（运筹学与控制论专业论文）fitzhughnagumo方程组的两类行波解.pdf

硕士学位 论文 m a s t f r s丁 1 干 e s i s 然后， 将( m) 的轨线与这些方程组的 熟线相比 较， 再利用确界原理， 得出( 1 h ) 的 异宿轨和同 宿轨的存在性. 本文的主 要结论为 定理3 .1 .4 ，3 .1 .e 和4 .1 .2 ， 其中3 .1 .4 和3 .1 .5 证明 了 存在c o e ( c * , c * ) 使 得当。 = c o , ( 1 1 1 ) 存在异宿轨线， 定理4 .1 .2 证明了 存 在c o o e ( c . , c o ) ， 使得当c = c o o , ( i i i ) 存在同宿轨 关扭词 f it z h u g h - n a g u m o 方程 组， 波前 解， 脉 冲 解 硕士学位 论文 n a s r e e s t h e s i s ab s t r a c t 个 t h i s p a p e r i s c o n c e r n e d w i t h t h e f a m o u s f i t z h u g h - n a g u m o e q u a t i o n s a n d t h e e x i s t e n c e t r a v e l i n g p u l s e i s 护u_、_1 、 = 赤+ “ ( ， 一 “ ) (“ 一 a ) 一 ” ( 0 0 ) o f t w o k i n d s o f t r a v e l i n g w a v e s o l u t i o n - t r a v e l i n p r o v e d . l e t (二 :+c t , u = u r , e = a , , y= ( 1 .6 ) f r o n t a n d ， w h e r e 而一次av一次 9口-口 d en o tes晶 ,(1.6) is tran sform ed 。 (lll) u l 二 叨 e ， v =一i u 一 tiv c 。 二一 。 ( 1 一。 ) ( 。 一 a ) +。 +c w t h e n , w e c a n s e e t h a t u n d e r s o m e c o n d i t i o n , ( i i i ) h a s a h e t e r o c l i n i c o r h o m o c l i n i c o r b i t . f o r s p e c i a l c o ,w h i c h i m p l ie s t h a t ( 1 . 6 ) h a s a t r a v e l i n g f r o n t s o l u t i o n o r t a v e l i n g p u l s e s o l u t i o n . i n t h i s p a p e r ,h e t e r o c l i n i c o r b i t s o f t h e f o l l o w i n g e q u a t io n s a r e fi r s t l y d i s c u s s e d 、，了、，产 八眨 : q山q 矛、才r u 孟 =w 1 w i =一 、 1 ( i 一 。 1 ) ( u ， 一 a ) + c w t u 3 =w 3 人 v 3 =( 。 : 一y v 3 ) 码=一 。 3 ( 1 一。 3 ) ( u : 一a ) +v 9 + cw9 +二 rv 9 e 邝 i u 4 =。 ; u ; 一是 (u 4 一 : v 4 ) w 4 =一 。 4 ( 1 一u 4 ) ( u ; 一a ) +。 一 ( 2 . 6 ) 二v 二 一 c w4 e 甲 s e c o n d l y , w e c o m p a r e s o m e o r b i t s o f ( i i i ) w i t h t h e s e o r b i t s , f i n a l l y , t h e e x i s t e n c e o f h e t e r o c l i n i c a n d h o m o c l i n ic o r b i t s o f ( i i i ) is p r o v e d b y m a k i n g u s e o f s u p r e m u m t h e r e o m t h e m a i n r e s u l t s a r e t h e o r e m 3 . 1 .4 , 3 . 1 . 5 a n d 4 . 1 .2 , o f w h i c h t h e o r e m 3 . 1 .4 a n d 3 . 1 . 5 s h o w t h e e x i s t e n c e o f h e t e r o c l i n ic o r b i t o f ( i i i ) f o r s o m e c = c o e ( c c ) . a n d t h e o r e m 4 . 1 .2 s h o w s t h e e x i s t e n c e o f h o m o c l i n i c o r b i t o f ( i i i ) f o r s o m e 。 =c o o ( c . , c o ) k e y w o r d s f i t z h u g h - n a g u m o e q u a t i o n s , t r a v e l i n g f r o n t , t r a v e li n g p u l s e . i v 圣易: 硕士学位论文 5 i l s f e r s f i f l ti i s 一、 引言 由线性偏微分方程的基本理论，我们知道波动方程 ( 1 . 1 ) 六一尸 八-护 与热传导方程 a u _ a u 二 。 at ax = ( 1 . 2 ) 解的性质有本质上的不同之处. 其一， ( 1 .1 ) 对扰动的传播速度是有限的， 也就 是说， 如果( 1 ) 的 初值间 题具有紧 支集， 则( 1 .1 ) 的初值间 题的解在任 何时 刻都具有紧支集， 而( 1 .2 ) 对扰 动的传播 速度是无限的， 也就是说对 于任 何非零初始 扰动，( 1 ,2 ) 的 初值间 题的 解都具有非紧支集. 其二， ( 1 .1 ) 有有 界非常数行波 解， 即( 1 .1 ) 有u ( z , t ) = 。 ( 二 一 c t ) 形式的有 界非常数 解， 其中。 笋 。 为波 速， 而( 1 .2 ) 不可能有有 界非常数行波解 1 9 3 7 年 ，r .a .f i s h e r 在 研究 基因 间 题时 建立了 后来以 他的 姓 名 命名的 半线性抛物型方程 (l3)(l.) a ua t 一 a luw 一 。 (， 一 。 ) 并发现( 1 .3 ) 有波动解，即 满足 边界条件 。 ( 一 0 o ) =0 , u ( + o o ) 二1 的单调有界行波解u ( c ) ( 其中 =: 一 c t , u ( 二 ， t ) 二、 ( s ) ) ， 其临界波速为c = - 2 ( 见 1 ) 同 年，a .k o h n o g o r o ff ,i .p e t r o v s k y 和n .p i s c o u n o ff 在 2 中引用相图 法和打靶 法证明了 当。 0 , 0 0 ， 本 方 程 组 称 为f i t z h u g h - n g u m o 方 程 组 ， 以 下 说明 其 来 源 至 于。 。 ( 0 , 备 ) ， 关键 是由 于 命 题( 2 .2 .1 ) ,a 和p 的 取值本节可说明 1 9 5 2 年，a .l .h u d g k in 和a .f .h u x l e y 通过对神 经纤 维中 神 经冲 动传播 的 研究， 提出了h u d g k i n - h u x l e y 模型 6 1 ， 一 c o 佘 十 9 n . - 3 h ( 。 一 。 n . ) + 9 k - ( 。 一 。 k ) 9 l ( 。 一 。 ; ) +( a m ( v ) + p - ( v ) 二=a m ( v ) + a h ( v ) -l p h ( v ) h = a ( v ) + a n ( v ) + p . ( v ) n =a n ( v ) ( 1 . 7 ) 如-dtdh一dt而一dt a ,n (v ) 一 。 .1 (v 、 2 5 ) ex p 竿 ) 一 ， 。 (。 ) 一 4 ex p ( 1v8 ) a h (v ) = 0 .0 7 e x p ( 益 ) ， 、 ( 卜 ex p ( v o 3 0 ) + 1 一 a n (v ) 一 。 .0 1 (v + 10 ) lex p 罕 ) 一 一 p (v ) 一 。 1 2 5 ex p ( 命 ) 其中i 为膜电 流密度( m a / c m 2 ) ,v 为膜电压( m v ) ,。为钠离 子 渗透激活参数 ( s o d iu m a c t i v a t i a n ) ( 无单位) ,h 为钠离子渗透失活参数( s o d i u m i n a c t i v a t i o n ) ( 无 单位) ，。 为钾离子渗透激活 性参数( p o t a s s i u m a c t i v a t io n ) ( 无单位) ，: 为时间 ( m a e c ) ，c o 为膜电 容( m f l ) e r . = 1 2 0 , y , = 3 6 , 刃= 0 .3 ( m v / c m 2 ) , v ,= - 1 1 5 , v k =1 2 , v l=- 1 0 .5 9 8 9 ( m v ) . . 硕士学位论文 ma ste r s th e si s 1 9 6 1 年，f i t z h u g h 利用模拟计算机 ( a n a l o g c o m p u t e r ) ，发现( 1 .7 ) 的 r、.声苦 er d口 目f.几， 相轨线经过投影( p l a n n e r p r o j e c t i o n ) 以 后， 与如下b v p ( b o n h o e ff e r - v a n p o l ) 模型的相轨线是类似的8 1 d u_ _ _，u 3 一 一 一w 一 ! u一一 i cd t3， jc 了!产、1、 d w. . 号 犷+ b 留 二 at 其中a 、b 、c 为满足如下关系的常数 1 。 0 , c s 。 ，1 。 1 一 2 6 3 1 9 6 2 年 ，j .n a g u m o ,s .a r i m o t o 和s .y o s h i z a w a 利 用电 路 来 模 拟( 1 .8 ) ， 提 出了如下的方程组 7 1 _ d v cse : we d下 i 一f ( e ) _d i 去 二 - d下 ( 1 . 9 ) +r i = 一 ”= e 一凡 其中电 路图如图1 所示，t d 为二 极管( t u n n e l d io d e ) ,f ( e ) 为二极管的 电 压一电 流函数( v o l t a g e v s c u r r e n t c h a r a c t e r is t i c ) ， 在此， 7 假设 图 1 f (e) = 、 一 二 (e - eo) le 30 j (p o ,b 0 ) 硕士学位 论文 m a s t e r s i i i e si s 其中 。 二 f ( e o ) 利用如下变换 二 7 - , ul c = 。 + ( 。 。 一 e o ) 无 ( + i o ) , j=乌 k 。 二 r io + ( e o - e o ) 。 一 r- . c - 七p 则( 1 .9 ) 变成( 1 .8 ) l r l 、 !_ 。 。 介 一 下勺 ，甘 一 t d， 肖 二 c 夕c 万 、 一 夕 - 图2 为了 模 拟电 讯 号在 多级电 路( 见图2 ) 中 的 传 播，7 得出 在( 1 .9 ) 中 l 幽 rj ( 1 . 1 0 ) 由( 1 . 8 ) 及( 1 .1 0 ) 得出 1 口 “，u 3 二石 a t 一 u 一 u 一 了) ( 1 . 1 1 ) + 妞二二 a 一u 其中 h =p / r 现在， 可以 证明 在 条件1 。 1 一 3? b 之下，( 1 .1 1 ) 可化成 8 2 u， _、 二 下 一 二 十u( 1一 u) ( u一a) 一 v 口七. a u一o u 4 ( 1 . 1 2 ) -一 而一击加-衍 硕士学位论文 6 i a stfr s ti i fsi s 的 形式， 其中a e 0 , 1 ) , (2 b + 6 一 3 a ) 。 所以 必有k ( 1 , 2 ) 满足( 1 .1 4 ) 及( 1 .1 6 ) 对 于f i t z h u g h - n a g u w o 方 程 组( 1 .6 ) ， 当a 充 分小 时 ， 有 许 多 关于 其 行 波解的研究结果 3 4 5 ，本文研究。 可以充分大时， 此方程组的 有界行 彼解， 事实 上，由( 1 .1 2 ) 中 3 k +斌1 2 一3 k 2 c 可知， 在( 1 .1 2 ) 中z i 的大小由p .l .c .k 确定，n 充分大是有可能的 ， 因 此 对 ( 1 .6 ) 考虑。 充分大的情况，至少对研究电 路中 信号的传播是有意义的. 方程组( 1 .6 ) 的 行波解即 是形如( u ( x , t ) , v ( 二 ， t ) ) = ( 。 ( 二 + c t ) , v ( x + c t ) ) 的 解， 其中。 为 波 速 讨论( 1 .6 ) 的 行 波 解 是 有明 显的 意义的 . 如 令( = 二 + c t 则( 1 .6 ) 可化成 =u ii +u ( 1 一 。 ) ( 。 一a ) 一。 ( 1 . 1 8 ) 记扩 cc r.，、.、 其中 “ ” “ “ ”分别表示对 一( i v 的一阶、二阶导数 j刃j口f了 图 4 肇 硕士学位论又 % i a si f r 马 彭 洪飞 叭 、 如果。 ( c ) 二 f ( 0 , v ( c ) = g ( c ) 是( 1 .1 8 ) 的某个满足某种初值或边值条件的 解， 则。 ( 二 ) 二f ( 二 ) ， 。 ( 二 ) = 9 ( x ) 表示: = 0 时。 ， 。 关于二 的 取值 情况， 如果 画出。 = f ( 二 ) 的函 数图 形， 将其 看作“ 波” ， 则。 = f ( x + c t ) 表示这种波以 速 度。 往一方传播而波 形不变.。 = g ( x + e t ) 也是一样的 而 讨论( 1 .6 ) 的 行 波 解， 即 是讨论( 1 .1 8 ) 在一 定的 初 或边值条件 下，。 取 什 么 值，( 1 .1 8 ) 存在满足初、 边值条件的 解. 这个解作为 “ 波” ， 如果它在一维介质中 是 匀速传播的，则它的波形不变. 方程组( 1 .6 ) 的行波 解有许多 种类型(3 j (5 ， 而本文只 讨论其中的波前解 及 脉冲解， 其中波 前解即( 1 .1 8 ) 的 单调有界且不恒为常数 ， 满 足u ( - 0 0 ) = u ( + 0 0 ) = 0 的解 ( u ( o , v ( o ) 所对应的( 1 . 6 ) 的解( 。 ( 二 + c t ) , v ( 二 + c o ) ， 而脉 冲 解即( 1 . 1 8 ) 的满足。 ( - o o ) = u ( + 0 0 ) , v ( 一 0 0 ) = v ( + 0 0 ) , u , ( 一 0 0 ) 二 。 ( - 1 0 0 ) = 0 的 非常数解( 。 ( ) ， 。 ( ( ) ) 所对应的( 1 .6 ) 的解( 。 ( 二 + c t ) , v ( 二 + c o ) ， 由。 ( - ) = u ( + 0 0 ) , 可 一 0 0 ) = v ( + 0 0 ) 可知，( 1 .6 ) 的脉冲解也是有界的. 如 果 令。 = w , a = ， 弓 = ， ， 则( 1 .1 8 ) 可 化成 “ ， = w ( ii i ) 了.、j7、卜 那么1 .6 ) 的波前解即 。 ， 二 是 (牡 一 ， ) 。 二一 。 ( 1 一。 ) ( 。 一a ) +。 +c w ( i i i ) 中。 ， 。 单调有界且不恒为常数，w w ( + o o v ( + o o =0 的解. ( 1 .6 ) 的脉冲解是 ( i i i ) 中。 ( 一 0 0 ) =u ( + 0 0 ) , o 。 ( 一 0 0 ) = 二 ( + 0 0 ) = 0 的非常数解. ( 一 co)二 ( - o o )= 在。 ( s ) = 葺 ( 、 ( ) 一 : 。 ( ( ) ) 两边 取极限， 得 去 mc ! 1 w 。 ( ) =li m c - 士国 ( 二 ( ) 一7 。 ( ) ) 因而 li m 叶士。 。 ， ( ) 存在， 由 于当 e ( - 0 0 , + 0 0 ) , v ( s ) 有界， 必 然有 娜 。 ( ) = 0 份 4口 亡 侧 由此得出 场n c - + 士0 0 u ( s ) 一 y v ( c ) 二0 再在。 ( ) = 一 二 ( 0 ( 1 一 。 ( c ) ) ( u ( s ) 一 a 卜。 。 ( ) 两 边 取 极限 ， 有 c li mw ( ( ) = c i 【 一 。 ( 0 ( 1 一 u ( c ) ) ( u ( s ) 一a ) + 。 ( ) 一 c w ( ) ) 冬娜 硕士学位 论文 h ! s 丁 f r s t i i f s ( s 因而 li m c -士。 w v) 存在，又由于二 ( - 0 0 ) = w ( + 0 0 ) ， 可知二 ( ) 在s e ( - o o , + o o ) 时有界，因此必然有 l i m ( 弓士co w v) = 0 ， 因此可看出 。 概 u ( o ( 1 一。 ( ) ) ( 。 ( ) 一 a ) +。 ( ( ) 一c w ( ( ) =0 由以上的讨论，我们有 命题1 .1 .1若( 。 ( ) ， 。 ( ) ) 为( 1 .6 ) 的波前解或脉冲解， 则有相对于( i i i ) li m 亡 弓士。 。 ( ) 、 概 (u ( s ) 一7 v ( 0 =0 ， h im 弓士. u ( c ) ( 1 一 。 ( ) ) ( 。 ( ) 一 a ) + v ( s ) 一 c w ( ) =0 由 于 本文以 下的讨论主要集中 于( i i i ) ， 而( 1 .6 ) 的波前解 及脉冲解 均是 相应于( i i i ) 的满 足某些 条件的 解， 所以 下文中 很少提到( 1 .6 ) 及波前解， 脉 冲 解， 而较多 提到( i i i ) 的 解及相轨 线， 本文中( i i i ) 的相轨线与( 1 .6 ) 的 波前 解及脉冲解的对应关系见图5 . 其中图5 ( a ) 中的相轨线表示( i ii ) 的有界解 ( 。 ( 0 减 ) ， 。 ( 0 ) 满足当 *+ o 0 和 *一 o 0 时极限都存在， 且这两个极限 不相同 另 外二 ( ) 0 ( ( - o o , t o o ) ) ， 这种轨线叫 做异宿轨 线， 它 对应着 ( 1 .6 ) 的波前解.图5 ( b ) 中的 相轨线 表示( i i i ) 的有界解( 。 ( ) ， 。 ( ) ， 。 ( ) ) 满 足 ji mc - - - ( u ( ) v ( ) v ( s ) ) =c l ( u ( ( ) , w) , w ( o ) 这种轨线叫 做同宿轨线. 图5 ) 念升l任 本文主 要证明当: , 7 满足一定的 条件的情况下，( 1 .6 ) 存在波前解及脉 冲解. 本文主要方法为相图分析法及比较方法，虽然应用这些方法得不到 3 中 那么丰富结果， 但是这些方法是容易理解的， 并不需要应用同伦变 换及同 调论等拓扑学知识. 另 外， 本文方法简单， 得到的 参数估计却较具 体. 本文第二部分为预备知识， 主 要介绍( i i i ) 的奇点 分析 及一些方程组 的解的存在性， 这些都是后面的讨论所必须的. 第三部分介绍波前解的存 在 性， 在这一部分， 定 理3 .1 .3 有助于理解当 充 分大时( 1 .6 ) 的 行波解的 性态， 定理3 .1 .4 及3 .1 .5 得出( i i i ) 的异宿轨的存在性， 从而证明了( 1 .6 ) 的 波前解的 存在性. 第四 部 分证明: 充分大，e , 2 1 时( i i i ) 的同 宿轨存 在， 从而证明( 1 .6 ) 的 脉冲 解的 存在性. 二、 预备知识 1 . 奇点分析 以 下 所作奇点 分 析目 的 在 于 说明( m) 在二 、b , 、7 均大于 零的 情况下，口点( 即原点) 有一稳定及不稳定流形. 另 外 还有一平衡点也有 一 稳 定及一 不稳定流 形， 从而 为 证明( i i i ) 的 从。 点出 发的 到 达另 一 平衡 点及从。点出发回 到。点的相轨线的 存在性提供条件 方程组( i i i ) 的奇点即 是满足 妞 = 0 是 (“ 一 ， ) 一 0 一 。 ( 1 一。 ) ( 。 一a ) +。 +c w=0 的 点( 。 ， ， ， 。 ) . 容易知道， 当7 尚 ,(iii) 有 三 个 ”点 。 ， = 尚 ,(iii) 有 三 个 平 衡 点 。 a 、 b 、a、b， 而a 与b 重合 7 气1 - a ) ( i i i ) 只 有一个平衡点o . 本文只 考虑情 形( a ) , 以 后对7 的限制还要加强. 在。点， 方程组( m) 的特征方程为 ( 习二 。 ， 即 1 1 一1 +1 0入- 0 ( 习= e c 一 a e7 0 = 0 久一 c 或 = ， ( ， + e 7 (c， 一 ) 一 !是 + a (a + ec ) l 一 ， 3 + ( !,-y 一 。 / v + ( 一 : ， 一 )， + ( 一 e 一 a e vc ) 一 。 ( 2 . 1 ) ，( ， ) 一 3 a + 2 ( e- c 一 ) ， 一 ( ， + a ) ()(a) 另外 ( b ) 图 7 0 ( 0 ) = 0 ( 0 ) = 三 一 a e 7 。 cc 一 7一a0 1 2 口. :督; 硕士学位论文 % i a s r e r s t h e s i s 由 二次函数和三次函 数的 性质， 可知名 二a ( a ) 的图 象如图 示， : = 0 ( a ) 的图 象必如图7 ( b ) 的 实或 虚曲 线所示， 两种情形中 ， 必然有唯一的正实根 7 ( a ) ( 人 ) 假设 ( 习= 0 的三个根为a 1 , a 2 , a : 则 a l a 2 +a 2 a 3 +a 3 a 1 =一 7一a0 现在假设人 1 为正根，则另外两根或者全为负实数， 或者为一对共扼 复根 入 : = 二 + ， ， 久 3 =二 一 y t ， 其中二 ， ， 为实数，由于 1 1 1 2 + a 2 a 3 + a 3 a 1 =a i ( a 2 + 1 3 ) + a 2 a 3 二a 1 2 x + x 2 + y 2 0 所以二 0 待定，它代入( 2 .3 ) ， 则有 ( - 2 k s + 1 ) u l + ( k 2 一 c k 一 a ) = 0 比较系数得 或 k 相应于这两组系数， ; 一 _v-2-2 ，一 。 r 12 一 a) 一 _v22 ，一。 ( 12 一 a) 1冬一八山 班 形，故取 k, c 二f 均能 找到( 2 .2 ) 的 解，由 于本文讨论。 ) 0 的 情 一 a ) ， ， f 。、 付ic =万 i w u ; = k u l ( 1 一 u 1 ) ， 令。 : ( 一 0 0 ) = 1 1 + b e - 击( 代入( 2 .3 ) ，解得 另外， 有 故命题成立. 。 limc - - o o u 1 ( 1 ) =0 , fl -, - v/2- be一 t 1 + b e台 u l ( 心 ) =1 , c 概 l i m + w i ( 心 ) =0 命肠2 . 2 .2若7 m a : 方程组 万 一一 生 一一 . 一生 一飞 、 。 = i ( 2一a ) ( 1 一2 a ) ( 1 一a ) i u /2 =。 ， w 2 =。 : ( 。 : 一二 月 ) ( ， : 一二 ， ) +c w z 。 。 = ,f i 1 、 一 。 ， ) 、乙， ( 2 . 4 ) 有 连接( 0 ,0 ) 和( u b , 0 ) 的 轨线， 且 相应的. : ( ) 0( ( - 0 0 , -f 0 0 ) ) 硕 士学位 论丈 i a s i e n s丁 i d l? 5 i s 一_ _ _ _一 证由表达式 ij产 1一7 一 a 廿了1，、 左 一 ，口 a + 月1 杏了钊. 一 a + 1l u a=一一 一2 、1产 一工一7 + a 2、 4 1 ，山 、，.1矛 e + 1 了古r + a + ，人 a b=一一 2 容易算出当7 石 - 2 a ) ( 2 - a ) 有 “ ， 。 其余部分证明与命题2 .2 . 1 的相同 u b 1 + 吞 。 一 器t 其显式解即 ( 0 ) 命题 方程组 2 .2 .3 若 ， m a x 9 ( 2 一a ) 1 一2 a 4 ( 1 一a ) 2 ， 一， 一 v 2- u ， 一 ， ) ( 2 . 5 ) 一a ) +c w 3 +v 3 + 6 7v g 有连接0 证 、b的轨线，且相应的二 3 “ ) 0 .( e ( - 00 + 00 ) ) 方程组( 2 . 5 ) 实际上是 妞a ( 。 ， 一 t v 3 ) 一 ( 一 、 )(一) + 季 二 + 一 ( 2 . 5 ) u 3 ( u 3 一。 a ) ( u 3 一u b ) + c v 13 1 5 由 命题2 .2 .2 ， 由( 2 .5 ) 的一、 三方程组 成的 方程组有 连结( 0 ,0 ) 与( u b , 0 ) 的轨线 u 3 ( s ) = 性 b 7 二; ， 一 诱c ( 为任意 正实数， ( 一 co ， + co ) ) - 3 ( s ) 二 s be r c ( 1 + 。 。 一 0 c )2 再由v 3 =是 ( ! 。 一 : 一 ) 令 。 3 ( 一) 一 0 ， 知 v 3 ( ( ) 一 c .1- m 一 s)e l d s 】 m 心 +o o。 3 ( ) =li m 乙 衬+ 00 。 一 ! c . 二 八 u 3 e 警 a 1 + b e 谱 少7 =li m c 十 闰 、 1 一u $ . h ( - + -7 1 +b e万c 故命题成立. 命胭2 .2 .4当。 方程组 八、f9 4、 = “ = v z l 2 u b 一 ” a ) , 7 m a z t ( 1 - 2 a ) ( 2 - a ) ( 1 - - a ) 2 1 u 4 =w 4 _ 一 是 (“ - 7 v 4 )( 2 . 6 ) w 4 =一 。 4 ( 1 一。 ; ) ( 。 ; 一 a ) +7 14 一二。 r4 一 c 仙月 有连结b o的轨 线( 指从b出 发回 到0的轨线 ) ， 且相应的二 ( 0。 ( ( 一 m, + -) ) 证 作自 变 量 变 换， = 一 ， 并 令一 。 。 ( ) = 一 。 ; ( 一 ， ) 垒 - - ( 17) , u 4 ( c )0 4 u 4 卜。 ) = 侧。 ) ， 。 ( ) = v 4 卜 ， ) = v 4 ( 17 ) 仍以“ ， 表示 对， 的导数， 则( 2 .6 ) 变 .一 硕士学位论文 9 a s t e r s t h e s i s 成 一 是 (v t 一 7 可 ) ( 2 . 6 ) 可礼 w 4 =、 ( 一 二 ，(二 一 ， 十 可 + c -v ., + - v 4 + cw 4e y 将( 2 句 与( 2 司相比 较可知 命题成立 命 。 2 .2 .5 当 。 ， a + 1 + v (a 一 1 ) ， 一 2 a 且当。 0 使上式成立， 不妨设有v c o e ( - 0 0 , + 00 ) , u 5 ( c o ) 0 , u s ( s o ) ( 0 , u . ) 满足 2 u s(o)ll = u c(o ) 4 u s(co ) - 3 (1 + )“ 5(。 卜 1 2 a 则可得对充 分靠近c o 的 ， 满足u s ( c ) 。 并且 有 d ( 1 du 5 = 两l u , - 1不哀 1 2u , j 5 j (l + a )u 5 + j a 一 。 = j (c)u. ( co) d 3 、 几 a -1. 3 ， 一 17 ( 1 + 。 ) : + 1 a ja v l 4 3 、l , 令 ， ( ) 一 2 , i ,2 - 3 (1 + ) + 1 2 a 则当! e ( 0 , u o ) 有g ( s ) 54 o , g ( ) 54。 因此， 当u 5 ( c ) ( 0 , u . ) , c 为有限 数. 当: = 0 或， = ， 有g ( s ) = o , g ,( s ) 尹 。 因此， 有 一 “ =uu , d s “ 晒 )扮 二 叠 (1 + ) + 蠢 a = +0 0 一c o = o 办 二!丢户 dsf+.(co) 2a4ss- 3(1+ a)s+ za 二 一 1 8 硕士学位论文 k l a s t e r s t h e s i s 二分一 - . -. 一 一一一- -一. 3 . 几个简单的结论 命胭2 .3 .1当。 0 方程组( ii i ) 存在从。 点出 发进入。 o , v o , u 7 v , w 。 区域的轨线，它不会与面。 = 0 相碰，在。 。 时不会与。 =-t v 相碰. 证 由 于( ii i ) 在。 点附 近 相对于正 特征值a ( 见命 题2 .1 .1 及它前面的 讨论) 的 特征方向( u , v , w ) 满足 妞 = 人 u 是 (“ 一 “ ” ) 二 a u+v+c w 入 ” = 久w 故 特 征 方 向 表 示 为( 1 叱 万 ce ly .- 二十 ， ， ) ， 它 与 、 - e 7 7 v 左法向( 1 ， 一 ， , 0 ) 的内积为 1 一1 1 c 一 +0 =。 产. 、 ， 卞八 上 0 +久 故( i i i ) 存在进入。 o , v 0 , u 7 v , w 0 区 域的 相轨 线 由 于对任意c 0 假设r 。 与。 = 。 相交于( u ,0 ,司点， 则交点处r 。 切 向与。 =。 面右法向内积 “ 一 7 0 ) 1 0 故r 。 不可能与。 =。 面相交 假设r 。 与。 = 7 。 面相交， 向内积为 交 点 (牡 ， 1u , - u , w7) 处 r 切 向 与 一 ， 面 左 法 。 一 ， 丢 (。 一 7 。 ) = ， 故当。 0 ，r 。 不与与u = 7 。 面 相交 :氰 硕士学位论文 1 1 s e e h s t h e si s 命胭2 .3 .2当 : 一 ( ， 一 2 92a )(2 一 。 ) ，( 1 一a ) 2 ，。 = 。 设 方 程 组(2 .5 ) 连接。 , b的相轨线在w= 0 面上的 投影为。 mb 则当: 充分大， 弧 口 mb 与 。 。 充 分 靠 近 (o p 。二3 一 (一 ) 一 1 u 3 17充分小) 证 根据命题2 .2 .3 ， 对v e 0 ,( 2 .5 ) 有连接o 和b的 轨线 (u 3 (c ) , v 3 (c ) , w 3 (c ) ) ic 。 ( - 0 0 , + 0 0 ) 对 v ( 。 ( 一 0 o , + 0 o ) 先 证 e li v 3 ( c ) =王 u 3 ( ( ) ( 2 . 7 ) 此即证 l i m 二 巴 一 +。 。 c f t， ， 、 。 ， _ ， 、 ，u 3 ( ( ) 1 u 3 1 6 ) e 、 a s= 一二 丁 一 j一。 。了 图 8 由于、 , ( a ) 非负递增， 有 冬晕; 硕士学位论文 master s th e si s 是 j -t 一 ()。 ? 一 ，* : 是 一 (s )f e 一 ，“ 一 是 一 (s )e书 t j t e 0da ( 2 . 8 ) 、，.j苦 了、 了口.、 3 u 11乍. 对v 7/ ， 由。 。 ( 。 ) 非负递增 e (j u (a)ec一 )d a : c j s u (s)e ! - 一 ，“ j tn“ 一，一 生 u (,/)1u (,?) 一 。 ti (， 一 ) 7 因此 二: 二 : sj o0 一 (s)e 1 一 ，“ : 。: 二 : (， ) 一 誓 伪 一 ， 一 1,u (n ) 再令刀 * ，得 li m 兰 君 一 十c ， 亡 c u 3 (a)e 7 一 ， 刀 全 李 (。) ( 2 . 9 ) 由( 2 .8 ) , ( 2 .9 ) 知( 2 .7 ) 成立. 因 此， 对d m) 。 若要求 下 n 吕 t 0 u , u g.、 (一 )一 1- 7 u31 ” 使 得 ，。 (、 )一 李 、 ， 12 m 因 此 存 在 。 的 一 个 邻 (、 一 ，、 ;十 )( ) 0) 使 鹭3 e (un - b, u3i t b), iv3(u3) - 7 u3rx .a 1，一 再 由 有 限 ” 定 理 i 知 存 在 t m , u c7 $ i ii a b i v 3 1 u a ， 一 一u 3 i m a x i 9 2 ( 1 一a ) 2 ， : 0 ( i i i ) 必 存 在 连 接o b的轨线. 定 理3 .1 . 5 则证明当 接o b的轨线. ( 1 一 a ) ( 2 一 a ) a j - 一 一， 一 一 l 气 l一 a ) - k i一 a 八一 a ) j 1 , ( i ii ) 必存在 连 命 “ 3 .1 . 当 : ct = 而 ( ; 一 ) ， 对 于 v e “ 方 程 组 (iii) 不 存 在 从 。 点出发的有界解所对应的轨线 证 本命题的证明主要将( i i i ) 与( 2 .2 ) 相比 较， 当c = c 1 c , ( i i i ) 写 为 u t = 叨 一ec 1 “ 一 7 ” ( 3 . 1 ) 。 =一 。 ( 1 一 。 ) ( 。 一a ) +。 +c j w 由( 2 .1 ) 式， 知若设( 3 .1 ) 在( 0 ,0 ,0 ) 处一次近似方程组的 相应正特征值为 久 2 ， 则 ， “ + (_ecl 一 ) ， + 一 : 一 ，a 2 + ( 一 a e-c1 容易验证，人 : 满足 _二 、 = 。 而当 c=c , ( 2 .2 ) 在( 0