（计算数学专业论文）高性能六面体组合杂交元研究.pdf

摘要 尽管计算机的计算速度在不断的加快， 但仅靠高次元或加密网格的方法依然难以解 决实际工程中的大规模计算问题， 因此低阶高性能元一直是计算力学和数学工作者们孜 孜追求的目 标。 本文首先对高性能四边形元的发展历程作了回顾， 再一次明确在等参坐标体系下要 想得到高性能的单元必须使用应变增强位移， 并需要基于两场或三场变分原理。 众所周 知i n f - s u p条件是横在混合元或杂交元面前的一道障 碍， 且满足了 此条 件的单元并不标 志着就有好的性能， 在位移场一定的前提下， 用什么样的条件来限制应力场以期获得最 佳的搭配就成了设计高性能有限元的关键。 在二维情况下， c h ( 0 - 1 ) 元的成功揭示了能 量协调条件是提高单元性能的关键， 而且二维情况下， 能量协调条件与正交条件是完全 等价的。 按_ 几 维四边形组合杂交元的思路， 本文向三维六面体单元作了 推广， 分别用能量协 调条件、正交条件和弱平衡条件限制等参坐标系下的完全线性应力场， 得到了约束应力 矩阵显式表达。 对于一般的六面体网格，能量协调条件和正交条件约束下的应力场不相 同; 只有当网格规则时，两种约束等效， 进而弱平衡条件自动满足;当网格满足b条件 时，随着网格尺寸的减小， 这两种应力模式相差高阶无穷小。 这些结论是在对三线性等 参变换中的几何参数做了详尽分析之后得到的。 基于以上的应力空间和不同的位移空间 搭配构造了 几种不同的组合杂交元， 并通过数值试验研究了其性能， 发现当组合参数在 0 - 1之间变化时，由非协调位移与约束应力构造的组合杂交元对数值结果的调节能力有 限;而由协调位移与约束应力格式构造的组合杂交元最好的结果在调节参数为 1时获 得， 这时 组合 杂交 变分原 理退 化为h e l l in g e r - r e s s in e r 原 理 关键词:组合杂交变分原理，高性能有限元，能量协调条件，正交条件，弱平衡条件 儿何参数 ab s t r a c t wh e n w e s o l v e p r a c t i c a l p r o b l e m s i t i s n o t t h e i d e a l w a y s t o u s e h i g h o r d e r e l e m e n t o r u s e v e ry f i n e g r i d s . n o t o n ly t h e c o m p u t e r c a n t b e a r t h e b u r d e n b u t a l s o t h e e r r o r w i l l b e g r e a t e r a ft e r l o n g t i m e s t r a n s m i t t i n g . s o e n g i n e e r s a n d m a t h e m a t i c i a n s n e v e r g i v e u p e f f o rt s t o f i n d t h e b e s t s c h e m e w h o s e p r e c i s i o n i s h i g h b u t c o s t i s l o w . i n t h i s t h e s i s , f i r s t l y t h e d e v e l o p m e n t p r o c e d u r e o f q u a d r i la t e r a l h i g h p e r f o r m a n c e e l e m e n t i s r e v ie w e d , a n d t h e c o n c l u s i o n s a r e r e c a l l e d t h a t t h e e n f o r c e d s t r a i n s c h e m e a n d m u l t i - f i e l d v a r i a t i o n a l p r i n c ip l e m u s t b e u s e d i n o r d e r t o g a i n h i g h p e r f o r m a n c e a n d i t s k n o w n t h a t t h e b a b u s k a - b r e z z i c o n d it i o n i s a n o b s t a c l e f o r m ix e d a n d h y b r i d e le m e n t s , a v o i d i n g t h i s c o n d i t i o n i s n o t a s i g h o f a h i g h p e r f o rma n c e e l e m e n t m e t h o d . f o r a f i x e d d i s p l a c e m e n t f i e l d h o w t o c o n s t r u c t a c o r r e s p o n d i n g s t r e s s f i e l d i s t h e k e y t o i m p r o v e t h e p e r f o r m a n c e . f o r a t w o - d i m e n s i o n a l e l a s t i c i t y p r o b l e m e n e r g y c o m p a t i b l e c o n d it i o n i s f o u n d a s t h e c r u c i a l r e a s o n f r o m c h ( o - 1 ) . a n d l a t e r t h e e q u iv a l e n c e r e l a t i o n s h ip b e t w e e n e n e r g y c o m p a t i b le c o n d i t i o n a n d o rt h o g o n a l c o n d i t i o n i n c h ( 0 - 1 ) i s p r o v e d . t h e n a l o n g t h e a p p o r a c h o f q u a d r i la t e r a l c o m b in e d h y b r i d e l e m e n t c h ( 0 - 1 ) , t h e s t r e s s m o d e s c o n s t r a i n e d b y s o - c a l l e d e n e r g y c o m p a t i b l e c o n d it i o n , o rt h o g o n a l it y c o n d i t i o n a n d w e a k - e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n r e s p e c t i v e l y w i t h wi l s o n b u b b l e s a r e e x p l i c i t e x p r e s s e d . i t i s o b t a i n e d t h a t t w o s t r e s s m o d e s r e s t r i c t e d b y e n e r g y c o m p a t i b l e c o n d i t i o n a n d o rt h o g o n a l i t y c o n d i t i o n a r e n o t t h e s a m e f o r g e n e r a l g r i d s . o n ly w h e n r e g u l a r m e s h e s a r e u s e d t h e t w o c o n d it i o n s a r e t h e s a m e a n d w e a k - e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n c a n b e s a ti s fi e d a u to m a t i c . a s t h e m e s h e s s a t i s f y b c o n d it i o n t h e d i ff e r e n c e b e t w e e n t h e m i s a h i g h e r o r d e r i n fi n it e s i m a l . a l l o f t h e s e c o n c l u s i o n s a r e b a s e d o n a d e t a i l a n a l y s i s o f t h e g e o m e t r ic p a r a m e t e r s u s e d b y t h e t r i - l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n . a s y s t e m o f 8 n o d e s h e x a h e d r o n e l e m e n t s b a s e d o n a b o v e s t r e s s s p a c e a n d d i ff e r e n t d i s p l a c e m e n t s p a c e a r e c o n s t r u c t e d t o s o l v e 3 - d i m e n s i o n a l p r o b le m, a n d t h e i r p e r f o r m a n c e s a r e t e s t e d t h r o u g h s o m e n u m e r i c a l e x a m p le s . t h e d a t a s h o w t h a t t h e e f f e c t o f t h e a d j u s t o f c o m b i n e d p a r a m e t e r“ a m o n g i n t e r v a l ( 0 - 1 ) i s n o t n o t a b l e f o r t h e n u m e r i c a l r e s u lt s f o r e l e m e n t s c o n s t r u c t e d b y i n c o m p a t i b l e d i s p l a c e m e n t a n d a b o v e c o n s t r a i n e d s t r e s s a n d t h e b e s t r e s u l t i s g a i n e d a s a e q u a l s t o o n e f o r e l e m e n t s c o n s t r a i n e d b y c o m p a t i b l e d i s p l a c e m e n t a n d c o n s t r a i n e d s t r e s s . k e y w o r d s : c o m b i n e d h y b r i d v a r i a t i o n a l p r i n c ip l e , h i g h p e r f o r m a n c e e le m e n t , e n e r g y c o m p a t i b l e c o n d i t i o n , o rt h o g o n a l i t y c o n d i t i o n , w e a k e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n , g e o m e t r i c p a r a me t e r . 西北工业大学硕_ l 论文 第一章 绪论 第一节 研究的背景 随着计算机技术的发展， 数值计算技术得到了空前的重视。 它己成为现代科学研究 中除理论和试验以外的第三种研究手段。 在众多数值计算方法中. 有限 元法自 上世 纪4 0 年代我国 0 和西方独 立提出以 来， 由于其广泛的适用性， 使它在越来越多的 领域得到了 应用。发展至今， 经典有限元方法 的理论体系已 经完备2 1 。 但这些理论体系下的单元在实际计算中并不完美， 例如用一个 协调元求解一个四阶板弯问题，按照协调元理论，不仅要求形函数自身连续，还要求其 一阶导数连续，导致对它的构造很复杂。如采用三角形单元，至少需要一个 1 8参数的 多项式来逼近。 采用四边形单 元也需要用1 6 参数的双三次多 项式才能符合要求13 1 。 为了 保证收敛，需要付出的是很大的计算规模与难以 想象的复杂度。 于是 w i l s o n等人尝试 着不从 解空间的 子空间 作为 有限 元空间 去离散 4 1 ， 这种放 松了 对 位移空间连 续性要求导 致变分犯规的方法有时反而有很高的求解精度， 而且在特定的网格下收敛。 这种非协调 元的诞生， 开始了人们对非经典有限元的大量探索， 尽管有关它们的收敛性问 题没有像 协调元那样得到满意的解决。为此，工程上i r o n s 等人提出了判断单元是否收敛的分片 检 查 条 件 ( p 丁 c ) 15 1但随 后数 学 家 们 举出 反 例证明 这 种检 查是一 种既 非 充分 也非 必 要条 件。 s t u n i m e l 从数学的角度提出了 严格但难以实施广义分片检查条件16 1 。国内石钟慈提 出了f - e - m条 件来判断 构造单 元的 收 敛性7 l当 然， 这 些方法只是 用来事后判断设计 出 单 元的收敛性，更为重要的问题是如何设计好的单元。 非协调元的缺陷之一是对单元几何形状敏感， 同一个问题在不同的网格划分下解的 差别可能很大。将反映几何属性的参数引入有限元空间会缓解这种情况。另一种方法， 就是采用具有几何不变性的面积坐标， 龙志飞 8 1 等人构造的四边形单元克 服了网格畸变 的影响，悬臂梁问题在四边形网格和近三角形网格下取得了相同的数值结果。 困 扰 低 阶 的 协调 元 和 非协 调 元 的 另 外一 个问 题 就 是 各 种l o c k i n g 现 象 9 1u 9 1 ， 即 在 变 分表达式中带有小参数的问 题，其数值解可能随着参数的过分变小而变坏。 l o c k i n g现 象很多， 例如对于 很薄的 弹性体，一 般会发生 厚 度 l o c k i n g ，当 材料接 近不可压缩时， 会 发 生 体 积 l o c k i n g ， m i n d l in 板 可能出 现 剪 切l o c k i n g 。 因 此设 计l o c k in g f r e e 的 单元 成为了 研究的热点。 b u b u s k a 和s u ri 把l o c k i n g fr e e 方 法的 设计 转化为一 个 约束逼近问 西北工业大学硕_ l 论文 第一章 绪论 第一节 研究的背景 随着计算机技术的发展， 数值计算技术得到了空前的重视。 它己成为现代科学研究 中除理论和试验以外的第三种研究手段。 在众多数值计算方法中. 有限 元法自 上世 纪4 0 年代我国 0 和西方独 立提出以 来， 由于其广泛的适用性， 使它在越来越多的 领域得到了 应用。发展至今， 经典有限元方法 的理论体系已 经完备2 1 。 但这些理论体系下的单元在实际计算中并不完美， 例如用一个 协调元求解一个四阶板弯问题，按照协调元理论，不仅要求形函数自身连续，还要求其 一阶导数连续，导致对它的构造很复杂。如采用三角形单元，至少需要一个 1 8参数的 多项式来逼近。 采用四边形单 元也需要用1 6 参数的双三次多 项式才能符合要求13 1 。 为了 保证收敛，需要付出的是很大的计算规模与难以 想象的复杂度。 于是 w i l s o n等人尝试 着不从 解空间的 子空间 作为 有限 元空间 去离散 4 1 ， 这种放 松了 对 位移空间连 续性要求导 致变分犯规的方法有时反而有很高的求解精度， 而且在特定的网格下收敛。 这种非协调 元的诞生， 开始了人们对非经典有限元的大量探索， 尽管有关它们的收敛性问 题没有像 协调元那样得到满意的解决。为此，工程上i r o n s 等人提出了判断单元是否收敛的分片 检 查 条 件 ( p 丁 c ) 15 1但随 后数 学 家 们 举出 反 例证明 这 种检 查是一 种既 非 充分 也非 必 要条 件。 s t u n i m e l 从数学的角度提出了 严格但难以实施广义分片检查条件16 1 。国内石钟慈提 出了f - e - m条 件来判断 构造单 元的 收 敛性7 l当 然， 这 些方法只是 用来事后判断设计 出 单 元的收敛性，更为重要的问题是如何设计好的单元。 非协调元的缺陷之一是对单元几何形状敏感， 同一个问题在不同的网格划分下解的 差别可能很大。将反映几何属性的参数引入有限元空间会缓解这种情况。另一种方法， 就是采用具有几何不变性的面积坐标， 龙志飞 8 1 等人构造的四边形单元克 服了网格畸变 的影响，悬臂梁问题在四边形网格和近三角形网格下取得了相同的数值结果。 困 扰 低 阶 的 协调 元 和 非协 调 元 的 另 外一 个问 题 就 是 各 种l o c k i n g 现 象 9 1u 9 1 ， 即 在 变 分表达式中带有小参数的问 题，其数值解可能随着参数的过分变小而变坏。 l o c k i n g现 象很多， 例如对于 很薄的 弹性体，一 般会发生 厚 度 l o c k i n g ，当 材料接 近不可压缩时， 会 发 生 体 积 l o c k i n g ， m i n d l in 板 可能出 现 剪 切l o c k i n g 。 因 此设 计l o c k in g f r e e 的 单元 成为了 研究的热点。 b u b u s k a 和s u ri 把l o c k i n g fr e e 方 法的 设计 转化为一 个 约束逼近问 绪 论 题，因而高阶元几乎都是l o c k i n g f r e e 的， 而几乎所有低阶元都不是l o c k i n g f r e 。 格式。 另一 种避免l o c k i n g 的途径就是混合 / 杂交元方法。 由 于高阶元含有过多的自 由 度， 因而 后一种方法更有优势。 设计 一种 粗网 格高 精度， 对网 格畸 变不敏感， 而且能 避免各 种形式的l o c k in g 有限 元方法成为有限元研究工作者的一个目 标， 我们将这种方法称为高性能有限元方法。 可 以看出， 这样的单元可能在低阶的混合元或者是杂交元中产生。由于杂交元相比较于混 合元最大的优势在于它不会扩大刚度矩阵的规模， 因而更被看好。 但遇到的困难依然很 多 首先是如 何避免b a b u s k a - b r e z z i 条件l u j , p i a n .t . h . h等人在这方面作了大量的工 作 1 12 ( 13 11 14 1 。 周 天 孝 提出 的 避免b a b u s k a - b r e z z i 条 件的 组合 杂 交 变 分原 理 1 1 5 11 6 j ， 并 从能 量 的 角 度阐明了 高 性能 单元 是一种能 量调节 机 制下的 最优单元 1 1 7 1 。 针对二 维四边形网 格， 通过 利 用 能 量 协 调条 件 优化 应力 场得 到了 性 能 优越 的c h ( 0 - 1 ) 元 18 1 。 在 平行四 边 形网 格 下， c h ( 0 - 1 ) 元的应力场与 p - s元的应力场一致，并且正交条件和能量协调条件得到了 相同的约束应力场 1 9 1 ，将此应力场用来构造的板元成功的避免了 m i n d l i n板的剪切 l o c k i n g 现象，获得的单元取得了与广为使用的m i t c 4 元相同的数值性能12 0 1 第二节 问题的提出和研究的途径 以上简单回顾了与本研究相关的方向的一些概况， 可以看出非协调元( 包括非协调 位移元、混合元、杂交元)在具有诱人前景的同时，面临着两大困难: 一方 面是多变 量非协调元系列的解的可靠性问题， 包括解的存在唯一性、 收敛性、 对网格适应性问题， 这些问题在数学上己经基本解决， 但是工程界普遍认为过于抽象，难以付诸实施。 另一 方面， 是如何构造好的非协调元， 这一问题至今没有明确的理论指导，因而有人将它称 为 王 子 探 宝， 目 前 国 际上 流 行的 几 乎 所 有的 非协 调 元， v iii 如w il s o n 元， p - s 元 2 1 1 , m o r ta r 元(2 2 1 全部是靠经验拼凑出来的， 这也是非协调元被称为非经典有限元难以 在工程中 得到 大量应用的原因。 本文将研究重心放在第二方面， 主要是构造高性能的三维六面体单元， 而二维高性 能单元的发展为构造三维单元提供了最为直接的 借鉴。由于文 2 3 1 己 经论证了三角形单 元协调位移与非协调位移之间能量正交关系，即三角形单元非协调部分无应变增强特 性， 可见四边形双线性等参单元为基础的单元族更具有构造低阶高性能元的潜力。 对于 非协调 位移元来说，关键是非协调位移场的 假设问 题， 这方面众所周知的 w i l s o n元堪 称经典。 另外近来出现的m o r t a r 元也得到了广泛的重视， 其它比 较突出的有理性四节点 绪 论 题，因而高阶元几乎都是l o c k i n g f r e e 的， 而几乎所有低阶元都不是l o c k i n g f r e 。 格式。 另一 种避免l o c k i n g 的途径就是混合 / 杂交元方法。 由 于高阶元含有过多的自 由 度， 因而 后一种方法更有优势。 设计 一种 粗网 格高 精度， 对网 格畸 变不敏感， 而且能 避免各 种形式的l o c k in g 有限 元方法成为有限元研究工作者的一个目 标， 我们将这种方法称为高性能有限元方法。 可 以看出， 这样的单元可能在低阶的混合元或者是杂交元中产生。由于杂交元相比较于混 合元最大的优势在于它不会扩大刚度矩阵的规模， 因而更被看好。 但遇到的困难依然很 多 首先是如 何避免b a b u s k a - b r e z z i 条件l u j , p i a n .t . h . h等人在这方面作了大量的工 作 1 12 ( 13 11 14 1 。 周 天 孝 提出 的 避免b a b u s k a - b r e z z i 条 件的 组合 杂 交 变 分原 理 1 1 5 11 6 j ， 并 从能 量 的 角 度阐明了 高 性能 单元 是一种能 量调节 机 制下的 最优单元 1 1 7 1 。 针对二 维四边形网 格， 通过 利 用 能 量 协 调条 件 优化 应力 场得 到了 性 能 优越 的c h ( 0 - 1 ) 元 18 1 。 在 平行四 边 形网 格 下， c h ( 0 - 1 ) 元的应力场与 p - s元的应力场一致，并且正交条件和能量协调条件得到了 相同的约束应力场 1 9 1 ，将此应力场用来构造的板元成功的避免了 m i n d l i n板的剪切 l o c k i n g 现象，获得的单元取得了与广为使用的m i t c 4 元相同的数值性能12 0 1 第二节 问题的提出和研究的途径 以上简单回顾了与本研究相关的方向的一些概况， 可以看出非协调元( 包括非协调 位移元、混合元、杂交元)在具有诱人前景的同时，面临着两大困难: 一方 面是多变 量非协调元系列的解的可靠性问题， 包括解的存在唯一性、 收敛性、 对网格适应性问题， 这些问题在数学上己经基本解决， 但是工程界普遍认为过于抽象，难以付诸实施。 另一 方面， 是如何构造好的非协调元， 这一问题至今没有明确的理论指导，因而有人将它称 为 王 子 探 宝， 目 前 国 际上 流 行的 几 乎 所 有的 非协 调 元， v iii 如w il s o n 元， p - s 元 2 1 1 , m o r ta r 元(2 2 1 全部是靠经验拼凑出来的， 这也是非协调元被称为非经典有限元难以 在工程中 得到 大量应用的原因。 本文将研究重心放在第二方面， 主要是构造高性能的三维六面体单元， 而二维高性 能单元的发展为构造三维单元提供了最为直接的 借鉴。由于文 2 3 1 己 经论证了三角形单 元协调位移与非协调位移之间能量正交关系，即三角形单元非协调部分无应变增强特 性， 可见四边形双线性等参单元为基础的单元族更具有构造低阶高性能元的潜力。 对于 非协调 位移元来说，关键是非协调位移场的 假设问 题， 这方面众所周知的 w i l s o n元堪 称经典。 另外近来出现的m o r t a r 元也得到了广泛的重视， 其它比 较突出的有理性四节点 西北工业大学硕 卜 论文 单元2 4 1 5 1 ， 基于四 边形面积坐标构 造的 单元 等。 对于杂交 元来说， 应力 场的 优化设计 是 一个热点问题。卞学磺用弱平衡条件并通过将单元做几何扰动构造了p - s 元， 后来他和 董平用正交条 件得到了另一种杂交应力 元2 6 1 。 吴长 春等人为了使单元通过分片检查， 分 两 步实 现能量协调条 件2 7 1 。 周天 孝指出 能 量协 调条 件对单元的 性能改善至关重要 2 8 ) 。 文 2 9 1 证明了 非协调 位移元与广义杂交元的 等价性， 但 这并不意味 着它们等效， 非协调位 移元和某种杂交元可能会得到相同的刚度矩阵， 但在计算应力时， 由于它们采用不同的 计算机制，杂交元更具有优势。另外不同的变分原理会得到不同的结果，对应力的约束 等效于对变分原理的修正。因而，不论是对变分原理的修正还是对变量空间 ( 不仅仅包 括应力空间)的约束都会对单元的性能产生影响。从变分原理的角度看，如果变分原理 反映的能量泛函越接近真实能量状态， 这种单元的性能就越高。 从应力空间的角 度考虑， 高性能元的设计就是在较小的逼近空间中找到最能真实反映物理特性的那些特征向量。 从而更精确的模拟物体受力变形。 力学的特性与数学理论的结合将会为高性能元的设计 提供一个出路。 工程中的问题严格的说全部是三维问题， 只有极少数可以简化为平面模型平面 应力问题或平面应变问题。 因此， 低阶高性能的三维单元将会在工程应用中发挥重要的 作用， 一方面， 它可以突破大规模计算的瓶颈问题， 例如，目前工程界最常用的三维2 0 节 点 六 面体单元有6 0 个自 由 度， 而克 服了 剪切l o c k in g 的 六面体 非协调元h i t 元( w i l s o n 元的三维推广形式)只需要 2 4个节点自由 度。另外，在组合结构分析中， 将其所有的 构件视为三维问题用三维单元统一求解， 不仅减少了由于模型简化引入的模型误差，而 且避免了为使不同维数祸合而采用过渡单元。 目前大多数的二维非协调元都向三维作了推广， 例如， 就四边形而言， h l l 元是三 维的w i ls o n 元， n h 1 l 元为了通过分片检查改进h 1 1 元得到的， n q 6 元是 它的二 维原 jje o p h 1 8 q 元 是对应力施加优化条件o p t 得到的， 相应的 二维原型 可以 参 见文 献 3 0 1 , c h h ( 0 - 1 ) 元 3 1 是四 边形 组合 杂交 元c h ( 0 - 1 ) 元 直 接推 广得 到 的。 但是， 这 种直 接 推 广的 道路似乎并非一帆顺风， 有些单元推广到三维后没有取得预期的效果， 有些单元在二维 好的性能推广后不能保持。 这就需要对这些优化条件进行详细的分析和试算比较， 进而 为构造出好的三维单元提供有益指导。 绪 论 第三节 本文的主要工作 本文的工作包括 i .对双线性和三线性等参变换中的几何参数研究 通过辨析它们的几何含义和收敛阶，明确了它们对应力格式影响能力的大小， 分析了哪些参数对单元通过分片检查产生影响。 2 .推导了能量协调条件限制下的应力矩阵显式格式 基于 推导出 的 应 力 矩阵 得到了c h h ( 0 - 1 ) 元的 显式 应力 格式， 改 变了 用 广 义 逆或l a n g r a n g e 乘子得到优化应力的方式， 加快了 生成单元刚度矩阵和求解应力 的 速度， 进一步发挥了c h h ( a - 1 ) 元的数值潜力。 3 .证明了能量协调条件和正交条件优化应力不等效 在得到了能量协调条件，正交条件，弱平衡条件约束的应力空间后， 通过理 论分析和算例验证， 发现与四边形情况不同， 前二者约束应力空间中的应力并不 保证关于非协调位移满足弱平衡条件， 对于特殊网格如平行六面体、 长方体等是 满足的，折半网格剖分下它们相差高阶无穷小。 4 .构造了多种六面体组合杂交元 将以上的优化应力空间和不同的位移空间搭配， 构造了不同的六面体组合杂 交元。 通过数值试验发现， 正交条件和能量协调条件限制下应力与 非协调位移构 造的组合杂交元性能相差细微而且结果最好。弱平衡条件无法得到 1 5 参数的组 合杂交元。 5 .利用组合参数对单元调节研究 对正交条件或能量协调条件限制下应力与协调位移构造的组合杂交元用组 合参 数进行调解， 发现随着调节参数增大，单元的性能变好， 能量更加接近于真 实应变能，极限状态就是组合参数取 i ， 这时变分原理退化为h e l l i n g e r - r e s s i n e r 变分原理。 对正交条件或能量协调条件限制下应力与非协调位移构造的组合杂交 元而言，组合参数的调节能力十分有限。 西北工业大学硕士论文 第二章 相关基本理论 等参元对有限元的发展具有十分重要的意义，它为以后高性能有限元方法的发展奠 定了一定的基础。 就四边形而言， w i l s o n 元是一种经典高性能元， 它是基于四节点四边 形等参元构造的一种非协调元， 而它又成为后来许多优秀杂交元的平台。 本章介绍了四 边形等参元和等参变换的一些相关知识， 并说明了具备哪些性能的方法才能称为高性能 方法。 第一节 高性能有限元方法 1 .1有限元方法及分类 在科学技术领域， 许多物理问题用微分方程和相应的定解条件 ( 初边值条件) 来表 述3 2 1 。 对于 其中极少数形状规则的求解域且方程比 较简单才可以 精确求解。 随 着计算机 的出现及运算速度的不断提高，数值方法成为求解这些问题的主要手段。 在数值求解领域主要有有限差分方法和有限单元法 3 3 3 4 1 。 差分方法的主导思想是对 微分方程进行直接离散用差商代替微商，而有限元方法是基于力学中的r i t z - g a l e r k i n 方法， 先得到微分方程的积分弱形式，即推导变分方程或变分形式。 确定场变量所属的 函数空间。 然后将区域离散得到有限个小单元。 与r i t z - g a l e r k i n 方法唯一不同之处是 不在整个求解区域上假设近似函数， 而是每个单元上假设近似函数， 分片的表示全求解 区域上待求的未知场函数。 从而使一个连续的无限自由度的问题变成一个有限自由 度的 问题。 有限元方法的优势之一是它降低了对解空间的连续性要求。例如一个2 m阶的椭圆 形方程， 要求有限元的空间是空间c 爪 一 ， 的子空间。 把满足这个条件的单元的 称为协调元， 否则就是非协调元。另一方面的优势是它能适应复杂边界。 有时变分泛函中含有多个未知函数， 可以 对这些场函数分别假设近似函数。当最终 的方程组只含有一个未知场变量， 而其它未知变量在单元一级被凝聚， 这种方法称为杂 交元方法。 如果最终的方程组仍然含有多个未知场函数变量。 则这种方法称为混合元方 法。混合元最终求解的方程组规模比杂交元大，而杂交元往往需要求逆。 相关基本埋论 1 .2高性能方法 随着科学技术的发展，人们对于有限元在内的数值模拟方法提出了越来越高的要 求。为保证数值模拟的可靠性和有效性，三维/ 全物理的计算规模和系统性的分辨率， 低阶元自由度/ 高阶元精度的数值性能，成为对有限元方法，有限体积法以及其它数值 方法的根本要求。 这一要求就是高性能计算方法研究的目 标。 具体针对有限元在解决椭 圆型偏微分方程有关的一大类力学问 题而言，高 性能算法应该达到以下的要求l “ : 1 粗网格高精度; z ) 对网格的畸变不敏感; 3 )能够克服小参数对精度的影响，不发生各种l o c k i n g 现象。 针对混合杂交元一些其它方面的要求包括: 通过分片检查， 计算代价小， 避免零能模态， 不需要人工稳定参数，和具体的物理背景脱离并适于向动力学，热力学问题推广等。 以上条件是检验一种单元性能是否优越的标准， 也是推动有限元向前发展的几个主 要问题。 没有适用于一切科学问题求解的完美的方法， 但对至善至美的追求是科学发展 的不竭动力。 第二节 等参单元 等参单元的提出为有限元法成为现代工程实际领域最有效的数值方法之一迈出了 极为重要的一步， 它使各类不同的工程实际问题的有限元分析纳入了统一的通用化的程 序。 其定义为， 如果坐标变换和函数插值采用相同的结点， 并且采用相同的插值函数， 这种变换称之为等参变换。将采用等参变换的单元称为等参单元。 几维常见低阶等参元的有三节点三角形单元，四节点四边形单元。推广到三维相 应的有四节点四面体单元和八节点六面体单元。 下面给出 二维三角形和四边形等参单元的 详细形式。 对于如图( 2 . l a ) 所示的三角形a b c 采用面积坐标 s 。 l, = 一 s 八 , s , l , = s a , n c. s - l , =s a me s a a b g 记 几 何 参 数 a 一 s , k x , x k ; 6 ; 一 y , 一 y k ; c i = x k 一 x i ( i , j , k 按 1 ,2 ,3 轮 换 ) 则面积坐标就可以用几何参数表示为 相关基本埋论 1 .2高性能方法 随着科学技术的发展，人们对于有限元在内的数值模拟方法提出了越来越高的要 求。为保证数值模拟的可靠性和有效性，三维/ 全物理的计算规模和系统性的分辨率， 低阶元自由度/ 高阶元精度的数值性能，成为对有限元方法，有限体积法以及其它数值 方法的根本要求。 这一要求就是高性能计算方法研究的目 标。 具体针对有限元在解决椭 圆型偏微分方程有关的一大类力学问 题而言，高 性能算法应该达到以下的要求l “ : 1 粗网格高精度; z ) 对网格的畸变不敏感; 3 )能够克服小参数对精度的影响，不发生各种l o c k i n g 现象。 针对混合杂交元一些其它方面的要求包括: 通过分片检查， 计算代价小， 避免零能模态， 不需要人工稳定参数，和具体的物理背景脱离并适于向动力学，热力学问题推广等。 以上条件是检验一种单元性能是否优越的标准， 也是推动有限元向前发展的几个主 要问题。 没有适用于一切科学问题求解的完美的方法， 但对至善至美的追求是科学发展 的不竭动力。 第二节 等参单元 等参单元的提出为有限元法成为现代工程实际领域最有效的数值方法之一迈出了 极为重要的一步， 它使各类不同的工程实际问题的有限元分析纳入了统一的通用化的程 序。 其定义为， 如果坐标变换和函数插值采用相同的结点， 并且采用相同的插值函数， 这种变换称之为等参变换。将采用等参变换的单元称为等参单元。 几维常见低阶等参元的有三节点三角形单元，四节点四边形单元。推广到三维相 应的有四节点四面体单元和八节点六面体单元。 下面给出 二维三角形和四边形等参单元的 详细形式。 对于如图( 2 . l a ) 所示的三角形a b c 采用面积坐标 s 。 l, = 一 s 八 , s , l , = s a , n c. s - l , =s a me s a a b g 记 几 何 参 数 a 一 s , k x , x k ; 6 ; 一 y , 一 y k ; c i = x k 一 x i ( i , j , k 按 1 ,2 ,3 轮 换 ) 则面积坐标就可以用几何参数表示为 西北工业大学硕士论文 l;二 赚(、 “ 二 c,y ) “ 一 ,2 ,3) ( 2 . 1 ) 当 基函 数 取为l l 2 , l , ， 坐 标 变 换 和 位 移 插 值分 别 表 示为 x 二 乌 x , 十 乌x 2 + 几 x 3 + y = 乌 y , + 几y 2 + 几y 3 ( 2 . 2 ) “ =l ,u , 如图 2 . 1 b ) + l , u 2 + l 3 u , ; v = 八 v , + l 2 v 2 + l , v , ( 2 . 1 ) 式将一 个任意的三角形a b c 变换为一个标准三角形a百c ( 2 . 3 ) ( x 3 y 3 ) 上 o a ( x 1 .y 1 )b ( x 2 .y 2 ) 图( 2 . 1 a ) 面积坐标示意图图( 2 . 1 b ) 等参变换示意图 将( 2玲带入( 2 . 3 ) 可知位移空间是物理坐标系下的线性函数空间，设x 方向位移状态为 u = a 十 b x 十 c y ， 则第i 个 节点 上x 方向 位移 值为u ， 二 a 十 奴+ c y , o 由( 2 . 3 ) 中的第一个式子可知 。 一 艺 l ,u ,二 3 、 。 + 3 、 x户 + 3 、 : 叮 3i l ;a + l ,x;b + l ,y ,c.= ; 二 bx + 二 ( 2 - 4 ) i = 1卜】, = 1 t d 只 需 全 ; 一 1 , (2 . 4 ) 式 就 是 假 设 的 ， 方 向 位 移 场 。 由 ; 的 几 何 意 义 可 知 此 条 件 是 成 立 的 。 横向移动 纵向移动平面内转动 横向拉伸 纵向拉伸纯剪切 图( 2 . 2 ) 刚体位移和常应变状态 相关基本理论 因而经过等参变换后的位移场是线性完备的， 能够准确描述线性位移状态， 例如图( 2 . 2 ) 所示刚体位移和两个方向上的拉伸与纯剪切。 对于四边形来说，利用以下形式的基函数 、 一 去 (+ ; ; )( + : 。 ，( = 1, 2 , 3, 4 ) ( 2 . 5 ) 其中( 77 ) 是参考坐标系中 边长为2 中 心 在原点的 正 方形的 顶点坐标。 坐标 变换和 位移 插值函数分别为 x = 私x , + n , x 2 + n i x , + 从x 4 ; y = n ly , + 从y 2 + 从y 3 + 从y 4 ( 2 . 6 ) 。 = n ,u , + 从u 2 + n , u 3 + 戈u 4 ; v = 拭 v , + 从v 2 + n 3 v 3 + n 4 v 4 ( 2 . 7 ) ( 2 . 6 ) 确定的变换称为双线性等参变换， 如图( 2 . 3 ) 它将一个四边形变换为参考坐标系中 正方形。对这个变换将在第四节中详细说明。 图( 2 . 3 ) 双线性等参变换 可 以 直 接 验 证 艺 n ; 一 1 类似地可以说明( 2 , 7 ) 描述的位移场在物理坐标系下是线 性完备的。 第三节 四边形非协调元 在求解弯曲问题时低阶等参元遇到了很大的困难。 如图( 2 . 4 a ) 所示受弯矩作用的矩 形单元，其真实应力状态为 6 , = a , e y ; “ ， = 0 ; z 。 二 0 其对应的位移精确解为 u = a , x y ; 一 2 a , (a 一 ) + i a ,v (b2 一 ， 2) ( 2 . 8 ) 图( 2 . 4 6 ) 表示变形情况。 当用上节介绍的四节点等参元求解得到的位移解如图( 2 . 4 0所 示， 有明显的误差， 并且剪应力数值解不为零， 这种现象称为剪切l o c k i n g 现象。 从( 2 . 8 ) 相关基本理论 因而经过等参变换后的位移场是线性完备的， 能够准确描述线性位移状态， 例如图( 2 . 2 ) 所示刚体位移和两个方向上的拉伸与纯剪切。 对于四边形来说，利用以下形式的基函数 、 一 去 (+ ; ; )( + : 。 ，( = 1, 2 , 3, 4 ) ( 2 . 5 ) 其中( 77 ) 是参考坐标系中 边长为2 中 心 在原点的 正 方形的 顶点坐标。 坐标 变换和 位移 插值函数分别为 x = 私x , + n , x 2 + n i x , + 从x 4 ; y = n ly , + 从y 2 + 从y 3 + 从y 4 ( 2 . 6 ) 。 = n ,u , + 从u 2 + n , u 3 + 戈u 4 ; v = 拭 v , + 从v 2 + n 3 v 3 + n 4 v 4 ( 2 . 7 ) ( 2 . 6 ) 确定的变换称为双线性等参变换， 如图( 2 . 3 ) 它将一个四边形变换为参考坐标系中 正方形。对这个变换将在第四节中详细说明。 图( 2 . 3 ) 双线性等参变换 可 以 直 接 验 证 艺 n ; 一 1 类似地可以说明( 2 , 7 ) 描述的位移场在物理坐标系下是线 性完备的。 第三节 四边形非协调元 在求解弯曲问题时低阶等参元遇到了很大的困难。 如图( 2 . 4 a ) 所示受弯矩作用的矩 形单元，其真实应力状态为 6 , = a , e y ; “ ， = 0 ; z 。 二 0 其