i s t e n c e ；r e l a x e dc o n t r o l s i i i 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本入在导师指导下独立进行研究工作所 取得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过舱研究成采。对本入的研究徽出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：刍攀篷一日期；塑丘厶l 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 舨，允许论文被查阕和借澜。本人授权东北师范大学可以采用影印、缩翻或其它 复制手段保存、汇编本学位论文。同意将本学位论文收录到中囡优秀博硕士学 位论文全文数据库( 中国学术麓刊( 光盘舨) 电子杂志社) 、中国学位论文全 文数据库( 中国科学技术信息研究所) 等数据库中，并以电子出版物形式出版 发行和提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：趣 日期：独差，苴 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名：窒金 e l 期：z 雄瓢泣 电话： 邮编： 畚就师范大学搏圭学位论文 第一章引言 认识秘改造鸯然是人类进化发展中两类最基本的活动按照数学的观点，广 义地讲，认识世界是数学建模问题，改造世界是控制问题，而“多块好眢地改造 世界则是最优控制问题因此控制问题和最优控制问题几乎是无处不在的 皇上世纪五十年代最优控耩这门学科诞生至今，其理论的研究已经取得了 突破性的进展早在上世纪五十年代，人们主要讨论集中参数系统( 即常微分方 程支配的系统) 的最傀控制阕题，这个时裳的代表人物是p o n t r y a g i n 帮毽酶学生 b o l t y a n s k i i 、g a m k r e l i d z e 以及m i 8 h d 姗k o 【l 】通过坚持不懈的努力，最终证明了 p o n t r y a g i n 最大值原理，利用这个原理可以从有限维系统申确定最优控制，他们的 研究成果体现了纯粹数学与实际应用、抽象理论与具体问题的完美结合然而这 个结果并没有很快推广到分布参数系统( 即偏微分方程支配的系统) 一直到上世 纪六十年代，j l 毛i o n s 弦3 1 才将集中参数系统盼结果完整遣推广到分布参数情形 八十年代起，李训经教授【4 7 】及h 0 f a t t o r i n i 教授 8 - 1 5 】陆续讨论了带有状态约 束酶发展鎏方程的最优控制阉题从九+ 年代起，人们开始研究边僮闻题 一般来说在控制问题中有两类变量，即状态变量和控制变量控制变量就是 在某一变化范围内人为能够控制的量，薅状态变量是依赖于控制变量的受控对象。 我们来看一个简单的例子，考虑一辆沿直线行驶的汽车，在任意时刻汽车的状态 可由两个因素决定，汽车所走过的路程8 和速度执这两个因素随着驾驶者增加 和降低发动祝的动力罗而瞬时改变。那么在这个镊子中，嚣张彭就是状态变量，丽 f 则是控制变量通常人们希望选择某种意义下最优的方式( 比如希望时间最短， 或者油料最省) 来到达指定的巨酶地，这样最优控裁问题就产生了。 在用数学方式描述的最优控制问题中，受控对象往往是一个动态方程，可以 是( 离散时间的) 差分方程、常微分方程或者积分方程，也可以是随机微分方程或 偏微分方程，甚至可以是上述一些方程的耦合组另外还有一个评价控制作用好 坏的性能指标，控制的目的是最小化或最大化这个性能指标。 在最优控制理论中人们主要研究两类闻题：最优控制的存在性以及最优控制 所满足的必要条件，即p o n t r y a g i n s 最大值原理 1 东北师范大学博士学位论文 现在我们考虑一个由偏微分方程所支配的典型的最优控制问题【3 】 ( i ) 控制变量p 属于容许控制集甜 ( i i ) 状态变量u = u ( p ) 是下列方程的解，即 c t 正= ，( 乱，p ) ， 这里c 是一个已知的偏微分算子 ( i i i ) 设，( p ) 是由u ( z ) 和p 所定义的指标泛函，目标是在容许控制集甜中选 取适当的控制使泛函j 达到极小即寻找矿翻使得 j ( 矿) 2 璐j ( p ) 通常按如下步骤来研究这个最优控制问题首先，如果状态方程是非线性的， 那么可先来证明解的存在性，然后再在适当的解空间中建立能量估计，这样就可 以采用标准的极小化序列方法来证明最优控制矿的存在性下一步就是确定最 优控制矿所满足的必要条件为了获得这个必要条件，指标泛函j 关于控制p 必 须是可微的我们来求j 关于卢沿方向量的g 一导数，也就是计算 l i m 之! 壁：丝二! 盟 s + o +e 由于指标泛函j 可能包含状态钍，因此u 关于控制p 必须是可微的差商 乱( p + + z ) 一牡( p + ) 应该在一个适当的空间中收敛于某一个函数妒，而妒满足一个线性偏微分方程， 我们称之为变分方程那么变分方程的对偶方程也随之确定最后通过分析指标 泛函并利用状态方程与对偶方程的关系，以及选取合适的方向2 就可以得到最优 控制矿所满足的必要条件 关于椭圆型方程和抛物型方程所支配的最优控制问题，已经被很多学者广泛 研究过，并取得了丰硕的研究成果读者可参见李训经和雍炯敏【1 6 1 ，b 甜b u 1 7 1 ， l a s i e c k a 等【1 8 1 ，c l a u r k e 【1 9 1 ，n e i t t a a n m a k i 等【2 0 】这些著作以及文献 2 1 - 3 9 1 不过在已 有的结果中，作者大多讨论状态方程解唯一的情形 2 畚就辣范大学博士学位论文 在这种情形下，状态变量关于控制变量是连续的，于是按照上匾讨论的过程 通过对控制做凸变分或者针状变分就可以得到最优控制所满足的必要条件 本文主要研究几类多解椭圆型方程的最优对所满足的必要条件因为在实际 生活中，确实有很多描述具体现象的状态方程的解不是唯一的( 鄹状态方程是不 适定的) 比如分歧现象、酶反应现象、等离子体物理学中的一些现象等等4 1 i 可能产生多解现象，是椭圆型方程边馕起题皇身戆特点，是椭圆蛩方程与抛物型 方程的根本区别除了以上的实际背景，这也是我们感兴趣于多解系统支配的最 优控制问题的重要原因， 在数学理论中，讨论这种多解方程的最优控制问题会遇到本质的困难，因为在 多解系统中，状态变基关于控制变量不具有连续相依性，因此如果想得到最优对所 满是的必要条件，本质上是求一个不连续泛函的极值点的必要条件鉴于多解闯题 的困难性，这方面的研究成果还不是很多不适定控制问题最早是由j l l i o n 8 【4 2 l 提出的，薏来国乡 学者c a s a s 和8 0 髓娜矧、c a s a s 等酬、a b e r g e l 等嘲以及高 夯4 7 1 、汪更生【骢驯和王丽娟f 5 l 】等国内学者相继讨论了带有状态约束的更一 般的不适定控制闻题。为了克服多解带来的困难，他们主要是采用惩罚方法，即针 对原问题，构造一个适定的惩罚问题，然后证明惩罚问题解的存在性以及其满足 的必要条件，最后再通过取极限的过程就可以得到原问题最优对所满足的必要条 件，显然，采用这种惩磊方法，为了保诞惩罚问题解的存在性，通常需要假设凸性 条件，即控制区域及指标泛函关于控制变量都是凸的 若在非睦情形下考虑多解阕题是一个极大的挑战，需要克服的最大困难燕惩 罚问题可能无解基于多解、非凸这双重困难性，这类问题的结果极少见本文首 次采用了松弛控制方法，在鼍s 凸情形下研究了两类多解系统的最优控制问题，证 明了p o n t r y a g i n s 最大值原理在克服退化系统( 解唯) 的困难时，松弛控制方 法已经被证明是一个有效的工具，但是在多解问题中，这是一个全新的尝试 我们先来分绍凇弛控铺”这一名称的由来，后面结合具体的阅题再来解释 松弛控制方法如何应用于我们的问题 松莞控制源予y o u n g 5 2 一湖鲍广义越线概念匿蔫由峨强a 藏e 碉所定名鲍 “松弛控制”已为控制论方向的数学工作者广泛使用 3 东北师范大学博士学位论文 这一概念与在某些文献中出现过的“滑行态【吲，“广义控制”【5 7 1 、“松弛曲 线侧和广义曲线【5 2 一删具有大致相同的含义 广义曲线出现于上世纪三十年代，是以y o u n g 和m c s h a n e 为代表的学派为了 研究经典变分问题而引入的到六十年代，在广义函数论和测度论发展的基础上， w a r g e 、g a m k r e l i d z e 和m c s h a n e 的工作使得这一概念更加容易理解，“松弛控制” 这一名称也得到了广泛的认可和接受 全文共分三部分在第一部分即本文的第二章、第三章中，我们主要讨论了凸 性条件下边界最优控制问题 在第二章中，我们考虑了由如下边值问题 f 一= ，( z ，y ) 在q 内 t 瓦o y 均：让在r 上 o j 和指标泛函 地问= 三上( 剪刊2d x + 三上让2 d a ( 1 2 ) 所定义的最优控制问题，目的是想讨论最优对所满足的必要条件这里牡是边界 控制，y 是状态变量，a 己。( r ) 并且具有正下界，控制区域u 是闭区间，而容许控 制集“定义为 甜三 札：r ul 乱可测】- 非线性项，满足 i 厶( z ，耖) i l ，v ( z ，y ) q r 由于，关于状态变量y 没有单调性条件，因此状态方程( 1 1 ) 可能产生多解 现象，于是y 关于乱不具有连续相依性即控制序列七在某种意义下收敛于仳，而 对应的状态y k 不一定收敛于秒( 如果状态方程的解唯一，那么y k 一定收敛于) ， 所以我们不能直接对原问题做变分为了克服连续相依性的缺失带来的困难，我 们采用了惩罚方法 我们构造了如下惩罚问题首先考虑系统 fw + l 一1 ( 一a w 一，( z ，叫) ) = 口在q 内， t 瓦o w ：乱 在r 上， o 名 寨毒艺耀范犬学博士学位论文 球m 竺筠1 ：二拶1 妒如4 ，壶小耐玉+ 丢序叫2 觑 卜“ t 瓦o w 十a 伽= 锃 在r 上 喾剿1 聃撒玎州耻。裟 z 。w 2 打+ 上l v 1 2 如+ 上( 厶一0 1 矗c z ，娩+ r w ) d t ) w 2 如= 。 去点( 伽叫2 如 衰恕薅燕大学游士学位论文 在第三章申，我们考虑了如下非线性边界阉题 f 一秽十y = 0在q 内 t 赛蜊谚：珏在f 上 o 5 以及指标泛函( 1 2 ) 容许掇制集“如前面定义 基予对菲线性边界磺，鳆假设( 觅第三章k 阕题( 1 5 ) 至少骞三个嚣我们仍 然采用惩罚方法来证明最优对满是的必要条件 与第二章方法不同的是我们考虑如下惩锶系统 f 一蓼十y = 0 在q 离， t 磊o y 。m 在f 上， o 庵 这里控制( 钍，钉) 材l 2 ( r ) 我们注意到通过弓l 迸新的控制函数移而使原来的菲 线性问题转化成一个线性问题，( 1 。的解岛然是唯一的，这样构造惩罚系统的方 式与( 羔3 ) 毙起来更壹麓，雯加方寝计算。之后再考虑类似熏莲) 的惩霸泛麟 五( 铭，t ，) 一j lf a ( y u ，静一蚴) 2 如+ 三上铭2 如+ 孬1z 扣+ ，( 。) 2 鼢 + 主序州掰括+ 主z 旷妒妇， 这里羝，豁是1 6 ) 瓣应予 ，妨懿鲰邪么在惩罚饔 去二 + f ( y u ，t ，) ) 2 如 前俸薅下掰膏惩橱闻瑟嚣解在适尝翦空阕收敛于捂，妨，这样在惩罚闻越静毹新 满足的必要条件中取极限就可以得到原问题最优对( 雪，甄) 的必要条件 在本文嚣第二部分鄂第四章孛，我衡在非照情形下讨论了一类吴有无穷多个 解的常微分方程的最优控制问题具体地说，控制区域和指标泛函关于控制变量 都可熊菲趣。在这种情形下，舞果仍象翦薅章一样直接考虑蒙麓题靛惩罚闽题，那 么惩罚问题可能无解，因为凸性条件直接影响最优控制的存在性为了克服这个 困难，我们首次采用了松弛控制方法 松弛控制空翔冗，简单的说就是取值予概率溯度空间的可测函数的全体( _ 要 体定义见第四章) 那么e l l 松弛理论可知冗是黯紧集f 5 9 1 客套乏翔范大学博圭学位论文 这样如果我们先对原问题进行松弛化处理，即考虑松弛控制仃( 霓中的元素) 所支配的松弛系统以及松弛的指标泛瓯那么容许控制集以及指标泛函关予控制 变量都是凸的因此松弛方法本质上是一种凸化方法，这就是松弛方法的最大优 点然后若考虑松弛的惩罚闻题，那么该惩罚闰题有解，具体的松弛过程如蕾 首先我们考虑两点边值问题 碧 。 + 嚣? = 程彩t e o ，霄) ， ( 1 7 ) iz ( o ) = z ( ”) = 0 卜“7 设u cr 是一个蘩集( 可能非凸) ， “基 让：( o ，丌) _ l 钍可测 ， 且u 使得 h a d 兰酬z 丌s 逾t u c t ) d r = o ) 非空。显然( 1 7 ) 有无穷多个解指标泛函定义如下 了( 茹，u ) = f ，( 亡，g ( ) ，u ( t ) ) d t +( 1 8 ) 通过前面的分析，我们首先对原问题进行松弛化，考虑如下松弛问题 善嚣十始= 石粥( 如) 挺溉霄) ( 1 9 ) 【z 口( o ) 一刀盯( 7 r ) 一0 以及 j ( x a ，a ) = z 丌上弛础加m t ) ( d v ) d t ，( 1 1 0 ) 这里松弛控崩萨冗。我们注意到戴时不仅松驰控制集瓮是凸集，丽且松弛泛函 ，( z 。，盯) 关于盯也是凸的因此松弛问题( 1 9 ) ，( 1 1 0 ) 是一个凸化问题同时我们也 可以把髓踞等同予d i r a c 测度值函数赴，丽巍宠。这样酲可以嵌入到冗，并且 当盯= 氏时有z 伊一z 以及s ( x 盯，仃) = ，( z ，钍) 这样符号j ( x 仃，仃) 不会引起任何麻 烦 最后我们仍然按照第三章的方法，通过引进新的控制量而考虑一个松弛的惩 罚系统以及惩罚泛函，那么这个松弛的惩罚问题一定有解 东北师范大学博士学位论文 但是采用松弛方法，我们需要克服另外一个困难，那就是需要证明松弛问题 ( 1 9 ) ，( 1 1 0 ) 与原问题( 1 7 ) ，( 1 8 ) 的下确界相等，只有这两个问题的下确界相等松 弛方法才适用于我们的问题为了保证两个问题的下确界相等，我们充分利用了 边值问题( 1 7 ) 解的特点( 细节见第四章) 在克服了所有的困难之后，我们得到了 原问题最优对所满足的p o n t r y a g i n s 最大值原理 最后，在本文的第三部分即第五章中，我们考虑了两个问题首先在第一节考 虑了非凸情形下一类只有两个解的椭圆型方程的最优控制问题，同样采用松弛控 制方法证明了p o n t r y a g i n s 最大值原理 确切地说，考虑如下系统 一x y = a 旷+ u 在q 内 可 0在q 内( 1 1 1 ) y = 0在r 上 以及指标泛函 j ( y ，u ) = x , y , u ) 出( 1 1 2 ) 控制区域ucr + 是一个紧集( 可能非凸) ，容许控制集“定义为 “三 让：q _ u i u 可测) 同第四章一样，我们先对原问题松弛化考虑 一k y = a 矿+ 上叫州删在q 内 y 0在q 内 ( 1 1 3 ) y = 0在r 上 和松弛泛函 j ( y a ，盯) = d x ，( z ，y a ，钉) 仃( z ) ( d 口) ， ( 1 1 4 ) - ，q，矿 这里y a 是( 1 1 3 ) 的解 为了证明松弛问题( 1 1 3 ) ，( 1 1 4 ) 与原问题( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) 的下确界相等，我们 对状态方程( 1 1 1 ) 的解进行了充分的分析 8 东寇糅范大学博士学位论文 f 一材= 上w ( 茹) ( 幽) + 9 在q 内， 在q 内，(115y 0 ) 在q 斑， t j 文叽鳓2 + 上去d x 上i 国vf r ( a x 鲢 y q ， 严g 如v ) a + ( x 三) ( z d v 国) 一a 矿严妇， c 1 t 6 ， + 去上国一a 鲢，) 2 如+ 三z 国一a 矿) 2 妇， p “叫 一x y 吖妇) + 钍在蚋 ( 1 1 7 ) 1 ：o 在f 上 ju 东北师范大学博士学位论文 其中a ，b ，c 是常数 对，的假设条件( 见第五章) 保证( 1 1 7 ) 存在唯一解，我们的目标是证明在不 同条件下问题( 1 1 7 ) ，( 1 1 8 ) 的最优控制是否存在 复旦大学楼红卫教授讨论了f 三0 的情形，给出了a ，b ，c 取不同值的情 形下最优控制是否存在的结果我们主要是关心非线性项，对存在性结果的影 响，得到的结果表明，对最优控制是否存在的影响很大 我们采用同样的松弛控制方法，通过分析最优松弛控制的支集进而得出 了原问题最优控制是否存在的结果 1 0 东北师范大学博士学位论文 第二章一类半线性多解椭圆型方程的最优边界控制问题 在本章中，我们研究如下半线性椭圆型方程 f - a y = ，( z ，y ) 在q 内 i 瓦o y + 口可= 钍在f 上 支配的最优控制问题在控制区域及指标泛函具有凸性条件下，通过构造相应的 惩罚问题并取极限，我们以变分不等式的形式给出了原始问题最优对所满足的必 要条件 2 1问题的提出及主要结果 我们考虑如下椭圆型方程的边值问题 f - - a y = ，( 。，y ) 在q 内， t 瓦o y 均：乱在r 上i q j 这里q 是舻= 1 ，2 ) 中的有界区域且边界r 充分光滑，是边界r 上单位外法 向量，函数a l 。0 ( r ) 并且有正下界进一步，z 是自变量，y 是状态变量，而u 是 边界控制函数 下面我们给出假设条件： ( a 1 ) 控制区域u 是闭区间，而容许控制集定义为 玩d 兰 u ：f uu 可测) ( a 2 ) f ：q r _ r 满足：，( ，y ) 在q 上可测，( ，0 ) l 2 ( q ) 并且力( z ，) c ( r ) ，同时存在l 0 使得 厶( z ，剪) i l 对任意( x ，y ) qxr 成立( 2 2 ) 我们注意到，由于常数l 可能大于入1 ( 入1 是一算子带有r o b i n 边界条件的 第一特征值) ，因此( 2 1 ) 的解可能不唯一 东北师范大学博士学位论文 a = ( 可，札) iy h 1 ( q ) ，u 己屯d ，( y ，u ) 满足( 2 1 ) ) 如果( 可，u ) a ，则称( 可，u ) 为容许对 在4 上定义如下的指标泛函 抱问= 互1 上( 秒刊2 如+ 丢z 乱2 纸 其中目标函数y d l 2 ( q ) 已知 则最优控制问题可以陈述如下： ( p ) 寻找( 雪，面) a 使得 j ( 雪，面) = i n f j ( y ，“) i ( ，u ) 4 ) 问题( p ) 的解被称为最优对，而称面为最优控制，雪为最优状态 本文所要研究的问题是：如果( 雪，面) 是最优对，那么它满足什么条件? 我们得到了如下的主要结果： 定理2 1假设( a 1 ) 和( a 2 ) 成立若( 雪，霞) 是问题( p ) 的最优对并且满足 厶( z ，雪) a 1 ，则存在函数妒h 1 ( q ) 满足 誊凳勐归沪黝裂 3 ， i 筹侧= o 在r 上 瞄。 使得下面的变分不等式 z ( 面+ 训仳一面) 打。 ( 2 4 ) 对于任意珏成立 现在我们给出一个例子，这个例子表明通过选取适当的目标函数抛，条件 厶( z ，雪) 入1 是可以满足的例如，我们选取 ，( z ，秒) = 一e 一( z 2 + ”2 ) ，v ( z ，可) q r ， 则 厶( z ，! ，) = 2 y e 一( $ 2 + 可2 ) ，v ( z ，可) q r 客北赧范大学搏士学位论文 不难看出如上定义的函数，满足( a p 2 ) 中的所有条件。进一步，如果我们假设y d 是负的，并且它的绝对值充分大，那么为了充分接近目标，雪一定是负函数，这样就 满足了条件厶( z ，9 ) sa 1 事实上，这个条件保证了问题( 2 3 ) 的解是唯一的，这样 我们可以从必要条件( 2 4 ) 中确定最傀控制羲，也就是说，我嚣j 得弱了一个有效的 必要条件 2 2惩弱问题的构造 我嚣l 考虑燕下系统 fw - t - 五一1 ( - a w 一， ，伽) ) 一t ，在q 内， t 筹佃：鞑 在吐 石 这里控制函数( 让，u ) 阮d l 2 ( q ) ，工0 在( 2 2 ) 中给出 为方便，我们在下文中记器兰b r a d l 2 ( q ) 。 首先我们给出问题( 2 5 ) 的解的定义 定义2 2 函数w h 1 ( q ) 被称为2 5 ) 的解，如果 9 fv w - v 妒如+ 上( 五伽一，( 茁，训) ) 妒如 + z 黝妒鼢= z 婶鼢+ 9 f l 髟妒缸 对任意妒h 1 ( q ) 成立。 注意刘( 2 5 ) 可以转化成以下形式： f a w 一，( z ，w ) 一l w - t - l v 在q 内， 娑：- a ? m - t - 勘 在r 上。 t 瓦2 勘在i 上 由( a 2 ) 知矗( z ，w ) 一l 0 ，而函数a 有正下界，因此由文献 1 6 1 ( 第2 0 9 页) 中的命 题7 1 可知( 2 5 ) 存在唯一解，即有下面的命题成立。 命题2 。3 【1 6 】假设( a 1 ) 和( a 2 ) 成立，则对于任意( u ， ) 召，( 2 5 ) 存在唯一解 w h 1 ) nc 8 ( f i ) ( 0 0 ，问题( r ) 至少存在一个 。脚五( 仳知，v k ) = 肚 以u ，v ) l ( u ，口) 召) 片+ 十o o 。 从五的定义可以看出，对任意k ，都存在不依赖于k 的常数c 使得l l 魄怯( q ) d 对任意k 成立设w k 是( 2 5 ) 对应于( u k ，) 的解，那么( 2 6 ) 式意味着 因此，存在子列 叫) c 伽凫， 牡) c 札七) ， 口) c 口知) 以及函数毗 东北师范大学博士学位论文 因为h 1 ( q ) nc n ( q ) 紧嵌入于c ( q ) 中1 6 1 j 首先，因为控制区域u 是凸紧集，我们有啦 其次，对任意妒h 1 ( q ) ，我们有 上v 桃v 妒如+ z ( 厶魄一，( z ，伽e ) ) 妒如+ z 伽s 妒打 = 士巴( 上v 叫缸v 妒如+ f n ( l w k , - - ，( z ，训础) 妒如 + z 毗妒打) c 2 。， = 蕊( 妒鼢+ z 蝴d z ) = z 毗妒曲+ z l 妒出 也就是说，w 。是( 2 5 ) 对应于( 魄，v e ) 的解 最后，以的凸性以及连续性蕴含着它的弱下半连续性，因此很容易证明( u 。，v e ) 是问题( p 。) 的解证毕 下面我们给出一个重要的逼近引理 引理2 5 如果( a 1 ) 和( a 2 ) 成立，设( ，) 满足( 2 8 ) 以及眺是( 2 5 ) 对应 于( u 。，) 的解，则 o = 。粤鲁| | 魄一雪1 1 日- ( q ) n c a ( q ) 2 。粤爵f i 一面i i l 。( r ) 2 。l 。i m o 十i | 一雪| | l 2 ( q ) 证明首先从不等式 五( ，) 五伍，雪) = j ( 雪，面) ，( 2 1 0 ) 我们知道存在一个常数c 0 不依赖于使得1 1 i l l 。( q ) d 除此以为，我们有 | i “。| i p ( r ) c 这样，由( 2 6 ) 可知 w e i l 9 1 ( q ) n 伊( 而) d 相似于引理2 4 证明中的讨论，一定存在着函数西h 1 ( q ) i 1c a ( q ) ，砬 1 5 以及台( 5 2 ) 便得 伽。一西弱于日1 ( q ) nc 8 ( q ) ，强于c ( q ) _ 色弱宰于l o o ( f ) u 。一0 弱于l 2 ( q ) 当- o + 时成立并且采用类似的方法可以证明( 西，( 缸，心) ) 满足( 2 5 ) 另一方面，五中的惩罚项 去上( 伽叫2 如 蕴含着。1 i r a 0 + l i 眦一魄怯( n ) 2o 因此有 l i 西一训l 2 ( n ) 。l _ i r a o 十| i 一西i i l 2 ( q ) 。1 i r a 。+ l l v s 一训l 。c a ) + 。l 。i m 。+ i i 伽e 一吡2 ( 锄5 o 即而：番利用这个等式以及( 2 5 ) 解的唯一陛，我们可以看出 ，满足( 2 1 ) 由 于五是弱下半连续的，再利用( 2 1 0 ) 式我们可以得到 j ( 雷，面)l i r a s u p 以( u e ，魄) s ，o + 紫( 壶上( 饥刊2 如+ 壶上d 盯 + 三i i 一可- l l l 2 。( q ) + 丢i i 札。一面i | 2 。( r ) ) ( 2 1 1 ) 邢，砬) + 刚l i r a + ( 割蚓i 羔。( q ) + 互1 s 刊1 2 。( r ) ) ，( 密，色) + 去i i 。一可- 1 1 2 l ：( q ) + 三i i _ a 一面l l 羔。( r ) 又有( 雪，面) 是问题( p ) 的最优对，因此( 2 1 1 ) 意味着。= 委以及色= 面于是，我们有 西= o = 雪注意到利用( 2 1 1 ) 还可以得到 e 1 i m 。十恢一跳2 ( q ) - e l 。i m o + 恢一面i l l 2 ( r ) - o 最后再由( 2 6 ) 式就可以得到 l 。i r a 。+ 1 1 一训日1 ( q ) n c n ( n ) 5 o 这样，我们就证明了引理2 5 东北师范大学博士学位论文 2 3 变分不等式的证明 为了证明定理2 1 ，我们需要首先讨论惩罚问题( p ) 的最优控制所满足的必 要条件 设( t ，v ) b ，p ( 0 ，1 ) ，我们令 孔p = 魄+ p ( 也一u g ) 在r 上 ( 2 1 2 ) 以及 = 魄+ p ( v 一) 在q 内， ( 2 1 3 ) 那么显然( 乱p ，v p ) b 为了得到( 缸。，u 。) 所满足的必要条件，我们先给出一些准备性结果。 引理2 6 设u p 和w e 分别是( 2 。5 ) 对应于( 郇，t l p ) 和( ，) 的解，则存在常 数c 0 不依赖于p 使得 l i 叫p 一伽。1 1 日1 ( n ) n c 。( q ) c p c 1 u 一毗i i 工2 ( r ) + 三i | 口一i i l 2 ( q ) ) ( 2 1 4 ) 证明由( 2 5 ) 可以看出 j ? 邮一魄) + 郎( 唧一魄) = 以铷一帕在q 内， ( 2 1 5 ) t 嘉一m ( 2 p - - 均砷一 在r 上， _ j 叫 这里 吻( z ) = 一厶( z ，戮+ r ( w p 一魄) ) 机 z q ( 2 1 6 ) 而且由( 2 2 ) 我们有a p 0 并且 l o p j 陋+ l 矗( z ，w e + 7 ( 唧一挑) ) i 】d r 2 l ， 因此a p 三”( q ) 这样，结合( 2 6 ) ，( 2 1 2 ) 以及( 2 1 3 ) 式即可得到( 2 1 4 ) 引理2 6 证毕 ( 2 1 7 ) 内上 q r 在在 一口 ! ! 狮 飞 ” = 珏 足 铅 = 满k 琵 + 俨 越万 汀，i【 q日 名 没 在 现 东北师范大学博士学位论文 b e ( z ) = l 一厶( z ，w ) ，z q ( 2 1 8 ) 引理2 7 存在函数r o h 1 ( q ) n c n ( q ) 使得 w p = w e + p z e4 - r p 于q ， ( 2 1 9 ) 并且 | i 印f 1 日1 ( a ) n c a ( 磊) = o c p ) 证明我们令矿= ：( 郇一w e ) ，则由( 2 1 5 ) 一( 2 1 t ) 可知 i 0 5 吃) + 即0 5 吃) - 愀哪p ) 枷内， ( 2 2 0 ) t 品叫+ 0 ( 舡施) - o 在r 上， 佯。w 这里a p 和k 分别由( 2 1 6 ) 和( 2 1 8 ) 给出 令 于是( 2 2 0 ) 意味着 丢l l r p l l 州q 啦) = l l z e - - 名慨叩g 啦) _ 0 使得对任意y r i ，7 ( 可) i l 为介绍( 3 1 ) 的多解性结果，我们首先给出( 3 1 ) 的解以及上下解的定义 定义3 1 函数y h 1 ( q ) 被称为( 3 1 ) 的解( 弱解) ，如果 上v 可