（运筹学与控制论专业论文）delta域广义预测控制理论研究.pdf

鲁东大学硕士学位论文 摘要 由于计算机技术的飞速发展和自动控制等领域的实际需要，离散采样控制系 统得到了充分的发展，但是采样频率很高时，传统的信号处理和控制方法存在着 不可避免的缺陷，采用d e l t a 算子描述代替移位算子描述方法可以对此有所帮助 在高频采样过程中d e l t a 算子离散化模型可以趋近于原连续模型，这是d e l t a 算子 的显著优点由于预测控制控制算法，在工业控制界已经取得很多成功的应用，所 以在d e l t a 域研究广义预测控制是一个有意义的研究课题 本文从几个方面研究d e l t a 域广义预测控制作了初步的探讨 1 提出具有状态反馈的e m u l a t o r - b a s e dd g p c 控制算法给出具有可观测状 态反馈的控制器表达式，并且讨论了控制器的多项式与状态矩阵之间的关系这 种控制器克服了系统中高速采样带来的不稳定性，而且由于使用估计状态动态反 馈，提高了控制系统抑制不可测干扰能力 2 针对广义预测控制存在的不稳定性问题，提出无穷时域d e l t a 算子广义 预测控制算法在d e l t a 域采用无穷时域性能指标函数的方法改进控制算法以提 高稳定性 3 针对预测控制算法的计算量大问题，提出了d e l t a 域广义预测控制的线 性矩阵不等式方法用线性矩阵不等式方法求解优化问题设计输出反馈控制器， 同时也将输入输出约束写成线性矩阵不等式形式作为优化问题的约束条件 关键词：d e l t a 域；广义预测控制；闭环稳定性；线性矩阵不等式 鲁东大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ed i s c r e t es a m p l e ds y s t e m sh a v e b e e nd e v e l o p i n gr a p i d l y 、析lt h ed e v e l o p m e n t o fc o m p u t e rt e c h n o l o g y b u tw h e ns a m p l i n gr a t e sa r eh i g h ，m o s tt r a d i t i o n a ld i 西t a l s i 乎l a lp r o c e s s i n ga n dc o n t r o la l g o r i t h m sa l ei n h e r e n t l yi l l c o n d i t i o n e d c o n s i d e r a b l y r e c e n tp r o g r e s st o w a r da m e l i o r a t i n gs u c ha si l l c o n d i t i o n e dp r o b l e m sh a sb e e nm a d e b yt h eu s eo fd e l t ao p e r a t o r , r a t h e rt h a nt h ec o n v e n t i o n a ls h i f to p e r a t o r , t or e p r e s e n t t h ed y n a m i c so fs a m p l e dd a t a a n di np r o c e s s i n gh i g hs a m p l i n gd a t as y s t e m ，d i s c r e t e t i m em o d e lu s i n gd e l t ao p e r a t o ra p p r o a c h e sc o r r e s p o n d i n gc o n t i n u o u st i m em o d e l ， w h i c hi st h er e m a r k a b l ea d v a n t a g eo ft h ed e l t ao p e r a t o r o nt h eo t h e rh a n d ， g e n e r a l i z e dp r e d i c t i v ec o n t r o l ，w h i c hi sk n o w n a san e wt y p eo fc o n t r o la p p r o a c h ，h a s b e e na p p l i e ds u c c e s s f u li ni n d u s t r y t h em e r g e ro fd e l t ao p e r a t o rt h e o r ya n d g e n e r a l i z e dp r e d i c t i v ec o n t r o li san e wt h e m e ，w h i c hi ss i g n i f i c a n tf o rp r a c t i c a l c o n t r o ls y s t e m s ，e s p e c i a l l yf o rh i g hs p e e ds a m p l e ds y s t e m s b a s e do nt h em e t h o d so fd e l t ao p e r a t o rt h e o r ya n dt h eg e n e r a l i z e dp r e d i c t i v e c o n t r o l ，t h i sp a p e rs t u d i e st h ed e l t ad o m a i ng e n e r a l i z e dp r e d i c t i v ec o n t r 0 1 s o m e i n i t i a l l yc o n t r o lt h e o r yo fd e l t ad o m a i ng e n e r a l i z e dp r e d i c t i v ec o n t r o la r ei n v e s t i g a t e d a sf o l l o w s t h em a i nc o n t e n t sa l es t a t e da sf o l l o w s ： 1 e m u l a t e d - b a s e dd g p c ( d e l t a - o p e r a t o rg e n e r a l i z e dp r e d i c t i v ec o n t r 0 1 ) 谢t l l s t a t ef e e d b a c ki sp r o p o s e da n de m u l a t o r - b a s e dd g p c 、舫t 1 1s t a t ef e e d b a c ka l e d i s c u s s e d t h es t r u c t u r eo fs t a t ef e e d b a c kg e n e r a l i z e dp r e d i c t i v ec o n t r o li nd e l t a d o m a i ni sad y n a m i cs t a t ev a r i a b l ef e e d b a c kc o n t r o lu s i n gt h ee s t i m a t e ds v a r i a b l e f e e d b a c kc o n t r o la n dt h ea b i l i t yo fr e j e c t i o nu n d e t e c t a b l ed i s t u r b a n c ei si n c r e a s e da n d t h er o b u s t n e s so ft h ec o n t r o l l e ds y s t e mi sp r o v e d 2 t h em a j o rw e a k n e s so fg p ci st h el a c ko fg e n e r a ls t a b i l i t yg t m r a n t e e s i n s t e a d o fs i o i t h c c r h p ca n ds g p cf o rg e n e r a ls t a b i l i t yg u a r a n t e e ，i n f i n i t eh o r i z o n g e n e r a l i z e dp r e d i c t i v e c o n t r o li nd e l t a d o m a i na r ep r o p o s e d w ea d o p ti n f i n i t e c o s t i n gh o r i z o nw h i c hi sk n o w nt ol e a ds t a b i l i t yb u ti th a si t so w ni m p l e m e n t a t i o n d i f f i c u l t i e s i no r d e rt oi m p r o v et h es t a b i l i t yo ft h ec o n t r o l l e r , ap r a c t i c a lm e a n so f i m p l e m e n t i n g 万- g p c 。w i t hi n f i n i t ec o s t i n gh o r i z o nw i mi n e q u a l i t yc o n s t r a i n t si s p r e s e n t e d t t 鲁东大学硕士学位论文 3 f o rt h el a r g es c a l ec o m p u t i n gb u r d e no fr e c e d i n gh o r i z o no p t i m i z a t i o n , d e l t a o p e r a t o rg p cb a s e do nl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e si sp r o p o s e d w i t l lt h eh e l po f l m ia p p r o a c h , ao u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e ri so b t a i n e d t h e nt h es t r u c t u r eo f s t a b i l a t i o nc o n t r o l l e ra n dt h ee x i s t e n c e c o n d i t i o no fs t a b l ec o n t r o l l e ra r ep r e s e n t e d k e y w o r d s ：d e l t ao p e r a t o r , g e n e r a l i z e dp r e d i c t i v ec o n t r o l ，c l o s e d - l o o ps t a b i l i t y , l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s i i i 鲁东大学学位论文原创性声明和使用授权说明 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成 果。除了文中特i i i i 以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表 或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作：f 7 彳鹄叶日期渺加眵日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权鲁 东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密龇 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名： 导师签名： 印也t 叶 日期：磁么乌fc ，日 日剪k 竹石月i 侈日 鲁东大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 选题背景和意义 由于计算机技术的飞速发展和工业自动化等领域的实际需要，从而使得离散采样控 制理论得到了长足的发展然而，有关离散化模型的控制理论与应用的研究结果表明，当 离散化系统的采样频率很高的时候，若采用传统的z 变换对系统进行离散化，则有以下缺 点： 将导致采样系统的所有极点位于稳定的边界上，使系统的稳定性变差； 在有限字长的计算机中实现时，引起量化误差、极限环振荡等数值不稳定的问题； 离散化系统的模型的参数并不趋于连续系统的相应参数，且易引入非最小相位零点， 使离散化后的系统稳定性变差 针对以上缺点，澳大利亚的控制理论专家g o o d w i l l 【l 捌教授等建议采用d e l t a 算子( 称 为增量差分算子) 来离散化连续系统，在快速采样的情形下使其离散模型趋近于原来的连 续模型d e l t a 算子现已成为连续时间模型和离散时间模型的统一描述方法，既避免了z 变换引起的数值不稳定的问题，又使得传统的用于连续域的各类设计方法可以直接用于 离散域设计，从而使得d e l t a 算子在高速信号处理、宽带通讯与数字采样控制等方面具有 广阔的发展应用前景 d e l t a 算子又称e u l e r 算子，定义为【3 】： a 万x ( f ) = t = 0 ( 1 1 ) r o 其中丁为采样周期 考虑线性时不变连续系统 莺( ，) = a x ( t ) + b u ( t ) ，y ( f ) = c x ( t ) ( 1 2 ) 其中x ，”，y 分别为i , m ，p 维状态、控制、输出向量彳，b ，c 分别为相应维数的常值矩阵 系统( 1 2 ) 的z 域离散化模型为： q x ( k ) = a q x ( k ) + 8 q u ( k ) ，y ( k ) = c q x ( k ) ( 1 3 ) 其中： 一 ) 一 - | x 、，一r 立西 i r o x 一 鲁东大学硕士学位论文 4 = p 盯，色= f p m 鼢，q = c ( 1 4 ) 系统( 1 2 ) 的万域离散化模型为： 6 x ( k ) = 以x ( 后) + b “( 七) ，y ( k ) = c , x ( k ) ( 1 5 ) 式中 以= 4 一，乓：，g ：q 当t 寸0 时，由式( 1 4 ) 和式( 1 6 ) 可分别得到： 4 哼，色专o ，以专彳，岛哼b ( 1 6 ) ( 1 7 ) 由此可见，利用d e l t a 算子来描述离散采样系统，具有如下优点： 当采样周期趋于零时，d e l t a 算子系统的模型参数趋于相应的连续时间模型参数，所得 结果也趋于连续情形的相应结果； d e l t a 算子模型中采样周期作为显式参数，便于观察和分析不同采样周期下控制系统的 性能； d e l t a 算子实现时具有很好的数字特性，包括有限字长特性、系数灵敏度等方面均优于 移位算子 预测控制是在过程控制中得到广泛重视和应用的一种计算机控制算法c l a r k e 3 1 提 出预测控制算法，以受控自回归积分滑动平均模型为基础，采用长时间的优化性能指标， 结合辨识和自校正机制，有良好的鲁棒性，并具有广泛的适用范围在文 4 中， c l a r k e 针对广义预测控制的受控对象描述、预测方程、控制算法、控制律的性质等问题，作了 更深入地探讨h d e m i r c i o l ua n dp j g a w t h r o p l 5 在离散时间广义预测控制的基础上提 出了连续时间广义预测控制。该算法克服单纯的离散时间方法中存在的诸如数值灵敏度， 采样速率选择等问题，同时具有广义预测控制相类似的最优性和鲁棒性 1 2 研究现状 d e l t a 算子作为一种新的离散化方法，在快速采样的情况下使其离散模型趋近于原 来的连续模型，成为连接连续模型和离散模型的统一描述方法，引起了从事控制理论与 信号处理研究人员的普遍关注和研究兴趣目前d e l t a 算子理论在最优滤波【4 5 】、系统辨 识i 矧、自适应控制【4 7 1 、信号处删4 钔、预测控制4 9 】、鲁棒控制p o l 、故障检测m 1 等控制与 鲁东大学硕士学位论文 估计的许多领域获得成功但由于d e l t a 算子描述方法起步不久，关于d e l t a 算子的控制 理论还没有形成系统的理论体系，因此，这方面的研究具有挑战意义和迫切性 1 3d e l t a 域广义预测控制 1 3 1 广义预测控制 模型预测控制是上世纪7 0 年代后期直接从工业过程控制实践中发展起来的一 类控制算法最早应用于工业过程控制的模型预测控制算法是1 9 7 8 年r i c h a l e t 等任提 出的基于有限脉冲响应( f i r ) 模型的模型预测启发控带t ( m p h c ) 【5 1 ，或称为模型算法控制 ( m a c ) 6 1 ；随后相继出现了c u l t c r 等人提出的基于有限阶跃响应( f s r ) 模型的动态矩阵 控$ o ( d m c ) 7 1 ；g a r c i a 和m o r a r i 提出的内模控a i t j ( i m c ) 8 1 ：c l a r k e 等人提出的基于受控 自回归积分滑动平均模型( c a g i m a ) 的广义预测控, t ( g p c ) 1 4 、广义预测极点配置控制 ( g p p ) 1 1 】；n - - 十世纪8 0 年代后期，r j c h a l e t 等人又提出了第三代模型预测控制算法即 预测函数控s j j ( p f c ) 1 2 , 1 3 】 广义预测控制( g p c ) 【4 l 是随着自适应控制的研究而发展起来的一种预测控制方法，由 于各类最小方差控制器一般要求已知对象的时延，如果时延估计不准确，则控制精度将 大大降低；极点配置自校正控制器则对系统的阶次十分敏感这种对模型精度的高要求， 束缚了自校正控制算法在复杂的工业过程控制中的应用，人们期望能寻找一种对数学模 型要求低、鲁棒性强的自适应控制算法正是在这种背景下，1 9 8 7 年，c l a r k e 等人在保 持最小方差自校正控制的在线辨识、输出预测、最小方差控制的基础上，吸取了d m c 和 m a c 中滚动优化的策略，提出了广义预测控制算法( g p c ) 它采用c a r i m a 模型( 离 散受控自回归积分滑动平均模型) 作为预测模型，克服了e h a c ( e x t e n d e dh o r i z o n a d a p t i v ec o n t r 0 1 ) d o 算法和e p s a c ( e x t e n d e dp r e d i c t i o ns e l f - a d p t i v ec o n t r 0 1 ) t 4 1 1 算法消 除测量变量和设定值之间误差效果不好的缺点广义预测控制保持最小方差自校正控制 器的模型预测，在优化中引入了多步预测的思想，抗负载扰动随机噪声、时延变化等能力 显著提高，具有许多可以改变各种控制性能的调整参数g p c 基于参数模型，引入了不相 等的预测水平和控制水平，系统设计灵活方便，具有预测模型、滚动优化和在线反馈校 正等特征，呈现优良的控制性能和鲁棒性，被广泛地应用于工业过程控制中，取得了明 显的经济效益 许多学者致力于改进广义预测控制算法，文【4 3 】利用参数辨识的结果直接求解控制 器，不用求解d i o p h a n t i n e 方程，从减少计算量的角度来改进广义预测控制在线算法文 【4 4 分别针对状态空间模型和输入输出模型，采用递推的方法，将g p c 化为解r i c c a t i 鲁东大学硕士学位论文 方程，基于脉冲阵列结构，提出了参数辨识的并行方法，从节省在线计算时间的角度来 改进广义预测控制在线算法文 4 7 】在假设被控对象的阶跃响应前n 项已知的条件下， 提出了一种广义预测控制直接算法，并给出了算法的全局收敛性分析； k o u v a r i t a k i s 和r o s s i t e r 等人讨论了s g p c 的传递函数形式，并通过简单的修改，给 出了一种受约束的s g p c ( c s g p c ) 算法，保证系统的输出预报值能自动完全满足约束 条件，并分析了c s g p c 闭环稳定的充要条件，提出了保证稳定和渐进跟踪的算法；在 对c r h p c 和s g p c 的联系进行了理论分析后，k o u v a f i t a k i s 和r o s s i t e r 等人认为s g p c 对开环不稳定的系统具有更好的稳定性，且计算量更小；此外，他们还针对输入受约束 的问题，提出了一种c s g p c 算法，其终端约束是可变的；文【4 9 】从状态空间的角度对上 述各种终端约束条件进行了总结 综上所述，预测控制作为一种新型的计算机算法，是具有鲜明特征的，是一种基于模 型、实行滚动优化并结合反馈校正的优化控制算法 1 3 2d e l t a 域广义预测控制 在d e l t a 域内研究广义预测控制理论是传统广义预测控制算法的延伸与扩充，对高 速采样系统有重要的应用意义另外，在介于离散域和连续域之间的d e l t a 域内的研究， 可以架起离散域和连续域之间的桥梁，揭示二者之间的理论联系本质，并可以将离散域 和连续域的广义预测控制统一于d e l t a 域内 m b l a u r i t s e n ，m r o s 垃a a r d ，n k p o u l s e n b 4 i 研究了d e l t a 域基于a r m a x 模型的 广义预测控制算法，给出了最优预测输出，但是当采样周期t 趋于零时，其最优预测方程 是不可行的这是由于d e l t a 域广义预测控制算法的最优预测输出与离散域的最优预测 输出在形式上具有等价性l a u r i t s e n , m r o s t g a a r d ，n k p o u l s e n l l 5 1 基于文【4 】的控制算法， 研究了d e l t a 域广义预测控制算法，该最优预测方程克服了文【l5 】的缺点，并给出了统一 的控制算法 由于d e l t a 算子描述系统的良好特性，在d e l t a 域广义预测控制理论的研究引起控制 专家的极大关注文【2 l 】研究了d e l t a 域广义预测控f l ；t j ( d g p c ) 的d e l t a 算子参数化问题， 给出d e l t a 域和离散域系统描述的关系文 1 6 】研究了d g p c 统一的控制算法，给出了统一 d c g p c 和d q g p c 的性能指标函数和控制律文【2 3 】研究了d g p c 的状态空间形式，给 出d e l t a 域状态空间和输入输出模型之间的关系文【6 】研究了d e l t a 算子描述的线性离散 系统的广义预测极点配置问题，综合利用d e l t a 算子、预测控制和极点配置的特性，提出 基于d e l t a 算子的广义预测极点配置控制器( d g p p ) ，克服了q 算子广义预测控制的某些 不足，并给出系统参数的选择方法文【4 2 】系统的分析了d e l t a 域广义预测控制算法的稳定 4 鲁东大学硕士学位论文 性并分析了闭环系统性能指标文【9 】在d e l t a 域详细阐述了线性系统建模、最有预测和 e m u l a t o r - b a s e d 预测、d e l t a 域预测控制和系统辨识等d e l t a 域控制理论 此外，p i o t rs u c h o m s k i 和z d z i s a wk o 、v a l c z u l ( f 4 6 】综合分析了非最小相位和最小相 位系统的广义预测控制算法的稳定性和闭环性能 1 4 论文的主要内容 随着d e l t a 算子控制理论和广义预测控制理论的日臻完善，将d e l t a 算子系统与广义 预测控制理论结合，是广义预测控制研究的延伸，d e l t a 域广义预测控制的研究已成为 预测控制研究的新方向论文的具体安排如下： 第一章介绍了本文的研究背景，简要概述了g p c 的基本原理，发展过程和d e l t a 域 广义预测控制的研究情况 第二章介绍了本文研究所需要的一些基础知识 第三章给出了一类d e l t a 域广义预测控制算法 第四章提出具有状态反馈的e m u l a t o r - b a s e dd g p c 控制算法给出了具有可观测 状态反馈的控制器表达式，这种控制器克服了系统中高速采样带来的不稳 定性，而且由于使用估计状态动态反馈，提高了控制系统抑制不可测干扰能 力 第五章针对广义预测控制的不稳定性问题，提出无穷时域的d e l t a 域广义预测控制 算法在d e l t a 域采用无穷时域性能指标函数的方法改进控制算法以提高稳 定性 第六章针对预测控制算法中滚动优化带来的不稳定问题，提出了d e l t a 域广义预 测控制的线性矩阵不等式方法，给出了稳定控制器的闭环结构，并给出了稳 定控制器存在的条件 第七章本文的结论及展望 鲁东大学硕士学位论文 第二章预备知识 在文 9 的基础上，分析用万算子离散化线性连续系统众所周知，当采样速率过快 时用传统的移位算子离散化线性连续系统，会产生一些数值问题即，当采样周期丁一0 时，离散化后的系统参数不收敛于其连续系统参数鉴于此，在本章中对比移位算子，我 们给出d e l t a 域离散化系统参数与其对应的连续系统参数以及用万算子和q 算子描述输 入输出模型的多项式之间的关系 2 1 确定系统的采样 考虑下述线性时不变连续确定系统的状态空间模型： 浆裂怛“力 ( 2 1 ) y ( f ) = e j ( f ) 。7 其中d i m ( a 。) = n x n 若采用零阶保持器进行采样，状态转移方程司由f 式给出： j ( f ) = e 4 ( , - k r ) x ( 七r ) + l 一忍“( f ) 打 由式( 2 2 ) 可知时刻七r + r 的状态值x ( 七丁+ r ) ： x ( k r + 丁) = 工( 打) + f ：r + r r - 4 0 r + r - o q n 甜( k r ) a f = p 4 r 工( 打) + f r r + r e 4 0 r + r - r ) d f 忍甜( 七r ) = p 妒工( 七r ) + rp 舻d f 忍( 打) 由式( 2 3 ) 可知其离散形式的状态空间表达式： 弘( f ) = 4 x ( f ) + b q u ( t ) y ( t ) = c q x ( t ) 其中t 为采样周期r 的整数倍，且有下述关系式： 4 = p 4 r b q = r e 4 a l b e q = e 与式( 2 4 ) 等价的输入输出模型为： 4 y ( t ) = b q u ( t ) 其中4 ，色是关于前移算子g 的多项式，并且可由下式得到： ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 鲁东大学硕士学位论文 y ( t ) = c q x ( t ) = q ( 矿一4 ) 一日材( f ) = q a 咂d j ( 掣q i 一- 岛a q ，) b q 材( f ) ( 2 7 ) 或者 d e t ( q i - a , ) y ( t ) = c q a d j ( q i - a q ) b q u ( t ) ( 2 8 ) 其中，d e g ( 4 ) = 刀，d e g ( b q ) = m o 最优观测 归结为下面的最小化问题， e j 。( f ) 一曼。( f ) 】7 【x 。( f ) 一曼。( f ) 】( 2 1 0 ) i 。( f ) 可由下面的方程给出 当丝2 4 主c 、( 7 ) + 謦? ! + k c ( ) 兑( ( 2 1 1 ) 兑( f ) = y 。( f ) 一c 。宕。( f ) 、7 增益矩阵k 。( f ) = 只( f ) 口c 1 ，其中( f ) 是r i c a t t i 矩阵微分方程的解， 上方程的初始条件为： b ( t ) = a 。只( f ) + ( ，) 衫+ q 。一k 。( f ) r c 群( f )( 2 1 2 ) 只( f o ) = 昂 主f ( o ) = 所。 最小化问题( 2 1 0 ) 的稳态误差， e 【k ( f ) 一量。( f ) 】r 工。( f ) 一是( ，) 】 = 只( ，) 定理2 2 嘲考虑下面的离散系统 8 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 鲁东大学硕士学位论文 掣刊掣+ 急“d ( f ) ( 2 1 5 ) 贝f ) = c 。j ( f ) + p ( f ) t = k t ，k k o 、 初始状态j ( 七o r ) ( ，昂) ，独立零均值白噪声序列v ( f ) ，印) 具有常方差q 。，l o 离散 最优观测归结为下面的最小化问题， e 【工( f ) 一曼( f ) 】r 【j ( f ) 一j ( f ) 】) 量( f ) 可由下面的方程给出 ( 2 1 6 ) q x ( t ) = a ，q 、互c ( t ) + b q u ( t ) + k q ( 僦) ( 2 1 7 ) 夕( f ) = y ( f ) 一c 。舅( f ) 、 增益矩阵x 口( t ) = a q p q ( t ) c t q ( c g p q ( t ) c r + 心) ，其中e ( f ) 是黎卡提矩阵微分方程的解， q e q ( t ) = a q p q ( t ) a r - k g ( t x c g p q ( t ) c r q + r q ) k 孑( f ) + 鳞 ( 2 1 8 ) 上方程的初始条件为： 最小化问题( 2 1 6 ) 的稳态误差， ( 2 1 9 ) e 【x ( f ) 一主( f ) 】r 【工( ，) 一主( f ) 】 = 局( f ) ( 2 2 0 ) 2 3 万算子参数化 本节讨论一种新的离散系统参数化问题，即万算子参数化先定义万算子， 万：型 l 。 或者 q = 1 + 彤 丁是采样周期，q 是前向移位算子而且万算子作用信号工( f ) 时有下面的结果： 西( ，) = x ( t + f r ) - x ( t ) 上式具有这样的极限性质： m l i m & ( f ) - 丢d t 砸) r + 0 和微分算子相类似，我们称万”工( ，) 为茗( ，) 的疗阶万导数，也称为广义导数 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 鲁东大学硕士学位论文 考虑线性时不变连续系统 戈( f ) = a x ( t ) + b u ( t ) ，y o ) = c x ( t ) ( 2 2 5 ) 其中x ，u ，y 分别为r l , m ，p 维状态、控制、输出向量a ，b ，c 分别为相应维数的常值矩阵 系统( 2 2 5 ) 的z 域离散化模型为： q x ( k ) = 呜x ( 七) + 岛z ，( 七) ，y ( 七) = q x ( 尼) ( 2 2 6 ) 其中 彳g = p 盯，b g = f e a t b d t ，c 口= c ( 2 2 7 ) 系统( 2 2 5 ) 的万域离散化模型为： 唑) = 以工( 七) + 甜( 七( 2 2 8 ) y ( 七) = c 占工( 七) 、7 式中 以= 丁( d q - - 1 ) ，易= 了b q ，巳= c q ( 2 2 9 ) 当丁专0 时，由式( 2 4 ) 和式( 2 6 ) 可分别得到： 4 专，岛专o ，以专a ，b 专b ( 2 3 0 ) 由此可见，利用d e l t a 算子来描述离散采样系统，具有第一章所述优点 以下给出q 域、连续域和万域的稳定域 连续域和q 域的稳定域不再赘述，万域的稳定域是从q 域影射得来的，其稳定域是以 ( 一l 丁，o ) 为圆心以l r 为半径的圆内易见，当丁寸0 时，其稳定区域收敛于左半开平面， 这与连续域的稳定域相统一如图2 1 所示： q - d o m a i n 毒- d o m a i n c o n t in u o u 异t i m e i m 人 沁 弋警 。心y 1 一 e i m 人 r ， l 下 e 1 m r 图2 1 离散域d e l t a 域和连续域相应算子的稳定域 鲁东大学硕士学位论文 2 4 万算子形式的离散系统最优滤波 定理2 3 嘲考虑离散系统( 2 3 1 ) 蠡( ) = a a x ( ) + 见甜( ) + v 艿( ) ( 2 3 1 ) 灭f ) = c 占x ( t ) + ( f ) t = k t ，k k o 、7 初始状态x ( 七。r ) en ( m 。，晶) ，独立零均值白噪声序列1 ，占( f ) ，( f ) 具有相应的常方差 伤= q 占r ，r a = k o 万算子形式的离散最优观测归结为下面的最小化问题， e 【z ( f ) 一土( ，) 】r 【x ( f ) 一曼( f ) 】)( 2 3 2 ) j ( f ) 可由方程( 2 3 3 ) 给出 篓2 箩卅参誓+ k a ( 啊( ( 2 3 3 ) 箩( f ) = y ( f ) 一c 占文f ) 、 增益矩阵( f ) = ( 尉占+ i ) p a ( t ) c ；( t c 占b ( f ) c ；+ l ) r ，其中b ( f ) 是万域r i c a t t i 矩阵方程 的解， a t a ( t ) = 4 8 e 6 ( t ) + p a ( t ) a r + q 占+ t a 占易( f ) 彳；- k 占( t ) ( r c 占p a ( t ) c r + 0 ) x ；( f ) ( 2 3 4 ) 方程( 2 3 4 ) 的初始条件为： 最小化问题( 2 3 2 ) 的稳态误差， b ( k o r ) = p o 菇( 七o r ) = m o ( 2 3 5 ) e 【工( f ) 一文f ) 】r 【工( f ) 一主( f ) 】) = b ( f )( 2 3 6 ) 2 5 万算子和移位算子的关系 考虑q 域a r m a x 模型( 2 3 7 ) 和万域伽讣嗄a x 模型( 2 3 8 ) a g ( g ) y ( f ) = b q ( g ) ”( f ) + c g ( g ) 夕( f ) 其中， 彳g ( g ) = d e t ( q i 一彳g ) ，d e g a 口( g ) = 刀 b q ( g ) = c q a d j ( q i a q ) 召q ，d e g b g ( g ) 刀一1 c q ( g ) = c q a d j ( q l a q ) k g + d e t ( q i a g ) ，d e g c q ( g ) = n 彳占( 万) y ( ，) = b a ( 万) ( ，) + c 占( 万) 夕( f ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) 其中， 鲁东大学硕士学位论文 a 占( 万) = d e t ( 8 一a 占) ，d e g a 占( 艿) = 刀 b 占( 万) = c 占a d j ( o v a j ) b a ，d e g b 占( 万) = 聊疗一1 g ( 艿) = c 占a d j ( a 7 一a 占) k 占+ d e t ( 8 一a 占) ，d e g c s ( 万) = 1 利用万算子的定义，易见q 域多项式和艿域多项式有下面的关系： 以( 万) = b ( 万) = 1 + 彤) 1 + 彤) g ( 耻专q ( 1 + r s ) 关系式中的因式专是为了保证多项式鸣( 万) 是首一多项式 1 2 ( 2 3 9 ) 厶 历 。一r。一r 鲁东大学硕士学位论文 第三章d e l t a 域e m u l a t o r b a s e d 广义预测控制 本章我们在离散域最优预测和连续域e m u l a t o r - b a s e d 预测的基础上，给出d e l t a 域 最优预测和e m u l a t o r - b a s e d 广义预测控制 在构造预报器的时候，需要考察构造预报器的信息两种重要的信息情形如下： 完全信息： 乙= y ( f ) ，y ( t - t ) ，y ( t - 2 t ) ，甜( 卜r ) ，u ( t 一2 丁) ， ( 3 1 ) 不完全信息： ，= y ( f 一丁) ，y ( t - 2 t ) ，u ( t - t ) ，u ( t - 2 t ) ， ( 3 2 ) 其中，乙，。是可获得信号信息集合上述两种信息集合的区别在于时刻f 的系统输出是 否获知 多步预测是预测控制的一个优点我们要实现模型多步预测，下面的信息集合也是 需要考查的， + 。= 甜( f + ( 七一d ) r ) ，材( t - ( k - d - 1 ) t ) ，材( f ) ( 3 3 ) 其中d 是控制通道时延 要实现模型七步超前输出预测，信息集合 。= ，u 配扪厶”= ，u 配+ 。是必不可少 的 3 1d e l t a 域最优预测 在本节中，我们考查d e l t a 域a r m a x 模型： 以( 万) y ( f ) = b ( 万) ”( f ) + c ；( 艿) p o ) ( 3 4 ) 其中以( 万) ，易( 万) ，g ( 万) 是关于万算子多项式，且以( 万) ，g ( 万) 是首一多项式， 万：掣 ( 3 5 ) r 、 易见万域和q 域多项式的关系如下： 其中因式l r 的引入是为了保证以( 占) ，g ( 万) 是首一多项式 6，) 、j、j、j r 丁 抗 抗 万 + + + n：，n：，n=， 以 厉 己 。一p。一r。一r = = = 艿 万 艿 鸣 易 g 鲁东大学硕士学位论文 借助d i o p h a n t i n e 方程( 3 7 ) ， 其阶次约束( 3 8 ) ， ”圳器圳+ 鬻 絮铲趔+ 帮 ( 3 7 ) d e g ( 砖1 ) = m a x k - a ，o ， d e g ( 秽1 】= 刀一1 ， d e g ：m 麟 k - d , o ) ， 。名 d e g ( 砖1 ) = m i n 卜l - ，研+ d e g ( 劣1 ) ) 可以得到基于信息集合厶，。的j | 步超前输出预报： y ( 班嘞( f ) + 百l - l l ：l 心) + 等y ( f ) 删印) ( 3 9 ) 对上式取期望，得基于信息集合。的七步超前最优输出预测： 儿删卅) + 百 f l 小) + 等巾) ( 3 1 0 ) d i o p h a i l t i n e 方程( 3 7 ) 可由下面的迭代算法给出，需要说明的是砖】，爿川，g _ 5 ；，】，础】要比 相应的g 域的砖1 ，曩川，哕1 ，砖1 复杂的多，更特别的是砖+ l 】8 e a + 艘。，g ： ，+ i 】础】+ 鲁东大学硕士学位论文 4 h t o l = ( b j ， i r 弘a = ：0 。 迭代 1 口= 。，- d j i j l l 2 五箩+ 1 1 = ( 1 + 占z 1 ) e l ，】+ 口 3 砖川1 = ( 1 + 卯) 砖川一口4 4 沙隘嘲川篆兰。 5 础+ 1 】- - 0 + s r ) g l + 6 月r ：5 ；，“1 = ( 1 + 万丁) 月寥】一p c , + 口岛 3 2d e l t a 域e m u l a t o r - b a s e d 预测 e m u l a t o r 本意是模仿的意思，它接受相同的输入并产生相同的输出。广义的 e m u l a t o r 概念由d e m i r e i o g l ua n dg a w t h r o p 引入，可用来模拟物理上不易实现的操作，如 导数，非最小相位零点的消除以及逆时滞实现等第一节中所述的最优输出预测是基于 采样时刻t 的未来有限时刻进行预测，当采样速率r 一0 时，控制算法会出现数值问题 为了得到当采样速率r _ 0 时的有效预报器，我们采用连续时间e m u l a t o r - b a s e d 预报器哺1 在连续时间系统中，我们通常采用截断的泰勒公式来逼近系统输出函数y ( f ) ： y ( ) = y ( ，) + 蔷, v