（运筹学与控制论专业论文）3设计及若干应用.pdf

就京交逶大学薄圭学位论文牵文摘要 中文摘要 设菇是菜些菱整数静集合。一个如平鬻设计是一个二元缝躐囊魏其枣x 是妒 元集，曰是x 的某些k 子集( 称为区组) 的集合，k k ，要求x 中任意t 子集都恰 含在一个区组中如平衡设计是一类重要的组合设计当t 拳2 时，成对平衡设；卜已 被广泛研究，穗魄之下，3 一平麓设嚣豹结果较少本文讨论3 * 平衡设计靛穗关阕题 方便起见，在不引起混淆的情况下，总简称一个3 。平衡设计是一个3 设计 l i n d n e r 和r o s a 在1 9 7 8 年对额蜒续窭元系爱程关趣题写了一篇综述。岛霹 之后，3 设计的研究领域里，入们很大一部分兴趣就集中在具有某种自同构群的 斯坦纳四元系的存在性上然而，关于这方面的进展十分缓慢本文试图在这方面 展开一定的工箨，扩大严格德强簸遭纳珏元系和旋转斯垣缡四元系鳇存在结果。 作为3 设计的应用，本文仅讨论两个方面：最优光正交码和超图分解 本文结构组织如下。 第1 章简要介绍卜设计的研究背景和现状第2 章通过引入一些辅助设计，建 立了严格循环3 设计的基本递推构作为构造严格循环斯坦纳四元系，含4 长区 维黪严格循拜3 一设计麓递攘构俸被绘凄。裂薅这些掏律，获得了一些严格循环薪 熄纳四元系的无穷类 第3 牵孳 入乘乎基因构的概念，舆霄非乎凡粱子叁雕橡群的p + 1 阶旋转矮 趣纳西元系韵一个赢接鞫佟被给密。其中p 三1 3 ( m o d2 4 ) 是一个素数同对蒋个 旋转斯坦纳四元系的递推构作被给出，用以处理在此之前的文献所无法处理的情 形。利用这些橇造，丰富了旋转额垣缡隧元系的存在缝采， 利用第2 章给出的严格循环3 一设计的诸多构作，第4 瀚改进了参数为o ，4 ，2 ) 的最优光最交码( 酆做4 ，2 ) o o c 的存在结果光正交码是一种具肖良好自枢 关牲帮互糯关牲鹈穿剜，在鹳分多址系统( c d m a ) 孛有蔫重要应用。塞予注意 到v 兰0 ( m o d2 4 ) 时，不存在搬优( n4 ，2 ) o o c ，阙此引入严格循环最大填充四元 系的概念通过给擞一些递推梅作，严格循环最大填充四霆系盼若干无穷类被获 褥。彳# 为藏论，许多鑫知的关于严格德环斯垣纳鞠元系和鬣优p ，4 ，2 ) ，o o c 的构 作都能被第2 章和篇4 章提出的构作所统一 第5 黎弱震3 设计熟方法来簿决超圈分解蔫题，可以涯鞠3 一致完全超 闵群分解成超图砖一e 的充分必要条件是，鞴0 ，l ，2 ( m o d9 ) 且v 9 还可以 证嚷3 一致完全超豳鼯分解成超匿群+ e 的充分必要条件是y 鍪q i ，2 ( m o d 5 ) 且驴7 v 北京交通大学博士学位论文中文摘要 关键词：3 设计；严格循环；旋转；斯坦纳四元系；光正交码；最优；最大填充四元 系；j f a n 设计；h 设计；乘子自同构；超图分解 分类号： 0 1 5 7 2 北京交通大学博士学位论文 a b s l l r ac i a b s t r a c t l e tkb eas e to fp o s i t i v ei n t e g e r s at - w i s eb a l a n c e dd e s i g ni sap a i r ( x 易) ，w h e r e xi sas e to f ，p o i n t sa n d 易i sas e to fs u b s e t so fx ( c a l l e db l o c k s ) 。e a c ho fc a r d i n a l i t y f r o mk ，s u c ht h a te v e r yt - s u b s e to fxi sc o n t a i n e di nau n i q u eb l o c k t - w i s eb a l a n c e d d e s i g n sa r ev e r yi m p o r t a n ti nd e s i g nt h e o r y f o rt = 2 ，m u c hw o r kh a sb e e nd o n eo n p a i r w i s eb a l a n c e dd e s i g n s f o rt = 3 ，h o w e v e r , n o tm u c hi sk n o w n i nt h i st h e s i s ，w e c o n c e n t r a t eo nt h es u b j e c t sr e l a t e dt o3 - w i s eb a l a n c e dd e s i g n s f o rc o n v e n i e n c e ，w e a l w a y ss i m p l yw r i t e3 - d e s i g nf o r3 - w i s eb a l a n c e dd e s i g n s i n c et h es u r v e yo fl i n d n e ra n dr o s ai n19 7 8 ，o n eo ft h ei n t e r e s t si nt h ea r e ao f 3 - d e s i g n sh a sf o c u s e do ne s t a b l i s h i n gt h ee x i s t e n c eo fs t e i n e rq u a d r u p l es y s t e m sw i t h ap r e s c r i b e da u t o m o r p h i s mg r o u p h o w e v e ro n l yl i m i t e dp r o g r e s sh a sb e e nm a d e i n t h i st h e s i s ，w et r yt oe n l a r g et h er e s u l t so fs t r i c t l yc y c l i cs t e i n e rq u a d r u p l es y s t e m s a n dr o t a t i o n a ls t e i n e rq u a d r u p l es y s t e m s a sa p p l i c a t i o n so f3 - d e s i g n s ，w el i m i to u r d i s c u s s i o nt ot w om a i na r e a s ：o p t i c a lo r t h o g o n a lc o d e sa n dh y p e r g r a p hd e c o m p o s i t i o n s t h i st h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s c h a p t e rlg i v e sab r i e fi n t r o d u c t i o no nt h eb a c k g r o u n do ft - d e s i g n s i nc h a p t e r 2 ，w ei n t r o d u c es o m ea u x i l i a r yd e s i g n st oe s t a b l i s ht h ef u n d a m e n t a lc o n s t r u c t i o nf o r s t r i c t l yc y c l i c3 - d e s i g n s f o rc o n s t r u c t i n gs t r i c t l yc y c l i cs t e i n e rq u a d r u p l es y s t e m s ， s o m em o r er e c u r s i v ec o n s t r u c t i o n sf o rs t r i c t l yc y c l i c3 - d e s i g n sc o n t a i m n gb l o c k s i z e 4a r ep r e s e n t e d u s i n gt h e s ec o n s t r u c t i o n sw eh a v em a n yi n f i n i t ef a m i l i e so fs t r i c t l y c y c l i cs t e i n e rq u a d r u p l es y s t e m s i nc h a p t e r 3 ，ad i r e c tc o n s t r u c t i o nf o rr o t a t i o n a ls t e i n e rq u a d r u p l es y s t e m so fo r d e r p + lh a v i n gan o n t r i v i a lm u l t i p l i e ra u t o m o r p h i s mi sg i v e n ，w h e r ep 三13 ( m o d2 4 ) i s ap r i m e w ea l s og i v et w oi m p r o v e dp r o d u c tc o n s t r u c t i o n s b yt h e s ec o n s t r u c t i o n s ，t h e k n o w ne x i s t e n c er e s u l t so fr o t a t i o n a ls t e i n e rq u a d r u p l es y s t e m sa r ee x t e n d e d i nc h a p t e r4 ，a na p p l i c a t i o no fo u rc o n s t r u c t i o n si nc h a p t e r2i sg i v e nt oo p t i m a l o p t i c a lo r t h o g o n a lc o d e so fl e n g t hyw i t hw e i g h t4a n di n d e x2 ( d e n o t e db y ( ，4 ，2 ) - o o c ) n es t u d yo fo p t i c a lo r t h o g o n a lc o d e si sm o t i v a t e db yt h e i ra p p l i c a t i o n si na f i b e r - o p t i c a lc o d e d i v i s i o nm u l t i p l ea c c e s s ( c d m a ) c h a n n e l ，a n dt h e yh a v eb e e ns t u d i e de x t e n s i v e l yf o rt h ep a s tt w od e c a d e s m a n yi n f i n i t ef a m i l i e so fo p t i m a l ( v ，4 ，2 ) 一 o o c sa r eo b t a i n e d w ea l s on o t i c et h a tt h e r ed o e sn o te x i s ta l lo p t i m a l ( 1 ，4 ，2 ) 一o o c f o ra n y ，兰0 ( m o d2 4 ) t h u sw ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fs t r i c t l yc y c l i cm a x i m a lp a c k j 艺京交通大学簿士学使论文 a 嚣s 1 溱泛譬 l a gq u a d r u p l es y s t e m st od e a lw i t ht h ec a s eo fv 警0 ( m o d2 4 ) f o r 蛾霹，2 一o e s b y o u rr e c u r s i v ec o n s t r u c t i o n s ，s o m ei n f i n i t ef a m i l i e sa l eg i v e no ns t r i c t l yc y c l i cm a x i m a l p a c k i n gq u a d r u p l es y s t e m s i nc h a p t e r s2a n d4 ，鲻c o r o l l a r i e s ，m a n yk n o w nc o n s t r u e - t i o n sf o rs t r i c 姆c y c l i cs t e i n e rq u a d r u p l es y s t e m sa n do p t i m a l 积4 ，2 ) - o o c sa l eu n i f i e d b yo u r c o n s t r u c t i o n s i nc h a p t e r5 ，a na p p l i c a t i o no f3 堪e s i g n st oh y p e r g r a p hd e c o m p o s i t i o n si sp r e - s e n t e d 。w es h o wt h a tad e c o m p o s i t i o no fa3 - u n i f o r mh y p e r g r a p h 瞬ji n t oas p e c i a l k i n do f h y p e r g r a p h 麟一ee x i s t si f a n do n l yi f v 篓o l ，2 ( m o d9 ) a n d ，芝9 a n di ti s e s t a b l i s h e dt h a tad e c o m p o s i t i o no fa3 - u n i f o r mh y p e r g r a p h 靖。i n t oas p e c i a lk i n do f h y p e r g r a p h 式r + e e x i s t si f a n do n l yi f v 量姨l ，2 ( m o d5 ) a n dv 7 。 k e y w o r d s ：3 - d e s i g n ；s t r i c t l yc y c l i c ；r o t a t i o n a l ；s t e i n e rq u a d r u p l es y s t e m ；o p t i c a l o r t h o g o n a lc o d e ；o p t i m a l ；m a x i m a lp a c k i n gq u a d r u p l es y s t e m ；s f a nd e s i g n ；hd e s i g n ； m u l t i p l i e ra u t o m o r p h i s m ；h y p e r g r a p hd e c o m p o s i t i o n c l a s s n 0 ：015 7 2 铷 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。 特授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保1 竽、汇编以供查阅和借阅。同意学 校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 签字日期： 心r 矽年g 月 导师签 签字日旆期：睡6 月髟勺 ，i 独创性声明 本入声明所呈交的学位论文是本入在导灏指导下进巷的研究王作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他入已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为捩得北京交通大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一露王作的同志对本研究所徽的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：译 签字眺。盼后，卜 致谢 本文的工佟是在我豹导师常彦勋教授的悉心指导下完成的，在课题研究过程 中，常老师多次询问研究进程，帮助我开拓研究思路，精心点拨，热忱鼓励他严谨 的治学精神，精益求精的工作作j ) 哇，是我一生学习的榜样。从跟随常老师读硕士算 起，侠要纛年了矗年来，常老瘴不仅在学鳖上给我以精心指导，在思想和生活上 更给我以无微不至的关怀在此谨向常老师表示衷心的感谢 感谢攀利均博士的有益讨论。感谢刘彦佩教授、冯箭全教授、修乃华教授d 饔 郝荣霞教授的指导和帮助感谢周君瑟师姐的长期关怀感谢北京交通大学理学 院数学系诸多老师多年来的关心和教育 在论文撰写期闻，高源、吴艳、王小茁、常搁茂、王昭、李靖坐、陈琦、马 增花、林伟伟等同学给予我很大的关心和帮助感谢柴钊的理解和支持 最后，感谢我的父母，你们永远健康快乐是我最大的心愿 北东交逶大学博圭学位论文 第1 章绪论 第1 章绪论 1 薹研究背景 设k 是某些正整数的集合一个f 平衡设计( t - w i s eb a l a n c e dd e s i g n ) 是一个二 元组暇翁，其中x 是妒元集，x 中的每个元素称为点p o i n t ) ，8 是x 的某些囊子 集的集合，七k ，嚣中的元索称为区组( b l o c k ) ，要求x 中任意t 子集都恰含在 一个区组中记这样的设计为s 识墨崎如果k = ，s f 墨v ) 被汜作s ( 厶奴v ) s ( 厶毛d 称作是f 设计( t - d e s i g n ) 方便起觅，在不弓| 起混淆的情况下，总简称一 个卜平衡设计是一个卜设计 s ( 2 ，瑟妒) 称作是成对平衡设许( p a i r w i s eb a l a n c e dd e s i g n ) 8 ( 2 ，崎称作楚平 衡不完全区组设计( b a l a n c e di n c o m p l e t eb l o c kd e s i g n ) s ( 2 ，3 ，v ) 称作是斯坦纳三 元系( s t e i n e rt r i p l es y s t e m ) ，汜作s t s ( v ) s ( 3 ，4 ，订称作是斯坦纳嘴元系( s t e i n e r q u a d r u p l es y s t e m ) ，避作s 筘( d 。 关于s ( t ，墨，) 的研究，可以追溯到1 8 3 5 年，p l i i c k e r 删在研究代数曲线问题 时，碰到了现在称为s ( 2 ，3 ，9 ) 的组会构型在对代数鲢线问题做进一步的研究 中，p l i i c k e r l 5 1 1 在1 8 3 9 年又碰到了现在称为s ( 3 ，4 ，2 8 ) 的组合构型在此基础上 他提出这样的问题：对怎样的参数t 和 ，存在s ( t ，t4 - 1 ，v ) 在1 8 4 4 年w o o l h o u s e l 5 谫提出了更一般的问题：是否存在二元维陇翁，使 得x 中任意t 子集都至多含在一个区组中这样的设计称为填充设计( p a c k i n g d e s i g n ) 。显然，w o o l h o u s e 的阔题包含了这样的闯题：对怎样的参数f k 和吩存 在s ( 厶k ，访关于填充设计，在第4 章会有清晰的定义和讨论 在1 8 5 3 年s t e i n e r l 5 6 提出了与w o o l h o u s e 类似但不同的问题，他的问题仅 当t = 2 量k = 3 时与w o o l h o u s e 相潮，郡缝也提出了现今称为颠垣纳三元系的存 在性问题，但他并没有给出相应的存在性证明事实上, k i r k m a n t 4 0 】在1 8 4 7 年已 经完全勰决了斯坦纳三元系的存在性问题但由于s t e i n e r 在数学界的声誉以及当 时人们对k i r k m a n 工作的忽略，在s t e i n e r 提出这个问趱囊，s ( f k ，d 的存在性闻 题就一直称为是斯坦纳系的存在性问题，而不是以k i r k m a n 的名字命名 在1 8 9 1 年珏e 鼹嚣【2 s l 对完全图在可定向曲西的三焦剖分进行了研究，并建 立了这个问题和某种特殊设计之间的关系，这种设计要求存在二元组功，使 得x 中任意2 子集恰含在两个区组中利用差法( d i f f e r e n c em e t h o d ) ，h e f t i e r 给 出了这种特殊设计存在梭的部分证臻基于对差法的深入思考，同时翻于 对k i r k m a n 工作的忽略，在1 8 9 6 - 1 8 9 7 年，h e f f t e r t 2 9 , 3 0 l 提出了著名的h e f f t e r 第一 北京交通大学博士学位论文第1 章绪论 差问题和第二差问题( h e f t i e r sf i r s t s e c o n dd i f f e r e n c ep r o b l e m ) ，用以解决斯坦纳三 元系的存在性问题h e f t i e r 要构造的斯坦纳三元系是一种条件更强的斯坦纳三 元系，要求这种斯坦纳三元系具有某种特殊的自同构群如今这种斯坦纳三元系 称为循环斯坦纳三元系( c y c l i cs t e i n e rt r i p l es y s t e m ) ，而利用循环的方法对设计进 行研究在这之后也开始广为流行( 尽管在h e f f t e r 之前循环的思想已经出现) 循 环斯坦纳三元系的存在性最终被p e l t e s o h n 4 7 i 在1 9 3 9 年解决关于循环设计，在 第2 章会有清晰的定义和讨论 h a n a n i 2 2 1 在1 9 6 1 年完全解决了s ( 2 ，4 ，v ) 的存在性问题h a n a n i 2 4 1 在1 9 7 2 年 又完全解决了s ( 2 ，5 ， ，) 的存在性问题当6 k 9 ，除去，的一些小阶数情形 未知外，s ( 2 ，k ，v ) 的存在性问题经过很多人的努力，也已经被完全解决关 于s ( 2 ，墨y ) 的存在性，已经有大量丰富的结果，可以参考综述文章【1 1 当t = 3 且k = 4 ，k i r k m a n 4 0 1 在1 8 4 7 年证明对于任意正整数n ，存在sq s ( 2 ”) 在1 9 1 4 年f i t t i n g 1 7 l 利用循环的方法构造了s a s ( 2 6 ) 和s a s ( 3 4 ) 事实上f i t r i n g 要求构造的斯坦纳四元系不仅仅是循环的，而且是严格循环的( s t r i c t l y c y c l i c ) ，以至于他把严格循环斯坦纳四元系存在的必要条件，当成了循环斯坦纳 四元系存在的必要条件关于严格循环斯坦纳四元系，在第2 章会有清晰的定义 和讨论在1 9 3 7 年，c a r m i c h a e l 7 1 对于素数p 三7 ( m o d1 2 ) ，证明存在s q s ( p + 1 ) c a r m i c h a e l 构造的斯坦纳四元系是旋转的( r o t a t i o n a l ) ，称为旋转斯坦纳四元系关 于旋转斯坦纳四元系，在第3 章会有清晰的定义和讨论解决斯坦纳四元系的存 在性问题，进展一直缓慢，直到1 9 6 0 年，h a n a n i t 2 l 】才彻底解决了该问题 定理1 1 1 2 1 1 存在s ( 3 ，4 ，v ) 当且仅当y 兰2 ，4 ( m o d6 ) 并且y 4 当f = 3 且k 5 ，s ( 3 ，k ， ，) 的存在结果不多当t = 4 ，5 ，仅有一些s ( t ，k ， ，) 存 在的小阶数例子而当t 6 ，至今连一个s ( t ，k ，d 存在的例子也没有关 于s ( 3 ，墨，) 的存在结果也不多，主要有下面几个，其中一些会在第5 章用到 定理1 1 2 2 3 1 对于任意正整数，兰0 ( m o d2 ) ，存在s ( 3 ，f 4 ，6 l ，d 定理1 1 3 3 2 1 对于任意正整数v 三l ，2 ，4 ，5 ，8 ，1 0 ( m o d1 2 ) ，并且v 1 3 ，存 在s ( 3 ，1 4 ，5 ) ，d 定理1 1 4 【3 3 l 对于任意正整数 ，三0 ，1 ，2 ( m o d4 ) ，并且 ，9 ，1 3 ，存在s ( 3 ，1 4 ， 5 ，6 l ，y ) 定理1 1 5 1 2 3 , 3 2 1 对于任意整数，4 ，存在s ( 3 ， 4 ，5 ，6 ，7 ，9 ，1 1 ，1 3 ，1 5 ，1 9 ，2 3 ， 2 7 ，v ) 定理1 1 6 嘲】对于任意整数v 5 ，存在s ( 3 ，1 5 ，6 ，4 0 1 1 7 ，2 1 ，2 2 ，2 5 ，2 6 ， ，) 2 北京交通大学簿士学经论交第1 章绪论 定理l 。l 。7 + s g l 对于任意整数矽6 ，毒雀s ( 3 ， 6 ，7 。，毒l ，4 5 ，4 6 , 4 7 ，5 1 ，5 2 ，5 3 ， 8 3 ，8 4 、 2 2 ，2 6 ，d 由上瑟的叙述可以看窭，冬设计麓存在结巢器经很丰富，研究鞠入也禳多，僵 对于3 设计，目前已知结果不多，研究方法也很有限，在这方面有很多工作可以去 做因蓝匕本文主要针对3 设计中的一些阿遂进行讨论，并给邂一些应用。 1 2 主要结果 在构造一个具体阶数的设计时，人们往往希望所构造的设计具宥某种结构， 这样会简化构造。经常采用的拯法是，要求所构造的设计其蠢某种非平凡的爨羼 构群，在这个自同构群韵作用下构造设计尽管这种方法在构造具体阶数豹设计 时很有效，德如果进一步问，个具有特定自同构群的设计在怎样的参数下魁存 在的，那么这个运题要毙闯一个设毒1 在怎样鹃参数下是存在鹃要匿难褥多本文 第2 章和第3 章讨论具有特定自同构群作用的3 设计的存在性 通过弓l 入一些辅助设计，在第2 章首先得到个严格循环3 设计靛基本递推 构作。 构造2 3 2 设k 和厶，l f 茎断都是太于1 的巢艘正整数的集合设厮和b 都 是大于2 的某些正整数镑集合。锻设存在型为矿的严格镄环i - f g ( 3 ，憝k r 静羔 若对于任意k 墨存在型为矿的严格半循环s - f g ( 3 ，( 厶i 如，k ，b ) ，庇蛾 并且对于任意k 硒，存在半循环尉仗，h ，l , r ，3 ) ，更i j 存在型为( h g r 的严格循 环s - f g ( 3 ，( l i ，l 2 ，是，l r ) ，h g n ) 为构造严格循环斯坦纳四元系，一种特殊的辅助设计被引入，称为型为旷的 循环o - f g + ( 3 ，穗，4 ) ，g n ) ，并给出懿下递摧构俸。 构造2 5 1 设h 3 是奇整孰若存在型为矿的循环0 f g ( 3 ， 4 ) ，卯) ，则存在 型为姣g y 的循环0 f g + ( 3 ，( 级4 ，h g ，1 ) 基手构造2 。5 1 ，可以餐到严格循环斯疆纳四嚣系豹乘积构造 构造2 7 1 若存在媾笳( 2 u ) 和砖西。( 2 v ) ，则存在砖q s 4 ( 2 u 吐 剩用上露蓊乘积构造，可以获褥严格循环囊超纳透元系鹣一些无穷类， 定理2 7 5 设s l 楚所有素数p 兰5 3 ，7 7 ( r o o d1 2 0 ) 且p 1 ，那么g n 三g 兰2 ( m o d 砂，其 中y - - g c d k 一2 ：k 骼1 证明：计算在一个0 - f g 中的区组数，可以得到( 1 ) 给定疗个不同的点，计算含 这露个点的区组数，可以得到( 2 ) 和( 3 ) 。注意有诱种不同的方法来选定2 个不同 的点 口 所谓嚣f a n 设计( x 鼠够l ，翁，织， 的一个自同构群是定义在x 上保 持鲩露“魏，绞，厂均不变的一个箍换群一个型为旷的s - f a n 设计被称为 是循环的，如果它的自同构群含有一个由譬疗长循环构成的自同构不失一般性， 总可以把x 看作是乙，把看作是 l 掘+ 歹：0 墨i g l ：0s 歹撑一l 设g 是某个s - f a n 设计的一个自同构群对于这个s - f a n 设计的任意区组最 l 耳g ：伊= b l 被称为是在g 作用下层的稳定子群如果在乙作用下，一个型 为矿的循环s - f a n 设计任意区缀的稳定子群都跫平凡的，那么这个s - f a n 设计被称 为是严格循环的 c 。c o l b o u r n 和m 。c o l b o u m t l 2 l 定义了m - b e h e a d e d 循环s $ ( 谚，它可以番作 是这里定义的循环s - f a n 设计的一个特殊情况一个m b e h e a d e d 循环s q s ( ，) 就 是一个型为m ”i m 的循环o - f g o ，( 晚4 ) ，d 8 就京交通- 大学博士学位论文第2 章严格循环3 设计 设嚣是正整数习掼上，总约定磊茹1 0 ，l ，菇一l 一个塑为矿的s - f a n 设 计陇缪，移l ，伤，甄，门被称为是半循环的( s e m i c y c l i c ) ，如果它的自同构群 含有一个由，| 个g 长的循环构成的自同构。不失一般性，总可以把x 著作 怒厶xz s ，把磐看俸是 l i z s - f l , i 在这种情况下，自同构的作用可以看 作是( 1 ，曲+ 1 卜一( f ，x + 1 ) ( m o d ( 一，掌) ) ，i 厶，并磊如果在z g 作用下，一个型 为矿的拳循环s f a n 设计任意区组的稳定子群都是平凡的，即对于任意区组器， 够磊：b + 6 = b 勰 o j ，其巾召+ 6 = 工+ 0 3 ：( i ，力艿 ，那么这个s f 缸设计被 称为是严格半循环的( s t r i c t l ys e m i c y c l i c ) 设拜，g ，t 是正整数，爱是某些歪整数的集合一个嚣设计hd e s i g n ) 是一个三 元组陇够，固，其中够是点集合x 的一个划分，把x 分成了胛个大小是g 的非空 子集，每个非空子集称为是一个组，8 是x 的子集族，每个子集的大小取自k ，每 个子集称为是一个区组，要求每个区组交任意给定组至多一点，并鼠从t 个不同 组中取出的x 的每个卜子集都恰含于一个区组中记这样的设计为脚仰，g ，kf ) 作为一种组合构型，露设计的想法在h a n a n i l 2 3 1 的文章中已经离现，僵镱使用 的是不同的术语m i l l s t 4 4 1 最早使用h 设计的提法h a r t m a n t 2 6 给出了日设计概 念的一个推广，称其为t r i p a r t i t e 设计 所谓掰设计磐，固的一个自圊构群，是定义在x 上保持参和8 不变的置 换群一个型为旷的设计被称为是循环的，如果它含有个由朋长的循环构 成的皇目构不失般性，总可以把x 羞挥是磊，把爹纛作是搿穗+ j ：0 i g 一1 ) ：0sj 以一1 1 设g 是某个烈设计的一个自同构群。对于这个辫设计的任意区组最 扭eg ：伊= b 被称为是在艿作用下艿的稳定子群。如巢在2 作用下，一个循 环日设计n ( n ，g ，丘t ) 任意区组的稳定予群都是平凡的，那么这个脚设计被称为 是严格循环的 如果一个型为旷的日设计( x 爹，聊含有一个由挖个譬长循环构成的自同构， 那么它被称为是半循环的总可以把x 看作是厶磊，把爹看作是l f 磊：f 厶 在这种情凝下，自嚼构麓作用帮以看传是( 毋l 卜穰x 小l ( r o o d ( 一，g ) ) ，f 厶， 乙如果在互作用下，一个半循环日设计任意区组的稳定子群都是平凡的， 即对于任意区组置 艿乏：b + 艿= b = f o ，其中嚣+ 艿搭l 瞳x + 0 3 ：( 工) 磁， 那么这个拦设计被称为是严格