（应用数学专业论文）非线性泛函微分方程的定性分析及其应用.pdf

网川人学博i 学位泛文 摘要 非线性泛函微分方程的定性分析及其应用 应1 j 数学专业 研究生曾永福指导教师徐道义教授 本文的主题是研究了几类非线性泛函微分方程的定性问题及其应用 在第二章中，我们研究了一类由非线性泛函微分方程所描述的神经网络它 包括了细胞神经网络与h o p f i e l d 神经网络利用l e r a y s c h a u d e r 原理与几何一算 术平均不等式以及构造新的l i a p u n o v 函数、研究了该类神经网络的平衡点的存 在性，唯一性以及全局指数稳定性获得了一些新的充分条件。 在第三章中，我们讨论了一类具有时滞的l o t k a v o l t e r r a 生物方程，证明该 系统存在正的平衡态：给出了正平衡态指数稳定的充分条件。进一步得到具有 反馈控制的l o t k a v o l t e r m 系统持久性的判别准则，并利用h o m 定理证明了这类 方程正周期解的存在性 在第四章中，我们研究了周期输入的c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络周期解的存 在性与全局濒近稳定性对于常数输入的神经网络，我们还研究了其平衡点的存 在性，唯一性与稳定性利用推广的b a r b t i l a t 定理和构造一个新的李雅普罗夫函 数，我们得到了具有变系数c o h e n g r o s s b e r g 神经网络周期解的存在性及其渐近 稳定性与指数稳定性 一r 一 叫川人学博士学位论文 关键词 神经刚络，时滞，平衡点，指数稳定性，l o t k a v o l t e r r a 方程，正周期解， 渐近稳定性，积分微分系统，反馈控制，c o h e n g r o s s b e r g 系统，多重时滞 i i 凹型叁兰婴土兰垡垒兰 a b s t r a c t q u a l i t a t i v ea n a l y s i so fn o n l i n e a rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a lw i t ha p p l i c a t i o n m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s a u t h o r ：y o n g f uz e n gs u p e r v i s o r ：d a o y ix i t h em a i na i mo ft h i sp a p e ri st os t u d yt h eq u a l i t a t i v ea n a l y s i so fn o n l i n e a rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a lw i t ha p p l i c a t i o n i nc h a p t e r2 ，t h ea u t h o r ss t u d yac l a s so fn e u r a ln e t w o r k s ，w h i c hi n c l u d e st h e d e l a y e dc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k sa n dd e l a y e dh o p f i e l dn e u m ln e t w o r k sa si t ss p e c i a l c a s e s s o m en e ws u f f i c i e n tc o n d i t i o n se n s u r i n gt h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ，a n dg l o b a l e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo f t h ee q u i l i b r i u ma r ee s t a b l i s h e db ym e a n so f t h el e r a y - s c h a u d e r p r i n c i p l e ，a r i t h m e t i c m e a n g e o m e t r i c m e a ni n e q u a l i t ya n du e wl i a p u n o vf u n c t i o n a l s 、 i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fl o t k a v o l t e r r ae q u a t i o nw i t h d e l a y s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e df o rt h ee x i s t e n c ea n de x p o n e n t i a ls t a b i l i t y o ft h ee q u i l i b r i u m s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r co b t a i n e df o rt h ep e r s i s t e n c eo fp o s i t i v e s o l u t i o n si ns o m ep e r i o d i ci n t e g r o d i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hf e e d b a c kc o n t r o l s w eu s e h o r nf i x e dt h e o r yt oo b t a i nt h ee x i s t e n c eo f a p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n i nc h a p t e r 4 ，t h ee x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo f a p e r i o d i cs o l u t i o no f c o h e n g r o s s b e r g n e u r a ln e t w o r k sw i t hm u l t i p l ed e l a y si si n v e s t i g a t e d ，a n ds o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r e e s t a b l i s h e dt oe n s u r et h ee x i s t e n c ea n dt h eg l o b a ls t a b i l i t yo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o no f t h en e t w o r k f o rt h en e t w o r k sw i t hc o n s t a n ti n p u t ，au n i q u ee q u i l i b r i u mp o i n te x i s t s a n da l lo t h e rs o l u t i o n so f t h en e t w o r kc o n v e r g et oi tt i n d e rt h es a m ec o n d i t i o n s m o r e o v e r w es t u d yt h ee x i s t e n c eo f p e r i o d i cs o l u t i o nf o rac l a s so f c o h e n g r o s s b e r gn e u r a l n e t w o r k s ( c g n n ) w i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s b yc o n s t r u c t i n gan e wl i a p u n o vf u n c t i o n a l a n du s i n ge x t e n d a b l eb a r b r l a tt h e o r e m ，t h ep r o b l e mo ft h eg l o b a la s y m p t o t i c s t a b i l i t y ( g a s ) o fi t sp e r i o d i cs o l u t i o n si sd i s c u s s e df o rc g n n 一i l l 叫j 1 1 人学博上学位泛文 k e yw o r d s ： n e u r a ln e t w o r k ，d e l a y ，e q u i l i b r i u m ，e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y , l o t k a v o l t e r r ae q u a t i o n ，p o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n ，a s y m p t o t i cs t a b i l i t y , i n t e g r o d i 肫r e n t i a s y s t e m ，f e e d b a c kc o n t r o l s ，c o h e n g r o s s b e r gs y s t e m s ，m u l t i p l ed e l a y t v 川j 1 1 人学博上学位论文 第一章综述 随精非线性泛函微分方程在： 程学科和其它一些学科的广泛应用，例如，电 。j 系统变换稳定性分析【1 ，2 ；( - i 动控制中离心调速问题【3 ；生态系统的持续生 ，( 】天联稳定性分析 4 ，5 】：神经网络系统的容错能力分析 6 】等等，非线性泛函 微分，j 程就得到广大学者的注意其研究的内容是多方面的，包括吸引子 7 】，不 变锥【8 1 ，不变流形 9 】，吸引域 1 0 ，1 l ，1 2 】与稳定域【1 3 】本文着重研究了下面几 类非线性泛函微分方程的定性问题 1 ，1 具有时滞的h o p f i e l d 型神经网络的平衡点的存在性和稳定性 h o p f i e l d 神经网络是由美国加州工学院物理学家j o h nh o p f i e l d 于1 9 8 2 年提 出的一种仿人脑的神经网络新模型随后他与t a n k 用集成电路来实现通过把 l y a p u n o v 能量函数引入对称h o p f i e l d 网络中，他们给出了网络稳定性的判据，使 提出的网络具有联想记忆、优化问题求解能力尤其令人兴奋的是，h o p f i e l d 将 这种模型用简单的模拟电路来实现，并成功地应用于著名的旅行推销商( t s p ) 问题的求解、4 位a d 转换器的实现，取得了令人满意的结果从而对神经网络 的研究形成了一股热潮随后几年，一些著名的具有h o p f i e l d 型神经网络框架 结构的模型相继被提出如，k o s t o 在1 9 8 8 年【1 4 】建立的双向联想神经网络模 型，c h u a 在1 9 8 8 年【7 9 】提出的细胞神经网络模型，以及在这些模型基础上提出 的各类改进，变形的神经网络模型都可以看着是具有h o p f i e l d 型神经网络框架 的非线性神经动力模型近二十年来，这些模型受到空前的关注究其原因，在理 论上它们有着非常丰富的动力学行为：稳定性，吸引性，振动性，甚至出现混沌现 象【9 3 】：从数学的角度上看，它也属于非线性泛函微分方程研究的范畴，当然也比 单纯的常微分方程更复杂因此研究时滞神经网络的渐近行为更具有理论价值 和实用价值在实际中，神经网络的平衡点的存在性与稳定性是设计网络和应用 网络的前提之一从已有的文献来看，获得判断神经网络的平衡点的存在性和稳 定性的条件层出不穷，对激活函数的要求也不断被一般化另一方面，在应用神 经网络解决优化计算问题的时候，人们不仅要考虑设计的神经网络是稳定的，而 叫川人学博i 学位论文 且也要考虑收敛性，这就要求设计的神经嘲络是指数稳定的因此，神经m 络指 数稳定性的研究是非常必要的 1 5 】一 5 5 】本文研究了具有一般结构的h o p f i e l d 种经螂络。采用了与大多数文献4 i 同的l e r a y - s c h a u d e r 原璎! ，绘出j 。个非常一 般的平衡点存在性判据通过构造一个新的l y a p u n o v 函数，也狱 了一组新的 平衡点的全局指数稳定性的充分条件所得到的判据更易于验证，特别是当激活 函数具有单调性的时候比现有文献巾的结果更精确 1 2 具有分布时滞与反馈控制的l o t k a - v o l t e r r a 生物方程的持续生 存性，周期解的存在性与渐近性 l o t k a v o l t e r r a 模型是种群动力学 6 8 ，7 5 】中最重要和最典型的数学模型之 许多学者对l o t k a v o l t e r r a 模型做了大量深入而细致的研究 5 7 - 7 6 ，直到 今天。有关l o t k a v o l t e r r a 模型任然是。个比较活跃的研究领域同其它动力系 统样，种群规模的未来状态，不仅与当前的状态有关，而且还与系统的过去 状态有关因此，为了更好的描述生物系统，时滞的引入是必须的生物学家 e m ，w r i g h t 6 2 】最早把时滞引入种群方程。随后，具有多时滞，变时滞，有界分 布时滞和无穷时滞的l o t k a v o l t e r r a 生态模型相继被提出另一方面，由于环境的 变换( 例如污染) 或外来物的侵入，将会对生物系统的动力性产生影响例如，由 于外部环境的变化或人为的破坏导致种群灭绝的报道屡见不鲜因此，具有反馈 控制的l o t k a v o l t e r r a 生态模型成为一个新的研究点本文研究了类具有反馈 控制和分布时滞的非自治的l o t k a v o l t e r r a 生态模型 对于种群动力系统，人们普遍关心的是该系统的持续生存性，周期解的存在 性与渐近性 持续生存性的概念与基本理论是由f r e e d m a n 和w a l t m a n 最早提出的，并由 s c h u s t e r , h o f b a r e 毛s i g m u n d ，h u t s o n 等人丰富累l 完善我国学者c h e n 【6 6 1 ，m a 【6 1 】 等也做了不少工作从生态学上看。种群的持续生存性意味着从长远看种群是幸 存还是灭亡，显然，这是生态学中具有根本性的研究课题利用单调动力系统理 论，f r e e d m a n & w u 讨论一类具有离散时滞的系统的持续生存性；通过连续泛函 2 一 p qj 1 1 人学博士学位论文 的方法w a n g m a 对一类具有有限时滞的两种群捕食系统证明丫时滞对持续生 存的”无害性”：利用r a z u m i k h i m 技巧和微分不等式，f r e e d m a n r u a n 得到了臼 治滞后型泛函微分方程持续生存性的条件通过比较原理，l i u 和c h e n 考察了系 统的持续性和灭绝性列于具有反馈控制的l o t k a v o l t e r r a 模型的持续生存性，t t t 于其先骑估计的复杂性，在这方面的工作还比较少本文利用微分4 i 等式技巧， 获掰了具有反馈控镥j j f f t j 分布时滞的非自治的l o t k a v o l t e r r a 生态模型的持续生存 性的充分条件值得一提的是，我们用均值条件代替了许多义献中所使用的区问 最值条件 另一方面，生态系统是否具有正的平衡态( 正的蒯期解或正的s r 衡点) 以及 这个平衡态是否全局稳定，也是种群动力学关注的问题简单的说，它涉及系统 是否能保持结构平衡状态，以及由于环境的变化或外界的影响使种群的初始 规模发生变化，随着时间的推移，能否恢复到原有的平衡态的问题对于周期 解的存在性及其吸引性，现有大量的文献主要是用不动点理论和拓扑度方法列 于具有反馈控制的l o t k a v o l t e r r a 模型，周期解的存在性与吸引性的研究不很充 分利用拓扑度方法结合l y a p u n o v 泛函方法，w e n g 【6 4 】给出了周期解存在性与 吸引性的一个充分条件，但一个较苛刻的条件就是要判断一个超越方程组的解 是存在且唯一的显然，这样的条件不容易满足且不容易检验我们在对解先验 估计的基础上，利用h o r n 定理与l y a p u n o v 泛函方法，获得了一组周期解存存性 和全局渐近稳定性的充分条件，同时去掉了文【6 4 】中关于超越方程组解的判定 的条件更进一步，利用类似的方法，对一类自治l o t k a v o l t e r r a 系统给出正平衡 态存在的充分条件；结合m 矩阵的性质，给出了指数稳定性的判据，改进r 文 献【5 7 ，5 8 ，5 9 ，6 0 】中的结果 1 3 具有多重时滞和变系数的c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络的周期解 ( 平衡点) 的存在性与稳定性 c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络模型是由c o h e n 和g r o s s b e r g 在1 9 8 3 年提出 的【1 0 1 从模型结构上来看，它既包括了h o p f i e l d 神经网络模型也包括了l o t k a 川大学博士学位论文 v o l t e r r a 生态模型和上述两个模型比较其定性分析也更加吲难陶此，这二十 儿年来对c o h e n g r o s s b e r gt 1 1 j 经叫络的研究不是很充分尤j c 足对具有时滞的 c o t c n g r o s s b e r g 神经网络也是在最近几年才开始另一方嘶，在网络实际执行 t n 系统参数常常受到环境的干扰而发生变化，因此，考虑! 叫l 叫滞羽l 变系数的 c o h e n g r o s s b e r g 神经网络是有必要的 在关于该模型的渐近行为的研究中，大多数作者都假设了放大器函数具 有正的上下界，同时有些作者还假设了激括函数是有界的或可微的显然，这 样的假设对l o t k a - v o i t e r r a 生态模型失去了意义，就是对h o p f i e l d 型神经网络也 比较苛刻，本文在对去掉这些假设的情况下，研究了具有多重时滞取l 变系数的 c o h e n g r o s s b e r g 神经网络的周期解( 平衡点) 的存在性与稳定性所得的条件是 新的，也易于验证 本文的内容安排如下： 在第二章中，我们研究了一类较为广泛的神经网络它包括了细胞神经网络 与h o p f i e l d 神经网络利用l e r a y s c h a u d e r 原理与几何算术平均不等式以及构 造新的l i a p u n o v 函数，研究了该类神经网络的平衡点的存在性，唯一性啦段全局 指数稳定性获得了一些新的充分条件。这些条件推广与改进近期文献的相关 结果 在第三章中我们讨论了一类具有时浠的l o t k a - v o l t e r r a 生物方程，证明该系 统在一定条件下存在正的平衡态；给出了正平衡态指数稳定的充分条件。进一 步得到具有反馈控制的l o t k a v o l t e r r a 系统持久性的判别准则，并利用h o r n 定理 证明了这类方程正周期解的存在性 在第四章中。我们构造了一个新的李雅普罗夫函数，研究了具有变系数 c o h e n g m s s b e r g 神经网络周期解的存在性及其指数稳定性对于常数输入的神 经网络，我们还研究了其平衡点的存在性，唯一性与稳定性获得的充分条件能 运用于细胞神经网络与h o p f i e l d 神经网络等许多常见的网络，且易于检验。 一4 一 【j qj ij 人学l 再上学位论文 第二章h o p f i e l d 神经网络平衡点的存在。i 生与稳定性 21 预备知识 设彤代表7 , 维欧氏空间r 7 “代表n 阶方阵c = c ( 一r ，o l r “) 表 示曲：【一r ，0 j r “连续映射所组成的b a n a c h 空问对于“r n ，定义 f j ，1 一= ( 1 u i ，1 “。1 ，k 旷 术章研究讨论如下的神经网络模式 ，n 小( ) 2 哪圳+ 暑办( ( ) ) + 6 ( q ( 卜酬+ ，。2 。“f 21 1 1 ) 0 与m 1 ，使得 z ( ：t o ，毋) 一z ( t ：t o ，母) l m l t # 一, b i l e 一1 0 一“，v 2t o 这里z ( t ；t o ，) ，z ( ；t o ，妒) 是方程( 2 1 1 ) 任意两个解 在这章中，系统( 2 1 ，i ) 满足下列条件 ( a j ) 所有f j 和彩满足全局l i p s h i t z 条件，即，存在常数巧 0 和l j 0 使得 办( u ) 一，j ( ) l 坞i u v l ，v u ， r g j ( u ) 一卯( ) i l j i “一u f ，j 一5 一 i j q 川人学博上学位论文 ( a 2 ) 存在个集合q c 使得 2 2 神经网络平衡点的存在性 三c j ，巧q 引理2 2 1 设算r ih ：口cr 7 。一舻是紧算r ( 这里u 是非宅有界的开 集) 且0 u 如聚对于任意一个u 8 u ，存在一个i 使得 h j _ ( u ) s g n u ： 0 则方程h ( u ) = 0 在区域疗上有解 证明：定义个映射：丁( “) zu 一 ) ，则 u 一 t ( u ) = a ( u ) + ( 1 一a ) u 是个同伦映射 5 1 ，且 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) u i a 正( “) l = i a h i ( u ) + ( 1 一；o u i l s g n u i i ( 2 2 3 ) = ( i 一 ) l u 。1 + ) , h i ( u ) s g n u i ，v 3 , i o ，1 】 从( 2 2 1 ) 可以得出 i 旷酬i 2 ，裂；i f a d e 0 1 u ：m 也就是说，a t ( u ) u 对所有的( “，a ) o u ( 0 ，1 】由l e r a y s c h a u d e r 原 6 叫川大学博士学位论文 p l ! 5 i ，p 5 5 6 t 在口卜有一个不动点u + 这意味着 r ( u ) = 7 1 。一 ( u 。) = u ，i e ，h ( u + ) = 0 ，u + f 7 从而引理得证 引理2 2 2 ( j l 何一算术不等式 4 5 ，p 1 3 】) 当z 。0 ，n 。 0 臼：1n 。= l 时， n z ? s l = 1 ( 225 ) 等号成立的条件是当且仅当z ；= z ， 引理2 2 3 ( 4 6 】， 4 7 1 ) 设a r r 。”且a = ( o 巧l a ；j 曼0 ，i j ) 下面任意 个条件都等价于矩阵| 4 是非奇异的m 矩阵： 或 ( i ) a 是拟对角占优的，也就是存在d j ，j a f , 使得 哼1 d 池j 0 ，j ( i i ) 存在正的n 阶对角阵d ，使得矩阵a t d + d a 是正定阵 ( i i i ) 兄“，a = e 一且p ( r i ) 玎 。 出 。一 旧川大学博士学位论文 ( 4 3 ) q u2 定理2 2 1 设条件( a 1 ) 与( a 2 ) 成立，且条件( a 3 ) 成立 一p q m ，这里p = ( p “) ，p ，= ( 一q ) “l n 。7 i 叫。，q = ( q 。) i b , j l j ，= d i a g # l ，肛2 ，肛。 ，和 ： 1 1 汀”批引百咖蚵( a 2 ” ( 2 2 8 ) 矾，2 jo ，。t l l e r w i s e 但2 + 8 则系统( 2 1 1 ) 至少存在一个平衡点u + 证明：如果u + 是系统( 2 ，1 1 ) 的平衡点当且仪当= ( “i ：，札：) 7 是方程 “钍t 一【五( q ) + b 1 ；j g i ( u j ) 一 = 0 ，i - a ( 2 2 9 ) j f f i l 的解我们定义 h i ( u ) = 胁地一r ( “) 这里r ( u ) 垒。【办( 嘶) + 鲫( 嘶) 】+ ，h c u ) = m 1 ( u ) 程( 2 2 9 ) 与方程 ( 仳) = 0 有相同的解从1 ) 和( a 2 ) ，得 或 ( 2 2 1 0 ) h n ( u ) 1 7 则方 i 矗0 ) is 巧1 5 f + i h ( o ) l ，v s r ， a i i f j ( s ) s g n s 一c j l a j a l l s i - i - i a a j l l f a o ) l ，v j q ， i g j ( s ) isl j i s i + 1 出( 0 ) i ，j ，( 2 2 11 ) 胁，s s n s s 愁蒿_ 导数裂z ；笔 一8 一! ! 型查堂旦土芏竺堡壅 = ( 一勺) 叫l j j ) i i s i + l a j j i i h ( o ) l ( 2 2i 2 ) 从( 22j 0 ) 式，可以得出 7 “( “) g 三胁一n ，- 五( 心) s g 嘲i a , s l l d ( q ) | - 吲i9 j ( ) f _ m i “t i 一 ( 扩，叫l - a , j ) i 。i + i & l 训一6 ， 三m i u - i 一( + q 。j ) h i f 。 ( 22 1 3 1 萼里62 i ( 1 n , j 1 1 4 ( o ) l + i b , j l l g j ( 0 ) 1 ) + i 厶i 设瓦( 丝) ：k m ) s g n 也，五( 。) ： ( ，( u ) 也( “) ：五n ( “) n = k t ，：，矗r 将上面的不等式改写成矩阵向 ( “) ( 一p q ) 陋i + 一f ，f 2 21 4 ) 这里( u j + = ( f t l l i 一，l u 。i j r 由引理2 2 3 ，存在正的n 阶对角阵 d = d i 8 9 ( 画，如，矗 使得矩阵d ( a p 一0 ) + ( 一p q ) t d 垒4 是 正定阵- 也就是说，矩阵一4 的最小特征值a ) o 由不等式( 2 2 1 4 ) ，【。j 十三o ， d 0 ，很容易得出 2 地瞰“) = ( ) 丁d + 矿( 。) d 【u j + f = 1 ( f “j + ) t , t 1 4 + 一2 ( f u 】+ ) t d 膳j + 三 ( 4 ) “t f i 各一2 1 1 u 1 1 e i i d i i e t l , e 1 1 e 2 l | 让| | ( a ( 且) 0 t | | e 一2 1 1 d i i e i l f l l e ) i s i lj i l ；k 学孵上学位论文 这里”怕代表欧氏范函，i j l j 垒 r ( u ) u 幢= “r u ，1 1 h 1 1 e = i 厕 ( 2 21 5 ) a m ( h 7 h ) 表示矩阵h 7 h 的最大特征值从( 2 2 ，l5 ) 式可以得出 2 画l “i 瞰“) r ( u ) 0 ( 2 2 1 6 ) t = 1 当i l u l l = 1 - i - 刮d 怯i n ( ) 时考虑非空有界开集 u ( ) = ( u ：i i u i i e 0 、忆a u ( ) ( 2 2 18 ) 由引理2 2 1 ，方程 ( u ) = 0 在驴( r 0 ) 上至少有一个解因此，系统( 2 1 1 ) 至少 有一个平衡点从而定理得证 定理2 2 2 设条件( a i ) 与( a 2 ) 成立条件( a 4 ) 成立 ( a 4 ) 存在正常数7 蜘，南= l ，2 ，3 ，4 ；l ，j 厂与n l 使得 一日一j w m 1 0 一 ( 2 2 1 9 ) p r q 川人学博上学位论文 + q l ，r 3 - 。，l r a 玎( 1 r 3 i j z j i 。) ( r 4 尚i ji “；i ) 孚十a 抛i r j = 】 曼 d ( 一q ) 9 ”j 1 一吼“l a 。i l u 。1 6 十 8 。 j r 之以。，( r 翰 “+ ( 。一1 ) r ；k f 。j j 2 i j + u 忆r 。- 矿i , 蜘( r 勃n + ( 。一1 ) r 4 击i ji u 。 n 6 i u 。i n j = 1 = ( “一酬t “i 。+ ( 吣+ m 妇) l u ，i 。+ a 6 i “。 由( 2 22 0 ) 和( 2 2 2 2 ) 式，我们有 h i ( u ) s g n u i ( o i 让l i 。一1 + 1 ) ( m l u 。i f i ( u ) s g n u 。) = m n 札i l 。+ p 1 i q l “。i 。一1 e ( t ) s g n u ，一f ( u ) s g n u 2 蟊阻尸+ 弘。i i ；一乏：f “m 。) l u l l 。+ 劭f 码? 一。泣。 。一1 一景 j = 1 i 1 最i u i i 。一【( k + m ”) l u l l “+ l u j l 一q 6 h i “一黾( 2 2 2 3 ) 这里讯，= ( 1 n 。l ( 一q ) 叫叫。啊+ 1 6 巧l 岛) 设瓢( ) = h i ( u ) s g n u ，万( u ) ： 压t 拉) ，赴( u ) ，- ，；氟( “茁丁。定= f ) ，三= d i a g f 1 ，矗，厶 ， ： 【f ，6 ， 、靠1 丁我们重写上面的不等式 五( u ) ( 一h m ) “。i + 一州【u + 一口三阻。一1 】+ 一 ( 2 2 2 4 ) 从条件( 4 _ ) 与引理2 2 3 ，存在竹阶正对角阵d = d i a g d l d 2 ，d n l 使得矩阵 d ( 一一m j + ( 一一m j r 口塞a 是正定阵，由不等式( 2 22 4 ) 【u a j + 20 1 2 一 网川大学博上学位论文 和d20 ，很容易得出 2 d i i u ，i 。矗= ( + ) r d h ( “) + 矾u ) d + i = 1 ( 枉。】7 j7 1 且( u “j + 一2 ( f 毪。j + ) r d ( 7 t 【让l + + 吐三f t t 。一j + + k 】+ ) a ( 爿) | | u 。l i 刍一2 | | u 。| | e | | d | | ( | | h | | e i i u | | + o l l z l l e | | “。一1 | | e + i i f o e ) 垒r ( u ) ( 2 2 2 5 ) 由( 2 2 2 5 ) 式，当i l u l l e 一时，r ( ) 一。则存在一个风使得，当i i u 。i i e 岛 时， 我们考虑非空有界开集 n 2 d 。民( u ) r ( u ) 0 ( 2 2 2 6 ) i = 1 ，( 风) = u ：l e 0k o e 乱o u c h ) ( 2 2 2 8 ) 由引理2 2 1 ，方程h ( u ) = 0 在口( 岛) 上至少有一个解因此，系统( 2 1 1 ) 至少 有一个平衡点从而定理得证 i i qj i l 大学酵上学位沦文 2 3 平衡点的唯一性与稳定性 我们做变换v 。( ) = u 。( ) 一u ：，i = 1 ，2 ，n 则系统( 2 1 1 ) 变形为 ”= 一t t i y 。( ) + h j a y a t ) ) + 6 。易( 协( t 一) ) j 1 i ， ( 23 1 ) j = 1 这里艿( 弘) = f j ( y j + u ；) 一，j ( u j ) ，易( 鲫) = 卯( 蜥+ 丐) 一卯( 哆) ，系统( 2 3 1 ) 有 一个平衡点“= 0 明显，系统( 2 1 1 ) 的平衡点是全局指数稳定的等价于系统 ( 2 3 1 ) 的平衡点“= 0 是全局指数稳定的 定理2 3 1 如果条件( a 1 ) ，( a 2 ) ，( a s ) 成立，则系统q ，1 1 ) 的平衡点是全局 指数稳定的 证明：由条件( a 3 ) ，我们可以选择一个充分小的数a 0 使得 一p 一国一a ，朋( 23 2 ) 这里，是单位阵， = ( 寸 j ) ，翰= e l m 由( 2 3 2 ) 式与引理2 2 3 ，存在正数 d l ，d 2 ，以使得 n 心一哼1 蛐玎+ q i j e l q ) 一a 0 ，j r e ( 2 3 3 ) i = l 由条件( a t ) 和( a 2 ) ，我们有 矗( 协) l 玛i 协i ， n j j ，j ( 蜥) s g n 协 毋( 协) i 岛i 协i ，v j c i i 驺i ， v j q 4 一 ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 阳川人学博士学位论文 从( 2 3 1 ) 式，我们有 d l y 。( ) l 曼一“| 玑( ) i + 芝二【( c j ) 。u i n 。，i 尉1 一“j i v j ( t ) l + 1 6 。l l ，l y ( t 一一，) | 】 j = 】 叫。) i + 【7 ) 。j l y j ( t ) l + q t j l y j ( t 一 r j ) - ( 23 6 ) j 。i 做李雅普罗夫函数 这里 y ( ) = d ，址( ) ， 坫( t ) = ( ) + 现；( d i = 1 v l i ( t ) = i 矾( ) i ， 础) ：妻奶厂“。_ ( 一慨( s - - t i j 帕 j = 1 j t 由( 2 3 6 ) 式，我们计算导数 n n d + v l o ) 一p l 扒( 芒) i + 眈，i 协( t ) i + i 协( t 一) | 】一a 也i ( t ) + q 。f e l n ，l y j ( t ) j = l ，= l 啪l y d t ) l + 【p i ，+ q i j e l y j ( t ) l a ( t ) j = 1 更进一步，由( 2 3 3 ) 式 d + y ( ) s d l ( 一雎i 弧( 圳+ + q o e xt l u j ( t ) t a ( ) ) 仁= t j = 1 网j 1 1 人学博l 学位论文 且 = ( 一心+ d ；哼+ q i j c l r , j 1 ) a j l y j ( t ) j = l i = 1 一a d j v t j ( t ) 一a 吗( ) = 一a v ( t ) ，= 11 = i ( 238 ) v ( t ) sv ( t o ) e “。茎吐( 幻) l + q i j r i j i i p i i ，e he a ( t - t o t - l j = l nn 墨d ；1 1 西i 1 1 ，+ d j q j 西。) e 。“ i tn ( d 。+ 如如t 功e ) 1 1 , 6 1 1 i r e - a ( 一 i = 1 j = 1 南于v ( t ) 2 ：ld d y , ( t ) l ，我们有 这里 y ( t ) l l l 垒l y , ( t ) l ( 23 9 ) 面l 0 ，j ( 23 i3 ) i = l 那么由( 2 。3 ，1 ) ，有 d + l y l ( t ) l 。一o 【“一( 一臼) ( k ) ( 1 - a i d l a , d t y d o 托蚓巧i 玑( 圳“l y a t ) l + 口陋”i l 埘l u ( t ) r l y j ( t 一) 1 1 j = 1 ，4 j = 1 。 s 一口f “一( 一b ) 4 ”( k ) 1 4 - ，j n 。1 1 玑1 “ + q 坞r 。- 。1 r 。，j ( r l 聊( ) 憎( r 旁l u i ( t ) l n ) 掣 j = 1 j + 1 6 巧i 岛嚼n 玎( i r 3 玎蜥( t t q ) l “) ( 寺i 挑( t ) j 。) 9 j = l 一d 【k 一( 一b ) q ( k ) ( 1 - - a i i ) l a ；。矾i 。 + m 巧r 焉r ：q ( r - l y j ( t ) l 。+ ( 。一1 ) 寺雠) n j = l ，j + 善陋u i 岛嘲呦( r 3 臼蜥( t - - r t j ) i 。+ ( 一1 ) r 4 。1 ，i 椰胪) n s 一5 i l u t ( t ) l 。+ 眦t ) r + m 。l y , ( t 一) h ( 2 _ 3 1 4 ) 7 一 堕卫叁兰堕兰兰垡堡塞 我们做夸雅普罗大函数为 这早 u i 。( t ) = 愀( t ) i o u 2 i ( ) 我们计算导数得 由( 2 3 1 3 ) 式，有 壹 ”。_ ( 一( 卜坩d s ( 2 3 15 ) # 1 j 一6 ，瞰) r + 阻j l y j ( t ) l 。+ m u l y j ( t q ) i 。 ，= 1 一 i y j ( t 一) i 。 n 一也眦) 。+ + m u e l l 训聊( ) 。一地( ) ，( 2 ，3 1 6 ) j = l d + y ( ) d t ( 一6 。帅) r + 【+ 们i j e a r t i l u y ( t ) l 。 i = 1 = 】 = ( 一屯十吨哼1 + m i j e x r t j d j l u a t ) l n ) j = l 、 t _ 1 nn 0 ，吼l 0 ， 喜笋巧，i = 1 = 2 - - , n 由于生物方面的背景，系统( 3 1 1 ) 的初值条件；u t 黜三糍：；置乳黜嚣0 z ，n ， ， 【札t ( s ) = 上。( s ) ，s 【一u ，o 】，“。( o ) ， 。7、 这里，也( s ) 和“( s ) 都是正的有界函数 定义3 。1 系统( 3 1 1 ) 是持久性的，设( y d t ) ，地) 7 是具有仞值条件( 3 i 2 ) 系统( 3 1 1 ) 的任意解，存在正常数m ，m ，和t 0 使得m 玑( t ) m ，ms u d t ) m 对于所有的t 兰t o = l ，2 ，n ) 3 2 生物系统的持久性 引理3 2 1 在条件( h i