（运筹学与控制论专业论文）三度图的正则覆盖.pdf

声明 本人郑重声明，本论文的所有研究工作都是在我的导师一冯衍 全教授的指导下，由本人独立创作完成论文中引用已知的结论 均已列在参考文献中未经本人许可，任何擅自更改、抄袭本论 文之内容的行为，都将承担相应的学术和法律责任 摘要 如果图的自同构群在它的s 一弧集上作用是正则的，就称这个图是s l 则的f r u e h t 1 0 1 构造了第一个3 度1 - 正贝0 图；m i u e r 7 构造了第一 个3 度1 一正则图的无限类正贝8 覆盖受到较多的关注后，f e n g 1 5 ，1 6 ，l 7 】 分别对6 阶完全二部图娲3 上保纤维自同构群弧传递的连通s 一正则循 环覆盖、立方体q 3 上保纤维自同构群弧传递的连通s - 正则循环覆盖、6 阶完全二部图蚝。3 上保纤维自同构群弧传递的连通s 一正则初等a b e l 覆 盖、和立方体铂上保纤维白同构群弧传递的连通s 一正则初等a b e l 覆盖 等进行了研究构造了许多3 度1 一正则图的无限类 本文主要用群论、电压图与提升、及组合学的一些方法，分别对6 阶 完全二部图k s 3 上保纤维自同构群弧传递的连通s 正贝9 二面体覆盖，立 方体q 3 上保纤维自同构群弧传递的连通s 一正则二面体覆盖、h e a w o o d 图上保纤维自同构群弧传递的连通5 一正则二面体覆盖和h e a w o o d 图上 保纤维自同构群弧传递的连通争正尉循环覆盖进行了研究证明了6 阶 完全二部图k s 3 上、立方体铂上和h e a w o o d 图上保纤维自同构群弧传 递的连通s 一正则二面体覆盖不存在分类了h e a w o o d 图上保纤维自同构 群弧传递的连通p 正则循环覆盖，构造了一个3 度1 正则图的无限类 关键词8 正则图；8 弧传递图；正则覆盖 a b s t r a c t 2 ag r a p hi s s r e g u l a r i fi t sa u t o m o r p h i s mg r o u pa c t sr e g u l a r l yo n t h es e to fi t s8 - a r c 8 t h ef i r s tc u b i c1 - r e g u l a rg r a p hw a sc o n s t r u c t e d b yf r u c h t 1 0 a n dl a t e rm i n e r 7 c o n s t r u c t e da ni n f i n i t ef a m i l yo fc u b i c 1 - r e g u l a rg r a p h so fo r d e r 印，w h e r ep 1 3 i sap r i m ec o n g r u e n tt o1 m o d u l o3 f e n g 1 5 ，1 6 ，1 7 ，c l a s s i f i e da l lc o n n e c t e ds - r e g u l a rc y c l i cc o v e r - i n g so ft h eb i p a r t i t eg r a p hk 3 3 ，a l lc o n n e c t e ds - r e g u l a rc y c l i cc o v e r i n g s o ft h et h r e e - d i m e n s i o n a lh y p e r c u b eq 3 ，a l lc o n n e c t e ds - r e g u l a re l e m e n - t a r ya b e l i a nc o v e r i n g so ft h eb i p a r t i t eg r a p hk s ，3 ，a n da l lc o n n e c t e d3 一 r e g u l a re l e m e n t a r ya b e l i a nc o v e r i n g so ft h et h r e e - d i m e n s i o n a lh y p e r c u b e q 3 ，w h o s ef i b r e - p r e s e r v i n ga u t o m o r p h i s ms u b g r o u p sa c ta x e t r a n s i t i v e l y a 8ar e s u l t i n f i n i t e l ym a n yc u b i c1 - g r a p h sw e r ec o n s t r u c t e d i nt h i st h e s i sw e i n v e s t i g a t e dt h es r e g u l a rd i h e d r a lc o v e r i n g s o ft h eb i - p a r t i t eg r a p h 蚝3 ，t h es r e g u l a rd i h e d r a lc o v e r i n g s o f t h et h r e e - d i m e n s i o n a l h y p e r c u b eq 3 ，a n d t h es r e g u l a rd i h e d r a lc o v e r i n g so ft h eh e a w o o d g r a p h ， w h o s ef i b e r - p r e s e r v i n ga u t o m o r p h i s mg r o u p sa c ta r c - t r a n s i t i v e l y i ti s s h o w nt h a tt h e r ea r en os u c hs r e g u l a rd i h e d r a lc o v e r i n g so ft h eb i p a r t i t e g r a p hk 3 3 ，t h et h r e e - d i m e n s i o n a lh y p e r c u b eq 3 ，a n d t h eh e a w o o d g r a p h w h o s ef i b e r - p r e s e r v i n ga u t o m o r p h i s mg r o u p sa c ta r c - t r a n s i t i v e l y f u r t h e r - m o r e ，w ec l a s s i f i e da l lc o n n e c t e ds - r e g u l a rc y c l i cc o v e r i n g so f t h eh e a w o o d g r a p h ，w h o s ef i b e r - p r e s e r v i n ga u t o m o r p h i s mg r o u p sa c ta r c - t r a n s i t i v e l y , a n dc o n s t r u c t e da ni n f i n i t ef a m i l yo fn e wc u b i c1 - r e g u l a rg r a p h s k e y - w o r d ss r e g u l a rg r a p h s ；s - a r c - t r a n s i t i v eg r a p h s ；r e g u l a r c o v e r i n g s 3 第一章绪论 1 1 引言 群和图一直都是人们研究得很多的数学对象但把两者结合起来，特 别是应用群论于图论的研究在最近3 0 多年中才有了更丰富的结果 应用群来研究图主要是对图的对称性的研究这个领域主要的研究 方向主要有：点传递图。边传递图，半传递图及弧传递图等其中研究的 思路总的来说有两个t 一是构造新的传递图；二是对一定阶数的这些传递 图进行分类 点传递图在大规模集成电路中有较好的应用，从而吸引了众多的研 究者，也有了比较丰富的结果这个领域对c a y l e y 图已经有了较多的研 究半对称图则是一个相对较新的方向，最近也有了一些较好的结果 弧传递图是这几个传递图类里对称性最强的t u t t e r 1 ，2 1 证明了： 每个有限3 度连通对称图是8 一正则的，且8 最大是5 f r u c h t 1 0 】构造了 第一个3 度1 正则图；而m i l l e r 7 则构造了第一个3 度1 一正则图的无 限类，这个图是2 p 阶，这里的p 是大于等于1 3 的素数且模3 余1 借助 于c h e n g 与o x l e y 9 】对2 p 阶对称图的分类结果，m i l l e r 给出了相应所 有2 p 阶3 度1 一正则图的构造另外，d j o k o v i 6 与m i u e r 4 】构造了一个 3 度2 正则图的无限类；c o n d e r 与p r a e g e r 3 1 构造了两个3 度s 一正则 图的无限类。这里的8 是2 或4 另外，在文【4 ，5 ，8 】中给出了几个不同 类型的4 度1 正则图的无限类 最近，图的正则覆盖受到了较多的关注f e n g 1 5 ，1 6 ，1 7 利用正则 覆盖的一些重要结果，分别对4 阶完全图，6 阶完全二部图飓s 和立方 体q 3 的循环覆盖及初等a b e l 覆盖进行了研究构造了许多3 度1 一正则 5 第一章绪论 6 图的无限类 本文利用正则覆盖及组合论的一些方法，证观了6 阶完全二部图k s 3 ， 立方体q 3 和h e a w o o d 图的s - 正则二面体覆盖不存在对h e a w o o d 图 的循环覆盖进行了研究，给出了其分类，且构造了一个3 度1 - 正则图的 无限类 1 2 内容简介 全文共分四章，内容是如下安排的t 第二章t 详细介绍本文所涉及到的定义，定理和研究方法 第三章z 对6 阶完全二部图尥3 上保纤维自同构群弧传递的连通s 一 正则二面体覆盖和立方体q 3 上保纤维自同构群弧传递的连通s - 正则二 面体覆盖进行了研究，证明了不存在3 和曰3 上s 一正则二面体覆盖 第四章；对h e a w o o d 图上保纤维自同构群弧传递的连通s 一正则循环 覆盖进行了研究，且给出了h e a w o o d 图上保纤维自同构群弧传递的连通 s - 正则循环覆盖的分类构造了一个3 度1 正则图的无限类王长群老 师用群论证明了这个问题，本文用组合论方法给出了这个问题的证明其 次，证明了不存在h e a w o o d 图上保纤维自同构群弧传递的连通s - 正则二 面体覆盖 第二章电压图与提升方法 2 1 基本定义与定理 对于一个有限，简单，无向图x ，x 的每条边都可以看作方向相反 的两条弧，我们用y ( x ) ，e 畔) ，a ( x ) 和a u t ( x ) 分别表示图x 的点 集，边集，弧集和图x 自同构群对于x 的点让y 僻) ，我们用( u ) 表示在x 上所有与t 相邻的点组成的集合设群g 作用在集合q 上。 o q 我们用g 。表示a 在g 中的点稳定子群，即g 中所有保持o l 不动的元素组成的子群如果对于任意的口n 都有g 。= 1 ，那么称群 g 是半正则的如果g 是半正则的且g 在n 上传递，那么称g 是正则 的一个图x 叫做图x 的带有投射p ：x x 的覆盖，如果存在满 射p ：v ( x ) 一y ) ，使得对任意u v ( x ) 和任意的面p - 1 ( ) ，映射 p i n 商( 冠) 一n ( u ) 是双射图x 叫做覆盖图，x 叫做基图设x 是 x 带有投射p 的覆盖图称x 是x 的一个正则覆盖或k 覆盖，如果 存在x 的自同构群a u t ( x ) 的个半正则子群k ，使得图x 同构于商图 x k ，记该同构映射为h ，且商映射x x k 恰是p 和h 合成映射加 如果k 是循环群，初等交换群或二面体群，那么x 分别叫做x 的循环 覆盖，初等a b e l 覆盖或= 面体覆盖如果x 是连通的，那么k 叫做覆 盖变换群点或边在p 下的原像称为点或边的纤维图x 的一个自同构 群叫做保纤维的，如果它把纤维映到纤维易证图x 的所有保纤维的自 同构组成群，称为x 的保纤维自同构群覆盖传递群的每个元素固定所 有纤维 图x 的一个s 弧是指图x 的s + 1 个有序的点u o ，u 1 ，满足 u i _ l 与i 在图x 上相邻接( 1 i s ) 和u 一1 q + 1 ( 1 t s ) 如果 7 第二章电压图与提升方法 8 图x 的自同构群a u t ( x ) 在x 的8 一弧集上传递，我们就称图x 是8 一 弧传递的注意0 一弧传递叫点传递，1 一弧传递叫弧传递或对称图的 自同构群的一个子群是s 一正则的，如果它在这个图的s 一弧集合上作用正 则 2 2 电压图与提升方法 设x 是一个图，k 是个有限群我们甩a - 1 表示弧口的逆弧一 个函数；a ( x ) 一k 称为图x 的电压分配，如果对于每个口a ( x ) 都有妒 - 1 ) = 毋( a ) ，其中毋的函数值叫作电压，耳叫作电压群电压分 配妒；a ( x ) 一k 可以诱导出一个图，称为的诱导图，记为x t k ， 它的点集是v ( x ) k ，边集是e ( x ) k ，其中x 的一个边( e ，g ) 是连接点( ，g ) 与点( ，( e ) 9 ) ，这里e = ( u ， ) a ( x ) 和9 k 易知 导出图x dk 是带有接第一个坐标投射p ：x dk x 的图x 的覆 盖对于任意的g k 和( “，9 ) v ( x k ) ，定义( ，9 垆：= ( u ，9 7 9 ) 那 么，k 可以看作a u t ( x t k ) 的子群且在v ( x t k ) 上作用半正则由 覆盖定义可知，xx d 是x 的j 覆盖反过来，g r o s s 和，i 、l c k e r 1 2 证明了每个x 的带有覆盖变换群k 的正则覆盖图x 都同构于由某个 由电压分配庐：a ( x ) 一耳诱导的诱导图x j k ，其中可以在一个任 意选定的支撑树t 的所有弧上取值为群的单位元这样一个电压分配 称为是n 约化的 设x 是x 的带有投射p 的一个耳覆盖如果de a u t ( x ) 且 ae a u t ( x ) 满足却= p a ，我们说a 是。的一个提升，口是a 的一 个投射电压分配可自然地扩充到基图的基本圈上设t 是x 的一个支 撑树对于qe a u t ( x ) ，定义由相对于支撑树t 的余树弧生成的基本圈 的电压集到电压群k 的函数丘：( 咖( g ) ) 6 = ( g o ) ，其中e 是基本圈， 第二章电压图与提升方法 9 曲( e ) 和( g o ) 分别是c 和g 。的电压 命题2 2 1 【1 3 】设x 4 k x 是一个连通覆盖则图x 的一个自 同构a 可提升，当且仅当丘可以扩充成群k 的一个自同构 命题2 2 2f 1 4 】设? 是图x 的一个支撑树且和妒是x 的两个p 约 化的电压分配图x 的两个连通的正则覆盖图x dk 和x ok 同 构，当且仅当存在一个群自同构盯a u t ( k ) 使得对于图x 的任何一个 余树弧( u ， ) 都有( u ， ) 。= 妒( u ，u ) 第三章二部图j 岛3 及立方体q 3 的二面体覆盖 3 1 二部图k 3 ，3 的二面体覆盖 设互。为n 阶循环群定义图c c ( k ，n ) 的点集为v ( c c ( k ，n ) ) = z s 磊，边集为e ( c c ( k ，n ) ) = ( o ，0 ( 3 ，i ) ，( 0 ，t ) ( 4 ， ) ，( 0 ，0 ( 5 ，t ) ，( 1 ，t ) ( 3 ，i + + 1 ) ，( 1 ，0 ( 4 ，i ) ，( 1 ，i ) ( 5 ，件1 ) ，( 2 ， ) ( 3 ，i - 1 ) ，( 2 ， ) ( 4 ，i - k - 1 ) ，( 2 ，t ) ( 5 ，t ) ，l i = l ，2 ，n ) ，这里所有的i + t ( i ，t 磊) 是模竹的 f e g 1 7 对6 阶完全二部图娲3 上保纤维自同构群弧传递的连通8 一 正则循环覆盖进行了研究，且给出了6 阶完全二部图蚝3 上保纤维自同 构群弧传递的连通争正则循环覆盖的分类以下是其主要结果 定理3 1 1 设x 是6 阶完全二部图 3 3 上保纤维自同构群弧传递的连 通s 正则循环覆盖，则s 是1 或3 进一步( i ) x 是1 正则的当且仅当 x 同构于图c c ( k ，n ) 之一，这里2 k 礼，且n 妒+ k + 1 j ( i i ) x 是 3 - 正则的当且仅当x 同构于图c c ( o ，1 ) 或c o ( 1 ，3 ) 在f e n g 对6 阶完全二部图娲3 上保纤维自同构群弧传递的连通s 一 正则二面体覆盖进行了研究后，本文作者继续对6 阶完全二部图确3 上 保纤维自同构群弧传递的连通s 一正则二面体覆盖进行了研究证明了不 存在k 3 3 上s 一正则二面体覆盖以下是本节的主要结论 定理3 1 2 不存在6 阶完全二部图娲3 上保纤维自同构群弧传递的连通 s 正则二面体覆盖 证明 我们用d 2 。= a ，b a 2 = 铲= 1 ，6 口= 6 - 1 ) 3 ) 来表示二面体群 我们假设娲。上保纤维自同构群弧传递的连通s 一正则d 2 。覆盖存在， 而后推出矛盾 1 0 第三章二部图k 3 3 及立方体日3 的二面体覆盖 o 2 4 3 5 1 1 图3 , 1 1 ：带有电压分配的二部图k s 3 设r 是娲3 的如图3 1 1 中所示电压为单位的弧构成的支撑树定 义x = k s ，3 jd 2 n 是k s ，3 的保纤自同构群弧传递的连通s 一正则d 2 。 覆盖，其中妒是b 约化的且在相对于t 的余树孤上电压分别是2 1 ，z 2 ， z s ，施由娲，3xq bd 2 n 连i 醺性得( z i ，z 2 ，z 3 ，z 4 ) = d 2 n 由假设，覆盖图凰，3 t d 2 。的保纤维自同构群，记为l ，在k s ，3 t d 2 。 上弧传递故l 的投射群记为l ，在基图娲3 上弧传递自然有l 在 v ( 蚝，3 ) 上点传递由l 在蚝，3 td 2 。上的弧传递性，3 i v ( 确，3x 4 , d 2 。) i = 1 8 2 n 是的一个因子，从而1 8 整除i l i = i l l 2 n 因为 a u t ( 娲，s ) = ( 岛x 岛) xz 2 ，l 的勋l o w 3 一子群是a u t ( 飓，3 ) 的s y l o w 3 一 子群，我们可以设的s y l o w 3 - 子群为z 3xz 3 = 口1 ) x 0 2 ) 。这里 0 1 = ( 0 1 2 ) ，口2 = ( 3 4 5 ) 容易看出l 的s y l o w 3 一子群有两个轨道，它们 是图娲，3 的两个二分子集由l 在娲3 上点传递性，则在l 中有一个 对换凰3 的两个二分子集的2 阶元p 或4 阶元6 明显，p 是3 个对 换的乘积。而d 是1 个4 轮换和1 个对换的乘积考虑p 和6 在l 的 s y l o w s - 子群z 3x 历= ( 0 1 ) x ( 0 2 ) 下的共轭，可以设卢= ( 0 3 ) ( 1 4 ) ( 2 5 ) ， 6 = ( 1 4 0 3 ) ( 2 5 ) 当然a l ，0 2 ，p ，6 是凰3 的白同构现在有0 1 ，0 2 l 且 卢，j 中至少有一个属于l 用i l i 2 表示8 个有序点i 1 ，i 2 ，i 。的有向圈此处有4 个由余 树弧生成的基本圈；0 4 1 5 ，0 5 2 3 ，0 4 1 3 ，0 5 2 4 这些圈在口l ，2 ，鼠6 作用下 第三章二部图娲3 及立方体q 3 的二面体覆盖 1 2 仍然是长为4 的圈表3 1 1 中列出了所有的基本圈、基本圈在a l ，口2 ，p ，d 下的像以及它们的电压，这里g 表示髓3 的基本圈、( g ) 表示圈g 上 的电压 g q 5 ( g ) c 0 1 咖( a 衄) c 0 2 咖( g m ) 0 4 1 5 z l 1 4 2 5 2 f 1 百1 0 5 1 3 z 3 z f l 0 5 2 3 z 2 1 5 0 3 巧1 。l 0 3 2 4 施石1 0 4 1 3 z 3 1 4 2 3 百1 百1 0 5 1 4 z f l 0 5 2 4 z 4 1 5 0 4 z l 0 3 2 5 百1 g 多( g ) c a 西( c 卢) c 6 ( g 6 ) 0 4 1 5 o l 3 1 4 2 砘百1 百1 3 0 4 2 z 2 2 4 1 0 5 2 3 z 2 3 2 5 0 百1 3 2 5 1 z 3 z f l 巧1 0 4 1 3 z 3 3 1 4 0 百1 3 0 1 4 1 幻 0 5 2 4 2 ；4 3 2 5 1 幻百1 百1 3 2 5 0 百1 表3 1 1 ：确j 的基本圈及其电压 考虑由图娲3 的4 个基本圈的电压集到电压群k 的映射西 ( g ) 面= 多( g 4 ) 由表3 1 1 得矛= z i - 1 百1 ，孝= 百1 z l ，毋= 百1 勉百1 ，皆= z 1 可类 似定义而，口，5 ，其值可由表3 1 1 得到由命题2 2 1 ，0 7 1 ，啦可以扩充 为耳的自同构，分别记为口：，a ；由表3 1 1 得到1 = z 1 ，z 啦3 = z f l ， 皆= 百1 ，说明z l ，2 ：2 ，z 3 ，z 4 在中同阶 用z ( d 2 。) 表示d 2 。的中心我们知道如果n 是奇数，则有z ( d 2 。) = 1 ；如果n 是偶数，则有z ( d 2 ) 皇z 2 因才i = z 。，聋= z i l ，蓝；= 巧1 ，且 ( z 1 ，勿，z 3 ，z 4 ) = d 2 ，可得z l ，砀，z a ，z 4 都不属于d 2 。的中心由命题2 2 2 ， 可设z l = a ，z 2 = n 驴，z 3 亍口驴iz 4 ；口泸，因为铲= z i l 百1 ，聋= z l ， 我们有口。：= b 。，( a b k ) 。：= n ，从而( 泸) 。：= ( 泸) 。：= a 嵋( a b ) 8 ：= 泸口， 第三章二部图j 6 j 及立方体q 3 的二面体覆盖 1 3 因泸。是d 2 。中的二阶元，说明泸也为d 2 。的二阶元，从而k = n 2 类似由z 嵋1 = 幻z i l ，z = z i l ，可得b j 也为d 2 。的二阶元，即j = n 2 这样z 3 一z 4 = a b “，2 ，其中n 是偶数因为孝；= z i l ，眢= 巧1 ，可 得z 1 = z 2 = 口，这样我们有z 1 = o ，z 2 = ，z 3 = 口护2 ，z 4 = d b n 2 因 为( z l ，恐，z 3 ，施) = d 2 。，则有( 6 “2 ) = ( 6 ) 这就迫使n = 2 ，与我们的假设 n 3 相矛盾，从而说明口1 ，嘞不能提升这是一个矛盾，因为我们已经 得到0 1 1 ，口2 一定提升这一矛盾说明6 阶完全二部图蚝3 上保纤维自同 构群弧传递的连通8 - 正则d 2 。覆盖不存在 证毕 3 2 立方体0 3 的二面体覆盖 口 定义y ( q 3 ) = n ，b ，c ，d ，”，z ，y ，z ) ，t 为t o z ，a z ，b w ，b z ，d y 这些边构 成的支撑树( 如图3 2 1 所示) 设k ，n 为满足1 k n 一1 与( k ，n ) = 1 的两个非负整数定义图c q ( k ，n ) 的点集为v ( c q ( k ，n ) ) = y ( q 3 ) 磊， 边集为e ( c q ( k ，n ) ) = ( 口，t ) ( z ， ) ，( 口，i ) ( y ，i ) ，( a ，i ) ( z ，i ) ，( b ，i ) 油，i ) ， ( 6 ，i ) 0 ，i ) ，( c ，i ) 0 ，t ) ，( d ，o ( y ，i ) ，( b ，t ) 白，i + 1 ) ，( c ，t ) ( ，i + ) ， ( c ，f ) ( ， 一一1 ) ，( d ，i ) ( 叫，t 一一1 一1 ) ，( d ，t ) 扛， + 七) ，i = 0 ，1 ，礼一1 ) ， 这里所有的i + t q ，t 磊) 都是模礼的 f e n g 1 5 ，16 】对立方体q 3 上保纤维自同构群弧传递的连通5 一正则循 环覆盖进行了研究，且给出了立方体q a 上保纤维自同构群弧传递的连通 s - 正则循环覆盖的分类以下是f e n g 的主要结果 定理3 2 1 设图x 是立方体q 3 上连通且保纤自同构群弧传递的s 一正 则循环覆盖，那么s 是1 - 正则或2 一正则的进一步有。( t ) 戈是1 正 则的，当且仅当x 同构于c q ( k ，之一，这里2 k n 一3 ，且满足 礼l 护+ k + 1 j 或者同构于c q ( 2 k 一1 ，2 n ) 之一，这里2s n 一1 ，且满 第三章二部图娲3 及立方体q 3 的二面体覆盖 1 4 足n 1 4 k 2 2 k + 1 ( i i ) x 是2 一正则的，当且仅当x 同构于q 3 ，c q ( 1 ，2 ) ， c q o ，3 ) ，g q ( 1 ，6 ) 之一 命题3 2 2 立方体醌的全自同构群a u t ( q 3 ) 有两个1 一正则子群，它 们分别是缸，卢，7 ) 和( a ，p ，6 ) ，其中( 。，卢，y ) 望a 4xz 2 ，恤，n 6 ) 兰s 3 ， ( 口，口，6 ，7 ) 掣a u t ( q 3 ) 在f e n g 对立方体q 3 的连通s 正则循环研究后，本文继续对立方体 q 。的连通5 一正则二面体覆盖进行了研究证明了不存在立方体q 3 的连 通s 一正则二面体覆盖以下是本节的主要结论 定理3 2 3 不存在立方体q 3 上保纤维自同构群弧传递的连通s 正月1 1 - - 面体覆盖 w x y z 图3 2 1 ：带有电压分配的立方体q 3 证明 我们用d 2 。= ( 口，b l a 2 = 护= 1 ，铲= b - a ( 铭3 ) 来表示二面俸群 我们假设q 3 上保纤自同构群弧传递的连通8 一正则d 2 。覆盖存在，而后 推出矛盾 设t 是q 3 的如图3 2 1 中所示电压为单位的弧构成的支撑树定义 x = q 3 od 2 竹是q 3 的保纤自同构群弧传递的连通s 一正则d 2 。覆盖， 其中是n 约化的且在相对于t 的余树弧上电压分别是2 l ，砘，恐，趣， 岛由q 3 d 2 。连通性得( z i ，恐，z 3 ，z 4 ，岛) = d 籼 由假设，覆盖图q 3x d d z 。是s 一正则的，且保持纤维不动的自同构群 第三章二部图坞。3 及立方体q 3 的二面体覆盖 1 5 的子群记为，它在q 3 4d 2 。上作用是弧传递的e 的投射群记为l ， 它在基图q 3 上作用是弧传递的由命题3 2 2 ，我们有a ，p l ，且7 ，6 中至少有一个属于l 我们用i l i 2 i 。表示8 个有序点i 1 ， 2 ，i 。的有向圈此处有5 个 由5 个余树弧生成的基本圈-a z b y ，b z c w ，a z c x ，a y d w b z ，a y d x 这些基 本圈在。，p ，1 ，6 作用下仍然是长为4 的圈表3 2 1 中列出了所有的基本 圈、基本圈在a ，反7 ，6 下的像以及它们的电压，这里g 表示q 3 的基本 g 西( 回 俨 妒( c 恤) c 0 妒( c 曰) a z b yz 1 n z c 名 石1蜥口g句 b z c w z 2 c x d w 百1 施石1 2 3a y d x铂 n z c z z 3n z d y石1b y d wz 4 z l a y d w b z z 4 a z b w c x 施巧1b z c x a y百1 动 a y d xz 5n z b yz l b z c w z 2 g 庐( g ) 口 曲( a ) c 6 妒( g 5 ) 口：o vz l w d x c z 2 百1 百1 w c x d 钆虿1 z s z 2 1 b z c w 勿 x d y a石1 o c 名口 莓1 口z z 3w d y bz i l 百1 w c z b 巧1 a y d w b zz 4 w c z a x d z 4 z i l 巧1 1 d d 。z c 地石1 z i l o 如z 5 w c z b 巧1w d y bz f l 百1 表3 2 1 ：q 3 的基本圈及其电压 考虑由图q 3 的5 个基本圈的电压集到电压群k 的映射丘 ( g ) 6 = 咖( c 。) 由表3 2 1 得z 7 一= 石1 ，露= 巧1 施虿1 2 3 ，牙= z 9 1 ，露= z 3 2 2 1 ，露= z l 可类似定义声，彳和5 ，它们的值也可在表3 2 1 中得到由命题2 2 1 ，西 第三章二部图娲3 及立方体0 3 的二面体覆盖 1 6 声可以扩充为k 的自同构，分别记为，矿由表3 2 1 得到z 。= 百1 ， 。 = 石1 ，喀= z l ，霹= z 5 ，说明z 1 ，2 ：2 ，z 3 ，z 5 在d 2 。中同阶下面我 们将对z 1 ，z 2 ，z 3 ，z 5 同为非2 阶元与同为2 阶元，这两种情况进行讨论 情况( 1 ) ：如果；l ，z 2 ，z 3 ，岛同为非2 阶元，又由( z l ，z 2 ，铂，z 4 ，z 5 ) = d 我们可知z 4 只能是2 阶元又由孝= z 4 z l ，而z 4 2 1 为2 阶元， 这样可得硇是2 阶元这与z 1 ，z 2 ，幻，岛同为非2 阶元矛盾 情况( 2 ) ：如果z l ，z 2 ，施，z 5 同为2 阶元，由命题2 2 2 ，我们可以设 z 1 = ，z 2 = 血酽，强= 口驴，z 5 = a b k 由碍= 巧1 ，得酽+ = a 驴又由 茗= z l ，可得b j 与6 在d 2 。中同阶同样由z f = z l ，得驴= a 又由 = 船，可得b 4 与b 在d 2 。中同阶因此我们有b i ，b j ，b 在d 2 。中 同阶( ) 如果它们的阶小于n ，由命题2 2 2 ，我们可设z 1 = n ，z 2 = a b m ， z 3 = a b p ，z 5 = o 舻m ，其中刊n ，p l n ，p 2 n ，且l ，n ) = 1 ， ( p 2 ，n ) = 1 _ 因为罐= 2 i 1 幻= 护一，我们可得施与6 p t m 在d 2 。 中同阶，则我们设z 4 = 酽”，其中p 3 n ，( p 3 ，n ) = 1 这样我们可 得( z l ，z 2 ，幻，z 4 ，z 5 ) d 2 ，这与 z 1 ，z 2 ，z 3 ，z 4 ，z 5 ) = d 2 。矛盾( t ) 因此，它们只可能同为礼阶元，这样我们由命题2 2 2 ，可以设z l = a ， z 2 = 口巩施= o 扩，拓= a b k ，这里 ， n ，且( i ，n ) = 1 ，( ，n ) = 1 由 露= z f l z a = b ，可得z 4 与驴同阶则我们可设z 4 = b j ，其中j n ， ( j ，n ) = 1 由z f + = z l ，彳= z 5 ，可得扩+ = o ，驴= b k 因为茗= z a z l ， 霹= z i l z 3 ，茗+ = 勿，我们有i k + j = 0 ，k j i = 0 ，k 2 1 = 0 由这三 个等式能得到2 j = 0 ，这与( 矗n ) = 1 矛盾 综合( 1 ) ( 2 ) ，可以说明n ，_ ；b 是不能提升的，这与如果立方体q 3 上保 纤维自同构群弧传递的连通s 一正则d 鼽覆盖存在，q 和卢一定提升相 矛盾这一矛盾说明立方体q 3 的连通s - 正则二面体覆盖是不存在的 证毕 口 第四章h e a w o o d 图的循环覆盖及二面体覆盖 4 1h e a w o o d 图的循环覆盖 我们用h 表示l - i e a w o o d 图，h 的点集v ( h ) = “( 1 ) ，“( 2 ) “( 7 ) ， v 0 ) ，”( 2 ) ，”( 7 ) ) ，如图4 1 1 所示我们用磊表示礼阶的循环群，下面定 义图c h ( i ，n ) 的点集为v ( c h ( i ，n ) ) = u 1 ，“2 ，乱7 ， 1 ， 2 ，嘶) 磊， 边集为 e ( c h ( i ) ) = ( u l ，t ) ( v l ，) ，( u 2 ，t ) ( v 2 ，t ) ，( u 3 ，t ) ( 3 ，) ，( u 4 ，t ) ( v 4 ，) ， ( u 5 ，) ( 佻，幻，( u 6 ，t ) ( 地，) ，( u 7 ，) ( 蜥，) ，如2 ，t ) ( “3 ，) ， ( u 4 ，t ) ( v 5 ，t ) ，( u 4 ，t ) ( 口7 ，) ，( u 6 ，t ) ( 2 ，