（运筹学与控制论专业论文）具年龄结构的单种群捕获控制模型.pdf

具年龄结构的单种群捕获控制模型 摘要 具年龄结构的单种群模型具有非常复杂的动态特性，特别是在线性状态反馈 和常数收获下，该模型呈现了各种各样，复杂的动态特性，其中包括平衡点及其 稳定性的变化，各种分叉的产生，以及由此引起的经济学上的最大收获及收益 的变化。掌握这些动态特征之后，可以对种群进行合理开发，使之能在不灭绝的 情况下为人类提供资源。 本文的主要工作如下： 首先研究了线性状态反馈对具有年龄结构的单种群模型的动态性能的影响， 得到了该反馈控制模型在不同条件下平衡点数目的变化，以及存在稳定的正平衡 点的充分条件。研究了加入常数控制项后，该模型的动态性质发生的变化，得到 了该模型存在稳定的正平衡点的充要条件。 其次讨论了对具有年龄结构的单种群模型进行捕获，对模型产生的影响，得 到了在保证系统的持续存在的情况下，分别对某一阶段种群进行捕获所能获得的 最大收益。 然后讨论了捕获努量变化率与收益有关时模型的动态性质，得到了结论：在 半开放系统中，生物种群的开发可能过度，从而可能造成种群的灭绝。 最后，我们考虑了利用税收来调节市场，使得在保证种群持续生存的前提下， 使得捕获所获得收益最大。 关键词：年龄结构；平衡点；稳定性；分叉；最优种群密度；最优控制；最大利 润 。一 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h e s t a g e s t r u c t u r e ds i n g l ep o p u l a t i o n m o d e lw i t hh a r v e s t i n g a b s t r a c t 1 1 1 es i n g l ep o p u l a t i o nm o d e lw i t hs t a g e s t r u c t u r eh a sv e r yc o m p l i c a t ed y n a m i c a l p r o p e r t i e s e s p e c i a l l yu n d e rl i n e a rs t a t ef e e d b a c ka n ds o m ec o n s t a n th a r v e s t ，t h i s m o d e ld i s p l a y sv a r i o u sc o m p l i c a t e dd y n a m i cf e a t u r e s i n c l u d i n gt h ec h a n g e so ft h e p o s i t i v ee q u i l i b r i u ma n ds t a b i l i t ya n dt h ee m e r g e n c eo fb i f u r c a t i o n ，a sw e l la st h e m s u i to ft h ec h a n g eo ft h em a x i mh a r v e s t i n gi ne c o n o m i c s a f t e rl e a r n i n go ft h e s e d y n a m i cp r o p e r t i e s ，w ec a l lp r o p e r l ye x p l o i tt h ep o p u l a t i o n ，o nt h ep r e c o n d i t i o no ft h e p e r s i s t e n c e ，m a k ei to f f e rr e s o u r c e sf o rh u m a nf o re v e r t l l i st h e w sm a yb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： f i r s t l y , w es t u d yt h ee f f e c to f l i n e a r s t a t ef e e d b a c ko nt h ed y n a m i c a lc h a r a c t e r i s t i c f o rt h em o d e l ，r e c e i v e dt h ed i f f e r e n tn u m b e r so fe q u i l i b r i u mu n d e rt h ed i f f e r e n t c o n d i t i o n s ，s u c ha ss t a t i cb i f u r c a t i o n , a n da l s og e tt h ee f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n s f o rt h em o d e lt oh a v es t a b l ep o s i t i v e a n dw ed i s c u s st h ea f f e c t i o nt ot h em o d e lo f t h e c o n s t a n th a r v e s t , o b t a i nt h ee f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h em o d e lt oh a v e s t a b l ep o s i t i v ee q u i l i b r i u m ，b i f u r c a t i o n a n da l s og e tt h em a x i mi n c o m eo fs u c h s y s t e m s e c o n d l y , w es t u d yt h ea f f e c t i o no ft h eh a r v e s t i n gt ot h es y s t e m ，g i v i n gt h e m a x i mp r o f i tw h a tw ec a ng e tw h e nw ee x p l o i to n l yo n es t a g ea n dw h e nw ee x p l o i t b o t ht h et w os t a g e so ft h ec o m m u n i t y ，o nt h ep r e c o n d i t i o no ft h ep e r s i s t e n c eo ft h e c o m m t m i t y n l i r d l y , w es t u d yt h ec h a r a c t e r so f t h em o d e lw h e nt h eh a r v e s te f f o r t sd e p e n d so n t h ep r o 乩g e tt h ed i f f e r e n tc o n d i t i o nu n d e rd i f f e r e n ts u p p o s et om a k et h em o d e ls t a b l e a tl a s t ，w ec o n s i d e ru s et h et a xa c t i o no f t h eg o v e m m e n tt oa d j u s tt h em a r k e t ，t o m a k es u r et h a tt h el l a t u r a lr e s o u r c e sl i v ef o r e v e r a n da l s ow ed i s c u s sh o wt og a i nt h e m a x i m a le c o n o m i cp r o f i tb ym a x i m u mp r i n c i p l eu n d e re c o l o g i c a lb a l m a c e 一i i i - 东北大学硕士学位论文 a b s i r a c t k e yw o r d s ：s t a g es t r u c t u r e ；e q u i l i b r i u m ；s t a b i l i t y ；b i f u r c a t i o n ；o p t i m a lc o m m u n i t y d e n s i t y ；o p t i m a lc o n t r o l ；m a x i mp r o f i t 一一 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中 取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表 或撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了 明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：咖承 日期：脚，f 7 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学 位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景 第一章绪论弟一旱殖y 匕 生态学是研究生物体与它们周围的环境之间关系的- i 1 学科，是研究生物的 生存条件，生物种群和环境之间相互作用的过程及其规律的科学。所谓“环境”， 是一个很宽泛的概念。 “民以食为天”。农业，牧业，渔业都是以生物资源为对象，通过栽培，养 殖，捕捞等生产过程，为人类提供最基本的生活资料。对于渔业，最简单的数学 问题是1 9 31 年v v o l t e r r a 为了解释亚德里亚海捕捞的收获量周期性涨落而设计的 模型，即所谓的生存竞争方程，也称为l o t k a - v o l t e r r a 方程，这是一个自然状态下 鱼群消长的方程。但是，从2 0 年代起，特别是第二次世界大战之后，工业化的 捕鱼使渔业开始衰退，由此产生了如何适度捕鱼而不致使渔业资源枯竭的问题。 4 0 年代后期，开始了对捕获鱼类数量，年龄类型进行统计分析，然后运用数学方 法，预测今后的产量，并提出最优的捕捞措施。“最优捕鱼策略”问题就是在这 个背景下提出来的，意图使大家了解如何把数学应用于探讨资源和环境的开发和 利用。 在地球上，人不是唯一的物种，还有许许多多别的生灵。每一个物种的生存 都依赖于其它物种，任何一个物种的灭绝，都会影响到整个生态系统的平衡，人 类的可持续发展就会受到威胁。因此，加强对生态系统的保护有着重要的意义。 从微观上看，自然资源维持着人类的每一种活动，但却受到人类的威胁，一 旦某种生物灭绝了，人类将无法使他们再现，所以我们必须保护野生动植物。保 护物种的持续生存，维持系统的生态平衡是十分重要的。 从宏观上看，物种的灭绝给人类造成了不可估量的损失，破坏了生态平衡； 从微观上讲，保持物种的持续生存，对于丰富我们的生活，维持人类自己的可持 续发展，都具有重要的意义。因此，我们要在可持续发展的前提下，对生物资源 进行开发利用，既满足自身的需要，又保持物种的持续生存。 近几年来，由于人们生活水平的提高，市场对于水产品的需求不断增加。在 利益的驱动下，人们对于渔业资源进行了掠夺式开发，导致了渔业资源严重衰退。 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 许多重要的经济鱼类供不应求，而出现价格上涨的情况。长此以往，自然的天然 渔场很有可能遭到破坏，而最终导致无鱼可捞的情况。为了避免这种情况的发生， 我们要适当的降低捕获量，来保护生态资源的平衡。但是，追求最大利益是人的 本能。因此，我们在保证生物的持续生存的同时，也要考虑利益的最大化。 我们知道，如何利用有限的可再生资源，实现其可持续开发和利用，已成为 从经济管理学家至生态学者都在关心的问题，受到各个行业的重视。在现实世界 中，存在着各种各样的或天然或人工培养的生物资源，为了能长期地利用它们， 就必须合理地开发和科学的管理。对于那种对生物资源未能充分利用和开发过度 造成的资源枯竭的情况，我们必须制止。人类对生物种群的开发应追求经济利益 和环境利益的统一，这样才能实现可持续发展，不能单纯的为了追求经济利益而 破坏生态环境。因此，在数学上定量分析人类对生物种群的开发，对合理利用资 源，保护生态环境有着重要意义。 特别是近几十年来，生命科学得到很大的发展，与生命科学相联系的一系列 边缘学科相继产生，而生物数学就是其中最为年轻的边缘学科之一。借助于数学 工具与在物理学，力学中所熟知的动力学方法，生物学家和数学家共同建立了各 种生态动力学系统。 数学生物学第一次辉煌是由2 0 世纪2 0 至3 0 年代的l o t k a , v o l t e r r a , k o l m o g o r o v 等大师所创造。大量的实际问题的出现与现代微分方程理论的建立 促进了数学生物学，特别是数学生态学在2 0 世纪7 0 年的长足进展。 早在1 0 0 多年前，m a l t h a s ( 1 8 3 4 年) 首次提出了人口模型 1 1 莺( f ) ；腻( 1 1 1 ) 其中z o ) 表示f 时刻人口密度，r 表示人口密度随时问的相对增长率，也称为内禀 增长率。不少人口统计的数字表明，b i a l t h a s 模型的人口计算公式在一定范围内 是正确的。由于该模型没有将环境因素考虑进去，因此，根据这一模型得出的“人 口指数无穷增长”的论述是不正确的。1 9 3 8 年，p e v e r h u l s t 提出用如下的l o g i s t i c 模型1 2 j 工o ) 。麟m 一掣) 叭2 ) “， 来描绘人口或其他生物种群的增长规律。这里r 是内禀增长率，k 是环境的容纳 量伍，0 ) 。这个模型克服了m a l t h a s 模型的一些缺陷。从该模型可以看出，j k 是模型的稳定的平衡点，即种群将始终稳定在x k 的水平上。 上面这两个著名的数学模型，均未考虑到种群个体的年龄因素。1 9 1 1 年， 2 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 f r s h a r p e 与a j l o t a k e 在刻画生态模型时，首次将种群个体的年龄因素考虑其 中，他们研究了一个具有年龄结构的线性动力学模型。1 9 2 6 年，a q m c k e n d f i c k 研究了数学在医学上的一个应用问题时，年龄因素也被考虑进去，这就是后来被 人们称为经典的s h a r p e - l o t k a - m c k e n d r i c k 模型。1 9 7 4 年，m e g u r t i n 与 r c m a c c a m y 提出著名的g u r t i n - m a c c a m y 模型，他们研究了具有年龄结构的 非线性种群动力系统。 在上面这些著名的模型中，人们仅研究了其系统解的适定性及平衡解的稳定 性问题，没有考虑控制问题。关于种群动力系统的控制问题的研究，起始于二十 世纪中期，而且最初，为了研究上的方便起见，忽略了种群个体的年龄差异，这 方面工作已有大量的研究成果。这些研究成果包括可再生资源的开发和利用，如 c w c l a r k 的专著及其所引用的文献。人们还从生态学和经济数学以及数学方面 来研究生物种群的最优控制问题。 当我们考虑到个体的年龄因素是，现有的工作就不太多了。主要原因就是年 龄结构的引入将使系统模型更为复杂，使其数学处理更为困难。从事种群控制问 题的研究的人们都力图直接处理他们所面临的具体问题。现在我们就来简要介绍 一些其中的结果。 1 9 6 5 年，l e t k o b i t c h 首先讨论了一个具有离散年龄结构的单种群模型的收获 问题i “。随后，一些学者也研究过同一主题。 加拿大著名学者c w c l a r k 于1 9 7 6 年出版了资源管理数学模型方面的第一本专 著： 首次提出了“数学生物经济学”这一学科名称。作者在书中系统地总 结了直至当时对可再生资源的研究工作，特别是利用了数学模型所进行的研究。基 于作者自己和其他研究者的成果，书中介绍了许多数学模型。这些模型可以分为两 类：确定性模型和随机性模型。确定性模型又包括连续时间模型和离散时间模型， 既有单种群模型，又有多种群模型，既有扩散模型，又有非扩散模型。所使用的主 要数学工具有常微分方程既定性理论，变分法，最优控制理论，对策论，随机动态 规划等。在每章末尾，作者还对许多研究文献作了评述。总之，该书是定量研究可 再生资源利用问题的一份重要文献。 许多的消费种群从出生到死亡的过程中要经历两个甚至三个阶段。大量的学 术上的模型忽略了这个事实，而将多种情况归为一种，从而用一个简单的常微分 方程( o o e ) 来描述。很不幸的是，这种简单的常微分方程仅仅能够产生平衡态的 动力行为。为了获取自然界经常出现的震动行为，我们需要提出更多的模型。这 3 一 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 些模型包括差分方程，和时滞的微分模型。差分方程为了描述种群的时代不重叠 性，而被迫忽略了代与代之间的动力学行为( 对于这些种群来说，生育可以在很 短的时间内完成，但是死亡是一个连续的行为) ，并且尝试忽略资源的变迁。此 外，时滞l o 西s t i c 方程，作为传统的描述单种群连续增长的模型，对现实得描述 不合理，并且在理论上产生了复杂的动力行为。因此许多学者转向研究具有年龄 结构的单种群模型。 1 9 8 0 年，c r o i r e s 和w f a i r 在论文川中，研究了具有年龄结构的单种群模型 的最优收获问题。他们在控制策略与时间无关，只与年龄有关的假设下，证明了 控制变量有界或无界，则最优收获比为双态脉冲。 1 9 8 5 年，作者m b r o k a t e 研究了一个比较一般的具有年龄结构的种群动力学 的最优控制问题【6 j ，其状态方程为微积分形式。在一定的条件下，作者推导出下 列最优收获问题的极大值原理： ro m a x i m i z er p o ) p 如，t t a d t ，0su ( t ) o y ( o ) 0 ( 2 1 _ 2 ) 这里，ty 分别代表幼年与成年种群的密度，口为成年种群的生育率，l 表 示幼年种群的死亡率，芦表示有幼年向成年的转化率，r 为幼年种群的密度制约 系数， 为成年种群的死亡率。以上系数均为正数。为计算方便，可令r = + 卢a 由口s 】可知，自然界中的许多物种，其个体都可以被分为幼年和成年两个阶段，均 可由上述的模型来描述，它模拟了许多再生性资源的特性。本章我们将对该模型 及其在线性状态反馈和常数控制下的模型的动态性质进行动态分析。 为了简便，记= g ，y ) lx o ，y 0 ) ，我们先来证以下引理。 引理2 , 1定是系统( 2 ，1 1 ) 的解的正不变集。 证明由于 i i ，：o = ， 0 岁b = 肛 0 因此引理成立。 引理2 2 满足初始条件( 2 1 2 ) 的系统( 2 1 1 ) 的解是有界的。 证明作函数p 0 ，力= x + y ，沿着系统( 2 1 1 ) 的解求导得： p l f 2 1 1 = c o 一，x r l x 2 + 肛一r 2 y 对于任意的占 0 ，我们有 p + 印= - r + 卢+ s b r l x 2 一以一口一s l y 显然，存在常数c 0 ，我们有 蔓苎查兰壁主兰堡笙 苎三主墨查鉴竺苎兰翌壁堡型生垡：兰鉴查垦堡! 塑塑查竺：堡 p + d r ，2 成立，则容易得到，曲线，在原点o ( o ，o ) 点的切线斜 率大于直线f ：的斜率。因此系统有两个非负平衡点o ( o o ) 及层0 ，_ ) ) ，这里， z o y 0 系统( 2 1 1 ) 在d ( o ，o ) 处的线性近似系统为： 苗= a y - r x y 特征方程为 2 + ( ，+ ，2 h + ( r r 2 一。归) 一0 。当满足条件。筘) r r 2 时，我们知道特征 方程有一个正根，一个负根，因此平衡点d ( o ，o ) 是不稳定的。同理可证，平衡点 e b 。，y j 是局部渐近稳定的。 下面，我们构造包含e b ，y j 的正的不变域。如图1 所示，线段a 日为y = q b os x5 p ，线段b c 为z = p b 0 墨ysq 其中，p ，q 是满足下列条件的任意正 1 0 燮学硕士学位论第二章具有年龄结构单种群模型在线性状态反馈下的动态特性 数： 和 由于 和 显然 p x 譬 g 詈切+ ，)口 图2 1 包含e g + ，y ) 的正不变区域 f i g u r e2 1p o s i t i v ef i x e ds q u a r ei n c l u d i n g 础，y ) 多f = p x t g i o 。s 。 0 童i = a y r p r p 2 0 垒 0 因此，系统( 2 1 1 ) 的轨线与边界曲线。爿b c 相交，将都从外向内穿过矩形区域。 记： 对于任意的x ，y ) r ：，我们有 p 0 ，y ) = 缈一h r x 2 q b ，j ，) = 肛一吒y 东北大学硕士学位论 第二章具有年龄结构单种群模型在线性状态反馈下的动态特性 芒+ 警：一，一雄一r 2 。o 越 d v 。 即b e n d i x o n 判别准则【2 ”成立。因此，系统( 2 1 1 ) 在r ：内无极限环。由 p o i n c a r e b e n d i x o n 定理可以得到唯一的正平衡点e 仁+ ，y ) 是渐近稳定的。 当不满足条件a 移，时，系统存在唯一的非负平衡点风( o ，o ) ，且为稳定的结点。 在b ，) ，) 点， 删：r 一 一坐 0 定理证毕。 2 3 状态反馈模型的动态特性 2 3 1 状态反馈模型的平衡点和稳定性分析 前面我们已经分析了模型的动态性态，要制定出有利于可再生性资源的成长 的开发决策，使之能为人类源源不断地提供所需，就必须进一步了解调控对各个 阶段有何影响。下面我们将研究如下模型： 苫：荟：麓 ( 2 3 1 ) 其中各系数均大于零。 先来看一下状态反馈对系统( 2 3 1 ) 的影响。令一k l x ，u ：= k 2 y ，则反馈后 的系统化为 仁：掣f i x 一- 肮r a y 一- 秽k 2 z y 一量1 工 ( 2 ，2 ) 系统存在如下的平衡点 r o ( 0 ，o l r 。0 + ，y ) 其中， x 2 瓤最也一，卜2 专工+ 明显的，系统( 2 3 2 ) 的线性化矩阵与系统( 2 2 1 ) 的线性化矩阵类似。 故易求出： 至苎苎! 堡主：堡垒 堑三童墨查鳖苎塑兰堂堂垡型查些些垫查墨箜! 塑垫查笪些 删= 一万矗一屹：如 ) 乖巾毛孝纛 协，卅 则可得如下结论： 定理2 4 当k 1k ：的关系分别如下时，系统的平衡点分别如下： ( 1 ) 当局 竽i 一，时，系统( 2 3 2 ) 在月+ u 勰+ 上只存在唯一的非负平衡点 r o ( 0 ，0 ) ，且它是稳定的结点。 ( 2 l 当盔 0 , y o ，b d r + = g ，y ) lx = o 或y ：o ) 。 证明 ( 1 l 当七。 l ! 一，时，显然，在r + u 6 积+ 上，只有1 个平衡点 航+ 凡 r o ( o ，0 ) ，并且由( 2 3 3 ) 知，a ( 0 ，o ) 的特征值 o ，厶 0 ，r o ( 0 ，o ) 为稳定的结点。 ( 2 ) 当k i 妥一r 成立时，一( 0 ，o ) 的特征值丑，如满足， 五+ 五= p + r 2 + 南+ j i 2 ) o 如= ( ，+ 后。x r 2 + 七2 ) 一q 口 0 n + 此时，爿g ，y + ) 特征值 ，如满足， + ：，+ ，一，2 一屯一? 生 卫2 r r 2f 望r 2 一r 时 j m 哪景( 警一，卜 z 帆l j r j g ，y + ) 其中， 系统( 2 4 1 ) 在r + u b d r + 上不存在非负的平衡点。 系统( 2 4 1 ) 在五+ u b d r + 上存在唯的非负平衡点 x + ：土f 望一，b ：曼。 2 r l l 屹j ” 吃 觏+ 0 时的捕获系统 此时，系统( 2 3 5 ) 变为： 一1 7 。 煎鉴学硕士学墼 第二章具有年龄结构单种群模型在线性状态反馈下的动态特性 f i ；a y 一艘r x 2 1 岁= 肛一，2 y - u 2 可以应用上述的结论，得到： ( 1 ) 当矿蔷( 卜翁时，系统趔慨平黼 ( 2 4 2 ) 即，这个系 统小稽合现买情况，悬卜日g 仕扰头甲长期仔茌阴。 ( 2 ) 当“z = 茜【r 一罟) 时，系统在r + u 凇+ 上存在唯一的非负平衡点 蜀b + ) 。鼽工+ 。击【詈- r ) ，y 。丢晦也) 通过计算我们知道， 此平衡点为非双曲平衡点。 ( 3 ) 当满肋zc 蔷( ，- 警卜系统础+ u 凇+ 上存在两爪非负平衡点 足b + ，y ) ，r z 仁，歹) 其中， z 2 击降卜压卜一丢虹吧) ； i 。玄( 警一r + 抠) ，罗2 孝c 厣叫z ，n ( 卜警) 一等 通过计算容易得出，置b ，y + ) 为鞍点，r z 慨歹) 为稳定的结点。 二当“1 o , u 2 = 0 时的捕获系统 相似的我们也可以考虑当，o , u ：一0 时模型的性态，这里就不再给出详细 的讨论。只给出一个结论： 此时，对幼体的收获蓟，；击( 警吖) 是系统的一个静杰分支点，当收获 2 5 本章小结 由上述结论可以看出，在对模型( 2 1 1 ) 加入控制项之后，模型的性质可能会 发生改变。改变主要表现在平衡点位置的变更，以及数目的改变。只要我们选择 合适的捕获策略，系统则可能持续生存。由此可见，若外界的环境不发生改变， 捕捞者可以长期地进行定量收获，同时可以保证收获模型的长期存在。 1 8 东北大学硕士学位论文 第三章具有年龄结构的单种群模型的捕获优化问题 第三章具有年龄结构的单种群模型的捕 获优化问题 3 1 模型的定性分析 在上一章中，我们考虑了具有年龄结构的单种群模型在线性状态反馈和常数 控制下的性态在本章中，我们将考虑对具有年龄结构的单种群生物资源的开发问 题进行研究。在实际生活中，人们对生物资源进行开发和利用，以获取经济利益。 我们假设对种群的捕获量与捕获努力量成正比。这时，捕获模型如下： 2 2 缈一埘一l 及( 3 ，1 1 ) f 夕= 犀一吒y 一矽 、。 其中，e 是对幼年种群的单位捕获努力量，h 是对成年种群的单位捕获努力量。 而事实上，在实际生活中，幼年种群和成年种群往往是生活在同一个环境下的， 因此如果对幼年种群和成年种群同时进行捕获。假设投入的单位捕获努力量为 e ，则对幼年种群和成年种群的单位捕获量与单位捕获努力量成正比，与种群密 度成正比，且正比例系数分别为孙叮：因此，我们考虑如下模型： j 垆a y 一搿一r x - g l e x( 3 1 2 ) 【岁= 肛一r 2 y 9 2 母 、 下面，我们就对这个模型进行研究，给出相应的捕获策略。 由于这h g 型是对具年龄结构的单种群模型加入了控制项，只有保证种群本 身可以持续生存，那么加入捕获项以后模型才有可能持续存在。因此在本章中， 我们总是在满足条件( 1 ) 的情况下讨论问题。 条件( 1 ) ：筇 r r 2 求模型f 3 1 2 ) 的平衡点既是求方程组： 掣一掰一班2 一q l e x = 0 【风一r 2 y q 2 缈= 0 由上述方程组可得到系统0 1 2 ) 的两个平衡点分别为( o ，0 1 0 。，m ) 。其中， 1 9 东北大学硕士学位论文 第三章具有年龄结构的单种群模型的捕获优化问题 矿瓤景- r - q t e 卜丢赤接一叫 为了保证系统( 3 1 2 ) 有正平衡点，则要求二堡i ，+ 口，e ，即 够，( r 2 + q 2 e ) ( r + q i e ) 考虑到模型( 3 1 2 ) 的生态学，经济学含义，我们在区域d 内讨论问题。 d 一缸，y ) l x = o , y = 0 ) 模型( 3 1 2 ) 在( 0 ，o ) 处的j a c o b i 矩阵为： ，( 0 ，。) = ( 一7q 1 e 一屯：口：e ) 则 l j ( o ，0 】；( ，+ q , e x 屯+ g ：e ) 一q 卢 由前面的假设知，当筇，( ，2 + 曰：e x r + q 1 e ) 时，有l j ( o ，0 】c0 。由文献知，( 0 , 0 ) 是系统( 3 1 2 ) 的鞍点。 定理3 1 当士，1 ，模型( 3 1 2 ) 存在唯一的正平衡点扛。，y ，) ， 9 1 也+ r 口2 e + r 2 且为稳定的结点。 证明 由( 3 1 2 ) 右端的代数方程组有唯一的非零解k ，y ，) ，故当 竺 壁 1 q 1 e + ，q 2 e + r 2 时，模型( 3 1 2 ) 存在唯一的正平衡点。 模型( 3 1 2 ) 在g 。，y 。) 处的j a c o b i 矩阵设为4 ： ) = ( 一q 告却1 一_ ：俨) 由定理条件知 l aj = p b ，y ，】= r + g ，e + 2 w e 。x r 2 + q ：e ) 一筇 = q 卢一( r + g ，e x r 2 + q z e ) t r a = 一r q l e 一2 r l x l 一1 2 一q 2 e 0 2 0 东北大学硕士学位论文 第三章具有年龄结构的单种群模型的捕获优化问题 a = ) 2 - 4 a i = ( r + q l e + r 2 + q 2 e ) 2 + 羔c 羔一叫 “1 _ 1 l 、，1 十“1 dj 同理，由文献【2 0 】知，g 。，y 。) 是稳定的结点。 证毕。 不难验算得到，当i 詈再，瓦考专 0 矿。业d + 里i d“av 崭f _ 趔( r + q 2 e ) 一 i“ ( 掣如删 一趔( r 2 + 鼋：e ) 一卵，o “ 幽一( ，2 + q 2 e ) p + q 。e + ) 一彬一( ，2 + q 。e ) 。o “ 故矿 l 时，平衡点g ，幽) 是渐近稳定的。 证毕。 由定理3 2 知，当捕获努力量e 满足! 兰i 生二 1 时，种群是不会因 ，+ q l 也吒+ q x 5 为开发而灭绝的。而是最终在平衡点g 。，珀) 处达到生物经济平衡即在开放式渔业 开发中不会出现周期振荡，模型将最终趋于平衡态。 3 2 捕获策略 在现实生活中，人类对生物资源的开发和利用，绝大多数是由生物资源的经 济价值所决定的。有时，因为某些种群的幼体经济价值高，人们往往只对幼体的 捕获利用感兴趣，而有时候，某些种群的成体经济价值偏商，所以人们只对成体 的捕获利用感兴趣。下面，我们就针对这两种不同的情况进行讨论。 3 2 1 对种群幼体进行捕获 当仅对幼体进行捕获时，q ：= o ，模型( 3 1 2 ) 变为： 2 = o 。y - r x - r l x 2 g l 段嗽1 ) i ，l - l 岁= 肛一屹y p 7 由上一节的讨论容易得到如下推论。 推论3 3 当满足q a e 望一，时，种群会因过度开发而灭绝。 k 证明从略。 ，2 3 趔。 、j e 2 g + k rl 0 = 心0 查苎查兰塑主芏堡笙圭 茎三主墨查苎茎塑堕兰翌壁壅垄塑塑茎垡垡塑壁 若捕获以最大可持续均衡收获为管理目标，则相应于捕获努力量e 的均衡收 获函数为： y 阶啦e = q , e l 叼( a 屯f t - r 咱刁 下面求y ) 的最大值。 令l ，国) = o ，则解得 e + = ( 筇一) 为最优捕获努力量。 相应的最优种群密度为： 驴去( 筇刊峨4 砉( 筇一n ) 最大可持续均衡收获为： = 譬 数值仿真： 给出如下系统： 一= 2 y 一0 s x o 2 x 2 一e x 1 _ 】) = 0 6 x 一0 1 y 由上可以给出如下结论： 当ec 1 1 2 时，系统存在正平衡点( 5 ( 1 1 2 一e x 3 0 x ( 1 1 2 一e ) ) ，且为稳定的 结点如下图( 3 1 ) 当e ，1 1 2 时，种群会灭绝如下图( 3 2 ) 2 4 东北大学硕士学位论文第三章具有年龄结构的单种群模型的捕获优化问题 图3 1e 1 1 2 3 2 2 对种群成体进行捕获 当我们只对成年种群进行捕获时，系统( 3 1 2 ) 中的系数满足吼= 0 系统 0 1 2 ) 可化为如下形式： i j = 掣一聊一r x 2 l 夕= 肛一r 2 y q 2 e y 由上一节中的讨论可以得出如下推论： - 2 5 ( 3 2 2 ) 蔓苎查茎塑主堂堡垒查一 垒三皇墨查竺苎塑竺兰翌塑型堕塑壅垡些旦丝 推论3 4 当满足q ：层c 譬一r 2 时，系统( 3 2 2 ) 存在唯一的正平衡点，且是 黜坼；) 谢五文羔小；_ 1 南( 羔一r ) 当满足q 2 e 盟r 一，2 时，种群会因为过度开发而灭绝。 证明从略。 捕获以最大可持续均衡收获为管理目标，则相应于捕获努力量e 的均衡收获 函数为： 喇驴1 叩q + z f l e l ( + c t f l r 2 q 2 p sr 2q ：e 一- ，) 叩 + i+2j 下面求y 伍) 的最大值。 对y 进行求导得到： 筹2 鲁南”柏2 2 e - ( r 2 + q 2 e ” 令警- 0 ，褊 主：至一( a f t - r r 2 ) q 2 ( 邵+ r r 2j 相应的最优种群密度为： 三c 啦- - r r 2 ，y ：鲤二曼x 丝竺1 2 砚4 a r r 2 最大可持续均衡收获为： 吧访茅 3 2 3 同时对种群两阶段进行收获 在上述的讨论中，我们假设只有种群的某一阶段的个体具有经济价值，因此 只收获某一阶段的种群。而有时候，种群的两个阶段可能都具有经济价值。因此， 我们考虑同时对两阶段种群进行捕获。此时，对于系统( 3 1 2 ) ，当满足定理3 2 的条件时，存在一个唯一正定的平衡点，且是稳定的结点。我们若以最大捕获量 2 6 东北大学硕士学位论文第三章具有年龄结构的单种群模型的捕获优化问题 为管理目标，则目标函数为： 】，怛) = q j e x + q 2 e y = 引a f t ：也_ r _ q l e + 南警( 景一啦) 现在我们要选取合适的e ，使得y ( e ) 取最大值。 通过计算我们知道： 坐：!f-20tfl2q2e+flcl2(aft-ctqle+rq2e+qlq2e2)+aflq,-：rq2-2 d e 玎l ( + 9 2 e ) 3 ( 吃+ q 2 e ) 2 忆+ q 2 e j 我们知道 堡k ；! f 望+ g f l q l - f l r q 21 面b 0 2 万1 1 + f j ：三丝丝二兰! 丝l 垒 刁 屹2 由于系统满足条件【1 j ，l 划此我们知逼 面d y b o 积“ 而同时我们知道， d y f ，。斗 0 以5 4 ”一、 而g 是关于e 的连续可微函数，由零点原理知，必存在e 【0 ，+ 。) ，使得 盯也 堡i ：o d e i e = e u 下面来证占的唯一性。即有且只有一个e ( o ，十m 】使得罢= o 姿= l i d e 型等者丝+ 坐鬟严丝嘲。刁 2 以+ g ：e ) 4 ( r 2 + g ：e ) 3j 由于系统满足条件( 1 ) ，故有，2 一筇 o ，从 a 咖伺万d 2 y 。从而得到，芸在 【o ，+ 。0 ) 上单调递减，所以说，存在唯一的e + 【0 ，+ m ) ，使得面d yi 。= o 其中e +