（应用数学专业论文）高维多参数有限平均族.pdf

摘要 文f l 】对平均数理论进行了公理化处理，建立了平均族理论文 4 1 又讨论了可 数平均族和连续平均族本文推广了文【1 ，4 的结果，进一步深入讨沦一维的平均族 理论，并在此基础上讨论高维似元平均函数和n 元平均族 本文共分三章第一部分是引言，主要介绍了一些已有的结果，如：一般的两 个变元的l e a c h a n d s h o l a n d e r 均值e ( r ，s ；t ，y ) 以及它的单调性，又介绍了文 1 1 1 4 中一些已有的结果第一章主要介绍了一维7 7 , 元平均函数和平均族，在已 有的文1 1 中给出的参差域k 上的n 元平均函数概念的基础上，证明一般形式的 4 m = 中o ( 咄西( 啦) ) 是平均函数，讨论了它的单调性和连续性，其中还将已有的 二元s t o l a r s k y 平均推广到了n 元平均此外还通过改变权咄，使之成为权函数， 从而使n 元平均函数的形式多样化在n 元平均族中给出了单参数和多参数平均 族，并讨论了具体的单参数的幂平均族和指数平均族，多参数的d r e s h e r 平均以及 由此构造的另一种形式的双参数平均族最后，还介绍了凸不等式，给出s o ) ，瓦= 【一0 2 ，+ 。】，可= 【0 ，+ 。】 1 一维n 元平均函数 本节在一维的平均函数中，着重讨论一般形式的平均函数a ( 旦) = 垂- 1 ( - 净( a d ) 的性质，从而为下节研究平均族奠定基础 首先给出几个已有的概念 定义1 1 1f 1 】若为r 上至少含两点的连通子集，则称k 为参差域对 v a i k ，i = l ，2 ，n ，称 a n h 为k 上的n 元参差组，特别当a i = a k ( i = 1 ，2 ，n ) 时，称参差组 啦) 冬。为k 上的n 元平滑组对参差组 n 。) 冬l 中的任 意一个a 。，称a i 为此参差组的第i 个参差点 定义1 _ 1 2 【1 】设为r 上参差域，设p ：k “r 为上n 元函数， 若对k 上任意参差组 啦) 譬，均有1 r a i i n 。t t t ( a 1 ，n 2 ，o n ) 。m ：a 。x 。则称 肛为上n 元平均函数特别当k = r 时，称p 为n 元实域平均函数当 k = r - 时，称p 为n 元正域平均函数记f ”陋 为k 上全体n 元平均函数的集 合特别地，当a 。= a g ( i = 1 ，2 ，n ) 为平滑组时，显然有上( 0 1 ，a 2 ，a 。) = a 在以前的学习中，我们已经接触过算术平均，几何平均，调和平均，然而这些 均值只是以下即将定义的更一般均值的特殊情形 定理1 1 1设为兄上参差域，m ：k r 连续严格单调函数， a i 叁。 为k 上任意参差组令a 。( 鱼) = 西1 ( 姚西( o 。) ) 其中0 1 ，= 1 ，则 a m ( 旦) 为k 上n 元平均函数 证明只须证对k 上任意参差组 0 4 n ；1 ，有1 翟i n 。a i a m ( 立) 1 m 。a x 。a i 不妨设a 15a 2s 墨n 。，击连续严格单调增，则垂( 口1 ) 中( 2 ) 中( ) 则q d ( a 1 )釜岫币( n 。) 苎u 。中( 。) s 登w 。垂( n 。) ：中( n ，；) i = li = 1i = l n 又由垂严格单调增，知垂矗1 严格单调增，则n 1s 西- 1 ( 吣西( n ；) ) sa 。 l = l 3 西严格单调减的情况类似一 吼) 饕，为平滑组时易见恶嘎毗曼4 。( 旦) l m 。：a 。x 。2 t 故4 ( 鱼) 为彤上挖元平均菡数。 例1 1 ( 1 ) n 元算术平均a = eu 。啦，参差域k = r ， 令西( z ) = z ，贝4a 4 ( 盟) = u ：n 。； ( 2 ) n 元几何平均g = 1 1o 气参差域k = r 十 令垂( 口) = 口5 ，则a m ( 旦) = ( 蛾口；) 令s _ 0 ，则得札元平均g = na “i ； ( 3 ) 札元调和平均曰= l ，参差域k = 墨 昌” 1 ，旦，、， 1 4 - 喇2 ；，则4 m ( 堡) = ( 1 = 1 抑1 3 k ， 山 、“1 例1 2圣( z ) = 矿，l n z ，t g x ，c t g 士时，相应的钆元平均函数为 n 7 ，u t m n n “ a ( 勒= i n ( 岫e “) ，e 各，t 9 。( l o i t g a i ) ，c 幻“( 咄c t g a 3 参差域分别 2 = j = 】；= l 为耳= r ，r + ，( 一；，i 7 ) ，( o ，丌) 利用a m 的这种性质，可以构造很多的平均函数在以前的学习中，我们只接 触过二元的s t o l a r s k y 平均，在以下的例子中，我们将之推广到n 元，并讨论它的 单调佳，与算术平均等的关系以及它的显式表达式 例1 3 定义礼元s t o l a r s k g 平均： ，训= 陇篷础尊。由箬 其中，z “：萎z 池，量胁：1 ，参差域k ：r + t = l；：1 n 1 a 。_ = ( f “，“2 ，“。1 ) ：0 肫1 ，p 。1 ) 易知a 。一1 的体积为k 一，= ( m 1 ) 旷1 ，令咖表示a 。一，的体积微元， 则f a 一，卜：六一舡= ( 一1 ) ! ) ，则上一】) ! 舡= 1 令咖州= ( 砧一1 ) ! 咖 令 姒归慨薯 故 岛扛- ，z 。，1 ，。n ) 2 ( 厶。缸。国d 陬一- ) - 下面验证昂( x l ，x 2 ，z 。) 是n 元平均函数 即m i n z j ，z 2 ，3 2 n s p ( $ l ，。2 ，x n ) m a x z 】，3 ：2 ，z n ) 证明若p 1 ，则 品( z - ，z 。，) = ( 正。( 。叫) 9 1 如* 一z ) 寺 s ( 厶。( 耋舻1 札) 者思鐾甄 2 罂麓z i 同理，p 1 吨s ( 。1 ，x 2 ，z n ) 1 r a 。i 。n 。x i 若p = 1 ，则 昂( z l ，z 2 ，。) ：e j n 一。8 “2 蝻一1 。k l ( 1 哩善p i + l o g 姆m a ! x 。瑚札l ：j k j1 “【爨8 ”1 。黝甄 同理， p = 1 盹s p ( z l ，x 2 ，_ 一，z n ) l r a 恸i n x i 故 r a i n z 1 ，x 2 ，z 。 s 昂( z l ，x 2 ，一，z n ) s m a x z l ，。2 ，- - ，x 。) 若 甄) 娶1 为平滑组，则s ( 。，z ，。) = 。 n = 2 时( p 1 ) ， 品( 茁1 ，。2 ) = 即为熟知的二元s t o l a r s k y 平均 ( ( 。p ) d n ) 者 ( f 1 ( ，肛+ z 2 ( 1 一p ) ) 一一，d “) 南 ( 上( 训+ 。2 ( 1 一p ) ) ”1 舡) 奇 c 著蔫，南 礼元s t o l a r s k y 平均有很多好的性质， 性质i 岛关于参数p 满足单调性，即p q 时，s 晶 证明令 皿c 。= 西。中芗1 。，= 篓；乏。 5 p g p=1q p q = 1 皿，( t ) ：( q - 1 ) ( q - p ) ip 一1 t 2 p q 1 7 9 = i a = 1 若p q 1 ，则( f ) 凹；不然，皿( ) 凸故p q f g t ( f ) d p ，不然，q ! ( f f d p ) f 皿( f ) d p 令，= 扛肛) ，故 p q 1 其它 故 裟懋端：p 其 它q “ 又西口= t q ，西i 1 = t 击，显然，q l 时，垂i 1 单调减；否则单调增 故 故p q 时， 性质i i 昂 圣i 1 ( 面目( z ) d p ) = s 口 s 中孑1 ( 西。( z 肛) d p ) = 岛 昂 s q p o ，岫= 1 ，p ，q 卜。，+ o ( ) 参差域k = r + p g 时，压( 鲤) ：( 晕竺) 南p ：g 时，补充定义，瓦( 立) ：( 疗。，) 耋 ? p g 时，压( 鲤) = ( 等一) 南 = g 时，补充定义，瓦( 立) = ( n 。) 鼻。 w o ? 4 1 即 a 女f 盟) 为著名的d r e s h e r 平均 2 一维n 元平均族 p q p = q 本节主要在已有的单参数- 甲- 均族基础上给出多参数平均族的定义，为一维平均 族拓广了研究领域，并具体构造了幂平均族，指数平均族 定义1 2 1 1 j 耳为r 上参差域，譬：= 【s 一，s + 为葡上闭区间，则称啦为 r 上参数区间记f “畔；， = 地1 肌f “l k 】，s 1 2 对中任意参差组 a i ) 譬。，若f ”畔；啦 满足如下性质； 9 一心 专擘 霹一霹 g 恍咄 w 吼 。丝。e随 。n ( 1 ) 正规性 “s 一( n 】，o ，) = 1 r a m i n a 。 p s + ( n ，n z ，n n ) 2 l n l a x 啦 ( 2 ) 单调性：对v s i ，8 2 1 2 + - ，若s l s 2 ，则有 p s l ( 叽，( 1 2 ，a n ) p 5 2 ( ，a 2 ，一，a n ) 当且仅当 。 翟，为平滑组时，上式等号成立 ( 3 ) 连续性：批( 叭，a 一，a 。) 关于参数s 连续 则称f ”瞄；j = 地lm f “ ，s e 二) 为上单参数n 元平均族对 v s 露二，称肌为s 阶平均函数 定义1 2 2 为冗上参差域，菇! = 8 1 一，s l 十j 8 2 一，8 2 + j s 。s 。十】 嘻! = s i 一，s i + 】为瓦上闭区间，则称，芒为咒上参数区间记f “暇； s i - - ，i = 1 ，2 ，m = 。t l , 。，。f “ 吲，s i 翌) 对k 中任意参差组 啦 警1 ，若f “i k ；堙二，i = l ，2 ，m 满足如下性质： ( 1 ) 正规性： ( 2 ) 单调性：。，。( a t ，a 。，a 。) 关于每个参数均单调， ( 3 ) 连续性：在聪中，地。，。( a - ，一，o 。) 在上点禹= ( s t + 点立= ( 8 1 一，8 m - ) ，内点亨= ( s 1 ，s 。) ( 魂吼+ ，s 。一) 连续 则称f ”瞄；堙二，i = 1 ，2 ，m 】为k 上多参数n 元平均族 下面给出具体的幂平均族和指数平均族 定义1 2 3对v s 您= 瓦= 一。，+ 。】，记 s 0 s ：0 则称 m 比照；幽is l + 2 ，a ；k = ( 0 ，+ o 。) ) 为一维竹元幂平均族 一维幂平均族满足如下性质 1 0 善 | 蘸 j j j j 肛 p 凹 ， 謦驴 定理1 2 1幂平均族褥足正规性和连绥性： ，+ l i m + 。m h ( 鱼；世) = 。l i r a ( e u ；。；) 2i m 。a x 。 。+ l i m 一。m m ( 旦；盟) = 。1 2 ( e u t 。s ja 1 = i m ；i o ，其中f 介于。与s 之间，】。夕( o ) ：o s 9 ( s ) g ( ) ”。”一1 一“”。 目9 【i n ( 萎0 2 i a i 向：唑 0 故【( 萎州内， 0 即【( lj8 ) l = j 杀_ 故【( 岫毗5 ) 叫 一1 【o ) i a i 5js 竹幂平均裤娑千s 堕调增 定义1 2 4对v s 臂。= 可= f 0 ，+ o o 】，记 l 嘲c 鸟世，= l o g , 量w 芦“：兰：s r 十 则称 “5 】( 些；世) l8 付o 。，n 。k = ( 一。，+ o 。) 为一维n 元指数平均族 一维指数平均族满足如下性质： 定理1 2 3指数平均族满足正规性和连续性： 删l i m l l 5 i ( 州) _ l i m l o g s 蚤“2 惑吼 l i ml i d f ：u 1 5 _ + o 。 一7 脚l 5 1 ( 西盟) 。与1 0 9 。“ b i a i 证明不妨设。m 。a 。x 。a i2n n ，热o t 2 。- 若s 叶+ 。，不妨设s 1 ， 则6 t i n 8 a t 釜b j i s a l 釜u ；s n n = s ，故l o g 。u 。s n n l o g 。曼u ；酽t l o g 。s 。n 即口n + l o g 。u n l o g 。至u t s 毗。n ，故。旦罕b l s ( 鱼，世) = n n 若s - 9 , 0 ，不妨设s 。 又未( e 酬一) = e u e ，幽乏( l ( 玛世) ) 。，故旦d s ( l 。( 鱼，世) ) 。 故厶( 旦，世) 关于参数s 严格单调增 1 2 对于多参数平均族，如上节的d r e s h e r 平均 p p ，口( 鸟世) 就是双参数平均族 例1 6 “p ，口( 堡幽 岫o ? ， ( ) 南， w i a ? z = i 1 ( f 1 ) p ? 蚍n ? o ) i a ? 白。 t = l p q p = q p g p = q 是双参数平均族，其中咄是权，参差域k = r + ，p ，g 鬈= 一呱+ 。】 肛十o o ，+ o 。( 旦；t o _ ) = l m 2 a x nn i ，# - o o ，一。恒；世j = l m 。 其中位于p ，q 之问1 n g ( q ) = 0 。从而b 南( p ) ) 0 ，故鳓，。关于p 单调增 同理可证脚关于g 单调增证毕 仿照上例的d r e s h e r 平均，我们可p a 构造类似的双参数平均族 例1 7 | 吻，。( 堡；世) = f ( 釜跳n ) ；( 苎咄q q ，。1 _ 1 i 是双参数平均族其中参差 域k = 兄十，p ，叮_ ，兰苗= 卜m o 。，+ 。 d 4 ，+ ( 盟；型) = 1 l l l ，a x 。a i ，一o 。，一渔；世) = 1 r a ( 4 i o t 故吻，关于p 单调增t 同理可证，。关于q 单调增 5 3 凸不等式 由幂平均族还可以得到幂平均不等式，即凸不等式本节将在已有的m i n k o w s k i 不等式以及文【3 1 中冈察洛夫的研究结果基础上，给出s 吣小：b ) = ( 半汽则当s l 时 ：( + ，b + b ) s ：( o ，b ) + ；( j ，6 ，) 上述引理给出了参数s 1 时的凸不等式以及s 1 时的凸不等式的一种情 形下面的定理证明了参数s 1 时的m i n k o w s k i 反向不等式 定理1 3 1 a 。 ；nl ， 玩 冬。为参差域k = r + 上的参差组，姚是权若5 l ， 则 nn n ( u ta l4 - h i ) 3 ) ( u ：n ；) + ( u 如。s ，i 1 i = 1i = 1i = 1 其中等式成立当且仅当参差组 吼) 坠。与p ；) 坠。成比例 证明若s 1 时，有( ( 啦+ b i ) 5 ) s ( o ；s js l _ + ( 蜒) ( 2 ) 若s 1 时，有( ( n 。+ b i ) 3 ) ( o i 8 js 1 + ( w ) 其中等式成立当且仅当参差组 n 。 冬1 与似) 饕。为成比例 对于多参数平均族，也有一个类似的凸不等式 定理1 3 2 a i ) 鍪l ， 6 。 冬。为参差域k = 冗+ 上的参差组， 咄是权，若 0 r 1 8 ，则有 w i ( a 。+ b 。) 5 ，w i a ；，岫6 ；， ( 鲁一) 击( ) 击+ ( ) 击 l o i ( a i + b t ) 7 0 3 i a ；u 。酲 其中等式成立当且仅当参差组 吼) 警。与 b 。) n ；，成比例 若s 0 1 一 证明在 中，令c l = s8 i i ，q 。i ， ( ( “；n ；) j + ( w ) ) 寺 _ ( 誊声c 缸灯c 甏声 f ( 晕竺) 击+ ( 晕竺) 击 竿击 岫口i呐b ； 。 w i a z 墨0 3 i a i ( 妻邺；) ；+ ( 壹虮6 州去( 1 ) i = 10 = 1 。 又由于r l ，由定理1 3 1 ，则 ( 耋呐嘭) ；+ ( i 釜= l 咄6 i ) 击s 睡屿( 叱+ 堍) 7 r 寺= 睡呐( 。i + 以) r 七 蝴 1 ) ，得 u i ( a i + 机) 5 ( 鲁l u i ( a i + b 。) 7魄鐾墼墼婴乏。轻向。鞋，击 j 三w i ( a i + 阮) 7 f 互。；i u 扣； 若s 0 1 r ，则有反向h s l d e r 不等式，m i n k o w s k i 不等式和定理1 3 1 同上 类似可证 证毕 1 6 净。d 耐 如成孵 龟 u 一地 龀 产 惰 瓤 砌 则 不。；吐 妣竺埘l。掣降蚤， 七 霹一嵋 站一咄 塑。蚓 击 第二章i n 维n 元平均族 本章主要考虑多维的平均映射和甲均族，并就他们是否满足方包性和凸包性分 两类进行推广 1n l 维n 元平均映射 在定义多维的礼元平均映射之前，先给出几个基本的概念 定义2 1 1 s c 尼“称为凸集，是指v x ，s ，v a 0 ，1 ，( 1 一a ) x + 蛔s 若s 又是闭集，则称s 为闭凸集 命题2 1包含a 的所有凸集的交仍为凸集包含a 的最小凸集存在，且等 于包含a 的所有凸集的交 定义2 1 2设acr ，则包含a 的最小凸集称为a 的凸包，记为c o ( a ) c o ( a ) 的闭包称之为a 的闭凸包，记为g o ( a ) 命题2 2m 维欧氏空间r 中的点组 只) 墨，构成的凸包为 九b10 t 2 l a is1 ，九= l t = 1 定义2 1 3 t c 兄“称为方集，是指v 。= ( x l ，2 ，z 。) ，y = ( y l ，y 2 ，。) t ，v a 。 0 ，1 】，( ( 1 一a i ) x l + a i y l ，( 1 一a 2 ) 。2 + a 2 y 2 ，- ，( 1 一a m ) 茁m 十凡n 玑。) t 若丁又是闭集，则称t 为闭方集 命题2 3包含a 的所有方集的交仍为方集包含a 的最小方集存在，且等 于包含4 的所有方集的交 定义2 1 4设acr ，则包含a 的最小方集称为a 的方包，记为c u ( a ) c u ( a ) 的闭包称之为4 的闭方包，记为瓦( a ) 命题2 4m 维欧氏空间r “中的点组 只) 譬。构成的方包为 r a i n 。x ml m i 躲 n 。l 。m 。i 。n 。x 2 叫m 。i a 。x 。x 2 i 】 。r a 。i 。n 。z 慨，i n 。，& 。x 。x m t 其中只= ( z l z 2 ，- ，z m ；) ，i = i ，2 ，礼 定义2 1 5若k ( cr “) 为2 = r r xr 中的方集，则称k 为方参 差域若( c 即。) 为彤“中的凸集，则称k 为凸参差域中的点组称为参差 1 7 组设：k ”r ”为m 维空间中的n 元映射，记u = f 巩，。) ，若 ，孙兰， 则称之为分量映射其中 最 墨，为中参差组只= ( z m 。2 一，z 埘) 定义2 1 6u ：”斗冗”为m 维空间中的乱元映射，若对方参羞域k 中 任意参差组 r ) 坠。，有u ( n ，局，r ) a “( 。 。n 。) ，则称为方参差域上的n 元向量值平均映射若对凸参差域中任意参差组f 只) 叁。，有u ( p l ，b ，只。) g o ( 只) 坠1 ) ，则称u 为凸参差域上的n 元向量值平均映射 命题2 5若对v r 方参差域k ，p = ( x m 。2 - ，z 。) ，有 。蠹。j zsu j ( 。j ，巧2 ，n ) 。m s 譬。 j = 1 ，2 ，m 则u 为方参差域上的礼元向量值平均映射若对v 只凸参差域，j 九f o ，1 ，量九： = 1 l ，使得u ( p 1 ，尸2 ，p 佗) = 萎a i 只，则u 为凸参差域上的n 元向量值平均映射 t ：l 定理2 1 1若k 为r “中的参差域，设中：k r “是n 元连续的分量映 n 射，且关于每个分量均严格单调令a m ( 旦) = 中- 1 ( u 。中( 只) ) 其中0 毗l ， l = 1 n o ) i = 1 ，i = 1 ，2 ，n 则a ( 旦) 为k 上礼元m 维向量值平均映射 i = l 证明a ( 旦) = ( a 壬。( z l i ，x 2 仿照定理1 1 1 的证明，可知 1 n ( 1 t i ( n n x 。i 4 中j ( z j l ，x j 2 ，一，z j n ) 1 m ( 2 a 0 ，丸( p 1 ，p 2 ，p 札) = 1 t = i 】8 m 巩 ，。 rbr “ 定理2 1 2k 为m 维空间r ”中的参差域，对于k 中的任意参差组 只) 坠， 单指标单参数平均映射a ：( t ) = 兰岫( t ) 只满足凸包性其中，i 萎= 1 咄( ) = 1 ，o 岫( ) 1 ，t r 证明由凸包的定义及岫( f ) 的性质，结论易知 显然，当t 变化时，曲线a ：( ) 恒位于参差组 只) 咎。形成的凸包内，在c a g d 中有一个很重要的例子就是b d z i e r 曲线 倒2 1空间b g z i e r 曲线a ( t ) = 登b 。( t ) k 满足凸包性其中，b i m ( ) 为 b e r n s t c i n 基b 。( t ) = g 扩( 1 一t ) “0 t 1 k = ( 甄，y l ，z i ) 为控制顶点 显然，磊岛，n ( 。) = 1 ，o 。1 其中， b o 3 ( t ) = b l ，3 ( t ) = b 2 ，3 ( t ) = b 33 ( t ) = n = 3 时，b d z i e r 曲线图如下 1 3 t + 3 t 2 + t 3 3 t 一6 t 2 + 3 t 3 3 2 3 t a f 3 图1 ：b d z i e r 曲线图 1 9 定理2 1 3 k 为m 维空间r m 上的参差域，对于k 中任意参差组 只， ：凳。， 双指标双参数m 维平均映射a 。1 , n ，。( s ，t ) = 她( s ) ( ) j f 0 满足凸包性其中 l = l7 = j u d s ) = ( t ) = 1 ，0 u ；( s ) ，v t ) 1 ，s ，t r 2 2 i1 = j 证明由凸包的定义，结论易知 显然，当s ，t 变化时，曲面a ( s ，t ) 恒位于参差组 ) ：嘉，形成的凸包内， 同样在c a g d 中也有一个重要例子就是b d z i c r 曲面 例2 2 居彘i e 7 曲面a ( 8 ，。) 2 鼠，m ( 5 ) 马，n ( ) 满足凸包性 其中，鼠，。( s ) ，岛，。( ) 为b e r n s t e i n 基，0 s ，ts1 = ( z ，z i j ) 为控制顶 点， = 0 ，1 ，- - - ，m j = 0 ，1 ，n ， i i 方参差域平均映射 按分量推广的高维平均映射满足方包性 定理2 1 4 设为r ”中的参差域，中：k 一r “是n 元连续映射，西= ( 中t ，虫z ，西。) 是分量映射，且中。关于每个分量均严格单调 o 乌蘑i 厶= 1 i 乌一y i 证明由于二维几何平均与调和平均的分量是一维几何平均与调和平均，故它 们的分量满足正规性 丑 。r a ；i n 。晚hz i l a 2 图2 ：二维几何平均方包图 图3 ：二维调和平均方包图 2 y i i 维n 元平均族 本节首先在一维平均族的基础上定义m 维多参数平均族，并具体构造了多维 的幂平均族和指数平均族 定义2 2 1k 为m 维空间咒中的参差域， s hs 。+ 为葡上参数区间，记 砭! = pl ，s l 十】x h 2 一，8 2 十】x 一，s 。+ 1 对中任意参差组 只) 譬1 ， 2 1 只= ( z x 2 i ，一，z m i ) 记 p f ( ) = p f ( 只，p 2 ，r ) = ( “s 。( z 1 1 ，x 1 2 ，一，z l 。) ，肛s 2 ( z 2 1 ，x 2 2 ，一，2 2 2 。) ，- - ，“5 m ( z m l ，x r n 2 ，一，z m n ) ) 其中f z ，。( x i l ，z 幽- ，x i n ) ，s 。k 一：s ” 为一维n 元平均族则称声【k ；明= “f 哩) i 岛 s ；，s h 】，毋k ，i = 1 ，2 ，m ) 为k 上m 维n 元平均族 为了便于理解多维平均族的定义，我们给出多维的幂平均族和指数乎均族首 先介绍一下偏单调性和偏正规性的定义 定义2 2 2 r ( ；习= ( ( t l l ，x 1 2 ，- ，。】。；8 1 ) ，f 2 ( x 2 1 ，z 2 2 ，x 2 。；s 2 ) ，- 一，厶( z 。l ，x m 2 ，- ，x m n ；s ，n ) ) 是分量映射，若f j ( x j ，2 ，x j 。；5 j ) 关于彤严格单调，j = 1 ，2 ，m 则称， 满足偏单调性若忍z ”f x j ，x j 2 ，n ；s ，) s 婴黑z ”j = 1 ，2 ，m 则 称，满足偏正规性 定义2 2 3 对v s i 譬= 一。，+ 。】，i = 1 ，2 ，m ，记 川蚴= 瓣擎，等驯1 争象净1 嫠刳1 w i 0 & 舢 r 1 nnn l ( nz 笛，nz 。，丌z 篙。) ，s ；= 则称 m 日( p ，w ) ls j ，二詈，只= r ? = ( 0 ：+ ) ( 0 ，+ o 。) x ( 0 ，十。) ，j = 1 ，2 ，m ，i = 1 ，2 ，n 1 为m 维 元幂平均族 显然 q ( 酗n 。妒= 惑吩，；，蛾( 酗nz 驴= 姆n l a r x ” 定王里2 2 1m 维幂平均族满足如r 性质： ( 1 ) 偏正规性： 1 r a 渤i n i ( 盏) 可曼l m a x 。x j z ，j = 1 ，2 ，m ( 2 ) 偏单调性：若s ；1 ) 0 ，m i 目( a p ；型) = a z 目( ；世) 2 2 ( 4 ) 关于参数连续性 n 彤叫十。日寸( u ；吲户叫l s su 1 。亘f o s g o ( 4 ) 关于参数连续性 勺_ + 。时，1 ，蚤缉。_ 岣n a ! x 。嘞 s j _ 时, l o g 蚤挑s 叫蕊码t 勺 1 时，l o g “c o i s j 功 c a i x j i z = 1i = 1 ( 5 ) 方包性：指数平均族恒位于参差组 p f ) 坠。构成的方包内 证明偏正规性，偏单调性，连续性显然 方包性由正规性及方包的定义可证正齐性的证明同定理2 2 1 第三章平均族理论的应用 平均族理论在数学的各个分支以及其它学科中都有深广的应用本章中我们就 平均族理论在定义新范数以及c a g d 中的应用略作论述 1 平均族理论在定义范数中的应用 欧氏空间中著名的p 范数| | z = ( 量ix il ，) ；是不带权的若加上非退化 权，成为幂平均族的形式，则就是以下将要定义的均值范数 定理3 1 1令l iz 忆，= ( 三毗1 l ”) ；其中， 1s p + o 。e 咄= 1 ，0 咄 1 是非退化权 茁。) 冬。为参差域k = r 上的任意参差组，则i lx ，为k 上 的一个范数，称之为均值范数 证明往证l i ? ，满足范数的三条性质：正定性，正齐次性，半可加性 正定性和正齐次性显然j jz ，oj 。z 忆，= jaj - iz ，。r 半可加性l l 茁+ y ，- 1 iz p + y p ，由m i n k o w s k i 不等式易证 当p = 1 ，2 ，+ o 。时，均值范数分别为； | 1 z1 i 。，= u 。l 茁。i 1 1z 忆。= ( 恍ix i1 2 ) i 1 忙o 。i 。i i 丙3 , x 。i x il 均值范数还有下面的重要性质： 定理3 1 2 1sp q + o 。时，有| ix p 曼| | z 忆g ，即均值范数关于参数 p 单调增等式成立当且仅当 甄) 坠。是平滑组 证明由幂平均族关于参数p 是单调增的可证 定理3 1 3 。旦罕k | | zl i u ，一2 i | z i i “，o 。 证明由幂平均族的正规性可证 若均值范数中的非退化权毗= 二为均权，则 忪忆扩( 薹去hn ；= ( ；) ；( 耋旧n j ，忪忆，o 。= 理答h 可以证明均权时的均值范数与礼维欧氏空间中的p 范数等价 定理3 1 4均值范数l iz 峙，与p 范数i z 忆等价( p 1 ) 证明 忙峙，= ( 耋去hn ；= ( i ) ；( 耋h n j s ( 娄h n ；刮圳， 而且扩( 辨蚤”) ；( 去) ( 蚤9 ) ；2 圳嘶 从而i f | zf f 一f 。畦，z 若p2 + 。，则i f 。恬o 。= | fz f f 。0 2 ，m 。；a 。x 。i f - 所 以l lz 忆，与| iz 忆等价 有限维赋范线性空间中，任意两个范数均是等价的，所以当权为一般的非 退化权时，亦可_ 以证明均值范数与p 范数等价 定理3 1 5均值范数i lz ，与p 范数1 | z 忆等价( p 1 ) 证明往证存在常数c - ，g ，使得qi | z 忆 - i lz 。qi i z 由权0 纰 1 ，则蛐f 如l ，j f 一，所以( “ x if ，) ；s ( fz 。f ，) ；即f i 。f 。，f fz f ， 同时，由实数连续性总可以在0 与珂扣t o i 之间找到一个常数u ，使得0 u 1 ； nn 咖! u 。，所以ui x ips 0 2 ii t i1 9 2 4 ：l1 i 1，n 5 1 ，n 故( ul x ii 一) ；= u ；( ( i 婉1 9 ) i ) 冬( u 。lx i1 9 ) ；即u ；| | 。l i ， 0 k = 0 ，t i 是节点矢量 显然，m ，k ( t ) 0 且批，k ( t ) 兰l 。 由b 样条基的性质，则b 样条曲线，曲面有比b d z i e r 曲线，曲面更强的凸包性 质，它的凸包是定义各曲线段，曲面片的控制顶点的凸包的并集 例3 3 七次n u r b s 曲线方程n ( t ) = 艺兄i , k ( z ) ，0 曼t 1 t = 5 0 2 次n u r b s 曲面方程， ) = er ，i j ，l ( u ，u ) ，0 茎u ，口1 其中，r ， ( t ) 是七次有理基函数，i = 0 ，l ，n 岫批，k ( ) 1 f 一 e 屿屿，( f ) f = 0 。 。 r 点州( 。，。) ：守掣型坐地l “，。r ，( “) 批，l ( v ) r = 0s = 0 其中，龇是权因子，与控制顶点k 有关批0 显然，臆，t ( 。) o 且黑昆，k ( ) = l ， n u r b s 曲线曲面也有着与b 样条曲线曲面类似的凸包性质 参考文献 1 】刘铭u 元平均族理论 d - 东北师范大学数学系9 i 级毕业论文，1 9 9 5 2 盛中平，崔凯i 3 元平均族理论【j 第八届全国高等院校计算数学学术 会议论文集，烟台，1 9 9 7 3 】bj i 冈察洛夫著，路见可译函数插补与逼近理论 m 科学出版社 1 9 5 8 2 l o 一2 1 9 【4 】王丽君可数平均族与连续平均族 d 东北师范大学数学系2 0 0 0 级硕 士毕业论文，2 0 0 3 f 5 jt u n g - p o l i n t h ep o w e rm e a na n dt h el o g a r i t h m i cn a e a n j j t h i sm o n t h l y 8 1 ( 1 9 7 4 ) ：8 7 9 8 8 3 6 l e a c he ba n ds h o l a n d e rmc e x t e n d e dt n e a nv a l u e s j t h i sm o n t h l y 8 5 ( 1 9 7 8 ) ：8 4 9 0 7 】s t o l a r s k y kb g e n e r a l i z a t i o n so ft h e l o g a r i t h m i cm e a n 。1 jm a t h m a g ，4 8 ( 1 9 7 5 ) ：8 7 - 9 2 8 c a r l s o nbct h el o g a r i t h m i cm e a n j t h i sm o n t h l y ，9 2 ( 1 9 8 5 ) ：9 9 1 0 4 9 p i t t e n g e r ao t h e l o g a r i t h m i c m e a ni nn v a r i a b l e s j a m e r m a t h m o n t h l y ，9 2 ( 1 9 8 5 ) ：9 9 1 0 4 1 0 】b o a sr pa n db r e n n e rjl m e a n s j jm a t h a n a la p p l t h ea s y n l p t o t i eb e h a v i o io fi n h o 玎l o g e n e o u 8 1 9 8 7 ( 1 2 3 ) ：2 6 2 2 6 4 11 】l e a c heb a n ds h o l a n d e rmc e x t e n d e dm e a nv a l u e si i j jm a t ha n a l a p p l ，1 9 8 3 ：2 0 7 2 2 3 【1 2 t o b e ym d at w o p a r a m e t e rh o m o g e n e o u sm e a nv a l u e j p r o ca r u e r m a t hs o c ，1 8 ( 1 9 6 7 ) 9 - 1 4 1 3 】b r e n n e r ja n dc a r l s o nbc h o m o g e n e o u si n e a l lv a l u e s ：w e i g h ta n d a s y m p t o t i c s j jm a t h a n a la p p l ，1 9 8 7 ( 1 2 3 ) ：2 6 5 2 8 0 1 4 l i uz h e n g g e o m e t r i c h a r m o n i c m e a na n dc h a r a c t e r i z a t i o n so fs 0 r i l e m e a nv a l u e s j 。1m a t hr e s ee x p o ，2 0 0 3 ( 2 3 ) ：2 1 7 2 2 0 2 8 1 5 l u oq i m n i n