（应用数学专业论文）非线性多点边值问题的正解及其应用.pdf

曲阜师范大学博士学位论文 非线性多点边值问题的正解及其应用 摘要 常微分方程边值问题在经典力学和电学中有着极为丰富的源泉，它是常微分方程学 科的重要组成部分之一常微分方程两点边值问题( 如d i r i c h i e t 边值问题、n e u m 锄边值 问题、r o b i n 边值问题、s t r u m - l i o u v i u e 边值问题等) 已被深入而广泛的研究，并取得了 系统而深刻的结果事实上，自1 8 9 3 年p i c a r d 运用迭代法讨论非线性二阶常微分方程两 点边值问题解的存在性和唯一i 生之后，常微分方程两点边值问题的研究获得了蓬勃发展 2 0 世纪以来，泛函分析逐渐成为研究常微分方程边值问题的重要理论基础事实上， 常微分运算和积分运算的共同特征是，它们作用到一个函数后都得出新的函数，可以将这 些运算统一抽象为算子泛函分析正是在算子概念的基础上发展起来的上世纪3 0 年代 中期法国数学家勒雷( j l e r a y ) 和绍德尔( j s c h a u d e r ) 建立了l e r a p s c h a u d e r 度理论他们 的方法用于研究线性微分、积分、泛函方程时，取得了巨大的成功尤其是这种理论对常 微分方程边值问题的应用，形成了常微分方程拓扑方法或泛函方法 5 6 j - 6 0 】其核心是各 类不动点定理的建立和应用 在泛函分析理论和实际问题的推动下，常微分方程边值问题的研究在近半个世纪里 发展十分迅速【1 】- 【5 5 除了传统的二阶常微分方程两点边值问题之外，开始研究高阶微分 方程的边值问题并且随着新问题的出现，形成了许多新的研究方向一奇异边值问题， 无穷区间上的边值问题，带p l a p l a c e 算子或l a p l a c e - l i k e ( 拉普拉斯型) 算子的微分方程边 值问题，常微分方程多点边值问题 1 卜 4 8 ，常微分方程脉冲边值问题取得了一系列研究 成果，成为一个经久不衰的研究热点。 本文利用锥理论，上下解方法，单调迭代方法，锥拉伸压缩不动点定理，不动点指数 理论等首次对非线性奇异多点边值问题正解存在的充分必要条件进行了研究，得到了一些 新的结果这些结果大都已经发表在国内外重要的学术期刊上，如美国的j m a t h a n a l l a p p l ( s c i ) 、英国的a p p l m a t h c o m p u t ( s c i ) 、加拿大的d y n a l i co fc o n t i u o l l s ，d i s c r e t e a n di i n p l s i v es y s t e m s ( s c i ) 及韩国的n o i l l i n e 缸i u l c t a n a l a p p l 等 全文共分为五章 在第一章我们通过采用最大值原理，单调迭代技巧和上下解方法研究了一类非线性 奇异次线性三点边值问题，得到了c o ，1 】和c 1 o ，1 正解存在的充分必要条件，同时我们 也对e 1 o ，1 】正解的唯一性，单调迭代方法以及收敛率进行了探讨 i 曲阜师范大学博士学位论文 第二章是第一章的继续，在这一章里我们在更宽松的条件下对第一章中的问题进行 了探讨，得出了类似的结果 第三章在非线性项混和单调的情形下，对一类非线性奇异三点边值问题进行了探讨， 得出了c o ，1 】正解存在的充分必要条件，部分地扩充了第一章，第二章的结果。 第四章通过建立新的最大值原理，在非线性项混和单调的前提下，我们研究了一类非 线性奇异m 点边值问题，得出了光滑正解存在的充分必要条件，并且指出了在一定条件 下，光滑正解恰是唯一的c 【o ，l 】正解补充了第三章中的结果 第五章在非线性项单调递减的前提下，我们得出了一类非线性奇异m 点边值问题 c ( o ，l 】和c 1 ( o ，1 】正解存在的充分条件值得指出的是，在这一章里我们虽然使用了上下 解方法，但是我们并没有假设上下解的存在性 关键词：三点边值问题，m 点边值问题，最大值原理，上下解，正解，锥，充分必要条 件，全连续算子 i i p o s i t i v es 0 1 u t i o nt on o p l i n e a rm u l t i p o i n tb o u n d a r y v - a l u ep r o b l e m sa n di t sa p p l i c a t i o n a b s tr a c t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fo r d i n a r yd i 疗e r e n t i a le q u a t i o n s ，a so n eo ft h ei m p o r t a n t p a r t so ft h es u b j e c to fo r d i n a r ) rd i 舶r e n t i a le q u a t i o n ，e x i s ti nc l a l s s i c a lm e c h a n i c sa n d e l e c t r i c sp e r v a s i v e l y o r d i n a r yd i 矗色r e n t i a le q u a t i o n st w o - p o i i l tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e 峪 ( e g d i 矗c h l e tb o u n d a 珂v a l u ep r o b l e i n s ，n e u m a n nb o u n d a 叮v a l u ep r o b l e m s ，r o b i n b o u n d a 巧v a l u ep r o b i e m s ，s t r u m l i o u v i l l eb o u n d a 珂v a l u ep r o b l e m s ) h a v eb e e nw i d e i y s t u d i e d i nf a c t ，s i n c ep i c a r dm a d er e s e a r c h e so nt h ee 虹s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs e c o n d o r d e rt w 伊p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fn o n l i n e a ro r d i n a r yd i & r e n t i a le q u a t i o n sb y e m p l o y i n gi t e r a t i v em e t h o d si 1 11 8 9 3 ，t h es t u d yo nt 恤p o i n tb o u n d a 珂v 出u ep r o b l e m so f o r d i n a r yd i 丑e r e n t i a lh a sb e e nt h r i v i n g 。 s i n c e2 0 t hc e n t m mf u n c t i o n a la a l y s i sh a u sb e c o m et h ei m p o r t a n tt h e o r e t i c a lb a s i so f b o u n d a 巧、，a l u ep r o b l e m so fo r d i n a r yd i 髓r e n t i a le q u a t i o n s i nt h em i d t h i r t i e so ft h el a s t c e n t u 融f r e n c hm a t h e m a t i c i a n sj l e r a ya n dj ，s c h a u d e rs e tu pt h el e r a y s c h a u d e rt h e o 珥b ye m p l o 妒n gt h et h e o 吼r e s e a r c h e sm a d eg r e a ts u c c e s si n1 i 1 1 e a ro r d i n a 珂e q u a t i o n s ， i n t e 铲a le q u a t i o n sa n df u n e t i o n a ld i 舵r e n t i a le q u a t i o n s i np a r t i c u l a r ，t h ea p p l i c a t i o no f t h et h e o r yt ob o h n d a 巧v a l u ep r o b l e m so f o r d i n a r yd i 艉r e n t i a le q u a t i o n sf o r m st h et o p o - l o g i c a ld e g r e em e t h o d sa n df u n c t i o n a lm e t h o d s 5 5 】- 6 0 t h ec o r eo ft h et h e o 珂f - i st h e f o u n d a t i o na n da p p l i c a t i o no f 丘x e dp o i n tt h e o r e m ：b ye m p l o y i n gc o n et h e o r y ，t h em e t h o do fi a w e ra n du p p e rs 0 1 u t i o n 8 ，m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e ，t h ef i x e dp o i n tt h e o r e mo fc o n ee x p a n s i o na n dc o m p r e s s i o na n dt h e t h e o r yo ff e dp o i n ti n d e x ，t h i sd i s s e r t a t i o nm a d er e s e a r c h e so nt h en e c e s s a r va n ds u f 丘c i e n tc o n d i t i o no fn o n l i n e a rm u l t i p o i n tb o u n d a 巧v a l u ep r o b l e mf o rt h e 丑r s tt i m eb d o b t a i n e dn e wr e s u l t s ，m o s to fw h i c hh a v eb e e np u b l i s h e di nj m a t h a n a l - a p p l ( s c i ) ， a p p i m a t h c o m p u t ( s c i ) ，d y i m m i co fc o n t i n u o u s ，d i s c r e t ea n di m p u l s i v es y s t e m s ( s c i ) a n dn o n l i n e a rf u n c t a n a l a p p l t h i sd i s s e r t a t i o ni n c l u d e sf i v ep a r t s i i i 曲阜师范大学博士学位论文 i nc h a p t e rl ，an e c e s s a r ya n ds u 伍c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo fc f o ，1 a sw e u a sc 1 o ，1 p o s i t i v es 0 1 u t i o n si sg i v e nb yc o n s t r u c t i n gl o w e ra n du p p e rs o l u t i o n sa n dw i t h t h em a 蔚m a lt h e o r e m a l s o ，t h eu n i q u e n e s s ，i t e r a t i v em e t h o d sa n dc o n v e r g e n c er a t eo f t h ec 1 o ，1 】p o s i t i v es o l u t i o n sa r es t u d i e d i nc h a p t e r2 ，w ec o n t i n u et od i s c u s st h ep r o b l e m si nc h a p t e r1u n d e rt h ew ，e a k e r c o n d i t i o na n do b t a i ns i m i l a rr e s u l t s i nc h a p t e r3 ，w ei n v e s t i g a t eac l a s so fs i n g u l a rt h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s u n d e rt h ec o n d t i o no ft h en o n l i n e a rt e r m sm 仅e dm o n o t o n ea n do b t a i nan e c e s s a r ya n d s u 伍c i e n tc o n d i t i o nf o tt h ee x i s t e n c eo fc 【o ，1 p o s i t i v es o l u t i o n s t h er e s u l t se 】【t e n dt h e m a i nr e s u l t si nc h a p t e r1a n d2 i nc h a p t e r4 ，w ei n v e s t i g a t eac l a s so fs i n g u l a rt h r e e p o i n tb o u n d a r y 、r a j u ep r o b l e m s u n d e rt h ea s s u m p t i o n st h a tt h en o n l i n e a r i t ym i x e dm o n o t o n ea n do b t a i na n e c e s s a 盯a n d s u 伍c i e n te o n d i t i o nf o tt h ee 妇s t e n c eo fs m o o t hp o s i t i v es o l u t i o n s w 色a l s op o i n t i n go u t t h a tt h es m o o t hp o s i t i v es o l u t i o ni se x a c tt h eu n i q u ec 【o ，1 】p o s i t i v es o l u t i o n t h er e s u l t s i nt h i sc h a p t e rc o m p l e m e n tt h em a i nr e s u l t si nc h a p t e r3 i nc h a p t e r5 ，w ei n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fp o s i t i v es o l u t i o 璐t oa c l a s so fs i n g u l a rm p o i n tb o u n d a 珂v a l u ep r o b l e m so fs e c o n do r d e ro r d i n a 盯d i 船r e n t i a l e q u a t i o n s as u 伍c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee ) c i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fc o ，1 】p o s i t i v e s 0 1 u t i o n sa u sw e ua sc 1 o ，1 】p o s i t i v es o l u t i o n si s 百v e nb yc o n s t r u c t i n gl o w e ra n du p p e r s o l u t i o n sa n dw i t ht h em 越而a 1t h e o r e m w h a t sm o r e ，w ed on o tr e q u i r et h ee x i j t e n c e o fu p p e ra n dl o w r e rs o l u t i o n s k e yw o r d s ：t h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l l u ep r o b l e m s ，m p o 龇b o u n d a 珂v a l u ep r o b l e m s ， m a ) 【i m a lt h e o r e m ， l o ，e ra n du p p e rs 0 1 u t i o n s ， p o s i t i v es o l u t i o n s ，c o n e ，n e c e s s a 巧a n d s u 伍c i e n tc o n d i t i o n ，c o m p l e t e l yc o n t i n u o u so p e r a t o r i v 曲阜师范大学博士硕士学位论文原创性说明 ( 在口划“”) 本人郑重声明：此处所提交的博士回硕士口论文非线性多 点边值问题的正解及其应用，是本人在导师指导下，在曲阜师范大 学攻读博士日硕士口学位期间独立进行研究工作所取得的成果。论 文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果。对本文的 研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注 明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者筝名：彳砺髟 日期：谚p 曲阜师范大学博士硕士学位论文使用授权书 ( 在口划“) 非线性多点边值问题的正解及其应用系本人在曲阜师范大学攻读 博士囱硕士口学位期间，在导师指导下完成的博士囤硕士口学位 论文。本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不 得以其他单位的名义发表。本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使 用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和 电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权曲阜师范大学，可以采 用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内 容。 作者签名：幸渤7日期：一只钳一，护 新签名：趔劲 日期：硼，彭沙 曲阜师范大学博士学位论文 c h a p t e r1 a n e c e s s a r ya n ds u m c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n st os i n g u l a rs u b l i n e a rt h r e e p o i n tb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s 1 1i n t r u d u c t i o na n dt h em a i nr e s u l t s t h es i n g u l a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a ie q u a t i o n sa r i s e si nt h e 矗e l d so fg a sd y n a m i c s ，n e w t o n i a n 丑u i dm e c h a n i c s ，t h et h e o r yo fb o u n d a r yl a y e ra n ds oo n t h et h e o r yo fs e c o n do r d e r t h r e e p o i tb o u n d a r yv 址u ep r o b l e m sh a sb e c o m ea ni m p o r t a n ta r e ao fi n v e s t i g a t i o ni n r e c e n ty e a r s ( s e e 【1 】- 1 0 a n dt h er e f e r e n c e st h e r e i n ) i nt h i sc h a p t e r ，伦w i nc o n s i d e rt h e p o s i t i v es o l u t i o n st ot h ef 0 1 l o 祈n gn o n l i n e a rs i n g u l a rt h r e e p o i n tb o u n d a 珂、，a l u ep r o b l e m s o fs e c o n d 一o r d e ro r d i n a 】刁rd i f f b r e 】n i a le q u a l i o n 一( t ) = ，( 亡，z ( 亡) ) ，o 1 ，( 1 1 1 ) w i t h z ( o ) = q z ( 叩) ，z ( 1 ) = o ，( 1 - 1 2 ) w h e r e0 8 1 ，0 o ，f o r 亡( o ，1 ) ) w h e nt h ef u n c t i o n ，c ( o ，1 】兄，r ) i n ( 1 1 1 ) ，i e ，i sc o n t i n u o u s ，p r o b l e m ( 1 1 1 ) a n d ( 1 1 2 ) i sn o n s i n g u l a r ，t h ee x i s t e n c eo fs 0 1 u t i o n st o ( 1 1 1 ) a n d ( 1 1 2 ) h a s b e e ns t u d i e db ym a n ya u t h o r su s i n gn o n l i n e a ra l t e r n a t i v eo fl e r a y s c h a u d e r ，c o i n c i d e n c e d e g t e et h e o r ya n d 丘x e dp o i n tt h e o r e mi nc o n e ( s e e 1 】 5 】a n dr e f 色r e n c e st h e r e i n ) 鱼皇堕蕉盔兰擅圭堂鱼迨塞 v e r yr e c e n t l y ，t h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fp o s i t i v e s o l u t i o n st ot h es i n g u l a r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( 1 1 1 ) a n d ( 1 1 2 ) h eb e e nw i d e l ys t u d i e db ym a n ya u t h o r s ， s e e ，f o re x a m p l e ， 8 】， 9 】 b u tt h e r ea r ef e wp a p e r sc o n c e r n e dw i t ht h es u m c i e n ta n d n e c e s s a r ) ，c o n d i t i o n sa n dc o m p u t a t i o n a lm e t h o d so ft h em u l t i p o i n tb o u n d a r yp r o b l e m s t h eo b j e c t i v eo ft h ep r e s e n tp a p e ri st of i l lt h i sg a p ! r os e e kn e c e s s a r va n ds u 伍c i e n tc o n d i t i o n sf 6 rt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n st ot h ea b ( ) v e p r o b l e m si si m p o r t a n ta n di n t e r e s t i n g ，b u td i m c u l t t h u s ，r e s e a r c h e si nt h i sr e s p e c t a r er a r eu pt on o w ht h i sc h p t e r ，r es h a l ls t u d yt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s t ot h es e c o n d o r d e rs i n g u l a rs u b l i n e a rt h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( 1 1 1 ) a n d ( 1 - 1 - 2 ) an e c e s s a 巧a n ds u m c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo f 叫o ，1 】a sw e u a u sc 1 o ，l 】 p o s i t i v e8 0 l u t i o n si s 舀v e nb yc o n s t m c t i n gl o w e ra n du p p e r s o l u t i o n sa n dw i t ht h em a l x i m a l t h e o r e m a l s o ，t h eu n i q u e n e s s ，i t e r a t i v em e t h o d s ，c o n v e r g e n c er a t ea n dc o m p u t a t i o n a l m e t h o d so ft h ec 1 】p o s i t i v es o l u t i o n sa r es t u d i e d af u n c t i o nq ( 亡) i sc a l l e daf d 叫e rs d f u 抚d 佗t o 乞h ep r o b l e m ( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) ，i fq ( t ) c o ，1 】nc 2 ( o ，1 ) a n ds a t i s i e s 0 f ) + ， ，q ( t ) ) o ，亡( o ，1 ) ， q ( o ) 一o a ( 刀) o ，q ( 1 ) o u p p e rs 0 1 u t i o ni sd e 丘n e db yr e v e r s i n gt h ea b c i v ei n e q u a l i t ys i g n s i ft h e r ee 妇s tal o r e r s 0 1 u t i o n 口( t ) a n da nu p p e rs 0 1 u t i o np ( 亡) t op r o b l e m ( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) s u c ht h a tq ( 亡) p ( t ) ， t h e n ( 口( z ) ，p ( ) ) i sc a u e d ac o u p l eo fu p p e ra n dl c r w rs o l u t i o nt op r o b l e m ( 1 1 1 ) ，( 1 1 2 ) i no r d e rt op r o v et h em a i nr e s u l t s ，、en e e dt h ef o l l o w i n gm a x i m u mp r i n c i p l e l e m m a1 1 ( m a x i i i m mp r i n c i p l e ) 跏p d s e 饶口to o ，6 ( t ) o ，t ( o ，1 ) 2 ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 曲阜师范大学博士学位论文 b yi n t e g r a t i o nt w i c eo f ( 1 1 3 ) z ( z ) =1 一o + o 卵 a n dn o t e ( 1 1 4 ) ，w eh a v e ( ( ( 1 一n ) t + 0 7 7 ) r 2 + ( 1 一亡) r 1 + ( 1 一) ( ，1s d ( s ) d s 一。z 1 ( s 一叼) 6 ( s ) 二s ) ) 一z 1 ( s 一亡) 巧( s ) d s t h es o l u t i o n ( 1 1 5 ) c a nb es t a t e d z ( 亡) = 1 一口+ o 刀 ( ( 1 一o ) 亡+ o 叼) 7 - 2 + ( 1 一亡) r 1 】 + 1g ( z ，s ) j ( s ) d s + i j ! 三专 ；= ! 笛1g ( 刀，s ) 6 ( s ) d s ， ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) w h e r eg ( 亡，s ) i sd e 丘n e di nt h e o r e m1 1 i nv i e wo f ( 1 1 6 ) a n dt h ed e 丘n i t i o no fg ( ，s ) ，w e c a no b t a i nz ( 亡) o ，t 【o ，1 】t h i sc o m p l e t e st h ep r o o f n o ww es t a t et h em a i nr e s u l t s0 ft 虹i sp a p e ra sf o l l o w s t h e o r e m1 1 跏即d s e 冼口t ( 日1 ) d f 幽吼饥 f 纠口几e c e s s d 珂口n ds 颂c i e 死tc d n d 讹d n 如rp 彻6 把仇以j j ，彻；d 以，j 砂t d 口口e c 1 【o ，1 】p o s i t i u es o 比缸d 礼si s 沈口t 饶e 扣f 2 d 伽饥9 讯叼m 2c d 仃d i 统d 佗s 九d 垃 。 z 1 他1 叫疵 呲( 1 叫z 1 g 彬( s ) 如 + i ! ! ；毛；= ! 笛：1g ( 叼，s ) ，( s ，1 一s ) d s ，亡 。，1 ) 3 ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) ( 1 1 1 0 ) r jc d 咒占t r 钍c i n 9s u c c e s s i u e z y es e g 珏e 礼c eo ，也n c t i d n s 嘣归1 g s ) ，( s 址1 ( 5 ) ) d s + i 兰三毛；兰兰石z 1g ( 叼，s ) ，( s ，九n 一- i s ) ) d s ，佗= 1 ，2 ， ( 1 1 1 1 ) 扣ro n 秒i 佗i 抚o z 丘佗c 跣d n o ( 艺) d e ，饶e 扎 九n ( t ) ) 死玎b r l z 3 c d n e 叼e d 九eu n i g u es o f u 坑o n 秽0 吣t o ( 1 1 1 ) a n d ( 1 ，1 2 ) 0 nl o ，1 1 ，q n df u 代h e m o r e 嚣躏帅) 一z 俐= d ( 1 一一， 伽 e ，e g c 亡，s ，= 篡二：；：兰至三差三蓁： d 。= z ( t ) c o ，1 】l | 尥，m zs tm z ( 1 一亡) z ( t ) 尥( 1 一t ) ) t h e o r e m p r d 6 2 e m 以f _ f ) c d n d i 统d 礼s 危d f d ( 1 1 1 2 ) 1 2i 9 伽d s e - 们j o f 如，饶占凡。礼e c e s s 口r 兰口n ds 强历c 沈佗c d 佗击统d 佗扣r 口仃d 以f 纠t d 九伽ec o ，1 】p d s 饿 es d f u 扼d n s 妇饶以饶e 厂d f z d 彬i 佗夕锄t 叼m z 。 o ，z ( t ) t ( 1 一t ) l i z i i ， o ，1 ( 1 2 2 ) h e r e ，恻i2 嚣躏i z ( 吼f 0 r 。【0 ，1 】，f r 。mt h ec 。n c a v i t yo fza n d ( 1 2 2 ) w eh a v e h a t 邢) 2 嵩柏) 嵩们刊刮川1 叫艇【0 ，1 】 ( 1 2 3 ) s i n c ez ( t ) i sac 1 【o ，1 】p o s i t i v es o l u t i o nt o ( 1 1 1 ) a n d ( 1 1 2 ) ，t h e nb y ( 1 1 2 ) ，w e h a e 球) = z 1 ( ( s ) ) d s 署躏帅小1 叫，亡 0 ，1 】 ( 1 2 4 ) s e t t i n g = 7 7 i i z i i ，毛= i l z 7 i l ，t h e nf r o m ( 1 2 3 ) a n d ( 1 2 4 ) w ek o wt h a tt h e r ea r e c o n s t a n t so 五 如，s u c ht h a t 厶( 1 一亡) z ) j 1 2 ( 1 一亡) ，亡 o ，1 】 ( 1 2 5 ) w i t h o u t1 0 s so fg 印e r a l i t y ，w em a ya s s u m et h a t0 1 厶t h i st o g e t h e r 讨i t ht h e c o n d i t i o n ( 日1 ) i m p l i e st h a t 1j f ( 岛1 一) 出 叫1 ，( t ，z ( 瑚出= 厶叫f ( 1 一) 一一( 。+ ) 】 oa n da 1 1i n t e a l 口l ，6 l 】c ( o ，1 ) w i t h 1 o 0 1 ，6 1 】s u c ht h a t ，( 亡，1 一亡) q o ，z 【0 1 ，6 1 】( 1 2 8 ) 5 鱼皇堕堇查兰堕圭堂鱼迨塞 一 b yt h ec o n d i t i o n ( 日1 ) w eh a v e 一踟猢啦叫 t h u s ( 1 2 8 ) a n d ( 1 2 9 ) i m p l yt h a t i fm z 1 ， i fm z 1 z 1g ( 亡，s ) ，( s ，z ( s ) ) d s + i 兰三专 ；兰兰石z 1 g ( 叩，s ) ，( s ，z ( s ) ) 如q 3 ( 1 一亡) ， ( 1 2 9 ) ( 1 2 1 0 ) ( 1 2 1 1 ) ( 1 2 1 2 ) w h e r eq s = 婴掣掣詹弛，1 一s ) 如 b yv i r t u eo f ( 1 2 1 0 ) a n d ( 1 2 1 2 ) ，啊r ec a n 丘n dp o s i t i v ec o n s t a n t sf 2 ，上恤s u c ht h a t l 霉( 1 一亡) f 1g ( t ，s ) ，( s ，叠( s ) ) d s + i 兰三毛；兰兰石z 1 g ( 7 7 ，s ) ，( s ，z ( s ) ) d s k ( 1 一亡) g ( t ，s ) ，( s ，叠( s ) ) d s + 丁竺慕g ( 7 7 ，s ) ，( s ，z ( s ) ) d s ，0 1 ”l ”，- ，o 三z ( 1 _ t ) ，t 【o ，1 】 d e 丘n et h eo p e r a t o rai nd ea u sf o l l o w s ： ，上 a z ( z ) = g ( t ，s ) ，( s ，z ( s ) ) d s j o + t 兰三毛；兰兰石z 1 g ( 刀，s ) ，( s ，z ( s ) ) d s ，v z ( t ) 。 ( 1 2 1 3 ) ( 1 2 1 4 ) t h e na ：d e 争d e m o r e o v e ri ti s r e uk n o w nt h a ti fz ( t ) d ea n da z ( 亡) = z ( ) ，t h e n z ( ) c 1 【o ，1 】nc 2 ( o ，1 ) ，a l s oz ( t ) s a t i s f i e s ( 1 1 2 ) s ow eo n l yn e e dt oi n v e s t i g a t et h e o p e r a t o re q u a t i o n a z = z ，z d 。 ( 1 2 1 5 ) 6 鱼皇堕蕉盔兰堡圭堂焦迨窒 d e n o t ez 1 ( t ) 曼z 2 ( t ) ，t o ，1 b yz 1 z 2 ，t h e n a z l a z 2 ，i fz 1 ，0 2 d e ，z 1 z 2 ； 亡9 a z a ( 亡z ) ，0 ( 器) q ，以啪搿砌叽捌 帮笔铲艇c 啦 z l ( t ) 一 z 2 ( t ) ”。、“尸 s i n c ez i ( z ) ( i = 1 ，2 ) a r ec 1 o ，1 】p o s i t i v es o l u t i o nt o ( 1 1 1 ) a n d ( 1 1 2 ) ，w r eh a v e c o m b i n i n gi tw i t h ( 1 2 2 3 ) ，w eo b t a i n 秒7 ( t ) = z l ( t ) z ；( ) 一z 2 ( t ) z ：( t ) o ，t ( 0 f ，p ) b y ( 1 2 2 4 ) ，k 2 ( t ) 一z l ( 亡) 警口so