（计算数学专业论文）banach空间中若干解非线性方程算法的收敛性研究.pdf

中文摘要 近几十年来，随着数学研究本身的发展和大型计算机的出现及完善，各种非线性问 题目益引起科学家和工程技术人员的兴趣和重视特别是在近代物理和科学工程计算中 的一些关键问题，归根结底都依赖于某些特定的非线性方程的求解所以无论在理论研 究方面，还是在实际应用中，非线性方程的求解都占有非常重要的地位 本文共分三章，主要讨论的是迭代法的收敛性及其在实际中的应用问题。迭代法的 研究日益成为解决各种非线性问题的核心，迭代法优劣的选择直接影响到各种非线性问 题的结果是否良好，所以迭代法的研究有着十分重要的科学价值和实际意义。 第一章：主要讨论了几种变形n e w t o n 迭代的收敛性问题，以及它们在求解不可导 方程中的应用n e w t o n 法是经典迭代法的核心，虽然它是个强有力的方法并且收敛很 快，但在某些情况下它的缺点也是很明显的。为了解决这些不足，几种变形n e w t o n 迭代 应运而生。但是，这些方法都是为求解可导方程设计的，遇到不可导方程就束手无策了。 为此，本章就解决不可导问题提出了可行的解决方法 第二章：主要讨论了h a l l e y 方法在某个更一般的条件下的收敛性问题。传统的收敛 性问题一般都在k a n t o r o v i c h 条件下讨论，本文讨论的条件是k a n t o r o v i c h 条件的扩展， 在某种程度上可以解决更一般的问题 第三章：主要讨论了一种新的混和方法的收敛性这种混和方法对于解决导数求值 比较困难的问题是一个良好的选择，而且它具有四阶的收敛性。 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，f o l l o w i n gt h e d e v e l o p m e n ti nr e s e a r c ho fm a t h s l n a t i c sa n d t h ea p p e a r e n c e a n dc o n s u i n t n a t i o no fm a i n f r a m ec o m p u t e r ，s e v e r a lk i n d so fl i o n l i n e a rp r o b l e m sh a v eb e e nr e - g a r d e db ym a n ys c i e n t i s t sa n de n g i n e e r ss o o n e ro rl a t e r ，t h e yh a v em o r ea n dm o r ei n t e r e s t i nt h e s eq u e s t i o n s ，e s p e c i a l l y , s o m ek e yq u e s t i o n si ne n g i n e e r i n gc a l c u l a t i o no fr e c e n tp h ) 7 s i c s a n ds c i e n c ea r ed e p e n d e do nt h es o l u t i o no fn o n l i n e a re q u a t i o n s ot h es o l u t i o no fl i o n l i n e a r e q u a t i o np l a yai m p o r t a n tr o en o to n l yi nt h e o r e t i cr e s e a r c hb u ti na p p l i c a t i o n t h i sp a p e ri sm a d e u po ft h r e ec h a p t e r ，w h i c hd i s c u s sm a i n l ya b o u tt h ea s t r i n g e n c yo f t h ei t e r a t i v em e t h o d sa n dt h ea p p l i c a t i o ni nf a c t t h er e s e a r c ho fi t e r a t i v em e t h o d sb e c o m e s h a r d c o r eo fs o l u t i o nt oa l lk i n d so fn o n - l i n e a r p r o b l e m s w h e t h e rt h en o n - l i n e a rp r o b l e m sw i l lb e s o l v e dw e l lo rn o ti sd i r e c t e da f f e c t e db yt h ec h o i c eo fi t e r a t i v em e t h o d s s oi ti s v e r yi m p o r t a n t a n dm e a n i n g f u lt od ot h er e s e a r c ho fi t e r a t i v em e t h o d s c h a p t e ro n e ：t h i sc h a p t e rd i s c u s sm a i n l ya b o u tt h ea s t r i n g e n c yo fs e v e r a ld e f o r m e d n e w t o n si t e r a t l v em e t h o d sa n dt h e i ra p p l i c a t i o ni ns o l u t i o no fn o n d i f f e r e n t i a b l e p r o b l e m s n e w t o n sm e t h o di st h eh e a r to fc l a s s i ci t e r a t i o n a l t h o u g hi ti s p o w e r f u la n dh a sf a s ts p e e d o fc o n v e r g e n c e ，i t ss h o r t c o m i n gi so b v i o u si ns o m er e a l m s ，i no r d e rt os o l v et h e s es h o r t c o m i n g ， s e v e r a ld e f o r m e dn e w t o n sm e t h o d sa p p e a r b u tt h e s em e t h o d sa r ed e s i g n e dt os o l v ed i f f e r e n t i a b l ep r o b l e m s t h e yw i l lb en ou s ew h e n m e e t i n gw i t hn o n - d i f f e r e n t i a b l ee q u a t i o n s t h e r e f o r ， t h i sc h a p t e rp u t sf o r w a r dt h es o l u t i o no fn o n - d i f f e r e n t i a b l ee q u a t i o n s c h a p t e rt w o ：t h i sc h a p t e rd i s c u s sm a i n l ya b o u tt h ec o n v e r g e n c eo fh a l l e y sm e t h o d u n d e rm o r ec o m m o nc o n d i t i o n s c o n v e n t i o n a lp r o b l e m so fc o n v e r g e n c ea r ed i s c u s s e du n d e r k a n t o r o v i c hc o n d i t i o n t h ec o n d i t i o nw h i c ht h i s c h a p t e rd i s c u s s e se x p a n dt h ek a n t o r o v i c h c o n d i t i o n i tw i l ls l o v em o r ec o m m o n p r o b l e m si ns o m ed e g r e e c h a p t e rt h r e e ：t h i sc h a p t e rd i s c u s sm a i n l ya b o u tt h ec o n v e r g e n c eo f an e wh y b r i dm e t h o d i fo n ec o n s i g e r st h ef a c tt h a tt h ef i r s t d e r i v a t i v eo ft h ef u n c t i o n m a y b ed i f f i c u l tt oc o m p u t ea n a - l y r i c a l l yt h en e wp r o c e d u r ew i l lb e c o m ea na t t r a c t i v ea l t e r n a t i v ea n di th a sq u a r t i cc o n v e r g e n c e 致谢 本文在导师韩丹夫教授的悉心指导下完成的，在此谨向导师致以衷心的感谢! 在 两年半的求学生涯中也得到了王兴华教授、郑士明教授、江金生教授等几位教授的关心 的指导，在此谨向各位先生致以诚挚的谢意! 同时也向帮助过我的各位老师、师兄、师 姐以及各位朋友们表示感谢! 正是在这样一个良好的环境里才使我的学习和生活变得更 加丰富多彩，并促成本文的顺利完成。 同时还要感谢我的父母，正是他们十几年谆谆教导才使我今天迈入了科学的殿堂。 谢谢你们的支持和帮助 b a n a c h 空间中若干解非线性方程算法的收敛性研究 前言 没，是实的或复的b a n a c h 空间e 的某个区域到同型空间f 的解析映照。考虑用 n e w t t ) n 迭代 z n + 1 = 。一，( 口n ) 一1 ，( z n ) ，n = 0 ，1 ， 求解方程f ( x 1 = 0 s m a l e 在1 9 8 6 年国际数学家大会的大报告【1 3 中称为点估计的论文中，就是用 f 的这种解析性取代k a n t o r o v i c h 的经典工作中的区域性假定( 即关于，在某个足够大区 域中的l i p s c h i t z 连续性的假定) ，以便完全用，在初始点的信息来判断n e w t o n 迭代的行 为， 令o ( z ，f ) = 卢m 这里 卢= 3 ( x ，f ) = i l l ( z ) f ( x ) l l ， 7 刮圳一k 刚2 八矿1 学| i 南 月： 论文的主要结果是 s m a l e 定理设器= g 1 ，式中币( r ) = 2 r 2 - 4 r + i , 则从。= 茹开始的 n e w t o n 迭代都有意义，并且对n = 0 ，1 ，成立不等式 i x n + l x n 0 9 2 “一1 | 1 z l z o 根据定理，s m a l e 指出，存在一个大约等于o 1 3 0 7 0 7 的常数a o ，使得若d ( 。，) o o ， 则z 便是，的一个“逼近零点”，即从z = z o 开始的n e w t o n 迭代都有意义，并且 | | z 。+ l 一石。( ) 2 “一1 1 1 z l 一。o | | 在1 9 8 9 年，王兴华和韩丹夫用优序列的方法准确化了s m a l e 关于n e w t o n 迭代点 估计的工作。并且证明了，当且仅当。( 文，) s 堡二 近时，对于所有实或复的b a n a c h 空间 e 到同型空间f 的解析映照f 和。e ，z 是的一个逼近零点，此外，当n ( 。：，) s = 学 时。是，的一个第二类逼近零点。 1 b a n a c h 空问中若干解非线性方程算法的收敛性研究 定理1 设“= n ( z ，f ) 茎3 2 、2 则从z = z o 开始的n e w t o n 迭代对所有的非负整数 n 成立不等式 j j z 。+ 1 一z 。j j 。( n ) jj z2 一z o 肌 i i ；- x 。q l 三j 二! 二= _ j i s 。( a ) 1 1 。一z 。i i 式中：l i r a x n , ，( ) ：o ，并且两个不等式右端的阶。( 。) 和常系数1 ，l + a - x t ( 1 + a ) 2 - 一8 0 都是最好可能的。 其中 一r 、 r q 2 k 1o 2 2 以 1 一d 一饥再面确五 。卜( ) n 。：3 2 以9 2 = 再前耳寿菰 定理2 设o = o 扛，) 3 2 v 曩则从。= 知开始的n e w t o n 迭代序列( 。) 对所 有非负整数n 成立不等式 i i ( 一2 ：n i i q 2 ”一1 i i e 一。o | | 式中= u m z n 是，的零点，”= 芝三j 舞需 n t1 9 9 7 年，王兴华【2 0 】提出了弱条件的相关假设 定义1 所谓，在z 。点满足关于取而y 的k 一阶，y 一条件，是指，( 。) 一存在，并且 满足 j j ，+ ( x 0 ) 一1 ，( 。) ( 。o ) j |s 1 7 一1 ，i = 2 ，女， i i ( 训- l ， 1 ) ( 。) l l d 跺，比一b ( x o , p ) 命题1 对任何1 j ，若，( 。) 在z o 满足两i i 两的一阶7 一条件，则，( $ ) 在。o 必满足关于b ( x o , p ) 的j 阶t 条件。 2 0 0 1 年，韩丹夫【3 3 】为求解不可导方程提出了如下的收敛条件 定义2 定义一个球b ( x o ，p ) ，使得b ( x o ，r ) = x l l l x 一。o i i p ) 并且百丽定义了它的闭包。 因为z o b ( x o , p ) ，假设，( 。o ) 一1 存在并且 1 1 日c 。? 一：! ：c ：，一日c v ，i i 。t l ；一i i z ，- | j ”l l l ( u + l i 。一x o l l ) a “ i i h ( 。) 一1 ( g ( 。) 一g ( y ) ) i i o “l ( u + i i z ：- - x o i i ) d “ 蚀，y b ( x o , p ) 1 1 2 ：一y j i + 1 1 2 ：一。o | | p 一2 一 b a n a c h 空间中若干鲜非线性方程算法的收敛胜研究 其中h ，g 是这样定义的：把f 分成两部分，一部分可导，叫做h ；另一部分是l i p s c h i t z 连续，叫做g 本文就是在上述条件下讨论迭代法的收敛性，并运用优序列的技巧完成的。 3 一 b a n a c h 空间中若干解非线性方程算法的收敛性研究 11 引言 第一章变形n e w t o n 迭代在b a n a c h 空间的收敛性 及其在求解不可导方程中的应用 51 弱条件下若干变形牛顿迭代的收敛性 令，是b a n a c h 空间x 到另一个b a n a c h 空间y 的非线性算子。如果，在盖的某个 邻域内是n e c h e t 可导，那么牛顿法是个很好的选择去解方程： i ( x ) = 0 虽然牛顿法是个强有力的方法并且收敛很快，但在某些情况下它的缺点也是很明显 的。比如说，如果，( z ) 1 很难计值时，方法( i i ) 是个很好的选择。另一方面，如果每步 ，( 。) - 1 的计算花费很大时，我们可以用方法( i ) 。 ( i ) 。n + 1 = z n f7 ( 茁m k ) 一1 f ( z 。) ，喜e 中n = m k ，m k + 1 ，m k + m 一1 ，k n o ( i i ) x 。+ 1 = 茁n a 。f ( 而。) ，李# 中a n + 1 = 2 a 。一a 。，( z 。+ 1 ) 且n ，v n n o 在文献f 9 】中，王兴华，韩丹夫和孙方裕详细介绍了上述两种变形牛顿迭代在s m a l e 点估计理论下的收敛性分析他们的文章按数值泛涵文献的通常理解，是强条件的假设。 和【9 相比，我们参照1 2 0 提出了上述两种变形牛顿迭代在弱条件下的收敛性。 对正数，y 和p ，假设，在百丽内是k 阶可导并且，( 跚) 是可逆的。 定义 1 1 】所谓，在z o 点满足关于取；砑的肛阶t 条件，是指，( 。) 一i 存在，并且 ( z o ) 一1 ，叫z o ) | |柳i - 。，i = 2 ，k ， 忖b o ) - 1 产+ 1 k 川s d 策邕晶，v x e b ( x o , p ) 显然，。c 阶7 条件就是s m m e 在文献f 1 3 】中所讨论的条件， 命题 1 l 】对任何1 jsk ，若，( 。) 在z o 满足百丽的k 阶7 一条件，则，( z ) 在z o 必潢足关于甄i 砑的j 阶，条件。 4 b a n a c h 空间中若干解非线| 生方程算法的收敛性研究 现在陈述如下主要定理： 定理li 设，( 。) 满足关于百i i 丁二翱的一阶，y 一条件。= 卢7 3 2 以。假 设a o = ，( 如) ，那么上述两种变形牛顿迭代( i ) 和( i i ) 对所有n n o 都有意义，由它 们产生的序列 z 。) 在嗣面i 两内都收敛于方程f ( x ) = 0 的唯一零点( ，并且满足不等 式： j 茁n + 1 一茁n | |( r n + 1 一r n ) | l z l x o | | i z 。+ i e | |( r r 。) | z 1 一x o | | 其中 阳+ 伊l + a 笔- v ( 1 + a ) 堕2 - 8 a ( 1 + 劫( 1 - 疆1 聊) ) 是从r o = 0 出发，把迭代( i ) 和( i i ) 应用到实函数： 妒( r ) = 1 一r 十禹 上所产生的实序列。 1 2 减少导映照计值次数的牛顿迭代 对于迭代( i ) ， 。+ 1 = 。一，( 。女) 一1 ，( z 。)( 1 2 1 ) 其中 n = m k ，m k + l ，一，m k + m 一1 ，k n o 在前面定义的前提下，我们首先介绍一些引理。 引理1 2 l 设 ( t ) = 芦一+ 尚， = k 一碌h ( t 磊n ) ，m n m ( + 1 ) ，k o ，且t o = o 如果n = 口，y 3 2 、i 那么 t 。) 单调递增的收敛于h 的较小零点t + 。 证明这在几何上是很直观的我们也可以根据 ( t ) 和以) 的表达式归纳的证明。 口 引理1 2 2 设，( z ) 在知点满足k 阶7 一条件 ( i ) l l f ( z o ) 一1 ，( 2 ) ( 。) l l h ( i ) ( 1 l x z o i i ) 5 一 如果z b ( x o ，( 1 一击) 1 n ) 那么我们有 b a n a c h 空间中若干解非线性方程算法的收敛性研究 i i ( 引。，i 圳怪一硼去研 证明注意到 舻+ 1 ) ( t l x - x o = d 器 从7 条件，我们直接得到 i i ( ，( f f f 岛卸 i ) ( r l 。- z o 所以( i ) 成立，另一方面由t a y l o r 公式 九训一m ) ：，+ 董地# 掣堕( 。咱) i 十z 1 志，一严+ 1 ) ( x o + s ( x - - x o ) ) ( z 咄 1 _ s ) 1 d s 由1 一条件和h 的非诈件鞋们彳导璃i r f 。) 一- 删f 。) 一 k r - 1 嵝! 兰! ! ：! k ! 刈- lj ，( z 。) 。1 ( 。) 一s 必型等= 型 t = l + z 1 硒南。1 产十1 ) ( x o + s 旷础川，i l x - 。o 旷( 1 叫n ，d s s 黔1 1 - r i i l x - r x c , i i i + z 1f 1 黠。：0 1 1 ) k 生铲如 o ( 一7 s f f 卫一 十2 ( 七一1 ) ! 。 华悔刊j t +1 i 蓐= ；两“( k + 1 ( 。+ s ( z 。) ) i l ：r - x o l l 。( 1 一s ) 。一l d s = ( 1 i z 一。o i i ) 4 - 1 1 由是根据b a n a c h 引理，( i i ) 也成立。 口 引理1 2 3 在引理1 2 1 和引理1 2 2 的条件下，我们有 i ，( 。o ) 一1 f ( x 。+ 1 ) i l5h ( t 。+ 1 ) j j b a n a c h 空间中若干解非线性方程算法的收敛性研究 证明由迭代方程，得到 + ，( x o ) 一1 ( ，( 口n ) 一f ( x m ) ) ( z n + 1 一o n ” = ，( z o ) 。1 ( ；，( ( z 。) ( z n + l z 。) i z = 2 + z 1 击+ 1 ) ( x n - - 8 ( 坼t 训) ( 1 叫。x n + - - x n ) 1 一l1 + ，( z o ) 一1 ( ；，( + 1 ( 。) ( z 。一。女) 2 t 2 1 + z 1 志产“) ( x m k + 8 ( ：r n - - x r n k ) ) ( 1 _ s ) 杠1 ( x n - - x m k ) 馘x n + l - - x n ) ) 因此，由7 条件，得到 ij i ( 。) 一1 ，( 。n + 川奏；i f 二_ 了i 孙i x n + l - - x n 旷 + 1 两1 j o 篙1 群黔x 0 意s ( x 蹀k + 2 幽 。 七! ( 一7 l i o 。一 + 。+ l 一岱。) 1 1 ) ”。 + c 萎；两鼢“x n - - x r n k 旷 +广志誊糕婪高笛删xn+l-xr。jo k1 x o w ) k + 2 ( 一1 ) ! ( 一一r i i o m 一+ s ( z 。一z m k ) f u 引l“ 三抄( k ) - 一划。 + j ( 1 击水“m 。州沁- 吨) ) ( 1 叫 r l1 + ( ； ( 件1 ( 。女) 一。r 酽 +1 i i ：；研 ( 女+ 1 ( t 。 + s ( t n - - l f m k ) ) ( 1 一s ) k - l d s l i t 。+ l t 。i i ) 7 b a n a c h 空间中若干解非线性方程算法的收敛性研究 引理1 2 4在引理1 2 1 和引理12 2 的条件下，我们有 z n + 1 一z n | | s t n + 1 一t n ，v n n o 证明显然，当n = 0 时，引理成立。现设它对某个n 成立，取 为满足m k 墨”的最 大整数，有 | | 。 一x o l l 墨i i z 。+ 1 一z ，1 ls t i + 1 一t l = t m ks t + i = 0i = 0 所以，由引理1 2 2 可知，扛。e ) - 1 存在，。+ 2 有意义，并且 ) 一1 ，( z 。) 1 1 一而1 磊 由迭代( 1 2 1 ) 得 z 。+ 2 一z 。+ l = 一，( 。m k ) ，( z 。+ 1 ) = 一，7 ( 。女) ，( 。o ) ，( 。o ) 一1 f ( x 。+ 1 ) 所以由引理1 2 2 和引理1 23 ，得 x n + - - x n + 1 i i - i l l ( z m 女) ，( 。) 1 1 i l l ( z 。) 一1 ，( z 。+ 1 ) 1 1 - 2 ) 0 z ： 定义1 3 【2 0 】所谓，( z ) 在z o 点满足关于b ( x o , p ) 的k 阶7 条件，如果a o 存在并且 | a o f ( z o | |嘶，i = 2 ，k ，( 1 3 2 ) ，州( z ) l l 曼i i a 。l | f 黠搿严，比b ( x o , p ) ， ( 1 3 3 ) 我们也先介绍几个引理 引理1 3 1 设a o 可逆并且满足 l l ，一a o ，( z o ) t l 1 一p ，0 0 1 如果o 2 + 0 2 f f t o ，令 坤) = 高- o t + 啬) ， t o = 0 ，o o = 一l i a o 忆 一9 一 b a n a c h 空间中若干解非线性方程算法的收敛性研究 o 。+ 1 = 2 a 。一。：( 。+ 1 ) ，v n n o 那么t 。单调递增的收敛于h 的较小零点t + + + 一! ! 竺l 近壁互三婴旺互 “一 2 f 1 + o ) v 而a 。是单调减小的正数，且 1 。n 斫丽 证明参照文献 9 口 引理1 3 2在引理1 3 1 的条件下，我们有 a o f ( + 1 ) ( z ) j i i i a o l i b ( + 1 ) ( 忙一。o i i ) ，v k n o 证明注意到 一卜如1 3 = 志f 器，v o 则由( 1 3 3 ) ，引理显然成立。 口 引理1 3 3 在引理1 3 1 的条件下，对所有n n o ，成立 ( i ) a 。可逆； ( i i ) | | a n a i lj | s 装； ( i i i ) l l ，一a 。，7 ( 。) i is1 一。( f 。) 1 ； ( i v ) l 。+ 1 一z n | | t n + l t 。 证明显然，以上四个结论对n = 0 自然成立。现设它们对从0 到某个n 成立，则 1 。由 a ”1 = 2 a 。一a n ，( z n + 1 ) a n 和归纳法假设( i ) ，得 其中 a n + l a n l 一，= ，一a n ，7 ( 。+ 1 ) = j a j ( x 。) 一a 。 ，( z 。+ 1 ) 一，( 。) ) 一1 0 b a n a c h 空间中若干解非线性方程算法的收敛性研究 ，7川一扣妻勰(xu+l-tny(x 2 厂1 ，7 ( 1 ) 一。) = 等等( ) ”1 i = 、 + 志尉川) ( z n + 8 ( x n + l - - z n ) ) ( 1 因此利用归纳法假设( i i j ) ，( i i ) ( j v ) 和引理1 3 2 ，得 盯叫i i i i - a j ( x , t 川+ i | a 甜崮等等 眦嘶咱。1 + 志z 1 i | a 。， + 1 ) ( x n - _ - , s ( x n + l - - z n ) ) 眦l s ) 一1 眦z 。+ - 。) 2 i i d s ) 外m ) + 等建必篝 十志z 1 i i a 。i i h ( k + a ) ( 1 l x 。- x o + sx n + l - - z n 川( 1 叫嘶一z 。i i “1 出) l_“m。瞳黜(tn+l-h u “ l 一。n ( ) 一n n 爱器( “) 。1 + 矗可f 0 1 h ( k + 1 ) ( t 。+ s ( t n + 1 - - t n ) ) ( 1 叫“1 ( t n + l - - t n ) k d s = a n + 1 0 ：1 1 1 所以根据b a n a c h 引理可知+ 1 存在，并且可逆，即( i ) 对n + l 成立。 2 。参照文献 9 】 3 。参照文献 9 4 0 由迭代( 1 3 1 ) ，得 z n + 2 一z n + 1 = a n + 1 ，( z n + 1 ) = a n + l ，( 。+ 1 ) 一，( z 。) 一，7 ( 。) ( z 。十1 一。n ) ) + a 。+ l ，( z 。) 一a ：1 ) ( 。n 十1 一z n ) ：。 圭掣( 嘶。一训t + 击：1 严+ 1 ) ( x n + s ( 撕- 一引) ( 1 叫。一训) b a n a c h 空问中若干解非线- 生方程算法的收敛性研冠 所以 川1 i a n + i a 跏圭监掣型m 叭。嘞i 十刍：1i i 埘咔“) ( x n - 1 - s ( x n + 1 - - x n 川m 叫。i i ( 一z n ) k + l i i d s ) + i i a 。+ 1 a ：1 ) 1 1 f ( a 。f7 ( 。) 一，) f f i ( z 。+ i 一。) 嘞“壹掣一z + 去f 0 1 h ( k + 3 ) ( k + s ( t 。+ 一t 。) ) ( 1 一s ) 2 ( t n + l - - t n ) k + l d s ) + o 。士1 n 。- 1 ( 1 一n 。h ( t 。1 1 f t 。+ 1 一t 。1 = t 。+ 2 一t ”叶- 1 所以( i v ) 对n + 1 成立。 口 根据以上引理，迭代( i i ) 的收敛性定理是； 定理1 3 设，( 。) 满足关于b ( x o ，( 1 一击) 1 一) 的阶1 。条件，a o 可逆并且a o 和x o 满足 i l j a o f ( x o ) l is1 0 ，0 0 1 d = a ( x o ，a o ，) 冬2 + 0 2 l + 0 那么迭代( i i ) 对所有n 都有定义，由它所产生的序列x 。在百耳i 丽内收敛于方程 ，( 。) - 0 的唯一零点e ，并且满足不等式 1 i z 。+ l z n | | ( r n + 1 一r n ) 1 i 茁1 一。o | | j j z 。+ l 一( | |曼( r + 一r n ) l l x l 一。o l l 其中 声= 1 + a 篙- 、，( 1 产+ a ) 巫2 - 8 a ( 1 + 劫 ( 1 一扣7 f ) 是对庐从r o = 0 出发的( i i ) 型迭代序列，它收敛于咖( r ) = 0 的较小零点r + 。 证明注意到 ；w 7 ) = 卅) = i - o t + 五a t 2i 1 2 b a n a c h 空间中若干祥非线- 性方程算法的收敛性研究 t + = r + 卢t ”= 7 。“卢，t n = r n f l 由引理1 3 1 和引理1 3 3 即得本定理。 口 1 3 b a n a c h 空间中若干饵非线- 陛方程算法的收敛性研究 2 求解不可导方程的修正牛顿迭代及其 在b a n a c h 空间中的收敛性 2 1 引言 令，是b a n a c h 空问x 到另一个b a n a c h 空间y 的非线性算子。如果，在x 的某个邻域 内是l q e e h e t 可导，那么牛顿法是个很好的选择去解方程： ( z ) = 0 ( 2 11 】 虽然牛顿法是个强有力的方法并且收敛很快，但是从应用方面考虑，许多数值工作者对 它作了种种改进。接下来的两种方法： ( i ) 。+ l = 。一f ( z m ) 一1 f ( z 。) ，喜乓中咒= m 七，m k + l ，- ，m k + m l ，菇a 龟 i i k + 严z 。a 。f ( z ) 其中a 卅j = 2 a 。一a 镕f 池；+ 1 ) a 。，铷o 就是两种很好的修正的牛顿法 f 2 1 。2 1 ( 2 1 3 ) 但是如果f 是一个不可导的算子，那么方法( 2 1 2 ) 和( 2 。1 3 ) 就不能使用。一种很好的解 决方法就是的f 分成两部分【3 3 l ：一部分是可导的。b h 做h ；另部分是l i p s c h i t z 连 续，叫做g 因此，( 2 1 2 ) ( 2 ，1 3 ) 就可以写成如下形式： ( i ) 。+ 1 = x n - - 露( 耍m 鸯) 一1 ( 日( 。) + g ( 。) ) ，其中n = m k ，m k + l ，一，m k + m l( 2 1 ，4 ) ( 1 i ) + 】= z 。- a n ( 珂( z 。) + g ( 互。) j ，其中a 蚪l = 2 a 。一a 。h ( + 】j a 。，畅8( 2 ，1 ，5 ) 在文献【3 3 】中，韩提出了如下的收敛条件： 条件 2 1 】：定义一个球b ( x o ，? ) ，使得b ( 。o ，r ) = z 一z o 【 r 并且百丽定义了它的闭包。 因为z o 百丽，假设，( 跚) 一t 存在并且 日( t 。) 一1 ( 耳7 扛) 一日( ) s 广“。“己扣十犯一印t 1 ) d 1 1 日，( 。) 一1 ( g ( 。) 一g ( 9 ) ) 1 1 ，馏- u ij l ( u + 1 i x - - z 。1 1 ) d u j 0 v z ，y b ( x o , r )l i z v 1 1 + i i x z o i l 7 ( 2 t 6 ) f 2 ，1 7 1 在本文中，我们用优序列的方法来分析( 2 】，4 ) ，( 2 1 ，5 ) 在条件( 2 1 6 ) ( 2 1 ，7 ) 下的收敛性， 1 4 一 b a n a c h 空问中寻 干鲜菲线性方程算兰约收敛陛研究 22 减少导映照计值次数的牛顿迭代 对于迭代( i ) ， 其中 x n + i = i f , 。一h f z m 女) 一( h ( z 。) + g ( 。) )( 22 1 ) n = 竹t 七m k + 1 ”z 七+ m 1 七肌 我们称之为减少导映照计值次数的牛顿迭代根据条件( 2 16 ) ( 21 7 ) 我们把优函数定义 成如下形式： 忡) = 卢一t + z m m 叫d u 舻。鲋) = z 咖胁 ( 2 舢) 令f ( t ) = h ( t ) + 9 ( t ) 那么，我们可以得到 引理2 2 1假设f ( 0 ) 0 ，于是k ( t 。) 0 所以g ( t n ) 在【o ，”1j 中是单调递增的。于是由( 2 2 5 ) 和，= h + g 0 和h 0 由迭代假设，我们有 t j + t = k ( t i ) k ( r 1 ) = r l 因此，( 2 2 6 ) 对于n = j + 1 也成立引理证毕 口 引理2 2 3 因为x 0 x ，令h ( 知) 一1 存在假设h 在甄而中满足条件( 2 1 6 ) ，那 么 h ( z ) 一1 存在，且 。) 一1 日( z 。) 1 1 一丽1 证明：我们有 h ( z o ) 一1 h ( 。) 一i i = | j h ( 。o ) 一1 ( 日( z ) 一h ( 。o ) ) | | ，| | t 一。o | |r z z三( ”) 咖s 上三( “) 也 ( t ) + 1 1 因此，根据b a n a c h 引理，我们得到h7 ( z ) 一1 存在，且 i i h 。1 日蚓js 一志 一1 6 b a n a c h 空间中若干解非线性方程算法的收敛性研究 引理证毕 口 下面我们陈述主要定理 定理2 1 因为x 0 x 令h7 ( 。o ) 一1 存在且卢= i i h 7 ( 。o ) 一1 ( 日( 。o ) + g ( 2 0 ) ) 卧假设日和g 在面丽而中满足条件( 2 1 6 ) 和( 2 1 7 ) 假设 _ 臼茎z 8 f ( 月) 一2 ( “) + l ( “) “j d “ 那么由( 2 。14 ) 产生的序列 。) 有意义收敛到f 在百鬲i 可中的唯一的z t 有 z n + 1 一。n | | i n + 1 一t n ，n = 0 ，l ( 2 2 8 ) ，并且，我们 ( 2 2 9 ) 其中( k ) 由( 2 2 5 ) 式定义，r l 是，的一个较小的根，r 满足( 2 2 4 ) 式。 以下我们证明这个定理 由于卢= j 1 日( 蜘) 一1 ( 日( 知) + g ( z o ) ) j | ，那么( 2 2 9 ) 当扎= 0 时显然成立现在我们假设 ( 2 2 9 ) 对于某个n 成立。令k 是满足m ksn 的最大的k ( k n o ) ，注意到 因此，z 。k 百i i 可根据引理2 2 3 ，h ( 。* ) 一1 存在且 i i h b m ) 一1 日( 知) l l 茎一h 上( t r e k ) 因此，x n + 2 有意义另一方面， h ( x n 十1 ) + g ( 。n + 1 ) = + ( 2 2 1 0 ) 打( z n + 1 ) 一h ( 。n ) 一h 7 ( 。m 女) ( z 。+ l z 。) + g ( 卫。+ 1 ) 一g ( z 。) 眉( 日( t 。+ s ( n + l z 。) ) 一h ( z 。 ) ) d s ( z + 1 一。) g ( z 。+ 1 ) 一g ( 。) 于是，根据( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ，和归纳假设，我们有 i i y ( 。o ) 一1 ( 日( 。+ 1 ) + g ( z 。+ 1 ) ) i i 1 7 r 一 m | | 一 + 咖锄 一 。一 + 嚣 小：l 一 z b a n a c h 空间中若干解非线性方程算法的收敛性研究 s 0 0 上( 蚪ir x m k 一。o d u l l 坼1 一z n i i z 1 z ：“：。i + “2 ：i 1 一“”工c “+ t ：埔一如，“s a uc t n + l - t n t n ) + z “n “一“l ( u + t n ) d “ 0 0 工( 蚪e o ) 幽砒( + n +“ = f o oa “驯m 胁 “ = j j h 。( t n + s ( 。+ l t n ) ) 一h ( t m k ) d s ( t 。+ 1 一t 。) + g ( t 。+ 1 ) 一9 ( t 。) z 。+ 2 一z n 十l | | = 1 日( z 。k ) 一1 ( 日( z 。+ 1 ) + g ( x 。+ 1 ) ) | | j i h ( z m 女) 一1 h ( z o ) i i - l 。h ( z o ) 一1 ( 日( 。+ 1 ) + g ( x n + i ) ) 一坐壁1 2 ! f ! ! 1 2 一h ( t m k ) 于是，( 2 2 9 ) 对于任何t z + l 都成立这意味着 z 。) 是一个c a u c h y 序列。令 z 。) 的极 限为z + 那么从 h ( 。k ) ( 。+ l z 。) = = h ( x 。) 一g ( z 。) 我们有日( z + ) + g ( 。+ ) = 0 或f ( x + ) = 0 定理2 1 证毕。 口 2 3 避免导映照求逆的牛顿迭代 对于迭代( i i ) ， z n + l = 。n a n ( 日( 。) + g ( x 。) ) 其中 a n + 1 = 2 a n a n j 了( x n + 1 ) 且n ，v n n o 我们你之为避免导映照求逆的牛顿迭代。相应的，我们把条件( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 修改成 f f a 。( 日( 。) 一日( ) ) | | 矗c l l x - y l l 三( “+ f f z z 。i j ) d “ j j a 。( g 扛) 一g ( 们川z “