（运筹学与控制论专业论文）带停时的倒向重随机微分方程.pdf

s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e r st h e s i s 带停时的倒向重随机微分方程 孙永会 山东大学数学学院，济南，2 5 0 1 0 0 摘要 在本文中，我们给出了一类带停时的倒向重随机微分方程( b d s d e s ) 的参数的一 个充分条件，在这个条件下，对于任意平方可积的随机变量，带停时的倒向重随机微 分方程存在唯一的解同时，我们讨论了这类方程的连续依赖性和连续收敛性定理 自从p a r d o u x 和p e n g 在1 9 9 0 年引入了倒向随机微分方程( 简称b s d e s ) 以来， 倒向随机微分方程理论得到了迅速的发展和广泛的应用主要结论是对于任意给定 的f l 2 ( q ，乃，p ；钟) ，如下的倒向随机微分方程 厂t ，r 犰= 言+ 9 ( s ，如，) d s 一 d e s ，0 t t 在一定条件下在有限时间区间f 0 ，t 1 上存在唯一的解( 肌，施) 这类方程为准确描述许 多金融数学中的问题提供了一个有用的框架，同时对于解决随机控制，随机微分，以 及拟线性偏微分方程解的概率表示中的问题有很大的帮助 在1 9 9 0 年引入了倒向随机微分方程理论以后，p a r d o u x 和p e n g 在1 9 9 4 年引入 了一类新的倒向随机微分方程一倒向重随机微分方程，并证明了有限时间区间上的倒 向重随机微分方程的解的存在性和唯性定理这些研究成果使我们能够给出一类拟 线性随机偏微分方程解的概率表示，从而扩展了线性随机偏微分方程的f e y n m a n - k a c 公式在【3 】中，c h e n 和w a n g 把倒向随机微分方程从有限时间区问推广到了无限时 间区间在【4 1 中，c h e n 给出并证明了带停时的倒向随机微分方程解的存在唯一性定 理我们认为带停时的倒向重随机微分方程也能给出一类拟线性随机偏微分方程的解 的概率表示仿照c h e n 和w a n g 的方法，我们给出了带停时的倒向重随机微分方程 的解的存在唯性定理，并证明了连续依赖性和连续收敛性定理 本文的结构如下，在第二章中，我们列出了在这篇文章中用到的几个重要的定理 在第三章中，我们给出了所要研究问题的基本设定和主要假设第四章，我们首先在 第一节中提出并证明了文章的主要结果一存在唯一性定理，然后在第二节中讨论了解 的连续依赖性和收敛性定理 v s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e r st h e s i s 关键词：带停时的倒向重随机微分方程，信息族，循序可测，前向i t 6 积分，倒向 i t 6 积分 s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e r st h e s i s b a c k w a r dd o u b l ys t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t hs t o p p i n gt i m e y o n g h u is u n s c h o o lqm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n s h a n d o n g 2 5 0 1 0 0 , p r ，c h i n a a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w eg i v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o no nt h ec o e f f i c i e n t so fac l a s so fb a c k w a r d d o u b l ys t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hs t o p p i n gt i m e ( b d s d e s ) u n d e rw h i c ht h e b d s d e sw i t hs t o p p i n gt i m eh a v eau n i q u es o l u t i o nf o ra n yg i v e ns q u a r ei n t e g r a b l e t e r m i n a lv a l u e s w ea l s od i s c u s st h ec o n t i n u o u sd e p e n d e n c et h e o r e ma n dc o n v e r g e n c e t h e o r e mf o rt h i sc l a s so fe q u a t i o n s s i n c et h eb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( b s d e si ns h o r t ) w a si n t r o d u c e db yp a r d o u xa n dp e n gi n1 9 9 0 ，t h et h e o r yo fb s d e sh a sb e e nd e v e l o p e da n d w i d e l yu s e db ym a n yr e s e a r c h e r s t h em a i nr e s u l ti s ，f o ra n yg i v e n l 2 ( q ，厅，p ；耻) ， t h ef o l l o w i n gb s d e ，r，t 玑= + 9 ( s ，驰，磊) d s 一 z 。d w ，0 t t ，tj h a sau n i q u es o l u t i o np a i r ( y t ，z t ) i nt h ei n t e r v a l 【0 ，t lu n d e rs o m ec o n d i t i o n t h i s c l a s so fe q u a t i o n sp r o v i d eau s e f u lk a m e w o r kf o rf o r m u l a t i n gm a n yp r o b l e m si nm a t h - e m a t i c a lf i n a n c e ，a n dt h e ya r ea l s ou s e f u lf o rp r o b l e m si ns t o c h a s t i cc o n t r o l ，s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a lg a m e ，a n dp r o b a b i l i s t i cf o r m u l af o rt h es o l u t i o n so fq u a s i - l i n e a rp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a f t e rp a r d o u xa n dp e n g ( 1 9 9 0 ) i n t r o d u c e dt h et h e o r yo fb s d e s ，p a r d o u xa n d p e n gi n t r o d u c e dan e wc l a s so fb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s - b a c k w a r d “d o u b l y ”s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n da l s os h o w e dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e - n e s st h e o r e mo ft h es o l u t i o no fb d s d e si naf i n i t et i m ei n t e r v a l t h e s er e s e a r c ha l l o w u st op r o d u c eap r o b a b i l i s t i cr e p r e s e n t a t i o no fc e r t a i nq u a s i - l i n e a rs t o c h a s t i cp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h u se x t e n d i n gt h ef e y n m a n k a cf o r m u l af o rl i n e a rs p d e s i n v i i 一 s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e r ) st h e s i s 【3 j ，c h e na n dw a n ge x t e n d e db s d e sf r o mf i n i t et i m ei n t e r v a l 【o ，丁】t o i n f i n i t et i m e 1 n 。e r lf o ，。o 】c h e na l s op r o v e dt h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s ；st h e o r e mf o rb s d e s w i t hs t o p p i n gt i m ei n 4 】b d s d e sw i t h s t o p p i n gt i m ea r ea l s ov e r yi n t e r e s t i n gt op r 伊 d u c e a p r o b a b i l i s t i cr e p r e s e n t a t i o no fc e r t a i nq u a s i - l i n e a rs t o c h a s t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t l o n s h e r ef o l l o w i n gt h ea p p r o a c ho fc h e na n d w a n g ，w ep r e s e n 乇t h ee 蛾e n c e a n du m q u e n e s st h e o r e mf o rb d s d e sw i t hs t o p p i n gt i m ea n dp r o v e d t h ec o n t i n u o u s d e p e n d e n c et h e o r e ma n d c o n v e r g e n c et h e o r e m 1n l sp a p e r1 so r g a n i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e r2 ，w e s h o ws o m ei m p o r t a n tt h e o r e m s w eu s e d1 no u rp a p e r i nc h a p t e r 3 ，w ep r e s e n tt h es e t t i n go ft h ep r o b l e ma n dt h em a i n a l s 8 u m p t l o n s i nc h a p t e r4 ，f i r s tw ep r e s e n ta n dp r o v et h em a i nr e s u l t t h ee x i s t e n c e a n du n l q u e n e s st h e o r e m t h e nw ed i s c u s st h ec o n t i n u o u sd e p e n d e n c et h e o r 哪a n d i i 器 恤惦丽叭 帆 吼_ 蓦诎 唧 删 哪 咖砒峨兰 b m 抵| d m翥昭 呶 朋l 脚胁 眦 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名：乏翌：垂珍 e t 期：趁1 2 笸! 受丝 关于学位论文使用授权的声明 本人同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的印刷件和电子 版，允许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手 段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：乏亚瘥么乏! 导师签名 s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e r st h e s i s = ! ! ! 竺墨竺竺! ! = = = = 燃= = = ：= ! ! ! 燃i i i i m 1 l 一i i i i m 1 i i i i i i 竺! = ! = ! = 黑竺! ! ! ! = = ! 然竺= ! = ! ! ! 燃竺竺= = = ! ! = 燃 c h a p t e r li n t r o d u c t i o n an e wk i n do fb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( i ns h o r tb s d e ) ，w h e r e t h es o l u t i o ni sap a i ro fp r o c e s s e sa d a p t e dt ot h ep a s to ft h ed r i v i n gb r o w n i a nm o t i o n ， h a sb e e ni n t r o d u c e db yp a r d o u xa n dp e n gi n 【1 1 。p a r d o u xa n dp e n gp r o v e dt h a tf o r a n yg i v e n 毒l 2 ( q ，矗，毁r 奄) ，t h ef o l l o w i n gb s d e 皴= 喜+ f 窑扫，甄，魏) 泰一? 岛d w s ，0 t t j tj t h a sau n i q u es o l u t i o np a i r ( y t ，旎) i nt h ei n t e r v a l 【0 ，t lu n d e rt h eu n i f o r m l yl i p s c h i t z c o n d i t i o n 。t h i sk i n do fb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sg i v eap r o b a b i l i s t i c r e p r e s e n t a t i o nf o rt h es o l u t i o no fal a r g ec l a s so fs y s t e mo fq u a s i - l i n e a rp a r a b o l i cp d e s ， w h i c hg e n e r a l i z e st h ec l a s s i c a lf e y n m a n k a cf o r m u l af o rl i n e a rp a r a b o l i cp d e s t h e n t h et h e o r yo fb s d e sh a sb e e nd e v e l o p e db ym a n yr e s e a r c h e r si nas e r i e so fp a p e r s ( r e f e rt oe x a m p l e ，m a ，p r o t t e ra n dy o n g ( 1 9 9 4 ) ，e 1 k a r o u i ，p e n ga n dq u e n e z ( 1 9 9 7 ) ， m aa n d y o n g ( 1 9 9 9 ) a n dt h er e f e r e n c e st h e r e i n ) t h e s ep a p e r sb a s i c a l l ys t u d yb s d e s f o raf i x e dt e r m i n a lt i m et 0 ，i e ，i naf i n i t et i m ei n t e r v a lf 0 ，邳。i no r d e rt o i n v e s t i g a t et h ec a s eo fi n f i n i t et i m ei n t e r v a l ，i e ，t = o 。，m a n yr e s e a r c h e r sp r e s e n t m a n yd i f f e r e n ta s s u m p t i o n s h o w e v e rt h e i rr e s u l t se s s e n t i a l l yr e q u i r et h et e r m i n a l v a l u e sa r ed e c a yi ni n f i n i t eh o r i z o n l a t e ri nf 3 】，c h e na n dw a n g ( 2 0 0 0 ) f i r s t l ys h o w ak i n do fs u f f i c i e n tc o n d i t i o n so nc o e f f i c i e n t s ，u n d e rw h i c hf o ra n ys q u a r ei n t e g r a b l e r a n d o mv a r i a b l e s 毒a st e r m i n a lv a l u e s ，b s d e ss t i l lh a v eau n i q u es o l u t i o np a i rf o r i n f i n i t eh o r i z o nc a s e t h e ni n 【4 】 c h e np r o v e dt h a tf o ra n ys q u a r ei n t e g r a b l er a n d o m v a r i a b l e s 喜l 2 ( q ，p ；挖) ，b s d ew i t hs t o p p i n gt i m e 轨一+ g ( s ，蜘，名。) d s f z s d v v s j t a r，t a r h a sa u n i q u es o l u t i o nu n d e rs o m ec o n d i t i o n t h e s er e s u l t sa r ep i v o t a lt od i s c u s st h e c o n v e r g e n c eo f9 一m a r t i n g a l e sw h i c hw e r ei n t r o d u c e db yp e n g ( 1 9 9 7 ) a f t e rp a r d o u xa n dp e n gi n t r o d u c e dt h et h e o r yo fb s d e s i n 【1 1 ，p a r d o u xa n dp e n g b r o u g h tf o r w a r dan e wk i n do fb s d e s ，t h a ti sac l a s so fb a c k w a r dd o u b l ys t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( b d s d e si ns h o r t ) w i t ht w od i f i e r e n td i r e c t i o n so fs t o c h a s t i c l s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e r st h e s i s = = = = = 篡i 。一- i i 拳拳竺! ! ! = ! = i n t e g r a l s ，i e ，t h ee q u a t i o n si n v o l v eb o t has t a n d a r df o r w a r ds t o c h a s t i ci n t e g r a ld m a n dab a c k w a r ds t o c h a s t i ci n t e g r a ld b t t h e yh a v ep r o v e dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s t h e o r e mo fs o l u t i o n st ob d s d e su n d e ru n i f o r m l yl i p s c h i t zc o n d i t i o no nc o e 币c i e n t s f o rf i n i t et i m ei n t e g r a l 【0 ，t i t h a ti s ，f o rag i v e nt e r m i n a lt i m et 0 ，u n d e rt h e u n i f o r m l yl i p s c h i t zc o n d i t i o no nc o e f f i c i e n t s tg lf o ra n ys q u a r ei n t e g r a b l et e r m i n a l v a l u e ，t h ef o l l o w i n gb d s d e h a sau n i q u es o l u t i o np a i r ( 轨，兹) i nt h ei n t e r v a l 【0 ，t l ： 驴毒f ： t s , y s , z a ) 蚺小ts , y s , z 6 ) 喊一芝烈。嶝g h o w e v e r ，t h e r ei sl i t t l ew o r kt ot r e a tb d s d e sw i t hs t o p p i n gt i m ea n di n f i n i t e h o r i z o nb d s d e s t h i sc l a s so fb a c k w a r dd o u b l ys t o c h a s t i cd i f i e r e n t i a le q u a t i o n sa r e a l s ov e r yi n t e r e s t i n gt op r o d u c eap r o b a b i l i s t i cr e p r e s e n t a t i o no fc e r t a i nq u a s i l i n e a r s t o c h a s t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h i sp a p e r ，w ea i mt of i n das u f f i c i e n t c o n d i t i o nu n d e rw h i c ht h eb d s d ew i t hs t o p p i n gt i m e r r tp t 弧一专+ lf ( 8 ，罄5 ，z o d 8 + lg ( s ，馨o d b 。一l z , d w o j t a rj t a rj t a t h a sau n i q u es o l u t i o nf o ra n yg i v e ns q u a r ei n t e g r a b l et e r m i n a lv a l u e s w ea p p l ya m e t h o da n a l o g o u st oc h e na n dw a n g ( 2 0 0 0 ) i n1 3 】t ot r e a tt h i sq u e s t i o n d u et ot a k e f u l la d v a n t a g eo ft h ep r o p e r t i e so fm a r t i n g a l e s ，t h i sa r g u m e n ti se s s e n t i a lt ot h et h e o r y o fb s d e s i nt h i sp a p e r lw eg i v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o no nt h ec o e f f i c i e n t s | a n d9 1 u n d e rw h i c ht h eb d s d e sw i t hs t o p p i n gt i m eh a v eau n i q u es o l u t i o nf o ra n yg i v e n s q u a r ei n t e g r a b l et e r m i n a lv a l u e s b u ti no u ra r g u m e n t ，w eh a v et or e s t r i c tgt ob e i n d e p e n d e n to f 石f o rt h eg e n e r a lc a s e ，w ed on o ts o l v et h i sq u e s t i o ni nt h i sp a p e r w e a l s oc a ns e ei nt h ep a p e rt h a tt h ec o e f f i c i e n t si no u rl i p s c h i t zc o n d i t i o ni sn o tc o n s t a n t s b u tt w of u n c t i o n s a f t e rt h i sc h a p t e r ，w es h o ws o m ei m p o r t a n tt h e o r e m sa n dr e s u l t sw ew i l lu s e i nt h i sp a p e ri nc h a p t e r2 ，i n c l u d i n gt h eb u r k h o l d e r - d a v i s - g u n d yi n e q u a l i t ya n dt h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s st h e o r e mo fs o l u t i o n st ob d s d e sf o rf i n i t et i m ei n t e r v a l t h e m a i ns e t t i n g sa n da s s u m p t i o n s h 1 ) 一( 嚣。3 ) a r ep r e s e n t e di nc h a p t e r3 ，w ea l s og i v et h e d e f i n i t i o no fs o l u t i o n st ob d s d ew i t hs t o p p i n gt i m e 。专+ 厂7f ( s , y s , z s ) + ，7g ( s ，妊) 厂7dw$yt z sd sd b ,z n d w $ 一专+ ?+ ?g ( s ，妊)f j t a t j t a t j t a t t h em a i nr e s u l t sa r ep r e s e n t e di nc h a p t e r4 ，i n c l u d i n gt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s 2 。 s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e r st h e s i s t h e o r e mf o rb d s d e sw i t hs t o p p i n gt i m e w ea l s od i s c u s st h ec o n t i n u o u sd e p e n d e n c e t h e o r e ma n dc o n v e r g e n c et h e o r e mf o rb d s d e sw i t hs t o p p i n gt i m ei nt h i sc h a p t e r 3 s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e r st h e s i s c h a p t e r 2 s o m ep r e l i m i n a r i e s i nt h i ss e c t i o n ，w ew i l lp r e s e n ts o m et h e o r e m sa n dr e s u l t sw ew i l lu s ei nt h ep r o o f o fo u rm a i nr e s u l t s f i r s tw eg i v et h ef o l l o w i n gb u r k h o l d e r d a v i s - g u n d yi n e q u a l i t y t h e o r e ma l e t 最，t 吣b ead - d i m e n s i o n a lb r o w n i a nm o t i o np r o c e s s 。f o re a c h p 0 ，t h e r ee x i s t sac o n s t a n t 勺 0 ，s u c ht h a t ，f o ra n y 妒( 咄) d ，w eh a v e 毒e l ( z l 妒。1 2 露罗簿ls e s u pl f o 。妒，g 反同q 霪【( z | 妒t 1 2 盘) 彩2 l 。 r e m a r ki nt h et h e o r e m ， 娘= n 皖。( o ，t ) ，t o o t 0 蛾( g ，t ) i s & p r o g r e s s i v e l ym e a s u r a b l es p a c e ，s a t i s f y i n g ，如l 魄( o ，) ， 办斑0b ef i x e dt h r o u g h o u t t h i sc h a p t e r l e t m ，0 t t ) a n d 鼠，0 t r ) b et w om u t u a l l yi n d e p e n d e n t s t a n d a r db r o w n i a nm o t i o np r o c e s s e s ，w i t hv a l u e sr e s p e c t i v e l yi n 弘a n di n 尉，d e f i n e d o n ( q ，五p ) f o re a c ht f 0 ，t 1 ，w ed e f i n e 手t 兰冀 w h e r ef o ra n yp r o c e s s r h ，咒t = 仃 啦一? 7 8 ；8 r t ) ，刀= 冠f o ra n yn n ， l e tm 2 ( o ，t ；舻) d e n o t et h es e to f ( c l a s s e so fd p d ta e e q u a l ) n - d i m e n s i o n a lj o i n t l y m e a s u r a b l er a n d o mp r o c e s s e s ( i ) e f 圳2 d t o 。 仇；t 【0 ，卅) w h i c hs a t i s f y ： ( i i ) 忱i s 五一m e a s u r a b l e ，f o ra e t 【0 ，t i w ed e n o t es i m i l a r l yb ys 2 ( 【o ，t i ；俨) t h es e to fc o n t i n u o u sn d i m e n s i o n a lr a n d o m p r o c e s s e sw h i c hs a t i s f y ： 5 s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e r st h e s i s - _ _ _ - _ - _ _ _ _ _ - - - _ _ _ - _ l _ - _ i i i i i i i i i ii i i i i i i i ii i ii - - _ _ - _ - _ _ _ - - - - _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ - - - _ _ _ _ - - _ _ ! ( i ) e ( s u p 1 2 ) 0 0 o t 0a n d0 q 1s u c ht h a tf o ra n y ( 。，t ) q 【o ，v l ，( y l , z 1 ) ，( 轨，恐) r r d ， ( h ) i f ( t ，y 1 ，z 1 ) 一f ( t ，y 2 ，勿) 1 2sc ( 1 y l 一3 2 1 2 + i i z l 一沈1 1 2 ) g ( t ，y l ，菇1 ) 一g ( t ，数，施2 c l y l 一馘| 2 + 鑫| | 魂一忽| | 2 g i v e n 毒l 2 ( q ，厅，p ；r ) ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gb a c k w a r dd o u b l ys t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ： 炉毛+ 队8 , y s , z 8 十卜ts , y a , z s ，一 ：挑。 0 tsz( 2 1 ) n o ww ep r e s e n tt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s st h e o r e mo fs o l u t i o n st ob d s d e sf o r f i n i t et i m ei n t e r v a l 【0 ，t 】 t h e o r e mcu n d e rt h ea b o v ec o n d i t i o n s ，i np a r t i c u l a r ( h ) ，b d s d e ( 2 1 ) h a s 毡u n i q u e s o l u t i o n ( 耖，嚣) 5 2 ( 【0 ，r 1 ；r 七) m 2 ( o ，t ；r k d ) t h ep r o o fo ft h et h e o r e mw a sp r e s e n t e db yp a r d o u xa n dp e n gi n 障 w es t i l ln e e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t st op r o v eo u re x i s t e n c ea n du n i q u e n e s st h e o r e m f o rb d s d e sw i t hs t o p p i n gt i m e ， t h e o r e mdl e t x ，0 蕊需 1 ， a t ry 一1 6 s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e r st h e s i s p r o v i d e d 五0a s pf o re v e r yt 0 ，a n d 露( 辫) ob et w om u - t u a l l yi n d e p e n d e n ts t a n d a r db r o w n i a nm o t i o np r o c e s s ，w i t hv a l u e sr e s p e c t i v e l yi nr d a n di nr t d e f i n e do n 辫，p ) 。l e 专d e n o t et h ec l a s so fp - n u l ls e t so f 歹。f o re a c h t 【0 ，。o ) ，w ed e f i n e a n d 毒圭秽 职，0sr i v ， 墨惑a b r 一晟，r 。 v 醒，圭n 碍 o t o o 五圭碟v 碥，t 【o ，。1 n o t et h a t 础，t 泠，嘲i sa ni n c r e a s i n gf i l t r a t i o na n d 硌，t 冷，i sa nd e - c r e a s i n gf i l t r a t i o n ，s ot h ec o l l e c t i o n 磊，t 【0 ，0 0 1 ) i sn e i t h e ri n c r e a s i n gn o rd e c r e a s i n g ， a n di td o e sn o tc o n s t i t u t eaf i l t r a t i o n s u p p o s e 芦= 恐v 恐a n d 丁圭 r 0 ) i sa 五一s t o p p i n gt i m e ，v a l u e di n 【o ，0 0 1 f o ra n yn n ，l e ts 2 ( 【o ，7 - 】；屁廿) d e n o t et h es p a c eo f ( c l a s s e so fd p d ta e e q u a l ) a l l 五 一p r o g r e s s i v e l ym e a s u r a b l en - d i m e n s i o n a lp r o c e s s 嚣w h i c hs a t i s f y 捌| s 圭 【e ( s u pl v c s ) 1 ) 2 】 o o w ed e n o t es i m i l a r l yb ym 2 ( 【0 ，叫；p ) t h es p a c eo fa l l 五) 一p r o g r e s s i v e l ym e a s u r - a b l en - d i m e n s i o n a lp r o c e s s 移w h i c hs a t i s f yl i v l l m 圭 e 菇| v ( s ) 1 2d 4 。 f o ra n yt 【0 ，。o 】，l e tl 2 ( q ，五，p ；p ) d e n o t et h es p a c eo fa l l 五一m e a s u r a b l e r “- v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e s 毒s a t i s f y i n ge 蚓2 o 。w ea l s od e n o t et h a t 8 b 2 圭 ，y ) ：x 8 2 ，y m 2 f o re a c h ，y ) b 2 ，w ed e f i n et h en o r mo f ，y ) ( x ，y ) 圭( 1 l x l l 嘉十i i y i i ) s h a n d o n gu n i v e r s i t ym a s t e r st h e s i s o b v i o u s