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独创性声明 i rrl lfi ii ir ll lrl fliii y 17 4 0 2 2 5 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名： 蹶吲。移咱日 论文使用授权 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：翩虢业 导师签名：刍，。竺匕 日期：年 月日 j， 摘要 摘要 符号模式矩阵的研究起源于研究线性系统的符号稳定性与符号可解性，是由 p a s a m u e l s o n 在他的著作( f o u n d a t i o n so fe c o n o m i ca n a l y s i s ) 中首先提的 r a b r u a l d i 和b l s h a d e r 的专著( 文献1 ) ( m a t r i c e so fs i g n - s o l v a b l el i n e a r s y s t e m s ) 总结了到1 9 9 5 年为止符号模式矩阵研究中所取得的主要成果。它给出 了许多新的结论，从而使符号矩阵理论成为组合数学的一个新兴研究热点。本文 主要分为四章，主要讨论了符号模式矩阵的幂等、广义逆和谱任意性。 叙述了符号模式矩阵的研究历史和现状，同时介绍了一些基本定义和符号模 式矩阵的幂等、广义逆和惯量任意的相关结论。 讨论了一般符号模式矩阵的幂等性和广义逆。在总结了非负符号模式矩阵的 一些结论后，运用相类似的证明方法得到了一般符号模式矩阵的幂等和广义逆的 一些性质。 分析了谱任意的相关结论并给出了两类符号模式，然后运用幂零雅可比方法 证明了两类符号模式矩阵的谱任意性。 关键词：符号模式矩阵，幂等，广义逆，谱任意 一， 卅 - a b s t r a c t a bs t r a c t t h e o r i g i n o fs i g n p a t t e r nm a t r i x i sl i e si n s t u d yo fs i g n - s t a b i l i t y a n d s i g n s o l v a b i l i t y o fl i n e a r s y s t e m i t w a sf i r s t p r o p o s e db y p a s a m u e l s o ni n ( ( f o u n d a t i o n so fe c o n o m i ca n a l y s i s ) ) ，a n dm a i nr e s u l t sr e l a t e di tb e f o r e19 9 5w a s s u m m a r i z e di n ( ( m a t r i c e so fs i g n s o l v a b i l i t yo fl i n e a rs y s t e m ) ) b yr a b m a l d ia n d b l s h a d e r i tg i v e sal o to f n e wc o n c l u s i o n ，s ot h a ts i g np a t t e r nm a t r i c e sb e c o m ean e w r e s e a r c hf o c u si nc o m b i n a t i o n a lm a t h e m a t i c s t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t of o u r c h a p t e r s ，i t m a i n l yd i s c u s s e di d e m p o t e n t ，g e n e r a l i z e di n v e r s e sa n ds p e c t r a l l ya r b i t r a r yo fs i g n p a t t e r nm a t r i x t h ea u t h o rm a i n l yi n t r o d u c e st h eh i s t o r yo fd e v e l o p m e n ta n dr e s e a r c hs t a t u so f s i g np a r e r nm a t r i x s i m u l t a n e o u s l y , t h ea u t h o ra l s oi n t r o d u c es o m eb a s i cd e f i n i t i o n s ， r e l e v a n tc o n c l u s i o n sa r ei n t r o d u c e da b o u t i d e m p o t e n t ，g e n e r a l i z e di n v e r s e sa n d s p e c t r a l l ya r b i t r a r yo fs i g np a t t e r nm a t r i x id i s c u s si d e m p o t e n t ，g e n e r a l i z e di n v e r s e so fg e n e r a ls i g np a t t e r nm a t r i x a f t e r c o n c l u d et h en o n - n e g a t i v es i g np a t t e r nm a t r i xo fan u m b e ro f f i n d i n g s ，t h e niu s es i m i l a r p r o v e dm e t h o d st og e ts o m en a t u r e so ft h eg e n e r a ls i g ni d e m p o t e n tp a t t e r nm a t r i xa n d g e n e r a l i z e di n v e r s e s ia n a l y s es o m ec o n c l u s i o n so fs p e c t r u ma r b i t r a r ya n dg i v et w os i g np a t t e r n s t h e ni p r o v et w oc l a s s e ss i g np a t t e r nm a t r i xt h a ta r es p e c t r a l l ya r b i t r a r yu s i n gn i l p o t e n t j a c o b i m e t h o d k e yw o r d s ：s i g np a t t e r nm a t r i x ，i d e m p o t e n t ，g e n e r a l i z e di n v e r s e s ，s p e c t r a l l ya r b i t r a r y l i 主要符号表 主要符号表 m 。( 尺) 表示全体n 阶实矩阵的集合 q 表示全体n 阶符号模式矩阵的集合 o ( a ) 表示由矩阵a ( 实矩阵或符号模式矩阵) 所决定的定性矩阵类 s g n ( a ) 表示矩阵彳对应的符号模式矩阵 六( 五) 表示实矩阵么的特征多项式 盯( b ) 表示实矩阵b 的所有特征值集合 f ( 彳) 表示矩阵a 的惯量 i i i 目录 目录 第一章绪论1 1 1 符号模式矩阵得发展概述1 1 2 一般矩阵的有关概念2 1 3 符号模式矩阵中的一些基本概念3 i 4 符号模式矩阵的幂等、广义逆和最小秩分解5 1 4 1 符号模式矩阵的幂等和最小秩的相关概念5 1 4 2 符号模式矩阵幂等，广义逆和最小秩分解相关结论6 1 5 符号模式矩阵的谱、惯量8 1 5 1 符号模式矩阵的谱、惯量定义及相关性质8 1 5 2 符号模式矩阵谱，惯量相关相关结论9 1 6 本文的主要结论1 4 第二章符号幂等矩阵和广义逆1 5 2 1 符号幂等矩阵的一个等价形式1 5 2 2 广义逆和最小秩分解1 8 第三章两类谱任意模式2 2 3 1 一类谱任意符号模式矩阵2 2 3 2 另一类谱任意符号模式矩阵2 6 第四章结论3 l 致谢3 2 参考文献3 3 攻硕期间主要成果3 8 一 第一章绪论 第一章绪论 1 1 符号模式矩阵得发展概述 符号模式矩阵是组合矩阵论中当前国际上十分活跃的一个研究课题，其重要 原因之一是它在经济学、生物学、化学、社会学、计算机科学等众多学科中具有 广泛的实际应用背景符号模式矩阵的研究起源于研究线性动力系统的符号可解 性与符号稳定性，是由诺贝尔经济学奖获得者p a s a m u e l s o n 在他的著作 ( f o u n d a t i o n so f e c o n o m i c a n a l y s i s ) 中首先提的。元素取自于集合 + ，一，0 或 l ， 一l ，0 ) 的矩阵，称为符号模式矩阵，简称为符号模式( s i g np a t t e r n ) 。对于给定实矩 阵a = ( 口，) ，由a 。的符号为元素组成的符号模式( s i g n ( a ，) ) 称为a 的符号模式，记 为s i g n ( 彳夕。若a 是一个m n 实矩阵，则同样可以决定一个定性矩阵类q ( a ) = b l b 为m 、n 实矩阵，且s g n b = s g n a ) 。 符号模式矩阵主要研究符号模式矩阵或实矩阵所确定的定性矩阵类的组合性 质，即研究实矩阵所具有的仅与其符号有关而与元素的数量大小无关的组合性质， 其主要研究内容涉及线性方程组的符号可解性、符号稳定性以及具有特定性质的 符号模式矩阵类的组合性质，它与图论、组合矩阵论、矩阵分析、常微分方程、 算法理论和经济学有密切联系。许多国际知名的数学家如r a b m a l d i 、v k l e e 、 c r j o h n s o n 、j s m a y b e e 、c a e s c h e n b a c h 、c j e f f r i e s 等在这一研究领域都有重要 贡献。19 9 5 年r a b m a l d i 和b l s h a d e r 的专著( 文献13 ) ( m a t r i c e so fs i g n s o l v a b l e l i n e a rs y s t e m s ) 总结了到1 9 9 5 年为止模式矩阵研究中所取得的主要成果，目前， 国内在这方面的研究尚处于起步阶段，但部分工作已处于国际领先水平，特别是 同济大学的邵嘉裕教授 1 9 8 7 年，c e s c h e n b a c h 在c r j o h n s o n 的指导下引出并研究了符号模式允许和强 迫某种实矩阵的性质，c e s c h e nb a c h ，eh a l l 和李忠善及他们所在的g e o r g i a 步h 立 大学的同行们对符号模式矩阵的诸多性质进行了研究，并从实符号模式推广到复 符号模式及射线型符号模式( 见文献 1 4 - - 2 4 ) 。我国对符号模式矩阵的研究起步 比较晚，而且研究的人也不多；近几年，同济大学的邵嘉裕教授在这方面作了许 多工作，得出很多国际上比较关注的结论，特别是对符号广义逆的研究；另外， 电子科技大学硕士学位论文 中北大学的高玉斌教授，邵燕灵等对符号模式的惯量，k 一次幂等，允许对角化等 进行了研究。 所谓符号模式矩阵就是将所给的矩阵a 中的元素用相应的符号代替所得的矩 阵，我们将这类矩阵用q ( a ) 表示为： q ( a ) - - b l a o , = s 初( ) ，a o 为a 的元素，为一般矩阵召的元素 众所周知，一般实矩阵的研究起源于线性方程组的求解，从而符号模式矩阵 也同样来源于经济学中的一个符号可解的线性方程组，即对出= b 而言，仅知道a ， b 的元素符号能否确定出满足此方程组解的符号，这是一个符号可解的线性系统， 这个问题在1 9 9 5 年r a b r u a l d ia n db l s h a d e r 所写的符号可解的线性系统进行 了研究，并得到许多比较广泛的结果和结论。最初大多数的学者主要是针对来自 于实矩阵的符号模式进行研究，比如符号模式矩阵的奇异性，l 一矩阵，行符号矩 阵，符号模式矩阵的相似等。由于符号模式矩阵本身就是组合矩阵论的部分，所 以好多学者又把它与图论联系起来研究，比如最小秩，惯量等。 1 2 一般矩阵的有关概念 下面定义1 2 卜定义1 2 8 来源于参考文献 3 和 6 4 。 定义1 2 1 如果r l 阶实矩阵p 在它得每一行和每- - y u 上刚好只有一个元素等 于1 ，而其余所有元素都等于0 ，则称p 为置换矩阵。 定义1 2 2n 阶矩阵a r “，如果a 2 = a ，则称a 为幂等矩阵。 定义1 2 3 一个矩阵a r “是幂零的，是指对某个正整数k 有a 。= 0 。 定义1 2 4 设1 3 阶方阵a 0 ，如果存在一个置换矩阵p r “”，使得 脚r ：f 占c1 ， l 0 d 其中b 和d 分别是k ，1 阶方阵，k 1 和，1 ，则称彳是可约矩阵( r e d u c i b l em a t r i x ) ， 否则称矩阵a 为不可约矩阵( i r r e d u c i b l em a t r i x ) 。 显然不可约矩阵不可能有o 行和0 列。由此定义我们很容易得到，如果彳是n 阶 可约方阵，则存在n 阶置换矩阵只使得p a p r 有上三角块形式 2 则称矩阵g 为矩阵a 的m o o r e p e n r o s e 逆。 定义1 2 6 彳是n 阶实方阵，其特征多项式被定义为无( 五) = l 五e - a i 。 定理1 2 7 每个1 3 阶实矩阵在复数范围内都有n 个特征值( 重根按重数计) 。 显然，若将n 阶实矩阵么的特征值记为丑，五丸( 重根按重数计) ，那么 厶( 五) = ( 允一a ) ( 五一五) ( x - x ) 。 定义1 2 8 设a 是n 阶实矩阵，i ( a ) = ( s ，t ，) 表示实矩阵a 的惯量，其中s 表示具 有正实部的特征值的个数，t 表示具有负实部的特征值的个数，r 表示具有零实部 的特征值的个数。显然有s + t + ，= n 。 1 3 符号模式矩阵中的一些基本概念 关于符号模式矩阵间的各种运算，可参照实矩阵的通常运算方式，但应该注 意以下运算律： ( + ) ( + ) = + ，( 一) ( 一) = + ，( + ) ( 一) = ，( + ) + ( + ) = + ( + ) + ( ) = # ， ( ) + ( 一) = ，( + ) 一( + ) = # ( 其中# 表示不定元) 电子科技大学硕士学位论文 例如： ( ： ( ：二 = ( ：二) ；( ：呈) ( 二二) = ( ：二) 定义1 3 1 【l 】符号模式矩阵( s i g np a t t e r nm a t r i x ) 一个矩阵它的元素取自 + ， 一，0 ) 或 1 ，一1 ，o ) ，我们称这个矩阵为符号模式矩阵，对于实矩阵a ，s g n ( a ) 是 指符号模式矩阵它的元素取与矩阵的元素相对应的符号。 定义1 3 2 【1 】定性符号模式矩阵类( s i g np a t t e r nq u a l i t a t i v e ) 是一个m n 得符 号模式矩阵，我们用q ( 爿) 表示符号模式矩阵类a ，是指 q ( 力= b b 为m n 实矩阵，且s g n ( b ) = 栅： 定义1 3 3 【l 】子符号模式矩阵( s u b p a t t e mm a t r i x ) a 是指通过用0 代替符号 模式矩阵彳中的某些( 也许没有) 非零元素而得到的新的符号模式矩阵，称彳t 是彳 的子模式，我们记 0 o 假设 4 ，= 是一个n 阶实矩阵，其中i = l ，2 2 r 一2 ，2 r 甩时，q 0 且a 2 ，- l 0 ，则 以，q ( 形，) 。 从参考文献【9 】的定理3 1 ，我们可以得到如下引理： 引理3 1 1 【9 】当，3 ，2 r + 2 _ n 0 ；j = l ，2 3 r 一1 ，局 o 。假设 忍h ，= a l 10 0 一a l 01 0 一口2 0 011 ： 一a。ir00 0 一口，+ 1 0 。； 00。 i ； 一口2 川0 ； ； 。 一a 2 ，- l 0 ； ；i - a 2 ，0 。； ；：。o 一 ； 一吒，- 2 00 01 00 0 一a 3 ，一l 0 0l 是一个( 3 ，一1 ) ( 3 ，一1 ) 阶实矩阵，其中当i = 1 ，2 2 r - 2 ，2 r 3 r 一3 ，3 r 一1 ，a i 0 且 - - 2 r - 1 ，3 r - 2 ，a j o ，因为马一，q ( 墨，) 当且仅当c 岛一，q ( 岛川，) ，x nn 2 7 d e t ( x i - c b 3 ，吐，) = ，- 1 + 幽，2 + c 2 6 2 ，”3 + + c 3 3 6 3 ，一3 x 2 + c 3 2 6 3 ，一2 x + c 3 1 岛，一1 只需证明定理对( 6 l ，包，6 3 ，岛心，6 3 h ) 任意接近( o ，0 ，0 0 ，o ) 成立即可。考虑下 面实矩阵： b r - 1 ，= 一a l 1 一a l 0 一a 2 0 一a ，0 0 一a ，+ l 00 0o 一a 2 ，一2 0 - a 2 ，一i o - a 2 ， - a 3 r 一2 0 0 - a 3 r 一1 是- - + ( 3 r - 1 ) x ( 3 r - 1 ) 阶实矩阵，其中当扛1 ，2 2 r 一2 ，2 r 3 r 一3 ，3 r 一1 0 a f 0 且 = 2 r 一1 ，3 ，一2 ，a j o ，则忍h ，q ( 邑川，) 。由引理3 2 1 知b 一，的特征多项式 为 订一b 巾f 2 x 3 ，_ 1 + a i - a i _ 1 叫+ i k = 窆ra k - - a r _ ! 卜1 + 烈副飞接；以肛h + 隆引一 ，一2 i - + lq i = 1l 3 r - i q k = 2 r + f 3 r - 2 1 a r 一。p _ k = 2 r 一1 j q ) -q 一。k = ：2 r + i - i 口。( 1 f 芝r + i - i 口。) 一l f q 一。口。l 口。i 卜一1 一 l + a ，一l a 3 ，一l a 2 r 一1 一a r 一2 a 3 r 一2 a 2 r 一2 我们可以找正数口l ，口2 a 2 r - 2 口2 r a 3 ，3 ，a 3r - i f t t l f f t 数a 2 r - i 口3 ，- 2 满足： a i a t l 一岛= 0 ，1 i 厂一1 0 o；0 l 1 o o o 1 o o 0 川瑚 h 一 ，l ， qf ，艺吒 七= ，+ j 第三章两类谱任意模式 ，3 r 一2、 钆i 吼i 一6 ，+ f = o ，1 i r - 1 k = r + i - l 3 r - 1女一r 、 3 r - 2 i qi - - a r _ i 嘞 k = 2 r 、l = r k = 2 r - i 一6 2 ，= 0 (，篓，口，一q一。口。(艺。口，)一包，+，=。，lir-2k=2r+i-t=r+i- i ql 一l qi 一= o ， f = r + fl l a r _ l a 3 ，一l a 2 ，一l a r _ 2 a 3 ，一2 a 2 r 一2 6 3 r l = 0 ( 3 - 4 ) 如果4 ，是潜在幂零的，也就是2 j l = 么= 岛一= 6 3 h = o ，则上面( 3 4 ) 方程 的一个解为 a i 2 a 2 = a ，一l = 1 a r2 a r + l2 a 2 ，一22 a 2 r2 2 a 3 r 一32 a 3 ，一12 a 2 r - i2 a 3 ，一22r ( r - 1 ) a 三一，- 2 ( r - 2 ) a ，一。 2 ( 2 一r a ，川) 下面我们定义关于变l a ，口：，a ，川的函数 z = a f a 卜i ，1 i ，一1 3 r - i ，= a k a r 一。 k = r 厶= q i 毒3 r - i ，寸瞧吼) ，l i r - 1 五， z 州 ( 蓦 q ) k - r f = ，+ 4 、 3 r 一2 ，女一，、 a ti a i 一。吼l ql ，1 i 1 6 是否为谱任意的? 3 猜想2 ：当n 2 ，一个撇谱任意的符号模式矩阵至少有2 外非零元素。 4 目前关于惯量和谱的文章主要是针对一般模式的，能否更多涉及射线 式( r a yp a t t e r n ) 和复模式矩阵? 5 除了构造和幂零雅可比方法，能否寻找其它证明谱任意的方法? 3 l 电子科技大学硕士学位论文 致谢 本文是在我的导师黄廷祝教授精心指导下完成的。首先，我要衷心感谢一直 以来给予我无私帮助和关爱的老师们，特别是我的导师黄廷祝教授。谢谢你们这 三年以来对我的关心和照顾，从你们身上，我学会了如何学习，如何工作，如何 做人。 其次，我还要真诚地谢谢罗俊同学、冯新磊同学、朱兴文同学和张玲同学， 在这三年当中，他们给予了我很多帮助，在我的学习工作生活各个方面，他们给 我提出了很多宝贵的建议，我的成长同样离不开你们。 最后，我要感谢我的父母及家人，没有人比你们更爱我，你们对我的关爱让 我深深感受到了生活的美好，谢谢你们一直以来给予我的理解、鼓励和支持，你 们是我不断取得进步