（计算数学专业论文）非线性椭圆问题的瀑布型多重网格法.pdf

摘要 r 5 1 4 3 0 3 瀑布型多重网格法是求解大型边值问题的一种有效的迭代解法，其主要 优点是不要求粗网格校正，故又称单步多重网格法。本文基于两网格离散技 巧，对二阶非线性椭圆边值问题提出了多重网格线性化算法和一类新型的瀑 布型多重网格法。文中分固定网格层数和任意网格层数两种情况分析了算法 的收敛性，并给出了相应的运算量估计。在固定网格层数情形下，我们得到 了多重网格线性化算法的超收敛结果。另一方面，采用传统迭代子和共轭梯 度法作为光滑子，我们证明了瀑布型多重网格法对一、二维非线性椭圆边值 问题，在能量范数下，均可获得最优收敛阶。在任意网格层数情形下，我们 使用对偶论证技巧，证明了瀑布型多重网格法对二维问题具有拟最优性。这 样，我们使用瀑布型多重网格法求解非线性椭圆问题时，可以保证其运算量 与求解线性问题的运算量是相当的，数值实验也显示了该算法的有效性。 关键词：非线性椭圆问题 瀑布型多重网格法两网格方法固定网 格层数任意网格层数 a b s t r a c t t h ec a s c a d i cm u l t i g r i dm e t h o dh a sb e e ns h o w nt ob eo n eo ft h em o s t e f f i c i e n ti t e r a t i v e t e c h n i q u e s f o rs o l v j n gl a r g eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m s ，t h em a i na d v a n t a g eo fw h i c hi sc o a r s e g r i d c o r r e c t i o nf r e e ， a n da sar e s u l ti tc a nb ev i e w e da sa o n e w a ym u l t i g r i dm e t h o d i nt h i s p a p e r ，b a s e d o na t w o g r i da p p r o a c h am u l t i l e v e ll i n e a r i z a t i o n a p p r o a c ha n da n e wc a s c a d i cm u l t i g r i dm e t h o di sp r o p o s e df o rt h es e c o n d o r d e rn o n l i n e a re 1 1 i p t i cb o u n d a r y * a l u ep r o b l e m s w ep r o v i d et h ee r r o r a n a l y s i sa n dt h ec o m p u t a t i o nc o m p l e x i t yo ft h ea l g o r i t h m sj n c l u d i n g t h ec a s eo ft h ef i x e dg r i d1e v e la n dt h ec a s eo ft h ea r b i t r a r yg r id l e v e l w h e nt h en u m b e ro fg r i dl e v e li sf i x e d ，as u p e r e o n v e r g e n c e r e s u l tf o rt h em u l t i l e v e ll i n e a r i z a t i o na l g o r i t h mi se s t a b l i s h e d o n t h eo t h e r h a n d ，w i t h t r a d i t i o n a li t e r a t i o n sa n dt h e c o n j u g a t e g r a d i e n t ( c g ) a ss m o o t h e r s ，w ec a ns h o wt h eo p t i m a lc o n v e r g e n c er a t e o ft h ec a s c a d i cm e t h o di ne n e r g yn o r mf o rl da n d2 - dc a s e s w h e nt h e m e s hl e v e li sa r b i t r a r y ，w eu s ead u a l i t ya r g u m e n ta n do b t a i nt h e q u a s i o p t i m a l i t yo ft h ea l g o r i t h mo n l yf o r2 - dp r o b l e m s t h u sw h e nw e s o l v en o n l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m sw i t ht h isa l g o r i t h m ，t h ec o m p l e x i t y f o rl i n e a ra n dn o n l i n e a rp r o b l e m si se s s e n t i a l l ye q u a l f i n a l l yt h e n u m e r i c a le x p e r i m e n t sa l s os h o wt h ee f f e c t i v e n e s so ft h em e t h o d k e y w o r d s ：n o n l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m s c a s c a d i cm u l t i g r i dm e t h o d t w o - g r i da p p r o a c h f i x e dg r i dl e v e la r b i t r a r yg r i dl e v e l 非线性椭圆问题的瀑布型多重网格法 硕士生姓名：祝树金 指导教师姓名、职称：周叔子教授 第一章引言 瀑布型多重网格法是多重网格法中的一类，主要优点在于不要求粗网格 校正，故又称单步多重网格法。本文基于两网格离散技巧，构造瀑布型多重网 格法，应用于求解非线性椭圆边值问题，得到了能量范数下的拟最优性。 第二章 问题离散与算法 、 本章给出了一些定义及约定。 考虑以下的二阶非线性椭圆问题： r 咖八t 篙二：三 z ， 假设口( 墨“) ，( z ，“) 为适当光滑函数，当0 w 一8 抽k ( 为正常数， 后= 0 , 1 ) ， 有嘶口g ，w ) 0 ，并设( 纠) 膏难懈 “h ：( q ) n 降z ，( f 冷( 占 o ) 瀑布型多重网格算法： 步1 解非线性问题 a ( u o ；u o ，v ) + ( 厂( x ，o ) ，v ) = 0v v ， 设玑，= 步2 对，= 1 , 2 ，d 迭代求解线性问题 彳 ；霉，v ) + ( b ，“? ) ，v ) = o ，v v e _ ， “；= “川，“椭= 0 叶“； 第三章 固定网格层数的收敛性分析 本章在固定网格层数情况下，考虑一维半线性问题，我们就q = ( 0 ，1 ) 给 出证明，对于任意一维有界区域q ，均可化为q = ( 0 3 ) 情况。 定理设甜暇( q ) ，则存在h ，当h 0 h 时有l fu 。，一“ ，l i o c 话， ，= 0 ，1 ，j 其中c = c i c 【l 一( 2 c ) 。】( 1 2 c ) ，c = 1 + c 2 ，4 对于二维半线性问题和拟线性问题可得到类似结论。 按算法固定网格层数进行数值实验( 略) 。 第四章任意弼格层数的收敛性分析 在任意网格层数下对二维半线性问题，结合对偶论证技巧，我们得到： 定理设”吸( q ) ，则存在石，当h o 石时，选择迭代参数 脚= 【肌历j 】+ 1 ， 妲 妒出小2 叠 令c = 磊_ = 菊夏c i c ；瑟丽，m ，4 。u c 2 c 3 口( ? ，c 8 ， 则有 f f j 一“m ，i l o - c h s ， 盯c , o m j 3 n jy = j 1 ， lc i i ? t l j n j y = 1 这里c l 。，c l f 满足2 2 n o c , o n ，c f i = c f o 2 即 ；o 对= 维拟线性问题在任意网格层数情况下有类似结论。 数值实验( 略) 。 参考文献 ( 略) 致谢 ( 略) 第一章引言 在本章中，我们简单回顾非线性问题的多重网格解法的历史发展及瀑布型多重网格 法近几年的主要理论成果，最后给出本文的结构。 1 1 非线性的多重网格法 1 f ：线性椭圆方程的研究来源丁物理力学、l ：程技术、自动控制、生态系统及经济社 会系统中的人龋问题。如何求其解却是计算数学的一个重要课题，近儿十年来，有关这 一课题的研究发展十分迅速，相继出现了许多新的数值解法。其中多重网格法就是最重 要最常_ j 的方法之一，许多科学j ：作者都研究该法刚丁非线性椭圆问题的求解。详见 2 ，1 1 ，1 5 1 9 , 2 1 2 5 及其文献。 多重网格法( m g ) 产生_ r2 0 世纪6 0 年代，2 0 世纪7 0 年代末以来获得迅速发展。 它是求解椭蚓州边值问题的一种有效的迭代解法，见文f 3 ，9 ，1 0 1 3 ，3 8 】及其文献。在实际 应h j 中采川套多重网格法( f m g ) ，其收敛速度与网格尺寸无关，因此为达剑只有相同 精度的解只需o ( n 1 次运算量( n 为离散后线性方程组的未知数个数) 。 h j 丁求解1 | 线性问题，基于两网格的一些离散技巧，见诸于许多文献中，例如 1 ， 3 3 3 8 。其j 。要思想是采州两个有限元子空间圪和( h o ) 并设 a ( w ；u ，v ) = ( 口( x ，w ) v u ，v v ) ，a ( u , v ) = ( v u ，v v )w ，u ，v j ( q ) ( 22 ) 设r “，= 0 1 ，j 是嵌套的拟一致三角剖分，相应的线性协调有限元空闻为 _ = v c ( 孬) ：v e e 墨，v p c t h , , v = o 于m j 从而有c kc 收c r ，c t 4 ；( t a ) 足 不妨假定 ，= 2 。h o 问题( 2 1 ) 的弱解“日：( q ) 和有限元解“ ，分别满 a ( u ；u ，v ) 4 - ( f ( x ，“) ，v ) = 0v v h ；( q ) 彳( “ ，；玑，v ) + ( ，( x ，) ，v ) = 0 v v 一 算法2 1 ： 步1 找u o 使 ( 2 3 ) ( 24 ) a ( u o ；“o ，v ) + ( f ( x ，“o ) ，v ) = 0v v ， ( 2 5 ) 步2 对，= 1 , 2 ，j ，找“，使 a ( u h ；“，v ) + ( 1 厂( x ，u ，一1 ) ，v ) = 0v v 矿， ( 2 6 ) 2 2 瀑布型多重网格法 算法2 1 假定对每个j 精确求解( 2 6 ) ，实践中一般_ j 迭代法解( 2 6 ) t 得到f 列 算法。 算法2 2 ： 步1 解非线性问题 a ( u o ；，v ) + ( ，( x ，) ，v ) = 0 v v v o ， ( 2 7 ) 没玑m = 步2 对= 1 , 2 ，迭代求解线性问题 一( “：；历，v ) + ( 厂( x ，“? ) ，v ) = o ，v v y ， “0 = 甜，一i ，。，甜j 。= ，。，“7 ，j 卅，表示在第j 层上进行m 次基本磨光迭代，v = s j v + g ，m ，v = r 。v ， 性映射，从而s 卅j = s ，“：_ _ 也是一个线性映射。 以下恒设基本迭代满足如下磨光性质： 慨矿。石和忆 v v jev j ， i s j , , , v j 蚣l 。 v v ，e _ 设p ，2 舀一“m ，则 e ，= 孑，一，。，“? = s j 。( 万，一“；) 为使十以后的理论让明，先给出一个引理及一些约定。 引理2 1 ( x u 【3 8 】 h u a n g 1 9 】) 若“d + ：( q ) p o ) 和“虬分别是( 2 3 ) ， ( 2 4 ) 的解，则有以f 估计式成立： i u - - 1 a h ，虬 c h ， 若“矽文q ) 2 p 。， i 2 - - u h ，k ，叫 若“复q ) 2 s p m ， 肛一甜。吁l l n 厅，i 若“童q ) 以r 恒设常数c l ，c i ，c 2 ，c ；，c 3 ，c 4 ，c 5 ，c 6 ，c ，c 8 如f ：由引理2 i 存在c l ，c ；使 得i i “ ，一d h ，i i o c h ，i i “ ，一“一。i il ：c f h2 由a ( x ，“) ，f ( x ，“) 的光滑性，当 x 五，j j w 一“k 。k ( k 为大于0 的常数，k = 0 , 1 ) ，存在c 2c ；使得 ) 线 ， ) ， 删 心 刚 旺 ! 一! l l ( x ，w ) 峰c 2 , l a 。( x ，w ) i - c z ：c 3 为逆估计的常数即i i ，忆，c ，h j 1 l i ，忆。， v u h ，v ；存在c 4 使得0 “ ，l h ：c 4l l 玑，忆， f l u ，一：当d = 2 时存在c 5 使得 “ ，i i o ，。c 5i l n h ，u h ，忆2 ：存在c 6 使得l l “一“i h , 2 c s h 川“忆2 ；当d = 2 时 存在c 使得1 1u h 忆。c 7il n h ，1 2 i i “忆2 ：c s 是椭圆方程先验估计中的常数即 怕| | 2 2 s c s i i f 忆。 晕。 第三章固定网格层数的收敛性分析 本章在固定网格层数情况下，即j 固定时，分析算法2 1 ，2 2 的收敛性，并估计运算 3 1半线性情形的收敛性 考虑一维带线性问题，即问题( 2 1 ) 中a ( x ，“) = 1 ，d = 1 。我f f j 就q = ( o ，1 ) ，给出让 明，对丁任意维有界区域q ，均可化为q = ( 0 , 1 ) 情况。 引理31 若q = ( 。，1 ) v j ( q ) ，则r i 万1 m 。 证明：由于v ( o ) = v ( 1 ) = 0 于是 当o x 昙时 l v ( x ) i2 = l f v b ) 西i 2 s r 凼n v 如) 】2 出 当! x 1 时 = x ( s ) 】2 d s 蔓x ( s ) 】2 d s 7 所以 v ( x ) | 2 = 抄o ) u s 卜( 1 叫抄舳 ( 1 一x ) l 【v ( j ) 】2 d s o v i i ；= f i v ( x ) i2 d x = f i v ( x ) 2 d x + l i v ( x ) l 2 d x 2 s f x 出一( s ) 2 d s + j ( 1 - x ) d x l v 例2 d s 22 = ；扣舳+ ；跏2 凼 = ；似瑚2 出= 扣i ： 即 、 r 去 对于算法2 1 有以下定理成立。 定理3 1 设“孵( q ) 则存在石，当h 。s 万时有0 “ 一”，i l o c h ， j = 0 , 1 ，i ，其中c = c l c 2 1 一( c 2 4 ) 。 ( 8 2 c 2 ) ( 当c 2 4 ) 或c l i ，2 ( 肖 c 2 = 4 ) 证明：由引理2 1 ，存在石，当h 。i 时，使得l l “一“ 忆。x 2 ，并且 ! c c 3 h ；k 2 成立。 下证j = 0 , 1 ，j ，有 j | u 一“j k ， ( 3 1 ) 8 州峪f c l 瓦c 2 【l 一号k ( 3 2 ) 当，= o 时，u o = u ，( 3 1 ) ，( 3 2 ) 显然成立。 假设，一1 时( 3 1 ) ，( 3 2 ) 成立，即有 i i “一“h 忆。k 叫一，1 1 0 - - 西c j c 掣2l 一( 导r m ， ( 3 3 ) ( 34 ) 由( 2 4 ) ，【2 6 ) 码 a ( u ，一“j ，v ) = ( ，( x ，“j 1 ) 一f ( x ，g l h ，) ，v ) 2 ( 无( x ，” ，+ 9 ( “，一1 一“- ) ) ( “一l 一“ ，) ，v ) ( 3 - 5 ) 这里0 0 1 义冈为 | | “ ，+ 口( “，一l 一“ ，) 一“忆。2 | | ( 1 一目) ( “ ，一“) + 臼( “，一i 一“) i i l ，。 ( 1 - o ) | | “h u m 。+ 口i l “，一1 一“m 。曼k ( 3 - 6 ) 在( 3 5 ) 式中令v = 一“，再利刚引理31 得剑 i i “ ，一“，i i o ( c 2 8 ) i iu h ，一l l _ l i i 。 ( c 2 8 ) ( 1 l “一，一“一。i i 。+ i i “一。一“，一- 1 1 0 ) 讣l + 面c i c 2 卜c 叫 = 面c , c 2 【1 _ ( 和 | | “，一“1 1 1 。l l “，一“ ，1 1 i 。+ 1 1 “ ，一“m ，* c ，h ，2 1 uj 一“ ，i i 。+ k 2 k 综上所述( 3 1 ) ，( 3 2 ) 式成立，定理得证。 注：肖c 2 4 时t 可得与j 无关的c ，当c 2 4 时，c 与j 有关，但与囊，j 无 关，冈，同定，故c 为常鞋。 推论3 1 若“r v g ( n ) ，则存在石，当h 。i 时有i i “一“川。c h ， j = 0 , 1 ， 有 下面考虑算法2 2 引理32 若“w g ( n ) ，i i “? 一“忆。s k ，则存在石，h os 万时有 i i “。一历，l l 。( c ：8 ) | l “ ，一“，0i i 。，= l ，2 ，j 证明：由引理2 1 ，存在石，当 。石时，使得| | “一“ 1 1 , , o k 2 根据( 2 4 ) ，( 2 8 ) a ( u 。一万，v ) 。( 厂( x ，“? ) 一f ( x ，“ ) ，v ) = ( f a x ，“九+ 臼( “? 一“1 ) ) ( “? 一“ ，) ，v ) ( 3 7 ) 这里o 0 1 ，n ( 3 6 ) 有i i “k + p ( “；一l g h j ) 一“。s k ，令v = u h ，一可易证引理 引理3 3 若“暇( q ) ，l i “，0 一“忆。k ，则存在i ，当s i 时有 l l f i - ，一“。，i l o - - ( 1 + c 2 8 ) i | “t 一“挑，= l ，2 ，j 证明：同引理3 2 取石，由( 2 1o ) 和( 2 1 1 ) 得 0 万，一“，。，0 。= 1 1 订，- 1 ，。，“? i i 。 = 1 1s 。( 影一“圳。- 1 1 订，一“扎 ( 3 - 8 ) 再由引理3 2 即得所求证。 定理3 2 设“暇( q ) ，则存在石，h o 蓐时有0 一“。，扎吼 ，= 0 , 1 ，j 其中c = c l c l l 一( 2 c ) 。 “1 2 c ) ，c = l + c 2 4 o 证明：类似定理3 1u t 证 注：从以上证明过程知道，若俐定网格层数j ，使_ l l j 瀑布型多网格法求解一维非线 性问题( 2 1 ) ，每层仅需磨光迭代一次! 即可达到o ( 玩) ，这使得解一个非线性问题与 解线性问题的1 ：作量完全相当。 推论3 2 若“眈( q ) 则存在石，当石时有0 “一“。i l o _ c h j 对于二维半线性问题可得到以下结论。 定理3 3 殴“眩( q ) ，则存在i ，肖h 。i 时有| | “ ，一“，i l o c h ， ，= 。 ，其中c = 鬻c c ：c 。2 推论3 3 若“孵( q ) ，则存在石，当h 。石时有i i “一“，i l o c h ， j = 0 j ， 注：本章中c 与，有关，因j 固定，故c 为常数，此时允许卅，= 1 。下章中考虑c 与j 无关的情形，此时肌须按一定公式选取。 b i 理3 4 若“眨( q ) i l “? 一“忆。k ，则存在 ，当h o h 时有 i h ，历川。c 2 c 川“一，一“? i i 。t ，= 1 ，2 ，j 引理3 5 若“孵( q ) ，i iu ? 一“忆。sk ，则存在厅，当h o h 时有 | | 订，一“，。，i l o ( 1 + c 2 c b | l “一“? i i 。，= 1 ，2 ，j 定理3 4 设h 暇( q ) ，则存在 ，当h 。s h 时有0 “一一“ ，1 1 0 s c h ， _ ，= o 1 ，其中c = 百1 - ( 2 c y c l c 7 ，c = l + 2 c 2 c 0 推论3 4 若“孵( q ) ，则存在 ，当h 时有0 “一蚴，儿吼 3 2 拟线性情形的收敛性 考虑拟线性问题即a ( x ，“) 1 时。本节就d = 2 时给出算法2 1 ，2 2 的收敛性分 由引理2 1 ，存在常数c ，使j j 。c 。 定理3 5 若“：( q ) ，则存在i ，当石时有忙 一“。， 例，1 ：，j ，其中c = 筹c 。c ，c = 盟警噬 证明：同定理3 1 取石使得忱一“。帅i k ，c 4 c ，c h j1 1 n _ l ；i k 下面用数学归纳法证明，当= 0 ，1 ，j 时，有 一u ji i o , 。k ， ( 39 ) i i _ 1 1 0 - 筹c ， ( 3 1 。) 当j = 0 时t “o = “蚝，( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 显然成立 假设j 一1 时，( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 式成立，即有 u 一川弘。s k ， ( 3 1 1 ) ，嘶忆半等c i c h ，。 t z ， 根据( 22 ) ( 2 4 ) ( 2 6 ) 式及微分中值定理有 a ( u ，l ；“ ，一“，v ) = a ( u ，一i ；“ ，v ) 一a ( u ，一，；“，v ) = a ( u ，一l ；“h ，v ) + ( 厂( x ，“，一1 ) ，v ) 一 一( “，一1 ；“j ，v ) + ( 厂( x ，”，i ) ，v ) l 一【爿( “ ，；“ ，v ) + ( ，( x ，u h ，) ，v ) 】 2 a ( u ，一l ；u h ，v ) 一a ( u n ，；u h ，v ) + ( 厂( x ，“，一1 ) 一f ( x ，“ ，) ，v ) = ( ( 口( x ，“，一i ) 一a ( x ，? 2 h ，) ) v “ ，v v ) + ( ，( x ，“一i ) 一f ( x ，u h ，) ，v ) = ( 口：( x ，“ ，+ o ( u ，一l 一“ ，) ) ( “，一l 一 ，) v u h ，v v ) + ( 一( x ，u h ，+ 口( “，i u h ，) ) ( “j l 一“ ，) ，v ) ( 3 1 3 ) 同( 3 6 ) 式可证| iu h ，+ 口 j l 一“) 一“忆。k ，t 是m a ( x ，“) ，f ( x ，“) 的光滑性有 口：( x ，“ + 口( ”一l u h ，) ) 喀c ； i ( z ，u “+ o ( u 川一u h ，) ) 喀c 2 在( 3 1 3 ) 式中令v = “ 一“，则得到 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 口of i “ ，一“，l l ：sc ；c 。| | u ，一“，一i | | ：1 1 “ ，一“，i i 。+ c 2 | | u h 。一“，一10 ：i iu h ，一“，i i ， ( c ；c 4 c 9 + c 2 c ：) 1 1 “ ，一“，一，1 1 0 l l “九一“，l i 。 ( 3 1 6 ) 丁是由( 3 1 6 ) 有 u h j - - u j 忆华f | u h j - - z ，j - i 忆 c ( 1 l “虬一3 h j 一。i i 。+ i iu h 。一”j ti l o ) c c 。一，+ ! 二；警c ，c “矗，一 ：1 - ( 2 c ) ，jc l c h j l 2 c一 ， - l l “一“，i i o 。- 1 1 “一“ ，1 1o ，。+ 1 1 “ ，一“j i i o 。 - 筹+ c 。c 5i i n ，i i i i “一“，i i 。 等+ c 4 c 5 c ，i l n h , i i 定理得证。 推论3 5 ；g u 眩( q ) ，则存在石，当石时，有| | “一“，1 1 0 c h ， j = 0 , 1 ，j 引理3 6 ；g u 瞻( q ) ，i i “? 一“i i o , 。k 则存在i 当h 。石时有 i i “。，一荇，虬三兰兰i 掣| | 。，一“? i i 。，：l ，2 ， 口。 7 证明：唰定理3 1 取i ，使得l l “一“ ，。了k 。 类似于定理3 5 中( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 可证。 引理3 7 若“暇( q ) ，i i “；一“i i o , 。s k ，则存在石。h o 石时，有 历，一“，。，1 i o ( 1 +c ；c 4 c 9 + c 2 c ：) | | u 。，一“川。 ，= 1 , 2 ，j 证明：类似引理3 3 可证 定理3 6 没甜昭( q ) ，则存在i ，h o 蓐时，有j i “虬- - j , , n j1 1 0 s c ，：。，l 2 ，其中c = ! 亍署c c ，( ”= l 十 2 ( c ；c 4 c 9 + c 2 c b 证明：同定理3 1 取i ，使得o “一，。享, c 4 c 5 c h ，i l n h j i ；s 了k 。 由刊“虬一q 忆- 1 若d = 2 ，取j o = j 1 2 ，= 1 ，口，= j o s g s 次数为 m ，2 】+ 1 记 e r r o r 2 | | u u 例1一u ”+ 3 = 2s i n a x + ( s i n a x ) 3 ，q = ( o ，1 ) ，“( o ) = u 0 ) = 0 ，真解是 u = s i n n x 取j = 5 ，把转移到j = 5 层细网格上，当= 2 - 7 , 2 - s , 2 _ 9 时i iu u o 儿 依次为0 0 1 5 7 0 ，0 0 7 9 ，0 0 0 3 9 。实验结果如f ( 1 ) m ( j = 1 , 2 ，5 ) 按( 3 1 8 ) 选取，口= 1 1 ，m = 1 2 以 j bs g sc g e ，_ ，d rt i m ee r r o rt i m ee ，】，t i m e 2 - 1 28 6 0 0 2 e - 45 1 71 1 7 9 6 e - 41 0 7 75 5 7 2 2 e - 65 9 9 2 - 1 34 2 6 9 8 e - 41 0 7 62 9 5 7 6 e - 53 0 7 01 8 6 2 4 e 61 2 5 3 2 1 1 421 3 1 l e - 42 4 3 37 3 9 9 5 e 一61 0 7 7 65 3 2 1 6 e 一72 8 6 7 ( 2 ) m ，、口、m 取法同( 1 ) 采文 1 9 】中的算法：( 漫g = t 2 s i n n x + ( s i n n x ) 3 ) i 1 + + ，】 力揪 一 2 “掣， 所 所 ，、 =m 步1 a ( u 。，v ) = 一( “；，v ) + ( g ，v )v v v o ， 设“。m = “。 步2 爿( t ，v ) + 3 ( “? 2 荇，v ) = 2 ( “? 3 ，v ) + ( g ，v ) v v _ ， “? = “，一，洲，“，朋，= ，一，“? 矗， j bs g sc g e r ，0 rt i m ee r r o rt i m ee r r o rt i m e 2 “1 28 6 0 0 2 e 48 2 91 1 7 9 6 e 41 3 4 01 2 8 5 9 e - 58 8 4 2 1 34 2 6 9 8 e 一41 7 1 92 9 5 7 6 e 一53 6 7 55 8 4 1 3 e - 6 1 8 2 3 2 1 42 1 3 l l e 43 7 2 47 3 9 9 5 e 6i 2 4 3 02 1 8 6 5 e - 63 9 7 l ( 3 ) m ( j = 1 , 2 ，5 ) 按( 3 1 7 ) 选取，口。1 1 ，m 2 1 2 h ， j bs g s e r r o rt i m ee r r o rt i m e 2 一1 28 5 9 8 4 e 46 5 41 1 5 3 0 e - 41 2 9 0 2 一34 2 6 9 7 e 41 3 5 62 9 4 0 7 e 5 3 5 3 1 2 一“ 2 1 3 1 1 e - 43 0 0 47 3 8 8 8 e 一6 1 2 1 9 3 ( 4 ) m ，= 1 ( _ ，= 1 , 2 ，5 ) j bs g sg g e r r o rt i m ee ，甲d rt i m ee r r o r t i m e 2 1 28 6 l5 6 e 41 3 7 1 8 9 3 0 e - 41 9 31 1 8 4 l 鲥1 5 9 2 。34 2 7 1 7 e 4337 9 5 7 2 e - 5 4 8 32 9 6 0 5 e 53 5 7 2 一42 1 3 1 3 e 一49 4 53 7 6 6 4 e 5 1 6 0 97 4 0 1 2 e - 61 0 _ 3 8 ( 5 ) 采用传统多网格算法：( “? = 0 g j 巧已算出) 步1 找靠v o ，朋牛顿法解方程 a ( e o + 2 ，j ，v ) + ( ( + 甜j k ，3 ，v ) = ( g ，p )v v v o 步2 找v ：“，用多网格法解方程 6 彳( “j k + l ，v ) + ( ( e o + “j kj 3 ，v ) = ( g ，v )v v 巧 取= 2 ，前磨光次数；后磨光次数= 1 ，终止标准为g 删r p r e ，p w 表示( 1 ) 中 使用相同光滑子在相同细网格上得到的精度。 h ， j bs g sc g e ，r d rt i m ee r r o rt i m e e r r o rt i m e 2 一”5 4 2 2 3 e 48 1 0 17 8 5 7 4 e - 63 1 4 73 3 4 2 2 e - 61 3 6 7 2 1 3 3 7 1 3 8 e 41 9 5 6 59 3 7 8 2 e - 6 4 2 ，4 19 1 5 9 4 e 79 8 2 例2 一( 甜i n ( 2 + “2 ) ) = 厅2s i n n x i n ( 2 + s i n2 厨) 一2 石2c o s 2 n x s i n n x l ( 2 + s i n 2 瓜) q = ( 0 ，1 ) ，“( o ) = “( 1 ) = 0 ，真解是“= s i n n x 。取i ，= 5 ，= 2 - 1 4 , a = 1 1 ，m = 1 实验结果如下 m j j bs g sc g p r ，。d rt i m ee r r o rt i m ee r r o rt i m e 按( 3 1 8 ) 选取2 2 3 5 7 e - 44 5 2 0 2 5 0 3 9 e 52 0 82 2 2 8 5 争55 1 6 8 按( 3 j 7 ) 选取2 2 3 5 7 e 45 6 0 82 5 0 2 6 e 52 2 3 9 9 12 9 7 1 7 e - 41 4 8 97 5 3 8 3 e 52 1 3 11 5 9 2 6 e 。41 5 7 1 椤03 一”+ “7 = 2 + 工一3 x 2 + 2 j 3 ，q = ( 0 ，1 ) ，u ( o ) = u ( 1 ) = 0 ，真解是 u = x ( 1 一x ) 。取j = 6 ，把“o 转移到j = 6 层细网格上当h o = 2 一，2 “时i | u 一忆 依次为0 0 0 4 5 ，o 0 0 2 3 。实验结果如1 、 ( 1 ) m ，( ，= 1 , 2 ，t6 ) 按( 3 1 8 ) 选取，口5 1 1 ，m 2 1 2 他s g sc g e ，d rt i m eg r ，1 0 rt i m e口，d rt i m e 2 1 3 1 4 4 7 9 e - 41 6 ，6 46 4 8 0 2 e 54 6 9 12 9 4 0 4 e - 51 9 5 0 2 1 。46 6 9 5 4 e 53 6 5 222 9 0 4 e - 51 6 9 9 41 0 3 9 8 e 54 2 6 8 ( 2 ) m ，( ，= 1 , 2 ，6 ) 按( 3 1 7 ) 选取口2 1 1 ，m 2 1 2 向， j bs g s e r r o rt i m ep r r o r t i m e 2 一i 3 1 2 7 5 0 e 42 6 6 33 1 2 3 0 e 56 1 9 0 2 - 1 46 2 4 0 7 e 55 7 0 7 1 1 0 4 l e 一52 0 6 5 8 ( 3 ) m = 1 ( j = 1 , 2 ，6 ) ， 】bs g sc g p ，r d rt i m ep r r d rt i m ee r r o rt i m e 2 1 32 1 7 7 3 e - 43 1 31 2 7 9 7 e - 44 6 12 1 8 1 5 e - 44 3 4 2 - 1 48 8 2 4 9 e 59 3 94 6 7 0 8 e - 51 6 1 57 7 1 5 8 e - 59 7 2 例4 一“+ “3 = 2 2 2s i n n x s i n n y + ( s i n n x s i n n y ) 3 ，q = ( o , 1 ) x ( o ，1 ) ，真解为 “= s i n n xs i n n y 。取j = 3 ， m = l ，e u o 转移剑j = 3 层网格，当h o = 2 - 3 , 2 - 4 , 2 5 时 1 | u 一忆依次为1 9 9 2 6 ，1 4 5 6 4 ，1 0 3 7 6 实验结果如f ( 1 ) m 按( 3 1 8 ) 选取。 囊， 3 bs g sc g p ，d rt i m ee r r o rt i m ee r r o r t i m e 2 。60 1 1 5 03 1 3 0 0 6 4 14 0 l0 0 5 6 23 4 6 2 70 0 7 5 4 1 7 1 90 0 3 7 13 1 8 00 0 3 2 11 9 6 2 80 0 5 2 42 5 5 0 2 0 0 2 3 97 1 4 4 2o 0 1 9 62 6 9 1 9 ( 2 ) m ，按( 3 1 7 ) 选取 j bs g s p r r d rt i m e e r r o rt i m e 2 6+ 0 0 9 4 6 3 4 10 0 4 7 14 2 8 2 70 0 6 4 4 1 8 1 20 0 3 2 33 2 4 6 2 80 0 4 6 6 2 6 2 9 3o 0 2 1 27 1 9 0 9 ( 3 ) 迭代次数为一次。 1 8 ， j b s g s c g e r r o rt i m ee r r o r t i m ee r r o rt i m e 2 60 6 7 5 32 5 30 2 6 0 1 2 9 7o 3 8 9 62 6 9 2 70 4 9 4 41 4 4 40 1 8 5 8 2 0 3 70 2 7 3 81 5 4 9 2 80 3 5 2 82 4 3 4 80 1 3 2 04 5 4 7 8o 1 9 2 4 2 5 2 9 9 椤9 5 一a u + e “= 2 ( x x 2 + y y 2 ) + e ( 卜。1 x y 一，q = ( 0 ，1 ) ( 0 ，1 ) ，真解为 u = x y 0 一x ) l y ) 1 ；阪j = 3 ，矗，= 2 ，m = 1 ，实验结果如下 ，竹 j bs g sc g e r r o rt i m ee r r o rt i m ep r r 0 ，t i m e 按( 3 1 8 ) 选取0 0 0 5 81 6 1 50 0 0 2 82 8 9 40 0 0 2 41 8 3 4 按( 3 1 7 ) 选取0 0 0 5 11 7 1 30 0 0 2 53 1 5 3 10 0 3 8 21 3 1 80 0 1 4 31 8 6 70 0 2 0 91 3 7 3 注：从以上实验可以看山 ( 1 ) 在同定网格层数时。使用算法2 2 求解非线性问题对丁不同光滑子都非常成功， 即使每层磨光迭代一次，也可得到o ( h ) 收敛性。 ( 2 ) 在相同细网格上达到相同精度，采取黄 1 9 1 改进的次数选取标准( 3 1 8 ) 比 b o r n e m a n n 选取方法( 3 1 7 ) 更节省时间。这与理论结果一致，因为在粗网格 空间按( 3 18 ) 选取次数比( 3 1 7 ) 要少。 ( 3 ) 比较例1 的( 1 ) 和( 5 ) ，对于非线性问题算法2 2 较传统多网格好。 ( 4 ) 求解、仁线性问题，算法2 2 比黄 1 9 】算法有效。 第四章任意网格层数的收敛性分析 本章针对算法2 1 ，算法2 2 进行收敛性分析，并估计运算量，其结论对任意网格层数 均成立，即估计式中常数c 与j 无关。 4 1 半线性情形的收敛性 本竹对一二维、f 线性问题证明有关的收敛性结果。 9 定理4 1 设d = 2 ，“暇( q ) ，则存在i ，h o 石时有| | ，一“，1 1 0 o ，h o 万时 使得i i “一“。，i i o 。- i k ，并且 ! ( 4 c 2 c 4 c + c 2 c 1 ) ( c 6 c 8 h o + c 1 c 4 c 7 c 8 h oil n h ol2 ) c ， c c 。c ，枷n l j i s 等 下面_ j 归纳法证明。 当，= o 时，i i “k 一1 1 0 = 0 嘲结论成立： 假设j = k 一1 时，结论成立，即： 怕一一l 忆。k ( 4 1 ) i i 巩一l 一1 1 0 c h l l ( 4 2 ) 当- ，= k 时，由( 2 2 ) ( 2 4 ) ( 2 6 ) 及微分中值定理，有 a ( u m 一“，v ) = ( 厂( x ，“ 一1 ) ，v ) 一( 厂( x ，u h , ) ，v ) = ( ：( x ，“ + 口( “ 一l 一“ ) ) ( “女一i 一“凡) ，v ) ( 4 3 ) 这里0 0 1 。 因为 i i “+ 口( “女