（计算数学专业论文）非对称代数riccati方程的结构敏度分析.pdf

非对称代数r i c c a t i 方程的结构敏度分析 摘要 近年来，非对称代数r i c c a t i 方程x c x x d a x + b = 0 的研究已成为 数值代数的热点在应用概率，迁移理论，m a r k o v 模型中都会遇到非对称的代 数r i c c a t i 方程此方程可能有多个解，但实际应用中主要关注方程的最小非负 解，关于最小非负解的存在性以及保结构算法已经有许多目前，仍有很多人关 注此类问题对非对称代数r i c c a t i g 专 程的系数矩阵进行适当的假设之后就能保 证最小非负解的存在性，但结构条件数和结构向后误差的研究比较少本学位 论文主要研究非对称代数r i c c a t i 方程的结构条件数和结构向后误差 本文主要内容以下： 第一章给出非对称代数r i c c a t i 方程及其对偶方程以及由迁移理论中产生的 特殊代数r i c c a t i 方程的形式，并对国内外对此类方程的研究进行了简单的介绍 并简要介绍了本文的主要工作 第二章主要研究非对称代数r i c c a t i 方程的条件数分别就当m 是非奇 异m 一矩阵和不可约奇异m 一矩阵时，给出了结构条件数定义，并给出了结构条 件数的上界和下界，进而证明当m 中不含有零元时，结构条件数与无结构条件数 相等 第三章主要研究了迁移问题中导出的一类代数r i c c a t i 方程的结构条件数和 结构向后误差对于结构条件数分别给出了只扰动口和同时扰动口，a 和d 情形的 结构条件数对于向后误差，定义了两种向后误差，同时给出二者之间的关系， 并给出了向后误差的上界，最后给出了当a q 充分小时，向后误差的近似上界与 下界 第四章给出了数值实验，验证了各条件数以及结构向后误差之间的大小关 系 关键词：非对称代数r i c c a t i 方程；m 一矩阵；最小非负解；结构条件数；向后 误差 s t r u c t u r e ds e n s i t i v i t ya n a l y s i so fn o n s y m m e t r i c a l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n a b s t r a c t r e c e n t l y , n o n s y m m e t r i ca l g e b r a i cr i e c a t ie q u a t i o n ( n a r e ) h a sb e e np a i d m u c ha t t e n t i o n ，w h i c ha p p e a r si na p p l i e d p r o b a b i l i t y , t r a n s p o r tt h e o r ya n dm a r k o v c h a i n i nt h e o r y , w ec a nf m do u ta l ls o l u t i o n so ft h et y p eo fe q u a t i o n ，b u tt h es o - l u t i o no fp r a c t i c a li n t e r e s ti st h em i n i m a ln o n n e g a t i v es o l u t i o n n 地e x i s t e n c eo f s o l u t i o nh a sb e e ns t u d i e di nm a n yp a p e r s i nt h i sp a p e r ，w ew i l ld e r i v et h es t m c - t u r e dc o n d i t i o nn u m b e ra n ds t r u c t u r e db a c k w a r de r r o ro fn a r e t h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 , w ew i l li n t r u d u c en o n s y m m e t r i ca l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o na n d i t sd u a le q u a t i o na n dt h es p e c i a lr i c c a t ie q u a t i o n 舢曲i n gi nt r a n s p o r tt h e o r y a n d c l a r 逝m a i nr e s u l t s i nc h a p t e r2 ，w ew i l ls h o wt h es t m c t u r e dc o n d i t i o nn u m b e ra n db o u n do f n a r ei nt w oc 嘲：( 8 ) mi san o n s 酬a r 五彳一m a t r i x ；( b ) mi sa ni r r e d u c i b l e 8 i n | 出m m a t r i x i fm h a sn oz e r oe n t n e s ，w ep r o v et h a tt h es t r u c t u r e da n d u n s t m c t u r e dc o n d i t i o nn u m b e r sf o rt h em i n i m a ln o n n e g a t i v es o l u t i o na r ea l w a y s t h es a m e i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h es t r u c t u r e dc o n d i t i o nn u m b e ra n ds t r u c t u r e d b a c k w a r de r r o ro fn a r ea r j 随n gi nt r a n s p o r tt h e o r y w ew i l ls h o ws t r u c t u r e dc o n - d i t i o nn u l l l b e r si nt w oc 够锵：( a ) p e r t u r bt h ev e c t o rq ；( b ) p e r t u r bg ，aa n dd a n d w ed e f i n et w ok i n d so fs t m c t u r e db a c k w a r de r r o ra n ds h o wt h ed i f f e r e n c eb e t w e e n t h e m ，a n dd e r i v eu p p e rb o u n do fb a c k w a r de r r o r t h e nw eg i v et h ea p p r c m m a t e b o u n do fb a c k w a r de r r o r i nc h a p t e r4 ，w ew i l lp r e s e n ts o m en u m e r i c a lr e s u l t st oi l l u s t r a t et h ed i 珏；e r - e n o ft h ek i n d so fc o n d i t i o nn u m b e r sa n ds t m c t u r e db a c k w a r de r r o r k e y w o r d s ：n o n s y m m e t r i ca l g e b r a i cr i c c a t ie q u a t i o n ；m - m a t r i x ；m i n i m a l n o n n e g a t i v es o l u t i o n ；s t r u c t u r e dc o n d i t i o nn u m b e r ；b a c k w a r d se r r o r 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：奔因签字日期：知零年岁月+ 7m 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在 解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：务圈 签字日期：乒。曷年 月a 7 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签字：豆卫闰 签字日期：砷p 年s 月夕日 电话： 邮编： 第1 章问题及研究进展 1 1问题 在科学工程计算中，测量误差在所难免，实数输入计算机以及四则运算中合 入误差也几乎无法避免因此我们需要考虑两方面的问题：一方面是考虑问题 本身，另一方面是考虑算法假设计算过程没有误差，只考虑输入数据的误差会 给计算结果带来多大影响，也就是只考虑所要计算的问题，我们将得到计算结果 误差与初始误差的关系，度量问题是否容易数值求解的标准是条件数另外，考 虑假设输入数据没有误差，计算结果误差都是计算过程的舍入误差引起的，要判 断算法是否稳定，我们必须做误差分析误差分析分为向前误差分析和向后误差 分析一般情况下考虑向后误差，看计算得到的结果是否是原问题在一小扰动下 的精确解最终，计算结果的向前误差是由条件数和向后误差决定的： f o r w a r de 什d ，毛c o n d i t i o nn u m b e r b a c k w a r de ”o r 条件数和向后误差是数值代数的基本概念，前者反映了问题的解关于原始 数据小扰动的敏感性，而后者反映了算法的向后稳定性很多实际应用问题抽 象出来的数学问题都要满足一些特定的条件在数学上表现为结构问题，相应 的，数值方法也应该用结构算法对于结构问题应如何选择结构算法以及如何 判断结构算法与无结构算法的差异已经有很多研究对于结构问题计算过程中 应该保持结构，因此，我们应该考虑结构条件数和结构向后误差用于判断结构 问题是否病态，结构算法是否稳定 本论文主要讨论两类非对称代数r i c c a t i 方程的条件数及向后误差问题 第一类为 x c x x d a x + b = 0 ( 1 1 ) 及其对偶矩阵方程 y b y y a d y + c = 0 ( 1 2 ) 其中a ，b ，c ，d 分别为已知的m 仇，m n ，n m 和n n 实矩阵定义两 非对称代数砸c c 触 i 方程的结构敏度分析 个( m + 哟( m + ，1 ) 矩阵h 和m 如下： 日= ( ；三) j m = ( 三j ) m 3 ， 第二类为特殊的非对称代数r i c c a t i 方程即在方程( 1 1 ) 中a ，b ，c 和d 分 别具有以下形式： a = d i a g ( 6 l ，如，厶) 一e ，b = e e t ，c = 口，d = d i a g ( d l ，d 2 ，厶) 一q e r ， 其中 氏= 磊i 石1 j i 万，噍= 夏瓦石1 = i 万， e = 【1 l ，l 】t ，q = q l 幽，锄】t ，口t = 蠡， 且 n 0 c 1 ，0 口 1 ，0 t 一l ? b , j ) ，则记为a b ( a b ) ；如果a o ( a 0 ) ，则称矩 阵a 为正矩阵( 非负矩阵) 对矩阵a p n ，如果a 的非对角元是非正的，则称a 为z 一矩阵显然， z 一矩阵a j p 煳可以表示成a = s i 一口，其中b 0 特别地，当s p ( b ) 时，称a 为m 一矩阵；当8 p ( b ) 时，称a 为非奇异m 一矩阵；当s = p ( s ) 时， 称a 为奇异m 一矩阵，这里p ( b ) 表示b 的谱半径我们用入( a ) 表示矩阵a 的 2 非对称代数r i c c a t i 方程的结构敏度分析 谱，氏血( a ) 表示a 的最小奇异值，r ( a ) 表示由a 的列张成的空间开的 左( 右) 半平面，闭的左( 右) 半平面分别表示为c f ) 和魄( q ) 此外，我 们用i i i i 表示空间舻黼中的任何相容范数，特别地，i | 12 ，i i 0 f 和i i 0 1 分别 表示矩阵的谱范数，f 一范数和1 一范数 首先给出单特征值的定义 定义1 1 代数重数为1 的特征值称为单特征值 下面给出m 一矩阵的几个重要性质 引理1 2 【1 1 】对于z 一矩阵a 舻煳，下列命题等价： ( a ) a 是非奇异m 一矩阵； ( b ) a - 1 o ； ( c ) 存在t ， 0 ，使得a v 0 ； ( d ) a ( a ) cg 引理1 3 ( p e r r o n - f r o b e n i u s 定理) 【1 6 】设矩阵l 0 是n n 不可约矩阵， 则 ( a ) p ( l ) 是l 的特征值； ( b ) 存在正向量t ，多0 使得如= p c l ) v ； ( c ) 工中的任一元素增大，其谱半径p ( l ) 也增大； ( d ) p ( l ) 是l 的单特征值 引理1 4 【1 1 】设a j p n 是m 一矩阵，b 舻n 中的各元满足一下条件： k ，0 ，i 歹，l 寡，j n ， 则b 也是m 一矩阵 引理1 5 1 2 m 如( 1 3 ) 中定义当m 是不可约奇异m 一矩阵时，存在正向 量u 1 ，仇彤和抛，抛r m 满足： m ( u ；谚) t = o ，( 碍碍) m = 0 ， 其中向量( 谭谚) 和( 砰碍) 是m 的关于特征值。的右，左特征向量 引理1 6 【1 2 】假设非对称代数r i c c a t i 方程有最小非负解x 如果m 是不可 约m 一矩阵，则x 0 ，且a y c 和d c y 均为不可约m 一矩阵；如果m 是 3 非对称代数砒c c a t i 方程的结构敏度分析 非奇异m 一矩阵，则a y c 和d c y 均为非奇异m 一矩阵；如果m 是非奇 异m 一矩阵或者是满足砰砚碍也的不可约奇异m 一矩阵，则 m x = ，o ( a x 回+ ( d c x ) t 圆i 是非奇异m 一矩阵如果m 是满足咖l = 谴忱的不可约奇异m 一矩阵， 则m x 是不可约奇异m 一矩阵 引理1 7 【7 ，n l 如果( 1 3 ) 所定义的矩阵m 是非奇异m 一矩阵，则e b ( i 3 ) 定 义的矩阵日的特征值入l ，入2 ，k 在右半平面g ，k + l ，凡帅在左半平 面c r o ，c 0 ，oa - - d m oj 是m 一矩阵 记冗表示妒期到自身的映射 冗关于x 的一阶f 一导数记为砭：舻竹- - - w , r ，l 黼，则 冗支( z ) = 一( ( a x c ) z + z ( d c x ) ) 冗关于x 的二阶f 一导数记为7 畋：j p n j p n 啼舻n ， n 羔( z l ，历) = z , c z 2 + z 2 c z , 求解( 1 1 ) 的牛顿迭代为 咒+ l = x 一( 冗毛) 1 冗( 咒) ，i = 0 ，1 ， ( 1 4 ) 4 非对称代数r i c c 棚方程的结构敏度分析 此处假设( 7 吒) 一1 在任意处都是存在的因此，迭代等价于下式 似一五回五+ 1 + 五+ 1 p 一眠) = b 一五眠，善= 0 ，1 ， 引理1 9 【1 2 】如果存在正矩阵x 使得冗( x ) 0 ，则( 1 1 ) 有正解s 使 得s x 特别地，s 是( 1 1 ) 的最小非负解，迭代式( 1 5 ) 中以x j = 0 为初始值， 则序列 五) 有定义而且弱 0 都 有l - 1 ( x ) 0 这种迭代法是最简单的迭代，称不动点迭代( f 捌- p o m ti t e r 8 t i o n ) ，简记 为f p i ；还有其他的分裂方法：令a 为a 的下三角矩阵，d l 为d 的上三角 5 非对称代数r i e c 觚1 方程的结构敏度分析 矩阵，相应的迭代法称为f p 2 ；令a l = a ，d 1 = d 得到的迭代法称为f p 3 f p 3 是以上三种迭代法中收敛最快的 引理1 1 0 【1 0 】如果存在x 0 使得r ( x ) 0 ，以初始值x o = o 进行不动 点迭代，则对任意的l ，有 x o 五 瓦 0 使得冗( x ) 0 不动点迭代以x o = 0 为初始值产生的序列记为 砥) 皂l ，而序列 ) 芒b + l 是由牛顿法以初始 值产生的，则 0 噩 岛 + l ， 且h m 知_ 啪托= s 将牛顿迭代法和不动点迭代法相结合后，得到如下算法： 算法：【1 0 1 ( 1 ) 令a = a 1 一如，d = d 1 一d 2 ；选择岛，s ，啦，仡，啦， ( 2 ) 令x o = o ，t ( x o ) = b ，t o = i i b i i o o ； ( 3 ) 七= l ，2 ，执行以下循环：解a 1 施+ 噩d i = t ( 疋一1 ) ；并计算r ( 溉) ， 1 k = i i r ( x k ) i i ；如果嚣 7 l 或者是七，执行( 4 ) ；否则计算t ( 噩) = t ( 甄一1 + 冗( ) b ) ) 6 非对称代数砌c a = r i 方程的结构敏度分析 ( 4 ) p = 七，后+ 1 ，执行以下循环：解一硗( 日) = r ( 噩) ，其中h = ( b ) ； 如果存在( 1 ，j ) 使得b - ，7 2 i i h i i ，则停止，显示无解；否则计算1 = 玛+ 日，冗( 1 ) ，r p + l = l i r ( x p + x ) l l ；如果等 ，贝u p f , f ，输出s l ；如 果i r _ z r p 丛一考i 孺，则计算z = 曷+ 2 h ，= i i r c z ) l l , 。；如果青 的特征 值的1x1 或2x2 阶的对角块都在g 的前7 l 列，所有对应于日的属于c i ，所以取合适的r 0 ，通过c a y l e y 变换，可以把上 非对称代数r i c c a t i 方程的结构敏度分析 式变成下面的形式： c “二) 川州) ( 二卜 其中 珥= ( r + r x ) 一1 ( 冗一r 1 ) 由于仃( 冗) cg ，对任意r 0 ，都有p ( 思) 0 矩阵m + 订都是非奇异m 一矩阵，因此b ，g 0 以及对任意r 0 ， 矩阵 a = a - t - r 梳，d r = d - t - r 厶 都是非奇异m 一矩阵令 职= 4 一b 耳1 ak = d r c 锋1 b 日= 厶一2 r 审1 ，g = 2 t o ；1 c w 7 1 ， 异= 厶一2 r w _ 1 , 风= 2 r w i - 1 b d 7 1 ， 则得到保结构加倍算法( s d a ) ： 马 毋+ 1 最+ 1 g 七+ 1 h 讳1 = 耳，f o = 异，g o = 研，1 - i o = 耳， = 最( 厶一g k h k ) e h ， = 兄( k h k g k ) f k ， = 瓯+ 圾一瓯玩) - 1 伉最， = k + 晟( k h k c k ) 一1 皿最 上述迭代过程是在矩阵厶一瓯凤和k 一风瓯都是非奇异的情况下进 行的，而矩阵序列z k 和g 七单调递增且分别二次收敛于矩阵方程和对偶方程的 最小非负解x 和y 由此可以得到计算矩阵方程n a r e 及其对偶方程的最小 非负解的保结构加倍算法该算法避免了牛顿法和不动点迭代法的所有缺点， 该算法的每一步只需要解两个线性矩阵方程。因此该算法也比其他迭代法要快 具体参考( 【1 4 】) 理论上，非对称代数r i c c ：a t i 方程的所有解都是可以找到的，但是具有实际 意义的是最小非负解以上我们简单介绍了求最小非负解的牛顿法，s h c u r 分解 8 非对称代数m c c 舡1 方程的结构敏度分析 以及保结构加倍算法c h u n - h u ag u o 等也对最小非负解的扰动分析进行了研 究在本文中，我们将要研究非对称代数r i c c a t i 方程的结构条件数和结构向后 误差但从目前的结果看，对于结构条件数g u o 给出了一个上界由于m 是非奇 异m 一矩阵或者是奇异不可约m 一矩阵，扰动之后仍然是非奇异m 一矩阵或者是 奇异不可约m 一矩阵我们将针对该特殊结构，考虑结构条件数和无结构条件数 之间，结构向后误差和无结构向后误差之间的关系 第二章证明了在一定条件下，最小非负解的结构条件数与无结构条件数是 相同的 第三章给出了一类a 月引拘结构条件数和结构向后误差 第四章通过数值实验表明特殊a r e 的结构条件数以及结构向后误差都比 较小 9 第2 章一般非对称代数r i c c a t i 方程的条件数 考虑非对称代数r i c c a t i 方程 x c x x d a x + b = 0 ( 2 1 ) 及其对偶方程 y b y y a d y + c = 0 ， ( 2 2 ) 其中a ，b ，c ，d 分别为给定的m m ，m n ，n m 和n n 实矩阵 假设矩阵m ( 由1 3 定义) 不含零元，且m 是非奇异m 一矩阵或是满足砰m 讶也的不可约奇异m 一矩阵对于m 中含有零元的情形，我们无法得到结构条 件数的显示形式令x 表示( 2 1 ) 的最小非负解 考虑扰动方程 ( x + x ) ( c + a c ) ( x + a x ) 一( x + a x ) ( d + a d ) 阳m - ( a + a a ) ( x + x ) + ( b + b ) = 0 ， 、7 i u ， 其中a ，a b ，a c ，a d 和z i x 分别为m m ，m n ，n m ，n n 和m n 实 扰动矩阵 根据m c 4 2 4 的条件数理论，我们可以类似【5 】定3 i x 的结构条件数，记 为c ( x ) ： c ( x ) = 。l i 刈m8 u p 警阶m a 4 , p ( a ，a b ，a c , a d ) 6 ，( 孑4 ) 其中，朋是非奇异m 一矩阵且满足t , 1 t 0 1 碍忱的不可约奇异m 一矩阵的集合而 肚a d ，吉) ， p ( a a ，b ，a c , a d ) - - i i ( 譬等等竽) ( 2 5 ) 其中f ，口，p ，y ，r 都是正参数 非对称代数r i c c a t i 方程的结构敏度分析 特别地，在( 2 4 ) 中令 f = 口= p = ，y = r = 1 ， 则得到x 的绝对条件数，记为c ；幽( x ) ；如果令 = i i x l l f ，a = l i a i l f ，p = l i b i i p ，1 = i i c l i f ，下= l i d i i f ， 则得到x 的相对条件数，记为g r e l ( x ) 定义一般条件数c ( x ) 为： c ( x ) = 溉s u p 世铲i p ( a ，曰，厶q d ) 升 ( 2 6 ) 类似地，有c ( x ) ，c 毛( x ) 如果m 是非奇异的m 一矩阵，则条件数c ( x ) 的显式 表达式为【1 3 】： c ( x ) = 吾。螈1 ( 一a ( x t 。d ，7 ( f p x ) ，一r ( j 。x ) ) 1 1 2 ，( 2 7 ) 其e p m x 如引理1 6 定义显然c c x ) c ( x ) ，即c ) 为结构条件数的一个上界 下面将考虑非奇异m 一矩阵和不可约奇晃m 一矩阵的结构条件数的下界问 题 2 1 非奇异m 一矩阵 假设m 是非奇异m 一矩阵以的扰动记为6 4 ，满足： 1 1 6 a i l i i a i i 假设a = d + 是非奇异m 一矩阵，则谱半径p - - p ( d 一1 n ) 1 下面给出m 一矩阵的一个引理( 【l ，6 2 9 1 ) 引理2 i 2 9 只= 一e ( d + ) ，f 2 = e ( d + ) 都是扰动矩阵如果o s 0 ，如果跗满足 a e i l a i l a + 6 a a + s i l a i i ，( 2 8 ) 非对称代数r i c c a t i 方程的结构敏度分析 则a + 融是非奇异m 一矩阵 定义c 1 。c x ) 如下： c 1 僻) = 扣l i r a 。8 u p 业吾监i e i i m i i 0 ，m + s l l m i l 是不可约m 一矩阵 定义c 2 ( x ) ： ( x ) = 剐l i r au p ( 警i o m e i i m l l 似a , a b , a c , a d ) 张 ( 2 1 5 ) 用类似于求钆( x ) 的方法可求得( x ) 的表达式如下： 嘏) = 孝搿学 = 喜搿避生堕盟筠产坠删f 鲫 廿2 = 吾学监堂型哔鼯1 0 1 1 2 塑螋( 2 瑚) f 础i 其中 百= ( 一掣，翌亟舍丝，竿，一半) 注为了使得系数矩阵( q ( 矽。j ) ，p j ，y ( f 。x ) ，r ( j 固x ) ) 是非负 矩阵，e 与e 是不同的 1 4 非对称代数r i c c a t i 方程的结构敏度分析 已知 可知 记 p = 螈1 - ( q ( f 。n 卢，y ( 矽固x ) ，r ( z o x ) ) 0 m e l l m l l ， a a 0 ，a b 0 ，c 0 ，d 0 ， 即对应于e 因为螈是非奇异m 一矩阵，所以其逆矩阵 纹1 0 ，而且 ( q ( f 。d ，所，y ( f 圆x ) ，1 一( ，。x ) ) o 对非负矩阵芦p 应用p 蜘啪。n o b 凹i u s 定理1 1 6 ，可知存在向量名o 使得 产p z = p ( p r p ) z 令 则得到 因为i i i2 是酉不变范数，所以下式成立： ( 2 i t ) l i m x l 卜口tod ，彤，7 ( x tpx ) ，r ( iqx ) 1 1 2 = | i p l l ；， ( 2 1 8 ) 即 c ) = ) 注如果m 一矩阵m 中含有零元，则( 2 1 3 ) 希i ( 2 1 7 ) 式中最后一个等式不一定 成立，自然也得不到结构条件数的下界我们用下例来说明这一点 例考虑非对称代数r i c c a t i 方程( 2 1 ) ，系数矩阵分别取为： a = 2 ，b = 【0 5 ，0 5 】t ，d = 0 ，d = 1 1 5 p = 一2 磊 e 洲 鱼 = 挫 吣 一 =x 饧 非对称代数砒c c 舡1 方程的结构敏度分析 u = 【0 1 5 7 1 ，0 1 5 7 1 ，0 1 5 7 1 ，0 1 5 7 1 ，一0 6 2 8 5 ，一0 6 2 8 5 ，一0 0 7 8 6 ，一o 0 7 8 6 ，0 3 1 4 3 t ，0 3 1 4 30 0 7 8 60 0 7 8 6 、 m = k l o 6 2 8 5 0 1 5 7 10 1 5 7 1i 、0 6 2 8 50 1 5 7 10 1 5 7 1 ， 钼) = 柄杀0 螈1 卜恻l f ( x t o i ) ，l i b i i f i ，i i c l i f ( x t o x ) ，l i d i i p ( i 固x ) i 2 f 1 6 第3 章一类代数r i c c a t i 方程的结构条件数与向后误差 迁移理论中导出以下特殊非对称代数r i c c a t i 方程 x c x x d a x + b = 0 ( 3 1 ) 其中a ，b ，c 甭4 d 具有以下形式： a = d i a g ( 6 l ，如，矗) 一e q t ，b = e e t ，c = 矿，d = d i a g ( d l ，d 2 ，d n ) - q e r ， 其中 且 氏= 南，函。夏柄， 11 e = 【1 1 ，1 1 t ，q = q l ，盼一，】r ，口t = 云， 0 c 1 ，0 a l ，0 t 一1 t ，l o ，i = l ，2 ，n = 1 3 1一类非对称代数r i c c a t i 方程的结构条件数 首先考虑只扰动g 的情形此处仍然假设x 是( 3 1 ) 的最小非负解考虑扰动 矩阵 ( x + x ) 0 + a q ) ( q + 口) t ( x + a x ) 一( x + x ) 【m a g ( d 1 ，而，厶) 一徊+ a q ) e t 】一i d i a g ( 6 1 ，南，矗) 一e ( 口+ a q ) t l ( x + 舣) + b = 0 ， ( 3 2 ) 其中q 是实扰动向量同样地，根据m c e 2 4 的条件数理论，我们可以如下定 义x 的结构条件数h ( x ) ： h ) = 舰细警川铷鲥， ( 3 3 ) 其中f ，丁是正参数 非对称代数砒c c a 方程的结构敏度分析 令丁= 1 ，则可得绝对条件数h 幽( x ) ；令丁= l i 口1 1 2 ，则可得相对条件 数后1 r c l ( x ) 为了得到七1 ( x ) 的显示表达式，将( 3 2 ) 重新整理得： ( a x c ) z x x + z x x ( d c x ) = x ( 口) ，+ e ( 口) t x + x ( a q ) q t x + x q ( a q ) t x + d ( 矿) ， ( 3 4 ) 利用k r o n e c k e r 积的性质，( 3 4 ) 可以改写为： n i x v e c ( a x ) = 【( q t x ) t o x + x t o ( x d + e 圆x + x t 固e 】( d + d ( 矿) ，( 3 5 ) 其中倒又= io ( a x 研+ ( d c x ) ro i 由引理1 6 可知，m x 是非奇异m 一矩阵因此，在等式( 3 5 ) 两端同时乘 以 发1 ，然后再在两端取2 一范数，则可以得到如下等式： 姒码f _ 搿竽 = 吾学掣监坐坠弩 盟型堕挫 f o掣l j 2 = 喜1 1 7 - 峨1 【( q t x ) to x + 叉to ( x q ) + eox + x to e 1 1 2 ( 3 6 ) 其次研究扰动g ，a ，d 的情况 如( 2 3 ) 中，假设口，d i a g ( a 5 1 ，如，晶) 和d i a g ( a d , ，a d 2 ，厶) 分 别是q ，m a g ( 6 , ，如，6 , , ) 和d i a g ( d l ，d 2 ，厶) 的实扰动矩阵根据m c e 2 4 1 的 条件数理论，可以定义x 结构条件数如( x ) 如下： 如( x ) = 船s u p 韭 严i p i g ，a - ，d ，) 叮， ( 3 7 ) 其中 p ( a q ，地d 1 ) = l l 【竽，竽，等1 | l f ( 3 - 8 ) 其中f ，r ，是正参数，且a l 三( a ，厶) t ，d 1 = ( a d l ，厶) t ( 3 7 ) 中令 f = 丁= = l ，= 1 ， 则可以得到绝对条件数碗a 厶) ；若令 = l i x i i f ，1 - = l l q i l 2 ，= l i a i i l 2 ，l ，= i i d i i l 2 ， 非对称代数r i c c 廊程的结构敏度分析 则可以得到相对条件数如r e l ( x ) 为了得到如( x ) 的显式表达式，将( 3 4 ) 整理得： ( a x c ) a x + a x ( d c x ) = x ( a q ) e t + e ( a q ) r x + x ( a q ) q t x + x q ( a q ) t x m a g ( a 6 , ，如，a 6 ) x x d i a g ( a d , ，a d 2 ，厶) + o ( 矿) ( 3 9 ) 易知， v e c ( d i a g ( a 6 , ，如，矗) x ) = v e c ( x d i a g ( a d , ，a d 2 ，厶) ) = 1 9 兰- 1 ( a 1 ) ， ( 3 1 0 ) 三曰2 ( d 1 ) ( 3 1 1 ) 最如矗她她；她 魂如；厶馘她；馘 1 ，工研； 2 研； ； 非对称代数砒c c a 方程的结构敏度分析 根据k r o 妇积的性质，可得： 舭) = 吾搿竽 = 孝糟心巡婴坐堡号i 蒂。坠璺堕燮f 础 l1 1 2 = 孝i i m x l f r ( ( x ) t 。x + f 。( x g ) + e 固x + 妒。e ) ， 一日1 ，一u 日2 11 1 2 ( 3 1 2 ) 其中 e = ( 竿，半，掣) z 因此，我们可以类似地得到x 的相对扰动界： 砸ila x 矿l l f ( x ) p + d ( 以0 x 0 f 一州r v 川 其中k d 指乜r e l 或者如叫 3 2 一类代数r i c c a t i 方程的结构向后误差 本部分考虑特殊非对称代数r i c c a t i 方程的结构向后误差闯题 设x 是n a r e ( 3 1 ) 的最小非负计算值 如前所述，假设a q ，d i a g ( 矗，如，厶) ，d i a g ( a d l ，a d ；2 ，厶) 分别 是g ，出a g 仇，如，氏) 和d i a g ( d 1 ，如，厶) 的实扰动矩阵 假设b 的扰动矩阵是b + 鼠令 q _ 【竽，竽，等，竽】) ( 3 1 3 ) x ( q + a q ) ( q + a q ) t 贾一2 d i a g ( d , + a d l ，d 2 + a d 2 ，厶+ 厶) 一( q + 口) e 1 一陋a g ( 矗+ 以，如+ a 屯，晶+ 瓦) 一e ( g + a q ) t i g + b + a b = 0 ， ( 3 1 4 ) 其中r ，c ，u ，和口是正参数，g a a l = ( a 6 1 ，如，氏) t ，a d l = ( a d l ，a d 2 ，a d n ) t 计算解贾的向后误差定义如下： t 7 ( 贾) = m i n ”q ，毕s ，半s ，掣岛半g 一 。( 3 1 5 ) 2 0 非对称代数r i c c a t i 方程的结构敏度分析 如果令 丁= i l q l l 2 ，= i i a l l l 2 ，u = l i d l l l 2 ，盯= i i b 怯， 则( 3 1 5 ) 是相对向后误差 定义计算解的另一种向后误差 27 】，记为矿( x ) ： 矿( 贾) = r a i n 争，竽，_ 4 u p _ a ，竽 l i fl 竽，竽，学，等】q ) ( 3 1 6 ) 由( 3 1 5 ) 和( 3 1 6 ) 的定义可知 去7 7 + ( 又) 叼( 置) 7 1 + ( 贾) 因此，若要估计7 7 ( x ) ，只需估计矿( x ) 即可 将( 3 1 4 ) 式重新展开，整理得 ( 3 1 7 ) f ( a q q t ) ( + 贾q ( q ) t 贾+ ) ( a q e t + e ( q ) t 贾一d i a g ( a 5 1 ，如，“) 又 一) ( d i a g ( a d l ，a d 2 ，厶) + a b = 一r x a q ( a q ) t 贾， ( 3 1 8 ) 其中r = 2 c 2 2 d a 又+ b 是( 3 1 ) 式的残差矩阵利用k r o n e c k e r 积的性质 可知，( 3 1 8 ) 可以写为 i t ( ( ，贾) 丁贾+ 又tq ( 贾q ) + e q2 + 2 tqe ) ，一 巩，一移飓，仃， 0 = 一v e c ( r ) 一v e c ( 2 ( a q ) ( a q ) t x ) ， 其中e = 【垒乒，竽，学，v e c ( a 。b ) t ，i t ? 1 和仍的定义如( 3 1 0 ) ( 3 i l ) 即 t z = 7 + p ( g ) ， ( 3 1 9 ) 其中 t = t ( q t f ( ) to 支+ 又to ( 又q ) + eo 文+ 贾tpe ，一日1 ，一u 飓，盯卅， z = o ，7 = 一v e c r ，矽( g ) = 一v e c ( x a q ( a q ) t 灾) ( 3 2 0 ) 2 1 非对称代数r i c c a t i 方程的结构敏度分析 考虑非线性系统 3 3 矿( x ) 的上界 z2t t r + ( g ) ， ( 3 2 1 ) 其中z ，7 和咖( 口) 的定义如( 3 2 0 ) ，t t 表示丁得m o o r e - p e n r o s e 逆 因为扎2 ( n 2 + 3 几) 的矩阵丁是行满秩的，p - i 矢n t t t = 厶。，所以( 3 2 1 ) 式是有 意义的由此可知，( 3 2 1 ) 的解也是( 3 1 9 ) 的解 假设磊是( 3 2 1 ) 的解，则有 叩( x ) f a q f l t v e c ( a b + ) t ， 0 ，则t 是行满秩矩阵劲是由矿r 得到的唯一最小二范数解，其 中m o o r e - p e n r o s e 逆计芋2 叮( t z 叮) 由( 3 1 8 ) 可知，