（计算数学专业论文）矩阵的极特征值估计和逆n0矩阵perron余的研究.pdf

摘要 摘要 本文主要研究矩阵的极特征僮和逆甄。矩薄的p e r r o n 余，包括菲受矩阵的 p e r r o n 根和矩阵的极小特征值估计以及逆0 一矩阵p e r r o n 余的相关结果，其主要 内容如下： 1 概述了本文的选题背景，简簧综述了相关的研究现状和已取得的研究成果， 并提出了本文的主要工作。 2 通过构造非负矩阵的位移矩阵给出非负不可约矩阵p e r r o n 根的三个下界序 列，并指融序列是收敛予p e r t o n 根的，同时给出数值例子与相关文献的结果进行 了毙较。 3 首先利用几何算术均值不等式对矩阵极小特征值的下界进行了简单的估 计，所得的估计结果包含矩阵的迹和行列式的值，然后利用估计矩阵奇异值的方 法进一步估计矩阵的极小特征值，数值例子表舞该方法具有一定的可行性。 4 给出关于a 垂矩阵最小特征值的两个不等式，在此基础上得到搏矩阵最小 特征值下界的单调递增序列。 5 将非负不可约矩阵p e r r o n 余的概念推广到逆m 矩阵的p e r r o n 余，并给出 关予甄。矩阵和逆甄矩阵的稆关不等式。 关键词：非负矩阵，p e r t o n 根，胪矩阵，逆o 一矩阵，p e r r o n 余 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e st h eb o u n d sf o rt h ee x t r e m ee i g e n v a l u e sa n dt h ep e r r o n c o m p l e m e n to fi n v e r s e o - m a t r i c e s ，i n c l u d i n gt h eb o u n d s f o rt h ep e r r o nr o o to f n o n n e g a t i v em a t r i xa n dt h em i n i m a le i g e n v a l u ea n ds o m e r e l a t e dr e s u l t si n v o l v i n gt h e p e r r o nc o m p l e m e n to f i n v e r s e 甄一m a t r i c e s t h em a i nc o n t e n t sa l ea sf o l l o w s ： 1 t h eb a c k g r o u n do ft h i sp a p e ra n ds o m ec u r r e n ts t a t eo fe i g e n v a l u ea n dr e l e v a n t r e s e a r c hp e r f o r m a n c ea r es u m m a r i z e d ，a n do u rp u r p o s e so f t h i sp a p e ra r ep r e s e n t e d 2 f o rt h ep e r r o nr o o to fn o n n e g a t i v ei r r e d u c i b l em a t r i c e s ，t h r e es e q u e n c e so f l o w e rb o u n d sa l ep r e s e n t e db ym e a n so fc o n s t r u c t i n gs h i f t e dm a t r i c e s ，w h i c h c o n v e r g e n c ei s s t u d i e d t h ec o m p a r i s o n so ft h es e q u e n c e sw i t hk n o w no n e sa r e s u p p l e m e n t e dw i t ha n u m e r i c a le x a m p l e 3 s i m p l ee s t i m a t e so fl o w e rb o u n d sf o rt h em i n i m a le i g e n v a l u ea r ep r e s e n t e d b a s e do nt h ea r i t h m e t i c g e o m e t r i c - m e a ni n e q u a l i t y t h er e s u l t s ，i n v o l v i n gt h et r a c ea n d d e t e r m i n a n t 。a l ei m p r o v e db yt h em e t h o dw h i c hi su s e dt oe s t i m a t et h es m a l l e s ts i n g u l a r v a l u e 。a ne x a m p l es h o w st h a tt h i sm e t h o di sv a l i d 4 t w oi n e q u a l i t i e sf o rm em i n i m a le i g e n v a l u eo fm - m a t r i c e sa l eg i v e n b a s e do n t h ep r e v i o u sr e s e a r c h e s ，w eo b t a i na l li n c r e a s i n gs e q u e n c eo fl o w e rb o u n d sf o rm e m i n i m a le i g e n v a l u eo f m - m a t r i c e s 5 t h ep e r t o nc o m p l e m e n to fi n v e r s e 0 一m a t r i c e sa r ec o n s i d e r e da n ds o m er e l a t e d i n e q u a l i t i e si n v o l v i n g 0 - m a t r i c e sa n di n v e r s e 0 一m a t r i c e sa r eg i v e n k e y w o r d s ：n o n n e g a t i v em a t r i x ，p e r r o nr o o t ，m - m a t r i x ，i n v e r s e 虬- m a t r i c e s ，p e r r o n c o m p l e m e n t i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 虢一吼堋年r 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：翩躲之色比导师签名：垫鱼篁竺 日期：叫掰年乡月脚 第一章引言 1 1 选题背景 第一章引言 矩阵是数学上的一个重要概念，有着悠久的历史和极其丰富的内容。矩阵理 论是数学的一个重要分支，科学技术的飞速发展和计算机在社会生活中的广泛应 用使得矩阵理论越来越受到数学工作者、科技工作者和工程人员的重视。矩阵理 论在数学的许多分支，如数值分析、最优化理论、微分方程、控制理论、数学建 模等方面都有重要的应焉，同时，矩阵理论作为一个强大的数学工具，与经济学、 管理学、物理学等学科也有着密切的联系，矩阵理论已经深入到社会科学的各个 方面，成为科技领域中不可缺少的数学工具。在工程领域，尤其是处理一些大型 而复杂的工程问题时，矩阵理论具有表达简洁、对数学和工程问题刻画深刻的特 点，因此利用矩阵理论来处理科学技术中的各种阆题霉益受到科技工作者的青睐。 在经济学和工程领域，比如管理决策，石油探测，电路设计和网络流的应用 中，很多数学模型都是线性的，对实际问题的解决都归结为求解大量的线性方程 组，丽这些线性方程缀的系数矩阵都是一些非负矩阵，酃所有元素非负的矩阵。 研究非负矩阵对于求解线性方程组有着重要意义。关于非负矩阵理论的另外一个 重要的应用是对于n 状态齐次马尔可夫链的研究。齐次马尔可夫链是随机过程的 特殊类型。最初对此做出研究的是俄罗斯著名数学家a a 马尔可夫。马尔可夫链 在物理学、生物学、社会科学以及工程和商鲎等方面有着广泛的应用。 非负矩阵是矩阵中的一个重要的矩阵类，它与数值分析、经济数学、概率论、 组合数学和控制论等学科有密切的联系。非负矩阵的研究起源于p e r r o n 在1 9 0 7 年 对正矩阵谱性质的探索，后来由f r o b e n i u s 发展，彳孽到了关予毒负矩阵谱半径的优 美结果。著名的矩阵论专家a ，b r a u e r ，c r 。j o h n s o n ，r s v a r g a ，a o s t r o w s k i 在此 领域作了大量的工作，现在己逐步形成比较完善的理论体系。非负矩阵理论在各 类矩阵的谱分析中有誊广泛的应用，尤其是对于玛尔可夫链理论、线性方程组的 求篇、偏微分方程( 组) 数值解的般理论的应用，一直是科学家十分关心的热 门话题。 非负矩阵的p e r r o n 余是非负矩阵的一个重要的研究方向。1 9 8 9 年m e y e r 为计 电子科技大学硕士学位论文 算马尔可夫链的平稳分布向量构造了一个算法，首次提出了非负不可约矩阵p e r r o n 余的概念，并给出了p e r r o n 余的相关性质。在此基础上，卢林章提出了广义p e r r o n 余的概念，并将广义p e r r o n 余用于非负不可约矩阵p e 圩o n 根的估计和计算。由于 逆d 矩阵是非正不可约矩阵，因此可以将非负不可约矩阵p e r r o n 余的概念推广到 逆胁矩阵的情形。 1 2 矩阵的特征值概述 矩阵的特征值计算是矩阵理论研究的一个重要方向，具有重要的理论意义和 实用价值，已被广泛应用于数值分析，图论，稳定性理论等相关学科，但是对于 阶数较高的矩阵，要计算出其特征值的精确值是相当困难的，因此对矩阵特征值 的估计就显得尤为重要。实际运用中的大量问题，往往不需要精确的计算出矩阵 的特征值，仅仅估计出它们所在的范围就够了。例如在用迭代法求解线性方程组 的时候，需要估计迭代矩阵的谱半径以此来判定迭代法的收敛性；在系统与控制 理论中，通过估计矩阵的特征值是否都有负实部便可知系统的稳定性。特征值的 估计已日益受到科技工作者的关注，其研究发展迅速，已成为矩阵理论中的活跃 的领域之一。 1 2 1 一般矩阵的特征值估计 圆盘理论是矩阵谱分布的基本原理。从经典的g e r s c h g o r i n 定理开始，经过半 个多世纪的发展，至今已形成比较完整的体系，目前仍然是矩阵谱分析十分活跃 的课题之一。g e r s c h g o r i n 1 】于1 9 3 1 年提出了著名的圆盘定理。 定义1 设彳= ( 乃e c n ，称 墨= z c ：i z - a , ，i - r , 为矩阵4 在复平面上的第i 个g e r s c h g o r i n 圆( 盖尔圆) ，其中 r = r t ( a ) = z l a 扩i ( i = 1 ，2 ，以) ，f 称为鼍的半径。 定理2 ( g e r s c h g o r i n 圆盘定理1 ) 设彳= ( ) c ，则彳的任一特征值 2 第一章引言 童s - u s j i = 1 ，2 ，嚣) 。 产l g e r s c h g o r i n 圆盘定理仅用矩阵以的元素表示矩阵的所有特征值的包含区 域，这些区域是平面上容易计算的区域，但是对于某些特殊的矩阵来说，g e r s c h g o r i 园盘定理只能够给出个相当粗略的估计结果，这在实际运用中是远远不能够满 足要求的。许多学者受到g e r s c h g o r i n 理论优美几何结构的启发，推广发展了这个 理论的思想和方法，得到了一些其他类型的包含区域。 定理3 t 2 】( o s t r o w s k i ) 设a = ( a g i c “8 ，饼g o ，l 为给定的数，刘彳的所有 特征值位于以个圆盘的并集 中，其中 0 z c ：_ 一嘞| 毽穗g 吨 ( 1 - 2 ) 美国数学家b r a u e r 给出了下面g e r s c h g o r i 圆盘定理的变形形式。 定理4 ( b 跚耐设么：( 勖) 一，剽么的所有特征值都属于丛等型个 c a s s i n i 卵形的并集 0 z e ：t z 一壤肛一勺| 鼍量； ( 1 3 ) l ，j i * j 之中。 n ( n 1 - 1 ) 1 卜c a s s 斌弗形域之并集包含在嚣个g e r s c h g o f i 豳盘中，因此b f a u e r 定理是g e r s c h g o r i 圆盘定理的推广与改进，但因n 增大时c a s s i n i 卵形域的个数将 运远大予g e r s c h g o r i 蹋盘的个数，并且郛形域的绘制很麻烦，嚣此在实际运用中 很不方便。除了上述提到的圆盘定理的变形之外，f e i n g o l d 和v a r g a 嘲在1 9 6 2 年将 g e r s c h g o r i 的结果推广到分块矩阵，进一步完善了经典的圆盘理论。 。夏鼍 = g 吩 。芦州 = 毽 电子科技大学硕士学位论文 用经典的圆盘理论估计矩阵的特征值具有结构优美，计算方便的特点，但是 对于某些特殊的矩阵而言，其估计结果显得略为粗糟，因此许多学者致力于用不 同的方法估计矩阵的特征值，涌现出了许多新的研究成果。 本小节还需要如下的记号： t r a ：表示矩阵彳的迹； l i a k ：表示矩阵爿的f r o b e n i u s 矩阵范数； d e t a ：表示矩阵彳的行列式的值； r e ( t r a l ：表示蒯的实部； l m ( t r a l ：表示删的虚部。 定理5 设五，以是以以阶实对称矩阵彳的特征值，则有 以一钭阿铡：掣矿执 m 4 ， 定理6 吲设a ，乃：是n x n 阶复矩阵么的特征值，则有 卜t r 球a 0 如果所有勘 ； a b 如果彳一b 芝0 ； a b 如果么一b 0 。 若彳o ，则称彳为非负矩阵；若彳 0 ，则称彳为正矩阵；用p ( a ) 表示非负 矩阵么的p e r r o n 根，即该矩阵的谱半径。 定义1 渺1 设么= ( 嘞) e r ”，若么为一阶零矩阵或者对辩2 有置换矩阵p ， 使得 7 电子科技大学硕士学位论文 ，b p a p 。= l l d 其中，b 和d 为阶数大于等于l 的方阵，则称彳为可约的( r e d u c i b l e ) ，若么不是可 约的，就称么为不可约的( i r r e d u c i b l e ) 。 非负矩阵p e r r o n 根的最著名且用得最多的界值是由f r o b e n i u s 提出的。 定理2 t 1 2 1 设a = f a ，) 0 ，则 、，h 1 1 1 i l i n n 蔷印( 彳) 懋蔷，( 1 - 1 3 ) m 吲i nz 渊a g 0 且， 0 ，则其最大特征值p ( a 1 满足： 、 ，n n ，+ 刁( 吉一) p ( 彳) r 一7 ( 一仃) ， ( 一t 6 ) 其中，仃= 抓万巧谚网，r ，刁的定义同定理3 。 第一章引言 定理5 眇1 设么拳鬈) o ，则其最大特征值夕么) 满足： r + r ( h 一1 ) p 0 ) r 一，7 ( 1 一i g ) ，( 1 1 7 ) 其中r ，r ，零的定义网定理4 ， g=r-2rl+铲4r2-4rl(r-r)， jjl；-r+2rl+4r2+4rl(r-r) 2 刁 关于正矩阵最大特征值翡赛，在涉及r ，冀稠r l 的一切可能的界值中，b r a u e r 的结果是最好的。非负矩阵的谱估计这一课题目p e r r o n - f r o b e n i u s 开始以米一直受 到广大学者的关注，新的研究成果不断涌现。 定理6 泌3 设么= 锈) 棚。旦不可约，且记 m ( z ，) = 三 鲰+ 十 ( 口拄一) 2 + 4 p ；p i ； ，z 雾歹， c t t 8 ， 其中露2 荟吩，1 f 蕊以口则曾m ( 瓦) p ( 4 ) m 何a x m ( 瓦歹) 。 以下的定理7 是d e u t s c h 于1 9 8 1 年给出的菲负分块矩阵谱半径的估计式，其 中的结果改进了f r o b e n i u s 的经典界值定理。 首先介绍若干记号，设a = l a 。l 0 分块如下 、 v ， x n a = 4 l囊： 4 l鸽： 4 j 鸽 4 ，2 如 ( 1 1 9 ) 七 其中4 i # jn ，阶方阵，吩= ，z ，l i k 。岛和嘞分别表示鸣之最小与最大行和， f t l 9 电子科技大学硕士学位论文 1 f ，j k 。 又记 p ( a ) = ( p o ) 枞，q ( a ) = ( q o ) 腓 定理7 t 1 7 1 设彳= ( 口，1 0 且不可约。彳分块如( 1 1 9 ) ，则 、 ，r l x n p ( p ( 彳) ) p ( 彳) p ( q ( 么) ) ， ( 1 - 2 0 ) 并且p ( 尸( 么) ) = p ( q ( 彳) ) 或p ( 尸( 4 ) ) 1 时称么为指数k 的循环阵。 设么是以阶非负不可约方阵，令a = m。，称：= 一以为矩阵么的位移矩 t i n a b a 阵，显然召也是n 阶非负不可约方阵。 本章在位移矩阵的基础上给出非负不可约矩阵p e r r o n 根的三个下界序列，并 指出序列是收敛到p e r r o n 根的。 2 。2 主要结果 引理2 3 2 1 若么= ( 锈) 脚0 必不可约阵，且为循环指数是磊抟 1 ) 的循环阵， 则有n 阶置换阵p 使 p a p l = 0 4 2 0 00氲 o 4 l 0 一 o 。0 0 以m 0o ( 2 - 1 ) 电子科技大学硕士学位论文 k 其中对角子块皆为零方阵，阶数为，z ，1 f k ， 1 i = ，z 。称( 2 1 ) 为循环指数为七 i f l 的循环阵的正则形。 引理3 3 2 1 设么= ( 口 ) 删o 是具有循环指数尼的循环阵，则对每一l 皆有，z 阶置换矩阵p 使得 p 甜kp ： 其中每一g 是绝阶方阵，且有 c i 0 q 0 q ( 2 2 ) p ( c j ) = p ( c ! ) = = p ( g ) = p ( 彳) ( 2 3 ) 进一步g 是本原阵，1 i k 。 下面给出本章的主要结果。 定理4 设彳= ( ) 棚o 不可约，口= 唧n ，b ：= 彳一a i ，则 鼽一+ 。 证明：由 q q p ( a ) ， l i m t = p ( 彳) t - o o ( 刚) _ 口) z 刊硝叫) 譬， 立得q p ( 彳) 。设矩阵召的特征值为五，如，以，因对任意的自然数f ， 1 6 ( 2 4 ) 第二章非负不可约矩阵p e r r o n 根的下界序列 可知 p 一等h 1 2 2 t r b 2 n1 2 + + p 一譬2 = 妒p 一等寸 ( 爿( 呵喝 、故对任意自然数f 有鬈+ l ，从掰( 2 哪式得证 ：“一龇 o 以下分两种情况证明! i m c , = p ( a ) 。 1 ) ：若a 为本原阵，由b _ a a ，显然b 也为本原阵。因对任何个本原 阵雪有熙( 凇8 ) 篇= 矽( 君) ( 参【3 2 】) ，可知 蚓受怍1 杷一 2 ) ：若a 是循环指数为k 的循环阵，由( 2 - 1 ) 式可知矩阵a 必含有零对角元， 此时a = 0 ，b = 么，b 也是循环指数为k 的循环阵，又由( 2 2 ) 式可知 缎( 竿卜熙陲剖眦叫4 第二个等号成立是因为 基墨k i t 厂l 一，mj l m k = p ( c ：) 】l k m p ( 彳) 此时令m k = 2 ，当m 时，t 专o o ，敌 1 7 电子科技大学硕士学位论文 l ，i 。m 。6 , = l ，i ml ( t r a 甩2 ，= p c 彳， 注1 卸卅热若扯师c 啦卿n + ( 等r 此式即为姗蚓 中的结果，显然( 2 4 ) 式改进了该结果。 注2 当f = 1 时，f 扫n t r a 2 ( f 一) 2 可推得 r m 。n a i + n n ， + i i l i ， 。 ll 此式说明，通过构造位移矩阵能够改进p e r r o n 根的下界。 定理5v 2 a = ( ) 0 不可约，口= r a ，i n ，b ：= 么一a ，则 o o q 吼p ( 么) ， 1 i m 0 5 = p ( 么) f 其中，q = 盘+ m 陷2 矿。 证明：由 ( 么) 一口) 2 = p ( 曰) = p ( b 2 ) 峄阽2 l 】， 立得q p ( a ) 。因对任意自然数t ， m 阽2 1 r = m 陋) r ( 2 5 ) 蜷1 上 圳 对 。b胤p 第二章非负不可约矩阵p e r r o n 根的下界序列 即 = 峄妙薹】， 峄m 卜峄妒旷， 故对任意自然数t 有q - p c 尸c 彳，= p ( 喜至 = 7 ( 1 - 2 0 ) 式( 1 1 1 7 1 的主要结果) 一，+ ( 玎舛哪 ( 1 - 2 1 ) 式( 1 群1 1 8 1 的主要结果) ( 1 2 3 ) 式，k = 1 , s = 3 夕( 么) l + 1 9 矽2 5 。3 5 8 8 ( 即【1 9 】豹主要结果) ( 1 - 2 4 ) 式应用于( a 一，) 2 p ( 一) 1 + 1 7 5 + ( 1 3 2 2 5 + 3 7 8 ) 1 2 】v 2 7 3 3 1 ( 基 j 2 0 1 的主要结果) p ( a ) 岛= 7 3 1 0 7 艺毛= 6 6 9 3 1 q = 4 9 1 5 8本章结论( 2 - 4 ) p ( 彳) o - 5 = 7 4 4 9 8 o - 3 = 7 2 1 1 7 o - i = 6 3 8 5 2本章结论( 2 5 ) 夕( 么) = , 0 2 = 7 5 3 1 1 霸= 7 5 2 9 3本章结论( 2 7 ) 2 1 电子科技大学硕士学位论文 第三章矩阵极小特征值的下界估计 3 1 矩阵极小特征值下界的简单估计 在文献 3 3 】中，y uy i s h e n g 和g ud u n - h e 利用几何算术平均数对矩阵的奇异 值进行了估计，这里我们采用类似的方法估计矩阵极小特征值的下界。 定理1 设丑五以 o 是矩阵爿= g 扩) c 删g 2 ) 的特征值，且刎= 疗， 则 砌) ( 爿一洲 ( 3 - ) 证明：因为，z = t r a = 五( 彳) + 五( 彳) + + 以( a ) ，由几何算术均值不等式可知 a ( 彳) 五( 彳) 以一。( 彳) ( 墨丝上二垒j 号圭掣) ”。 = ( 掣卜( 者) “， 不等式两边同时乘以 ( a ) 立得( 3 1 ) 式。 则 定理2 设五- 4 以 o 是矩阵么= k ) c g 2 ) 的特征值，且蒯= 珂， 柳( 可川 1 + ( 铮e t 彳 p 2 ， 证明：因为，z = t r a = 五( 彳) + 五( 么) + + 以( a ) ，由几何算术均值不等式可知 第三章矩阵极小特征值的下界估计 4 ( a 脚) i 叫班f 型避掣r ” = ( 掣r 不等式两边同时乘以 ( a ) 得到 因此 洲叫班砷) ( 半卜， a ( a ) i - _ n 玎- 1 ( d e t 矿“+ 揪( 么) 归1 了 n ，- ，l ( d e t a ) 吵 刀 又因为丸( a ) 0 ，因此我们有 五。, , - i r t 嚣- 1 ( 酬) 洳+ 三nf ，k 型n ) n 霞么 ( 3 - 3 ) 在不等式( 3 3 ) 中解 ( a ) 得 因为r t 2 ，故有 柳( 可叫n l ( n - 1 ”1 叫牡， 擀( 等a e t 彳 1 + d o t a 注l 意定理l 和定理2 的证淡过程可知，定理2 改进了定理1 的结果。 电子科技大学硕士学位论文 3 2 矩阵极小特征值下界的进一步估计 设彳= k ) c ，q ( 彳) 吒( 彳) 吒( 彳) 是矩阵的奇异值，且 q ( 彳) + 吒( 彳) + + 吒( 彳) = 怕幢， q ( 么) c r 2 ( 么) o - ( a ) = i a e t a 1 9 9 9 年，r o j o 在 3 4 】中得n t 奇异值界的单调序列： 其中口和是方程 口一1 ) 7 2 吒( 么) n ) 2 ， x n 一0 彳| | ；x + ( 万一1 ) d e t a i 纠“= o 当而= o 时， x k ( - 0 2 是吒( 么) 下界的一个递增序列。 当= i i a i i ；p 1 时， x k ( - o 2 是q ( 彳) 上界的一个递减序列。 此处序列 吒) 定义为： ， 刀一1 i d e t a 舭) 一 l 2 而。丽蒋。 3 c 献 3 5 1 将文献 3 4 中估计奇异值的方法应用到矩阵的特征值估计，得到了如下的 结果： 引理3 m 1 设 五丸 o 是矩阵么= k ) c 的特征值， 讫 是 刀一1r d e t a ) v “一x ? 2 一t r a 。i - - - 丽) , 万f - - g 第三章矩阵极小特征值的下界估计 1 ) 当筏一。时， x k n 。 是友么) 下界的一个递增序列； 2 ) 当而= ( f 刊) 枷q 时， x k 川) 是 ( 爿) 上界的一个递减序列。 由弓l 理3 ，我们有下面的结果。 推论4 设五是磊 o 是矩阵雪= ( ) e 删8 摆2 ) 的特征值，且 t r b = 撑， 魄 是 确=了n-1咝1-x：-* ( 3 4 ) 胆 定义的序列，则 1 ) 当- - - 0 时， x k 硝 是一个下界为磊( 君) 的递增序列； 2 ) 当= ，z 1 胪1 时， x k 川) 是一个上界为五( 君) 的递减序列。 下面给出本，l 、节的主要结果。 设 五 - l o 是矩阵艿= ( ) c 删4 ( ，z 芝2 ) 的特征值，g 满足t r b = n 。 令x o = o ，t 圭i ( 3 - 4 ) n - i l l 薯：n - l ( d e t b ) 岬， 行 因此 r 1 = ( 等) 川 o 是矩阵b = ( ) c 脚( 忍2 ) 的特征值，且 t r b = 刀，则 其中 其中 砷p ( 岢叫kn ) 叫， p 5 ， 秒( b ) 2 可面1 再蕊 推论6 设丑五以 o 是矩阵彳= ( ) c “( 刀2 ) 的特征值，则 柳( 爿a e t 么m 彳) 、( n 黝- l yd e t a ， p 6 ， 口( 彳) = 1 - ( n - 1 n ) j - ( n t r a 一) d c ta 证明：将定理5 应用到矩阵b = ( 玎蒯) 彳。 2 6 赤 4 一一万 吐川j 弋 拓而 h | 以 等酣 第三章矩阵极小特征值的下界估计 3 。3 数值例子 我们可以得到关于该矩阵极小特征值下界的估计，相关比较结果如表3 1 所示： 表3 1 ：矩阵极小特征值的下界估计 估计所用结果估计所用结果 ( 1 1 0 ) 磊嚣) o 3 1 5 6本章结论( 3 一1 )五( 露) o 。3 1 5 6 ( k = z = 嚣) ( 1 - 1 1 ) 如( b ) o 3 8 1 9本章结论( 3 2 )五( 口) 芝一0 0 0 8 1 ( k = z = 以) ( 1 - 1 2 ) 五( b ) o 4 1 2 5本章结论( 3 5 ) ( 露) o 3 7 8 2 ( k = z = 胛) 实际上，冬p ) = o ，4 6 1 5 。从表3 - 1 看壅，本章定理5 的估计结果相对来说菱精确， 而文献【9 的估计结果，即( 1 1 1 ) 式所得到的结果不太理想。 注2 对于满足定理5 条件的矩阵b ，因为 故有 d e t b = n ，；。4 ( 8 ) 1 。因此，结论( 3 5 ) 改进了结论( 3 2 ) 。 1；，；j 2 s 蛰疆，o 王吣，玉一 ，o n tfifitli。lli。1。_-l l i 8 没例 电子科技大学硕士学位论文 4 1 引言 第四章俨矩阵最小特征值的下界 本章主要研究肛矩阵，首先引入相关的记号和定义。 记乙= 么= ( ) r “”k o ，l p ( p ) 时，称么为非奇异必矩阵，当口= p ( p ) 时，称彳为 奇异肛矩阵。用仃( 彳) 表示矩阵彳的特征值的集合，a r 表示矩阵么的转置。 众所周知，对不可约的必矩阵彳( 相应地，非负不可约矩阵么) ，存在正向量 甜和1 ，使得么“= q ( a ) u ( 相应地，a u = p ( 么) “) 和么7 1 ，= g ( 么) v ( 相应地， 么r 1 ，= p ( 么) v ) 成立，u 和1 ，分别叫做矩阵彳的右p e r t o n 向量和左p e r r o n 向量。如 果彳为不可约的肛矩阵，则矩阵么和矩阵p 有共同的右p e r r o n 向量和左p e r t o n 向 量。 设么乙，令g ( 彳) = 腻 r e ( 五) ：五盯( 彳) ，则有 1 ) q ( a ) o ( a ) ；q ( a ) 称为矩阵彳的最小特征值。 2 ) 若彳 t ，则有g ( 么) = 口一p ( p ) 。 4 2 关于俨矩阵最小特征值的两个不等式 1 9 7 0 年，圣地亚哥美国社会数学年会上，b l e v i n g e r 在文献 3 6 1 q b 提出以下 2 8 第四章m 矩阵最小特征假的下界 定理，然而b 。l e v i n g e r 并没有给出定理的详细涯明，f i e l d e r 3 7 1 在置换理论的基础 上给出了l e v i n g e r 定理的初等证明。 定理1 3 6 1 设么= ( 吻) 脚0 ，则 p ( a a + ( 1 - a ) a r ) 作为口的函数在【o ，1 2 】非减，：i ! e 1 2 ，1 】非增。 爻b b a p a t 给出了关于p 蠢) 的如下不等式： 定理2 设么= ( 嘞) 棚0 ，并且0 口1 ，则 p ( 么) 蕊夕( 窈盖l 一穗) 蠢f ) ， p 一2 ) 并且，若矩阵彳不可约，0 口 1 ，则( 4 2 ) 式中的等号成立当且仅当矩阵4 的任一 右p e r t o n 向量是矩阵么的左p e r r o n 向量。 下面酌定理3 推广了定理2 。 定理3 【3 8 1 设非负不可约矩阵a 和曰有共同的右p e r r o n 向量u 和共同的左 p e r r o n 向量v ，则对任意的g ，0 联g l ， p ( c r a + ( 1 - a ) b r ) 印( 0 ) 十( 1 一口) 尹( 艿) ， ( 4 3 ) 且当o 穰 0 ，o 口c ，有 尹( 么) 夕( g 么+ ( c - a ) d _ a d ) ( 4 - 4 ) 其中d 是对角元为正数的对角矩阵。 下面给出本节的主要结果。 定理5 设不可约弦矩阵么和君有共同的右p e r r o n 囊量u 和共圈的左p e r r o n 向量y ，则对任意的掰，0 a l ， q ( a a + ( 1 - a ) b r ) 岱g ( 么) + ( 1 一口) g ( 艿) ， ( 4 5 ) 电子科技大学硕士学位论文 且当0 户( 雪) 为 不可约肝矩阵，且矩阵彳和b 有共同的右p e l l r o n 向量u 和共同的左p e r r o n 向量v ， 我们有 a = 向，一a ，b = k 2 i b ， ( 4 6 ) 同时矩阵a 和b 是非负不可约的，