（计算数学专业论文）解非线性波动方程的内外边值问题的数值方法及理论分析.pdf

解非线性波动方程的内外边值问题的数值方法及理论分析 摘要 本文包括如下二部分的工作 第一部分本文对一类三阶非线性波动方程的内边值问题建立了两个时间差 分离散隐格式，利用再生核函数将每个时间层上的近似解表示成显式的积分形 式，并用能鼍估计的方法证明了这两种差分格式的稳定性和收敛性最后给出了 一些数值结果 第二部分应用自然边界元与有限元耦合法处理一类非线性波动方程的外边值 问题本文用变量代换法将非线性波动方程降阶，从形式转变为所熟悉的抛物型 方程，考虑变形后问题的一种耦合近似问题：通过做一人工边界把无界区域分成 两部分一环形区域和无界补区域，在环形区域中取原非线性方程，在无界补区域 中取相应的线性方程最后分析了由此耦合法建立的线性化格式的稳定性并给出 了误差估计 关键词： 非线性波动方程，差分法，变量代换，有限元，自然边界元，耦合， 稳定性，收敛性 i 、 t h en u m e r i c a lv a l u em e t h o da n dt h e o r e t i c a la n a l y s i sf o r n o n l i n e a rw a v ee q u a t i o nw i t hi n t e r i o ra n de x t e r i o rd o m a i n a b s t r a c t t h ec o n t e n t bo ft h i sd i s s e r t a t i o na r ed i v i d e di n t ot w oc h a p t e r s i nc 1 1 a p t e ro n e ，w eb u i l dt w ot i m ed i f f e r e n c ed i s c r e t ei m p l i c i t8 c h e m e sf o ra c l a s s o ft h k d - o r d e rn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o nw i t hi n t e r i o rd o m a i n a n db yu s i n gr e p r o d u c - i n gk e r n e lf u n c t i o n ，t h ea p p r o x i m a t es o l u t i o no fe a c ht i m el a y e rj 8e x p r e s s e dt oe x p l i c i t i n t e g r a lf o r m t h e nb yu s i n gt h ee n e r g ym e t h o d ，t h ec o n v e r g e n c ea n ds t a b i l i t yo ft h e s c h e m e sa r ep r o v e d a tl a s t ，w eg i v es o m en u m e r i c a lr e s u l t * i nc h a p t e rt w o , t h ec o u p l i n ge q u a t i o no ff i n i t ee l e m e n ta n db o u n d a r yi n t e g r a l m e t h o d si sa p p l i e dt oac l a s $ o ft h r e e - o r d e rn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o nw i t he x t e r i o r d o m a i n v a r i a b l er e p l a c e m e n ti sa p p l i e dt or e d u c et h eo r d e ro f t h en o n l i n e a re q u a t i o n ，c h a n g i n gi n t oan o n l i n e a rp a r a b o l i ce q t m t i o n t h e nw es t u d yt h ec o u p l i n ga p p r o x i m a t e p r o b l e mo ft h ep a r a b o l i ce q u a t i o n ：m a d i n gaa r u f i c i a lb o u n d a r yd i v i d et h eu n b o u n d e d d o m a i ni n t ot w or e g i o u s - a a u n l a rr e g i o na n du n b o u n d e dr e g i o n w es t u d yt h en o n l i n e a x e q u a t i o ni na n n u l a rr e , o na n dt h ec o r r e s p o n d i n gl i n e a re q u a t i o ni nu n b o u d e dr e g i o n a n dw eg i v et h es t a b i l i t ya n a l y s i aa n de r r o re s t i m a t e k e yw o r d s ；n o n h n e a re q u a t i o n ，d i f f e r e n c em e t h o d ，v a r i a b l er e p l a c e m e n t ，f i n i t e e l e m e n t ，b o u n d a r yi n t e g r a lm e t h o d ，c o u p l i n g i i 引言 发展方程是包含时间变数的许多重要的数学物理偏微分方程的统称，又称演 化方程或进化方程在物理，力学或其他自然科学中，这类方程用来描述随时闯 丽变化的状态或过程诸如热传导方程，声波与弹性波方程，反应扩散与对流扩 散方程、流体与气体力学方程组等以及由这些方程通过适当方式耦合而得到的耦 合方程组，皆属于发展方程的范畴 对双曲方程的理论及数值方法的研究已有大量工作，主要数值方法有有限元 方法，差分法针对这类非线型波动方程，文 1 在函数，( s ) 满足局部l i p s e h i t z 条件及单调性条件的假设下得到了有关方程初边值问题整体弱解的存在与唯一 性；文【2 用g a l e r k i n 方法，研究了这类方程的初边值问题，周期边值问题和初 值问题，并在函数i ( s ) 下方有界的假设下得到了整体强解的存在与唯性；文 【3 】在有限区域内讨论了这类问题的有限差分格式，厝离散泛函分析方法和先验 估计的技巧得到了差分格式的收敛性本文的主要工作是研究这类方程的内边值 问题的再生核方法，以及对这类方程的外边值问题采用有限元和自然边界元的耦 合来处理 边界元法作为一种重要的数值计算方法近2 0 年来得到了迅速发展，并在科 学和工程计算的众多领域获得了广泛应用国内外已有关于边界元方法及其应用 的大量文猷问世自然边界元方法则是与国际流行的边界元方法完全不同的，有 许多独特优点的一种新型边界元方法这一方法是由我国学者首创并发展的 早在7 0 年代中期，冯康教授就已明确提出了自然边界归化的思想，当时这类边 界归化被称为正则边界归化自然边界元方法是由g r e e n 函数和g r e e n 公式出 发，将微分方程边值问题归化为边界上强奇异积分方程( 或称为超奇异积分方 程) ，然后化成相应的变分形式在边界上离散化求解的一种数值计算方法由于 自然边界归化保持能量不变，原边值问题的许多有用的性质，例如双曲型的对 称性、强制性等均被保持，从面自然积分方程的解的存在唯性及稳定性等结 果也就随之而得这一优点也保证了自然边界元方法与经典有限元方法能自然 而宣接地耦合这正是自然边界元方法与有限元耦合法与其他类型的耦合法相 比所具有的最根本的优越性与一般边界归化得到的边界积分方程也取决于归 化途径及所选择的基本解不同，自然积分方程是由原边值问题唯一确定的，它准 确地反映此边值同题的解的互补的微分边值之间的本质的关系可以通过各种 不同的途径，例如使用的g r e e n 函数法、f o u r i e r 变换或f o u r i e r 级数法及复变 函数论方法等来推求自然积分方程但殊途同归，对同一边值问题只能得到同一 个自然积分方程因此可以说，自然边界归化在各种边界归化中占有特殊的地位 并具有许多优越性自然边界元与有限元耦合是基于同一变分原理的自然而直 接耦合，这种耦合综合了自然边界元与经典有限元方法的优点，既克服了自然边 界元方法对区域的局限性，又使经典有限元方法能使用与无界区域及裂缝区域 本文第一章对一类三阶非线性波动方程的内边值题 i 【，i = o + 【，( 巩) 】。， ( z ，t ) ( d ，b ) ( 0 ，司 t r ( z ，0 ) = 妒( 。) ，巩( z ，0 ) = 妒( z ) ，o ( 口，6 ) l 矿( n ，t ) = u ( b , t ) = o ，t ( o ，鄙 建立了两个时间差分离散隐格式，利用解空间的再生核函数，得到了每个时间层 上的近似解的显示积分表达式此方法具有隐格式显式并行求解的优越性第二 章考虑甩有限元和自然边界元耦合法来处理非线性波动方程的外边值问题 ， lt 托一t k = ，( u ) ，( z ，0 q 。( 0 ，卅 l “( 。，t ) = 0 ，( z ，t ) r ( 0 ，t i iu ( z ，0 ) = u o ( x ) ， o q 。 it # ( o ，0 ) = v o ( x ) ， $ n 。 用变量代换法将非线性波动方程降阶，从形式转变为所熟悉的抛物型方程，考虑 变形后阿题的一种耦合近似问题：通过做一人工边界把无界区域分成两部分一 环形区域和无界补区域，在环形区域中取原非线性方程，在无界补区域中取相应 的线性方程最后分析了由此耦合法建立的线性化格式的稳定性并给出了误差估 计 2 第一章解一类高阶非线性波动方程的数值方法及理论分析 本章将讨论一种新数值解法，对一类三阶非线性渡动方程建立了两个时间差 分离散隐格式，利用解空间的再生核函数，得到每个时间层上的近似解的显式积 分表达式，并用能量估计的方法证明了这两绅差分格式的稳定性和收敛性，最后 给出了一些数值结果本章的方法具有隐格式显式并行求解的优越性 1 1问题的提出 考虑如下高阶非线性波动方程初边值问题： l 玩= 口弘+ f ( u z ) l t ，( 矗t ) ( m6 ) ( 0 ，司 1u 扛，0 ) = 妒( 。) ，仉( z ，0 ) = 妒( z ) ，。( 口，6 ) ( 1 1 1 ) 【矿( d ，t ) = u ( b ，t ) = 0 ，t ( 0 ，卅 其中下标表示对相应变量的偏导数，o 0 是常数，( s ) ，妒( z ) ，妒( z ) 是给定的函 数 记o = ( 口，6 ) 问题( 1 1 1 ) 的等价弱形式是：求( ，0jf o ，卅_ + 础( o ) ，满足 ：h 。譬“h ，仃l _ 卜o 础m ) ( 1 工2 ) 【t 帆l - - u0 ) = 妒( z ) ，仉( 而0 ) = 妒p ) 其中( ，) 表示工2 ( q ) 空间的内积令阢( z ，t ) = y ( z ，t ) ，则问题( 1 1 2 ) 可记为： i ( k ，埘) + n ( k ，) + ( ，( 以) ，) = 0 ，v w 硎( q ) 1 矾= k ( 1 1 3 ) 【矿扫，0 ) = 妒( z ) ，y ( o ，0 ) = 妒( 善) 下面我们将对问题( 1 1 3 ) 进行时间差分离散，并讨论近似解的显式表示式 1 2 数值方法 用r 表示时间步长，t n = n r ( n = o ，1 2 ：，) ，r = t ，矿( z ) = t 0 ，护) 记 a 扣“= ( 俨一俨_ 1 ) r 用矿，矿分别表示u ”，p 的近似解 3 格式i ：求矿( z ) ，俨( z ) ( n = 1 ，2 ，n ) 础( n ) ，对v w 丑0 ( n ) 满足 悟誉目“中。m 卜。 ( 1 2 1 ) 我们定义外推算子e ( u ”) = ；扩一 铲 格式i i ：求u c x ) ， 1 3 n ( $ ) ( n = l ，2 ，n ) 础( q ) ，对v w 础( q ) 满足 i ( 劬“川+ o t n + 堙- 1 ，) + ( ，( e ( ) ) 毗) = o ，2 n ( o r v 1 , w ) + 0 ( 。：川，删) ，蚓。0 ， ( 1 2 _ 2 ) l 舢1 = u 1 ，侥“”= ：( 口”十v - - 1 ) ， 2 礼n l “o = p ，v 0 = 妒 接下来我们讨论用再生核函数给出上述数值格式的解的显式表达式 用w o o , ，q ) 表示由础( q ) 中的函数按如下定义的内积 ( “，叫= ( t + p u x w x ) 如 构成的h i l b e r t 空间，其中p 是正常数令 兄嘛o ，) =s i n h 宁s i n h 学 刁面焉广 n $ ，”曼b ( 1 2 3 ) 显然r ( p ；x ，g ) = r ( p ；口，z ) 0 ，对任意口o ，r ( p ；x ，y ) 作为变量z 的函数属于 慨n ) 容易验证对于任意t ( p ，q ) ，成立 t ( 口) = ( u ( ? ) ，r ( p ；z ，口) ) ，v 口q ( 1 2 4 ) 我们称满足( 1 2 4 ) 式的函数r ( p ；x ，口) 为空间w o o , ，n ) 的再生核 、 格式i 中第个方程可写为 ( 矿，埘) + a r ( v ；，t ) = 一丁( ，( t 瑶一1 ) ，w x ) + 扣“一1 ，埘) 若令p = a 则上式又可记为 ( ”“，埘) = 一r ( ，( 嵋一1 ) ，t ) + ( 仃“一1 ，加) 4 取扛) = 冗z ，g ) ，则得到 矿( ) = 一r ( ，( - 1 ) ，兄) + ( 俨，r ) 于是搭式i 的解可表示为如下显式积分形式 f 扩( ”) = 上v n - - t ( z ) r 文) 如一r 上，( 碟。) 如慨z ，y ) 如，p = 一 矿( ) = r 矿( p ) + u n - - i ( ”) ( 1 2 5 ) iu 0 ( ) = 妒( ) ， o ( ) = 妒( ) 类似地讨论可以把格式n 的解表示为如下显式积分形式： u n ( f ) = 一u n 。( ”) + 2 俨( z ) r c p ；x ，y ) 如 _ - 上，( ；嵋一；- 2 ) 磁置们如，p = c r r 2 ，。n 口1 ( 们= u 0 ( z r c p ；z ，口) 出一r ，( u ：) 您慨文g ) d x ， p = a , v ( 1 2 6 ) “1 ( 鲈)= r 口1 ( 可) + t ，( 耖) ， u n ( 耖) = 三( 口“( y ) + i i ”- i ( 可) ) + u n - - i ( 可) ，2 n n d 0 ( ) = 妒( ) ，1 ，o ( v ) = 母( 9 ) 1 3 稳定性和收敛性分析 定理1 设u ，v 是问题( l 1 3 ) 的解，矿，扩是格式( 1 互1 ) 的解，满足 玩工2 ( o ，t ；l 2 ( n ) ) ，胪( o ，已日1 ( q ) ) ，且，( 8 ) l i p 8 c h i t z 连续，则存在正常数 勺，e ( t ) ，当r 7 0 时，成立 i 妒一妒0 2 + “矿一矿暗e ( t ) 户钏u 圳2 + l l u 1 l j + 仍出 j o 其中c ( t ) 不依赖于ln 证明记矿= 矿一沙，俨= 矿一v n ，方程( 1 1 3 ) 与( 1 2 1 ) 相减可得误差方程 ( 国叽，) + n ( ，地) = ( 叼一岛俨，) + ( ，( 暖) 一，( u ；“) ，) ( 1 3 1 ) 岛矿= 伊”+ ( 叼一岛矿i c 1 3 2 ) 在( 1 3 1 ) 式中取u = 俨r ，可得 知扩0 2 一知俨- 1 2 + 口r o 铝2 昭一a 妒8 “i l 丁+ n ，( 曜) 一，( 碟一1 ) i i l 锷1 l r 和昭一舜妒酽+ 2 i 1 0 lj 2 + 丢叼) 一，( 嵋一1 ) 1 1 2 + 日噼胪 ( 1 3 3 ) 5 由于( 8 ) 是l i p s c h i t z 连续，即i ( 8 1 ) 一( 8 2 ) l l l s l 一观l ，则有 四) 一，( “：_ 1 ) 1 1 2 冬2 1 1 ( 四) 一，( 四- 1 ) 1 1 2 删，( 四“) 一，( “；。) 1 1 2 ，严 2 l 2 r 】1 2 出+ 2 l 2 怫。1 1 2 ( 1 3 4 ) j 一一1 利用t a y l o r 公式可证 ，一pp i i 昭一岛酽q r i w 1 1 2 d t = c t r o 2 d t ( 1 3 5 ) j 一一1j p l 方程( t 3 2 ) 两边与矿作内积可得到 妒旷一妒。1 1 1 2 ；i l e “1 1 2 + 2 1 1 0 “1 1 2 + 2 1 1 e 1 1 2 + 扣叼一秽酽 纠w + 妒酽+ 岛户仁。i i u 1 1 2 出 ( 1 3 6 ) 方程( 1 3 2 ) 两边对。求导后再与露作内积可得到 扣e n 旷一扣- l l l 2 丢划2 + e 训鳄俨+ 扣d 1 2 + 伤r 2 。j i 砚圳2 出( 1 3 7 ) 把( 1 3 3 ) ，( 1 3 6 ) ，( 1 3 7 ) 三式相加，并取黯= a ，则成立 1 1 酽1 1 2 + l i e 4 孵一l l 矿一1 “2 一l i e n - 1 幡冬g r 硼一1 酽+ j | 铲2 + 0 扩惦) f t n + c 童户 f i | 巩。f j + j | k 0 2 + l i c k 0 2 ) 出 j t “一l 上式两边对n 求和，并注意到俨= e 0 = 0 ，即得到 ( 1 一印) ij 铲1 1 2 + 胁g r 删畦一1u 2 + 渺1 1 2 + 1 1 7 1 1 1 ，p + 岛一 i i 矿, l f f + 0 u 玉2 + i l c 7 | 靠i | 2 ) d t j o 取r 0 = 1 ( 2 白) ，则当r r 0 时，成立 l 、 i 矿j 1 2 + 片瓯r 1 1 4 。1 1 1 2 + i i 矿1 1 2 + 2 ) + c , 户f o 产硼i | + i i n i i u = 1 1 2 ) 疵 由离散g r o n w a l l 不等式即得到定理的结论 定理2 设u ，v 是问题( 1 1 3 ) 的解，矿，俨是格式( 1 2 2 ) 的解，满足u 妊 6 工2 ( 0 ，t ；l 2 ( n ) ) ，u m l 2 ( o ，t ；h 1 ( 0 ) ) ，且，( 8 ) l i p s c h i t z 连续，则存在正常数r o ， e ( q ，当r 匍时，成立 i | “一i 1 1 2 十i l u 一c 严i 曙c ( t ) r 2 l i 1 1 2 + f 阢t l | + i j 口0 0 2 ) 出 ，p j o + c ( t ) r 4 p 月c mj j 2 + j | 。| j ；+ j l kj j 疵 t o 。 证明记矿= 矿一沙，俨= 矿一p ，驴一1 2 ( 。) = u ( z ，( n 一 ) r ) 当n 2 时，由方程( 1 1 3 ) ，( 1 2 2 ) 可得到如下误差方程 ( a 妒，u ) + 芸( 鳄+ 赡，) = ( x n ，) + 口( p ；，地) + ( 矿，地)( 1 3 8 ) 6 扣”= 寺( 矿+ 口“一1 ) + a ”一4( 1 3 9 ) 其中 x n ：1 昭一1 ，2 一岛矿， p n ：矿一l 2 一v + = v a 一- i ， d “= ，( 四一1 2 ) 一，( e ( “：) ) a “= 四一1 2 一曲c 严 在( 1 3 8 ) 式中取( ，= ( 俨+ 俨1 ) r ，可得 l 矿2 一l i o ”1 1 1 2 + 竿。畦+ 一1 1 1 2 r j j x 忭i i i i o “+ 俨1 “+ t a l l 以i 踞+ 理“i l + r 8 扩l l i l 鳄+ 霹一1 i i ；i l x l i ：2 + , 1 1 矿 1 1 2 + , - i i o n - - 1 1 1 2 + 百1 2 7 - ne r 嵫+ 赡一1 1 1 2 + 云。矿旷+ | f 鳄+ 船。酽 ( 1 3 1 0 ) 方程( 1 3 9 ) 两边与r ( e n + 矿“) 作内积。可以得到 1 1 ：1 1 2 一l i e 一1 1 1 2s c 鲁下 i l e 1 1 2 + | l 矿一1 1 1 2 + 0 a “ 1 2 + j i p ”1 1 2 + 1 1 0 “1 1 2 + i i o n 一1 1 1 2 ) k ( 1 3 i 1 ) 方程( 1 3 9 ) 两边对变量。求导后再与r ( e ：+ 爵_ 1 ) 作内积，可以得到 1 1 1 1 2 一 露一1jj 2 s 荔r i ，1 + 一1 ) + + 壕 2 + 叫j 露+ 呀一1 j j 2 石3 7 1 n 酽+ l i e 竹一1 1 1 2 + 1 1 1 1 2 + i i 瑶怫+ r i l 四+ 瑶一1 1 1 2 7 由l ( s ) 是l i p s c h i t z 连续，可得到 f p ”酽2 r i i ( 叼一v 2 ) 一，( e ( 叼) ) 0 2 + 2 r 0 ，( e ( 四) ) 一，( e ( “：) ) 酽 c 6 l 2 r 4 广2 2 d t + 2 l 2 2 l 睁 jn 一酽(1313)jv,-s l l 0 i i ；e 。一；e ：q i j 2( z 易证 ，严，俨 r f i x 竹| 1 2 凸r 4 j 1 t 俨d t = q r 4 | j u 赫l j 2 出( 1 3 1 4 ) j p 一1，p 一1 ，俨 f t ” r i i p 到2 g r 4 o 2 d t = 西r 4 o u 血f | 2 d t ( 1 3 1 5 ) j p i j 一一1 f “妒幡西f 4 j 嵋如(13rtn1 6 ) j p l 当n 2 时，把( 1 3 1 0 ) ，( 1 3 1 1 ) ，( 1 3 1 2 ) 三式相加，取髓= o t ，并把上面的估计 式代入。卿有 i i o “0 2 + 0 e 4 i i 一l 口”一1 0 2 一i l e n - 1 i l ： sc t o r j l e “h + l i e ”一1 i i + e 4 2j i + l 口”j 1 2 + | j 扩一1 1 1 2 ) ，p，p + c 1 0 t 4 厶一，们i i 圳i 2 + i l u if ： d t + c l o t 4 上一。o 0 2 出( 1 3 3 l r ) 类似于定理1 的推导，可证 ，t i j 口1 1 1 2 + i i e l 0 q l 户( | i 巩州 + l l c kj 1 2 + j | c ，击1 1 2 疵( 1 3 1 8 ) 利用( 1 3 1 7 ) 和( 1 3 1 8 ) 式，取，充分小并利用g r o n w a l l 不等式即可得到定理的 结论 由于，( s ) 是l i p s c h i t z 连续，可知i ，( 嵋- 1 ) i 工i 一t 1 + i ( o ) 1 用类似于上面 的方法对方程( 1 2 1 ) 和( 1 2 2 ) 进行估计，可得到下述稳定性结论 定理3 设扩，俨是格式( 1 2 1 ) ( 或( 1 2 2 ) ) 的解，且l ( s ) 是l i p s c h i t z 连续， 则存在常数勺，e ( t ) ，当r r 0 时，成立 口”0 2 + 0 u ? 1 1 2sc ( t ) l l 妒l i 2 + 1 1 妒1 1 ；+ i i ( o ) 1 1 2 8 1 4 数值结果 取d = 0 ，b = 1 ，本文精确解s m ( w z ) e x p ( a t 5 0 ) 进行数值实验，数值结果见下 表我们用的是复化锑形公式进行的积分计算，其中误差记为e = 一矿，时间和 空间步长记为- y = ( r ， ) ，乍= ( 0 。l ，0 1 ) 2 ( i = 0 ，l ，2 ) ，i l e l l l 表示误差的日1 范数， l l e i o o 表示误差的无穷范数由表中结果可以看出，格式川暄步长减小一半，误 差减为原来的1 2 ，验证了理论分析的结果：格式i i 由于外推算子本身的误差 存在，前面的结果显示不是很明确，但是随着步长的减小，收敛速度会逐渐加快 表1差分格式i 不同步长m 时的误差 ( t a b l e1e r r o r so fd i f f e r e n c es c h e m e1w i t hv a r i n gs t e p ) t 7i l e l h i 。 表2 差分格式不同步长镌时的误差 ( t a b l e2e r r o r so fd i f f e r e n c es c h e m e1 1w i t hv a r i n gs t e p ) t 1i l e l h旧i 。 9 第二章一类非线性波动方程的自然边界元与有限元耦合法 本章应用自然边界元与有限元耦合法处理一类非线性波动方程的初边值问 题用变量代换法将非线性波动方程降阶，从形式转变为所熟悉的抛物型方程， 考虑变形后问题的一种耦合近似问题：通过做一人工边界把无界区域分成两部分 一环形区域和无界补区域，在环形区域中取原非线性方程，在无界补区域中取相 应的线性方程最后分析了由此耦合法建立的线性f l ：格式的稳定性并给出了误差 估计 2 1 问题的提出 考虑如下二阶非线性波动方程的初边值问题： “付一u t = ，( u ) ， ( 。，t ) n 。( 仉卅 “( 。 。) 2 0 ( 。1 ) r 。( 0 1 刁 ( 2 1 1 ) u ( 工，0 ) = t 0 ( z ) ， z n t h ( o ，0 ) = v o ( x ) ， o q 。 其中q 为r 2 中一有界单连通区域，其边界为r ：= a n ，n c ：= r 2 磊为闭区域q 的补区域，t 为正常数我们考虑问题( 2 1 1 ) 的一种耦合近似问题，取一包含 边界r 且半径足够大的圆周r o ，这就是我们所做的人工边界，在边界r 与人工 边界r o 所围成的有界环形区域中取原非线性波动方程，而在r o 之外的无界区 域取相应的线性方程具体描述如下：设n l 为边界r 与人工边界r o 所围成的 环形区域，为! ：j u 嚆补集 令撕= 口，则问题( 2 1 i ) 变为： i 0 ( 。，t ) n 。( 0 ，明 ( 圳r 。( o ，t 】 ( 2 茹n o 协 = ，i = 仉m = = n 口以硼删 仇“嘶 2 2 自然边界归化 问题( 2 1 2 ) 的耦合近似问题为： 求 c o ( 萨( n lu f 2 2 ) ；( o ，卅) n c o ( c l , r ( 磊1 ) ；( o ，q ) n 伊( c 1 ( 磊2 ) ；( o ，t 1 ) 使得 仇一a v = ，( u ) ， 吨一口= 0 ， ( o ，t ) = 0 ， 口( z ，0 ) = t m ( o ) ， = 移 ( 鼢= u t = 口 ( o ，t ) q l ( 0 ，卅 ( 。，t ) q 2 ( o ，卅 ( z ，t ) fx ( 0 ，卅 z 孵( 2 2 。1 ) n = ( f t i ，n 2 ) 表示r 0 上任一点指向q 1 的单位法向量 对任意定义在q l u 啦上的函数口，记矿：= l 蝉( ”k ) ，口一：= l 脚( 训n 。) 从而实现问题( 2 1 2 ) 的有限元和边