（运筹学与控制论专业论文）二阶锥约束二次规划逆问题的光滑牛顿法.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 在某些情况下，尽管建立了规划模型，但目标函数中决策变量的参数很难精确给定， 如果根据经验或实验，能得到所需的最优解，我们希望运用这些已知的信息尽可能小的 调整参数，以获得满意的结果，这样的问题就是规划逆问题。最优化逆问题在各个领域 具有广泛的应用价值，因此近年来它逐渐成为了国内外学者们研究的热点。但是除了线 性规划逆问题外，很少有学者对连续规划逆问题进行深入地研究。鉴于此原因，本文作 者考虑了二阶锥约束二次规划的逆问题，采用光滑牛顿法对其对偶问题的k k t 系统进 行了求解。给出了光滑牛顿法的理论分析，包括全局收敛性和局部收敛速度的分析。并 编制m a t l a b 程序对二阶锥约束二次规划逆问题进行求解。 本文所取得的主要结果可以概括如下： 1 、第2 章给出了一些在本文收敛性分析中需要用到的有关于非光滑分析的预备知 识。 2 、利用参考文献【1 】中的结果，第3 章给出了二阶锥约束二次规划逆问题及其对偶问 题的表达式，建立了其对偶问题的厂t 系统。 3 、第4 章采用光滑牛顿法对订系统进行求解。 4 、第5 章证明第4 章的算法具有全局收敛性和局部二次收敛速度。 5 、第6 章对第4 章的算法进行了一系列的数值试验，验证算法的有效性。 性 关键词：二次规划；二阶锥约束；逆问题；光滑牛顿法；全局收敛性；局部二次收敛 二阶锥约束二次规划的逆问题的光滑牛顿法 a s m o o t h i n g n e 叭o nm e t h o df o rat y p eo fi n v e r s eq u a d r a t i c p r o g r 锄m i n gp r o b l e m sw i t hs e c o n do r d e rc o n ec o n s t r a i n t a b s t r a c t i i lp r a c t i c e ，w eo r e ne n c o u n t e rm es i 仉a t i o n si nw h i c hi ti sd i 箭c l l l tt og i v en l ep r e c i s e p a r 跚e t e r sa s s o c i a t e d 谢廿1d e c i s i o nv a r i a b l e si 1 1 缸l eo b j e c t i v ef u n c t i o n ，e v e nt h ep r o 伊a m m i n g m o d e lh a sb e e ne s t a b l i s h e di nac l e a rf 0 咖u l a t i o n ，w h e r e a s 、ec a i lf i n dm eo p t i m a ls o l u t i o n b ye x p e r i e n c eo re ) 【p e 血n e n t s ，w eh o p et og e ts a t i s f a c t o 巧r e s u l s tb ya 由u s t i n gt l l ep a r a m e t e r s a sl i t t l ea sp o s s i b l e 1 l l i si sj u s tas o - c a l l e di n v e r s ep r o b l e m a s 吐l eo p 血n i z 撕o ni n v e r s e p r o b l e m sh a v e丽d e 印p l i c a t i o n s i nm a n yf i e l d s ，i t 髓l d l l a l l ya t t r a c t st h ea 仕e n t i o i l s 丘d m s c h o l a r si i lr e c e n ty e a r s 。b u tf o rc o n t i n u o u so p t i m i z a t i o n ，e x c e p tf o ri 血e a rp r o 黟a m m i n g ，w e d on o ts e em u c hd e e ps t u d yo nt h e i ri i e r s ep r o b l e m s t t l e 】r e f o r e ，o u rc o n c e mi sa 1 1i i e r s e q u a d r a t i cp r o 野觚吼i n gp r o b l e m 、) l ，i ms e c o n do r d e rc o n ec o n s t r a i n t ，w h i c h i sas p e c i f i c i n 、，e r s ep r o b l e m 证c o n t i m l o u so p t i i i l i 2 眦i o n u s i n gt h es m o o 也i n gn e 、t o nm e m o d ，t 1 1 i sp 印e r s o l v e s 廿1 ek k ts y s t e mo ft 1 1 ed l l a lp r o b l e mo ft 1 1 ei n v e r s eq m 【d r a t i cp r 0 铲a 瑚m i n gp r o b l e m w i t hs e c o n do r d e rc o n ec o n s n 证n t ng i v e st 王1 et h e o r e t i ca i l a l y s i so ft l l es m o o t h i n gn e w t o n m e m o d ，i i l c l u 幽喀m e酉o b 甜c o n v e r g e n c ea i l d l o c 翻 c o n v e 玛e n c er a t e f u r t l l e n n o r e ， n 啪e r i c a le x p e r i m e n t sa r er e p o r t e dt os h o wt h a tm es m o o m i n gn e 、矾o nm e m o di se 行i e c t i v e f o rs o l v i n g 也et y p eo fi n v e r s eq u a m 嘶cp r 0 铲删n gp r o b l e m s t h em a 谴r e s u l t si i l 吐l i s p 印e rc a nb eg e n e r a l i z e da sf o l l o w ： 1 c h a p t e r2i i l 仃o d u c e ss o n l er e s u l t s6 - o mn 0 i l s m o o t l la i l a l y s i s 、m c hs h a l lb eu s e di no u r c o n v e r g e n c e 觚a l y s i s 2 u s 血gt l l er e s u l t s 五的mt h er e f e r e n c e 【1 1 ，c h 印t e r3d e r i v e st l l ee x p r e s s i o n so fm ei n v e r s e a l l dd u a lf 0 珊o f 也eq u a d r a t i cp r 0 铲a i 】= u 1 1 i n gp r o b l e mw “hs e c o n do r d e rc o n ec o i l s 锄， a n de s t a b l i s h e st 1 1 ek k t s y s t e mo ft h ed u a lp r o b l e m 3 i l lc h a p t e r4 ，as m o o 衄n gn e w t o nm e m o di ss u g g e s t e df o rs o l v i n gm es m o o 缸l i n g 汀 s y s t e m 4 c h 印t e r5s h o w st 1 1 a tt h ea l g o r i t h mi i lc h a m e r4 h a sg l o b a lc o n v e 玛e n c ea 1 1 dm eq 珑u 扛a t i c c o n v e r g e n c er a t e 5 c h a p t e r6r 印o n sn 啪e r i c a le x p e r i m e m st 0v e r i 母吐l ee f f e c t i v e n e s so fm ep r o p o s e d m e 喧b o d k e yw o r d s ： q l l a d r a t i cp r o 铲a 玎：1 i 】1 i i l gp r o b l e m ；s e c o n do r d e rc o n ec o n s 臼面m ；i i e r s e p r o b l e m ；s m o o t t l i n gn e w t o nm e t l l o d ；g l o b a lc o n v e 略e n c e ；l o c a lq u a d r a t i cc o n v e r g e n c e i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：奎延硷一日期：旌丛：厶：坚 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定 ，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：查廷趁 导师签名：维组 大连理工大学硕士学位论文 1绪论 本章首先介绍了逆问题的发展及现状，然后介绍了本文的研究背景和所取得的主 要成果。 1 1 逆问题的发展及现状 逆问题有其广泛深厚的应用价值。比如在国民经济宏观调控的线性规划数学模型 中，如果人们期望实现某种经济效益( 如国民经济增长速度或生产总值等) ，如何适当 地调整现有的各种费率，已达到我们目的，且从国民境界稳定发展的角度，自然要求调 整的各种费率如银行利率、政府税率等要有尽可能小的改变量。这正是典型的线性规划 逆问题的一个运用。 一般的说，逆问题就是：在某些隋况下，尽管建立了规划模型，但目标函数中决策 变量的参数很难精确给定，如果根据经验或实验，能得到所需要的最优解，我们希望运 用这些已知的信息尽可能小的调整参数，以获得满意的结果。 1 9 8 7 年，地球物理学家t 娥m t 0 1 a 就研究过地球物理学根据参数的逆问题，开了研 究逆问题的先河。 1 9 9 2 年，d b u n o n 和p h l t o 缸首次把逆问题引入到组合优化的研究领域，他们论 述了交通网络中最短路径的逆问题及其算法。在此以后，国内外又有很多学者对此类问 题进行了研究。 2 0 0 0 年，a h u i a 和o r l 证研究最优值的逆问题，他们提出： ( 1 ) 如果最优值原问题( p ) 是多项式可解的，并且目标函数是线性成本函数，那 么标准的最优解逆问题在范数下也是多项式可解的。 ( 2 ) 如果原问题( p ) 是最小成本流程问题，那么它的逆问题在范数和单位权的情 况下简化为解决单位容量最小成本流程问题。若在没有单位权的情况下则简化为解决最 小成本流程问题。 2 0 0 3 年，j i a n z h o n gz h a n g 对最优值最佳匹配问题进行研究，并提出了逆问题在范 数下也是多项式可解的。 但是，除了线性规划逆问题外，目前我们很少看到有对连续优化逆问题进行深入研 究的文章。而随着社会的发展，对连续的非线性规划逆问题的研究将成为发展的趋势， 具有很大的应用价值。 2 0 0 5 年，j i a l l z i l o n ga 1 1 dl i w e iz h a n g 用增广l a 铲a n g 方法对一类二次规划你问题的 对偶问题进行了求解，理论上证明了该对偶问题的增广l a 戳l g e 方法具有全局收敛性 二阶锥约束二次规划的逆闯题的光滑牛顿法 的，而且，也证明了光滑牛顿法配a 蕊季。线搜索在解决增广l a 酗l g e 方法子问题时是 具有全局收敛性和局部二次收敛速率的，并进行了相应的数值试验。 1 2 本文的研究背景及取得的主要结果 本文考虑如下问题 ( p )卿似) 酝+ c x 。( 1 1 ) s j g ，( x ) = 么7 x + 6 q 卅，+ l _ ，= 1 ，2 ， 其中，g s ”，c r ”，么，r ”，+ 1 细，6 ，酞一。，= 1 ， 二阶锥约束二次规划( p ) 的逆问题就是 给定一个是问题( p ) 的最优解的可行点x o 和对( g ，c ) r ”的近似估计 ( g o ，) 贮r ”，寻找( g ，c ) 科满足 曲锄g _ g d h 。f f 2 ( i p ) 一 x 。姚( 尸) 。( 1 2 ) ( g ，c ) 群r ” 我们所研究的逆问题( 1 2 ) 经过整理后是一个二次目标函数的锥约束优化问题，当 l a l 维数，z 较大时，目标函数的规模可达到，z ( ，? + 1 ) 2 + ，2 + 蚓+ ( + 1 ) ，所以我们并不直 接解决该逆问题，而是求解其对偶问题。我们发现对偶问题不但有较小的规模，而且它 是一个半光滑可微的凸规划问题，可行集为一个多面体锥，研究起来更简便一些。 本文主要是通过光滑牛顿法来解该对偶问题的系统，即解出该对偶问题，进而解出 原来问题的逆问题。 本文取得的主要结果可以概括如下： 1 、第2 章给出了一些基本公式以及在收敛性分析中需要用到的有关于非光滑分析的预 备知识。 2 、第3 章给出了二阶锥约束二次规划逆问题( 1 2 ) 及其对偶问题的一般表达式，建立 了其对偶问题的k k t 系统，该汀系统是一个非光滑的方程组，实际上它是一个 半光滑方程组。 大连理工大学硕士学位论文 3 、第4 章采用光滑牛顿法对二阶锥约束二次规划逆问题对偶问题的k k t 系统进行求 解，通过引进三个光滑化函数将该k k t 系统转化为一个光滑方程组，然后构造辅助 函数，设计出求解二阶锥约束二次规划逆问题的光滑牛顿算法。 4 、第5 章对第4 章的算法进行了一系列的理论证明，结果表明该算法具有很好的收敛 性质，不仅具有全局收敛性，而且还具有局部二次收敛速度。 5 、第6 章对第4 章的算法进行了一系列的数值试验，将该算法运用于二阶锥约束二次 规划逆问题甚至是大规模二阶锥约束二次规划逆问题上，数值结果都表明了该算法 是非常有效的。 大连理工大学硕士学位论文 2 预备知识 本章给出了一系列本文所要用到的基本公式以及在收敛性分析中需要用到的有关 于非光滑分析的预备知识。 2 1基本概念和基本公式 酞埘+ 1 中的二阶锥定义如下： 绒：= f s = ( ，f ) r 酞“：陋0 二阶锥是一自对偶的闭凸锥 v “。v r 州，与二阶锥相对应的j o r d a n 乘法“o 定义如下 砧。v = ( “r v ，l o 可十v o - ) s 0 表示s 级+ 17 i n t q + 。为姨+ ，所有内点组成的集合。 6 蛾+ 。为绋+ ，的边界。 q 为- 厂个二阶锥的卡氏积，q = + 。q ：+ 。“ g ( x ) = ( g l ( x ) ，9 2 ( x ) ，幻( 工) )g o ) q ，+ l ， ，= 1 ，2 ， 对于任意的向量s q + l ，定义其平方根向量如下： 石刈，寺) d = ( + 2 制1 2 ) 2 其中对于任意的向量戈，范数定义如下：= x k 。 肝能肭参吆“雠孵扣舣虾一2 寿，司。 给定一个矩阵x ，则存在一个正交矩阵p ，使得 x = p 艘r ( 2 1 ) 其中a ：= 砒曙( a ，九) ，九( 汪l ，z ) 是x 的特征值，尸是由它们相应的特征向量所组 成的正交矩阵。 对于任意的矩阵么，定义其范数如下： ， 行 疗 ，、7 广- - - 一 f 一l ml _ 阮p ( 彳7 彳) 二阶锥约束二次规划的逆问题的光滑牛顿法 对于任意的x 熨，定义其平方根矩阵如下： y = p 人p 7 其中压：= 纰( 压，压) 。 对于任意的x s ”，定义其绝对值矩阵如下： 1 - x 2 对于任何x ，定义x 到墨上的半定投影矩阵函数n 豇) ：s 一鼠如下： n 叉( 彳) - a r g n l i n i i x y 旺l y 墨 对于任何x ，定义其l y a p u l l o v 算子。如下： 工y ( 功= 耵+ ， v 】，s 爿是它的逆( 如果存在) 对于任何4 ，b r “”，定义其f r o b e l l i u s 内积如下： 么b ：= 乃馏c p ( 彳，占) 定义映射w c ：酞一兮r 一2 如下： w c ( 么) = ( 口1 1 ，呸1 ，1 ，q 2 ，口2 2 ，q 2 ，2 ，口棚) 。 则 “b = 他c ( 么) 7 ，p c ( 召) 对于任何矩阵4 和露，定义其h a d a m a 以积为么ob ，即： 似。b ) = 以岛， v f ， 2 2 半光滑性及相关定理 令x 与y 是两个向量赋范空间，考虑映射f ：x _ y 定义2 2 1 称尸在x x 处沿方向磊x 是方向可微的，若极限 耿啪) ：= 船塑竿盟 存在。若f 在工处沿每一个方向乃x 都是方向可微的，则称尸在x 处是方向可微的。 定义2 2 2 称尸在工处是严可微的，若尸在z 处是方向可微的且 f ( z + 矗) = f ) + f ( x ，磊) + d ( j | | ；2 1 ) ， 向x 大连理工大学硕士学位论文 为了设计高阶收敛牛顿方法，我们需要知道半光滑的概念。半光滑性最先是由 m i f f l i n 引入到函数中去的，而后又被q i 和s u n 拓展到向量值函数中。令j 和y 是两个 有限维的实向量空间，口是z 中的一个开集，：d z y 是开集d 上的一个局部 l i p s c h i t z 连续函数，则由r a d e m c h e r 定理可知，尸在口上几乎处处严可微。令取表 示尸在口上p 可微的点集，则尸在点x d 处的伊微分定义为： 钆f ( x ) ：= ! 觋肛( 矿) p 珥，x 七x 其中历( ) 表示尸在处的j a c o b i 阵。，在z 处的c 1 a r k e 广义j a c o b i 阵就是a 口f 0 ) 的凸包，也就是 a f ( x ) = c d 疗v a b f ( x ) 定义2 2 3 令f ：d x 斗y 是开集p 上的一个局部l i p s c h i t z 连续函数。我们说尸在 点x d 处是半光滑的，如果 ( 1 ) 尸在点z 处是方向可微的； ( 2 ) 对于任意的x x 和任意的y 卵0 + z ) ，当x 专0 时，有 f ( x + x ) 一f ( x ) 一y ( 力= d ( 0 x 9 ) ( 2 2 ) 更进一步，说尸在点x d 处是强半光滑的，如果尸在点x d 处是半光滑的且对任意的 x 工和任意的矿卵 + x ) ，当x o 时，有 ，( x + x ) 一，( 功一y ( x ) = d ( 0 x 0 ) ( 2 3 ) 定理2 2 4 半定投影矩阵函数。( ) 在s 上是强半光滑的。 引理2 2 5 令函数，：x y 在i x 的一个开邻域p 上连续可微的，函数 由：q y 专彳在包含歹- 罗( 习的开集q 上是局部l i p s c h i t z 连续的，其中x 是一个 有限维的实向量空间。设在d y 上的每一点都是方向可微的，则 a b ( 。d ( i ) 互丸中( 歹) 河( 习 ( 2 4 ) 而且，如果映射肛( i ) ：x y 是满的，则 丸( 。f ) ( 习= 良( 歹) 腰( 习 ( 2 5 ) 引理2 2 6 令函数f ：x 岭丫在一个开邻域口上是连续可微的，函数：x 兮x 在口上 是局部l i p s c h i t z 连续的，其中x 是一个有限维的实向量空间。甲：x 专y 定义如下： 甲( x ) ：= f ( x ) o ( x ) 兰f ( x ) ( x ) ， x z( 2 6 ) 其中y 是一个有限维的实向量空间，“”是从y x 。到y 上的双线性算子。则对于任 意的x d ，x x ，有 二阶锥约束二次规划的逆问题的光滑牛顿法 a 口甲( z ) ( x ) = 。无f ( x ) ( x ) ( x ) + f ( x ) a 零( z ) ( x ) ( 2 7 ) 定理2 2 7 对于任何c 墨+ ，当形s 足够小时，有 ( c 2 + 形) 经一c = 军( 形) + d ( 1 i 形1 1 ) ( 2 8 ) 定理2 2 8 如果对于任何矿a 占f ( 功都是非奇异的，那么存在z 的一个邻域和一个常 数c ，使得对于任何y 和形a 口f ( 力，是非奇异的，且有 旷怿 2 3 ( s ，x ) 的强半光滑i ：生 对任意的( s ，x ) 瓞s ，记 m ( s ，x ) ：后再万 这一节我们将要证明( s ，x ) 的强半光滑性。首先，定义一个广义矩阵函数 ，：s ( 惕，) 一s 。然后我们引入下面的定理： 定理2 3 1 若f ：s ( 强，) _ s 在j 的一个邻域里是局部l i p s c h i t z 连续的，并且是 方向可微的，则尸在j 处是强半光滑的当且仅当，对任意的彳+ 日d 。，有 f ( x + 日) 一f ( x ) 一历( x + 日) ( 日) = d ( 0 日1 1 2 ) ( 2 9 ) 如果我们把看成是从s ( 1 ，刀) 到s 兰s ( 珂) 的函数，则我们要证明是强半光滑的只需 证明满足( 2 9 ) 即可，因此我们首先要先找出的可微点集。以下我们证明在 ( g ，x ) r s 处可微当且仅当s 2 ，+ x 2 是非奇异的。 设j 的谱分解如( 2 1 ) 所示，定义关于j 特征值的三个指标集如下： a ：= f ：九 o ，卢= f ：丑= o ) ，y ：= f ： ( x o ) = i 口l + l 卢 + 1 ，) c = ( l + l ，+ 纠) r r 悔胁，c = ( c l ，c 2 c 。) ，c ，是c 的第列，扛l ，2 ，艘 二阶锥约束二次规划的逆l 司题的光滑牛顿法 ( 3 1 ) 等价于 ( i p ) n u n s i 扣刮2 + 卜。| | 2 ) 。+ c 一兰乃一c 。：o ( 3 2 ) j 皇l ( g ，c ，m ，堆，) 霹群x 戤q 。+ l i n t f + 。x 匙i 上述问题的维数为门 + 1 ) 2 + 玎+ 蚓+ ( + 1 ) 维，当力很大时，上述问题的计算 ，l l 量很大，故我们来求其对偶问题。 首先，我们来介绍一个有限维的赋范线性空间丫 设y = s ”r ”+ ，+ 。i + 。r 虬其中的内积定义为 k l ( ( g 1 ，纠，碓| ，仃1 ) ，( g 2 ，c 2 ，砰，瑶f ，仃2 ) ) = 胁卯( g r g 2 ) + c ，c 2 + 芝圬+ 仃，口2 ( g 。，c ，爿，九l ，莎。) y ，江l ，2 诱导范数定义为 ( g ，c ，朔，i ，仃) = 其中，( g ，c ，乃，l ，仃) y 定义一个线性算子三：y 专r ”如下 三( g ，g 儿，l ，仃) = ( ( 互，( g ，c ，咒，l ，叮) ) ，( 三。，( g ，c ，m ，l ，仃) ) ) r 其中，( g ，c ，乃，儿i ，仃) y 三，：( 掣，一分一铂，- c ；) 江1 2 ，刀 其中，彳；为彳j 的第，行元素，p 。表示单位矩阵的第f 列。 那么，问题( 3 2 ) 可以化为 大连理工大学硕士学位论文 i m i i l吾 g g 。f f 2 + 肛一c 。0 2 ( i p ) 置( g ，c ，m ，l ，仃) = o ( 3 3 ) is j 【( g ，c ，乃，l ，仃) k ：= 掣础i n t 绋l + 1 i n t j + l r 粤 命题3 1 1 ： 问题( 3 2 ) ( 或问题( 3 3 ) ) 的广义s l a t e r 条件成立，即 量：y 一斛是映上的，且存在( g ，舀，只，礼l ，彦) 硫k ，满足 互( g ，只，礼f ，矛) = o 证明：三：丫一酞”显然是映上的。 设g = 厶， 彦= 1 矧，只2 ( 1 ，o ，o ) i n t 绒，+ 1 e 为4 的第j 行元素，= 1 ，i a l ，岫= ( 1 ，1 ，1 ) 丁r 渊 则( 0 ，6 ，只，霸口l ，彦) i n t k ，且巨( 6 ，5 ，只，礼f ，矛) = o 口 下面，我们推导问题( i p ) 的对偶问题 定义问题( i p ) 的l a g r a n g e 函数三：y r ”一r 三( ( g ，c ，咒，托j ，仃) ，z ) = 毒0 g g 。0 2 + 专肛一c 。j 1 2 + ( z ，互( g ，c ，乃，j ，盯) ) 其中，( g ，g 乃，儿l ，仃) l z r 一 则( i p ) 的对偶问题 霉y ( 2 ) _ ( g 矗麓一) 三“g ，c ，m ，嘶，力 ( 3 4 引理3 2 1( 3 4 ) 中所定义的函数y ( z ) 可以表示为以下形式 y ：h 泖z 一扣掣( 弓牡妒b 若c k o ，- 4 z 瓯，“( 3 5 ) 【 埘 否则 这里否= g o 一掣。 证明：从，( z ) 的定义，我们有 o x一 卢 d r c+ 眵 h 同 = - c 二阶锥约束二次规划的逆问题的光滑牛顿法 啡) = 。，飘一瑚一。1 1 2 + 九+ 扣- g o 卧z 7 馓。刁如一 蚓 j 1 1 矛筏y j 、 ：( g 氍删 割c c 。f | 2 + 九+ 割g g 。睡+ z r 酝。 q o ，一4 乃+ ，歹= l ，h l 硼 否则 墼g 三o c fo f | 2 + z 7 c ) + 量圭o g g o l | ：+ z ，g k 。 因为无约束二次规划问题 在c = c o z 卿排i i m n l i c c 。i c 7 i + z7 c o ，一巧乃小= 1 ，l a i ( 3 6 ) 处取得最小值，因此，我们有 磐咖训2 + z 。) - _ 扣h 。7 z 当g 1 ，g 2 时，定义它们的内积( ，) 如下： ( g 1 ，g 2 ) ：= m 钟( g 1 7 g 2 ) 所以由表达式 缓 弘一g 。z r 研。 制牡脚 嚣矿+ 茗o z 7 2 8 2 0 + z r 酝o 岵 = 拦t 扣一召卧 _ | | 一1 4 2 + z r 馓o 2 大连理工大学硕士学位论文 我们知道它的最小值在 g ( z ) = n 熨( g ( z ) ) ( 3 7 ) 处取得，所以有 篆 扣一g 。卜托以 = 矧g 却即( ( g o ，c 华州 = 吾( 0 否( z ) 霹( 召( z ) ) 0 ：+ 2 ( g 。，g 。一否( z ) ) 一0 g 。一弓( z ) 0 三) = 吾( | | 召( z ) 一n 霹( 吞。) ) 旺+ 2 8 g 。旺一2 ( g 。，否( z ) ) 一i l g 。眩一0 召( z ) 旺+ 2 ( g 。，否( z ) ) ) = 铡否( 加兀鬈( 反圳h g 。h 阮) d = 一吾0 n 霹( 弓( z ) ) 旺+ 吾i i g 。旺 所以，( z ) 具有( 3 5 ) 所表达的形式。 口 所以问题( 1 2 ) 或( 3 3 ) 的对偶问题为 i m a ) 【 1 ，o ( z ) ( i d ) ： o ( 3 8 ) r 一彳，舱级一= 1 ，制 其中以垆扣h 矿z 一刳n 霹( 召) 卧扣 问题( i d ) 的维数为刀。 下面我们介绍一个线性算子b ：r 一一，定义为b z ，- 掣，则它的伴随算子 b 定义如下： 咖= c - o ，对任意的都成立。 所以对于任意的岔r “都有 孑r ( 一厶一爿尸) ) ( 气一，) 矛o ( 4 ) 7 ( k 一气) 一1 ( 一厶一和) ) 4 气= 孑丁( 一厶一4 ：) ) ( 一厶，) 孑o 其中孑= ( 厶，一丘，1 4 气，对任意的都成立。 由( 4 5 ) 可得 b l1 z 0 + c r d 。1 互+ 4 ( 气一) 。1 ( 乞，一厶一纠) 彳气= 一吉b ( + 磁。，吞( ：) ) ( 岛( 。) ) ) j = i b l1 ( ，+ c 7 d 叫e c + 形一气) 。1 ( 一厶一俐) 4 ) 知= 一寺b ( 。+ 盈：) ) ( 岛( ；) ( 。) ) ) ，= i 一 两边同时左乘右 b 1 菇( ，+ c r d q e c + 衫( 一，) 一( 气一厶一和) ) 4 ) 气 j = l = 一去菇b ( b + k 君( ：) ) ( 岛 ：) ( b ) ) ) ( 4 1 0 ) 菇c7 d - 1 e o o ( 4 毛) r ( k 一乞，) 卅( 一厶一即) ) 4 毛o 所以等式( 4 1 0 ) 左边0 对于等式右边，由伴随算子的定义有 ( b 气+ 磁。万( ：) ) ( ( ：) ( b 白) ) ) = b z o ( b z o + 三未。石( 瑚( 岛( ：) ( b 毛) ) ) 对召0 ) 作谱分解如下：否( z ) = a ：髟 其中人：= 幽昭( 砰，群) 则由引理4 2 2 ，我们有 粤磁。，否( 砌( 岛( b ) ) = 磁小，) ( 三a ：( 髟b 气) ) = q 2 。( 髟。) 其中 q ：= a ；= ( 砰+ 巧) ( s 2 + ( ) 2 + s 2 + ( t ) 2 ) 。 所以 二阶锥约束二次规划的逆问题的光滑牛顿法 b z o + 乓( 硐( ：) ) ( 岛( ：) ( b ) ) = b z o + 罡( q 2 。( 夥瑟。芝) ) 巧 = 只( 巧。只+ q 。( 巧) ) 巧 = 只( 壶2 。( 巧) ) g 其中或：= l + a o 记髟。= 豆，由b s ”，有 ( b + 岳( 。，6 ( ：) ) ( 岛( ：) ( b 气) ) ) = b z 0 ( ( 蠡2 。( 夥) ) 巧) = 乃韶g ( 。2 ( q 2o