（计算数学专业论文）美式期权定价的指数型差分方法.pdf

宁夏大学硕士学位论文摘要 摘要 金融数学是一门新型的金融学与数学的交叉学科金融数学主要是采用高等数学的方法对 金融的理论和实践进行定性和定量的分析研究在金融市场中，风险无处不在：如资产风险，利 率风险，货币风险，信用风险，商品风险等面对风险可以有两种态度：一是回避风险，把它转 化为所希望的形式；二是承担风险，期望通过投资去获取风险利润，即投机金融衍生物就是一 种风险管理的工具，它的价值依赖于其他更基本的原生资产的价格变化期权是最重要的金融衍 生工具之一，它在防范和规避风险以及投机中起着非常重要的作用，期权理论的核心就是期权定 价问题对于欧式期权，b l a c k 和s c h o l e s 早已给出解析形式的定价公式，然而对于美式期权的定 价并不存在这样的解析公式，也无法求得精确解因此，研究各种计算美式期权价格的数值方法 具有重要的理论意义和实际应用价值美式期权定价问题的数学模型一般可归结为自由边值问 题或相应的线性互补偏微分方程 本文主要对美式期权定价模型的差分方法进行了研究在讨论和研究隐式差分格式和 c r a n k - n i c o l s o n 差分格式的基础上，提出了美式看跌期权的指数型差分方法，同时采用f o u r i e r 法 进行了差分解的稳定性和收敛性的理论分析，并给出误差估计通过数值计算表明本文算法是高 效可行的算法本文还推导了美式看跌期权的高阶指数型格式，并通过算例说明该格式是一种精 度较高，收敛性好的差分格式 关键词：美式期权差分方法指数型差分格式稳定性 宁夏大学硕士学位论文 英文摘要 a b s t r a c t f i n a n c i a lm a t h e m a t i c si sar i s i n gi n t e r d i s c i p l i n a r yf i e l dw h i c hc o m b i n e sf i n a n c ea n dm a t h e m a t i c s am a i nt a s ko ff i n a n c i a lm a t h e m a t i c si su s i n ga d v a n c e dm a t h e m a t i c sm e t h o dt oa n a l y z ea n dd i s c u s st h e t h e o r ya n dp r a c t i c eo ff i n a n c e r i s k se x i s t sa l lt h ep l a c e si nf i n a n c i a lm a r k e t ：t h ep r o p e r t yr i s k ，t h e i n t e r e s tr a t er i s k , t h ec u r r e n c yr i s k ，c r e d i tr i s k ，m e r c h a n d i s er i s ke t c t h e r ea l et w oa t t i t u d e sw h e nw e a r ef a c e dw i t hr i s k s ：a v o i d i n go ru n d e r t a k i n g f i n a n c ed e r i v a t i v ei sak i n do ft o o lo fr i s km a n a g e m e n t i t sp r i c ed e p e n d so nt h eu n d e r l y i n ga s s e tp r i c e o p t i o ni st h eo n eo ft h em o s ti m p o r t a n tf i n a n c e d e r i v a t i v et o o l s i tp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h ee f f e c t i v em a n a g e m e n to fr i s ka n ds p e c u l a t i o n o p t i o n p r i c i n gp r o b l e mi sc o r eo fo p t i o nt h e o r y f o re u r o p e a no p t i o n ，b l a c ka n ds c h o l e sg a v ea no p t i o np r i c e f o r m u l ai n1 9 7 3 h o w e v e r , f o ra m e r i c a no p t i o n , 1 1 0a n a l y t i cf o r m u l aa n de x a c ts o l u t i o nc a nb eo b t a i n e d t h u s ，i t sv e r yi m p o r t a n tt od i s c u s sv a r i o u sn u m e r i c a lm e t h o d sf o ra m e r i c a no p t i o n i nt h i sd i s s e r t a t i o n , a ne x p o n e n t i a lf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o df o ra m e r i c a no p t i o np r i c i n gi s d e v e l o p e do nt h eb a s eo fi m p l i c i td i f f e r e n c es c h e m ea n dc r a n k - n i c o l s o nd i f f e r e n c es c h e m e w cu s et h e f o u r i e rm e t h o dt oa n a l y z et h es t a b i l i t y , c o n v e r g e n c ea n de r r o re s t i m a t i o no ft h ep r e s e n t e ds c h e m e n u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h ec o n v e r g e n c ea n de f f i c i e n c yo fo u ra l g o r i t h m w ea l s oe s t a b l i s h e d h i g h - o r d e re x p o n e n t i a ld i f f e r e n c es c h e m ef o ra m e r i c a np u to p t i o n k e yw o r d s ：a m e r i c a no p t i o n , d i f f e r e n c em e t h o d ，e x p o n e n t i a ld i f f e r e n c es c h e m e ，s t a b i l i t y 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意。 研究生签名：乃：她露时间：莎彤军归疗日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论 文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的 全部或部分内容。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名： 导师签名： 时间：年月日 时间：年月日 宁夏大学硕士学位论文第一章引言 第一章引言 二十一世纪中国经济与金融领域研究的一个重大转变，就是数量方法的研究被越来越广泛地 应用，数量方法在金融中地大量应用使得数学与金融的联系变得密不可分而随着金融市场的不 断发展，金融衍生工具也快速发展起来，期权作为最重要的金融衍生工具之一，在防范风险和投 机中起着非常重要的作用改革开放以来，随着全球经济一体化进程的加快，如何防范和化解金 融风险已成为我国高度重视的一个问题，而期权又是进行风险管理的核心工具，所以，研究期权 定价问题有着非常重要的理论和实际价值 在期权定价的研究过程中，早在1 9 0 0 年，l o u i sb a c h e l i e r 就在他的学位论文中首次利用 随机游动思想给出了股票价格运行的随机模型，并提出了期权定价问题，被公认为是现代金融学 的里程碑1 9 6 4 年，1 9 6 4 年p a u ls a m u e l s o n 对l o u i sb a c h e l i e r 的模型进行了修正，以股票的回报 代替原模型中的股票价格，这个修改克服了原先模型中可能使股票价格出现负值的不合理情况 基于这个模型，p a u ls a m u e l s o n 还研究了看涨期权的定价问题，但公式存在缺陷，在实际交易当 中它是不能应用的1 9 7 3 年f i s c h e r b l a c k 和m y r o n s c h o l e s 推导出了著名的b l a c k s c h o l e s 方程， 并建立了看涨期权定价公式，该模型的创新之处在于不依赖于投资人的偏好，它把所有投资人引 向同一个以无风险利率作为投资回报率的风险中性世界继b l a c k s c h o l e s 定价模型被提出之后， 其他各种期权定价模型也被相继提出b l a c k s c h o l e s 定价模型给出了所有可以用标的变量定义的 不同衍生证券的价格所满足的偏微分方程，对于欧式期权，有些可以给出解析形式的定价公式， 但是对于美式期权没有精确的解析公式，这时，研究其数值解就有重要的意义，随着计算机技术 的飞速发展，数值方法显示出了许多优越性，所以数值方法就成为了一种很重要的衍生工具定价 方法，因此，期权定价问题的数值计算方法的研究就引起了更多人的重视 本文在现有研究结果的基础上从偏微分方程和期权相关理论出发，对美式期权定价问题的数 值方法进行了新的研究，建立了一种无条件稳定的指数型差分格式，并进行了稳定性和收敛性的 分析，给出了误差估计全文共分五章，第一章对选题背景和意义以及本文的框架进行了介绍；第 二章系统介绍了期权定价理论的发展及b l a c k s c h o l e s 方程；第三章对有限差分方法作了简要的 介绍；第四章以美式看跌期权为例给出了美式期权定价模型的隐式格式和c r a n k - n i c o l s o n 差分格 式：第五章在前几章内容的基础上建立了美式期权定价的指数型差分方法，并给出了误差分析， 讨论了其稳定性与收敛性 宁夏大学硕士学位论文第二章期权定价理论 第二章期权定价理论 本章主要介绍期权的相关概念以及期权定价理论的发展 2 1 期权的相关概念 本节对期权的定义以及期权的分类作简单描述 2 1 1 期权的定义 在今天的国际金融市场上，金融衍生产品多种多样，并且新产品不断出现，其中最基本的是 远期合约、期货和期权 期权是持有人在确定时间，按确定价格向出售方购( 销) 一定数量和质量的原生资产的协议， 但他不承担必须购入( 销售) 的义务期权持有人具有按协议条款在确定时间实施这个协议的权利， 但不负有必须实施这个协议的义务在期权合约中，确定价格称为实施价格或敲定价格，确定日期 称为到期日，按期权合约规定执行购入或销售原生资产称为实施从形式上来看，期权是一种交易 双方签订的、按约定时间、约定价格，买卖约定数量的特定商品或有价证券的合约简单说来，期 权就是一种选择权，期权交易实质上是一种权利的买卖，期权赋予合约持有人的是一种权利而不 是义务，这使得期权持有人的交易风险被限制在某一范围之内，从而形成了一种防范和规避风险 的有效手段 2 1 2 期权的分类 ( 1 ) 按合约中购入和销售原生资产来划分 看涨期权：是一张在确定时间，按确定价格有权购入一定数量和质量的原生资产的合约即期 权的购买者向期权的出售者支付一定数额的期权费后，就拥有了在期权有效期内按实施价格向期 权出售者买进某一特定数量原生资产的权利 看跌期权：是一张在确定时间，按确定价格有权出售一定数量和质量的原生资产的合约即期 权的购买者向期权出售者支付一定数额的期权费后，就享有在期权有效期内按实施价格向期权出 售者卖出某一特定数量原生资产的权利 ( 2 ) 按合约中有关实施的条款来划分 欧式期权：只能在合约规定的到期日实施 美式期权：能在合约规定的到期日以前( 包括到期日) 任何一个工作日实施 2 2 期权定价的历史背景 2 宁夏大学硕士学位论文第二章期权定价理论 期权定价是一个古老的问题，早在1 9 0 0 年法国数学家l o u i sb a c h e l i e r 发表了关于投资交易 理论的文章，它被公认为是现代金融学的里程碑，在他的论文中给出了股票价格运行的随机模型， 其中，他就提到了期权的定价问题，给出了最早的期权定价模型，该模型假设股票价格服从b r o w n 运动，单位时间方差为仃2 ，则买方期权的价值为： y 堋第堋等画c 等， 其中s 是股票价格，k 是执行价格，丁是距到期日时间，矽( y ) 和缈( 少) 分别是标准正态分布函数 和标准正态密度函数： 舭) = 击一了x 2 出，m ) = 去p l o u i sb a c h e l i e r 的期权定价理论宣告了金融数学的诞生，但在其后的5 0 多年里并没有引起重视， 并且其模型中假设股票价格是绝对的b r o w n 运动，这就允许股票价格为负，它还忽略了资金的时 间价值为正，期权与股票间的不同风险特征，以及投资者的风险好恶，所以不能应用在实际问题 当中 1 9 6 4 年p a u ls a m u e l s o n 对l o u i sb a c h e l i e r 的模型进行了修正，以股票的回报代替原模型中的 股票价格若墨表示股票价格，那么d c ，s _ _ _ l t 表示股票的回报，他提出的随机微分方程是： 孕：础+ 耐形 一一，i i ，1 y ，w a i 这个修改克服了原先模型中可能使股票价格出现负值的不合理情况 基于这个模型，p a u ls a m u e l s o n 还研究了看涨期权的定价问题，结果可表述为： 设y 是看涨期权的期权金，s 是股价，k 是敲定价，丁是到期时间，则 v = e 一2 【s e q 7n ( d 1 ) 一k n ( d 2 ) 】 其中 l n ( s k ) + ( a ，+ 去盯2 ) r 4 = 砺上 吨= 研一, 丁4 - f ， n = 去驴g t l 2 d 倪 这里口，口。分别是原生资产价格s 和期权的价格k 的回报在f = t 时刻的数学期望值，这 两个量依赖于投资人的个人偏好，因此虽然这个定价公式很漂亮，但在实际交易当中它是不能应 用的 1 9 7 3 年f i s c h e rb l a c k 和m y r o ns c h o l e s 建立了看涨期权定价公式 v = s n ( d 1 ) 一k e n ( d 2 ) - 3 宁夏大学硕士学位论文第二章期权定价理论 在这个公式中口，口。已经不再出现，取而代之的是无风险利率尸这个公式的创新之处在于不依 赖于投资人的偏好它把所有投资人引向同一个以无风险利率作为投资回报率的风险中性世界 2 3b l a c k s c h o l e s 方程 f i s c h e rb l a c k 和m y r o ns c h o l e s 于1 9 7 3 年5 月在 j o u r n a lo fp o l i t i c a le c o n o m y ) ) 上发表了题 为 t h e p r i c i n g o f o p t i o n sa n dc o r p o r a t e l i a b i l i t i e s ) ) 的文章，在文章中提出了著名的b l a c k s c h o l e s 期权定价模型，这篇论文在期权定价方面取得了重大的突破，推导出了基于无红利支付的任何衍 生证券所必须满足的微分方程 2 3 1 基本假设 ( 1 ) 原生资产价格演化遵循几何b r o w n 运动 鲁= 触+ 耐形 这里 一期望回报率( 常数) 盯一波动率( 常数) d 形一标准b r o w n 运动 e ( a w , ) = 0 v a t ( d 形) = d t ( 2 ) 无风险利率r 是常数， 贷 ( 3 ) 原生资产不支付股息， 又无跳空下跌 ( 4 ) 不支付交易费和税收， 的变动有关 ( 5 ) 不存在套利机会 2 3 2b r o w n 运动 即存在一个同定的无风险的利率，投资者可以以此利率无限制地借 即标的资产价格的变动是连续的，而且是均匀的，既无跳空上涨， 即不存在影响收益的任何外部因素，标的物持有者的收益仅与价格 定义随机变量r 。( 缈) ，( ，= 1 , 2 ，) ： f1 r f ( c o ) = 一 【一i 事i 牛a 发生 事t e a 不发生 宁夏大学硕士学位论文 第二章期权定价理论 容易证明r 。( 国) 具有以下性质： e ( r ，) = 0 v a r ( r ，) = 1 e ( r 。r ，) = 0 ( f ) r ，与足，独立 ( f ) 从随机量r 。出发，定义随机量尺户= r 以及随机序列s ，( 七= o ，1 ，) ： s ：= 0 蹄：k 血。， ( 七= 1 , 2 ，) 考虑时间段o f f ，细分【0 ，r 】，令2 万1 ，”= 玎，0 = o ，1 ，) 从而有分割 0 = r o t l 0 ；0 ，乞t 引理肿心极限姻考虑随机序列怯缸) ，当七专毗 去私专x 这里随机变量x n ( o ，1 ) ，即随机变量x 是服从标准正态分布的： e ( x ) = 0 ，v a r ( x ) = l - 5 - 宁夏大学硕士学位论文 第二章期权定价理论 对于任意固定眠 ， s 有w q ) 一形o ) u ( o ，f j ) ( 3 ) 增量独立：w ( t 。) 一眦“) ，w ( t 2 ) 一眦1 ) 与吣) 都是相互独立的( o f l ) 适合性质( 1 ) 一( 3 ) 的随机过程w ( t ) 称为b r o w n 运动 2 3 3 肺公式 设v ，= y ( 量，f ) ，v 是二兀司微函数，看随秽l 过程j r 造合随机微分万程 a s , = ( s ，t ) d t + a ( s ，) d 彬 ( 2 1 ) 则 晔学+ 扣跗) 豢肌o 瓠v a l s ， = 学州s to 稻v - + 扣s t , t 孑0 2 v m 峨t 丽o v d ，描公式具体证明过程由文献n 1 给出 2 3 4a 一对冲 若以股票作为风险资产，则股票期权价格y ，是个随机变量卖出一张期权，出售方必然面临风险， 为了回避这个风险，出售方要采取适当策略对风险进行控制，即买进适当份额的股票与它对冲， 记这个份额为，这就是对冲的思想 定义2 2 对于给定的期权v ，在相反方向交易份额的原生资产s ，使得构成的投资组合 兀： 6 宁夏大学硕士学位论文第二章期权定价理论 是无风险的，这称为一对冲 2 3 5b l a c k s c h o l e s 方程的推导 n = v 一s 设v = v ( s ，) 是期权价格，它在期权的到期日f = t 时 y c s ，丁，= 凄二嚣： 喜娄磊袭； 这里k 是期权的敲定价 利用一对冲技巧，我们来给出期权定价的数学模型 设在时刻t 形成投资组合 n = 矿一篮 ( a 是原生资产的份额) ，选取适当的使得在( ，r + 衍) 时段内，兀是无风险的，因此在时刻 ，+ 出，投资组合的回报是 兀f 瑚一n f= r d t n f 即 d v , 一a d s 。= r h ，d t = ，( 形一筋，) 讲 ( 2 2 ) ，ji 、 il ， 由于 k = 矿( s ，f ) 其中s 是由随机微分方程( 2 1 ) 确定的随机过程，因此由硒公式得 彤= ( 詈+ 三仃2 s 2 孑a z v + 筇西o v 渺+ 岙詈d 肜 把它代入( 2 2 ) 式，得 ( 詈+ 丢盯2 s 2 豢+ 筇詈一a a s ) d t + ( 舔竺a s 一甜) d 彬= ，( y 一丛) 衍( 2 3 ) 由于等式右端是无风险的，因此等式左端随机项d w , 的系数必为0 ，即选取 a = 等 叫， 将它代入( 2 3 ) ，并消去西得到 堡+ 1 c r 2 s 2a 2 v ：+ 心竺一，v ：0 a2a s 2 8 s 宁夏大学硕士学位论文第二章期权定价理论 这就是刻画期权价格变化的偏微分方程- - b l a c k s c h o l e s 方程 因此为了确定在合约有效期【o ，r 】内期权的价值，就要在区域： 0 s o o ，o t r ) 上求定解 问题： 阻2 豢+ 心豢卅= 。 1圹忙翟： ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 5 ) 是一个变系数反抛物型方程，而定解问题( 2 5 ) ，( 2 6 ) 是一个倒向定解问题：即在终止 时间已知“终值条件”( 2 6 ) ，在0 ， = 0 其中 b j _ 1 = ( 6 口一护五c h 哆= ( - 1 2 a - 孚) p 鲁 曰，+ = ( 6 口一詈) p 害一五c h b j - i = ( 6 口+ 一b m + 孚 b j + i = ( 6 口+ 妒 b 。=箜竺e 鲁 44 - 皖 ( 5 3 4 ) ( 5 3 5 ) f 川2 雨6 2 p 石：石 3 6 ， 瓦：上p 石 。 巧l + 万2 否t ：4 8 i + 6 6 2 。 6 l + 6 2 h i j + i - - 击p i 该指数型格式具有四阶精度 将以上所推导的有关方程( 5 3 4 ) 的格式( 5 3 5 ) 和( 5 3 6 ) 应用于本文所讨论的定价方程 一o v + 三仃2 罂+ ( ，一1 0 z ) 盟：，y j _ + 一2 仃j 万+ ( ，一一2 ) j i 2 ，少西叙2 、 7 缸 可得美式期权定价问题的四阶指数型差分格式为 嘭一l 噶1 + 哆+ e + i 嘴1 + b j l 吁l + b j + b j + l 吆l = 0 ( 5 3 7 ) 其中 - 2 8 鱼铂 去 h 宁夏大学硕士学位论文第五章美式期权定价的指数型差分方法 5 4 数值算例 州勘z 一争警字 毋_ ( 6 号 ( ，一；口：) ：r 州勘：一争警学 瓦一勘岭学 一b y = 6 孚埘， 瓦1 _ ( 勘岭掌 ( 5 3 8 ) 考虑一个不支付红利的美式股票看跌期权，设有效期为3 , 6 ，9 个月，标的股票现价为5 0 美元， 执行价格为5 0 美元，无风险利率取0 1 ，波动率为0 4 期权收盘价为4 5 美元 表5 3 美式看跌期权指数型格式( m _ 2 0 ) n = 2 0 0n = 2 5 0 n = 3 0 0n = 3 5 0n = 4 0 0 数值算例表明美式看跌期权的四阶指数型差分格式是一种收敛性好且精度高的差分方法 2 9 宁夏大学硕士学位论文第六章总结与展望 6 1 总结 第六章总结与展望 期权定价问题是金融数学研究领域中非常重要的一个内容，近几年越来越多的研究者投入到 了对期权定价问题的探讨之中，也取得了很多的成果本文主要讨论美式看跌期权的定价问题，以 b l a c k s c h o l e s 方程为基础，求解倒向定解问题，并通过自变量代换将变系数反抛物型方程转化为 常系数抛物型方程，推导该方程的隐式差分格式和c r a n k n i c o l s o n 差分格式，并在此基础上建立了 二阶指数型差分格式，对该差分格式进行加权平均，使得原差分方程的时间精度变为二阶，同时采 用f o u r i e r 法进行了差分解的稳定性和收敛性的理论分析，因为增长因子满足v o nn e u m a n n 条件， 证明本文推导的二阶指数型差分格式是无条件稳定的，并给出误差估计，通过数值计算表明本文算 法是高效可行的算法本文还推导了美式看跌期权的四阶指数型差分格式，通过数值算例表明该方 法是一种高精度高效的计算方法 6 2 工作展望 期权定价问题目前是金融理论研究的一个热点问题，本文所做的工作只是对美式期权定价模 型的差分方法进行了研究，只是一些初步的工作，还有很多不完善的方面，对于实际问题的应用还 缺乏研究，所以需要继续进行研究进一步的研究设想和今后重点努力的方向如下： 1 本文只是对美式看跌期权的定价模型进行了研究，而对于实际应用中影响美式期权定价的 一些因素体现的不够充分，如最佳实施边界就可以单独作为一个问题来进行研究，另外期权定价中 其他的重要因素，如波动率的估计并没有涉及到，希望能在以后的研究中，更全面地考虑各种影 响因素，研究出更具有实际应用价值的期权定价方法 2 期权的发展是很快的，种类也越来越多，除了本文提到的欧式期权和美式期权，还有关卡期 权、亚式期权和回望期权等，所以对其他种类的期权定价模型的研究也是今后的一个工作方向， 而且在每种不同的期权中各种情况都应该细化，如美式期权还可以分为有红利支付和无红利支付 的情况 3 随着经济的发展，人们的投资活动也会越来越复杂，不再满足单个资产的投资，而是会出现 多个风险资产的组合，在这种情况下，就要研究多资产期权的定价问题，也就是说要讲一维问题推广 到多维来进行研究，目前这项工作还很少有人涉及，这也会是今后工作的一个重点 3 0 宁夏大学硕士学位论文参考文献 参考文献 【l 】姜礼尚