（计算数学专业论文）相似于正矩阵的非负矩阵.pdf

f a p e rf o rm a s t e rd e g r e e 2 01 1u n i v ：c o d e ：l0 2 6 9 s t u d e n ti d ：51 0 8 0 6 0 1 0 4 9 眈s f 仍概册口z 踟加p 昭缈 n o n n e g a t i v e m a t r i c e sw h i c ha r es i m i l a rt o p o s i t i v em a t r i c e s d e p a r t m e n t ： m a t h e m a t i c sd e p a n m e n t m a j o r ： c o m p u t a t i o n a lm a t l l e m a t i c s r e s e a r c hd i r e c t i o n ：m a t r i xn e o 巧a n da p p l i c a t i 伽s a u t h o r ： c h a n 蓟u a nq i d i r e c t o r ：p r o f e s s o rx i n g z l l iz h a n f i n i s h e do n2 7 mm a r c h 2 01 1 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文相似于正矩阵的非负矩阵，是在华东师范大 学攻读硕博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成 果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：掉 盎 垂日期：丛f l o ) ，其中f ，歹= l ，2 ，咒因此a o 表示a 是非负矩阵，a o 表示a 是正矩阵 关于非负矩阵有很多优美的结果，见【1 ，3 ，4 ，1 8 ，2 9 1 2 不可约矩阵 两个矩阵x 和l ，称为是置换相似的，若存在一个置换矩阵p 满足尸7 x 尸= l 设a ，a 称为可约的，若a 置换相似于一个形如 ( 尝三) 的矩阵，其中b 和d 为方阵若a 不是可约的，则称a 不可约1 9 0 7 年o p e r r o n 发现 了正矩阵的谱的一些特别有趣的性质g f r o b e n i u s 在1 9 0 8 一1 9 1 2 年间将p e n _ o n 的结 果推广到不可约非负矩阵的情形，并且得到了进一步结果 3 2 】，后来的学者在此基础上 得出了更多关于不可约矩阵的性质，如 1 1 ，1 2 ，2 8 ，3 4 】 华东师范大学第二章已有结论 1 3 符号模式矩阵 符号模式的基本想法是只根据实矩阵的元素的符号( + ，一，o ) 来判断矩阵的性 质，符号模式就是元素取自集合( + ，一，o 的矩阵符号模式起源于p a s a m u e l s o n ( 诺贝尔经济奖得主) 在1 9 4 7 年出版的书经济分析基础【3 0 ，关于符号模式， 在【8 ，9 ，1 3 ，2 0 ，2 2 ，2 6 中有很多有趣的结果 设a 为n 阶非负不可约符号模式，即a 的元素为“o 或“+ ，a 的n 行和n 列 分另0 设为a 1 ，a 行和a 1 ，a 女日果口眼 o 贝0 口政 o ，女口果口胆= 0 贝0 口疆= o 或口政 o ，那么我们称a f 支配a ，记作a f a ，a f + a ，为a 的第i 行和第j 行的 对应元素相加，相加满足这样的规律：若日政= 口承= o ，则口疆+ 口肚= o ；若口玻与口肚中 有一个为正，则口政+ 口政 0 a f o 表示a 的第i 行全为正元素；a ，o 表示a 的 第i 行全为非负元素a f + a ， o 表示a 的第i 行和第j 行的对应元素相加全为正元素； a f + a ，o 表示a 的第i 行和第j 行的对应元素相加全为非负元素对于列有同样的定 义 设毋，表示这样的一个n 阶( o ，1 ) 矩阵，它的( f ，d 位置元素为l ，而其它位置元素 均为o ，设，为n 阶单位矩阵，为任意小的正数，我们定义 若f j 易知1 ( e ) = ，+ e 嘞 1 4 局部正矩阵 f l j = i 一e i j 若存在向 o ，使得对任意e ：0 o ，且钰 3 ) 阶非负不可约矩阵可以相似于正矩阵 定理2 5 2 4 】设 a = ( 三：三笔) 是非负矩阵且a l l 为局部正矩阵，a 1 2 o ，a 2 l o ，则a 可以相似于正矩阵 定理2 6 2 4 】 当，l 4 时，恰含，1 个零元素的，z 阶迹为正数的非负不可约矩阵为 局部正矩阵 定理2 7 【2 4 当，l 3 时，恰含，z + 1 个零元素的，z 阶迹为正数的非负不可约矩 阵为局部正矩阵 1 非负矩阵a 称为t o u m 锄e m l i k e 矩阵：若a 的对角元都相等，且对任意的f _ ，若叼 0 则= 0 4 第三章相似于正矩阵的非负矩阵 设a 为n 阶非负不可约符号模式矩阵，根据定理2 1 和推论2 2 ，我们有以下两个 结论 尹：若a a j 且a + a ， o ，则( e ) a 1 ( ) o 且第，列为正； q ：若a a j 且a f + a j o ，则( 一) a f ( 一) o 且第行为正 根据推论2 2 ，满足以上两种条件尹或q 的矩阵都可以相似于正矩阵，在下面的证明中 如果一个矩阵满足条件尹或q ，则意味着该矩阵可以相似于正矩阵 设a 为，z 阶非负不可约符号模式矩阵，推论2 2 保证我们只需考虑以下两种情 况： a 中有一行含有三个零元素，而其它各行均只有一个零元素 a 中有两行分别含有两个零元素，而其它各行均只有一个零元素 下面我们对这两种情况分别再分类讨论在以下的说明中我们均假定a 为迹是正 数的n 阶非负不可约矩阵由于在证明过程中只用到矩阵元素的符号”+ ”和”o ”，所以 我们只需要考虑矩阵a 对应的符号模式 3 1 a 中有一行含有三个零元素 不妨假设含三个零的这一行为最后一行，对此我们又可以分为两种情况： 最后一行的三个零均不在对角线上，这时通过置换相似不妨设 口n i2 口n 2 = 口n 3 = o ； 最后一行的三个零中有一个在对角线上，这时通过置换相似不妨设 以竹l = 以n 2 = 以朋= o 以下对这两种情况分别进行讨论 5 华东师范大学 。 第三章相似于正矩阵的非负矩阵 3 1 1 口n 1 = 口n 2 = 口以3 = o 1 若前三列中除l = 口。2 = 3 = o 外还有两个零，则我们的分析等价于下面的情 况： ( a ) 前三列中另外的两个零在同一列，根据置换相似，可以等价地化为以下五种 情况： i 口l l = 口2 l = o ，a l a n 且a 1 + a 以 o ，满足尹； i i 口1 1 = 鳓l = o ，a i 厶且a 1 + a n o ，满足尹； i i i 口2 l = 口3 l = o ，a 2 a 1 且a l + a 2 o ，满足q ； i v 口2 1 = 口4 l = o ，a 2 a 1 且a l + a 2 o ，满足q ； v 砸1 = 口5 l = 0 ，同样a 2 a 1 且a l + a 2 o ，满足q ( b ) 前三列中另外的两个零不在同一列，不妨假设这两个零分布在第2 列和 第3 列，其余情况可以类似考虑，则a 1 a 2 ，且a l + a 2 0 ，满足q 2 前三列中只有一个零，根据置换相似，可以等价的化为以下三种情况 ( a ) 口1 1 = o ，a l a n 且a 1 + a 蚪 o ，满足尹； ( b ) 口1 2 = o ，a l a n 且a 1 + a n o ，满足尹； ( c ) ( k 1 1 = o ，a n l a n 且a 竹一1 + a n o ，满足尹 3 前三列中没有别的零，根据置换相似，可以等价的化为以下四种情况： ( a ) 第1 、2 、3 行的零均不在同一列，a 2 a 1 且a l + a 2 o ，满足q ； ( b ) 第1 、2 行的零在同一列，第3 行与第l 、2 行不在同一列，a 3 a 1 且a l + a 3 0 ，满足q ； ( c ) 第l 、2 、3 行的零在同一列，但是不在第n 列，此时利用置换相似可以 将a 等价于如下形式： 6 华东师范大学第三章相似于正矩阵的非负矩阵 a = 这个矩阵不能确定是否可以相似于正矩阵 ( d ) 第1 、2 、3 行的零在第n 列，设a 先通过置换相似而后可以分块为如下形 式 a = ( 三：晏：) ， 其中a 1 2 o ，a 2 l o ， a 2 2 = + + + + + + 0 o +o +o +0 0+ 则a 1 1 为含n 一4 个零元素的n 一4 阶非负矩阵由定理2 6 当，l 8 时， a “为局部正矩阵所以根据定理2 5 ，当，z 8 时，a 一定可以相似于正矩 阵 3 1 2 口n 1 = 口n 2 = 以，l ，l = o 1 第1 列有三个零，这时只需要考虑有一个零元素在对角线上的情况，若第一列 没有元素在对角线上，则可以利用转置变为上一小节考虑过的情况因此不妨 设口l l = o ，同样的利用置换相似等价于以下两种情况： ( a ) 口2 l = o ，设a 先通过置换相似而后可以分块为如下形式 a = ( 三：三兰) ， 7 + + + + + + + + + + + + + + + + + 0+ + + 0 + 0 0 o + + + + + + + + + + + + + + ；+0+；+o+；0+ ；+；+；+；+o；+o；+0 华东师范大学第三章相似于正矩阵的非负矩阵 其中a 1 2 o ，a 2 1 o 锄= 睢卦 则a l l 为含，l 一3 个零元素的咒一3 阶非负矩阵由定理2 6 当，z 7 时， a 1 l 为局部正矩阵再根据定理2 5 ，当，z 7 时，a 一定可以相似于正矩阵 ( b ) 口3 l = o ，a 2 a 1 且a l + a 2 0 ，满足q 2 第l 列有两个零，第2 列有一个零，第n 列有一个零由置换相似等价于以下情 况： ( a ) 乜“= o ，a 2 a 1 ，且a 1 + a 2 o ，满足q ； ( b ) 日2 1 = o ，a 2 a 1 ，且a l + a 2 0 ，满足q ； ( c ) a 3 l = 0 ，a ”a 1 ，且a 1 + a ” o ，满足q 3 第1 列有两个零，第2 列有一个零，第n 列有两个零由置换相似等价于以下三种 情况： ( a ) 以l l = o ，a 2 a 1 ，且a l + a 2 o ，满足q ； ( b ) 口2 l = 0 ，a 2 a 1 ，且a l + a 2 o ，满足q ； ( c ) 以3 l = o ，a 3 a n ，且a 3 + a n o ，满足尹 4 第1 列有两个零，第2 列有两个零 ( a ) 啦i = o ，( 2 o ，a 2 l 0 ， a 2 2 = ( 兰亳三 ， 8 华东师范大学第三章相似于正矩阵的非负矩阵 则a l l 为含，z 一3 个零元素的，z 一3 阶非负矩阵由定理2 6 当咒7 时，a i l 为 局部正矩阵再根据定理2 5 ，当n 7 时，a 一定可以相似于正矩阵 以l l = 0 ，眈2 o 时，因为口1 2 0 所以必存在2 o ， a 2 2 = ( 毫 兰 三 ， 则a l l 为含疗一3 个零元素的，l 一3 阶非负矩阵由定理2 6 当n 7 时，a 1 1 一 阵当口2 l = o ，口1 2 o 时，因为口2 2 o 所以必存在2 o ，满足q ； ( b ) 口l 玎= o 时，a 2 ，且a 2 + 如 0 ，满足q ( a ) 口l 疗= 口2 ，l = 0 ，设a 先通过置换相似而后可以分块为如下形式 a = ( 三：丢兰) ， 其中a 1 2 o ，a 2 l o ， 如= | 则a l l 为含，z 一3 个零元素的，z 一3 阶非负矩阵由定理2 6 当，l 7 时，a l l 为 局部正矩阵再根据定理2 5 ，当n 7 时，a 一定可以相似于正矩阵 ( b ) 口1 n 和口2 n 不同时为零时： 9 华东师范大学第三章相似于正矩阵的非负矩阵 口l 九o 时有a 1 ，a l + a n o ，满足q ； 口2 。o 时有a 2 a ”，a 2 + 厶 o ，满足q 7 第l 、2 、n 列各只有一个零 这时有a 1 a n ，a l + a 蚪 0 ，满足q 3 2 a 中有两行分别含有两个零元素，而其他各行都只 有一个零元素 推论2 2 保证了我们只需要考虑以下两种情况： a 中第n 行含有两个零元素，且两个零元素都不在对角线上，根据置换相似，不妨设 口九l2 口n 2 = o ； a 中第n 行含两个零元素，且两个零元素有一个在对角线上，根据置换相似，不妨设 口一l = 口n n = o 下面我们对这两种情况分别再分类讨论 3 2 1 锄l = 2 = o 1 第n 1 行有两个零元素，这时通过置换相似可以将矩阵化为如下八种形式，我们 再对这八种形式的矩阵( 3 1 _ 3 7 ) 进行一一分析 a = 1 0 ( 3 1 ) 拳 木 宰 木 母 ； 宰 术 + + 宰 木 书 木 掌 ； 拳 木 + + 拳 枣 水 事 木 ； 拳 木 + + 宰 木 木 木 宰 ； 木 宰 + + 木 事 宰 宰 誊 ； 拳 术 + + 木 宰 枣 木 木 ； 木 木 + + 拳， 掌 枣 木 木 ； 宰 宰 + + + + + + + ； + + o o + + + + + ； + + o o 华东师范大学第三章相似于正矩阵的非负矩阵 由于a 1 a 2 且第l 行和第2 行各有一个零元，这两个零元不会出现在同一列，所 以a 2 a 1 ，a l + a 2 o ，满足q a = 木 + 宰木枣木枣木宰 木+ 木木 枣 木 母 宰 宰 幸 + 木木宰宰 牛 宰宰 木 + 枣木，i宰宰拳木 木+ 宰 宰枣木 木木霉 木+幸簟母| c 木木 l c ( 3 2 ) 第1 列有两个零时，则第3 列一定只有一个零，这时a 3 a 2 ，且a 2 + a 3 o ，满 足q 第1 列有一个零，第3 列有两个零时，这时a 1 a 2 ，且a 1 + a 2 o ，满足q 第1 列有一个零，第3 列有一个零时，这 a 3 必有一个为正，满足q a = 时a 1 a 2 ，a 3 a 2 ，且a 1 + a 2 与a 2 + 木 + ，i c木宰术宰木枣 木 + ，l c宰宰车木木木 木 +宰 牢宰 宰 木木木 宰 + 宰幸宰宰木木枣 木 +宰 木幸木水木枣 幸+宰木 ，i c 木 ，i c 木幸 第n 1 列只有一个零，这时a 川a 2 ，且a 2 + a 川 o ，满足q 第n 1 列有两个零，这时a 1 a 2 ，且a l + a 2 o ，满足q 1 l ( 3 3 ) 宰 + + 书 + + 木 + + 书 + + 宰 + + 枣 + +宰o + + o 0宰+ 0 宰 + +宰o + 宰 + + 水 + + 木 + + 木 + + 木 + + + o o木+ o 华东师范大学第三章相似于正矩阵的非负矩阵 a = 木+木宰 宰 枣木 宰+ 木 术木宰 枣 木宰 幸+ ，i c 木奎木 幸 掌毒 幸+ ，l c木幸宰 木 枣宰 木+宰宰宰宰 木书 宰 木 + 拳木幸宰宰术木 第1 列有一个零，第n 列有两个零时，a 1 a 2 ，且a l + a 2 o ，满足q ； 第l 列有一个零，第n 列有一个零时，a 2 ，且a 。+ a 2 0 ，满足q ； ( 3 4 ) 第l 列有两个零，以2 i 0 ，那么第n 列一定只有一个零，这时a 2 ，且a n + a 2 o ，满足q ； 第1 列有两个零，口2 l = o 时不能确定是否可以相似于正矩阵 木木木水 | 水 宰宰 枣木宰宰掌木 木宰宰 木木母宰拳幸 木，i c枣 木木木木木木 木掌术 宰木枣木木木 宰宰术 宰掌宰木枣木木幸幸 枣枣宰木水宰木木木 + +oo+ + + + o0+ + + + + + + 这两个矩阵不能确定是 ，l c 木 木 木木水 宰毒宰 宰宰宰宰掌宰 木木木 枣枣宰木木宰 宰霉木 木幸木木水木 拳宰木 木木木奉宰水 母枣拳 宰宰幸 宰宰木 枣木 木 否可以相似于正矩阵 ( 3 5 ) 掌o + 母 + + 宰 + + 事 + + 木 + + 木 + + 木 + + + o 0木+ o 宰 + +奎0 + 水 + + 木 + + 书 + + 宰 + +宰o +宰+ 0宰+ 0 华东师范大学第三章相似于正矩阵的非负矩阵 a = 宰宰木 木 枣 木 母宰木 幸卑 木木 宰宰 宰木木 宰拳术 ，| 宰木 木木，i 木木木木幸木 宰木枣 木木枣木木 木 宰事 枣 木枣木幸宰水 宰宰木 木宰木木幸 木 宰木枣 + +o+ + + +o 0 o+ + + + + ( a ) 第1 、2 列均含两个零时 i 第1 、2 列的两个零同行，此时a 2 a 1 ，且a l + a 2 o ，满足q i i 1 、2 列的两个零不同行 a 口3 l o ，以3 2 0 ，此时a 3 ，且a 3 + 九 o ，满足q b 口3 l = o 时， a = + ，l c + 宰宰术 木宰 + + 木 + 宰宰幸 木木 + 1 3 ( 3 6 ) + + + + 奉 + 木 宰 木 + 母 拳 幸 + 书 术 水 + 掌 木 幸 + 水 宰 + + 十 + 宰 + 宰 木 + o + + + o + 宰 + + 宰 + + 宰 + + 木 + + 宰 + + o +奉+ 0+ + o 华东师范大学第三章相似于正矩阵的非负矩阵 此时a 3 ，记b = r 3 ( 一e ) a 喇( 一e ) ，则 召= +木 +宰 o+ +幸 +木 + 木 + 掌 + + o+ +木 +宰 + + +幸 + 书 + 掌 + 水 o+ + + 宰掌 宰枣 + + 枣木 木木 +宰 木母 + + + + 宰+ 宰+ + 宰+ 宰+ 掌+ 木+ +o + b 为n 阶矩阵且只有n + 1 个零，根据定理2 7 ，a 可以相似于正矩阵 c 以3 2 = o 时与口3 l = o 的情况类似讨论 ( b ) 第1 、2 列均只有一个零时： i 第3 、n 列分别都含有两个零时a 2 a 1 ，且a l + a 2 o ，满足q i i 第3 、n 列中有一列含两个零，一列只含一个零，不妨设第3 列含两个 零，a 3 ，且a 3 + 如 o ，满足q 同理第n 列含两个零的情况满足q i i i 第3 、n 列均只有一个零时，a 3 ，且a 3 + 厶 o ，满足q ( c ) 第l 、2 列中有一列含两个零，一列只含一个零，不妨设第l 列含两个零， 第2 列含两个零的情况可以同样考虑 i 以3 l o ，a 3 + 如为正，无论a 3 或a 3 都满足q i i 口3 l = o ， a 第l 、2 行的零不同列，a 2 a 1 ，且a i + a 2 o ，满足q b 第1 、2 行的零同列，a 2 a l ，记b = 如l ( ) a 吲( ) ，则b 为恰 含n + 1 个零n 阶矩阵，根据定理2 7 ，a 可以相似于正矩阵 1 4 枣 木 + 木 拳 ； 书 木 + + 一 一 一 一 一 一 一 一 华东师范大学第三章相似于正矩阵的非负矩阵 a = 木木牛枣木 母木宰 半枣木幸枣木 幸木枣 木木宰幸木，i c宰掌枣 木母宰宰 i，|宰木幸 拳宰木奎宰木幸拳宰 书术木 木 宰木 宰宰母 术木木枣木木 宰宰宰 + + + + + + +o o o o+ + + + + + + ( 3 7 ) 第n 1 列与第n 列同时只有一个零，或有一列含一个零( 不妨设为第n 列) ，或 同时含两个零且这两个零同行，则可以通过下面的做法，这时a n 一1 a n ， 且a 厅+ a 川 o ，满足q 第n 1 列与第n 列同时含两个零且这两个零不同行，这时a 1 a 2 ，且a l + a 2 o ，满足q 2 第1 行有两个零元素，这时通过置换相似可以将矩阵等价化为如下七种形 式( 3 8 3 1 4 ) ： a = o o+ + + + + + + 母木事宰 事卡木 + + 枣木半木 辜枣木 + + 木木宰木 枣木宰 + + 木宰幸木 母拳木 + + 水 半枣 木 木木木 + 木 宰木木 拳掌宰 + +术宰木 ，i 水宰母 o o+ + + + + + 由于a 1 a 2 ，且a l + a 2 o ，满足q 1 5 ( 3 8 ) 华东师范大学第三章相似于正矩阵的非负矩阵 a = o +o+ + + + + + 幸木术木木 木母木 +木 木誊木木宰宰| i +宰 木木幸木 宰木宰 + 宰 宰 禾 宰宰 枣 木宰 +爿c宰宰木枣 木水宰 +木枣木宰木 木 ，|木 +唪掌宰掌宰 掌木 0o+ + + + + + 第2 列有两个零，这时a 3 a 1 ，且a l + a 3 0 ，满足q 第2 列只有一个零且口2 3 o ，这 口2 3 = 0 ， a = 时a 2 a 1 ，且a l + a 2 o ，满足q + +木掌 ，l c + 枣木水 + + + 木 枣木 木 枣宰 + + +宰木木 木木宰 o0+ + + + + + + 这时a 2 a 1 ，记b = ，1 2 ( 一e m 尸矗( 一) ，贝0 j 5 f = + +木宰宰 宰木幸 + + +拳木木 宰宰木 + + + 宰宰木 |木堆 o o十 + 十 + 则b 为恰含n + 1 个零n 阶矩阵，根据定理2 7 ，a 可以相似于正矩阵 1 6 ( 3 9 ) + + 半 宰 + + 宰 掌 木 + + 枣 木 木 + + 幸 书 书 + + 枣 木 宰 + + 拳 术 宰 0 o + + + + + + +0 + + + + + + 木 掌 宰 + + 木 木 事 + + 术 枣 木 + + 拳 木 术 + + 水 术 木 + + 宰 宰 宰 o 0 + + + + + + + + + + + 华东师范大学第三章相似于正矩阵的非负矩阵 a = o+ + + + +0 +宰幸木宰孝 事 掌 宰 +木枣宰幸 宰幸木 +宰掌幸拳木 宰幸木 +宰宰幸掌宰 枣木木 + 木牛，|木宰 幸木木 +木宰宰堆宰 枣木宰 +枣木卑，i c牛木木宰 oo+ + + + + ( 3 1 0 ) 当第n 列只有一个零元素时，由于口i 再= o ，当足1 时口h o 且以l l 0 ，满足q 当第n 列有两个零元素且口2 玎= o 时，这 b = 时a 2 a 1 ，记b = f 1 2 ( 一) a f 乏( 一e ) ，则 + 宰宰术番木宰木 + 幸宰爿c掌枣木曩 + 木木木木木宰掌 oo+ + + + 则b 为恰含n + 1 个零n 阶矩阵，根据定理2 7 ，a 可以相似于正矩阵 1 7 0 0幸母宰 + + 宰 宰 木 + + 木 宰 掌 + + 事 拳 术 + + 枣 枣 木 + + 宰 奉 书 + + 拳 术 术 + + + + + + + + + 华东师范大学第三章相似于正矩阵的非负矩阵 a = +oo+ + + 木+木 木 枣木 木宰 木 木+宰奎枣木 木宰宰 木+幸木 木 木 木 木木 木+宰率宰水 ，i宰奎 木 + 木木宰宰木宰宰 木 + 木木木宰枣木幸 枣 + 木术i宰掌木宰 o o+ + + + 第1 列有两个零，这时a 3 a 2 ，且a 2 + a 3 o ，满足q 第1 列只有一个零且口2 3 o ，这时a 1 a 2 ，且a l + a 2 o ，满足q 第1 列只有一个零且口2 3 = o 时不能确定是否可以相似于正矩阵 a = ( a ) 第1 列只有一个零 +o+ + +0 事+枣木枣木 木枣宰 术 + 宰宰木宰 掌枣木 爿+枣木宰枣 事宰宰 宰 + 木幸宰宰宰幸枣 宰 + 木木木木拳 木枣 木 +宰 枣木 木 爿c 木 木 木 +宰 木，i 木 木 ，i c，k o o+ + + 口2 ，l 0 ，a 1 a 2 ，且a l + a 2 o ，满足q 口2 ，l = 0 ，利用置换相似将a 化为如下的分块形式 其中a 1 2 0 ，a 2 l 0 ， a ：fa l t la 2 l f + a 2 2 2 【言 1 8 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 、l-l-、 j 控 a a 、li-i-ii一、 o 0 +o + o 华东师范大学第三章相似于正矩阵的非负矩阵 则a l l 为含n 一3 个零元素的，l 一3 阶非负矩阵由定理2 6 当，z 7 时， a l l 为局部正矩阵再根据定理2 5 ，当，l 7 时，a 一定可以相似于正矩 ( b ) 第1 列有两个零 口2 l 0 ，a “a 2 ，且a 2 + a n o ，满足q 口2 1 = 0 ，利用置换相似将a 化为如下的分块形式 a = ( 三：三笔) ， 其中a 1 2 o ，a 2 l o ， a 2 2 = 毫兰兰 ， 则a l l 为含，l 一3 个零元素的，z 一3 阶非负矩阵由定理2 6 当，l 7 时， a 1 l 为局部正矩阵再根据定理2 5 ，当n 7 时，a 一定可以相似于正矩 a = + + 宰枣 奉宰 木拳 宰木 拳木 木宰 木木 oo o o 木 木 木宰 i 晕 宰幸 木幸 宰木 车木 + + + + 掌：l c 宰宰 母木 枣木 木水 幸| i c 拳木 + + + + 木木 枣木 书枣 木枣 木木 宰枣 木木 + + ( 3 1 3 ) ( a ) 第l 、2 列同时有两个零，a 4 a 3 ，且a 3 + a 4 0 ，满足q ( b ) 第1 、2 列中只有一列有两个零，不妨设为第l 列 i 第3 、4 列同时有一个零，a 2 a 1 ，且a l + a 2 o ，满足q i i 第3 、4 列中有一列有两个零，不妨设为第4 列，a 3 a 4 ，且a 3 + a 4 o ，满足q 1 9 + 木 木 事 枣 ； 半 宰 书 + 一 一 一 一 一 一 一 一 一 华东师范大学第三章相似于正矩阵的非负矩阵 ( c ) 第1 、2 列同时有一个零， i 第3 、4 列同时有一个零，a 2 a 1 ，且a 1 + a 2 o ，满足q i i 第3 、4 列同时有两个零时，可分为下面两种情况： a 第3 、4 列同时有两个零同行，a 4 a 3 ，且a 3 + a 4 o ，满足q b 第3 、4 列同时有两个零不同行，口2 3 ( n 2 4 o ) 0 ，a 2 a 1 ，且a l + a 2 o ，满足q ；口2 3 = o 时，a ? a 1 ，记b = f 1 2 ( 一e m f 乏( 一f ) ，则b 为 恰含n + 1 个零元素的n 阶矩阵，根据定理2 7 ，a 可以相似于正矩阵 口2 4 = o 时可类似考虑 i i i 第3 、4 列中有一列有两个零，不妨设为第3 列有两个零， a 若口2 3 o 则a 2 a 1 ，且a l + a 2 o ，满足q b 若口2 3 = o 且第3 、4 行零不同列，a 4 a 3 ，且a 3 + a 4 o ，满足q c 若口2 3 = o 且第3 、4 行零同列时，a 2 a 1 ，记b = f 1 2 ( 一e ) a f 矗( 一) ， 则b 为恰含n + 1 个零元素的n 阶矩阵，根据定理2 7 ，a 可以相似于 正矩阵 a = + + 枣宰 木宰 木木 宰枣 木爿c 木宰 木木 0o 0+ 木木 爿c 木 木枣 木宰 木木 木木 枣木 + + + + 木木 木木 承木 宰，i c 木宰 木木 木木 + + +0 掌宰枣 木宰簟 宰拳木 宰宰 木 木宰木 |木幸 木幸 + + + ( 3 1 4 ) ( a ) 第3 、n 列同时有两个零 i 第3 、n 列的两个零同行，a 3 ，且a 3 + a 。 o ，满足q i i 第3 、n 列的两个零不同行，口2 3 ( 口2 。0 ) o ，a 2 a 1 ，且a l + a 2 o ，满 足q ；口2 3 = o 时，a 2 a 1 ，记b = f 1 2 ( 一e ) a ，君( 一f ) ，则b 为恰含n + 1 个零 元素的n 阶矩阵，根据定理2 7 ，a 可以相似于正矩阵口2 n = o 时可类似 考虑 2 0 华东师范大学 第三章相似于正矩阵的非负矩阵 ( b ) 第3 、n 列同时有一个零 若口3 1 o ，劬2 o ，则a n a 3 ，且a 3 + 如 o ，满足q ；若以3 l ，口3 2 不同时不为 零，则有以下三种情况： i 口3 l 0 ，口3 2 = o 时，则a 1 a 2 ，且a l + a 2 o ，满足q i i 口3 1 - 0 ，口3 2 o 时，则a 2 a 1 ，且a 1 + a 2 o ，满足q i i i 口3 1 = o ，口3 2 = o 时，则a 1 a 2 ，且a l + a 2 o ，满足q ( c ) 第3 、n 列中有一列含两个零，一列含一个零时，不妨设第3 列含两个零 i 口2 3 o ，a 2 a 1 或a 1 a 2 ，总有a l + a 2 o ，满足q i i 口2 3 = 0 a 第1 、2 列均只含一个零，a 3 ，且a 3 + 屯 0 ，满足q b 第l 、2 列中有一列( 不妨设第1 列) 含两个零 当以3 l o ，a 开a 3 ，且a 3 + a n o ，满足q 当口3 l = o 时，利用置换相似将a 化为如下的分块形式 a = ( 丢：三兰) ， 其中a 1 2 0 ，a 2 l o ， a 2 22 + + + + o+ o o o o 0+ + + 则a 1 1 为含，l 一4 个零元素的托一4 阶非负矩阵由定理2 6 ，当，l 8 时，a l l 为局部正矩阵再根据定理2 5 ，当，z 8 时，a 一定可以相 似于正矩阵 3 2 2 l = ，l = o 1 第n l 行有两个零元素，这时也等价于以下七种情况( 3 1 5 _ 3 2 1 ) 2 1 华东师范大学第三章相似于正矩阵的非负矩阵 a = +枣木术 木 木 枣 木宰 +木宰宰木宰 拳术木 +木枣木木宰 幸宰窜 +宰木木木宰 木木掌 +枣掌木枣木宰木宰 + 木，|宰宰木，|木毒 ( a ) 第2 列有两个零，a 1 ，且a l + a n o ，满足q ( b ) 第n 列有两个零，a 2 a 1 ，且a 1 + a 2 0 ，满足q ( c ) 第1 、n 列都只有一个零，a 1 ，且a l + a 。 o ，满足q a = +宰 宰 宰术 木 宰术掌 + 枣木木木 i c 木枣宰 +枣 木 水枣木 宰奉木 +宰 球木 枣木 宰水木 +宰幸宰 ，i 木 誊枣宰 +拳幸卑辜木拳木拳 ( a ) 第n 1 列有两个零，a n a 1 ，且a l + 如 o ，满足q ( b ) 第n 列有两个零，a 川a 1 ，且a l + a h l o ，满足q ( c ) 第n 1 、n 列都只有一个零，a n a 1 ，且a 1 + a n o ，满足q 2 2 ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 宰+ o 牛 + + 事 + + 宰 + + 宰 + + 奉 + + 书 + +木o + + o o 誊+ o 木o + 书 + + 宰 + + 奉 + + 木 + + 木 + + 水 + + + o 0 华东师范大学第三章相似于正矩阵的非负矩阵 a = + 木宰木唪宰宰木 + + 木，i c宰木水 木宰 + + 事宰幸幸 事 宰 爿 + + 拳宰 7 木 宰枣木 + + 枣 木 木木 孝 木宰+ +宰幸木术奉 木木+ 因为a 1 a n ，且a l + 如 o ，满足q a = 掌 木木 木 木木 拳术幸 木 枣 木木 半掌 宰窄枣 木拳木木木木 木木木 木木 宰宰宰宰 枣木木 木木宰木幸掌 拳木枣 宰宰幸木宰宰木木宰 宰宰木木木木木枣木 +o o+ + + + o+ + + + + + +o 此矩阵不能确定是否可以相似于正矩阵 a = 掌宰木木母幸 宰宰拳 宰木爿c掌木木枣木木 母木拳木木木 牛木幸 拳木木枣木木 木木爿c 木宰宰木枣木 ，i c木木 水枣木木宰宰 木宰宰 i c奉枣木宰宰 水枣宰 +0+ + +0+ 0+ + + + +o ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) + 0 o 幸 + + 事 + + 幸 + + 奉 + + 水 + + 宰 + + 霉 + + + o 0 华东师范大学第三章相似于正矩阵的非负矩阵 ( a ) 第l 列只有一个零时，由于口n l = 0 ，对于任意的尼，z 有鲰l o ，且口加 o ，满足q 第n 列有两个零时，a 一一1 a 2 ，且a 2 + a 川 o ，满足q i i 口1 l = o 第2 列只有一个零时，由于口n 吨= o ，对于任意的七，z 一1 有讹 o ， 且口川州 o ，满足q 当口2 2 = 0 时，利用置换相似将a 化为如下的分块形式 a 2 22 o+ +o +0 o+ + + + o+ +o 则a l l 为含，z 一4 个零元素的n 一4 阶非负矩阵由定理2 6 当疗8 时， a 1 l 为局部正矩阵再根据定理2 5 ，当，z 8 时，a 一定可以相似于正矩 阵 a = ( 3 2 0 ) l 2 a a ，j。l l | a o 2 a0 2 a 中其 + + + + + ； + + 0 o 木 水 木 书 拳 ； 宰 幸 + + 木 宰 母 枣 木 ； 宰 木 + + 术 木 水 牛 誊 ； 木 木 + + 书 水 牛 奉 拳 ； 拳 宰 + + 木 术 木 木 木 ； 木 木 + + 宰 宰 枣 木 木 ； 枣 木 + + 幸 枣 木 宰 宰 ； 拳 术 o + 母 水 木 宰 木 ； 拳 术 + o 华东师范大学第三章相似于正矩阵的非负矩阵 ( a ) 第l 列只有一个零，由于锄l = o ，对于任意的七咒有鲰l o ，且 0 ，满足q 当口2 l = o 时，a 2 a n ，令艿= 凡2 ( 一e m 喇( 一e ) ，则b 为含n + 1 个零的n 阶矩 阵，利用定理2 7 ，a 可以相似于正矩阵 a = ，l c+ 木+ 宰 + 木 + 宰 + 木 + 木 + o o +0 ( 3 2 1 ) ( a ) 第1 列只有一个零时，由于l = o ，对于任意的| i ；：挖有砚l 0 ，且n o ，且口l l o ，满足尹 当以2 2 = o 时，利用置换相似将a 化为如下的分块形式 a = ( 三：三笔) ， 其中a 1 2 o ，a 2 l o ， a 2 2 = 三 兰 三 ， 则a l l 为含，l 一3 个零元素的，l 一3 阶非负矩阵由定理2 6 当，z 7 时，a l l 为 a = ( 3 2 3 ) 7 f u 用重秧利似将a 化为如卜阴分块彤瓦 a = ( 三：三：) ， 其中a 1 2 o ，a 2 l 0 ， 如= ( 吕o ) 则a 1 1 为含，l 一2 个零元素的，l 二2 阶非负矩阵由定理2 6 当，l 6 时，a 1 l 为局 部诈矩阵再根椐窄理2 5 当n 6 时a 一定可以相似干下矩阵 2 6 o + + + + ； + + + o + 半 枣 木 掌 ； 乖 木 木 + + 木 枣 木 术 ； 枣 枣 掌 + + 木 枣 木 木 ； 宰 母 掌 + + 宰 宰 拳 术 ； 宰 枣 木 + + 奉 拳 木 术 ； 枣 木 宰 + + 木 木 宰 宰 ； 木 宰 宰 + + 木 宰 木 木 ； 木 枣 木 + o + + + + ； + + +