（运筹学与控制论专业论文）分布参数系统的最优控制与区域分解算法及其应用.pdf

摘要 本文针对一类具有极大不可微性的抛物型方程定解问题，采用非重叠型区 域分解算法，应用分布参数系统的参数辨识与最优控制理论，研究了该问题的 参数辨识问题，主要的理论结果如下： 1 通过区域分解及在内边界上引入能量传递函数，将分片光滑分布参数系 统的抛物型方程定解问题转化为一个参数辨识模型。该辨识问题以各个子区域 的温度为状态变量，以内边界上的能量传递函数为辨识参量，其性能指标是使 得所有相邻子区域交界面上的温度差的平方和最小。 2 利用双线性函数和三线性函数的性质，论述了各子问题的有界性、强制 性以及解的先验估计。运用先验性估计，证明了其最优解的存在性。 3 当模型中的惩罚参数趋向于零，论述了区域分解后的最优解收敛到原问 题的弱解。 我们将上述理论结果应用于变压器的三维非稳态温度场计算中。 确定变压器的温度场分布及其特征，对于提高变压器设计水平，进而提高 变压器产品质量，均具有重大的理论意义和实用价值。由于变压器温度场问题 比较复杂，特别是关于大型变压器的温度场分布，国内至今尚未解决。本文以 大型油浸自冷式三相变压器( s f z 9 2 0 0 0 0 1 1 0 ) 的三维非稳态温度场为研究对 象，讨论了变压器运行过程中温度场的数值模拟模型。 依据变压器结构上的对称性，取变压器的l 4 区域作为数值模拟区域。为 了反映外界温度和负载的变化，建立了含有传质传热的三维非稳态温度场方程 及其定解条件。为克服变压器温度场本身的非光滑性( 即不可微性) ，分区域 建立了直角坐标系下和柱坐标系下的温度场方程，以及各子区域之间的界面条 件。 基于我们构造的三维温度场数值模拟算法，给出了变压器运行过程中温度 场在空间与时间分布的数值结果，并对所得到的数值结果进行了分析。上述数 值结果与实验数据基本上相吻合，验证了其数学模型和算法的正确性，合理性 和高效性。 关键词：分布参数系统；参数辨识；最优控制；非重叠区域分解；抛物型方程 温度场；非稳态；不可微； a b s t r a c t i nv i e wo f p r o b l e m so ns o l v i n gp a r a b o l i ce q u a t i o nw i t hn o n d i f f e r e n t i a b i l i t y p a r a m e t e r i d e n t i f i c a t i o no nt h e p r o b l e m s i sd i s c u s s e di nt h i s p a p e rb y n o n o v e r l a p p i n g d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d m a i nt h e o r e t i cr e s u l t sa r ea s f o l l o w i n g 1 t h r o u g hi n t r o d u c i n g a n e n e r g y t r a n s m i s s i o nf u n c t i o no ni n t e r n a l b o u n d a r y ，ad i s t r i b u t e dp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o nm o d e li se s t a b l i s h e d i nt h em o d e l s t a t ev a r i a b l ei s t e m p e r a t u r e i n s u b d o m a i n s ，a n di d e n t i f i c a t i o nv a r i a b l e i st h e e n e r g yt r a n s m i s s i o nf u n c t i o n i t so b j e c t i v ef u n c t i o n a l i st om i n i m i z et h es u mo f t h ed i f f e r e n c eb e t w e e n t e m p e r a t u r e s o nt h ei n t e r f a c e s a m o n g a l l n e i g h b o r s u b d o m a i n s 2 u s i n gt h ep r o p e r t yo ft h eb i l i n e a ra n dt r i l i n e a rf o r m ，ap r i o r i b o u n df o r s o l u t i o n so faw e a kf o r m u l a t i o ni s g i v e n t h r o u g ht h ep r i o r ib o u n d ，i ti s s h o w n t h a to p t i m a ls o l u t i o n se x i s t 3 w i t hp e n a l t yp a r a m e t e rc o n v e r g i n gt oz e r oi nt h eo b j e c t i v ef u n c t i o n a l ，i t i ss h o w nt h a to p t i m a ls o l u t i o n so ft h eo p t i m i z a t i o np r o b l e mc o n v e r g et oaw e a k s o l u t i o no ft h eo r i g i n a lp r o b l e m r e s u l t sa b o v ea r e a p p l i e d t oc a l c u l a t i o no fn o n s t e a d yt h r e e d i m e n s i o n a l t e m p e r a t u r ef i e l di nt r a n s f o r m e r s i t i s v e r yi m p o r t a n t f o r d e s i g n a n d i m p r o v e m e n t o ft r a n s f o r m e r st o d e t e r m i n et e m p e r a t u r ef i e l dd i s t r i b u t i o na n dc h a r a c t e ri nt r a n s f o r m e r s p r o b l e m s o n t e m p e r a t u r ef i e l d a r ec o m p l i c a t e ，e s p e c i a l l yf o rl a r g et r a n s f o r m e r s ，s o t h e y h a v e n tb e e ns o l v e d t h i sp a p e rd i s c u s s e st h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nm o d e l i n w h i c h n o n s t e a d y t h r e e - d i m e n s i o n a l t e m p e r a t u r e f i e l di n l a r g e o i l - i m m e r s e d s e l g q u e n c h e dt r a n s f o r m e r si s t h em a i n o b j e c t a c c o r d i n g t ot h es y m m e t r yo fs t r u c t u r eo ft h et r a n s f o r m e r ，o n ef o u r t ho ft h e w h o l ed o m a i ni sc h o s e na st h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o nd o m a i n t h i sp a p e rp r e s e n t s t h et h r e e - d i m e n s i o n a ln o n s t e a d yt e m p e r a t u r ef i e l de q u a t i o ni n c l u d i n gt r a n s f e ro f m a s sa n dh e a t ，a n dc o n d i t i o n sd e t e r m i n i n gs o l u t i o n s f o ro v e r c o m i n gn o n s m o o t h o f t e m p e r a t u r ef i e l d ，t e m p e r a t u r e f i e l d e q u a t i o n s i ns u b d o m a i n sa r eb u i l t r e s p e c t i v e l yi nr e c t a n g u l a r c o o r d i n a t ea n di nc y l i n d r i c a lc o o r d i n a t e b a s e do nt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o na l g o r i t h mi nt h i sp a p e r ，n u m e r i c a lr e s u l t s f o rt e m p e r a t u r ef i e l da r eg i v e na n da n a l y z e d t h er e s u l t ss h o wt h a tt h en u m e r i c a l s i m u l a t i o ni sc o i n c i d e n tw i t ht h ee x p e r i m e n t s a n dt h a tt h em a t h e m a t i c a lm o d e l a n dt h ed o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o di nt h i sp a p e ra r ec o r r e c t i v ea n de f f e c t i v e k e y w o r d s ：d ia tr ib u t e d p a r a m e t e rs y s t e m ：p a r a m e t e rid e n t i f ic a t io n o p t i m a lc o n t r o i ：1 1 0 1 1 一o v er ia p p in gd o m a ind e e o m p o s i t i o n ：p a r a b o iiop d e t e m p e r a t ur ef i e id ：n o n s t e a d y ：n o n d i f f er e n t ia b ii i t y ： n 第一章综述 1 综述 1 1 分布参数系统参数辨识与最优控制概述 1 1 1 分布参数系统参数辨识与最优控制问题描述 分布参数系统是指有无穷个自由度的物理系统，用数学的语言讲，就是用偏微分方 程、偏微分一积分方程或偏微分方程与常微分方程的耦合方程来描述其运动规律的系 统。在实际问题中，从数学的角度来说，绝大部分物理过程都是偏微分方程描述的系统， 是非线性的、分布的。例如，温度场，弹性振动，地下水的渗流、油气的形成与开发等 都是分布参数系统。分布参数系统是一个无穷维空间中的一个元，其状态空间是一无穷 维的函数空间。 参数辨识是指从某些实测资料中确定描述系统的模型中的未知参数，从而使模型的 输出在某种给定的意义下充分接近实际过程的观测值。分布参数系统的未知参数可以是 常数，或者是一个或多个时闯、空闻交量的函数。一个系统的参数辨识问题必须具备如 下四个前提：系统方程( s y s t e me q u a t i o n ) ，容许参数集( a d m i s s i b l es e to fp a r a m e t e r s ) ，观 测值( o b s e r v a t i o n ) 和拟合准则( m a t c h i n gc r i t e d a ) ( 或目标泛函) 。 在实际工作中，建立数学模型时往往将演绎法和归纳法结合起来，尽量利用被研究 系统的已知规律和原理，采用演绎法确定系统模型的数学结构，然后利用实测数据将系 统模型中尚未知道的部分( 如模型参数) 辨识出来。系统辨识可以起到对初步建立的机 理模型进一步完善的作用。在实际应用中，人们虽然可以通过众多的原理推导出物体的 运动规律，并使用适当的数学模型描述这些规律，例如建立一组微分方程或代数方程等， 但对其中许多参数，仍需通过别的手段来获取。许多经典的、现代的学科或工程都与系 统参数确定这一基本问题有关。经过实验或经验确定化学比率、热物性参数、电磁性质、 孔隙率、扩散常数、弹性模量、应变能力等参数的工作是整个科学界的一项重要的任务。 通常，测量这些基本的参数必须在严格控制的条件下进行，当实验控制条件能够满足时， 则用直接测量方法确定有关参数。但是，在模拟操作过程中，许多复杂的现象不能服从 实验条件，对于这样的模型的分析，允许噪声时序资料的辨识方法是一个强有力的工具。 人们对各种复杂系统的认识并不满足于对系统的被动的认识，而是一种能动的行为， 也就是试图对各种系统进行主动认识和控制，使系统按照指定的或者预定的方式运行，从 而达到对系统能动的干预，实现为我所用的目的。二十世纪六十年代初期，由于科学技 术的发展和实际工程控制系统设计的需要，以及集中参数系统最优控制发展的影响，现 代控制理论的一个新分支分布参数系统的控制理论开始萌芽、发展。例如，在核反 应堆中，在变压器温度场中等，如何通过外界的反应，控制系统内部的变化。这就是分布 参数系统的最优控制问题，它是现代控制理论的一个重要的且具有广泛应用前景的分支。 分布参数系统的最优控制与区域分解算法及其应用 最优控制，又称为动态或过程最优化，是现代控制理论和实践的一个中心课题。它 包括确定性最优控制和随机最优控制。它所研究的中心问题是：如何根据受控系统的动 态特性，去选择控制规律，才能使得系统按照一定的技术要求进行运转，并使得描述系 统性能或品质的某个“指标”在一定的意义下达到最优值。 最优控制问题用数学描述出来，通常都包括以下五个组成部分： 1 受控动态系统的数学模型，即动态系统的状态方程。 2 受控动态系统的初态与终态，即状态方程的边界条件。 3 目标集。 4 容许控制集。 5 性能指标。该指标通常称为性能指标或性能泛函、目标函数、代价函数等等。 从数学的角度来讲，分布参数系统最优控制与参数识别两者在本质上是一致的，只 是着重点有所不同，在分析与研究方法上有异曲同工之效。因此，把它们归结在一起进 行研究。当然，这两种情况，在实际的系统或应用中可能也同时发生。比如，在变压器 温度场的计算中，方面要控制变压器的温度：另一方面，由于温度的变化，从而影响 到变压器内部各种物理材料的物性参数的变化，这样要准确而真实地反映其温度变化规 律，这就涉及到对温度场系统的最优控制与系统参数的辨识问题。显然，分布参数系统 的最优控制与参数辨识两者最终均归结为求解一个具有约束条件的函数空间中的最优化 问题，该问题是一无穷维空间中的最优化问题。 1 1 2 分布参数系统参数辨识与最优控制的研究工作 分布参数系统的参数辨识与最优控制在许多方面都有着广泛的应用，如：地下水资 源、石油勘探、地震、气象等方面。在实践需要的推动下，分布参数系统的参数辨识与 最优控制的研究在其短短的历史中有了突飞猛进的发展。许多科学家、系统科学家和工 程师在这一领域作出了开辟性的工作。工l l i o n s 的早期著作( 1 9 7 2 ) f 1 】问世后。引起了强 烈的反响，他对描述分布参数系统的偏微分方程的定解问题做了专门的研究，为最优控 制理论和系统最优辨识奠定了理论基础。他的另一部经典著作( 1 9 7 1 ) 口1 是关于由偏微分 方程描述的系统的最优控制理论的著作，在其中l i o n s 以泛函分析为基础，用变分不等 式做主要工具，探讨了各类典型的二阶偏微分方程的二次指标最佳控制问题，对正问题、 反问题的定性理论都得出了比较系统的结果。此后这一领域的许多理论工作都是从这里 导出的。 分布参数系统参数识别的研究工作，主要从最优解的存在性及最优性条件、系统的 可辨识性、稳定性和最优控制问题的求解等方面展开，并朝具体化、清晰化以及应用化 方面发展。在最优解的存在性及最优性条件方面，人们根据不同的系统作了大量的工作。 由于分布参数本身的复杂性，早期的研究工作主要集中在线性、半线性且不考虑对状态 2 第一章综述 和控制约束的情形。这方面m u a h m e d 和k l t e o ( 1 9 8 1 ) 的工作最具代表性，以 oa l a d y z e n s k y a 和v ：a s o l o n n i k o v 关于线性与拟线性抛物方程的定解理论( 1 9 6 8 ) 【4 】为基 础，他们将l i o n s 的结论进行了较为全面的推广：n u a h m e d ( 1 9 8 2 ) 【5 】给出了一类二阶双 曲型分布参数系统最优控制的解存在的必要条件，这是研究双曲型系统最优控制方面较 早的研究工作之一；n u a h m e d ( 1 9 8 9 ) 【6 】利用算子半群、伴随系统以及变分不等式等工 具，把分布参数系统最优控制理论引入到参数辨识中，在b a n a c h 空闯中，给出了这一领 域的一抽象理论体系，同时研究了参数辨识的可辨识性及最优解存在的必要条件；在 1 9 8 9 年出版的另部专著【7 】中，以算子半群为工具，研究了由发展方程描述的系统的最 优控制的p o m r y a g i n 原理。n u a h m c d 的上述工作均是建立在一种抽象的理论体系下。 此后，n u a h m e d 与其合作者还做了大量的工作，在( 1 9 9 4 ) i s 、( 1 9 9 4 ) 1 9 】和( 2 0 0 1 ) 1 1 0 j 中， 讨论了具有强非线性的发展方程描述的系统最优控制的存在性及其必要条件：同时， a h m e d 还在分布参数系统最优控制中，首次引入了测度解的概念，并作了大量的研究工 作这也是最优控制理论研究中新开创的一大领域。 在国内，关肇直、宋健等研究了分布参数系统的镇定问题。此后，对确定性分布参 数系统最优控制理论的研究逐步展开。复旦大学李训经、何瑛、姚允龙和雍炯敏等一批 学者利用算子半群、粘性解、凸分析、s o b o l c v 空间理论，在分布参数系统的时间最优 控制、最大值原理、缺乏c e s a r i 条件下最优控制的存在性以及可控制性等诸多方面取得 了许多有代表性的成果；并就具有时滞的抛物型分布参数系统最优控制进行了深入的研 究；李训经和雍炯敏的论著( 1 9 9 5 ) i t l ，对分布参数系统最优控制和无穷维空间最优化理 论的发展产生了重大的影响。东北师大的陈任昭教授，基于j l l i o n s 的理论体系，具体 应用于人口、生物种群等系统的最优控制中，取得了许多重要的成果【1 2 j ；高夯( 1 9 9 9 ) 【l 副 把c l a r k 的非光滑分析理论( n o n s m o o t ha n a l y s i st h c o r y ) 引入分布参数系统最优控制之 中，证明了一类半线性抛物方程描述的非凸最优控制问题的最优解的存在性及其基于变 分不等式的最优性必要条件；同时，还研究了由椭圆型方程描述的空间区域最优控制问 题，给出了最优控制区域存在的基本条件，该研究工作在区域最优控制理论方面具有一 定的代表性。王康宁在文献( 1 9 9 5 ) 1 4 】中，基于线性算子理论、泛函分析、映象微分和发 展方程的定性理论，把集中参数系统最优控制中的相关理论推广到分布参数系统之中， 并主要对问题最优解存在性、可控性、能达性以及可观性进行了较为深入的探讨；同时， 还研究了具有双层、单层介质的有压力系统的参数识别问题及可辨识性；在( 1 9 9 5 ) i l 刘中， 还分别研究了具有二次性能指标和具有时间性能指标的线性抛物型分布参数系统最优控 制存在的必要条件，并给出了用算子方程形式描述的半线性抛物型系统控制存在的最大 值原理。喻文焕在无穷维最优控制，尤其在分布参数系统参数识别方面做了大量重要工 作，在( 1 9 8 8 ) 0 6 和( 1 9 9 6 ) i l 刀就参数带有逐点约束与不等式约束的识别问题作了详细的探 讨，将原问题抽象为一个约束最优化问题，利用d u b o v i s k i i - m i t j u t i n 引理证明了问题的 分布参数系统的最优控制与区域分解算法及其应用 泛函极值原理。 由于求解分布参数系统最优控制与参数辨识问题计算的复杂性，与分布参数系统最 优控制与参数识别问题的定性理论，尤其是由单个方程描述的系统相比，相应的最优化 算法的研究发展明显滞后。因为各工程技术领域、经济管理和资源分配等实际应用部门 的迫切需要，以及有穷维非线性规划优化算法和计算机技术的迅速发展，对于求解最优 控制问题的优化算法研究近年来越来越受到人们的重视，并得到了较大的发展，成为最 优控制理论中的一个重要的组成部分和解决实际问题的一个有力的工具。最优控制的优 化算法主要内容是研究求解最优控制问题的各种数值计算方法，并研究算法的收敛性和 收敛速度。这些内容多数是把变分法和求解非线性规划最优化问题的一些数值方法与技 术加以改造、移植和拓展而得到的。从数值计算角度来说，分布参数系统最优控制与参 数识别问题是一种以状态方程及对相应控制、状态变最的限制为约束条件的大规模最优 化问题。近年来，人们试图从已有的有穷维优化算法中寻找一种有效的算法移植到分布 参数系统最优控制与参数辨识问题求解之中。f t r o r z s c h 等学者对求解分布参数系统最 优控制与参数识别问题的基于s q p 方法的优化算法进行了深入的研究，在( 1 9 9 4 ) f l 驯和 ( 1 9 9 4 ) 【1 9 】中，提出了求解一类抛物型最优控制的s o p 法，并证明了算法的收敛性，在 ( 1 9 9 9 ) 【2 0 l 中研究了一种求解由半线性抛物型方程及其初、边值条件描述的最优控制问题 的l n - s q p ( l a g r a n g e n e w t o ns q p ) 法，其基本思想是：基于状态方程弱解、最优控制存 在性及相应的正则条件和b a n a c h 空间中的微分学理论，把最优控制问题用一适当的 b a n a c h 空间中的二次规划问题来逼近，然后用l a g r a n g e - n e w t o n 法求解相应的二次规划 问题，类似于有限维空间中相应算法的构造方法，得到b m m c h 空间中求解最优控制问题 l n - s q p 方法，并基于最优控制存在的一弱二阶充分条件和求解b a n a c h 空间中的广义方 程组的n e w t o n 法理论，证明了算法的局部二阶收敛性。k t r o k e s c h ( 1 9 9 9 ) 拉l 】还构造了一 种基于内点算法的非精确s q p 方法，证明了算法的超线性收敛性，并把该算法用于求解 一类具有状态约柬的抛物型最优控制问题，计算结果表明该算法具有良好的性能。k i t o 和k k u n i s c h ( 1 9 9 6 ) t 2 2 1 ( 1 9 9 9 ) t z 3 l 深入研究了h i l b e r t 空间中的增广l a g r a u g e 序列二次规划 方法( a u g m e n t e dl a g r a n g es q pm e t h o d ) f f 啊原始- 对偶序列二次规划方法 m a l - d u a ls q p m e t h o d ) ：j e d e n n i s ( 1 9 9 8 ) b 4 1 等探讨了用于求解离散分布参数系统最优控制问题的信赖 域内点二次序列规划方法( t r u s t - r e g i o n i n t e d o r - p o i n ts q p m e t h o d ) ；同时，t e c o l e m a n 和 y u y i n g l i ( 1 9 9 8 ) 1 2 5 1 对类似的算法进行了研究，并证明了算法的全局与局部二阶收敛性a 此外，h t b a n k s ( 1 9 8 5 ) 1 2 6 i 等从逼近的角度研究了分布参数系统参数辨识的计算方法。其 算法的基本思想是：用一系列的有限维问题逼近无穷维识别问题，将偏微分方程( p d e ) 约束下的优化问题转化为一系列常微分方程( o d e ) 约束下的优化问题，将函数参数的求 取简化为求有限个常数参数，使得参数识别问题可以利用已有的集中参数系统识别的标 准程序。在国内，龚六堂( 1 9 9 5 ) 伫等人讨论了一类简单的椭圆型最优控制问题的增广 4 第一章综述 l a g r a n g e 乘子法，并把并行算法的思想引入到分布参数系统最优控制的优化算法研究中。 二十世纪八十年代后期，出现了广义分布参数系统，它是比分布参数系统更为广泛 的一类系统，如电缆信号传播、图像处理、气体吸附、磁流、弱解耦舍系统和电磁耦合 超导线路中的电压分布等。它与一般的分布参数系统有着本质上的区别，当系统受到干 扰时，不仅会使系统失稳，而且会使系统结构发生很大的变化。1 9 8 7 年，k a c z o r e k r 2 s j 和l e w i s 2 9 1 分别从理论上提出了一类广义分布参数系统。此后，广义分布参数系统的研 究开始为人们所重视，从而提出了广义分布参数系统的最优控制与参数识别的概念。对 于前者在理论上的结果极少，而对于后者的研究目前尚未开展。由于广义分布参数系统 最优控制与参数识别具有广泛的应用前景，对该问题的研究必将对工程系统、经济与社 会系统、生命科学与材料科学等发展产生重大的影响。 1 2 区域分解算法概述 1 21 区域分解算法描述 在实践中提出的科学与工程问题，如油、气藏的勘探与开发、航天飞行器的设计、 大型水利设施的建筑、大型结构工程、天气预报、反应堆的设计等等，其数学模型都是 高维、大范围的大型偏微分方程，计算区域也往往是高维、大范围的，其形态可能很不 规则，给计算带来很大困难。 科学与工程计算的大规模性对计算方法提出了更高的要求，并行计算机的问世和日 益普及以及并行算法的发展为设计更有效的算法提供了物质保障。8 0 年代，一类被称为 区域分解算法的偏微分方程数值解的新技术骤然崛起。简而言之，区域分解算法是将一 个复杂的计算区域，按照一定的原则分解成若干简单的子区域，子区域的形状尽可能规 则，在每个子区域上相应地建立适当的规模较小的子问题，于是原问题的求解转化为在 子区域上求解。一个子问题用一个c p u 来处理，并通过高效、快速的并行迭代方法求解 一系列子问题，从而获得整个区域上原始问题的解。由于该算法挠将问题分解，由大型 问题分解为小型问题、复杂边值问题分解为简单边值问题、串行问题分解为并行问题， 因此1 9 8 5 年以后，愈来愈受到人们的重视和关注，研究渐趋活跃。进入九十年代，区域 分解算法无疑已成为当今计算数学的热门领域，是当前并行数值计算中最活跃的研究与 应用领域之一。 区域分解方法特别受关注，是因为它具有其他方法无以比拟的优越性： 1 它把一个大的闯题化为一些较小的子问题，缩, b t 计算规模。 2 子区域形状如果规则( 如长方形) ，其上或者允许使用熟知的快速算法，如快速 f o u t i e r 变换( f r r ) 、谱方法等；或者已经有解这类规则问题的高效率软件备用。 3 允许使用局部拟一致网格，无需用整体拟一致网格，甚至各子域可以用不同离散 分布参数系统的最优控制与区域分鲲算法及其应用 方法进行计算。这对于形态极不规则的问题更加适用，如锅炉燃烧问题：炉体部分与烟 筒部分几何尺寸相差很大，整体计算为了对付烟筒部分，不得不把网格加得很密。而区 域分解算法可以把这两部分分别处理，具有很大的灵活性。其他如建筑结构中的板、梁 组合结构，轧辊设计等也有类似情况。 4 允许在不同的子域选用不同的数学模型，以便整体模型更适合于工程物理实际情 况。例如，油、气藏的模拟中，靠近井管部分流速快，应服从非d a r c y 流规律，而远离 井管处则服从d a r c y 流规律，分解区域时应考虑在不同予区域选用不同的数学模型；又 如气体绕飞行体流动，在边界层附近为粘性流，在边界层外为无粘流，二者有不同的数 学模型，使用区域分解算法易于在不同子区域选用更适合于实际的模型；再如对数学中 颇为棘手的混合型方程，如果我们把区域的椭圆型部分与双曲型部分作为两个子区域考 虑，在子区域内进行计算就简单多了。 5 算法是高度并行的，即计算的主要步骤是在各子域内独立进行的。 6 其它。对对称区域问题有更简单的区域分解算法。 上述各点以缩小规模及并行计算尤为根本。 区域分解方法的发展史，最原始的思想可追溯到1 8 7 0 年德国数学家i 茁a s c h w a r z 提出的著名的s c h w a r z 交替法。s c h w a r z 本意是借用交替法论证非规则椭圆型方程解的 存在性与唯一性，直到二十世纪五十年代，才有入把$ c h w a r z 方法用于计算。由于并行 计算机的出现，并行处理与并行计算已成为世界高科技领域的重要研究方向，而区域分 解算法正是将并行求解技术用于大规模科学计算的主要方法之一。由于并行计算机闻世 和日益普及，经典的串行计算格局不适应于并行计算机，传统的算法受到挑战，区域分 解算法正是在这种背景下应运而生。 区域分解算法属于当前偏微分方程数值解的前沿领域，它集并行算法、预处理技术、 多网格多水平技术、快速算法之大成，有着广泛的应用前景，其发展趋势方兴未艾。 1 2 2 区域分解算法的研究工作 目前区域分解算法仍处于发展阶段，美国、苏联、法国、意大利皆形成了自己的流 派，我国康立山教授在八十年代初就提出以s c h w a r z 交替法为基础的异步并行算法，并 出版专著p 。 区域分解算法的重要基石是偏微分方程快速算法。快速算法主要针对规则域导出， 而区域分解的子域往往是规则域，特别有利于用快速算法求解。目前，所研究的区域分 解方法主要有：不重叠型、重叠型、虚拟型及多水平型区域分解算法m 】。 不重叠区域分解方法，源于有限元子结构方法，有限元刚度矩阵若按子结构分解成 块结构形状，则使用g a u s s 块消去法就导出容度方程。不重叠区域分解法的特征是先对 区域作原始剖分，各子区域之间互不重叠。 6 第一章综述 有无内交点是不重叠区域法的主要类别。无内交点情形较容易处理，离散m n 交替 法，l d m a r i n i h e 和a q u a r t e r o n i t 3 2 1 【3 3 1 方法，以及j h ，b r a m b l e 等人方法皆可证得迭代 矩阵的条件数与剖分参数h 无关；有内交点情形计算比较复杂，b r a m b l e 等与晰d i u n d 提出不同的预处理器，其结果是相似的：算法的条件数为o ( ( 1 + l o g ( h l , ) ) “) ，玎= 2 ，3 是 维数。此外，g l o w i n s k i l 3 习还建议以迹平均算子法去处理有内交点的区域分解计算，储德 林d 6 讨论了这一方法的收敛性。 对称区域分解法最早由康立山，邵建平，铙传霞口7 1 1 3 8 1 基于误差对称原理提出。需要 两步并行计算求出准确解；吕涛p 9 i 及吕涛，刘波1 4 0 基于函数的奇、偶分解法用一次并行 就求出准确解。前者我们可在专著 3 8 中找到详尽叙述，后者可在文献 3 1 中找到。 重叠型区域分解算法以s c h w a r z 交替法为理论依据。1 8 7 0 年德国数学家h a s c h w a r z 首次用交替方法论证了两个相互重叠的和集上l a p l a c e 方程d i r i c b l e t 闯题解的存在性。 稍后n e u m a n n 注意到这思想可以用于求解两个相互重叠区域的d i r i c h l e t 问题。1 8 9 0 年 p i c a r d 迸一步发展了s c h w m z 的思想，用之于解非线性椭圆型偏微分方程，并把算法定 名为s c h w a r z 交替法。 自从h a s c h w a r z 提出交替方法后，经许多著名数学家的研究，以p l l i o n s c 4 l 的投 影解释最简单和易用。数值s c h w a r z 算法开始较晚，六十年代，k m i l l e r l 4 2 是最早把 s c h w a r z 方法用于计算的数学家，康立山在1 9 7 9 年推广s c h w a r z 方法于数值计算上。康 立山【3 7 】 3 8 1 与唐维伯【4 3 】应用解的渐近展开，论证了矩形域上p o i s s i o n 方程的s c h w a r z 交替 法的收敛速度与重叠域的关系；p l l i o n * q 应用极值原理论证了一般域上的二阶椭强型 方程的s c h w a r z 交替法的收敛速度与重叠域的关系。这些重要的结果，在文献 3 1 中作 了介绍。 基于混乱松弛法，康立山提出s c h w a r z 异步并行算法，吕涛m l 使用l i o n s 的投影解 释给出异步并行算法较为严格的收敛性证明。在文献 3 1 中对这一结果作了改进，证明 了异步并行算法的收敛速度是几何的。 加性或并行s c h w a r z 算法克j 5 t ts c h w m z 交替法串行性。吕涛，石济民，林振宝f m l 【4 7 1 提出了用平均法构造的并行s c h w a r z 方法，w i d l u n d 利用l i o n s 关于s c h w a r z 方法的投影 解释及h y s e r 咖a m 雠1 的多水平方法思想，提出最优迭代精细方法阅。吕涛，石济民和 林振宝还考虑了变分不等式的并行s c h w a r z 方法d g l 。有关并行s c h w a r z 方法的收敛速度， 变分不等式近似解的单调收敛性及变权因子加速收敛方法在文献 3 1 皆属首次发表。 虚拟区域法的研究主要属苏联学者的工作。早在1 9 6 3 年v k s a u l e v 就开始研究虚 拟方法，提出了借助虚拟方法解边值问题的快速算法。其后，k o p c h e n o v ( 1 9 6 8 ) ， k o n o v a l o v ( 1 9 7 3 ) ，r u k h o o v e t s ( 1 9 6 7 ) 都作出了杰出的贡献。g i m a r c h u k 论述了虚拟方 法原理及早期的有关虚拟方法的详尽文献。k o b e l k o v 和b a k a h v m o v 建立自迭代法在文献 3 1 中给予了详细的介绍。当今区域分解方法研究中最活跃的苏联学者y u a k i z n w r s o v 7 分布参数系统的最优控制与区域分解算法及其应用 建立的子空间内迭代法，使迭代矩阵的条件数仅受制于a 的不变子空间对应的本征值。 m a r c h u k ，k u z n e t s o v 和m a t s o k i n 详述子空间方法对区域分解法和虚拟方法的应用。 k u z n e t s o v 还引进部分解概念，使计算过程更节省运算和存贮。 多水平方法是区域分解方法中崛起的新方向，撒开多层网格法不谈，多水平方法应 为y s e r e n t a n t 所突破。y s e r e n t a n t 发现有限元空间如果按多水平分裂，得到的子空间“几 乎”是正交。b a n k ，d u p o n t ，y s e r e n t a n t 用此方法阐述等级基多网格法；w i d l u n d 用它构 造有内交点子结构区域分解法的预处理器：s m i t h 和w i d l u n d 把结点基和等级基之间转 换与s c h u r 分解相结合得到新的区域分解方法b r a m b l e ，p a s c i a k 和许进超，引入多水 平结点基克服了等级基在高维遇到韵匿难。许进超的博士论文多水平方法理论，详细 地阐述多层网格法的相关点和多水平结点基的应用。这一方法有广泛的应用前景，是大 型科学与工程计算方面的研究主流。 区域分解方法是适应并行计算机的工作原理应适而生的偏微分方程数值解法，意在 借助于并行计算机求解规模巨大的工程问题。近十多年来，将区域分解方法用于求解偏 微分方程从各个不同的角度已经有所发展【5 0 】【弱1 关于区域分解算法的工作已有很多，几 乎所有的非重叠区域分解算法都是通过基于内交界面上传输条件的子区域迭代法，d - n 算法和n - n 算法是其中具有代表性的算法。另井，目前区域分解算法在椭圆型阀题中的 应用，已有很多人在这方面作了大量的工作。而对抛物型问越来说，由于问题的特殊性， 对区域分解方法在抛物型问题中的应用研究却很少，并绝大多数是以有限元法为基础的。 d a w s o n 等i 拍1 对于一维热传导方程的模型问题给出了有限差分区域分解方法，把通常整 个计算区域上的隐式计算化为多个子区域上的可彼此独立操作的隐式计算，实现了整个 空间上隐式计算的分裂。 j e a n d a v i db e n a m o u t 5 7 1 对于波动方程的最优控制问题，给出了一个具有成对的 r o b i n 传递条件的非重叠区域分解算法，并证明了它的收敛性。h y e s u k k w o n l e e ( 2 0 0 0 ) ”m 提出了求解非线性问题的非重叠区域分解方法该方法通过在每个子区域的交界面上寻 求n e u m a r m 边界条件，将原问题转化为一个最优化问题。文中证明了最优解的存在性， 并导出了一个确定这些解的最优系统该文还将区域分解方法阐述为一个最小二乘问题， 并对非线性问题构造了数值算法。随后，他 5 9 1 将该方法应用于研究控制自然对流问题的 b o u s s i n e s q 方程。 1 3 变压器温度场研究现状 变压器运行过程中因损耗引起温度的变化，实际上是一种十分复杂的传热过程，因 此交压器运行中非稳态温度场数值模拟属于计算传热学( 或数值传热学) ，计算传热学是 第一童综述 近三十年来形成的一门传热学分支。为解决能源，交通，动力，化工，冶金等工程技术 领域中的大量传热学问题，传统上采用基于相似理论指导下的实验研究与理论分析方法 解决。随着计算方法和计算技术的迅速发展，大大推进了用数值计算方法研究传热问题 的进展。计算传热学的特点是以传热现象为研究对象，建立合理的数学模型和离散方法， 在计算机上实现传热过程在时间与空间上的定量变化规律。 计算传热学的主要优点是模拟真实条件的能力强，能以较少的费用和较短的时间预 示有实用意义和较完整信息的研究结果。对于投资大，周期长的实验研究，它的上述优 点更为突出。虽然计算传热学不可能代替实验研究，但大量的传热学计算实例表明，计 算传热学确实是一种研究复杂传热问题的有力工具。将计算传热学与实验研究相结合， 不仅有助于实验方案的设计和改进，进而可以得到最优方案，而且还可以拓宽实验研究 的范围，缩减实验参数范围，减少实验工作量等。因此，计算传热学是一种有效的，经 济的研究手段。 变压器内涅井控制是变压器能否安全可靠运行的保证，也是变压器使用寿命、耐老 化及短路力等问题研究的基础。另外，由于绕组绝缘的耐热寿命和绝缘寿命及是否受损， 是由变压器绕组最热点温度及持续时间决定的，所以变压器设计中必须进行变压器的温 升计算。到目前为止，变压器温度计算( 或称热计算) 一般是根据多年的实际经验和一 些实验研究结果给出，以这种方法得到的绕组温升只是绕组各处温度的平均值，不能反 映绕组内部实际存在的最热点温度。该点温度不但不易计算而且也难以测量，用实验方 法很难找到准确的最热点位置及其温度。由于存在着设计周期长、试验结果不能反映热 点温升，难于确定最热点等一系列问题，因此，依据传热学理论，建立变压器温度场数 学模型并进行数值模拟，对于改进变压器的热设计和安排温控装置的测点等，具有十分 重要的意义。 变压器温度场数值计算的主要难点： 1 由漏磁通产生涡流，其损耗在变压器中各部分的分布至今未能解决，而该部分损 耗产生的热量占变压器总发热量的3 0 4 0 ，大型变压器更为突出。因此变压器中热源 的分布状态既难以测定，由难以考核其正确性。 2 变压器工作过程产生的热量主要是通过变压器油传出去的，变压器油的流动又与 温度有关。目前基本上没有关于变压器油的流场研究成果因此散热计算也是个难点。 3 由于变压器内铁心、线圈、变压器油、箱体及紧固件等的温度场是由于不同类型 的传热方程( 偏微分方程) 描述的，油的流速又与温度关系密切，这样交压器整体温度 场是由多种( 至少四种) 方程描述，方程中的系数是不可微的，又是非线性的。这类复 杂问题的理论、数值解法都是数学上没有彻底解决的难题。 武汉水利电力大学王文、顾昌等【6 哪对薄绝缘环氧浇注干式电力变压器进行数值模 拟。由于采用固体绝缘结构和自然对流散热，其整体散热性能的研究在文献中现无其它 9 分布参数系统的最优控制与区域分解算法及其应用 报道。该问题涉及复杂的内部结构和边界条件。此文以s c 1 6 0 1 0 型干式变压器为例， 对实际模型进行了简化，忽略了变压器上、下两端面