（计算数学专业论文）第二类fredholm积分方程的若干数值解法.pdf

籀要 本文研究第二类带光滑核的f r e d h o l m 积分方程的数值逼近解法，提出一种 有效的迭代方法。证明了每一步迭代其线性方程组系数矩阵的逆与原逼近方法是 相同的。但每一步迭代却有超收敛性。并将此迭代方法应用到各种逼近方法中 如退化核方法、g a l e r k i n 方法、配置法和新投影法。进一步还提出了第二类 f r e d h o l m 积分方程的离散多投影法，给出了收敛性分析的理论框架，得到了相 应的离散g a l e r k i n 方法，配置法及其迭代解的超收敛性结果。数值算例说明了理 论的误差估计。 关键词：积分方程，超收敛率，迭代方法，多投影法。 a b s t r a o t i nt h i sr e p o r tw ec o n s i d e rn u m e r i c a la p p r o x i m a t i o nf o rt i l es o l u t i o no ff r e d h o l mi n - t e g r a le q u a t i o n so fs e c o n dk i n dw i t has m o o t hk e i n e l w ep r o p o s ea l le f f i c i e n tr e r a t i o n a k o f i t h mf o rf r e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o n so fs e c o n dk i n d w es h o wt h a tf o re v e r ys t e p o fi t e r a t i o nt h ec o - e f l i c i e n tm a t r i xo ft h e1 i n e a rs y s t e mt ob ei n v e r t e dr e m a i n ss a n l e a si nt h eo r i g i n a la p p r o x i m a t i o nm e t h o d s ，w h i l ew eo b t a i nt h es u p e r c o n v e r g e n c er a t e s f o re v e r ys t e po fi t e r a t i o n w ea p p l yo a ri t e r a t i o nm e t h o d st ov a r i o u sa p p r o x i m a t i o n m e t h o d ss u c ha 8d e g e n e r a t ek e r n e lm e t h o d s ，g a l e r k i n ，c o l l o c a t i o na n db e wp r o j e c t i o n m e t h o d s w ef u r t h e rp r o p o s ed i s c r e t e - m u l t ip r o j e c t i o nm e t h o d sf o rs o l v i n gt h es e c o n d k i n d f r e d h o l m i n t e l p a le q u a t j o n s w e p r o p o s e a t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k f o r a n a l y s i s o f t h e c o n v e r g e n c eo ft h e s em e t h o d st h et h e o r yi st h e na p p l i e dt oe s t a b l i s hs u p e r - c o n v e r g e n c e r e s u l t so ft h ec o r r e s p o n d i n gd i s c r e t eg a l e r k i nm e t h o d ，c o l l o c a t i o nm e t h o da n dt h e i ri t e r - a t e ds o l u t i o n s n u m e r i c a le x a m p l e sa t ep r e s e n t e dt oi l l u s t r a t et h et h e o r e t i c a le s t i m a t e s f o rt h ee r r o ro ft h e s em e t h o ( i s k e y w o r d s ：i n t e g r a le q u a t i o n s is u p e r c o n v e r g e n e er a t e s ，i t e r a t i v em e t h o d s d i s c r e t e - m u l t ip r o j e c t i o nm e t h o d s 2 c h a p t e r1 i t e r a t i o nm e t h o d sf o rt h ef r e d h o l m i n t e g r a le q u a t i o n so fs e c o n dk i n d 1 1i n t r o d u c t i o n i nt h i sc h a p t e rw ec o n s i d e rt h en u m e f i c 村s o l u t i o no fi n t e g r a le q u a t i o no ft h es e c o n d u k n = |( 1 1 ，1 ) w h e r e 疋i sac o m p a c tl i n e a ro p e r a t o ro l lab a n a c hs p a c exw i t hn o , i l l l ，a n d ，xi s ag i v e nf u n c t i o na n du n k n o w nf u n c t i o n “b e l o n gt ox t h ec o r r e s p o n d i n gh o m o g e n e o u s e q u a t i o ni sa s s u m e dt oh a v en on o n - t r i v i a ls o l u t i o ni nx t h eg a l e r k i na n dc o u o c a t i o nm e t h o d sa r et h ew e l l - e s t a b l i s h e dn u m e r i c a lm e t h o d s f o rt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o no f ( 1 1 i ) ( s e e a t l ) i th a sb e e ns h o w nb ys l o a ni n 【s l t h a tt h ei t e r a t e dg a l e r k i na n di t e r a t e dc o l l o c a t i o nm e t h o d sp r o v i d e ，i ng e n e r a ，m o r e a c c u r a t ea p p r o x i m a t i o n st ot h es o l u t i o nut h a nt h eg a l e r k i na n dc o l l o c a t i o na p p r o x i m a - t i o n s t h i si t e r a t e dt e c h n i q u ew a sa l s oe x t e n d e dt op e t r o v - g a l e r k i nm e t h o d s ，d i s c r e t e p e t r o v - g a l e r k i nm e t h o d s ，d e g e n e r a t ek e m e lm e t h o d sa n dn e wp r o j e c t i o nm e t h o d s ( s e e c x 2 ，【c x l ， g n l ，【g j s ， k p x 】a n d 【k g 】) i t e r a t e dg a l e r k i na n d i t e r a t e dc o l l o c a t i o n m e t h o d sf o rt h eh a m m e r s t e i ne q u a t i o n sw a se x t e n d e db yh k a n d e k oa n dy x u i nf k x i 2 u n f o r t u n a t e l y , t h ei t e r a t i o nm e t h o dd e s c r i b e db ys l o a n ( i c j s l ， s 1 ) d o e sn o tl e a d t of u r t h e ri m p r o v e m e n ti fi t i si t e r a t e ds e c o n dt i m et h ec o m p u t a t i o no fa s u f f i c i e n t l y a c c u r a t es o l u t i o nm a yr e q u i r et h ei 船eo fm u c hf i n e rp a r t i t i o no ft h ed o m a i na n dm a y t h u si n v o l v et h es o l u t i o no fa c o r r e s p o n d i n g l yl a r g el i n e a rs y s t e mo nt h eo t h e rh a n d ，i t i sw e t k n o w nt h a tt h ec o e f f i c i e n tm a t r i xo fi n t e g r a le q u a t i o ni sd e n s e ，a n di tr e q u i r e sa h e a v yw o r kt og e n e r a t et h ec o e f f i c i e n tm a t r i xi ft h ep a r t i t i o ni sm u c h 胁e r ( s e e c m x ， i c m x l j ) ar e i t e r a t e dg a l e r k i nm e t h o d w a si n t r o d u c e db yd p o r t e ra n dd sg s t i r l i n g a n do b t a i n e di m p r o v e dg r r o rb o u n d sf o re v e r ys l o a ni t e r a t i o n ( s e e 【p s ) h o w e v e r ，t h e i r m e t h o di sn o ts u i t a b l et oi n t e r p o l a t o r yp r o j e c t i o nm e t h o d s ，s u c h c o l l o c a t i o nm e t h o d s ， w h i c ha r em o r ep o p u l a ri ne n g i n e e r i n gc o m p u t a t i o n i nt h i sc h a p t e rw ed e v e l o pi t e r a t i o nm g o r i t h m sf o rt h ee q u a t i o n ( i1 1 ) w i t hl e s s a d d i t i o n a c o m p u t a t i o n a le f f o r t sf o re a c hs t e po fi t e r a t i o n w es h o wt h a tf o re v e r ys t e p o fi t e r a t i o nt h ec o e f f i c i e n tm a t r i xo ft h el i n e a rs y s t e mt ob ei n v e r t e dr e m a i n ss a m ea s i nt h eo r i g i n a la p p r o x i m a t i o nm e t h o dw h i l ew ec a no b t a i nt h es u p e r c o n v e r g e n c er a t e s f o re v e r ys t e po fi t e r a t i o n w es h o wt h ea d d i t i o n a lo r d e r so fc o n v e r g e n c ef o re v e r ys t e p o fi t e r a t i o na l eo ft h eo r d e r ( h 4 7 ) i nn e wp r o j e c t i o nm e t h o da n d ( h “) i ng a l e r k i n ， c o l l o c a t i o na n dd e g e n e r a t ek e r n e lm e t h o d s w h e r ehj 8t h en o r mo ft h ep a r t i t i o na n dr i st h eo r d e ro ft h ep i e c e w i s ep o l y n o m i a l su s e di at h ea p p r o x i m a t i o n w eo r g a n i z et h i sc h a p t e ra sf o l l o w s ：i ns e c t i o n2 w ed e v e l o pi t e r a t i o na l g o r i t h m s f o rt h ee q u a t i o n ( 1 1 1 ) a n dw eg i v ec o n v e r g e n c ea n a l y s i sf o ro n ri t e r a t i o na l g o r i t h m s w ea p p l yt h e s ei t e r a t i o nm e t h o d si ns e c t i o n3t of o u rd i f f e r e n ta p p r o x i m a t i o nm e t h o d s ， w h i c ha r en e wp r o j e c t i o nm e t h o d s g a i e k r i nm e t h o d s c o l l o c a t i o nm e t h o d sa n dd e g e n - c r a t ek e r n e lm e t h o d s ，a n de x h i b i to u rp r o p o s ei t e r a t i o nm e t h o d sh a v i n gh i g h e rr a t e so f c o n v e r g e n f 2 i ns e c t i o n4 ，w ep r e s e n tn u m e r i c a le x a i o p l e sw h i c hi l l u s t r a t eo u rm e t h o d s a n dc o n f i r u lt h et h e o r e t i c a lr e s u l t so b t a l l l e di ns e c t i o n2a i i ds e c t i o n3 3 1 2i t e r a t i o nm e t h o d s i nt h i ss e c t i o nw ed e v e l o pi t e r a t i o na l g o r i t h m sf o rn u m e r i c a ls o l u t i o n so fi n t e g r a le q u a - t i o n so fs e c o n dk i n d ( 1 1 1 ) a n dp r o v i d et h ec o u v e r g e u c ea n a l y s i sf o ro u rp r o p o s e di t e r - a t i o na l g o r i t h m s l e txb eab a n a c hs p a c e 弧t h m ta s s u m e i sac o m p a c tl i n e a ro p e r a t o ro n x a n dzt h ei d e n t i t yo p v r a t o ro i lx w ea r ei n t e r e s t e dmt h en u m e r i c a ls o l u t i o no ft h e f r e d h o h ni n t e g r a le q u a t i o no fs e c o n dk i n d 口一j i c ) “= ( 1 2 1 ) w e * 。s u m et h a tf o ra n y ，x ，e q u a t i o n ( 1 2 1 ) i su n i q u e l ys o l v a b l ei nxw el e t k ：n n b e a s e m l u e i l c ef i n i t ed i m e n s i o n a ls u b s p a c e so fx a s s u m ek ：x _ x b eo fb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r st ob en o r mc o n v e r g e n t | | h 一| i _ 00 an _ o o ， a n dr ：x _ b eas e q u e n c eo fb o u n d e df i n e a xp r o j e c t i o no p e r a t o r ss a t i s f y i n g i i r u 一“| | 一0a sn o o f o ra l l x b yu n i f o r mb o u n d e d n e s sp r i n c i p l en o r a 2o f r i su n i f o r m l yb o u n d e d w ec a nc l a s s u yt h ea p p r o x i m a t i o nm e t h o d sf o r ( 1 21 ) i n t ot w o a p p r o x i m a t i o ns d l e n l e s ，t h a ti s ，s e e k i n g ，硫xs u c ht h a t ( s c h e m e i )口。一。= f 诹一咒+ ， a n ds e e k i n g x 。a n d 诹xs u c h t h a t ( s c h e m e i i )。一r 舰n = 致， 诹= 妣。+ ， ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) ( 1 2 ，4 ) ( 1 2 、5 ) w h e r ei t e r a t e da p p r o x t m a t i o ns o l u t i o n 酩i su m i m l yc a l l e ds l o a ni t e r a t e ds o l u t i o n ( s e e i s 】) b ya s s u m p t i o n s ，w ec o n d u d e t h a t , b o t ha p p r o x i m a t i o ns c h e m e sa r eu n i q u e i ys o l v - 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